Индуктивность

Свойства электрических проводников

Индуктивность – это способность электрического проводника препятствовать изменению протекающего через него электрического тока . Электрический ток создает магнитное поле вокруг проводника. Напряженность магнитного поля зависит от величины электрического тока и следует за любыми изменениями величины тока. Согласно закону индукции Фарадея , любое изменение магнитного поля в цепи вызывает электродвижущую силу (ЭДС) ( напряжение ) в проводниках — процесс, известный как электромагнитная индукция . Это индуцированное напряжение, создаваемое изменяющимся током, противодействует изменению тока. Об этом говорит закон Ленца , а напряжение называется обратной ЭДС .

Индуктивность определяется как отношение индуцированного напряжения к скорости изменения вызывающего его тока. ^[1] Это константа пропорциональности, которая зависит от геометрии проводников цепи (например, площади и длины поперечного сечения) и магнитной проницаемости проводника и близлежащих материалов. ^[1] Электронный компонент , предназначенный для добавления индуктивности в цепь, называется индуктором . Обычно он состоит из катушки или спирали проволоки.

Термин «индуктивность» был введен Оливером Хевисайдом в мае 1884 года как удобный способ обозначения «коэффициента самоиндукции». ^{[2] [3]} Принято использовать символ индуктивности в честь физика Генриха Ленца . ^{[4] [5]} В системе СИ единицей индуктивности является генри (Гн), который представляет собой величину индуктивности, вызывающую напряжение в один вольт , когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду. ^[6] Единица названа в честь Джозефа Генри , который открыл индуктивность независимо от Фарадея. ^[7] ${\displaystyle L}$

История

История электромагнитной индукции, аспекта электромагнетизма , началась с наблюдений древних: электрического заряда или статического электричества (потирание шелка о янтаре ), электрического тока ( молния ) и магнитного притяжения ( магнит ). Понимание единства этих сил природы и научная теория электромагнетизма были инициированы и достигнуты в 19 веке.

Электромагнитная индукция была впервые описана Майклом Фарадеем в 1831 году. ^{[8] [9]} В эксперименте Фарадея он обернул два провода вокруг противоположных сторон железного кольца. Он ожидал, что, когда ток начнет течь по одному проводу, своего рода волна пройдет через кольцо и вызовет электрический эффект на противоположной стороне. Используя гальванометр , он наблюдал переходный ток во второй катушке провода каждый раз, когда батарея подключалась или отключалась от первой катушки. ^[10] Этот ток был вызван изменением магнитного потока , которое происходило при подключении и отключении батареи. ^[11] Фарадей обнаружил несколько других проявлений электромагнитной индукции. Например, он видел переходные токи, когда быстро вставлял и вынимал стержневой магнит из катушки с проводами, и генерировал постоянный (постоянный ) ток, вращая медный диск рядом со стержневым магнитом с помощью скользящего электрического вывода (« Диск Фарадея»). "). ^[12]

Источник индуктивности

Ток , текущий через проводник, создает вокруг проводника магнитное поле , которое описывается законом цепи Ампера . Полный магнитный поток через цепь равен произведению перпендикулярной составляющей плотности магнитного потока и площади поверхности, охватывающей путь тока. Если ток изменяется, магнитный поток через цепь изменяется. По закону индукции Фарадея любое изменение потока в цепи вызывает в цепи электродвижущую силу (ЭДС, ) , пропорциональную скорости изменения потока. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$$

Знак минус в уравнении указывает на то, что индуцированное напряжение имеет направление, противоположное изменению тока, вызвавшему его; это называется законом Ленца . Поэтому потенциал называется обратной ЭДС . Если ток увеличивается, напряжение положительное на конце проводника, через который ток поступает, и отрицательное на конце, через который он выходит, что имеет тенденцию к уменьшению тока. Если ток уменьшается, напряжение на том конце, через который ток выходит из проводника, положительное, стремясь сохранить ток. Самоиндукция, обычно называемая просто индуктивностью, представляет собой соотношение между наведенным напряжением и скоростью изменения тока. ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$$

Таким образом, индуктивность — это свойство проводника или цепи, обусловленное его магнитным полем, которое имеет тенденцию противодействовать изменениям тока в цепи. Единицей индуктивности в системе СИ является генри (Гн), названный в честь Джозефа Генри , который представляет собой величину индуктивности, которая генерирует напряжение в один вольт , когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду.

Все проводники обладают некоторой индуктивностью, которая может иметь как желательные, так и вредные последствия для практических электрических устройств. Индуктивность цепи зависит от геометрии пути тока и от магнитной проницаемости близлежащих материалов; ферромагнитные материалы с более высокой проницаемостью, такие как железо , вблизи проводника имеют тенденцию увеличивать магнитное поле и индуктивность. Любое изменение цепи, которое увеличивает поток (общее магнитное поле) через цепь, создаваемое данным током, увеличивает индуктивность, поскольку индуктивность также равна отношению магнитного потока к току ^{[13] [14] [15] [16 ] ]}

$${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$$

Индуктор — это электрический компонент , состоящий из проводника , форма которого увеличивает магнитный поток и добавляет индуктивность в цепь. Обычно он состоит из проволоки, намотанной в катушку или спираль . Витой провод имеет более высокую индуктивность, чем прямой провод той же длины, поскольку линии магнитного поля проходят через цепь несколько раз, и он имеет несколько потокосцеплений . Индуктивность пропорциональна квадрату числа витков катушки при условии полной потокосцепления.

