Спин (физика)

Внутреннее квантовое свойство частиц

Спин — это внутренняя форма углового момента , переносимая элементарными частицами и, следовательно, составными частицами, такими как адроны , атомные ядра и атомы. ^{[1] [2] : 183–184} Спин квантован, и точные модели взаимодействия со спином требуют релятивистской квантовой механики или квантовой теории поля .

Существование спинового углового момента электрона выводится из экспериментов, таких как эксперимент Штерна-Герлаха , в котором было обнаружено, что атомы серебра обладают двумя возможными дискретными угловыми моментами, несмотря на отсутствие орбитального углового момента. ^[3] Релятивистская теорема о спиновой статистике связывает квантование электронного спина с принципом исключения Паули : наблюдения исключения подразумевают спин, а наблюдения спина подразумевают исключение.

Математически спин описывается как вектор для некоторых частиц, таких как фотоны, а также как спиноры и биспиноры для других частиц, таких как электроны. Спиноры и биспиноры ведут себя аналогично векторам : они имеют определенные величины и изменяются при вращении; однако они используют нетрадиционное «направление». Все элементарные частицы данного вида имеют одинаковую величину спинового углового момента, хотя его направление может меняться. На это указывает присвоение частице спинового квантового числа . ^{[2] : 183–184.}

Единицы измерения спина в системе СИ те же, что и классический угловой момент (т. е. Н · м · с , Дж ·с или кг ·м ² ·с ^-1 ). В квантовой механике угловой момент и спиновый угловой момент принимают дискретные значения, пропорциональные постоянной Планка . На практике спин обычно задается как безразмерное спиновое квантовое число путем деления углового момента спина на приведенную постоянную Планка ħ . Часто «спиновое квантовое число» называют просто «спин».

Модели

Вращающаяся заряженная масса

Самые ранние модели спина электрона предполагали вращающуюся заряженную массу, но эта модель терпит неудачу при детальном рассмотрении: требуемое пространственное распределение не соответствует ограничениям на радиус электрона : требуемая скорость вращения превышает скорость света. В Стандартной модели все фундаментальные частицы считаются «точечными»: они оказывают свое воздействие через поле, которое их окружает. ^[4] Любая модель вращения, основанная на вращении массы, должна быть совместима с этой моделью.

«Классически неописуемая двузначность» Паули.

Вольфганг Паули , центральная фигура в истории квантового спина, первоначально отверг любую идею о том, что «степень свободы», которую он ввел для объяснения экспериментальных наблюдений, была связана с вращением. Он назвал это «классически неописуемой двузначностью». Позже он допустил, что оно связано с угловым моментом, и настаивал на том, чтобы считать спин абстрактным свойством. ^[5] Этот подход позволил Паули разработать доказательство его фундаментального принципа исключения Паули , доказательство, которое теперь называется теоремой спин-статистики . ^[6] Оглядываясь назад, эта настойчивость и стиль его доказательства положили начало современной эре физики элементарных частиц, где доминируют абстрактные квантовые свойства, вытекающие из свойств симметрии. Конкретная интерпретация стала вторичной и необязательной. ^[5]

Релятивистский электрон Дирака

Количественные расчеты спиновых свойств электронов требуют релятивистского волнового уравнения Дирака . ^[6]

Круговорот классических полей

В то время как первая классическая модель вращения предлагала небольшую твердую частицу, вращающуюся вокруг оси, как можно предположить из обычного использования этого слова, можно разработать другую классическую модель, основанную на полях: «спин можно рассматривать как угловой момент, создаваемый циркулирующим потоком заряда в волновом поле электрона». ^[7] Классическим аналогом квантового спина является циркуляция энергии или плотности импульса в волновом поле частицы: «спин, по сути, является волновым свойством». ^[7] Та же самая концепция вращения может быть применена к гравитационным волнам в воде: «вращение генерируется субволновым круговым движением частиц воды». ^[8]

В отличие от классической циркуляции волнового поля, которая допускает непрерывные значения углового момента, квантовые волновые поля допускают только дискретные значения. ^[7] Следовательно, передача энергии в спиновые состояния или из них всегда происходит с фиксированными квантовыми шагами. Разрешены только несколько шагов: для многих качественных целей сложность спиновых квантовых волновых полей можно игнорировать, а свойства системы можно обсуждать в терминах «целочисленных» или «полуцелых» спиновых моделей, как обсуждается в квантовых числах ниже.

Связь с орбитальным угловым моментом

Как следует из названия, спин изначально задумывался как вращение частицы вокруг некоторой оси. Исторически орбитальный угловой момент связан с орбитами частиц. ^{[9] : 131} Хотя названия, основанные на механических моделях, сохранились, физическое объяснение не сохранилось. Квантование фундаментально меняет характер как спина, так и орбитального углового момента.

