Математическая физика относится к разработке математических методов для применения к физическим задачам . Журнал математической физики определяет эту область как «применение математики к физическим задачам и разработку математических методов, подходящих для таких приложений и формулирования физических теорий». [1] Альтернативное определение также могло бы включать математику, основанную на физике, известную как физическая математика . [2]
Существует несколько различных разделов математической физики, которые примерно соответствуют определенным историческим частям нашего мира.
Применение методов математической физики к классической механике обычно включает в себя строгую, абстрактную и продвинутую переформулировку механики Ньютона в терминах механики Лагранжа и механики Гамильтона (включая оба подхода при наличии ограничений). Обе формулировки воплощены в аналитической механике и приводят к пониманию глубокого взаимодействия между понятиями симметрии и сохраняющихся величин во время динамической эволюции механических систем, что воплощено в самой элементарной формулировке теоремы Нётер . Эти подходы и идеи были распространены на другие области физики, такие как статистическая механика , механика сплошной среды , классическая теория поля и квантовая теория поля . Более того, они предоставили множество примеров и идей в дифференциальной геометрии (например, несколько понятий из симплектической геометрии и векторных расслоений ).
В рамках собственно математики теория уравнений в частных производных , вариационное исчисление , анализ Фурье , теория потенциала и векторный анализ , пожалуй, наиболее тесно связаны с математической физикой. Эти области интенсивно разрабатывались со второй половины 18 в. (например, Даламбером , Эйлером , Лагранжем ) до 1930-х гг. Физические приложения этих разработок включают гидродинамику , небесную механику , механику сплошных сред , теорию упругости , акустику , термодинамику , электричество , магнетизм и аэродинамику .
Теория атомных спектров (а позже и квантовая механика ) развивалась почти одновременно с некоторыми частями математических областей линейной алгебры , спектральной теорией операторов , операторными алгебрами и, шире, функциональным анализом . Нерелятивистская квантовая механика включает в себя операторы Шрёдингера и связана с атомной и молекулярной физикой . Квантовая теория информации — еще одна специализация.
Специальная и общая теории относительности требуют совсем другого типа математики . Это была теория групп , сыгравшая важную роль как в квантовой теории поля , так и в дифференциальной геометрии . Однако постепенно это было дополнено топологическим и функциональным анализом в математическом описании явлений космологии , а также явлений квантовой теории поля . В математическом описании этих физических областей также важны некоторые понятия гомологической алгебры и теории категорий [3] .
Статистическая механика образует отдельную область, в которую входит теория фазовых переходов . Она опирается на гамильтонову механику (или ее квантовую версию) и тесно связана с более математической эргодической теорией и некоторыми частями теории вероятностей . Растет взаимодействие между комбинаторикой и физикой , в частности статистической физикой.
Использование термина «математическая физика» иногда является своеобразным . Некоторые разделы математики, первоначально возникшие в результате развития физики , фактически не считаются частями математической физики, в то время как другие тесно связанные области таковыми считаются. Например, обыкновенные дифференциальные уравнения и симплектическая геометрия обычно рассматриваются как чисто математические дисциплины, тогда как динамические системы и гамильтонова механика относятся к математической физике. Джон Херапат использовал этот термин в названии своего текста 1847 года о «математических принципах натуральной философии», сферой применения которого в то время были «причины тепла, упругости газов, гравитации и других великих явлений природы». [4]
Термин «математическая физика» иногда используется для обозначения исследований, направленных на изучение и решение физических задач или мысленных экспериментов в математически строгих рамках. В этом смысле математическая физика охватывает очень широкую академическую область, отличающуюся лишь сочетанием некоторых математических аспектов и аспектов теоретической физики. Математическая физика, хотя и связана с теоретической физикой , [5] в этом смысле подчеркивает математическую строгость того же типа, что и в математике.
С другой стороны, теоретическая физика подчеркивает связь с наблюдениями и экспериментальной физикой , что часто требует от физиков-теоретиков (и физиков-математиков в более общем смысле) использования эвристических , интуитивных или приблизительных аргументов. [6] Математики не считают такие аргументы строгими.
Такие физики-математики прежде всего расширяют и поясняют физические теории . Из-за требуемого уровня математической строгости эти исследователи часто имеют дело с вопросами, которые физики-теоретики считали уже решенными. Однако иногда они могут показать, что предыдущее решение было неполным, неверным или просто слишком наивным. Примерами могут служить проблемы, связанные с попытками вывести второй закон термодинамики из статистической механики . [ нужна цитация ] Другие примеры касаются тонкостей, связанных с процедурами синхронизации в специальной и общей теории относительности ( эффект Саньяка и синхронизация Эйнштейна ).