Индуктивность катушки можно увеличить, поместив магнитопровод из ферромагнитного материала в отверстие в центре. Магнитное поле катушки намагничивает материал сердечника, выравнивая его магнитные домены , а магнитное поле сердечника добавляется к магнитному полю катушки, увеличивая поток через катушку. Это называется индуктором с ферромагнитным сердечником . Магнитный сердечник может увеличить индуктивность катушки в тысячи раз.

Если несколько электрических цепей расположены близко друг к другу, магнитное поле одной может проходить через другую; в этом случае говорят, что цепи индуктивно связаны . Согласно закону индукции Фарадея , изменение тока в одной цепи может вызвать изменение магнитного потока в другой цепи и, таким образом, индуцировать напряжение в другой цепи. В этом случае понятие индуктивности можно обобщить, определив взаимную индуктивность цепи и цепи как отношение напряжения, индуцируемого в цепи , к скорости изменения тока в цепи . Это принцип работы трансформатора . ${\displaystyle M_{k,\ell }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k}$Свойство, описывающее воздействие одного проводника на самого себя, точнее называется самоиндукцией , а свойства, описывающие воздействие одного проводника с изменяющимся током на соседние проводники, — взаимной индуктивностью . ^[17]

Самоиндукция и магнитная энергия

Если ток через проводник с индуктивностью увеличивается, в проводнике индуцируется напряжение с полярностью, противоположной току, в дополнение к любому падению напряжения, вызванному сопротивлением проводника. Заряды, протекающие по цепи, теряют потенциальную энергию. Энергия внешней цепи, необходимая для преодоления этого «потенциального холма», сохраняется в увеличенном магнитном поле вокруг проводника. Следовательно, индуктор сохраняет энергию в своем магнитном поле. В любой момент времени мощность , втекающая в магнитное поле, равная скорости изменения запасенной энергии , является произведением тока и напряжения на проводнике ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$$

Из (1) выше

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}}$$

Когда нет тока, нет магнитного поля и запасенная энергия равна нулю. Если пренебречь резистивными потерями, энергия (измеренная в джоулях , в СИ ), запасенная индуктивностью с током через нее, равна количеству работы, необходимой для установления тока через индуктивность из нуля, а значит, и магнитного поля. Это дается: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$$

Если индуктивность постоянна во всем диапазоне тока, запасенная энергия равна ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle L(i)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}}$$

Таким образом, индуктивность также пропорциональна энергии, запасенной в магнитном поле для данного тока. Эта энергия сохраняется до тех пор, пока ток остается постоянным. Если ток уменьшается, магнитное поле уменьшается, индуцируя напряжение в проводнике в противоположном направлении: отрицательное на том конце, через который поступает ток, и положительное на том конце, через который он выходит. Это возвращает накопленную магнитную энергию во внешнюю цепь.

Если ферромагнитные материалы расположены рядом с проводником, например, в индукторе с магнитным сердечником , приведенное выше уравнение постоянной индуктивности справедливо только для линейных областей магнитного потока, при токах ниже уровня, при котором ферромагнитный материал насыщается , где индуктивность примерно постоянна. Если магнитное поле в индукторе приближается к уровню насыщения сердечника, индуктивность начинает изменяться с током, и необходимо использовать интегральное уравнение.

Индуктивное реактивное сопротивление

Кривые напряжения ( , синий) ${\displaystyle v}$ и тока ( , красный) ${\displaystyle i}$ в идеальном индукторе, к которому подан переменный ток. Ток отстает от напряжения на 90°.

Когда синусоидальный переменный ток (AC) проходит через линейную индуктивность, наведенная обратная ЭДС также имеет синусоидальную форму. Если ток через индуктивность равен , из (1) выше напряжение на ней равно ${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

где – амплитуда (пиковое значение) синусоидального тока в амперах, – угловая частота переменного тока, где – его частота в герцах , – индуктивность. ${\displaystyle I_{\text{peak}}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

Таким образом, амплитуда (пиковое значение) напряжения на индуктивности равна

$${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$$

Индуктивное реактивное сопротивление — это сопротивление индуктора переменному току. ^[21] Оно определяется аналогично электрическому сопротивлению в резисторе, как отношение амплитуды ( пикового значения) переменного напряжения к току в составляющей

$${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$$

Реактивное сопротивление измеряется в омах . Можно видеть, что индуктивное реактивное сопротивление дросселя увеличивается пропорционально частоте , поэтому дроссель проводит меньший ток для данного приложенного переменного напряжения по мере увеличения частоты. Поскольку индуцированное напряжение является наибольшим при увеличении тока, формы сигналов напряжения и тока не совпадают по фазе ; пики напряжения возникают раньше в каждом цикле, чем пики тока. Разность фаз между током и индуцированным напряжением составляет радиан или 90 градусов, что показывает, что в идеальном индукторе ток отстает от напряжения на 90 градусов . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Расчет индуктивности