Поскольку элементарные частицы точечны, для них нет четкого определения собственного вращения. Однако спин подразумевает, что фаза частицы зависит от угла as , при вращении угла θ вокруг оси, параллельной спину S . Это эквивалентно квантовомеханической интерпретации импульса как фазовой зависимости от положения, а орбитального углового момента как фазовой зависимости от углового положения. ${\displaystyle e^{iS\theta }}$

Для фермионов картина менее ясна. Угловая скорость равна по теореме Эренфеста производной гамильтониана к его сопряженному импульсу , который является оператором полного углового момента J = L + S. Следовательно, если гамильтониан H зависит от спина S , dH / dS не равно нулю, и спин вызывает угловую скорость и, следовательно, фактическое вращение, т.е. изменение соотношения фаза-угол с течением времени. Однако остается неясным, справедливо ли это для свободного электрона, поскольку для электрона S ² является постоянным, и поэтому вопрос интерпретации включает ли гамильтониан такой член. Тем не менее, в уравнении Дирака появляется спин , и, таким образом, релятивистский гамильтониан электрона, рассматриваемый как поле Дирака , можно интерпретировать как включающий зависимость от спина S. ^[10]

Квантовое число

Спин подчиняется математическим законам квантования углового момента . К специфическим свойствам спиновых угловых моментов относятся:

• Спиновые квантовые числа могут принимать полуцелые значения.
• Хотя направление ее вращения можно изменить, величину спина элементарной частицы изменить невозможно.
• Спин заряженной частицы связан с магнитным дипольным моментом с g -фактором , отличным от 1. (В классическом контексте это означало бы, что у вращающегося объекта различаются распределения внутреннего заряда и массы . ^[11] ).

Традиционное определение спинового квантового числа : s =н/2, где n может быть любым неотрицательным целым числом . Следовательно, допустимые значения s равны 0,1/2, 1,3/2, 2 и т. д. Значение s для элементарной частицы зависит только от типа частицы и не может быть изменено каким-либо известным способом (в отличие от направления спина, описанного ниже). Спиновый угловой момент S любой физической системы квантован . Допустимые значения S :

$${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$

hпостоянная Планкаорбитальный угловой моментsn ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

Фермионы и бозоны

Эти частицы с полуцелыми спинами, такие как1/2,3/2,5/2, известны как фермионы , а частицы с целыми спинами, например 0, 1, 2, известны как бозоны . Эти два семейства частиц подчиняются разным правилам и в целом играют разные роли в окружающем нас мире. Ключевое различие между этими двумя семействами заключается в том, что фермионы подчиняются принципу исключения Паули : то есть не может быть двух идентичных фермионов, одновременно имеющих одинаковые квантовые числа (то есть, грубо говоря, имеющих одинаковое положение, скорость и направление вращения). Фермионы подчиняются правилам статистики Ферми – Дирака . Напротив, бозоны подчиняются правилам статистики Бозе-Эйнштейна и не имеют такого ограничения, поэтому они могут «сгруппироваться» в идентичных состояниях. Кроме того, составные частицы могут иметь спины, отличные от спинов составляющих их частиц. Например, атом гелия-4 в основном состоянии имеет спин 0 и ведет себя как бозон, хотя все кварки и электроны, составляющие его, являются фермионами.

Это имеет некоторые глубокие последствия:

• Кварки и лептоны (включая электроны и нейтрино ), составляющие то, что классически известно как материя , являются фермионами со спином. 1/2. Распространенная идея о том, что «материя занимает пространство», на самом деле исходит из принципа запрета Паули , действующего на эти частицы и не позволяющего фермионам находиться в одном и том же квантовом состоянии. Дальнейшее уплотнение потребует, чтобы электроны заняли одни и те же энергетические состояния, и поэтому своего рода давление (иногда называемое давлением вырождения электронов ) препятствует нахождению фермионов слишком близко.
  Элементарные фермионы с другими спинами (3/2,5/2и т. д.), о существовании которых не известно.
• Все элементарные частицы, которые считаются несущими силами, являются бозонами со спином 1. К ним относятся фотон , который переносит электромагнитное взаимодействие , глюон ( сильное взаимодействие ) и W- и Z-бозоны ( слабое взаимодействие ). Способность бозонов занимать одно и то же квантовое состояние используется в лазере , который выравнивает множество фотонов, имеющих одинаковое квантовое число (одинаковое направление и частоту), в сверхтекучем жидком гелии, возникающем в результате того, что атомы гелия-4 являются бозонами, и в сверхпроводимости , где пары электронов (которые по отдельности являются фермионами) действуют как отдельные составные бозоны.
  Исторически не было известно о существовании элементарных бозонов с другими спинами (0, 2, 3 и т. д.), хотя они получили значительное теоретическое рассмотрение и прочно укоренились в соответствующих основных теориях. В частности, теоретики предложили гравитон (существование которого предсказывается некоторыми теориями квантовой гравитации ) со спином 2 и бозон Хиггса (объясняющий нарушение электрослабой симметрии ) со спином 0. С 2013 года считается доказанным существование бозона Хиггса со спином 0. существовать. ^[12] Это первая скалярная элементарная частица (спин 0), известная о существовании в природе.
• Атомные ядра имеют ядерный спин , который может быть полуцелым или целым, так что ядра могут быть либо фермионами, либо бозонами.

Теорема о спин-статистике

Теорема о спин-статистике разделяет частицы на две группы: бозоны и фермионы , где бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , а фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака (и, следовательно, принципу исключения Паули ). В частности, теорема требует, чтобы частицы с полуцелым спином подчинялись принципу исключения Паули , а частицы с целым спином — нет. Например, электроны имеют полуцелый спин и являются фермионами, подчиняющимися принципу Паули, тогда как фотоны имеют целочисленный спин и не подчиняются ему. Теорема была выведена Вольфгангом Паули в 1940 году; он опирается как на квантовую механику, так и на специальную теорию относительности . Паули описал эту связь между спином и статистикой как «одно из наиболее важных приложений специальной теории относительности». ^[13]

Магнитные моменты

Схематическая диаграмма, изображающая спин нейтрона в виде черной стрелки и силовые линии магнитного поля, связанные с магнитным моментом нейтрона . Нейтрон имеет отрицательный магнитный момент. Хотя на этой диаграмме спин нейтрона направлен вверх, силовые линии магнитного поля в центре диполя направлены вниз.