Попытки поставить физические теории на математически строгую основу не только способствовали развитию физики, но и повлияли на развитие некоторых математических областей. Например, развитие квантовой механики и некоторых аспектов функционального анализа во многом параллельны друг другу. Математическое исследование квантовой механики , квантовой теории поля и квантовой статистической механики привело к получению результатов в операторных алгебрах . Попытка построить строгую математическую формулировку квантовой теории поля также привела к некоторому прогрессу в таких областях, как теория представлений .
Существует традиция математического анализа природы, восходящая к древним грекам; примеры включают Евклида ( Оптика ), Архимеда ( О равновесии плоскостей , О плавающих телах ) и Птолемея ( Оптика , Гармоники ). [7] [8] Позже исламские и византийские ученые опирались на эти работы, и в конечном итоге они были вновь представлены или стали доступны Западу в 12 веке и в эпоху Возрождения .
В первом десятилетии 16-го века астроном-любитель Николай Коперник предложил гелиоцентризм и опубликовал трактат о нем в 1543 году. Он сохранил птолемеевскую идею эпициклов и просто стремился упростить астрономию, построив более простые наборы эпициклических орбит. Эпициклы состоят из кругов за кругами. Согласно физике Аристотеля , круг был совершенной формой движения и был внутренним движением пятого элемента Аристотеля — квинтэссенции или универсальной сущности, известной по-гречески как эфир для английского чистого воздуха — это была чистая субстанция за пределами подлунной сферы . и таким образом был чистый состав небесных сущностей. Немец Иоганн Кеплер [1571–1630], помощник Тихо Браге , модифицировал коперниканские орбиты в эллипсы , формализованные в уравнениях законов движения планет Кеплера .
Увлеченный атомист Галилео Галилей в своей книге 1623 года «Пробирщик» утверждал, что «книга природы написана математикой». [9] Его книга 1632 года о телескопических наблюдениях поддерживала гелиоцентризм. [10] Введя эксперименты, Галилей затем опроверг геоцентрическую космологию , опровергнув саму аристотелевскую физику. Книга Галилея 1638 года «Рассуждение о двух новых науках» установила закон равного свободного падения, а также принципы инерционного движения, заложив центральные концепции того, что впоследствии стало современной классической механикой . [10] Согласно закону инерции Галилея, а также принципу инвариантности Галилея , также называемому относительностью Галилея, для любого объекта, испытывающего инерцию, существует эмпирическое обоснование знания только того, что он находится в относительном покое или относительном движении - покое или движении с отношению к другому объекту.
Рене Декарт, как известно, разработал полную систему гелиоцентрической космологии, основанную на принципе вихревого движения, картезианской физики , широкое распространение которой привело к упадку аристотелевской физики. Декарт стремился формализовать математические рассуждения в науке и разработал декартовы координаты для геометрического построения местоположений в трехмерном пространстве и обозначения их развития в потоке времени. [11]
Старший современник Ньютона, Христиан Гюйгенс , был первым, кто идеализировал физическую проблему с помощью набора параметров, и первым, кто полностью математизировал механистическое объяснение ненаблюдаемых физических явлений, и по этим причинам Гюйгенс считается первым физиком-теоретиком и одним из основоположники современной математической физики. [12] [13]
В эту эпоху уже были известны важные концепции исчисления , такие как фундаментальная теорема исчисления (доказанная в 1668 году шотландским математиком Джеймсом Грегори [14] ) и нахождение экстремумов и минимумов функций путем дифференцирования с использованием теоремы Ферма (французского математика Пьера де Ферма ). известный до Лейбница и Ньютона. Исаак Ньютон (1642–1727) разработал некоторые концепции исчисления (хотя Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал аналогичные концепции вне контекста физики) и метод Ньютона для решения физических задач. Он добился огромных успехов в применении математического анализа к теории движения. Теория движения Ньютона, изложенная в его «Математических принципах естественной философии», опубликованных в 1687 году, [15] моделировала три закона движения Галилея вместе с законом всемирного тяготения Ньютона в рамках абсолютного пространства , которое Ньютон предположил как физически реальную сущность Евклидова геометрическая структура, простирающаяся бесконечно во всех направлениях, предполагая при этом абсолютное время , предположительно оправдывая знание абсолютного движения, движения объекта относительно абсолютного пространства. Принцип галилеевой инвариантности/относительности просто подразумевался в теории движения Ньютона. Якобы сведя кеплеровские небесные законы движения, а также галилеевские земные законы движения к объединяющей силе, Ньютон достиг большой математической строгости, но с теоретической слабостью. [16]
В 18 веке швейцарец Даниэль Бернулли (1700–1782) внес вклад в гидродинамику и вибрирующие струны . Швейцарец Леонард Эйлер (1707–1783) провёл специальные работы в области вариационного исчисления , динамики, гидродинамики и других областей. Также известен был француз итальянского происхождения Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) своими работами в области аналитической механики : он сформулировал лагранжеву механику (механику Лагранжа ) и вариационные методы. Большой вклад в формулировку аналитической динамики, называемой гамильтоновой динамикой, также внес ирландский физик, астроном и математик Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865). Гамильтонова динамика сыграла важную роль в формулировании современных теорий физики, включая теорию поля и квантовую механику. Французский физик-математик Жозеф Фурье (1768–1830) ввел понятие ряда Фурье для решения уравнения теплопроводности , что привело к появлению нового подхода к решению уравнений в частных производных посредством интегральных преобразований .
