Функтор

Сопоставление между категориями

В математике , особенно в теории категорий , функтор — это отображение между категориями . Функторы были впервые рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а карты между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым применяется теория категорий .

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. ^[1] Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; ^[2] см. функциональное слово .

Определение

Категория с объектами X, Y, Z и морфизмами f, g, g ∘ f

Функтор должен сохранять композицию морфизмов и ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Пусть C и D — категории . Функтор F из C в D — это отображение, которое [ ^3]

• связывает каждый объект в C с объектом в D , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• сопоставляет каждому морфизму в C морфизму в D такой, что выполняются следующие два условия: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$для каждого объекта в C , ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$для всех морфизмов и в C . ${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.

Ковариантность и контравариантность

В математике существует множество конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «обратят композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

• связывает каждый объект в C с объектом в D , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• сопоставляет каждому морфизму в C морфизм в D такой, что выполняются следующие два условия: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$для каждого объекта в C , ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$для всех морфизмов и в C . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обычные функторы также называются ковариантными , чтобы отличить их от контравариантных. Обратите внимание, что контравариантный функтор можно также определить как ковариантный функтор противоположной категории . ^[4] Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать, что это контравариантный функтор, они просто пишут (или иногда ) и называют его функтором. ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$ ${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами . ^[5]

Существует соглашение, которое называет «векторы» — т. е. векторные поля , элементы пространства сечений касательного расслоения — «контравариантными», а «ковекторы» — т. е. 1-формы — элементы пространства сечений касательного расслоения. кокасательное расслоение — как «ковариантное». Эта терминология возникла в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях , как for или for . В этом формализме замечено, что символ преобразования координат (представляющий матрицу ) на «ковекторные координаты» действует «так же», как и на базисные векторы: — тогда как на «векторные координаты» действует «противоположно» (но «так же», как на базисные ковекторы: ) . Эта терминология противоречит той, которая используется в теории категорий, поскольку именно ковекторы в целом имеют откат и, таким образом, являются контравариантными , тогда как векторы в целом являются ковариантными, поскольку их можно сдвигать вперед . См. также Ковариантность и контравариантность векторов . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

Противоположный функтор

Каждый функтор порождает противоположный функтор , где и — категории , противоположные и . ^[6] По определению, отображает объекты и морфизмы так же, как и . Поскольку не совпадает с как категория и аналогично для отличается от . Например, при создании композиции с помощью , следует использовать либо , либо . Заметим, что, следуя свойству противоположной категории , . ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$ ${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$ ${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$ ${\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}$

Бифункторы и мультифункторы

Бифунктор (также известный как бинарный функтор ) — это функтор, областью определения которого является категория произведения . Например, функтор Hom имеет тип C ^op × C → Set . Его можно рассматривать как функтор с двумя аргументами. Функтор Hom является естественным примером; он контрвариантен в одном аргументе и ковариантен в другом.

Мультифунктор — это обобщение концепции функтора на n переменных. Так, например, бифунктор — это мультифунктор с n = 2 .

Характеристики

Двумя важными следствиями аксиом функтора являются:

• F преобразует каждую коммутативную диаграмму в C в коммутативную диаграмму в D ;
• если f — изоморфизм в C , то F ( f ) — изоморфизм в D.

Можно составить функторы, т. е. если F — функтор из A в B , а G — функтор из B в C , то можно сформировать составной функтор G ∘ F из A в C. Композиция функторов ассоциативна там, где она определена. Тождественность композиции функторов есть тождественный функтор. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например в категории малых категорий .

Небольшая категория с одним объектом — это то же самое, что и моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композицию в категории — как операцию моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют моноидным гомоморфизмам . Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Примеры

Диаграмма

Для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором . ${\displaystyle D\colon J\to C}$

(Теоретическая категория) предпучок

Для категорий C и J J - предпучок на C является контравариантным функтором . ${\displaystyle D\colon C\to J}$

В особом случае, когда J — это Set , категория множеств и функций, D называется предпучком на C.

