Квантовый логический вентиль

Basic circuit in quantum computing

В квантовых вычислениях и, в частности , в модели вычислений с квантовой схемой , квантовый логический вентиль (или просто квантовый вентиль ) представляет собой базовую квантовую схему, работающую на небольшом количестве кубитов . Они [квантовые логические вентили] являются строительными блоками квантовых схем, подобно тому как классические логические вентили являются строительными блоками для обычных цифровых схем.

В отличие от многих классических логических элементов, квантовые логические элементы обратимы . Классические вычисления можно выполнять, используя только обратимые вентили. Например, обратимый вентиль Тоффоли может реализовать все логические функции , часто за счет необходимости использования вспомогательных битов . У вентиля Тоффоли есть прямой квантовый эквивалент, показывающий, что квантовые схемы могут выполнять все операции, выполняемые классическими схемами.

Квантовые вентили являются унитарными операторами и описываются как унитарные матрицы относительно некоторого ортонормированного базиса . Обычно используется вычислительный базис , который, если не сравнивать его с чем-то, просто означает, что для квантовой системы d -уровня (такой как кубит , квантовый регистр или кутриты и кудиты ) ^{[1] : 22–23} ортонормированные базисные векторы помечены или используют двоичную запись . ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

История

Общие квантовые логические элементы по названию (включая сокращения), форме схемы и соответствующим унитарным матрицам.

Современные обозначения квантовых вентилей были разработаны многими основателями квантовой информатики, в том числе Адриано Баренко, Чарльзом Беннеттом , Ричардом Кливом , Дэвидом П. ДиВинченцо , Норманом Марголусом , Питером Шором , Тихо Слитором, Джоном А. Смолином и Харальдом Вайнфуртером. ^[2] основано на обозначениях, введенных Ричардом Фейнманом в 1986 году. ^[3]

Представление

Состояния одного кубита , которые не запутаны и не имеют глобальной фазы, могут быть представлены как точки на поверхности сферы Блоха , записанные как Вращения вокруг осей x, y, z сферы Блоха представлены воротами оператора вращения . ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle .}$

Квантовые логические элементы представлены унитарными матрицами . Вентиль, действующий на кубиты , представлен унитарной матрицей, а совокупность всех таких вентилей с групповой операцией умножения матриц ^[a] представляет собой унитарную группу U(2 ⁿ ). ^[2] Квантовые состояния , на которые действуют ворота, представляют собой единичные векторы в комплексных измерениях с комплексной евклидовой нормой ( 2-нормой ). ^{[4] : 66  [5] : 56, 65} Базисные векторы (иногда называемые собственными состояниями ) — это возможные результаты, если состояние кубитов измеряется , а квантовое состояние — это линейная комбинация этих результатов. Наиболее распространенные квантовые вентили работают с векторными пространствами из одного или двух кубитов, точно так же, как обычные классические логические вентили работают с одним или двумя битами . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Несмотря на то, что квантовые логические элементы принадлежат к непрерывным группам симметрии , реальное оборудование неточно и, следовательно, ограничено в точности. Применение вентилей обычно приводит к ошибкам, и точность квантовых состояний со временем снижается. Если используется коррекция ошибок , используемые элементы дополнительно ограничиваются конечным набором. ^{[4] : гл. 10  [1] : гл. 14} Далее в этой статье это игнорируется, поскольку основное внимание уделяется свойствам идеальных квантовых вентилей.

Квантовые состояния обычно обозначаются «кетами» из обозначения, известного как bra–ket .

Векторное представление одного кубита :

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}.}$

Здесь и – комплексные амплитуды вероятности кубита. Эти значения определяют вероятность измерения 0 или 1 при измерении состояния кубита. Подробности см. в разделе измерений ниже. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}}$

Нулевое значение представлено кетом , а значение единица представлено кетом . ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

Тензорное произведение (или произведение Кронекера ) используется для объединения квантовых состояний. Комбинированное состояние регистра кубитов представляет собой тензорное произведение составляющих его кубитов. Тензорное произведение обозначается символом . ${\displaystyle \otimes }$

Векторное представление двух кубитов: ^[6]

${\displaystyle |\psi \rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}.}$

Действие вентиля на определенное квантовое состояние находится путем умножения вектора , представляющего состояние, на матрицу, представляющую вентиль. Результатом является новое квантовое состояние : ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle .}$

Яркие примеры

Существует несчетное количество ворот. Некоторые из них были названы разными авторами: ^{[2] [1] [4] [5] [7] [8] [9]} и ниже приведены некоторые из наиболее часто используемых в литературе.

Идентификационные ворота

Идентификационный вентиль — это единичная матрица , обычно записываемая как I , и определяемая для одного кубита как

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

где I не зависит от базиса и не изменяет квантовое состояние. Идентификационный вентиль наиболее полезен при математическом описании результатов различных операций вентиля или при обсуждении многокубитных схем.

Ворота Паули ( X , Y , Z )

Квантовые ворота (сверху вниз): ворота идентичности, ворота НЕ, Паули Y, Паули Z.

Ворота Паули представляют собой три матрицы Паули и действуют на один кубит. X , Y и Z Паули соответствуют вращению сферы Блоха вокруг осей x , y и z на радианы . ^[б] ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \pi }$

Гейт Паули- X является квантовым эквивалентом вентиля НЕ для классических компьютеров относительно стандартного базиса , который выделяет ось z на сфере Блоха . Иногда его называют переворотом битов, поскольку он отображается в и в . Точно так же Паули- Y отображается в и в . Паули Z оставляет базовое состояние неизменным и отображает его в . Из-за этой природы Паули Z иногда называют фазовым переворотом. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle i|1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle -i|0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle -|1\rangle }$

Эти матрицы обычно представляются в виде

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Матрицы Паули являются инволютивными , что означает, что квадрат матрицы Паули является единичной матрицей .

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

Матрицы Паули также антикоммутируют , например ${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

Матричная экспонента матрицы Паули — это оператор вращения , часто записываемый как ${\displaystyle \sigma _{j}}$ ${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

Управляемые ворота

Схематическое изображение управляемого U - образного вентиля

Управляемые вентили действуют на 2 или более кубитов, причем один или несколько кубитов выполняют функцию управления некоторой операцией. ^[2] Например, управляемый вентиль НЕ (или CNOT или CX) действует на 2 кубита и выполняет операцию НЕ на втором кубите только тогда, когда первый кубит равен , а в противном случае оставляет его неизменным. По базису , , , , она представляется эрмитовой унитарной матрицей : ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Вентиль CNOT (или управляемый Паули- X ) можно описать как вентиль, который отображает базовые состояния , где XOR . ${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$ ${\displaystyle \oplus }$

CNOT можно выразить в базисе Паули как:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

Будучи эрмитовым унитарным оператором, CNOT обладает свойством и , и является инволютивным . ${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$ ${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}}$

В более общем смысле, если U — это вентиль, который работает с одним кубитом с матричным представлением.

