Сопряженные функторы

Связь между двумя функторами, абстрагирующая многие общие конструкции

В математике , в частности в теории категорий , присоединение — это отношение, которое могут демонстрировать два функтора , интуитивно соответствующее слабой форме эквивалентности между двумя связанными категориями. Два функтора, которые находятся в этом отношении, известны как присоединённые функторы , один из которых является левым присоединённым , а другой — правым присоединённым . Пары присоединённых функторов повсеместно встречаются в математике и часто возникают из конструкций «оптимальных решений» определённых задач (т. е. конструкций объектов, имеющих определённое универсальное свойство ), таких как конструкция свободной группы на множестве в алгебре или конструкция компактификации Стоуна–Чеха топологического пространства в топологии.

По определению, сопряжение между категориями и представляет собой пару функторов (предполагаемых ковариантными ) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$   и   ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

и для всех объектов в и в , биекция между соответствующими множествами морфизмов ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

такой, что это семейство биекций является естественным в и . Естественность здесь означает, что существуют естественные изоморфизмы между парой функторов и для фиксированного в , а также парой функторов и для фиксированного в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(F-,X):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-,GX):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(FY,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(Y,G-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Функтор называется левым сопряженным функтором или левым сопряженным к , а называется правым сопряженным функтором или правым сопряженным к . Мы пишем . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

Присоединение между категориями и в некоторой степени похоже на «слабую форму» эквивалентности между и , и действительно, каждая эквивалентность является присоединением. Во многих ситуациях присоединение может быть «улучшено» до эквивалентности посредством подходящей естественной модификации вовлеченных категорий и функторов. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Терминология и обозначения

Термины adjoint и adjunct используются оба и являются родственными : один взят непосредственно из латыни, другой из латыни через французский. В классическом тексте «Категории для работающего математика » Мак Лейн проводит различие между ними. Учитывая семейство

${\displaystyle \varphi _{XY}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

из биекций hom-set мы называем присоединением или присоединением между и . Если — стрелка в , — правое присоединение (стр. 81). Функтор является левым сопряженным к , и является правым сопряженным к . (Заметим, что может иметь сам по себе правый сопряженный, который совершенно отличается от ; см. ниже пример.) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)}$ ${\displaystyle \varphi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

В общем случае фразы « является левым сопряженным» и « имеет правый сопряженный» эквивалентны. Мы называем левым сопряженным, потому что он применяется к левому аргументу , и правым сопряженным, потому что он применяется к правому аргументу . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}}$

Если F лево сопряжен с G , мы также пишем

${\displaystyle F\dashv G.}$

Терминология происходит от идеи гильбертова пространства сопряженных операторов , с , что формально похоже на указанное выше отношение между hom-множествами. Аналогия с сопряженными отображениями гильбертовых пространств может быть уточнена в определенных контекстах. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle }$

Введение и мотивация

Лозунг: «Сопряженные функторы возникают всюду».

—  Сондерс Маклейн, Категории для практикующего математика

Обычные математические конструкции очень часто являются сопряженными функторами. Следовательно, общие теоремы о лево/право сопряженных функторах кодируют детали многих полезных и в остальном нетривиальных результатов. Такие общие теоремы включают эквивалентность различных определений сопряженных функторов, единственность правого сопряженного для данного левого сопряженного, тот факт, что лево/право сопряженные функторы соответственно сохраняют копределы/пределы (которые также встречаются в каждой области математики), и общие теоремы о сопряженных функторах, дающие условия, при которых данный функтор является лево/право сопряженным.

Решения проблем оптимизации

В некотором смысле, сопряженный функтор — это способ дать наиболее эффективное решение некоторой проблемы с помощью метода, который является формульным . Например, элементарная задача в теории колец — как превратить rng (который похож на кольцо, которое может не иметь мультипликативного тождества) в кольцо . Наиболее эффективный способ — присоединить элемент '1' к rng, присоединить все (и только) элементы, которые необходимы для удовлетворения аксиом кольца (например, r +1 для каждого r в кольце), и не налагать никаких отношений в новообразованном кольце, которые не навязываются аксиомами. Более того, эта конструкция является формульной в том смысле, что она работает по сути одинаково для любого rng.

