История тригонометрии

Раннее изучение треугольников можно проследить до 2-го тысячелетия до н. э ., в египетской математике ( Риндский математический папирус ) и вавилонской математике . Тригонометрия также была распространена в кушитской математике. ^[1] Систематическое изучение тригонометрических функций началось в эллинистической математике , достигнув Индии как часть эллинистической астрономии . ^[2] В индийской астрономии изучение тригонометрических функций процветало в период Гуптов , особенно благодаря Арьябхате (шестой век н. э.), который открыл функцию синуса, функцию косинуса и функцию версинуса.

Когда в Средние века изучение тригонометрии продолжилось в исламской математике такими математиками, как Аль-Хорезми и Абу аль-Вафа . Она стала независимой дисциплиной в исламском мире , где были известны все шесть тригонометрических функций . Переводы арабских и греческих текстов привели к тому, что тригонометрия была принята в качестве предмета на латинском Западе, начиная с эпохи Возрождения с Региомонтаном .

Развитие современной тригонометрии изменилось в эпоху западного Просвещения , начавшись с математики 17-го века ( Исаак Ньютон и Джеймс Стерлинг ) и достигнув своей современной формы с Леонардом Эйлером (1748).

Этимология

Термин «тригонометрия» произошел от греческого τρίγωνον trigōnon — «треугольник» и μέτρον Metron — «мера». ^[3]

Современные слова «синус» и «косинус» произошли от латинского слова sinus через неправильный перевод с арабского (см. Синус и косинус#Этимология ). В частности, sinus rectus arcus Фибоначчи оказал влияние на установление этого термина. ^[4]

Слово «тангенс» происходит от латинского tangens , что означает «касающийся», поскольку линия касается окружности единичного радиуса, тогда как слово «секанс» происходит от латинского secans — «разрезание», поскольку линия пересекает окружность. ^[5]

Префикс « co- » (в «косинус», «котангенс», «косеканс») встречается в «Каноне треугольника » Эдмунда Гюнтера (1620), который определяет косинус как сокращение от sinus completi (синус дополнительного угла ) и далее аналогичным образом определяет котангенс . ^{[6] [7]}

Слова «минута» и «секунда» произошли от латинских фраз partes minutae primae и partes minutae secundae . ^[8] Они примерно переводятся как «первые малые части» и «вторые малые части».

Древний

Древний Ближний Восток

Древние египтяне и вавилоняне знали теоремы о соотношениях сторон подобных треугольников на протяжении многих веков. Однако, поскольку доэллинские общества не имели понятия об угловой мере, они были ограничены изучением сторон треугольников. ^[9]

Вавилонские астрономы вели подробные записи о восходе и заходе звезд , движении планет , а также солнечных и лунных затмениях , все из которых требовали знакомства с угловыми расстояниями, измеренными на небесной сфере . ^[10] Основываясь на одной из интерпретаций клинописной таблички Плимптона 322 (ок. 1900 г. до н. э.), некоторые даже утверждали, что у древних вавилонян была таблица секансов, но это не работает в данном контексте, поскольку без использования окружностей и углов в данной ситуации современные тригонометрические обозначения не будут применяться. ^[11] Однако существует много споров о том, является ли это таблицей пифагорейских троек , решением квадратных уравнений или тригонометрической таблицей . ^[12]

С другой стороны, египтяне использовали примитивную форму тригонометрии для строительства пирамид во 2-м тысячелетии до н. э. ^[10] Математический папирус Ринда , написанный египетским писцом Ахмесом (ок. 1680–1620 гг. до н. э.), содержит следующую задачу, связанную с тригонометрией: ^[10]

«Если высота пирамиды составляет 250 локтей, а длина стороны ее основания — 360 локтей, то каков ее секед ?»

Решение Ахмеса этой проблемы — это отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте, или отношение длины ее грани к ее подъему. Другими словами, найденная им величина для секеда — это котангенс угла между основанием пирамиды и ее гранью. ^[10]

Классическая античность

Хорда угла опирается на дугу угла.