Частицы со спином могут обладать магнитным дипольным моментом , подобно вращающемуся электрически заряженному телу в классической электродинамике . Эти магнитные моменты можно экспериментально наблюдать несколькими способами, например, путем отклонения частиц неоднородными магнитными полями в эксперименте Штерна-Герлаха или путем измерения магнитных полей, генерируемых самими частицами.

Собственный магнитный момент μ спин-1/2частица с зарядом q , массой m и спиновым угловым моментом S равна ^[14]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

где безразмерная величина g _s называется спиновым g -фактором . Для исключительно орбитального вращения это будет 1 (при условии, что масса и заряд занимают сферы одинакового радиуса).

Электрон, будучи заряженной элементарной частицей, обладает ненулевым магнитным моментом . Одним из триумфов теории квантовой электродинамики является точное предсказание g -фактора электрона , который, как было экспериментально установлено, имеет значение−2,002 319 304 362 56 (35) , где цифры в скобках обозначают погрешность измерения в последних двух цифрах при одном стандартном отклонении . ^[15] Значение 2 возникает из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами, и отклонения от−2 возникает в результате взаимодействия электрона с окружающим электромагнитным полем , включая его собственное поле. ^[16]

Сложные частицы также обладают магнитными моментами, связанными с их спином. В частности, нейтрон обладает ненулевым магнитным моментом, несмотря на то, что он электрически нейтрален. Этот факт был ранним указанием на то, что нейтрон не является элементарной частицей. На самом деле он состоит из кварков — электрически заряженных частиц. Магнитный момент нейтрона возникает из спинов отдельных кварков и их орбитальных движений.

Нейтрино одновременно элементарны и электрически нейтральны. Минимально расширенная Стандартная модель , учитывающая ненулевые массы нейтрино, предсказывает магнитные моменты нейтрино: ^{[17] [18] [19]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

где µ _ν — магнитные моменты нейтрино, m _ν — массы нейтрино, а µ _B — магнетон Бора . Однако новая физика выше электрослабого уровня может привести к значительно более высоким магнитным моментам нейтрино. Независящим от модели способом можно показать, что магнитные моменты нейтрино, превышающие примерно 10 ^-14  мкБ _, являются «неестественными», поскольку они также приводят к большому радиационному вкладу в массу нейтрино. Поскольку известно, что массы нейтрино не превышают около1 эВ/ c ² , необходима точная настройка , чтобы предотвратить большой вклад в массу нейтрино за счет радиационных поправок. ^[20] Измерение магнитных моментов нейтрино является активной областью исследований. Экспериментальные результаты показали, что магнитный момент нейтрино составляет менееВ 1,2 × 10 ^-10  раз больше магнитного момента электрона.

С другой стороны, элементарные частицы со спином, но без электрического заряда, такие как фотон или Z-бозон , не имеют магнитного момента.

Температура Кюри и потеря выравнивания

В обычных материалах магнитные дипольные моменты отдельных атомов создают магнитные поля, которые нейтрализуют друг друга, поскольку каждый диполь направлен в случайном направлении, а общее среднее значение очень близко к нулю. Однако ферромагнитные материалы ниже температуры Кюри имеют магнитные домены , в которых атомные дипольные моменты спонтанно выравниваются локально, создавая макроскопическое ненулевое магнитное поле из домена. Это обычные «магниты», с которыми мы все знакомы.

В парамагнетиках магнитные дипольные моменты отдельных атомов частично совпадают с внешним магнитным полем. С другой стороны, в диамагнетиках магнитные дипольные моменты отдельных атомов выравниваются противоположно любому внешнему магнитному полю, даже если для этого требуется энергия.

Изучение поведения таких « спиновых моделей » является бурно развивающейся областью исследований в физике конденсированного состояния . Например, модель Изинга описывает спины (диполи), которые имеют только два возможных состояния: вверх и вниз, тогда как в модели Гейзенберга вектор спина может указывать в любом направлении. Эти модели обладают многими интересными свойствами, которые привели к интересным результатам в теории фазовых переходов .

Направление

Квантовое число и кратность проекции спина

В классической механике момент импульса частицы обладает не только величиной (насколько быстро вращается тело), ​​но и направлением (вверх или вниз по оси вращения частицы). Квантово-механический спин также содержит информацию о направлении, но в более тонкой форме. Квантовая механика утверждает, что составляющая углового момента частицы со спином s , измеренная вдоль любого направления, может принимать только значения ^[21]

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

где S _i — компонент спина вдоль i -й оси (либо x , y , либо z ), s _i — квантовое число проекции спина вдоль i -й оси, а s — главное квантовое число спина (обсуждается в предыдущий раздел). Обычно выбранным направлением является ось z  :

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

где S _z — спиновая компонента вдоль оси z  , s _z — квантовое число проекции спина вдоль оси z  .

Видно, что существует 2 s + 1 возможных значений s _z . Число « 2s +1 » — это кратность спиновой системы . Например, существует только два возможных значения спина .1/2частица: s _z = +1/2и s _z = -1/2. Они соответствуют квантовым состояниям , в которых компонент спина направлен в направлениях + z или - z соответственно, и их часто называют «спин вверх» и «спин вниз». Для спин-3/2частица, такая как дельта-барион , возможные значения: +3/2, +1/2, −1/2, −3/2.

Вектор

Одна точка в пространстве может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 градусов спираль переключается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается к исходной конфигурации после поворота на полные 720° .