Это довольно расплывчато, хотя и наводит на размышления, и может быть уточнено на языке теории категорий: конструкция наиболее эффективна , если она удовлетворяет универсальному свойству , и является шаблонной, если она определяет функтор . Универсальные свойства бывают двух типов: начальные свойства и конечные свойства. Поскольку это двойственные понятия, необходимо обсудить только одно из них.

Идея использования начального свойства заключается в том, чтобы сформулировать задачу в терминах некоторой вспомогательной категории E , так что рассматриваемая задача соответствует нахождению начального объекта E . Это имеет то преимущество, что оптимизация — смысл того, что процесс находит наиболее эффективное решение — означает нечто строгое и узнаваемое, скорее как достижение супремума . Категория E также является формульной в этой конструкции, поскольку она всегда является категорией элементов функтора, к которому строится сопряженный.

Вернемся к нашему примеру: возьмем заданный rng R и создадим категорию E , объектами которой являются rng гомоморфизмы R → S , где S — кольцо, имеющее мультипликативную единицу. Морфизмы в E между R → S ₁ и R → S ₂ являются коммутативными треугольниками вида ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ), где S ₁ → S ₂ — кольцевое отображение (сохраняющее единицу). (Заметим, что это в точности определение категории запятых R по включению унитарных колец в rng.) Существование морфизма между R → S ₁ и R → S ₂ подразумевает, что S ₁ является по крайней мере таким же эффективным решением нашей проблемы, как и S _{2 :} S ₂ может иметь больше присоединенных элементов и/или больше отношений, не налагаемых аксиомами, чем S ₁ . Поэтому утверждение о том, что объект R → R* является инициальным в E , то есть что из него существует морфизм в любой другой элемент E , означает, что кольцо R * является наиболее эффективным решением нашей задачи.

Два факта, что этот метод превращения rng в кольца является наиболее эффективным и шаблонным, можно выразить одновременно, сказав, что он определяет сопряженный функтор . Более явно: пусть F обозначает вышеприведенный процесс присоединения тождества к rng, так что F ( R )= R* . Пусть G обозначает процесс «забывания», имеет ли кольцо S тождество, и рассмотрения его просто как rng, так что по сути G ( S ) = S . Тогда F является левым сопряженным функтором G .

Однако следует отметить, что мы на самом деле еще не построили R* ; важным и не совсем тривиальным алгебраическим фактом является то, что такой левый сопряженный функтор R → R* на самом деле существует.

Симметрия задач оптимизации

Также можно начать с функтора F и поставить следующий (неопределенный) вопрос: существует ли задача, для которой F является наиболее эффективным решением?

Представление о том, что F является наиболее эффективным решением проблемы, поставленной G , в определенном строгом смысле эквивалентно представлению о том, что G ставит наиболее сложную проблему , которую решает F.

Это дает интуитивное представление о том, что сопряженные функторы встречаются парами: если F является левым сопряженным к G , то G является правым сопряженным к F.

Формальные определения

Существуют различные эквивалентные определения для сопряженных функторов:

• Определения через универсальные морфизмы легко сформулировать, и они требуют минимальных проверок при построении сопряженного функтора или доказательстве сопряженности двух функторов. Они также наиболее аналогичны нашей интуиции, включающей оптимизации.
• Определение через hom-множества делает симметрию наиболее очевидной, и именно поэтому используется слово «присоединенный» .
• Определение через сопряжение коединица–единица удобно для доказательств относительно функторов, которые, как известно, являются сопряженными, поскольку они предоставляют формулы, которыми можно напрямую манипулировать.

Эквивалентность этих определений весьма полезна. Сопряженные функторы возникают везде, во всех областях математики. Поскольку структура в любом из этих определений порождает структуры в других, переключение между ними подразумевает использование многих деталей, которые в противном случае пришлось бы повторять отдельно в каждой предметной области.