Древнегреческие и эллинистические математики использовали хорду . Если даны окружность и дуга на окружности, хорда — это линия, которая стягивает дугу. Перпендикулярная середина хорды проходит через центр окружности и делит угол пополам. Одна половина разделенной пополам хорды — это синус половины разделенного пополам угла, то есть, ^[13]

${\displaystyle \mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},}$

и, следовательно, функция синуса также известна как полухорда . Благодаря этой связи, ряд тригонометрических тождеств и теорем, которые известны сегодня, были также известны эллинистическим математикам, но в эквивалентной им форме хорды. ^{[14] [15]}

Хотя в трудах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, существуют теоремы, представленные геометрическим способом (а не тригонометрическим способом), которые эквивалентны определенным тригонометрическим законам или формулам. ^[9] Например, предложения двенадцать и тринадцать второй книги «Начал » являются законами косинусов для тупых и острых углов соответственно. Теоремы о длинах хорд являются приложениями закона синусов . А теорема Архимеда о разорванных хордах эквивалентна формулам для синусов сумм и разностей углов. ^[9] Чтобы компенсировать отсутствие таблицы хорд , математики времен Аристарха иногда использовали утверждение, что в современной записи sin  α /sin  β  <  α / β  < tan  α / tan  β всякий раз, когда 0° < β < α < 90°, теперь известное как неравенство Аристарха . ^[16]

Первая тригонометрическая таблица была, по-видимому, составлена ​​Гиппархом Никейским (180 – 125 гг . до н. э.), который теперь известен как «отец тригонометрии». ^[17] Гиппарх был первым, кто составил таблицу соответствующих значений дуги и хорды для ряда углов. ^{[4] [17]}

Хотя неизвестно, когда систематическое использование круга в 360° вошло в математику, известно, что систематическое введение круга в 360° произошло немного позже, чем Аристарх Самосский составил «О размерах и расстояниях Солнца и Луны» (ок. 260 г. до н. э.), поскольку он измерил угол в терминах дроби квадранта. ^[16] Кажется, что систематическое использование круга в 360° во многом обязано Гиппарху и его таблице хорд . Гиппарх, возможно, взял идею этого деления у Гипсикла , который ранее разделил день на 360 частей, разделение дня, которое могло быть предложено вавилонской астрономией. ^[18] В древней астрономии зодиак был разделен на двенадцать «знаков» или тридцать шесть «деканов». Сезонный цикл продолжительностью примерно 360 дней мог соответствовать знакам и деканам зодиака путем деления каждого знака на тридцать частей, а каждого декана на десять частей. ^[8] Благодаря вавилонской шестидесятеричной системе счисления каждый градус делится на шестьдесят минут, а каждая минута делится на шестьдесят секунд. ^[8]

Теорема Менелая

Менелай Александрийский (ок. 100 г. н. э.) написал в трех книгах свою «Сферику» . В книге I он установил основу для сферических треугольников, аналогичную евклидовой основе для плоских треугольников. ^[15] Он установил теорему, которая не имеет евклидова аналога, о том, что два сферических треугольника равны, если соответствующие углы равны, но он не различал равные и симметричные сферические треугольники. ^[15] Другая теорема, которую он устанавливает, заключается в том, что сумма углов сферического треугольника больше 180°. ^[15] Книга II « Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. А книга III содержит «теорему Менелая». ^[15] Он также дал свое знаменитое «правило шести величин». ^[19]

Позже Клавдий Птолемей (ок. 90 – ок. 168 н. э.) расширил Хорды ​​Гиппарха в своем Альмагесте , или Математическом синтаксисе . Альмагест в первую очередь является работой по астрономии, а астрономия опирается на тригонометрию. Таблица хорд Птолемея дает длины хорд окружности диаметром 120 как функцию числа градусов  n в соответствующей дуге окружности, для n в диапазоне от 1/2 до 180 с шагом 1/2. ^[20] Тринадцать книг Альмагеста являются наиболее влиятельным и значительным тригонометрическим трудом всей древности. ^[21] Теорема, которая была центральной для расчета хорд Птолемеем, была тем, что до сих пор известно как теорема Птолемея , о том, что сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей. Частный случай теоремы Птолемея появился как предложение 93 в «Данных» Евклида . Теорема Птолемея приводит к эквиваленту четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса, которые сегодня известны как формулы Птолемея, хотя сам Птолемей использовал хорды вместо синуса и косинуса. ^[21] Птолемей далее вывел эквивалент формулы половинного угла

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.}$^[21]

Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, но невозможно определить, были ли эти таблицы получены из работ Гиппарха. ^[21]

Ни таблицы Гиппарха, ни таблицы Птолемея не сохранились до наших дней, хотя описания других древних авторов оставляют мало сомнений в том, что они когда-то существовали. ^[22]

индийская математика

Некоторые из ранних и очень важных разработок тригонометрии были в Индии . Влиятельные работы 4–5 веков н. э., известные как Сиддханты (всего их было пять, наиболее важной из которых является Сурья-сиддханта ^[23] ), впервые определили синус как современное отношение между половиной угла и половиной хорды, а также определили косинус, версинус и обратный синус . ^[24] Вскоре после этого другой индийский математик и астроном , Арьябхата (476–550 н. э.), собрал и расширил разработки Сиддхант в важной работе под названием Арьябхатия . ^[25] Сиддханты и Арьябхатия содержат самые ранние сохранившиеся таблицы значений синуса и версина (1 − косинус) в интервалах 3,75° от 0° до 90° с точностью до 4 знаков после запятой. [ ^26] Они использовали слова jya для синуса, kojya для косинуса, utkrama-jya для версина и otkram jya для арксинуса. Слова jya и kojya в конечном итоге стали синусом и косинусом соответственно после неправильного перевода, описанного выше.