Предпучки (в топологическом пространстве)

Если X — топологическое пространство , то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open( X ) при включении. Как и любое частично упорядоченное множество, Open( X ) образует небольшую категорию, добавляя одну стрелку U → V тогда и только тогда, когда . Контравариантные функторы на Open( X ) называются предпучками на X . Например, присваивая каждому открытому множеству U ассоциативную алгебру вещественнозначных непрерывных функций на U , можно получить предпучок алгебр на X. ${\displaystyle U\subseteq V}$

Постоянный функтор

Функтор C → D , который отображает каждый объект C в фиксированный объект X в D и каждый морфизм в C в тождественный морфизм на X . Такой функтор называется константой или функтором выбора .

Эндофунктор

Функтор, который сопоставляет категорию с той же самой категорией; например, полиномиальный функтор .

Функтор тождества

В категории C , записанной 1 _C или id _C , отображает объект в себя и морфизм в себя. Тождественный функтор является эндофунктором.

Диагональный функтор

Диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D ^C , который отправляет каждый объект в D в постоянный функтор этого объекта.

Предельный функтор

Для категории J с фиксированным индексом , если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полно), то предельный функтор C ^J → C присваивает каждому функтору его предел. Существование этого функтора можно доказать, осознав, что он является правосопряженным к диагональному функтору , и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе . Для этого требуется подходящая версия выбранной аксиомы . Аналогичные замечания применимы и к функтору копредела (который присваивает каждому функтору его копредел и является ковариантным).

Функтор степенных наборов

Функтор набора мощности P  : Set → Set отображает каждый набор на его набор мощности и каждую функцию на карту, которая передает ее изображение . Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора степеней , который отправляет на карту, которая отправляет ее обратное изображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Например, если тогда . Предположим и . Тогда это функция, которая отправляет любое подмножество в свое изображение , что в данном случае означает , где обозначает отображение под , поэтому это также можно записать как . Для других значений обратите внимание, что, следовательно, генерируется тривиальная топология на . Также обратите внимание, что хотя функция в этом примере отображается на набор степеней , в общем случае это не обязательно. ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$ ${\displaystyle f(0)=\{\}}$ ${\displaystyle f(1)=X}$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\ }$ ${\displaystyle \{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\ }$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$ ${\displaystyle f(\{0,1\})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Двойное векторное пространство

Отображение, которое ставит в соответствие каждому векторному пространству свое двойственное пространство и каждому линейному отображению свое двойственное или транспонированное пространство, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным полем в себя.

Фундаментальная группа

Рассмотрим категорию точечных топологических пространств , т. е. топологических пространств с выделенными точками. Объекты представляют собой пары ( X , x0 ) , где _X — топологическое пространство, а x0 _— точка в X. Морфизм из ( X , x ₀ ) в ( Y , y ₀ ) задается непрерывным отображением f  : X → Y с f ( x ₀ ) = y ₀ .

_{Для каждого} топологического пространства X с отмеченной точкой x0 можно определить фундаментальную группу _, основанную в _точке x0 , _{обозначаемую} π1 ( X , x0 ) . Это группа гомотопических классов петель, основанных в точке _x0 , с групповой операцией конкатенации. Если f  : X → Y — морфизм точечных пространств , то каждая петля в X с базовой точкой x ₀ может быть составлена ​​с f , чтобы получить петлю в Y с базовой точкой y ₀ . Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем групповой гомоморфизм из π( X , x ₀ ) в π( Y , y ₀ ) . Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп .

В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но они не могут быть составлены, если не имеют общей конечной точки. Таким образом , вместо фундаментальной группы имеется фундаментальный группоид , и эта конструкция является функториальной.

Алгебра непрерывных функций

Контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем присвоения каждому топологическому пространству X алгебры C( X ) всех вещественнозначных непрерывных функций на этом пространстве. Каждое непрерывное отображение f  : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C( f ) : C( Y ) → C( X ) по правилу C( f )( φ ) = φ ∘ f для каждого φ в C( Y ).

Касательные и котангенсные расслоения

Отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение и каждое гладкое отображение в его производную , является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений .

Выполнение этих конструкций поточечно дает касательное пространство , ковариантный функтор из категории заостренных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство является контравариантным функтором, по сути являющимся композицией касательного пространства с двойственным пространством, указанным выше.

Групповые действия/представления

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с единственным объектом, морфизмы которого являются элементами G . Тогда функтор из G в Set представляет собой не что иное , как групповое действие G на конкретном множестве, т. е. G -множестве. Аналогично , функтор из G в категорию векторных пространств Vect K _{является} линейным представлением G. В общем, функтор G → C можно рассматривать как «действие» G на объект в категории C . Если C — группа, то это действие является гомоморфизмом группы.