Конвенции

Теория сопряженных элементов имеет в своей основе термины left и right , и существует множество компонентов, которые находятся в одной из двух рассматриваемых категорий C и D. Поэтому может быть полезно выбирать буквы в алфавитном порядке в зависимости от того, находятся ли они в «левой» категории C или в «правой» категории D , а также записывать их в этом порядке, когда это возможно.

В этой статье, например, буквы X , F , f , ε будут последовательно обозначать вещи, которые живут в категории C , буквы Y , G , g , η будут последовательно обозначать вещи, которые живут в категории D , и, когда это возможно, такие вещи будут упоминаться в порядке слева направо (функтор F  : D → C можно рассматривать как «живущий» там, где находятся его выходы, в C ). Если бы были нарисованы стрелки для левого сопряженного функтора F, они бы указывали влево; если бы были нарисованы стрелки для правого сопряженного функтора G, они бы указывали вправо.

Определение через универсальные морфизмы

По определению, функтор является левым сопряженным функтором , если для каждого объекта из существует универсальный морфизм из в . Проще говоря, это означает, что для каждого объекта из существует объект из и морфизм такой, что для каждого объекта из и каждого морфизма существует уникальный морфизм с . ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}:F(G(X))\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:F(Y)\to X}$ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(g)=f}$

Последнее уравнение выражается следующей коммутативной диаграммой :

Здесь коединица является универсальным морфизмом.

В этой ситуации можно показать, что можно превратить в функтор единственным способом, таким, что для всех морфизмов в ; тогда называется левым сопряженным к . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \epsilon _{X'}}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Аналогично, мы можем определить правосопряженные функторы. Функтор является правосопряженным функтором, если для каждого объекта в существует универсальный морфизм из в . Проще говоря, это означает, что для каждого объекта в существует объект в и морфизм такой, что для каждого объекта в и каждого морфизма существует уникальный морфизм с . ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F(Y)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$ ${\displaystyle f:F(Y)\to X}$ ${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$

Существование единицы, универсального морфизма, может доказать существование присоединения.

Опять же, это можно однозначно превратить в функтор, такой что для морфизма в ; тогда называется правым сопряженным к . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$ ${\displaystyle g:Y\to Y'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Верно, как следует из терминологии, что является левым сопряженным к тогда и только тогда, когда является правым сопряженным к . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Эти определения через универсальные морфизмы часто полезны для установления того, что данный функтор является левым или правым сопряженным, поскольку они минималистичны в своих требованиях. Они также интуитивно значимы в том, что нахождение универсального морфизма похоже на решение задачи оптимизации.

Определение через дополнение Hom-set

Сопряжение hom - множеств между двумя категориями C и D состоит из двух функторов F  : D → C и G  : C → D и естественного изоморфизма

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$.

Это определяет семейство биекций

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)}$

для всех объектов X в C и Y в D.

В этой ситуации F является левым сопряженным к G , а G является правым сопряженным к F.

Это определение является логическим компромиссом, поскольку его сложнее удовлетворить, чем определения универсального морфизма, и оно имеет меньше непосредственных импликаций, чем определение коединица–единица. Оно полезно из-за своей очевидной симметрии и как ступенька между другими определениями.

Чтобы интерпретировать Φ как естественный изоморфизм , нужно распознать hom _C ( F –, –) и hom _D (–, G –) как функторы. Фактически, они оба являются бифункторами из D ^op × C в Set ( категорию множеств ). Подробности см. в статье о hom функторах . Явно, естественность Φ означает, что для всех морфизмов f  : X → X′ в C и всех морфизмов g  : Y ′ → Y в D следующая диаграмма коммутирует :

Естественность Φ

Вертикальные стрелки на этой диаграмме — это те, которые индуцированы композицией. Формально, Hom( Fg , f ) : Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY′ , X′ ) задается как h → f o h o Fg для каждого h в Hom _C ( FY , X ). Hom( g , Gf ) аналогично.

Определение через присоединение единица–единица

Сопряжение коединица–единица между двумя категориями C и D состоит из двух функторов F  : D → C и G  : C → D и двух естественных преобразований

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$

соответственно называемые коединицей и единицей присоединения (терминология из универсальной алгебры ), такие, что композиции

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}$

являются тождественными преобразованиями 1 _F и 1 _G над F и G соответственно.