В VII веке Бхаскара I вывел формулу для вычисления синуса острого угла без использования таблицы. Он также дал следующую приближенную формулу для sin( x ), которая имела относительную погрешность менее 1,9%:

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).}$

Позже, в VII веке, Брахмагупта переработал формулу

${\displaystyle \ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

(также выведенная ранее, как упоминалось выше) и интерполяционная формула Брахмагупты для вычисления значений синуса. ^[11]

Другим более поздним индийским автором по тригонометрии был Бхаскара II в 12 веке. Бхаскара II разработал сферическую тригонометрию и открыл много тригонометрических результатов.

Бхаскара II был одним из первых, кто открыл и получил такие тригонометрические результаты, как: ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

• ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$

Мадхава (ок. 1400) сделал первые шаги в анализе тригонометрических функций и их бесконечных рядов расширений. Он разработал концепции степенного ряда и ряда Тейлора и создал степенные ряды расширений синуса, косинуса, тангенса и арктангенса. ^{[27] [28]} Используя приближения ряда Тейлора для синуса и косинуса, он создал таблицу синуса с точностью до 12 знаков после запятой и таблицу косинуса с точностью до 9 знаков после запятой. Он также дал степенной ряд π и угол , радиус , диаметр и окружность круга в терминах тригонометрических функций. Его работы были расширены его последователями в Керальской школе вплоть до 16-го века. ^{[27] [28]}

Индийский текст Юктибхаша содержит доказательство разложения функций синуса и косинуса , а также вывод и доказательство степенного ряда для арктангенса , открытого Мадхавой. Юктибхаша также содержит правила нахождения синусов и косинусов суммы и разности двух углов.

китайская математика

Го Шоуцзин (1231–1316)

В Китае таблица синусов Арьябхаты была переведена в китайскую математическую книгу Кайюань Чжаньцзин , составленную в 718 году нашей эры во времена династии Тан . ^[30] Хотя китайцы преуспели в других областях математики, таких как стереометрия, биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не были так широко оценены, как в более раннем греческом, эллинистическом, индийском и исламском мире. ^[31] Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чжун ча , в то время как практическое использование плоской тригонометрии с использованием синуса, тангенса и секанса было известно. ^[30] Однако это эмбриональное состояние тригонометрии в Китае начало медленно меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических вычислениях. ^{[30] Китайский ученый} -полимат , математик и чиновник Шэнь Ко (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг. ^[30] Виктор Дж. Кац пишет, что в формуле Шэня «техника пересекающихся окружностей» он создал приближение дуги  s окружности, учитывая диаметр  d , стрелу v и длину  c хорды, стягивающей дугу, длину которой он аппроксимировал как ^[32] 

${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.}$

Сэл Рестиво пишет, что работа Шэня по длинам дуг окружностей послужила основой для сферической тригонометрии, разработанной в XIII веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). ^[33] Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидхэм, Го Шоуцзин использовал сферическую тригонометрию в своих вычислениях для улучшения календарной системы и китайской астрономии . ^{[30] [34]} Наряду с более поздней китайской иллюстрацией XVII века математических доказательств Го, Нидхэм утверждает, что:

Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базовый четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги, а также двух меридиональных дуг , одна из которых проходила через точку летнего солнцестояния ... Такими методами он смог получить ду люй (градусы экватора, соответствующие градусам эклиптики), цзи ча (значения хорд для заданных эклиптических дуг) и ча люй (разница между хордами дуг, отличающихся на 1 градус). ^[35]

Несмотря на достижения Шэня и Го в тригонометрии, другая существенная работа по китайской тригонометрии не была опубликована до 1607 года, когда появились «Начала» Евклида , изданные одновременно китайским чиновником и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянским иезуитом Маттео Риччи (1552–1610). ^[36]

Средневековый исламский мир

Страница из «Краткой книги по исчислению путем завершения и уравновешивания» Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми ( ок. 820 г. н.э.)