Алгебры Ли

Сопоставляя каждой вещественной (комплексной) группе Ли ее вещественную (комплексную) алгебру Ли, мы определяем функтор.

Тензорные продукты

Если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями в качестве морфизмов, то тензорное произведение определяет функтор C × C → C , который является ковариантным по обоим аргументам. ^[7] ${\displaystyle V\otimes W}$

Забывчивые функторы

Функтор U  : Grp → Set , который отображает группу в ее основной набор, а гомоморфизм группы в ее основную функцию множеств, является функтором. ^[8] Подобные функторы, которые «забывают» некоторую структуру, называются забывчивыми функторами . Другим примером является функтор Rng → Ab , который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу . Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмы абелевых групп).

Свободные функторы

В противоположном направлении от забывчивых функторов действуют свободные функторы. Свободный функтор F  : Set → Grp отправляет каждое множество X в свободную группу , порожденную X. Функции отображаются в групповые гомоморфизмы между свободными группами. Для многих категорий существуют свободные конструкции, основанные на структурированных множествах. Посмотреть свободный объект .

Группы гомоморфизмов

Каждой паре абелевых групп A , B можно сопоставить абелеву группу Hom( A , B ) , состоящую из всех гомоморфизмов групп из A в B. Это функтор, контравариантный по первому и ковариантный по второму аргументу, т. е. функтор Ab ^op × Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с групповыми гомоморфизмами). Если f  : A ₁ → A ₂ и g  : B ₁ → B ₂ являются морфизмами в Ab , то групповой гомоморфизм Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) есть φ ↦ г ∘ φ ∘ ж . _ См. функтор Hom .

Представимые функторы

Мы можем обобщить предыдущий пример на любую категорию C. Каждой паре X , Y объектов в C можно сопоставить множество Hom( X , Y ) морфизмов из X в Y. Это определяет функтор для Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. е. это функтор C ^op × C → Set . Если f  : X ₁ → X ₂ и g  : Y ₁ → Y ₂ являются морфизмами в C , то отображение Hom( f , g ) : Hom( X ₂ , Y ₁ ) → Hom( X ₁ , Y ₂ ) задано φ ↦ г ∘ φ ∘ ж . _

Подобные функторы называются представимыми функторами . Во многих случаях важной целью является определение того, представим ли данный функтор.

Связь с другими категориальными понятиями

Пусть C и D — категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категория функторов . Морфизмы этой категории представляют собой естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение , прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов .

Компьютерные реализации

Функторы иногда появляются в функциональном программировании . Например, в языке программирования Haskell есть класс Functor где fmap— политипическая функция , используемая для отображения функций ( морфизмы в Hask , категории типов Haskell) ^[9] между существующими типами в функции между некоторыми новыми типами. ^[10]

Смотрите также

• Математический портал

• Категория функтора
• Канское расширение
• Псевдофунктор

Примечания

1. Мак Лейн, Сондерс (1971), Категории для работающего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
2. Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Рутледж и Кеган, стр. 13–14.
3. Джейкобсон (2009), с. 19, деф. 1.2.
4. Джейкобсон (2009), стр. 19–20.
5. Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий. Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505. Проверено 23 апреля 2016 г.
6. Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
7. Хазевинкель, Мишель ; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
8. Джейкобсон (2009), с. 20, упр. 2.
9. Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.
10. Дополнительную информацию см. https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell.

Рекомендации

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7.

Внешние ссылки

• «Функтор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• см. функтор в n Lab и обсуждаемые там варианты и ссылки на них.
• Андре Жойал , CatLab, вики-проект, посвященный изложению категориальной математики.
• Хиллман, Крис (2001). «Категорический букварь». CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : {{cite web}}: Отсутствует или пусто |url=( помощь ) формальное введение в теорию категорий.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, Абстрактные и конкретные категории - Радость кошек. Архивировано 21 апреля 2015 г. в Wayback Machine.
• Стэнфордская энциклопедия философии : «Теория категорий» — Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон, 1996, «Повесть о n-категориях». Неофициальное введение в категории более высокого порядка.
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов, естественных преобразований , универсальных свойств .
• The Catsters, канал на YouTube, посвященный теории категорий.
• Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.