В самом общем случае индуктивность можно рассчитать по уравнениям Максвелла. Многие важные случаи можно решить с помощью упрощений. Если рассматриваются высокочастотные токи со скин-эффектом , плотности поверхностного тока и магнитного поля можно получить путем решения уравнения Лапласа . Если проводниками являются тонкие провода, самоиндукция по-прежнему зависит от радиуса провода и распределения тока в проводе. Это распределение тока примерно постоянно (на поверхности или в объеме провода) для радиуса провода, намного меньшего, чем другие масштабы длины.

Индуктивность прямого одиночного провода

На практике более длинные провода имеют большую индуктивность, а более толстые — меньшую, что аналогично их электрическому сопротивлению (хотя зависимости не являются линейными и по своему характеру отличаются от связей длины и диаметра с сопротивлением).

Отделение провода от других частей схемы вносит неизбежные ошибки в результаты любых формул. Эти индуктивности часто называют «частичными индуктивностями», отчасти для того, чтобы побудить учитывать другие вклады в индуктивность всей цепи, которые опускаются.

Практические формулы

Вывод приведенных ниже формул см. в Rosa (1908). ^[22] Полная низкочастотная индуктивность (внутренняя и внешняя) прямого провода равна:

$${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$$

где

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$- «низкочастотная» или индуктивность постоянного тока в наногенри (нГн или 10 ^-9 Гн),
• ${\displaystyle \ell }$длина провода в метрах,
• ${\displaystyle r}$— радиус провода в метрах (следовательно, очень маленькое десятичное число),
• константа – это проницаемость свободного пространства , обычно называемая , деленная на ; при отсутствии магнитореактивной изоляции значение 200 является точным при использовании классического определения µ ₀ = ${\displaystyle 200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$4π × 10 ⁻⁷  H/m и с поправкой до 7 десятичных знаков при использовании переопределенного в 2019 году значения SI, равного μ ₀ =1,256 637 062 12 (19) × 10 ^-6  H /м .

Константа 0,75 — это всего лишь одно из нескольких значений параметра; разные диапазоны частот, разные формы или чрезвычайно длинные провода требуют немного другой константы (см. ниже). Этот результат основан на предположении, что радиус намного меньше длины , что является обычным случаем для проводов и стержней. Диски или толстые цилиндры имеют немного другие формулы. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

На достаточно высоких частотах скин-эффекты приводят к исчезновению внутренних токов, оставляя только токи на поверхности проводника; тогда индуктивность переменного тока определяется по очень похожей формуле: ${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

$${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$$

${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r}$

На примере из повседневного опыта всего лишь один из проводников лампового шнураДлина 10 м , сделанная из провода 18  AWG , будет иметь индуктивность всего около19 мкГн , если вытянут прямо.

Взаимная индуктивность двух параллельных прямых проводов

Следует рассмотреть два случая:

1. Ток течет в одном и том же направлении по каждому проводу, и
2. ток течет в противоположных направлениях по проводам.

Токи в проводах не обязательно должны быть равными, хотя часто они бывают равными, как в случае полной цепи, где один провод является источником, а другой — обраткой.

Взаимная индуктивность двух проводных контуров

Это обобщенный случай парадигматической двухконтурной цилиндрической катушки, по которой течет однородный низкочастотный ток; петли представляют собой независимые замкнутые цепи, которые могут иметь разную длину, любую ориентацию в пространстве и проводить разные токи. Тем не менее, члены погрешности, которые не включены в интеграл, малы только в том случае, если геометрия контуров в основном гладкая и выпуклая: они не должны иметь слишком много изломов, острых углов, витков, пересечений, параллельных сегментов, вогнутых полостей или другие топологически «близкие» деформации. Необходимым предикатом для сведения формулы интегрирования трехмерного многообразия к интегралу двойной кривой является то, что пути тока представляют собой нитевидные цепи, то есть тонкие провода, радиус которых пренебрежимо мал по сравнению с его длиной.

Взаимная индуктивность нитевой цепи по нитевой цепи определяется двойной интегральной формулой Неймана ^[23] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

где

${\displaystyle C_{m}}$и – кривые, за которыми следуют провода. ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$— проницаемость свободного пространства ( 4 π ×10 ⁻⁷ H/m )

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$— небольшое приращение провода в цепи C _м

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$это положение в пространстве ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$— небольшое приращение провода в цепи C _n

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$это положение в пространстве. ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$

Вывод

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

где

• ${\displaystyle I_{j}}$— ток через й провод, этот ток создает магнитный поток через ю поверхность ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$— магнитный поток через i- ю поверхность, обусловленный электрической цепью, описанной : ^[24] ${\displaystyle C_{j}}$