Предыдущие работы были позднее переведены и расширены в средневековом исламском мире мусульманскими математиками в основном персидского и арабского происхождения , которые сформулировали большое количество теорем, которые освободили предмет тригонометрии от зависимости от полного четырехугольника , как это было в эллинистической математике из-за применения теоремы Менелая . По словам Э. С. Кеннеди, именно после этого развития в исламской математике «появилась первая настоящая тригонометрия, в том смысле, что только тогда объектом изучения стал сферический или плоский треугольник , его стороны и углы ». ^[37]

Методы, имеющие дело со сферическими треугольниками, также были известны, в частности, метод Менелая Александрийского , который разработал «теорему Менелая» для решения сферических задач. ^{[15] [38]} Однако, Е. С. Кеннеди указывает, что, хотя в доисламской математике было возможно вычислить величины сферической фигуры, в принципе, с помощью таблицы хорд и теоремы Менелая, применение теоремы к сферическим задачам было очень сложным на практике. ^[39] Для того чтобы соблюдать священные дни в исламском календаре , в котором время определялось фазами Луны , астрономы изначально использовали метод Менелая для вычисления положения Луны и звезд , хотя этот метод оказался неуклюжим и сложным. Он включал в себя создание двух пересекающихся прямоугольных треугольников ; применяя теорему Менелая, можно было решить одну из шести сторон, но только если были известны остальные пять сторон. Например, чтобы определить время по высоте солнца , требовалось многократное применение теоремы Менелая. Для средневековых исламских астрономов существовала очевидная проблема — найти более простой тригонометрический метод. ^[40]

В начале 9 века нашей эры Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми создал точные таблицы синусов и косинусов, а также первую таблицу тангенсов. Он также был пионером в сферической тригонометрии . В 830 году нашей эры Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази создал первую таблицу котангенсов. ^{[41] [42]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (Альбатениус) (853–929 гг. н. э.) открыл обратные функции секанса и косеканса и создал первую таблицу косекансов для каждого градуса от 1° до 90°. ^[43]

К 10 веку нашей эры в работе Абу аль-Вафы аль-Бузджани были использованы все шесть тригонометрических функций . ^[44] Абу аль-Вафа имел таблицы синусов с шагом 0,25°, с точностью до 8 знаков после запятой и точные таблицы значений тангенса. ^[44] Он также разработал следующую тригонометрическую формулу: ^[45]

${\displaystyle \ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$(частный случай формулы сложения углов Птолемея; см. выше)

В своем оригинальном тексте Абу аль-Вафа утверждает: «Если мы этого хотим, мы умножаем данный синус на косинус минут , и результат равен половине синуса двойного числа». ^[45] Абу аль-Вафа также установил тождества сложения и разности углов, представленные с полными доказательствами: ^[45]

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

Для второго в тексте говорится: «Мы умножаем синус каждой из двух дуг на косинус других минут . Если нам нужен синус суммы, мы складываем произведения, если нам нужен синус разности, мы берем их разность». ^[45]

Он также открыл закон синусов для сферической тригонометрии: ^[41]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Также в конце X и начале XI веков нашей эры египетский астроном Ибн Юнус выполнил множество тщательных тригонометрических вычислений и продемонстрировал следующее тригонометрическое тождество : ^[46]

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}$

Аль-Джайяни (989–1079) из аль-Андалуса написал «Книгу неизвестных дуг сферы », которая считается «первым трактатом по сферической тригонометрии ». ^[47] Она «содержит формулы для прямоугольных треугольников , общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника». Этот трактат позже оказал «сильное влияние на европейскую математику», а его «определение отношений как чисел» и «метод решения сферического треугольника, когда все стороны неизвестны», вероятно, повлияли на Региомонтана . ^[47]

Метод триангуляции был впервые разработан мусульманскими математиками, которые применили его для практических целей, таких как геодезия ^[48] и исламская география , как описано Абу Райханом Бируни в начале 11-го века. Сам Бируни ввел методы триангуляции для измерения размера Земли и расстояний между различными местами. ^[49] В конце 11-го века Омар Хайям (1048–1131) решал кубические уравнения , используя приближенные числовые решения, найденные путем интерполяции в тригонометрических таблицах. В 13-м веке Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто рассматривал тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и он развил сферическую тригонометрию в ее нынешней форме. ^[42] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе «О секторной фигуре » он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон касательных для сферических треугольников и предоставил доказательства обоих этих законов. ^[50] Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. ^{[51] [52] [53]}

В 15 веке Джамшид аль-Каши дал первое явное изложение закона косинусов в форме, пригодной для триангуляции . ^{[ требуется ссылка ]} Во Франции закон косинусов до сих пор называют теоремой Аль-Каши . Он также дал тригонометрические таблицы значений синусоидальной функции до четырех шестидесятеричных цифр (эквивалентных 8 десятичным знакам) для каждого 1° аргумента с разностями, которые следует добавлять для каждой 1/60 от 1°. ^{[ требуется ссылка ]} Улугбек также дает точные таблицы синусов и тангенсов с точностью до 8 десятичных знаков примерно в то же время. ^{[ требуется ссылка ]}