Для данного квантового состояния можно было бы подумать о векторе спина , компоненты которого являются средними значениями компонентов спина вдоль каждой оси, т.е. Тогда этот вектор будет описывать «направление», в котором указывает вращение, что соответствует классической концепции оси вращения . Оказывается, вектор спина не очень полезен в реальных квантово-механических расчетах, поскольку его нельзя измерить напрямую: s _x , s _y и s _z не могут одновременно иметь определенные значения из-за соотношения квантовой неопределенности между ними. Однако для статистически больших коллекций частиц, которые были помещены в одно и то же чистое квантовое состояние, например, с помощью аппарата Штерна-Герлаха , вектор спина действительно имеет четко определенное экспериментальное значение: он определяет направление в обычном пространстве. при котором последующий детектор должен быть ориентирован так, чтобы достичь максимально возможной вероятности (100%) обнаружения каждой частицы в коллекции. Для спин- ${\textstyle \langle S\rangle }$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$1/2частиц, эта вероятность плавно падает с увеличением угла между вектором спина и детектором, пока под углом 180°, т. е. для детекторов, ориентированных в противоположном направлении к вектору спина, не наступает ожидание регистрации частиц из коллекции достигает минимум 0%.

В качестве качественного понятия вектор спина часто бывает удобен, поскольку его легко представить классически. Например, квантово-механический спин может проявлять явления, аналогичные классическим гироскопическим эффектам . Например, можно приложить к электрону своего рода « крутящий момент », поместив его в магнитное поле (поле воздействует на собственный магнитный дипольный момент электрона — см. следующий раздел). В результате вектор спина претерпевает прецессию , как в классическом гироскопе. Это явление известно как электронный спиновый резонанс (ЭПР). Эквивалентное поведение протонов в атомных ядрах используется в спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и визуализации.

Математически квантово-механические спиновые состояния описываются вектороподобными объектами, известными как спиноры . Существуют тонкие различия между поведением спиноров и векторов при вращении координат . Например, вращение спин-1/2частица на 360° возвращает ее не в то же самое квантовое состояние, а в состояние с противоположной квантовой фазой ; в принципе это можно обнаружить с помощью интерференционных экспериментов. Чтобы вернуть частицу в исходное состояние, необходимо повернуть ее на 720°. ( Трюк с пластиной и лента Мёбиуса дают неквантовые аналогии.) Частица с нулевым спином может иметь только одно квантовое состояние, даже после приложения крутящего момента. Поворот частицы со спином 2 на 180° может вернуть ее в то же квантовое состояние, а частицу со спином 4 следует повернуть на 90°, чтобы вернуть ее в то же квантовое состояние. Частицу со спином 2 можно представить как прямую палку, которая выглядит одинаково даже после поворота на 180°, а частицу со спином 0 можно представить как сферу, которая выглядит одинаково под любым углом, на который ее повернули.

Математическая формулировка

Оператор

Спин подчиняется коммутационным соотношениям ^[22], аналогичным коммутационным соотношениям орбитального углового момента :

$${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$

ε _jklсимвол Леви-Чивитаугловым моментомвекторыкетыS- базисе^{[2] : 166.} ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

Операторы повышения и понижения спина , действующие на эти собственные векторы, дают

$${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$

^{[2] : 166} ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

Но в отличие от орбитального углового момента собственные векторы не являются сферическими гармониками . Они не являются функциями θ и φ . Также нет причин исключать полуцелые значения s и m _s .

Все квантовомеханические частицы обладают собственным спином (хотя эта величина может быть равна нулю). Проекция спина на любую ось квантуется в единицах приведенной постоянной Планка , так что функция состояния частицы равна, скажем, не , а , где может принимать только значения следующего дискретного набора: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$ ${\displaystyle s_{z}}$

$${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

Различают бозоны (целый спин) и фермионы (полуцелый спин). Тогда полный угловой момент, сохраняющийся в процессах взаимодействия, представляет собой сумму орбитального углового момента и спина.

Матрицы Паули

Квантово -механические операторы , связанные со спин-1/2 наблюдаемые _

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$

$${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

Для частного случая спин-1/2частицы, σ _x , σ _y и σ _z — три матрицы Паули :

$${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Принцип исключения Паули

Принцип исключения Паули гласит, что волновая функция системы из N одинаковых частиц, имеющих спин s , должна меняться при обмене местами любых двух из N частиц как ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$

$${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

Таким образом, для бозонов префактор (−1) ^{2 s} уменьшится до +1, для фермионов — до −1. Этот постулат перестановки функций состояния N -частиц имеет наиболее важные последствия в повседневной жизни, например, в периодической таблице химических элементов.

Ротации

Как описано выше, квантовая механика утверждает, что компоненты углового момента, измеренные в любом направлении, могут принимать только несколько дискретных значений. Поэтому наиболее удобным квантовомеханическим описанием спина частицы является набор комплексных чисел, соответствующих амплитудам нахождения заданного значения проекции ее собственного углового момента на заданную ось. Например, для спин-1/2частице, нам понадобятся два числа a _±1/2 , дающие амплитуды ее нахождения с проекцией углового момента, равной +час/2и —час/2, удовлетворяющий требованию

$${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

Для типичной частицы со спином s нам понадобится 2 s + 1 таких параметров. Поскольку эти числа зависят от выбора оси, они нетривиально переходят друг в друга при вращении этой оси. Понятно, что закон преобразования должен быть линейным, поэтому мы можем представить его, сопоставляя каждому вращению матрицу, а произведение двух матриц преобразования, соответствующих вращениям A и B, должно быть равно (с точностью до фазы) матрице, представляющей вращение. АБ. Кроме того, вращения сохраняют квантовомеханический внутренний продукт, как и наши матрицы преобразования:

$${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$

$${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

Говоря математическим языком, эти матрицы представляют собой унитарное проективное представление группы вращений SO(3) . Каждое такое представление соответствует представлению накрывающей группы SO(3), которым является SU(2) . ^[23] Существует одно n -мерное неприводимое представление SU(2) для каждого измерения, хотя это представление является n -мерным действительным для нечетного n и n -мерным комплексным для четного n (следовательно, вещественного измерения 2 n ). Для поворота на угол θ в плоскости с вектором нормали ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

$${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$

S ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Доказательство

Работая в системе координат где , мы хотели бы показать, что S _x и S _y повернуты друг к другу на угол θ . Начиная с Sx _. Использование единиц измерения, где ħ = 1 : ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\cdots \end{aligned}}}$$

Используя соотношения коммутации спинового оператора, мы видим, что коммутаторы оцениваются как i S _y для нечетных членов ряда и как S _x для всех четных членов. Таким образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

как и ожидалось. Обратите внимание, что, поскольку мы полагались только на коммутационные соотношения спинового оператора, это доказательство справедливо для любой размерности (т. е. для любого главного спинового квантового числа s ) ^{[24] : 164}

Типовое вращение в трехмерном пространстве можно построить путем объединения операторов этого типа с использованием углов Эйлера :

$${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

Неприводимое представление этой группы операторов дает D-матрица Вигнера :

$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$

$${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$

малая d-матрица Вигнераγ = 2πα = β = 0z

$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

Вспоминая, что общее состояние спина может быть записано как суперпозиция состояний с определенным m , мы видим, что если s является целым числом, все значения m являются целыми числами, и эта матрица соответствует тождественному оператору. Однако, если s является полуцелым числом, все значения m также являются полуцелыми числами, что дает (−1) ^{2 m} = −1 для всех m , и, следовательно, при вращении на 2 π состояние принимает знак минус. Этот факт является ключевым элементом доказательства теоремы о спин-статистике .

Преобразования Лоренца

Мы могли бы попробовать тот же подход, чтобы определить поведение спина при общих преобразованиях Лоренца , но мы сразу же обнаружили бы серьезное препятствие. В отличие от SO(3), группа преобразований Лоренца SO(3,1) некомпактна и поэтому не имеет точных унитарных конечномерных представлений.

В случае спин-1/2частиц, можно найти конструкцию, включающую как конечномерное представление, так и скалярное произведение, сохраняемое этим представлением. Каждой частице мы сопоставляем 4-компонентный спинор Дирака ψ . Эти спиноры преобразуются при преобразованиях Лоренца по закону

$${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$

γ _νгамма-матрицыω _µν

$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

Измерение вращения вдоль осей x , y или z

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули спин-1/2частица имеет два собственных значения : +1 и −1. Соответствующие нормированные собственные векторы :

$${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(Поскольку любой собственный вектор, умноженный на константу, по-прежнему является собственным вектором, общий знак остается неоднозначным. В этой статье выбрано соглашение, позволяющее сделать первый элемент мнимым и отрицательным, если существует неоднозначность знака. Настоящее соглашение используется программное обеспечение, такое как SymPy ; в то время как многие учебники по физике, такие как Сакураи и Гриффитс, предпочитают делать это реальным и позитивным.)

Согласно постулатам квантовой механики , эксперимент, предназначенный для измерения спина электрона на оси x , y или z  , может дать только собственное значение соответствующего оператора спина ( S _x , S _y или S _z ) на этой оси, т.е.час/2или -час/2. Квантовое состояние частицы (относительно спина) может быть представлено двухкомпонентным спинором :

$${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

Когда спин этой частицы измеряется относительно заданной оси (в данном примере оси x  ), вероятность того, что ее спин будет измерен какчас/2просто . Соответственно, вероятность того, что его спин будет измерен как – ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$час/2просто . После измерения спиновое состояние частицы схлопывается в соответствующее собственное состояние. В результате, если было измерено, что спин частицы вдоль данной оси имеет данное собственное значение, все измерения дадут одно и то же собственное значение (поскольку и т. д.), при условии, что никакие измерения вращения вдоль других осей не производятся. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

Измерение вращения вдоль произвольной оси

Оператор измерения спина в произвольном направлении оси легко получить из спиновых матриц Паули. Пусть u = ( u _x , u _y , u _z ) — произвольный единичный вектор. Тогда оператор вращения в этом направлении будет просто

$${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

Оператор S _u имеет собственные значения ±час/2, как и обычные спиновые матрицы. Этот метод нахождения оператора вращения в произвольном направлении распространяется на состояния с более высоким спином: берется скалярное произведение направления с вектором трех операторов для трех направлений осей x , y , z .

Нормированный спинор для спин-1/2в направлении ( u _x , u _y , u _z ) (что работает для всех состояний спина, кроме вращения вниз, где это даст0/0) является

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

Указанный спинор получается обычным способом путем диагонализации матрицы σ _u и нахождения собственных состояний, соответствующих собственным значениям. В квантовой механике векторы называются «нормализованными», если их умножить на нормализующий коэффициент, в результате чего вектор имеет длину, равную единице.