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

где

• ${\displaystyle C_{i}}$– кривая, охватывающая поверхность ; и – любая произвольная ориентируемая область с краем ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{j}}$— вектор магнитного поля , обусловленный -м током (цепи ). ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C_{j}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$— векторный потенциал , обусловленный -м током. ${\displaystyle j}$

Теорема Стокса использовалась для третьего шага равенства. На последнем этапе равенства мы использовали выражение запаздывающего потенциала для и игнорируем эффект запаздывающего времени (предполагая, что геометрия цепей достаточно мала по сравнению с длиной волны тока, который они несут). На самом деле это шаг аппроксимации, который справедлив только для локальных цепей из тонких проводов. ${\displaystyle A_{j}}$

Самоиндукция проволочной петли

Формально самоиндукция проволочной петли будет определяться приведенным выше уравнением, однако здесь она становится бесконечной, что приводит к логарифмически расходящемуся интегралу. ^[a] Это требует учета конечного радиуса провода и распределения тока в проводе. Остается вклад интеграла по всем точкам и поправочный член ^[25] ${\displaystyle \ m=n\ .}$ ${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

где

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$и – расстояния вдоль кривых и соответственно ${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$ ${\displaystyle \ C\ }$ ${\displaystyle \ C'\ }$

${\displaystyle \ a\ }$это радиус провода

${\displaystyle \ \ell \ }$это длина провода

${\displaystyle \ Y\ }$– константа, зависящая от распределения тока в проводе:

${\displaystyle \ Y=0\ }$когда ток течет по поверхности провода (общий скин-эффект ),

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$когда ток равномерно распределяется по сечению провода.

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$— это ошибка, размер которой зависит от кривой цикла:

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$когда петля имеет острые углы, и

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$когда это плавная кривая.

Оба они малы, если длина провода превышает его радиус.

Индуктивность соленоида

Соленоид — это длинная тонкая катушка; т. е. катушка, длина которой намного больше ее диаметра. В этих условиях и без использования какого-либо магнитного материала плотность магнитного потока внутри катушки практически постоянна и определяется выражением ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

где магнитная постоянная , количество витков, ток и длина катушки. Пренебрегая конечными эффектами, общий магнитный поток через катушку получается умножением плотности потока на площадь поперечного сечения : ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

Если это объединить с определением индуктивности , то получится, что индуктивность соленоида определяется выражением: ${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

Следовательно, для катушек с воздушным сердечником индуктивность зависит от геометрии катушки и количества витков и не зависит от тока.

Индуктивность коаксиального кабеля

Пусть внутренний проводник имеет радиус и проницаемость , пусть диэлектрик между внутренним и внешним проводником имеет проницаемость , и пусть внешний проводник имеет внутренний радиус , внешний радиус и проницаемость . Однако для типичного применения коаксиальной линии мы заинтересованы в передаче сигналов (не постоянного тока) на частотах, для которых нельзя пренебрегать резистивным скин-эффектом . В большинстве случаев члены внутреннего и внешнего проводника пренебрежимо малы, и в этом случае можно аппроксимировать ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle r_{o1}}$ ${\displaystyle r_{o2}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

Индуктивность многослойных катушек

Наиболее практичными индукторами с воздушным сердечником являются многослойные цилиндрические катушки с квадратным поперечным сечением, позволяющие минимизировать среднее расстояние между витками (круглое сечение было бы лучше, но его сложнее формировать).

Магнитные сердечники

Многие индукторы имеют магнитный сердечник в центре обмотки или частично вокруг нее. В достаточно большом диапазоне они демонстрируют нелинейную проницаемость с такими эффектами, как магнитное насыщение . Насыщение делает результирующую индуктивность функцией приложенного тока.

Секущая индуктивность или индуктивность с большим сигналом используется при расчете потока. Это определяется как:

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

С другой стороны, дифференциальная индуктивность или индуктивность слабого сигнала используется при расчете напряжения. Он определяется как:

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

Напряжение цепи для нелинейного индуктора получается через дифференциальную индуктивность, как показано законом Фарадея и цепным правилом исчисления.

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

Аналогичные определения можно получить и для нелинейной взаимной индуктивности.

Взаимная индуктивность

Взаимная индуктивность определяется как отношение ЭДС, наведенной в одном контуре или катушке, к скорости изменения тока в другом контуре или катушке. Взаимная индуктивность обозначается символом М.

Вывод взаимной индуктивности

Приведенные выше уравнения индуктивности являются следствием уравнений Максвелла . Для важного случая электрических цепей, состоящих из тонких проводов, вывод прост.