Современный

Европейский ренессанс и далее

В 1342 году Леви бен Гершон, известный как Герсонид , написал труд «О синусах, хордах и дугах» , в котором, в частности, доказывал закон синусов для плоских треугольников и приводил пятизначные таблицы синусов . ^[54]

Упрощенная тригонометрическая таблица, " toleta de marteloio ", использовалась моряками Средиземного моря в XIV-XV веках для расчета навигационных курсов. Она описана Рамоном Луллием Майоркским в 1295 году и изложена в атласе 1436 года венецианского капитана Андреа Бьянко .

Региомонтан был, возможно, первым математиком в Европе, который рассматривал тригонометрию как отдельную математическую дисциплину ^[55] в своем труде De triangulis omnimodis , написанном в 1464 году, а также в своей более поздней работе Tabulae directionum , которая включала функцию тангенса, не названную. Opus palatinum de triangulis Георга Иоахима Ретикуса , ученика Коперника , был, вероятно, первым в Европе, который определил тригонометрические функции непосредственно в терминах прямоугольных треугольников вместо окружностей, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была завершена учеником Ретикуса Валентином Ото в 1596 году.

В XVII веке Исаак Ньютон и Джеймс Стерлинг разработали общую интерполяционную формулу Ньютона–Стерлинга для тригонометрических функций.

В XVIII веке работа Леонарда Эйлера « Введение в анализ бесконечных функций» (1748) в основном способствовала установлению аналитической обработки тригонометрических функций в Европе, выведению их бесконечных рядов и представлению « формулы Эйлера »  e ^ix  = cos  x  +  i  sin  x . Эйлер использовал почти современные сокращения sin. , cos. , tang. , cot. , sec. , и cosec. До этого Роджер Коутс вычислил производную синуса в своей работе Harmonia Mensurarum (1722). ^[56] Также в XVIII веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора и дал разложения и приближения для всех шести тригонометрических функций. Работы Джеймса Грегори в XVII веке и Колина Маклорена в XVIII веке также оказали большое влияние на развитие тригонометрических рядов.

Смотрите также

• История научного портала
• Математический портал

• греческая математика
• История математики
• Тригонометрические функции
• Тригонометрия
• Таблица хорд Птолемея
• Таблица синусов Арьябхаты
• Рациональная тригонометрия