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

тогда вентиль с контролируемым U — это вентиль, который работает с двумя кубитами таким образом, что первый кубит служит управляющим. Он отображает базовые состояния следующим образом.

Принципиальные схемы управляемых вентилей Паули (слева направо): CNOT (или управляемый-X), управляемый-Y и контролируемый-Z.

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

Матрица, представляющая управляемый U, равна

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

Когда U является одним из операторов Паули, X , Y , Z , иногда используются соответствующие термины «контролируемый- X », «контролируемый- Y » или «контролируемый- Z ». ^{[4] : 177–185} Иногда это сокращается до C X , CY и C Z .

В общем, любой унитарный вентиль с одним кубитом может быть выражен как , где H — эрмитова матрица , и тогда управляемый U равен ${\displaystyle U=e^{iH}}$ ${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

Управление может быть распространено на вентили с произвольным числом кубитов ^[2] и функции на языках программирования. ^[10] Функции могут быть обусловлены состояниями суперпозиции. ^{[11] [12]}

Классический контроль

Пример: кубит измеряется, и результатом этого измерения является логическое значение, которое используется классическим компьютером. Если мера равна 1, то классический компьютер сообщает квантовому компьютеру применить U-вентиль к . На принципиальных схемах одинарные линии — это кубиты , а двойные линии — биты . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Воротами также можно управлять с помощью классической логики. Квантовый компьютер управляется классическим компьютером и ведет себя как сопроцессор , который получает инструкции от классического компьютера о том, какие вентили на каких кубитах выполнять. ^{[13] : 42–43  [14]} Классический контроль — это просто включение или исключение вентилей в последовательность команд квантового компьютера. ^{[4] : 26–28  [1] : 87–88}

Ворота фазового сдвига

Фазовый сдвиг — это семейство однокубитных вентилей, которые отображают базовые состояния и . Вероятность измерения a или не меняется после применения этого вентиля, однако он изменяет фазу квантового состояния. Это эквивалентно отслеживанию горизонтального круга (линии постоянной широты) или вращению вокруг оси z на сфере Блоха в радианах. Вентиль фазового сдвига представлен матрицей: ${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

где – фазовый сдвиг с периодом 2π . Некоторыми распространенными примерами являются вентиль T , где (исторически известный как вентиль), фазовый вентиль (также известный как вентиль S, записываемый как S , хотя S иногда используется для вентилей SWAP), где и вентиль Паули-Z, где . ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi /8}$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$

Вентиляторы фазового сдвига связаны друг с другом следующим образом:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

Обратите внимание, что фазовый вентиль не является эрмитовым (за исключением всех ). Эти ворота отличаются от своих эрмитовых сопряжений: . Два сопряженных (или сопряженных транспонированных ) вентиля иногда включаются в наборы команд. ^{[15] [16]} ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{\dagger }}$

Ворота Адамара

Ворота Адамара или Уолша-Адамара, названные в честь Жака Адамара ( французский: [adamaʁ] ) и Джозефа Л. Уолша , действуют на один кубит. Он отображает базовые состояния и (он создает равное состояние суперпозиции, если задано вычислительное базовое состояние). Два состояния и иногда пишутся и соответственно. Ворота Адамара совершают вращение вокруг оси сферы Блоха и поэтому являются инволютивными . Она представлена ​​матрицей Адамара : ${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$

Схематическое изображение ворот Адамара

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Если эрмитовский (так ) вентиль Адамара используется для изменения базиса , он переворачивается и . Например, и ${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle HZH=X}$ ${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

Обмен воротами

Схематическое изображение вентиля SWAP

Ворота подкачки меняют местами два кубита. По базису , , , , он представляется матрицей ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Своп-вентиль можно разложить в форму суммирования:

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

Ворота Тоффоли (CCNOT)

Схематическое изображение ворот Тоффоли

Ворота Тоффоли, названные в честь Томмазо Тоффоли и также называемые воротами CCNOT или воротами Дойча , представляют собой 3-битные ворота, универсальные для классических вычислений, но не для квантовых вычислений. Квантовый вентиль Тоффоли — это тот же вентиль, определенный для 3 кубитов. Если мы ограничимся приемом только входных кубитов, которые являются и , то, если первые два бита находятся в состоянии, он применяет Паули- X (или НЕ) к третьему биту, в противном случае он ничего не делает. Это пример ворот CC-U (унитарный с управляемым управлением). Поскольку это квантовый аналог классического вентиля, он полностью определяется таблицей истинности. Ворота Тоффоли универсальны в сочетании с однокубитными воротами Адамара. ^[17] ${\displaystyle D(\pi /2)}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Вентиль Тоффоли связан с классическими операциями AND ( ) и XOR ( ), поскольку он выполняет отображение состояний в вычислительном базисе. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$

Ворота Тоффоли можно выразить с помощью матриц Паули как

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

Универсальные квантовые ворота

Оба CNOT и являются универсальными двухкубитными вентилями и могут трансформироваться друг в друга. ${\displaystyle {\sqrt {\mbox{SWAP}}}}$

Набор универсальных квантовых гейтов — это любой набор гейтов, к которому может быть сведена любая возможная операция на квантовом компьютере, то есть любая другая унитарная операция может быть выражена как конечная последовательность гейтов из этого набора. Технически это невозможно с чем-то меньшим, чем несчетный набор гейтов, поскольку количество возможных квантовых гейтов несчетно, тогда как количество конечных последовательностей из конечного набора счетно . Чтобы решить эту проблему, нам нужно лишь, чтобы любая квантовая операция могла быть аппроксимирована последовательностью элементов из этого конечного множества. Более того, для унитаров с постоянным числом кубитов теорема Соловея–Китаева гарантирует, что это можно сделать эффективно. Проверить, является ли набор квантовых вентилей универсальным, можно с помощью методов теории групп ^[18] и/или относительно (приблизительных) унитарных t-схем ^[19]

Некоторые универсальные наборы квантовых вентилей включают:

• Операторы вращения R x ₍ θ ) , R y ₍ θ ) , R z ₍ θ ) , вентиль фазового сдвига P ( φ ) ^[c] и CNOT обычно используются для формирования универсального набора квантовых вентилей. ^{[20] [д]}
• Множество Клиффорда {CNOT, H , S } + T вентиль. Набор Клиффорда сам по себе не является универсальным набором квантовых вентилей, поскольку его можно эффективно смоделировать классически в соответствии с теоремой Готтсмана-Нилла .
• Ворота Тоффоли + ворота Адамара. ^[17] Один только вентиль Тоффоли образует набор универсальных вентилей для обратимых булевых алгебраических логических схем, которые охватывают все классические вычисления.