Совместимость измерений вращения

Поскольку матрицы Паули не коммутируют , измерения вращения по разным осям несовместимы. Это означает, что если, например, мы знаем вращение по оси X  , а затем измеряем вращение по оси Y  , мы лишаем законной силы наши предыдущие знания о  вращении по оси X. Это видно из свойства собственных векторов (т.е. собственных состояний) матриц Паули, которые

$${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Поэтому, когда физики измеряют спин частицы вдоль оси x  , например,час/2, спиновое состояние частицы схлопывается в собственное состояние . Когда мы затем впоследствии измерим вращение частицы вдоль оси y  , состояние вращения теперь коллапсируется в либо или , каждый из которых с вероятностью ${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$1/2. Скажем, в нашем примере, что мы измеряем —час/2. Когда мы теперь вернемся к измерению вращения частицы вдоль оси x  , вероятности, которые мы будем измерять,час/2или —час/2каждый1/2(т.е. они и соответственно). Это означает, что исходное измерение вращения вдоль оси x  больше недействительно, поскольку теперь будет измерено вращение вдоль оси x  , имеющее любое собственное значение с равной вероятностью. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

Высшие вращения

Спин-1/2оператор S =час/2σ образует фундаментальное представление SU (2) .взяв с собой кронекеровские произведения этого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующие операторы спина для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях могут быть рассчитаны для сколь угодно больших s с использованием этого оператора спина и лестничных операторов . Например, взяв произведение Кронекера двух спинов1/2дает четырехмерное представление, которое можно разделить на трехмерное представление со спином 1 ( триплетные состояния ) и одномерное представление со спином 0 ( синглетное состояние ).

В результате неприводимые представления дают следующие спиновые матрицы и собственные значения в z-базисе:

1. Для спина 1 они
   $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$
2. Для вращения3/2они есть
   $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$
3. Для вращения5/2они есть
   $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$
4. Обобщением этих матриц для произвольного спина s является
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}}$$
   где индексы представляют собой целые числа такие, что ${\displaystyle a,b}$
   $${\displaystyle 1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.}$$

Общая группа Паули G _n также полезна в квантовой механике многочастичных систем и определяется как состоящая из всех n -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Аналог формулы Эйлера в терминах матриц Паули

$${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

^[25]

Паритет

В таблицах спинового квантового числа s для ядер или частиц за спином часто стоит «+» или «-». Это относится к четности с «+» для четности (волновая функция не изменяется в результате пространственной инверсии) и «-» для нечетной четности (волновая функция отрицается пространственной инверсией). Например, см. изотопы висмута , в которых список изотопов включает столбец ядерного спина и четности. Для Bi-209, самого долгоживущего изотопа, запись 9/2– означает, что спин ядра равен 9/2 и четность нечетная.

Приложения

Спин имеет важные теоретические последствия и практические применения. Хорошо зарекомендовавшие себя прямые применения спина включают:

• Спектроскопия ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в химии;
• Спектроскопия электронного спинового резонанса (ЭПР или ЭПР) в химии и физике;
• Магнитно-резонансная томография (МРТ) в медицине, разновидность прикладного ЯМР, основанная на спиновой плотности протонов;
• Гигантская магниторезистивная технология (GMR) в современных жестких дисках .

Спин электрона играет важную роль в магнетизме , который находит применение, например, в компьютерной памяти. Манипулирование спином ядра с помощью радиочастотных волн ( ядерный магнитный резонанс ) важно в химической спектроскопии и медицинской визуализации.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к тонкой структуре атомных спектров, которая используется в атомных часах и в современном определении секунды . Точные измерения g -фактора электрона сыграли важную роль в развитии и проверке квантовой электродинамики . Спин фотона связан с поляризацией света ( поляризация фотона ).

Новое применение спина – использование двоичного носителя информации в спиновых транзисторах . Оригинальная концепция, предложенная в 1990 году, известна как спиновый транзистор Датта-Даса . ^[26] Электроника на основе спиновых транзисторов называется спинтроникой . Манипулирование спином в разбавленных магнитных полупроводниковых материалах , таких как легированный металлом ZnO или TiO ₂ , придает дополнительную степень свободы и потенциально может облегчить изготовление более эффективной электроники. ^[27]

Существует множество косвенных применений и проявлений спина и связанного с ним принципа Паули , начиная с периодической таблицы в химии.

История

Вольфганг Паули читает лекции

Спин был впервые обнаружен в контексте спектра излучения щелочных металлов . Начиная примерно с 1910 года, во многих экспериментах на различных атомах была получена совокупность соотношений, включающих квантовые числа для атомных энергетических уровней, частично обобщенных в модели атома Бора ^{[28] : 106} Переходы между уровнями подчинялись правилам отбора , и было известно, что эти правила коррелируют с четными числами. или нечетный атомный номер . Дополнительная информация была получена из изменений атомного спектра, наблюдаемых в сильных магнитных полях, известных как эффект Зеемана . В 1924 году Вольфганг Паули использовал эту большую коллекцию эмпирических наблюдений, чтобы предложить степень свободы, ^[6] введя то, что он назвал «двузначностью, не поддающейся классическому описанию» ^[29] , связанной с электроном во внешней оболочке .