Цитаты и сноски

1. Отто Нойгебауэр (1975). История древней математической астрономии. 1. Шпрингер-Верлаг. п. 744. ИСБН 978-3-540-06995-9.
2. Кац 1998, стр. 212.
3. "тригонометрия". Онлайн-словарь этимологии .
4. O'Connor, JJ; Robertson, EF (1996). "Тригонометрические функции". Архив истории математики MacTutor . Архивировано из оригинала 2007-06-04.
5. Оксфордский словарь английского языка
6. Гюнтер, Эдмунд (1620). Канон треугольный .
7. Roegel, Denis, ed. (6 декабря 2010 г.). "Реконструкция канона треугольного треугольника Гюнтера (1620 г.)" (Отчет об исследовании). HAL. inria-00543938. Архивировано из оригинала 28 июля 2017 г. Получено 28 июля 2017 г.
8. Boyer 1991, стр. 166–167, Греческая тригонометрия и измерение: «Следует напомнить, что со времен Гиппарха и до наших дней не существовало таких вещей, как тригонометрические соотношения . Греки, а после них индусы и арабы использовали тригонометрические линии . Сначала они имели форму, как мы видели, хорд в окружности, и Птолемею было поручено связать числовые значения (или приближения) с хордами. [...] Не исключено, что 260-градусная мера была перенесена из астрономии, где зодиак был разделен на двенадцать «знаков» или 36 «деканов». Цикл сезонов продолжительностью примерно 360 дней можно было бы легко привести в соответствие с системой зодиакальных знаков и деканов, разделив каждый знак на тридцать частей, а каждый декан — на десять частей. Наша общая система измерения углов может возникнуть из этого соответствия. Более того, поскольку Вавилонская система счисления дробей была настолько очевидно лучше египетских единичных дробей и греческих обыкновенных дробей, что для Птолемея было естественным подразделить свои градусы на шестьдесят partes minutae primae , каждую из этих последних на шестьдесят partes minutae secundae и так далее. Именно от латинских фраз, которые переводчики использовали в этой связи, произошли наши слова «минута» и «секунда». Несомненно, именно шестидесятеричная система привела Птолемея к подразделению диаметра его тригонометрического круга на 120 частей; каждую из них он далее подразделил на шестьдесят минут, а каждую минуту длиной в шестьдесят секунд».
9. Boyer 1991, стр. 158–159, Греческая тригонометрия и измерение: «Тригонометрия, как и другие разделы математики, не была работой какого-либо одного человека или нации. Теоремы об отношениях сторон подобных треугольников были известны и использовались древними египтянами и вавилонянами. Ввиду отсутствия доэллинской концепции меры угла такое исследование лучше было бы назвать «трилатерометрией» или измерением трехсторонних многоугольников (трехсторонних), чем «тригонометрией» — измерением частей треугольника. У греков мы впервые находим систематическое изучение соотношений между углами (или дугами) в окружности и длинами хорд, их стягивающих. Свойства хорд, как мер центральных и вписанных углов в окружности, были знакомы грекам времен Гиппократа, и вполне вероятно, что Евдокс использовал отношения и меры угла при определении размера Земли и относительные расстояния Солнца и Луны. В трудах Евклида нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, но есть теоремы, эквивалентные конкретным тригонометрическим законам или формулам. Например, предложения II.12 и 13 «Начал» являются законами косинусов для тупых и острых углов соответственно, изложенными на геометрическом, а не на тригонометрическом языке и доказанными методом, аналогичным тому, который использовал Евклид в связи с теоремой Пифагора. Теоремы о длинах хорд по сути являются приложениями современного закона синусов. Мы видели, что теорема Архимеда о разорванной хорде может быть легко переведена на тригонометрический язык, аналогичный формулам для синусов сумм и разностей углов.
10. Maor, Eli (1998). Тригонометрические наслаждения . Princeton University Press . стр. 20. ISBN 978-0-691-09541-7.
11. Джозеф 2000, стр. 383–384.
12. Мэнсфилд, Дэниел Ф.; Вайлдбергер, Нью-Джерси (ноябрь 2017 г.). «Plimpton 322 — это вавилонская точная шестидесятеричная тригонометрия». Historia Mathematica . 44 (4): 395–419. doi :10.1016/j.hm.2017.08.001.
13. Кац 1998, стр. 143.
14. Поскольку эти исторические расчеты не использовали единичную окружность, в формуле требовалась длина радиуса. Сравните это с современным использованием функции crd , которая предполагает единичную окружность в своем определении.