Немецкие ворота

Однозатворный набор универсальных квантовых вентилей также можно сформулировать с использованием параметризованного трехкубитного вентиля Дойча , ^[21] названного в честь физика Дэвида Дойча . Это общий случай CC-U , или унитарного вентиля «управляемый-управляемый» , и он определяется как ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

К сожалению, работающие ворота Дойча остались недоступными из-за отсутствия протокола. Есть предложения реализовать вентиль Дойча с диполь-дипольным взаимодействием в нейтральных атомах. ^[22]

Универсальный логический вентиль для обратимых классических вычислений, вентиль Тоффоли, сводится к вентилю Дойча , тем самым показывая, что все обратимые классические логические операции могут выполняться на универсальном квантовом компьютере. ${\displaystyle D(\pi /2)}$

Также существуют одиночные двухкубитные вентили, достаточные для универсальности. В 1996 году Адриано Баренко показал, что гейт Дойча можно разложить, используя только один двухкубитный гейт ( гейт Баренко ), но это трудно реализовать экспериментально. ^{[1] : 93} Эта функция присуща только квантовым схемам, поскольку не существует классического двухбитного вентиля, который был бы одновременно обратимым и универсальным. ^{[1] : 93} Универсальные двухкубитные вентили могут быть реализованы для улучшения классических обратимых схем в быстрых маломощных микропроцессорах. ^{[1] : 93}

Состав схемы

Ворота с последовательной проводкой

Двое ворот Y и X последовательно. Порядок, в котором они появляются на проводе, меняется на обратный при их умножении.

Предположим, что у нас есть два вентиля A и B , которые оба действуют на кубиты. Когда B помещается после A в последовательной схеме, тогда эффект двух вентилей можно описать как один вентиль C. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=B\cdot A}$

где - умножение матрицы . Полученные ворота C будут иметь те же размеры, что и A и B. Порядок, в котором элементы будут появляться на принципиальной схеме, меняется на обратный при их умножении. ^{[4] : 17–18,22–23,62–64  [5] : 147–169} ${\displaystyle \cdot }$

Например, размещение вентиля Паули X после вентиля Паули Y , оба из которых действуют на один кубит, можно описать как один комбинированный вентиль C :

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

Символ продукта ( ) часто опускается. ${\displaystyle \cdot }$

Экспоненты квантовых ворот

Все действительные показатели унитарных матриц также являются унитарными матрицами, и все квантовые вентили являются унитарными матрицами.

Положительные целочисленные показатели эквивалентны последовательностям последовательно соединенных вентилей (например ), а действительные показатели являются обобщением последовательной схемы. Например, и оба являются действительными квантовыми воротами. ${\displaystyle X^{3}=X\cdot X\cdot X}$ ${\displaystyle X^{\pi }}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}=X^{1/2}}$

${\displaystyle U^{0}=I}$для любой унитарной матрицы . Единичная матрица ( ) ведет себя как NOP ^{[23] [24]} и может быть представлена ​​в виде оголенного провода в квантовых схемах или не показана вообще. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

Все элементы являются унитарными матрицами, так что и , где сопряженное транспонирование . Это означает, что отрицательные показатели вентилей являются унитарными инверсиями своих положительно возведенных в степень аналогов: . Например, некоторые отрицательные показатели фазового сдвига вентилей равны и . ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$ ${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle U^{-n}=(U^{n})^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{-1}=T^{\dagger }}$ ${\displaystyle T^{-2}=(T^{2})^{\dagger }=S^{\dagger }}$

Обратите внимание, что для эрмитовой матрицы и из-за унитарности то же самое относится и ко всем эрмитовым воротам. Они инволютивны . Примерами эрмитовых ворот являются ворота Паули, Адамара, CNOT, SWAP и Тоффоли. Каждая эрмитова унитарная матрица обладает свойством : где ${\displaystyle H^{\dagger }=H,}$ ${\displaystyle HH^{\dagger }=I,}$ ${\displaystyle H^{2}=I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{i\theta H}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )H}$ ${\displaystyle H=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}.}$

Параллельные ворота

Двое ворот и параллельно эквивалентны воротам . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\otimes X}$

Тензорное произведение (или произведение Кронекера ) двух квантовых вентилей — это вентиль, равный двум параллельным вентилям. ^{[4] : 71–75  [5] : 148}

Если мы, как на картинке, объединим вентиль Паули- Y с вентилем Паули- X параллельно, то это можно записать так:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

И ворота Паули- X , и ворота Паули- Y действуют на один кубит. Полученные ворота действуют на два кубита. ${\displaystyle C}$

Иногда символ тензорного произведения опускается, и вместо него для операторов используются индексы. ^[25]

Преобразование Адамара

Ворота — это ворота Адамара ( ) , применяемые параллельно к двум кубитам. Это можно записать как: ${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

Этот «двухкубитный параллельный вентиль Адамара», примененный, например, к двухкубитному нулевому вектору ( ), ${\displaystyle |00\rangle }$ создаст квантовое состояние, которое имеет равную вероятность наблюдения в любом из четырех возможных результатов; , , , и . Эту операцию мы можем записать так: ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

Пример: преобразование Адамара для 3- кубитного регистра . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Здесь амплитуда для каждого измеримого состояния равна 1 ⁄ 2 . Вероятность наблюдения любого состояния равна квадрату абсолютного значения амплитуды измеримых состояний, что в приведенном выше примере означает, что в одном из четырех случаев мы наблюдаем какой-либо из отдельных четырех случаев. Подробности смотрите в измерении.

${\displaystyle H_{2}}$выполняет преобразование Адамара для двух кубитов. Аналогичным образом вентиль выполняет преобразование Адамара в регистре кубитов . ${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{1}^{n}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

При применении к регистру кубитов, все инициализированных как , преобразование Адамара переводит квантовый регистр в суперпозицию с равной вероятностью измерения в любом из его возможных состояний: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

Это состояние представляет собой равномерную суперпозицию и генерируется на первом этапе в некоторых алгоритмах поиска, например, при усилении амплитуды и оценке фазы .