Физическая интерпретация «степени свободы» Паули изначально была неизвестна. Ральф Крониг , один из помощников Альфреда Ланде , предположил в начале 1925 года, что он возник в результате самовращения электрона. Когда Паули услышал об этой идее, он резко раскритиковал ее, отметив, что гипотетическая поверхность электрона должна будет двигаться быстрее скорости света , чтобы вращаться достаточно быстро, чтобы создать необходимый угловой момент. Это нарушило бы теорию относительности . Во многом из-за критики Паули Крониг решил не публиковать свою идею. ^[30]

Осенью 1925 года та же мысль пришла в голову голландским физикам Джорджу Уленбеку и Сэмюэлю Гаудсмиту из Лейденского университета . По совету Пауля Эренфеста они опубликовали свои результаты. ^[31] Молодые физики сразу же пожалели о публикации: Хендрик Лоренц и Вернер Гейзенберг указали на проблемы с концепцией вращающегося электрона. ^[32]

Паули был особенно неубежден и продолжал стремиться к своей двузначной степени свободы. Это позволило ему сформулировать принцип исключения Паули , утверждающий, что никакие два электрона не могут иметь одинаковое квантовое состояние в одной и той же квантовой системе.

К счастью, к февралю 1926 года Ллевеллину Томасу удалось устранить двукратное расхождение между экспериментальными результатами тонкой структуры спектра водорода и расчетами, основанными на модели Уленбека и Гаудсмита (и неопубликованной модели Кронига). ^{[2] : 385} Это несоответствие возникло из-за релятивистского эффекта, разницы между вращающейся системой покоя электрона и системой покоя ядра; эффект теперь известен как прецессия Томаса . ^[6] Результат Томаса убедил Паули в том, что спин электрона является правильной интерпретацией его двузначной степени свободы, в то время как он продолжал настаивать на том, что классическая модель вращающегося заряда недействительна. ^{[29] [5]}

В 1927 году Паули формализовал теорию спина, используя теорию квантовой механики, изобретенную Эрвином Шрёдингером и Вернером Гейзенбергом . Он был пионером в использовании матриц Паули для представления операторов спина и ввел двухкомпонентную спинорную волновую функцию.

Теория вращения Паули была нерелятивистской. В 1928 году Поль Дирак опубликовал свое релятивистское уравнение электрона, используя четырехкомпонентный спинор (известный как « спинор Дирака ») для волновой функции электрона. Релятивистский спин объяснил гиромагнитную аномалию. В 1940 году Паули доказал теорему спин-статистики , которая утверждает, что фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны — целый спин. ^[6]

Оглядываясь назад, можно сказать, что первым прямым экспериментальным доказательством спина электрона был эксперимент Штерна-Герлаха 1922 года. Однако правильное объяснение этого эксперимента было дано только в 1927 году. ^[33] К тому времени стало понятно, что замкнутые оболочки атомов серебра Используемые в эксперименте не дают вклада в магнитный момент, и на поле реагирует только несогласованный спин внешнего электрона.

Смотрите также

• Хиральность (физика)
• Динамическая ядерная поляризация
• Спиральность (физика элементарных частиц)
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Теорема Крамерса
• уравнение Паули
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Уравнение Рариты – Швингера
• Теория представлений SU(2)
• Спиновый угловой момент света
• Спиновая инженерия
• Спин-флип
• Спиновые изомеры водорода
• Спин-орбитальное взаимодействие
• Тензор спина
• Спиновая волна
• Ираст