15. Бойер 1991, стр. 163, Греческая тригонометрия и измерение: «В книге I этого трактата Менелай устанавливает основу для сферических треугольников, аналогичную той, что была у Евклида I для плоских треугольников. Включена теорема без евклидова аналога — о том, что два сферических треугольника равны, если соответствующие углы равны (Менелай не различал равные и симметричные сферические треугольники); и  установлена ​​теорема A  +  B  +  C > 180°. Вторая книга Sphaerica описывает применение сферической геометрии к астрономическим явлениям и не представляет большого математического интереса. Книга III, последняя, ​​содержит хорошо известную «теорему Менелая» как часть того, что по сути является сферической тригонометрией в типичной греческой форме — геометрией или тригонометрией хорд в окружности. В окружности на рис. 10.4 мы должны написать, что хорда AB равна удвоенному синусу половины центрального угла AOB (умноженному на радиус окружности). Менелай и его греческие последователи вместо этого называют AB просто хордой, соответствующей дуге AB. Если BOB' - диаметр окружности, то хорда A' - это удвоенный косинус половины угла AOB (умноженный на радиус окружности)".
16. Boyer 1991, стр. 159, Греческая тригонометрия и измерение: «Вместо этого у нас есть трактат, возможно, составленный ранее (ок. 260 г. до н. э.), « О размерах и расстояниях Солнца и Луны » , который предполагает геоцентрическую вселенную. В этой работе Аристарх сделал наблюдение, что когда Луна только наполовину полна, угол между линиями зрения на Солнце и Луну меньше прямого угла на одну тридцатую квадранта. (Систематическое введение круга в 360° произошло немного позже. На сегодняшнем тригонометрическом языке это означало бы, что отношение расстояния до Луны к расстоянию до Солнца (отношение ME к SE на рис. 10.1) равно sin(3°). Поскольку тригонометрические таблицы еще не были разработаны, Аристарх прибегнул к хорошо известной геометрической теореме того времени, которая теперь выражалась бы в неравенствах sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, для 0° < β < α < 90°.)"
17. Boyer 1991, стр. 162, Греческая тригонометрия и измерение: «В течение примерно двух с половиной столетий, от Гиппократа до Эратосфена, греческие математики изучали отношения между линиями и окружностями и применяли их в различных астрономических задачах, но систематическая тригонометрия не привела к результату. Затем, предположительно во второй половине II в. до н. э., первая тригонометрическая таблица, по-видимому, была составлена ​​астрономом Гиппархом из Никеи (ок. 180–ок. 125 до н. э.), который таким образом заслужил право называться «отцом тригонометрии». Аристарх знал, что в заданной окружности отношение дуги к хорде уменьшается по мере уменьшения дуги от 180° до 0°, стремясь к пределу 1. Однако, по-видимому, до тех пор, пока Гиппарх не взялся за эту задачу, никто не составил таблицы соответствующих значений дуги и хорды для целой серии углов».
18. Boyer 1991, стр. 162, Греческая тригонометрия и измерение: «Неизвестно, когда именно систематическое использование круга в 360° вошло в математику, но, по-видимому, это во многом связано с Гиппархом в связи с его таблицей хорд. Возможно, он перенял это у Гипсикла, который ранее разделил день на части, подразделение, которое могло быть предложено вавилонской астрономией».
19. Нидхэм 1986, стр. 108.
20. Тумер, Джеральд Дж. (1998). Альмагест Птолемея . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00260-6.
21. Boyer 1991, стр. 164–166, Греческая тригонометрия и измерение: «Теорема Менелая сыграла основополагающую роль в сферической тригонометрии и астрономии, но, безусловно, самая влиятельная и значительная тригонометрическая работа всей древности была составлена ​​Птолемеем Александрийским примерно через полвека после Менелая. [...] О жизни автора мы знаем так же мало, как и о жизни автора «Начал». Мы не знаем, когда и где родились Евклид и Птолемей. Мы знаем, что Птолемей проводил наблюдения в Александрии с 127 по 151 г. н. э., и поэтому предполагаем, что он родился в конце I в. Суидас, писатель, живший в X в., сообщал, что Птолемей был жив при Марке Аврелии (императоре с 161 по 180 г. н. э.). Предполагается, что «Альмагест»
    Птолемея в значительной степени обязан своими методами «Хордам в круге» Гиппарха, но степень этой задолженности не может быть надежно оценена. Очевидно, что в астрономии Птолемей использовал каталог положений звезд, завещанный Гиппархом, но были ли тригонометрические таблицы Птолемея в значительной степени получены от его выдающегося предшественника, определить невозможно. [...] Центральным для вычисления хорд Птолемея было геометрическое предложение, до сих пор известное как «теорема Птолемея»: [...] то есть, сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей. [...] Частный случай теоремы Птолемея появился в « Данных » Евклида (предложение 93): [...] Таким образом, теорема Птолемея приводит к результату sin( α  −  β ) = sin  α  cos  β  − cos  α  sin  Β . Аналогичные рассуждения приводят к формуле [...] Эти четыре формулы суммы и разности впоследствии часто известны сегодня как формулы Птолемея. Это была формула для синуса разности — или, точнее, хорды разности — которую Птолемей нашел особенно полезной при построении своих таблиц. Другая формула, которая эффективно служила ему, была эквивалентом нашей формулы половинного угла».
    