В начале 19 века математики из Франции, Германии и Англии внесли свой вклад в математическую физику. Француз Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) внес первостепенный вклад в математическую астрономию , теорию потенциала . Симеон Дени Пуассон (1781–1840) работал в области аналитической механики и теории потенциала . В Германии Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) внес ключевой вклад в теоретические основы электричества , магнетизма , механики и гидродинамики . В Англии Джордж Грин (1793-1841) опубликовал в 1828 году «Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , который, помимо значительного вклада в математику, сделал ранний прогресс в установлении математических основ электричества и магнетизма. магнетизм.
За пару десятилетий до публикации Ньютоном теории частиц света голландец Христиан Гюйгенс (1629–1695) разработал волновую теорию света, опубликованную в 1690 году. К 1804 году эксперимент Томаса Янга с двумя щелями выявил интерференционную картину. , как если бы свет был волной, и, таким образом, была принята волновая теория света Гюйгенса, а также вывод Гюйгенса о том, что световые волны являются вибрациями светоносного эфира . Жан-Огюстен Френель смоделировал гипотетическое поведение эфира. Английский физик Майкл Фарадей ввел теоретическую концепцию поля, а не действия на расстоянии. В середине XIX века шотландец Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) свел электричество и магнетизм к теории электромагнитного поля Максвелла, а другие свели его к четырем уравнениям Максвелла . Первоначально оптика была обнаружена в результате [ нужных разъяснений ] поля Максвелла. Позже было обнаружено излучение, а затем известный сегодня электромагнитный спектр , также являющийся следствием [ необходимых разъяснений ] этого электромагнитного поля.
Английский физик лорд Рэлей [1842–1919] работал над звуком . Ирландцы Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), Джордж Габриэль Стоукс (1819–1903) и лорд Кельвин (1824–1907) написали несколько крупных работ: Стоукс был лидером в области оптики и гидродинамики; Кельвин сделал существенные открытия в термодинамике ; Гамильтон провёл выдающуюся работу по аналитической механике , открыв новый и мощный подход, ныне известный как гамильтонова механика . Весьма существенный вклад в этот подход внес его немецкий коллега-математик Карл Густав Якоби (1804–1851), в частности, упоминавший канонические преобразования . Немец Герман фон Гельмгольц (1821–1894) внес значительный вклад в области электромагнетизма , волн, жидкостей и звука. В США новаторские работы Джозайи Уилларда Гиббса (1839–1903) стали основой статистической механики . Фундаментальные теоретические результаты в этой области были достигнуты немцем Людвигом Больцманом (1844-1906). Вместе эти люди заложили основы электромагнитной теории, гидродинамики и статистической механики.
К 1880-м годам существовал известный парадокс: наблюдатель в электромагнитном поле Максвелла измерял его примерно с постоянной скоростью, независимо от скорости наблюдателя относительно других объектов в электромагнитном поле. Таким образом, хотя скорость наблюдателя постоянно терялась [ нужны разъяснения ] относительно электромагнитного поля, она сохранялась относительно других объектов в электромагнитном поле. И все же никакого нарушения галилеевой инвариантности в физических взаимодействиях между объектами обнаружено не было. Поскольку электромагнитное поле Максвелла было смоделировано как колебания эфира , физики пришли к выводу, что движение внутри эфира приводит к дрейфу эфира, сдвигая электромагнитное поле, что объясняет отсутствие скорости наблюдателя относительно него. Преобразование Галилея представляло собой математический процесс, используемый для перевода положений в одной системе отсчета в предсказания положений в другой системе отсчета, все они были построены в декартовых координатах , но этот процесс был заменен преобразованием Лоренца , смоделированным голландцем Хендриком Лоренцем [1853–1853]. 1928].
Однако в 1887 году экспериментаторам Майкельсону и Морли не удалось обнаружить эфирный дрейф. Была выдвинута гипотеза, что движение в эфир также вызвало сокращение эфира, как это смоделировано в сокращении Лоренца . Была выдвинута гипотеза, что эфир, таким образом, поддерживал электромагнитное поле Максвелла в соответствии с принципом инвариантности Галилея во всех инерциальных системах отсчета , в то время как теория движения Ньютона была сохранена.