В этой ситуации мы говорим, что F является левым сопряженным к G , а G является правым сопряженным к F , и можем обозначить эту связь, написав    , или просто    . ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

В форме уравнений приведенные выше условия на ( ε , η ) представляют собой уравнения коединица–единица

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

что означает, что для каждого X в C и каждого Y в D ,

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$.

Заметим, что обозначает тождественный функтор в категории , обозначает тождественное естественное преобразование из функтора F в себя и обозначает тождественный морфизм объекта FY . ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 1_{F}}$ ${\displaystyle 1_{FY}}$

Диаграмма струны для присоединения.

Эти уравнения полезны для сведения доказательств о сопряженных функторах к алгебраическим манипуляциям. Иногда их называют тождествами треугольника , а иногда уравнениями зигзага из- за появления соответствующих диаграмм струн . Чтобы запомнить их, сначала запишите бессмысленное уравнение , а затем заполните F или G одним из двух простых способов, которые делают композиции определенными. ${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$

Примечание: Использование префикса "co" в counit здесь не согласуется с терминологией пределов и копределов, поскольку копредел удовлетворяет начальному свойству, тогда как морфизмы counit будут удовлетворять терминальным свойствам, и дуально. Термин unit здесь заимствован из теории монад , где он выглядит как вставка тождества 1 в моноид.

История

Идея сопряженных функторов была введена Дэниелом Каном в 1958 году . ^[2] Как и многие концепции в теории категорий, она была предложена потребностями гомологической алгебры , которая в то время была посвящена вычислениям. Те, кто сталкивался с необходимостью давать аккуратные, систематические представления предмета, заметили бы такие отношения, как

hom( F ( X ), Y ) = hom( X , G ( Y ))

в категории абелевых групп , где F был функтором (т. е. берём тензорное произведение с A ), а G был функтором hom( A ,–) (теперь это известно как тензорно-hom присоединение ). Использование знака равенства является злоупотреблением обозначениями ; эти две группы на самом деле не идентичны, но есть способ их естественного определения . Можно увидеть, что это естественно, исходя, во-первых, из того, что это два альтернативных описания билинейных отображений из X × A в Y . Это, однако, нечто специфическое для случая тензорного произведения. В теории категорий «естественность» биекции включается в концепцию естественного изоморфизма . ${\displaystyle -\otimes A}$

Примеры

Бесплатные группы

Построение свободных групп является распространенным и ярким примером.

Пусть F  : Set → Grp — функтор, сопоставляющий каждому множеству Y свободную группу , порожденную элементами Y , и пусть G  : Grp → Set — забывающий функтор , сопоставляющий каждой группе X ее базовое множество. Тогда F является левым сопряженным к G :

Начальные морфизмы. Для каждого множества Y множество GFY является просто базовым множеством свободной группы FY, порожденной Y . Пусть     будет отображением множеств, заданным «включением генераторов». Это начальный морфизм из Y в G , поскольку любое отображение множеств из Y в базовое множество GW некоторой группы W будет пропущено     через уникальный гомоморфизм групп из FY в W . Это в точности универсальное свойство свободной группы на Y . ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$ ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$

Терминальные морфизмы. Для каждой группы X группа FGX является свободной группой, свободно порожденной GX , элементами X. Пусть     будет гомоморфизмом групп, который отправляет генераторы FGX в элементы X , которым они соответствуют, что существует по универсальному свойству свободных групп. Тогда каждый     является терминальным морфизмом из F в X , потому что любой гомоморфизм групп из свободной группы FZ в X будет пропущен     через уникальное отображение множеств из Z в GX . Это означает, что ( F , G ) является сопряженной парой. ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ ${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$ ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$

Hom-множественное присоединение. Групповые гомоморфизмы из свободной группы FY в группу X соответствуют в точности отображениям из множества Y в множество GX : каждый гомоморфизм из FY в X полностью определяется его действием на образующих, еще одно переформулирование универсального свойства свободных групп. Можно непосредственно проверить, что это соответствие является естественным преобразованием, что означает, что это hom-множественное присоединение для пары ( F , G ).