22. Бойер 1991, стр. 158–168.
23. Бойер 1991, стр. 208.
24. Бойер 1991, стр. 209.
25. Бойер 1991, стр. 210.
26. Бойер 1991, стр. 215.
27. O'Connor, JJ; Robertson, EF (2000). "Мадхава Сангамаграммы". Архив истории математики MacTutor .
28. Pearce, Ian G. (2002). «Мадхава Сангамаграммы». Архив истории математики MacTutor .
29. Чарльз Генри Эдвардс (1994). Историческое развитие исчисления . Springer Study Edition Series (3-е изд.). Springer. стр. 205. ISBN 978-0-387-94313-8.
30. Needham 1986, стр. 109.
31. Нидхэм 1986, стр. 108–109.
32. Кац 2007, стр. 308.
33. Рестиво 1992, стр. 32.
34. Гоше, Л. (1917). Обратите внимание на Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King . п. 151.
35. Нидхэм 1986, стр. 109–110.
36. Нидхэм 1986, стр. 110.
37. Кеннеди, Э.С. (1969). «История тригонометрии». 31-й ежегодник . Вашингтон, округ Колумбия: Национальный совет преподавателей математики.( см. Хак, Сайед Номанул (1996). «Индийское и персидское происхождение». В Сейед Хоссейн Наср ; Оливер Лиман (ред.). История исламской философии . Routledge . стр. 52–70 [60–63]. ISBN 978-0-415-13159-9.)
38. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Менелай Александрийский», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс«Книга 3 посвящена сферической тригонометрии и включает теорему Менелая».
39. Кеннеди, Э.С. (1969). «История тригонометрии». 31-й ежегодник . Вашингтон, округ Колумбия: Национальный совет преподавателей математики: 337.( см. Хак, Сайед Номанул (1996). «Индийское и персидское происхождение». В Сейед Хоссейн Наср ; Оливер Лиман (ред.). История исламской философии . Routledge . стр. 52–70 [68]. ISBN 978-0-415-13159-9.)
40. Gingerich, Owen (апрель 1986). "Исламская астрономия". Scientific American . 254 (10): 74. Bibcode : 1986SciAm.254d..74G. doi : 10.1038/scientificamerican0486-74. Архивировано из оригинала 2011-01-01 . Получено 2008-05-18 .
41. Jacques Sesiano, "Исламская математика", стр. 157, в Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science+Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
42. "тригонометрия". Encyclopaedia Britannica . Получено 21 июля 2008 г.
43. Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights . Принстон: Princeton University Press. стр. 38. ISBN 978-0-691-15820-4.
44. Boyer 1991, стр. 238.
45. Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафы и определения Киблы». Арабские науки и философия . 21 (1). Cambridge University Press : 1–56. doi : 10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.
46. Уильям Чарльз Брайс, «Исторический атлас ислама», стр. 413.
47. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , «Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муадх аль-Джайяни», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
48. Дональд Рутледж Хилл (1996), «Инженерное дело», в Рошди Рашед, Энциклопедия истории арабской науки , т. 3, стр. 751–795 [769].
49. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Аррайхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Бируни», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
50. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
51. "Биография Аль-Туси_Насира". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Получено 05.08.2018 . Одним из важнейших математических вкладов аль-Туси было создание тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины, а не просто инструмента для астрономических приложений. В «Трактате о четырехугольнике» аль-Туси дал первое сохранившееся изложение всей системы плоской и сферической тригонометрии. Эта работа действительно является первой в истории по тригонометрии как независимой ветви чистой математики и первой, в которой изложены все шесть случаев для прямоугольного сферического треугольника.
52. Берггрен, Дж. Л. (октябрь 2013 г.). «Исламская математика» . Кембриджская история науки . Издательство Кембриджского университета. стр. 62–83. doi :10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 978-0-511-97400-7.
53. electricpulp.com. "ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. Biography – Encyclopaedia Iranica". www.iranicaonline.org . Получено 05.08.2018 . Его главный вклад в математику (Nasr, 1996, стр. 208-214) считается вкладом в тригонометрию, которая впервые была им составлена ​​как новая самостоятельная дисциплина. Сферическая тригонометрия также обязана своим развитием его усилиям, и это включает в себя концепцию шести основных формул для решения сферических прямоугольных треугольников.
54. Чарльз Г. Симонсон (зима 2000 г.). «Математика Леви бен Гершона, Ралбаг» (PDF) . Бекхол Дерахеха Дэху . 10. Издательство Университета Бар-Илан: 5–21.
55. Бойер 1991, стр. 274.
56. Кац, Виктор Дж. (ноябрь 1987 г.). «Исчисление тригонометрических функций». Historia Mathematica . 14 (4): 311–324. doi : 10.1016/0315-0860(87)90064-4 .. Доказательство Котса упоминается на стр. 315.

Ссылки

• Бойер, Карл Бенджамин (1991). История математики (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Лондон: Penguin Books . ISBN 978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-321-01618-8.
• Katz, Victor J. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небесах и земле . Тайбэй: Caves Books, Ltd.
• Restivo, Sal (1992). Математика в обществе и истории: социологические исследования . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-0039-1.

Дальнейшее чтение

• Браунмюль, Антон фон (1900–1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). Б. Г. Тойбнер.
• Кеннеди, Эдвард С. (1969). «История тригонометрии» . Исторические темы для занятий по математике . Ежегодники NCTM. Том 31. Национальный совет учителей математики. С. 333–375.
• Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения. Princeton University Press. doi :10.1515/9780691202204. ISBN 0691057540. Архивировано из оригинала 2003-07-11.
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). «Тригонометрия». Геометрия по ее истории . Бакалаврские тексты по математике. Springer. С. 113–155. doi :10.1007/978-3-642-29163-0. ISBN 978-3-642-29162-3.
• Ван Бруммелен, Глен (2009). Математика небес и Земли: ранняя история тригонометрии . Princeton University Press.
• Ван Бруммелен, Глен (2021). Доктрина треугольников: история современной тригонометрии . Princeton University Press.