Австрийский физик-теоретик и философ Эрнст Мах раскритиковал постулируемое Ньютоном абсолютное пространство. Математик Жюль-Анри Пуанкаре (1854–1912) подвергал сомнению даже абсолютное время. В 1905 году Пьер Дюэм опубликовал резкую критику основ теории движения Ньютона. [16] Также в 1905 году Альберт Эйнштейн (1879–1955) опубликовал свою специальную теорию относительности , по-новому объяснив как инвариантность электромагнитного поля, так и инвариантность Галилея, отвергнув все гипотезы, касающиеся эфира, включая существование самого эфира. Опровергая структуру теории Ньютона — абсолютное пространство и абсолютное время — специальная теория относительности относится к относительному пространству и относительному времени , в результате чего длина сокращается, а время расширяется на пути движения объекта.
В 1908 году бывший профессор математики Эйнштейна Герман Минковский смоделировал трехмерное пространство вместе с одномерной осью времени, рассматривая временную ось как четвертое пространственное измерение – в целом четырехмерное пространство-время – и заявил о скором прекращении разделения пространства и времени. [17] Эйнштейн первоначально назвал это «лишней ученостью», но позже с большой элегантностью использовал пространство-время Минковского в своей общей теории относительности , [18] распространяя инвариантность на все системы отсчета – воспринимаемые как инерциальные или ускоренные – и приписал это Минковскому. , к тому времени умерший. Общая теория относительности заменяет декартовы координаты гауссовскими координатами и заменяет заявленное Ньютоном пустое, но евклидово пространство, через которое мгновенно проходит вектор гипотетической гравитационной силы Ньютона (мгновенное действие на расстоянии ) гравитационным полем . Гравитационное поле — это само пространство-время Минковского , четырёхмерная топология эфира Эйнштейна, смоделированная на лоренцевом многообразии , которое геометрически «искривляется» в соответствии с тензором кривизны Римана . Понятие гравитации Ньютона: «две массы притягиваются друг к другу» заменено геометрическим аргументом: «масса преобразует кривизны пространства -времени и свободно падающие частицы с массой движутся по геодезической кривой в пространстве-времени» ( риманова геометрия существовала уже до 1850-х годов, математики Карл Фридрих Гаусс и Бернхард Риман в поисках внутренней геометрии и неевклидовой геометрии.), вблизи массы или энергии. (В соответствии со специальной теорией относительности — частным случаем общей теории относительности — даже безмассовая энергия оказывает гравитационный эффект за счет эквивалентности своей массы, локально «искривляя» геометрию четырех единых измерений пространства и времени.)
Еще одним революционным достижением 20-го века стала квантовая теория , возникшая в результате плодотворного вклада Макса Планка (1856–1947) (об излучении черного тела ) и работ Эйнштейна по фотоэлектрическому эффекту . В 1912 году математик Анри Пуанкаре опубликовал книгу «Сур ла теория квантов ». [19] [20] В этой статье он представил первое ненаивное определение квантования. Развитие ранней квантовой физики, сопровождаемое эвристической структурой, разработанной Арнольдом Зоммерфельдом (1868–1951) и Нильсом Бором (1885–1962), но вскоре она была заменена квантовой механикой , разработанной Максом Борном (1882–1970), Вернером Гейзенбергом. (1901–1976), Поль Дирак (1902–1984), Эрвин Шредингер (1887–1961), Сатьендра Нат Бозе (1894–1974) и Вольфганг Паули (1900–1958). Эта революционная теоретическая основа основана на вероятностной интерпретации состояний, а также эволюции и измерений в терминах самосопряженных операторов в бесконечномерном векторном пространстве. Это пространство называется гильбертовым пространством (введенным математиками Давидом Гильбертом (1862–1943), Эрхардом Шмидтом (1876–1959) и Фриджесом Риссом (1880–1956) в поисках обобщения евклидова пространства и изучения интегральных уравнений) и строго определенным в рамках современная аксиоматическая версия Джона фон Неймана в его знаменитой книге «Математические основы квантовой механики» , где он построил соответствующую часть современного функционального анализа гильбертовых пространств, спектральную теорию (введенную Дэвидом Гильбертом , который исследовал квадратичные формы с бесконечным числом переменных). Много лет спустя выяснилось, что его спектральная теория связана со спектром атома водорода. Поль Дирак использовал алгебраические конструкции для создания релятивистской модели электрона , предсказывая его магнитный момент и существование его античастицы, позитрона .
Среди выдающихся авторов математической физики 20-го века (в порядке возрастания):
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
СМИ, связанные с математической физикой, на Викискладе?