Рекомендации

1. Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 372–373. ISBN 978-0-471-88702-7.
2. Гриффитс, Дэвид (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.).
3. Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Уайли. стр. 272–273. ISBN 978-0-471-87373-0.
4. "Фермилаб сегодня". www.fnal.gov . Проверено 16 июня 2023 г.
5. Джулини, Доменико (1 сентября 2008 г.). «Электронный спин или «классически неописуемая двузначность»». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 39 (3): 557–578. doi :10.1016/j.shpsb.2008.03.005. ISSN  1355-2198.
6. Фрелих, Юрг (2009). «Спин, или собственно: спин и квантовая статистика». В Дюплантье, Бертран; Раймонд, Жан-Мишель; Ривассо, Винсент (ред.). Спин. Прогресс в математической физике, том 55. Базель: Birkhäuser Basel. стр. 1–60. дои : 10.1007/978-3-7643-8799-0_1. ISBN 978-3-7643-8798-3.
7. Оганян, Ганс К. (1986-06-01). «Что такое вращение?» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (6): 500–505. Бибкод : 1986AmJPh..54..500O. дои : 10.1119/1.14580. ISSN  0002-9505.
8. Блиох, Константин Ю.; Пунцманн, Хорст; Ся, Хуа; Нори, Франко; Шац, Майкл (21 января 2022 г.). «Теория поля: вращение и импульс в водных волнах». Достижения науки . 8 (3): eabm1295. Бибкод : 2022SciA....8.1295B. doi : 10.1126/sciadv.abm1295. ISSN  2375-2548. ПМЦ 8782445 . ПМИД  35061526. 
9. Уиттакер, сэр Эдмунд (1 января 1989). История теорий эфира и электричества . Том. 2. Публикации Courier Dover. п. 87. ИСБН 0-486-26126-3.
10. Пескин, М.Э. , и Шредер, Д.В. (1995). Квантовая теория поля , Гл. 3. Расширенная книжная программа.
11. Себенс, Чарльз Т. (ноябрь 2019 г.). «Как вращаются электроны». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 68 : 40–50. arXiv : 1806.01121 . doi :10.1016/j.shpsb.2019.04.007. S2CID  51693779.
12. Информация о бозоне Хиггса на официальном сайте ЦЕРН .
13. Паули, Вольфганг (1940). «Связь между вращением и статистикой» (PDF) . Физ. Преподобный . 58 (8): 716–722. Бибкод : 1940PhRv...58..716P. doi : 10.1103/PhysRev.58.716.
14. Физика атомов и молекул, Б. Х. Брансден, К. Дж. Хоахейн, Лонгман, 1983, ISBN 0-582-44401-2 . 
15. «Значение CODATA 2018: фактор g электрона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 13 марта 2020 г.
16. Фейнман, Р.П. (1985). «Электроны и их взаимодействия». КЭД: Странная теория света и материи . Принстон, Нью-Джерси : Издательство Принстонского университета . п. 115. ИСБН 978-0-691-08388-9. Через несколько лет было обнаружено, что это значение [ −1/2 g ] было не ровно 1, а чуть больше – что-то вроде 1,00116. Эта поправка была впервые рассчитана в 1948 году Швингером как j × j , разделенная на 2 π [ sic ] [где j — квадратный корень из постоянной тонкой структуры ], и возникла из-за альтернативного пути, по которому электрон может двигаться. с места на место: вместо того, чтобы идти прямо из одной точки в другую, электрон некоторое время идет вперед и внезапно испускает фотон; затем (ужас!) он поглощает собственный фотон.
17. Марчиано, WJ ; Санда, А.И. (1977). «Экзотические распады мюона и тяжелых лептонов в калибровочных теориях». Письма по физике . Б67 (3): 303–305. Бибкод : 1977PhLB...67..303M. дои : 10.1016/0370-2693(77)90377-X.
18. Ли, BW ; Шрок, RE (1977). «Естественное подавление нарушения симметрии в калибровочных теориях: несохранение мюонного и электронного лептонного чисел». Физический обзор . Д16 (5): 1444–1473. Бибкод : 1977PhRvD..16.1444L. doi :10.1103/PhysRevD.16.1444. S2CID  1430757.
19. К. Фудзикава; Р.Э. Шрок (1980). «Магнитный момент массивного нейтрино и вращение спина нейтрино». Письма о физических отзывах . 45 (12): 963–966. Бибкод : 1980PhRvL..45..963F. doi :10.1103/PhysRevLett.45.963.
20. Белл, Северная Каролина; Чирильяно, В.; Рэмси-Мусольф, М.; Фогель, П.; Мудро, Марк; и другие. (2005). «Насколько магнитным является нейтрино Дирака?». Письма о физических отзывах . 95 (15): 151802. arXiv : hep-ph/0504134 . Бибкод : 2005PhRvL..95o1802B. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.151802. PMID  16241715. S2CID  7832411.
21. Quanta: Справочник концепций, PW Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1 . 
22. Мессия, Альберт (2014). «Угловой момент в квантовой механике». Квантовая механика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 540. ИСБН 978-1-306-51279-4. ОСЛК  874097814.
23. BC Hall (2013). Квантовая теория для математиков . Спрингер. стр. 354–358.
24. Сакураи, Джун Джон; Наполитано, Джим (2017). Современная квантовая механика (PDF) (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-42241-3.
25. Куртрайт, TL ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». СИГМА . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C. дои : 10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.
26. Датта, С .; Дас, Б. (1990). «Электронный аналог электрооптического модулятора». Письма по прикладной физике . 56 (7): 665–667. Бибкод : 1990ApPhL..56..665D. дои : 10.1063/1.102730.
27. Ассади, MHN; Ханаор, ДАХ (2013). «Теоретическое исследование энергетики и магнетизма меди в полиморфах TiO ₂ ». Журнал прикладной физики . 113 (23): 233913–233913–5. arXiv : 1304.1854 . Бибкод : 2013JAP...113w3913A. дои : 10.1063/1.4811539. S2CID  94599250.
28. Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900–1926 гг. (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
29. Вольфганг Паули (13 декабря 1946 г.). «Принцип исключения и квантовая механика». Нобелевская лекция . Нобелевская премия .
30. Паис, Авраам (1991). «Times» Нильса Бора . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 244. ISBN. 978-0-19-852049-8.
31. Уленбек, Г., Г.; Гаудсмит, С. (ноябрь 1925 г.). «Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des Internalen Verhaltens jedes einzelnen Elektrons». Die Naturwissenschaften (на немецком языке). 13 (47): 953–954. дои : 10.1007/bf01558878. ISSN  0028-1042. S2CID  32211960.
32. Паис, Авраам (1 декабря 1989). «Джордж Уленбек и открытие электронного спина». Физика сегодня . 42 (12): 34–40. дои : 10.1063/1.881186. ISSN  0031-9228.
33. Б. Фридрих; Д. Хершбах (2003). «Штерн и Герлах: как плохая сигара помогла переориентировать атомную физику». Физика сегодня . 56 (12): 53. Бибкод :2003ФТ....56л..53Ф. дои : 10.1063/1.1650229 . S2CID  17572089.

дальнейшее чтение

• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2006). Квантовая механика (2-томное изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-56952-7.
• Кондон, ЕС; Шортли, GH (1935). «Особенно глава 3». Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Хиппл, Дж.А.; Соммер, Х.; Томас, штат Калифорния (1949). «Точный метод определения Фарадея магнитным резонансом». Физический обзор . 76 (12): 1877–1878. Бибкод : 1949PhRv...76.1877H. дои : 10.1103/PhysRev.76.1877.2.
• Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательной симметрии физических систем . Уайли. ISBN 978-0-471-55264-2.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: Механика, колебания и волны, Термодинамика (5-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 978-0-7167-0809-4.

• Син-Итиро Томонага, История вращения, 1 997

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные со спином (физикой) в Wikiquote
• Гаудсмит об открытии спина электрона.
• Природа : «Вехи в развитии с 1896 года».
• ECE 495N Лекция 36: Лекция С. Датты Spin Online