В системе проволочных петель, каждая из которых имеет один или несколько витков, потокосвязь петли , , определяется выражением ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{m}}$

$${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

Здесь обозначает количество витков в цикле ; – магнитный поток через контур ; и некоторые константы, описанные ниже. Это уравнение следует из закона Ампера : магнитные поля и потоки являются линейными функциями токов . По закону индукции Фарадея имеем ${\displaystyle N_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

где обозначает напряжение, индуцируемое в цепи . Это согласуется с определением индуктивности, приведенным выше, если коэффициенты отождествляются с коэффициентами индуктивности. Из того, что в него вносят свой вклад и суммарные токи, следует, что он пропорционален произведению витков . ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

Взаимная индуктивность и энергия магнитного поля

Умножение приведенного выше уравнения для v _m на im _dt и суммирование по m дает энергию , переданную системе за интервал времени dt :

$${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

Это должно согласовываться с изменением энергии магнитного поля W , вызванным токами. ^[26] Условие интегрируемости

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

требуется L _m,n  = L _n,m . Таким образом , матрица индуктивности L _m,n является симметричной. Интеграл передачи энергии — это энергия магнитного поля как функция токов:

$${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

Это уравнение также является прямым следствием линейности уравнений Максвелла. Полезно связать изменение электрического тока с увеличением или уменьшением энергии магнитного поля. Соответствующая передача энергии требует или генерирует напряжение. Механическая аналогия в случае K  = 1 с энергией магнитного поля (1/2) Li ² представляет собой тело с массой M , скоростью u и кинетической энергией (1/2) Mu ² . Скорость изменения скорости (тока), умноженная на массу (индуктивность), требует или генерирует силу (электрическое напряжение).

Принципиальная схема двух взаимно связанных индукторов. Две вертикальные линии между обмотками указывают на то, что трансформатор имеет ферромагнитный сердечник . «n:m» показывает соотношение количества витков левого индуктора к количеству витков правого индуктора. На этом рисунке также показано соглашение о точках .

Взаимная индуктивность возникает, когда изменение тока в одном индукторе индуцирует напряжение в другом соседнем индукторе. Он важен как механизм работы трансформаторов , но также может вызвать нежелательное соединение между проводниками в цепи.

Взаимная индуктивность также является мерой связи между двумя индукторами. Взаимная индуктивность по цепи на цепи определяется двойной интегральной формулой Неймана , см. методику расчета. ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Взаимная индуктивность также имеет зависимость:

$${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$

• ${\displaystyle M_{21}}$— взаимная индуктивность, а нижний индекс указывает зависимость напряжения, наведенного в катушке 2, от тока в катушке 1.
• ${\displaystyle N_{1}}$- количество витков в катушке 1,
• ${\displaystyle N_{2}}$- количество витков в катушке 2,
• ${\displaystyle P_{21}}$– проницаемость пространства, занимаемого потоком.

Как только взаимная индуктивность определена, ее можно использовать для прогнозирования поведения цепи: ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$

• ${\displaystyle v_{1}}$– напряжение на интересующем индукторе;
• ${\displaystyle L_{1}}$– индуктивность интересующего индуктора;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t}$является производной по времени тока через интересующий индуктор, обозначенный цифрой 1;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t}$— производная по времени тока через индуктор, обозначенный цифрой 2, который подключен к первому индуктору; и
• ${\displaystyle M}$это взаимная индуктивность.

Знак минус возникает из-за того, что ток определен на диаграмме. Если оба тока определены в точках , знак будет положительным (вместо этого уравнение будет читаться со знаком плюс). ^[27] ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Коэффициент связи

Коэффициент связи представляет собой отношение фактического коэффициента напряжения холостого хода к коэффициенту, который был бы получен, если бы весь поток перешел от одной магнитной цепи к другой. Коэффициент связи связан с взаимной индуктивностью и самоиндукцией следующим образом. Из двух одновременных уравнений, выраженных в двухполюсной матрице, коэффициент трансформации холостого хода определяется как:

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$

• ${\displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

в то время как отношение, если весь поток связан, является соотношением витков, следовательно, отношением квадратного корня из индуктивностей

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

таким образом,

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$

• ${\displaystyle k}$коэффициент связи ,
• ${\displaystyle L_{1}}$- индуктивность первой катушки, а
• ${\displaystyle L_{2}}$- индуктивность второй катушки.

Коэффициент связи — удобный способ указать связь между определенной ориентацией катушек индуктивности с произвольной индуктивностью. Большинство авторов определяют диапазон как , но некоторые ^[28] определяют его как . Допуск отрицательных значений фиксирует инверсию фаз соединений катушек и направления обмоток. ^[29] ${\displaystyle 0\leq k<1}$ ${\displaystyle -1<k<1\,}$ ${\displaystyle k}$

Матричное представление

Взаимно связанные индукторы могут быть описаны любым из представлений матрицы параметров двухполюсной сети . Наиболее прямыми являются параметры z , которые определяются формулами

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}}$$

где – комплексная частотная переменная, – индуктивности первичной и вторичной катушек соответственно, – взаимная индуктивность между катушками. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Эквивалентные схемы

Т-образная схема

T эквивалентная схема взаимно связанных катушек индуктивности

Взаимно связанные индукторы могут быть эквивалентно представлены Т-образной цепью индукторов, как показано. Если связь сильная и индукторы имеют неравные значения, то последовательный индуктор на понижающей стороне может принять отрицательное значение.