Измерение этого состояния приводит к получению случайного числа между и . ^[e] Насколько случайное число зависит от точности логических элементов. Если его не измерить, это квантовое состояние с равной амплитудой вероятности для каждого из возможных состояний. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$

Преобразование Адамара действует на регистр с кубитами следующим образом : ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

Приложение к запутанным состояниям

Если два или более кубитов рассматриваются как одно квантовое состояние, это объединенное состояние равно тензорному произведению составляющих его кубитов. Любое состояние, которое можно записать как тензорное произведение составляющих его подсистем, называется разделимыми состояниями . С другой стороны, запутанное состояние — это любое состояние, которое не может быть тензорно факторизовано, или, другими словами: запутанное состояние не может быть записано как тензорное произведение составляющих его состояний кубитов. Особую осторожность следует проявлять при применении вентилей к составляющим кубитам, образующим запутанные состояния.

Если у нас есть набор из N кубитов, которые запутаны, и мы хотим применить квантовый вентиль к M < N кубитам в наборе, нам придется расширить вентиль, чтобы он мог занять N кубитов. Это приложение можно реализовать, объединив вентиль с единичной матрицей так, чтобы их тензорное произведение стало вентилем, действующим на N кубитов. Единичная матрица ( ) ${\displaystyle I}$ представляет собой представление вентиля, который отображает каждое состояние на себя (т. е. вообще ничего не делает). На принципиальной схеме идентификационный вентиль или матрица часто выглядят как оголенный провод.

Пример приведен в тексте. Ворота Адамара действуют только на один кубит, но представляют собой запутанное квантовое состояние, охватывающее два кубита. В нашем примере . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Например, вентиль Адамара ( ) ${\displaystyle H}$ действует на один кубит, но если мы подадим ему первый из двух кубитов, составляющих запутанное состояние Белла , мы не сможем легко написать эту операцию. Нам нужно расширить вентиль Адамара тождественным вентилем , чтобы мы могли воздействовать на квантовые состояния, охватывающие два кубита: ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

Теперь вентиль можно применить к любому двухкубитному состоянию, запутанному или другому. Гейт оставит второй кубит нетронутым и применит преобразование Адамара к первому кубиту. Если применить это к состоянию Белла в нашем примере, мы можем записать это как: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

Вычислительная сложность и тензорное произведение

Временная сложность умножения двух -матриц составляет не менее , ^[26] при использовании классической машины. Поскольку размер вентиля, который работает с кубитами, означает, что время моделирования шага в квантовой схеме (посредством умножения вентилей), которая работает с общими запутанными состояниями, составляет 0,000 . По этой причине считается невозможным моделировать большие запутанные квантовые системы с помощью классических компьютеров. Однако подмножества вентилей, такие как вентили Клиффорда или тривиальный случай схем, реализующих только классические булевы функции (например, комбинации X, CNOT, Тоффоли), можно эффективно моделировать на классических компьютерах. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega (n^{2}\log n)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$ ${\displaystyle \Omega ({2^{q}}^{2}\log({2^{q}}))}$

Вектор состояния квантового регистра с кубитами представляет собой комплексные записи. Сохранение амплитуд вероятности в виде списка значений с плавающей запятой нецелесообразно для больших . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Унитарная инверсия ворот

Пример: унитарное обратное произведение Адамара-CNOT. Трое ворот и являются своими унитарными инверсиями. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {CNOT} }$

Поскольку все квантовые логические элементы обратимы , любая композиция из нескольких элементов также обратима. Все произведения и тензорные произведения (т.е. последовательные и параллельные комбинации) унитарных матриц также являются унитарными матрицами. Это означает, что можно построить инверсию всех алгоритмов и функций, если они содержат только вентили.

Инициализация, измерение, ввод-вывод и спонтанная декогеренция — это побочные эффекты квантовых компьютеров. Однако ворота являются чисто функциональными и биективными .

Если – унитарная матрица , то и . Кинжал ( ) обозначает сопряженное транспонирование . Его еще называют эрмитовым сопряженным . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$ ${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$ ${\displaystyle \dagger }$

Если функция является произведением элементов, можно построить унитарную обратную функцию : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$ ${\displaystyle F^{\dagger }}$

Потому что у нас после неоднократного применения на себе ${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

Аналогично, если функция состоит из двух вентилей и параллельно, то и . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G=A\otimes B}$ ${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$

Ворота, являющиеся своими унитарными обратными, называются эрмитовыми или самосопряженными операторами . Некоторые элементарные элементы, такие как ворота Адамара ( H ) и Паули ( I , X , Y , Z ), являются эрмитовыми операторами, в то время как другие, такие как элементы фазового сдвига ( S , T , P , CPhase ), обычно таковыми не являются.

Например, алгоритм сложения можно использовать для вычитания, если он выполняется «в обратном порядке», как его унитарный обратный алгоритм. Обратное квантовое преобразование Фурье является унитарным обратным. Унитарные инверсии также можно использовать для невычисления . Языки программирования для квантовых компьютеров, такие как Q# от Microsoft , ^[10] QCL Бернхарда Омера , ^{[13] :61} и Qiskit от IBM , ^[27] содержат инверсию функций в качестве концепций программирования.

Измерение

Схематическое изображение измерения. Две линии справа представляют классический бит, а одна линия слева представляет кубит.

Измерение (иногда называемое наблюдением ) необратимо и, следовательно, не является квантовым вентилем, поскольку оно присваивает наблюдаемому квантовому состоянию одно значение. Измерение берет квантовое состояние и проецирует его на один из базисных векторов с вероятностью, равной квадрату длины вектора (в 2-норме ^{[4] : ​​66  [5] : 56, 65} ) вдоль этого базисного вектора. ^{[1] : 15–17  [28] [29] [30]} Это известно как правило Борна и выглядит ^[e] как стохастическая необратимая операция, поскольку она вероятностно устанавливает квантовое состояние, равное базисному вектору, который представляет измеренное состояние. Говорят, что в момент измерения состояние « схлопывается » до определенного единственного значения, которое было измерено. Почему и как, или даже если ^{[31] [32]} квантовое состояние коллапсирует при измерении, называется проблемой измерения .