Присоединение коединица–единица. Можно также напрямую проверить, что ε и η являются натуральными. Тогда прямая проверка того, что они образуют присоединение коединица–единица,     выглядит следующим образом: ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

Первое уравнение коединица–единица     говорит, что для каждого множества Y состав ${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$

${\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY}$

должно быть тождеством. Промежуточная группа FGFY — это свободная группа, свободно генерируемая словами свободной группы FY . (Думайте об этих словах как о заключенных в скобки, чтобы указать, что они являются независимыми генераторами.) Стрелка     — это групповой гомоморфизм из FY в FGFY, отправляющий каждый генератор y из FY в соответствующее слово длины один ( y ) как генератор FGFY . Стрелка     — это групповой гомоморфизм из FGFY в FY, отправляющий каждый генератор в слово из FY, которому он соответствует (так что это отображение «опускает скобки»). Композиция этих отображений действительно является тождеством на FY . ${\displaystyle F(\eta _{Y})}$ ${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$

Второе уравнение «единица–единица»     говорит, что для каждой группы X состав ${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$

  ${\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX}$ 

должно быть тождеством. Промежуточное множество GFGX — это просто базовое множество FGX . Стрелка     — это отображение множества «включения генераторов» из множества GX в множество GFGX . Стрелка     — это отображение множества из GFGX в GX , которое лежит в основе гомоморфизма групп, отправляющего каждый генератор FGX в элемент X , которому он соответствует («опуская скобки»). Композиция этих отображений действительно является тождеством на GX . ${\displaystyle \eta _{GX}}$ ${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$

Свободные конструкции и забывающие функторы

Свободные объекты — это все примеры левого сопряженного к забывчивому функтору , который назначает алгебраическому объекту его базовый набор. Эти алгебраические свободные функторы в целом имеют то же описание, что и в подробном описании ситуации свободной группы выше.

Диагональные функторы и пределы

Продукты , расслоенные продукты , уравнители и ядра — все это примеры категориального понятия предела . Любой функтор предела является правым сопряженным к соответствующему диагональному функтору (при условии, что категория имеет рассматриваемый тип пределов), а коединица присоединения предоставляет определяющие отображения из объекта предела (т. е. из диагонального функтора на пределе в категории функторов). Ниже приведены некоторые конкретные примеры.

• Продукты Пусть Π : Grp ² → Grp будет функтором, который сопоставляет каждой паре ( X ₁ , X ₂ ) группу продуктов X ₁ × X ₂ , и пусть Δ : Grp → Grp ² будет диагональным функтором , который сопоставляет каждой группе X пару ( X , X ) в категории продуктов Grp ² . Универсальное свойство группы продуктов показывает, что Π является правым сопряженным к Δ. Коединица этого сопряжения является определяющей парой отображений проекций из X ₁ × X ₂ в X ₁ и X ₂ , которые определяют предел, а единица является диагональным включением группы X в X × X (отображение x в (x,x)).

Декартово произведение множеств , произведение колец, произведение топологических пространств и т . д. следуют той же схеме; его также можно расширить простым способом на более чем два фактора. В более общем смысле, любой тип предела является правым сопряженным к диагональному функтору.

• Ядра. Рассмотрим категорию D гомоморфизмов абелевых групп. Если f ₁  : A ₁ → B ₁ и f ₂  : A ₂ → B ₂ — два объекта D , то морфизм из f ₁ в f ₂ — это пара ( g _A , g _B ) морфизмов, такая что g _B f ₁ = f ₂ g _A . Пусть G  : D → Ab — функтор, который сопоставляет каждому гомоморфизму его ядро , и пусть F  : Ab → D — функтор, который отображает группу A в гомоморфизм A → 0. Тогда G является правым сопряженным к F , что выражает универсальное свойство ядер. Коединицей этого присоединения является определяющее вложение ядра гомоморфизма в область гомоморфизма, а единицей является морфизм, отождествляющий группу A с ядром гомоморфизма A → 0.