Это можно проанализировать как сеть с двумя портами. Когда выходной сигнал имеет произвольное сопротивление , коэффициент усиления по напряжению определяется выражением: ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{v}}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$$

где – константа связи, а – комплексная частотная переменная, как указано выше. Для сильно связанных индукторов, где это значение сводится к ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$$

который не зависит от сопротивления нагрузки. Если индукторы намотаны на одном и том же сердечнике и имеют одинаковую геометрию, то это выражение равно соотношению витков двух индукторов, поскольку индуктивность пропорциональна квадрату соотношения витков.

Входное сопротивление сети определяется выражением:

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}$$

Ибо это сводится к ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}$$

Таким образом, коэффициент усиления по току не зависит от нагрузки, если только не выполняется дальнейшее условие ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$$

выполняется, и в этом случае

$${\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$$

и

$${\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}$$

π-схема

π- эквивалентная схема связанных катушек индуктивности

Альтернативно, две связанные катушки индуктивности можно смоделировать с использованием π- эквивалентной схемы с дополнительными идеальными трансформаторами на каждом порту. Хотя схема сложнее, чем Т-образная, ее можно обобщить ^[30] на схемы, состоящие из более чем двух связанных индукторов. Элементы эквивалентной схемы , имеют физический смысл, моделируя соответственно магнитные сопротивления путей связи и магнитные сопротивления путей утечки . Например, электрические токи, протекающие через эти элементы, соответствуют магнитным потокам связи и рассеяния . Идеальные трансформаторы нормализуют все самоиндукции до 1 Генри, чтобы упростить математические формулы. ${\displaystyle L_{\text{s}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$

Эквивалентные значения элементов схемы можно рассчитать по коэффициентам связи с помощью

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}}$$

где матрица коэффициентов связи и ее кофакторы определяются как

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$и ${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

Для двух связанных индукторов эти формулы упрощаются до

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$и ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

и для трех связанных индукторов (для краткости показаны только для и ) ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p1}}}$

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$и ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

Резонансный трансформатор

Когда к одной обмотке трансформатора подключают конденсатор, образуя настроенную цепь (резонансную цепь), такой трансформатор называется однонастроенным. Когда к каждой обмотке подключен конденсатор, это называется трансформатором с двойной настройкой . Эти резонансные трансформаторы могут хранить колеблющуюся электрическую энергию подобно резонансному контуру и, таким образом, функционировать как полосовой фильтр , позволяя частотам, близким к их резонансной частоте , проходить от первичной обмотки к вторичной, но блокируя другие частоты. Величина взаимной индуктивности между двумя обмотками вместе с добротностью цепи определяют форму кривой частотной характеристики. Преимущество трансформатора с двойной настройкой состоит в том, что он может иметь более широкую полосу пропускания, чем простая настроенная схема. Связь дважды настроенных цепей описывается как слабая, критическая или сверхсвязанная в зависимости от значения коэффициента связи . Когда две настроенные цепи слабо связаны друг с другом через взаимную индуктивность, полоса пропускания узкая. По мере увеличения взаимной индуктивности полоса пропускания продолжает расти. Когда взаимная индуктивность увеличивается за пределы критической связи, пик кривой частотной характеристики разделяется на два пика, и по мере увеличения связи эти два пика расходятся дальше друг от друга. Это известно как сверхсвязь. ${\displaystyle k}$

Саморезонансные катушки с сильной связью можно использовать для беспроводной передачи энергии между устройствами на средних расстояниях (до двух метров). ^[31] Для высокого процента передаваемой мощности необходима сильная связь, что приводит к пиковому расщеплению частотной характеристики. ^{[32] [33]}

Идеальные трансформаторы

Когда индуктор называется тесно связанным. Если к тому же самоиндукции стремятся к бесконечности, дроссель становится идеальным трансформатором . В этом случае напряжения, токи и число витков могут быть связаны следующим образом: ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$$

• ${\displaystyle V_{\text{s}}}$- напряжение на вторичной катушке индуктивности,
• ${\displaystyle V_{\text{p}}}$- напряжение на первичном индукторе (тот, который подключен к источнику питания),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$- количество витков вторичной катушки индуктивности, а
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$— число витков первичного индуктора.

И наоборот, ток:

$${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$$

• ${\displaystyle I_{\text{s}}}$- ток через вторичный индуктор,
• ${\displaystyle I_{\text{p}}}$- ток через первичный индуктор (тот, который подключен к источнику питания),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$- количество витков вторичной катушки индуктивности, а
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$— число витков первичного индуктора.

Мощность через один индуктор такая же, как мощность через другой. В этих уравнениях не учитываются любые воздействия со стороны источников тока или источников напряжения.