Вероятность измерения значения с амплитудой вероятности равна , где – модуль . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 1\geq |\phi |^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Измерение одного кубита, квантовое состояние которого представлено вектором , приведет к с вероятностью и с вероятностью . ${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |b|^{2}}$

Например, измерение кубита в квантовом состоянии с равной вероятностью даст либо или . ${\displaystyle {\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Для одного кубита у нас есть единичная сфера с таким квантовым состоянием , что . Состояние можно переписать как , или и . Примечание: – вероятность измерения и – вероятность измерения . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$ ${\displaystyle |\cos \theta |^{2}+|\sin \theta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |a|^{2}=\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle |b|^{2}=\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle |a|^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |b|^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Квантовое состояние , охватывающее n кубитов, можно записать в виде вектора комплексных измерений: . Это связано с тем, что тензорное произведение n кубитов представляет собой вектор измерений. Таким образом, регистр из n кубитов может быть измерен до различных состояний, подобно тому, как регистр из n классических битов может содержать разные состояния. В отличие от битов классических компьютеров, квантовые состояния могут иметь ненулевые амплитуды вероятности одновременно в нескольких измеримых значениях. Это называется суперпозицией . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Сумма всех вероятностей для всех исходов всегда должна быть равна1 . ^[f] Другой способ сказать это состоит в том, что теорема Пифагора, обобщенная на, гласит, что все квантовые состояния с n кубитами должны удовлетворять ^[g] где - амплитуда вероятности для измеримого состояния . Геометрическая интерпретация этого состоит в том, что возможное пространство значений квантового состояния с n кубитами представляет собой поверхность единичной сферы и что применяемые к ней унитарные преобразования (т.е. квантовые логические элементы) представляют собой вращения сферы. Вращения, которые совершают ворота, образуют группу симметрии U(2 n ) . В таком случае измерение представляет собой вероятностную проекцию точек на поверхности этой сложной сферы на базисные векторы , охватывающие пространство (и маркирующие результаты). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\textstyle 1=\sum _{x=0}^{2^{n}-1}|a_{x}|^{2},}$ ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$

Во многих случаях пространство представляется как гильбертово, а не как какое-то конкретное -мерное комплексное пространство. Число измерений (определяемых базисными векторами и, следовательно, также возможными результатами измерения) часто подразумевается операндами, например, как необходимое пространство состояний для решения проблемы . В алгоритме Гровера Гровер назвал этот общий набор базисных векторов «база данных» . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Выбор базисных векторов для измерения квантового состояния повлияет на результат измерения. ^{[1] : 30–35  [4] : ​​22, 84–85, 185–188  [33]} Подробности см. в разделе « Изменение базиса и энтропия фон Неймана ». В этой статье мы всегда используем вычислительный базис , что означает, что мы пометили базисные векторы n -кубитного регистра , или используем двоичное представление . ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0_{10}\rangle =|0\dots 00_{2}\rangle ,|1_{10}\rangle =|0\dots 01_{2}\rangle ,|2_{10}\rangle =|0\dots 10_{2}\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle =|111\dots 1_{2}\rangle }$

В квантовой механике базисные векторы составляют ортонормированный базис .

Примером использования альтернативной основы измерения является шифр BB84 .

Влияние измерения на запутанные состояния

Вентиль Адамара-CNOT, который при получении входного сигнала создает состояние Белла. ${\displaystyle |00\rangle }$

Если два квантовых состояния (т. е. кубиты или регистры ) запутаны (это означает, что их объединенное состояние не может быть выражено как тензорное произведение ), измерение одного регистра влияет или раскрывает состояние другого регистра, частично или полностью разрушая его состояние. Этот эффект можно использовать для вычислений, и он используется во многих алгоритмах.

Комбинация Адамара-CNOT действует на нулевое состояние следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Состояние Белла в тексте — это где и . Следовательно, его можно описать плоскостью, натянутой на базисные векторы и , как на рисунке. Единичная сфера (в ) , представляющая возможное пространство значений двухкубитной системы, пересекает плоскость и лежит на поверхности единичной сферы. Потому что существует равная вероятность измерения этого состояния с или , и потому что существует нулевая вероятность измерения его с или . ${\displaystyle |\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$ ${\displaystyle a=d={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |a|^{2}=|d|^{2}=1/2}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$

Это результирующее состояние является состоянием Белла . Его нельзя описать как тензорное произведение двух кубитов. Нет решения для ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

потому что, например, w должно быть одновременно ненулевым и нулевым в случае xw и yw .

Квантовое состояние охватывает два кубита. Это называется запутанностью . Измерение одного из двух кубитов, составляющих это состояние Белла, приведет к тому, что другой кубит логически должен иметь то же значение, оба должны быть одинаковыми: либо он будет найден в состоянии , либо в состоянии . Если мы измерим, например, один из кубитов , то и другой кубит тоже должен быть таким , потому что их объединенное состояние стало . Измерение одного из кубитов разрушает все квантовое состояние, охватывающее два кубита. ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

Состояние GHZ — это похожее запутанное квантовое состояние, охватывающее три или более кубитов.

Этот тип присвоения значений происходит мгновенно на любом расстоянии , и по состоянию на 2018 год это было экспериментально проверено QUESS на расстояниях до 1200 километров. ^{[34] [35] [36]} То, что явления происходят мгновенно, а не за время, необходимое для прохождения расстояния, разделяющего кубиты, со скоростью света, называется парадоксом ЭПР , и это открытый вопрос в физике. как это решить. Первоначально она была решена путем отказа от предположения о локальном реализме , но появились и другие интерпретации . Дополнительную информацию см. в тестовых экспериментах Белла . Теорема об отсутствии связи доказывает, что это явление нельзя использовать для передачи классической информации со скоростью, превышающей скорость света .

Измерение на регистрах с попарно запутанными кубитами

Влияние унитарного преобразования F на регистр A, находящийся в суперпозиции состояний и попарно запутанный с регистром B. Здесь n равно 3 (каждый регистр имеет 3 кубита). ${\displaystyle 2^{n}}$

Возьмите регистр A, в котором все инициализированы n кубитов , и пропустите его через параллельный вентиль Адамара . Регистр A затем перейдет в состояние , которое имеет равную вероятность при измерении оказаться в любом из возможных состояний; к . Возьмем второй регистр B, также с инициализированными n кубитами , и попарно CNOT его кубиты с кубитами в регистре A, так что для каждого p кубиты и формируют состояние . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\textstyle H^{\otimes n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Если мы теперь измерим кубиты в регистре A, то обнаружится, что регистр B содержит то же значение, что и A. Однако если вместо этого мы применим квантовый логический элемент F к A и затем измерим, то , где – унитарное обратное значение F . ${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$ ${\displaystyle F^{\dagger }}$

Из-за того, как действуют унитарные инверсии вентилей, . Например, скажем , тогда . ${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$ ${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$

Равенство будет соблюдаться независимо от того, в каком порядке выполняются измерения (в регистрах A или B), предполагая, что F завершился до завершения. Измерение может даже осуществляться случайным и одновременным чередованием кубит за кубитом, поскольку назначение измерений одного кубита будет ограничивать возможное пространство значений других запутанных кубитов.

Несмотря на то, что равенства выполняются, вероятности измерения возможных результатов могут измениться в результате применения F , что может быть и целью алгоритма квантового поиска.

Этот эффект разделения значений посредством запутанности используется в алгоритме Шора , оценке фазы и в квантовом подсчёте . Использование преобразования Фурье для усиления амплитуд вероятностей состояний решения некоторой задачи — это общий метод, известный как « ловля Фурье ». ^[37]

Синтез логических функций

Квантовый полный сумматор , данный Фейнманом в 1986 году. ^[3] Он состоит только из вентилей Тоффоли и CNOT. Ворота, окруженные пунктирным квадратом на этом рисунке, можно опустить, если не требуется никаких вычислений для восстановления выхода B.

Функции и процедуры, использующие только вентили, сами по себе могут быть описаны как матрицы, как и меньшие вентили. Матрица, представляющая квантовую функцию, действующую на кубиты, имеет размер . Например, функция, действующая на «кубайт» (регистр из 8 кубитов), будет представлена ​​матрицей с элементами. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$ ${\displaystyle 2^{8}\times 2^{8}=256\times 256}$

Унитарные преобразования, которых нет в наборе вентилей, изначально доступных на квантовом компьютере (примитивные вентили), можно синтезировать или аппроксимировать путем объединения доступных примитивных вентилей в схеме . Один из способов сделать это — факторизовать матрицу, которая кодирует унитарное преобразование, в произведение тензорных произведений (т.е. последовательных и параллельных схем) доступных примитивных элементов. Группа U(2 q ) — это группа симметрии вентилей, действующих на кубиты. ^[2] Тогда факторизация — это проблема поиска пути в U(2 ^q ) из порождающего набора примитивных элементов. Теорема Соловея-Китаева показывает, что при достаточном наборе примитивных элементов существует эффективное приближение для любого элемента. Для общего случая с большим количеством кубитов такой прямой подход к синтезу схем трудноразрешим . ^{[38] [39]} Это накладывает ограничения на то, насколько большие функции могут быть грубо разложены на примитивные квантовые вентили. Обычно квантовые программы вместо этого строятся с использованием относительно небольших и простых квантовых функций, аналогичных обычному классическому программированию. ${\displaystyle q}$

Из-за унитарной природы вентилей все функции должны быть обратимыми и всегда быть биективными отображениями входа на выход. Всегда должна существовать такая функция , что . Функции, которые не являются обратимыми, можно сделать обратимыми, добавив вспомогательные кубиты ко входу или выходу, или к тому и другому. После завершения функции вспомогательные кубиты можно либо не вычислять , либо оставить нетронутыми. Измерение или иное сжатие квантового состояния вспомогательного кубита (например, путем повторной инициализации его значения или его спонтанной декогеренции ), которое не было невычислено, может привести к ошибкам, ^{[40] [41]} , поскольку их состояние может быть запутанным. с кубитами, которые до сих пор используются в вычислениях. ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle F^{-1}(F(|\psi \rangle ))=|\psi \rangle }$

Логически необратимые операции, например, сложение по модулю двух -кубитных регистров a и b , ^[h] можно сделать логически обратимыми, добавив информацию к выходу, так что входные данные можно вычислить на основе выходных данных (т. е. существует функция ). . В нашем примере это можно сделать, передав один из входных регистров на выход: . Затем выходные данные можно использовать для вычисления входных данных (т. е., учитывая выходные данные и , мы можем легко найти входные данные; задано и ) , и функция становится биективной. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(a,b)=a+b{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle F^{-1}}$ ${\displaystyle F(|a\rangle \otimes |b\rangle )=|a+b{\pmod {2^{n}}}\rangle \otimes |a\rangle }$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a+b)-a=b}$

Все логические алгебраические выражения могут быть закодированы как унитарные преобразования (квантовые логические элементы), например, с использованием комбинаций элементов Паули-X, CNOT и Тоффоли. Эти вентили функционально завершены в области булевой логики.

В библиотеках Q# , QCL , Qiskit и других языках квантового программирования доступно множество унитарных преобразований . Оно также встречается в литературе. ^{[42] [43]}

Например, где — количество кубитов, составляющих регистр , в QCL реализовано следующим образом: ^{[44] [13] [12]} ${\displaystyle \mathrm {inc} (|x\rangle )=|x+1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$ ${\displaystyle x_{\text{length}}}$ ${\displaystyle x}$

Сгенерированная схема, когда . Символы и обозначают XOR , AND и NOT соответственно и происходят из логического представления Паули- X с нулем или более управляющими кубитами, когда оно применяется к состояниям, которые находятся в вычислительной базе. ${\displaystyle x_{\text{length}}=4}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \neg }$

cond qufunct inc ( qureg x ) { // увеличиваем регистр int i ; for i = # x - от 1 до 0 шаг - 1 { CNot ( x [ i ], x [ 0 :: i ]); // применяем контролируемое-не из } // MSB к LSB }                     

В QCL уменьшение осуществляется путем «отмены» приращения. Префикс !используется вместо этого для запуска унитарной обратной функции. !inc(x)является обратной операцией inc(x)и вместо нее выполняет операцию . Ключевое слово означает, что функция может быть условной. ^[11] ${\displaystyle \mathrm {inc} ^{\dagger }|x\rangle =\mathrm {inc} ^{-1}(|x\rangle )=|x-1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$cond

В модели вычислений , используемой в этой статье ( модель квантовой схемы ), классический компьютер генерирует композицию вентилей для квантового компьютера, а квантовый компьютер ведет себя как сопроцессор , который получает инструкции от классического компьютера о том, к каким примитивным вентилям следует обращаться. какие кубиты. ^{[13] : 36–43  [14]} Измерение квантовых регистров приводит к получению двоичных значений, которые классический компьютер может использовать в своих вычислениях. Квантовые алгоритмы часто содержат как классическую, так и квантовую часть. Неизмеренный ввод-вывод (отправка кубитов на удаленные компьютеры без разрушения их квантовых состояний) можно использовать для создания сетей квантовых компьютеров . Затем обмен запутанностью можно использовать для реализации распределенных алгоритмов с помощью квантовых компьютеров, которые не связаны напрямую. Примерами распределенных алгоритмов, которые требуют использования лишь нескольких квантовых логических вентилей, являются сверхплотное кодирование , квантовое византийское соглашение и протокол обмена ключами шифрования BB84 .