Самоиндукция тонких проволок

В таблице ниже приведены формулы самоиндукции различных простых форм из тонких цилиндрических проводников (проводов). Как правило, они точны только в том случае, если радиус провода намного меньше размеров формы и если поблизости нет ферромагнитных материалов (нет магнитного сердечника ). ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Y}$— приблизительно постоянная величина от 0 до 1, зависящая от распределения тока в проводе: когда ток течет только по поверхности провода (полный скин-эффект ), когда ток равномерно распределяется по сечению провода провод ( постоянный ток ). Для круглых проводов Роза (1908) дает формулу, эквивалентную: ^[22] ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle Y=1}$

$${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}}$$

где

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$– угловая частота, радиан в секунду;
• ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}}$– чистая магнитная проницаемость провода;
• ${\displaystyle \sigma }$– удельная проводимость провода; и
• ${\displaystyle a}$это радиус провода.

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$представляет собой небольшие термины, которые были исключены из формулы, чтобы сделать ее проще. Прочтите этот термин как «плюс небольшие поправки, которые варьируются порядка » (см. большое обозначение О ). ${\displaystyle {}+{\mathcal {O}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Электромагнитная индукция
• Гиратор
• Гидравлическая аналогия
• Индуктивность утечки
• Схема LC , Схема RLC , Схема RL
• Кинетическая индуктивность

Сноски

1. Интеграл называется «логарифмически расходящимся», потому что при , следовательно, он приближается к бесконечности, как логарифм, аргумент которого приближается к бесконечности. ${\displaystyle \ \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln(x)\ }$ ${\displaystyle \ x>0\ }$