Смотрите также

• Адиабатические квантовые вычисления
• БКП
• Клеточный автомат
• Облачные квантовые вычисления
• Контрфактическая определенность
• Контрфактические квантовые вычисления
• Принцип Ландауэра
• Логическая связка
• Односторонний квантовый компьютер
• Квантовый алгоритм
• Квантовый клеточный автомат
• Квантовый канал
• Квантовые конечные автоматы
• Квантовая логика
• Квантовая память
• Квантовая сеть
• Квантовый эффект Зенона
• Обратимые вычисления
• Унитарное преобразование (квантовая механика)

Примечания

1. Матричное умножение квантовых вентилей определяется как последовательные схемы.
2. Обратите внимание: здесь полный оборот вокруг сферы Блоха равен радианам, в отличие от ворот оператора вращения, где полный оборот равен ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 4\pi .}$
3. Можно использовать ворота P или Ph ^{, например [2] : 11  [1] : 76–83.} ${\displaystyle R_{z}(\delta )\operatorname {Ph} (\delta /2)=P(\delta )}$
4. Этот набор точно генерирует все возможные унитарные ворота. Однако, поскольку глобальная фаза не имеет значения для результатов измерения, можно построить универсальные квантовые подмножества, например, набор, содержащий R _y ( θ ) , R _z ( θ ) и CNOT, охватывает только все унитарные единицы с определителем ±1, но этого достаточно для квантовых вычислений. .
5. Если это действительно стохастический эффект, зависит от того, какая интерпретация квантовой механики правильна (и может ли какая-либо интерпретация быть правильной). Например, теория Де Бройля-Бома и многомировая интерпретация утверждают детерминизм . (В многомировой интерпретации квантовый компьютер — это машина, которая запускает программы ( квантовые схемы ), которые выбирают реальность, в которой вероятность наличия состояний решения проблемы велика . То есть машина чаще всего заканчивается в реальности, где она дает правильный ответ. Поскольку все результаты реализуются в отдельных вселенных в соответствии с интерпретацией многих миров, общий результат является детерминированным. Однако эта интерпретация не меняет механику , по которой работает машина.)
6. См. Аксиомы вероятности § Вторая аксиома.
7. Гипотенуза имеет длину 1 , потому что сумма вероятностей равна 1, поэтому вектор квантового состояния является единичным вектором .
8. На входе — кубиты, на выходе — только кубиты. Удаление информации не является обратимой (или унитарной ) операцией и поэтому не допускается. См. также принцип Ландауэра . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Рекомендации