Рекомендации

1. Сервей, А. Раймонд; Джуэтт, Джон В.; Уилсон, Джейн; Уилсон, Анна; Роулендс, Уэйн (2017). «Индуктивность». Физика для ученых и инженеров мира (2-е изд.). Сенгаге AU. п. 901. ИСБН 9780170355520.
2. Бейкер, Эдвард Сесил (1976). Сэр Уильям Прис, FRS: выдающийся инженер Викторианской эпохи . Хатчинсон. п. 204. ИСБН 9780091266103..
3. Хевисайд, Оливер (1894). «Индукция токов в сердечниках». Электротехническая документация, Vol. 1 . Лондон: Макмиллан. п. 354.
4. Элерт, Гленн. «Гиперучебник физики: Индуктивность» . Проверено 30 июля 2016 г.
5. Дэвидсон, Майкл В. (1995–2008). «Молекулярные выражения: электричество и магнетизм. Введение: индуктивность».
6. Le Système International d'Unités [ Международная система единиц ] (PDF) (на французском и английском языках) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, 2019, ISBN 978-92-822-2272-0, п. 160
7. «Краткая история электромагнетизма» (PDF) .
8. Улаби, Фавваз (2007). Основы прикладной электромагнетики (5-е изд.). Пирсон / Прентис Холл. п. 255. ИСБН 978-0-13-241326-8.
9. "Джозеф Генри". Галерея почетных членов Национальной академии наук . Архивировано из оригинала 13 декабря 2013 г. Проверено 30 ноября 2006 г.
10. Пирс Уильямс, Л. (1971). Майкл Фарадей: Биография . Саймон и Шустер. стр. 182–183. ISBN 9780671209292.
11. Джанколи, Дуглас К. (1998). Физика: принципы с приложениями (Пятое изд.). стр. 623–624.
12. Пирс Уильямс, Л. (1971). Майкл Фарадей: Биография . Саймон и Шустер. стр. 191–195. ISBN 9780671209292.
13. Сингх, Ядувир (2011). Теория электромагнитного поля. Пирсон Образовательная Индия. п. 65. ИСБН 978-8131760611.
14. Вадхва, CL (2005). Электроэнергетические системы. Нью Эйдж Интернэшнл. п. 18. ISBN 8122417221.
15. Пельковиц, Роберт А.; Фаркас, Джош (2007). Barron's AP Physics Образовательная серия C. Barron's. п. 646. ИСБН 978-0764137105.
16. Перселл, Эдвард М.; Морин, Дэвид Дж. (2013). Электричество и магнетизм. Кембриджский университет. Нажимать. п. 364. ИСБН 978-1107014022.
17. Сирс и Земанский 1964:743
18. Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2012). Принципы физики: текст, основанный на исчислении, 5-е изд. Cengage Обучение. стр. 801–802. ISBN 978-1133104261.
19. Ида, Натан (2007). Инженерная электромагнетика, 2-е изд. Springer Science and Business Media. п. 572. ИСБН 978-0387201566.
20. Перселл, Эдвард (2011). Электричество и магнетизм, 2-е изд. Издательство Кембриджского университета. п. 285. ИСБН 978-1139503556.
21. Гейтс, Эрл Д. (2001). Введение в электронику. Cengage Обучение. п. 153. ИСБН 0766816982.
22. Роза, Э.Б. (1908). «Собственная и взаимная индуктивность линейных проводников». Бюллетень Бюро стандартов . Бюро стандартов США . 4 (2): 301 и далее. дои : 10.6028/бюллетень.088 .
23. Нойманн, FE (1846). «Allgemeine Gesetze der inducirten elektrischen Ströme» [Общие правила для индуцированных электрических токов]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). Уайли. 143 (1): 31–44. Бибкод : 1846АнП...143...31Н. дои : 10.1002/andp.18461430103. ISSN  0003-3804.
24. Джексон, JD (1975). Классическая электродинамика . Уайли. стр. 176, 263. ISBN. 9780471431329.
25. Денглер, Р. (2016). «Самоиндукция проволочной петли как интеграл кривой». Продвинутая электромагнетика . 5 (1): 1–8. arXiv : 1204.1486 . Бибкод : 2016АдЭл....5....1D. дои : 10.7716/aem.v5i1.331. S2CID  53583557.
26. Кинетическая энергия дрейфующих электронов на много порядков меньше W, за исключением нанопроволок.
27. Нахви, Махмуд; Администратор, Джозеф (2002). Очерк теории и проблем электрических цепей Шаума. МакГроу-Хилл Профессионал. п. 338. ИСБН 0-07-139307-2.
28. Тиерауф, Стивен С. (2004). Целостность сигнала высокоскоростной печатной платы . Артех Хаус. п. 56. ИСБН 1580538460.
29. Ким, Сок; Ким, Шин Э; Юнг, Гоын; Квон, Ки-Вон; Чун, Юнг-Хун (2009). «Проектирование надежного широкополосного устройства ввода-вывода с использованием Т-катушки». JSTS: журнал полупроводниковых технологий и науки . 9 (4): 198–204. doi :10.5573/JSTS.2009.9.4.198. S2CID  56413251.
30. Радецкий, Анджей; Юань, Юйсян; Миура, Нориюки; Айкава, Иори; Возьми, Ясухиро; Исикуро, Хироки; Курода, Тадахиро (2012). «Одновременная передача данных со скоростью 6 Гбит / с и мощностью 10 мВт с использованием вложенных катушек клевера для бесконтактной карты памяти». Журнал IEEE твердотельных схем . 47 (10): 2484–2495. Бибкод : 2012IJSSC..47.2484R. дои :10.1109/JSSC.2012.2204545. S2CID  29266328.
31. Курс, А.; Каралис, А.; Моффатт, Р.; Джоаннопулос, доктор юридических наук; Фишер, П.; Солячич, М. (6 июля 2007 г.). «Беспроводная передача энергии посредством сильносвязанного магнитного резонанса». Наука . 317 (5834): 83–86. Бибкод : 2007Sci...317...83K. CiteSeerX 10.1.1.418.9645 . дои : 10.1126/science.1143254. PMID  17556549. S2CID  17105396. 
32. Образец, Алансон П.; Мейер, Д.А.; Смит, младший (2011). «Анализ, экспериментальные результаты и адаптация диапазона магнитно-связанных резонаторов для беспроводной передачи энергии». Транзакции IEEE по промышленной электронике . 58 (2): 544–554. дои : 10.1109/TIE.2010.2046002. S2CID  14721.
33. Рендон-Эрнандес, Адриан А.; Халим, Миа А.; Смит, Спенсер Э.; Арнольд, Дэвид П. (2022). «Магнитно-связанные микроэлектромеханические резонаторы для низкочастотной беспроводной передачи энергии». 2022 35-я Международная конференция IEEE по микроэлектромеханическим системам (MEMS) . стр. 648–651. дои : 10.1109/MEMS51670.2022.9699458. ISBN 978-1-6654-0911-7. S2CID  246753151.
34. Уиллер, HA (1942). «Формулы скин-эффекта». Труды ИРЭ . 30 (9): 412–424. дои : 10.1109/JRPROC.1942.232015. S2CID  51630416.
35. Уиллер, HA (1928). «Простые формулы индуктивности для радиокатушек». Труды ИРЭ . 16 (10): 1398–1400. дои : 10.1109/JRPROC.1928.221309. S2CID  51638679.
36. Эллиотт, RS (1993). Электромагнетизм . Нью-Йорк: IEEE Press.Примечание. Опубликованная константа −3 ⁄ 2 в результате для равномерного распределения тока неверна.
37. Гровер, Фредерик В. (1946). Расчеты индуктивности: Рабочие формулы и таблицы . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Общие ссылки

• Фредерик В. Гровер (1952). Расчеты индуктивности . Dover Publications, Нью-Йорк.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
• Вангснесс, Роальд К. (1986). Электромагнитные поля (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-81186-6.
• Хьюз, Эдвард. (2002). Электрические и электронные технологии (8-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-582-40519-Х.
• Купфмюллер К. , Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
• Хевисайд О., Электротехническая документация. Том 1. – Л.; Нью-Йорк: Макмиллан, 1892, с. 429-560.
• Фриц Лэнгфорд-Смит , редактор (1953). Справочник проектировщика радиотрона , 4-е издание, Amalgamated Wireless Valve Company Pty., Ltd. Глава 10, «Расчет индуктивности» (стр. 429–448), включает множество формул и номограмм для катушек, соленоидов и взаимной индуктивности.
• Ф. В. Сирс и М. В. Земанский, 1964 г. , Университетская физика: третье издание (полный том) , Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading MA, LCCC 63-15265 (без ISBN).

Внешние ссылки

• Лаборатория автомобильной электроники Клемсона: калькулятор индуктивности