1. Колин П. Уильямс (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Спрингер . ISBN 978-1-84628-887-6.
2. Баренко, Адриано; Беннетт, Чарльз Х.; Клив, Ричард; ДиВинченцо, Дэвид П.; Марголус, Норман; Шор, Питер; Слитор, Тихо; Смолин, Джон А.; Вайнфуртер, Харальд (1 ноября 1995 г.). «Элементарные вентили для квантовых вычислений». Физический обзор А. Американское физическое общество (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv : Quant-ph/9503016 . Бибкод : 1995PhRvA..52.3457B. дои : 10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
3. Фейнман, Ричард П. (1986). «Квантово-механические компьютеры». Основы физики . ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». 16 (6): 507–531. Бибкод : 1986FoPh...16..507F. дои : 10.1007/bf01886518. ISSN  0015-9018. S2CID  122076550.
4. Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-10700-217-3. ОСЛК  43641333.
5. Янофски, Носон С.; Маннуччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерщиков . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87996-5.
6. Прескилл, Джон (6 июня 2021 г.). «Квантовые вычисления 40 лет спустя». стр. 10–15. arXiv : 2106.10522 [квант-ph].
7. "Электронная библиотека". IBM ( Кискит ).
8. «cQASM: Операции с кубитными воротами» . КуТех.
9. "Microsoft.Quantum.Intrinsic пространство имен" . Майкрософт ( Q# ). 28 июля 2023 г.
10. Операции и функции (документация Q#)
11. Омер, Бернхард (2 сентября 2009 г.). «Структурированное квантовое программирование» (PDF) . Институт теоретической физики Венского технического университета. стр. 72, 92–107. Архивировано из оригинала (PDF) 27 марта 2022 г.
12. Омер, Бернхард (29 апреля 2003 г.). «Классические концепции квантового программирования». Международный журнал теоретической физики . 44 (7): 943–955. arXiv : Quant-ph/0211100 . doi : 10.1007/s10773-005-7071-x. S2CID  119373370.
13. Омер, Бернхард (20 января 2000 г.). Квантовое программирование в QCL (PDF) (Диссертация). Институт теоретической физики Венского технического университета. Архивировано из оригинала (PDF) 1 июня 2022 года . Проверено 24 мая 2021 г.
14. Паука С.Дж., Дас В., Калра Р., Мойни А., Ян Й., Тренер М., Буске А., Канталоб С., Дик Н., Гарднер Г.К., Манфра М.Дж., Рейли DJ (2021). «Криогенный КМОП-чип для генерации управляющих сигналов для нескольких кубитов». Природная электроника . 4 (4): 64–70. arXiv : 1912.01299 . дои : 10.1038/s41928-020-00528-y. S2CID  231715555.
15. "ТдгГейт". Онлайн-документация Qiskit .
16. "Т-кинжалные ворота".Онлайн-документация cQASM.
17. Ааронов, Дорит (9 января 2003 г.). «Простое доказательство того, что Тоффоли и Адамар квантово универсальны». arXiv : Quant-ph/0301040 .
18. Савицкий, Адам; Карнас, Катажина (01 ноября 2017 г.). «Универсальность однокудитных вентилей». Анналы Анри Пуанкаре . 18 (11): 3515–3552. arXiv : 1609.05780 . Бибкод : 2017AnHP...18.3515S. doi : 10.1007/s00023-017-0604-z. ISSN  1424-0661. S2CID  253594045.
19. Савицкий, Адам; Маттиоли, Лоренцо; Зимборас, Золтан (12 мая 2022 г.). «Проверка универсальности набора квантовых вентилей». Физический обзор А. 105 (5): 052602. arXiv : 2111.03862 . Бибкод : 2022PhRvA.105e2602S. doi :10.1103/PhysRevA.105.052602. S2CID  248761038.
20. Уильямс, Колин П. (2011), Уильямс, Колин П. (редактор), «Квантовые ворота», Исследования в области квантовых вычислений , Тексты по информатике, Лондон: Springer, стр. 51–122, doi : 10.1007/978 -1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, получено 14 мая 2021 г.
21. Дойч, Дэвид (8 сентября 1989 г.), «Квантовые вычислительные сети», Proc. Р. Сок. Лонд. A , 425 (1989): 73–90, Bibcode : 1989RSPSA.425...73D, doi : 10.1098/rspa.1989.0099, S2CID  123073680
22. Ши, Сяо-Фэн (22 мая 2018 г.). «Дойч, Тоффоли и Кнот Гейтс через ридберговскую блокаду нейтральных атомов». Применена физическая проверка . 9 (5): 051001. arXiv : 1710.01859 . Бибкод : 2018PhRvP...9e1001S. doi : 10.1103/PhysRevApplied.9.051001. ISSN  2331-7019. S2CID  118909059.
23. "Я операция" . docs.microsoft.com . 28 июля 2023 г.
24. "ИГейт". qiskit.org . Онлайн-документация Qiskit .
25. Потеря, Дэниел; ДиВинченцо, Дэвид П. (1 января 1998 г.). «Квантовые вычисления с квантовыми точками». Физический обзор А. 57 (1): 120–126. arXiv : cond-mat/9701055 . Бибкод : 1998PhRvA..57..120L. дои : 10.1103/physreva.57.120 . ISSN  1050-2947.Пример в уравнении 2.
26. Раз, Ран (2002). «О сложности матричного произведения». Материалы тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 144–151. дои : 10.1145/509907.509932. ISBN 1581134959. S2CID  9582328.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
27. "UnitaryGate § UnitaryGate adjoint()" . docs.quantum.ibm.com .
28. Гриффитс, ди-джей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.) . Джон Уайли и сыновья . стр. 115–121, 126. ISBN. 978-3-527-40601-2.
29. Дэвид Альберт (1994). Квантовая механика и опыт . Издательство Гарвардского университета . п. 35. ISBN 0-674-74113-7.
30. Шон М. Кэрролл (2019). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Издательство Кембриджского университета . стр. 376–394. ISBN 978-1-108-48839-6.
31. Дэвид Уоллес (2012). Возникающая мультивселенная: квантовая теория согласно интерпретации Эверетта . Издательство Оксфордского университета . ISBN 9780199546961.
32. Шон М. Кэрролл (2019). Что-то глубоко скрытое: квантовые миры и возникновение пространства-времени . Случайный дом пингвинов . ISBN 9781524743017.
33. Q# Онлайн-руководство: Измерение
34. Хуан Инь; Юань Цао; Ю-Хуай Ли; Шэн-Кай Ляо; Лян Чжан; Джи-Ган Рен; Вэнь-Цай Цай; Вэй-Юэ Лю; Бо Ли; Хуэй Дай; Гуан-Бин Ли; Ци-Мин Лу; Юн-Хонг Гонг; Юй Сюй; Шуан-Лин Ли; Фэн-Чжи Ли; Я-Юнь Инь; Цзы-Цин Цзян; Мин Ли; Цзянь-Цзюнь Цзя; Гэ Рен; Донг Хэ; И-Лин Чжоу; Сяо-Сян Чжан; На Ван; Сян Чанг; Чжэнь-Цай Чжу; Най-Ле Лю; Ю-Ао Чен; Чао-Ян Лу; Ронг Шу; Ченг-Чжи Пэн; Цзянь-Ю Ван; Цзянь-Вэй Пан (2017). «Спутниковое распространение запутывания на расстоянии более 1200 километров». Квантовая оптика . 356 (6343): 1140–1144. arXiv : 1707.01339 . дои : 10.1126/science.aan3211. PMID  28619937. S2CID  5206894.
35. Биллингс, Ли (23 апреля 2020 г.). «Китай побил рекорд «жутких действий на расстоянии», готовясь к квантовому Интернету». Научный американец .
36. Попкин, Габриэль (15 июня 2017 г.). «Китайский квантовый спутник совершает «жуткие действия» на рекордном расстоянии». Наука – АААС .
37. Ааронсон, Скотт (2009). «BQP и полиномиальная иерархия». arXiv : 0910.4698 [квант-ph].
38. Доусон, Кристофер М.; Нильсен, Майкл (1 января 2006 г.). «Алгоритм Соловая-Китаева». Квантовая информация и вычисления . 6 (1). Раздел 5.1, уравнение 23. arXiv : quant-ph/0505030 . дои : 10.26421/QIC6.1-6.
39. Маттео, Оливия Ди (2016). «Распараллеленный синтез квантовых схем». Квантовая наука и технология . 1 (1): 015003. arXiv : 1606.07413 . Бибкод : 2016QS&T....1a5003D. дои : 10.1088/2058-9565/1/1/015003. S2CID  62819073.
40. Ааронсон, Скотт (2002). «Квантовая нижняя граница для рекурсивной выборки Фурье». Квантовая информация и вычисления . 3 (2): 165–174. arXiv : Quant-ph/0209060 . Бибкод : 2002quant.ph..9060A. дои : 10.26421/QIC3.2-7.
41. Онлайн-руководство Q#: Управление квантовой памятью
42. Ре, Асака; Казумицу, Сакаи; Рёко, Яхаги (2020). «Квантовая схема быстрого преобразования Фурье». Квантовая обработка информации . 19 (277): 277. arXiv : 1911.03055 . Бибкод : 2020QuIP...19..277A. дои : 10.1007/s11128-020-02776-5. S2CID  207847474.
43. Монтасер, Раша (2019). «Новая конструкция обратимого полного сумматора/вычитателя с использованием R-вентиля». Международный журнал теоретической физики . 58 (1): 167–183. arXiv : 1708.00306 . Бибкод : 2019IJTP...58..167M. дои : 10.1007/s10773-018-3921-1. S2CID  24590164.
44. Исходный код QCL 0.6.4, файл "lib/examples.qcl"

Источники

• Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0521632358. ОСЛК  43641333.
• Уильямс, Колин П. (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Спрингер . ISBN 978-1-84628-887-6.
• Янофски, Носон С.; Маннуччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерщиков . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87996-5.