Подходящая вариация этого примера также показывает, что функторы ядра для векторных пространств и для модулей являются правыми сопряженными. Аналогично можно показать, что функторы коядра для абелевых групп, векторных пространств и модулей являются левыми сопряженными.

Копределы и диагональные функторы

Копроизведения , расслоенные копроизведения , коуравнители и коядра являются примерами категориального понятия копредела . Любой функтор копредела является левым сопряженным к соответствующему диагональному функтору (при условии, что категория имеет рассматриваемый тип копределов), а единица присоединения предоставляет определяющие отображения в объект копредела. Ниже приведены некоторые конкретные примеры.

• Копроизведения. Если F  : Ab ² → Ab сопоставляет каждой паре ( X ₁ , X ₂ ) абелевых групп их прямую сумму , и если G  : Ab → Ab ² — функтор, который сопоставляет каждой абелевой группе Y пару ( Y , Y ), то F является левым сопряженным к G , что снова является следствием универсального свойства прямых сумм. Единица этой сопряженной пары — это определяющая пара отображений включения из X ₁ и X ₂ в прямую сумму, а коединица — это аддитивное отображение из прямой суммы ( X , X ) обратно в X (отправляя элемент ( a , b ) прямой суммы в элемент a + b из X ).

Аналогичные примеры дают прямая сумма векторных пространств и модулей , свободное произведение групп и несвязное объединение множеств.

Дополнительные примеры

Алгебра

• Присоединение тождества к rng . Этот пример обсуждался в разделе мотивации выше. Для rng R можно добавить мультипликативный тождественный элемент, взяв R x Z и определив Z -билинейный продукт с (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), ​​(0,1)(0,1) = (0,1). Это создает левое сопряжение к функтору, переносящему кольцо в базовый rng.
• Присоединение тождества к полугруппе . Аналогично, если задана полугруппа S , мы можем добавить тождественный элемент и получить моноид , взяв непересекающееся объединение S {1} и определив на нем бинарную операцию так, чтобы она расширяла операцию на S , а 1 было тождественным элементом. Эта конструкция дает функтор, который является левым сопряженным к функтору, переводящему моноид в базовую полугруппу. ${\displaystyle \sqcup }$
• Расширения колец. Предположим, что R и S — кольца, а ρ : R → S — гомоморфизм колец . Тогда S можно рассматривать как (левый) R -модуль, а тензорное произведение с S дает функтор F  : R - Mod → S - Mod . Тогда F является левым сопряженным к забывающему функтору G  : S - Mod → R - Mod .
• Тензорные произведения . Если R — кольцо, а M — правый R -модуль, то тензорное произведение с M даёт функтор F  : R - Mod → Ab . Функтор G  : Ab → R - Mod , определяемый формулой G ( A ) = hom _Z ( M , A ) для любой абелевой группы A , является правым сопряжённым к F .
• От моноидов и групп к кольцам. Целочисленная конструкция моноидного кольца дает функтор из моноидов в кольца. Этот функтор является левым сопряженным к функтору, который сопоставляет данному кольцу его базовый мультипликативный моноид. Аналогично, целочисленная конструкция группового кольца дает функтор из групп в кольца, левый сопряженный к функтору, который сопоставляет данному кольцу его группу единиц . Можно также начать с поля K и рассмотреть категорию K - алгебр вместо категории колец, чтобы получить моноид и групповые кольца над K.
• Поле дробей. Рассмотрим категорию Dom _m областей целостности с инъективными морфизмами. Забывчивый функтор Field → Dom _m из полей имеет левый сопряженный — он сопоставляет каждой области целостности ее поле дробей .
• Кольца полиномов . Пусть Ring _* — категория точечных коммутативных колец с единицей (пары (A,a), где A — кольцо, a ∈ A, а морфизмы сохраняют выделенные элементы). Забывающий функтор G: Ring _* → Ring имеет левый сопряженный — он сопоставляет каждому кольцу R пару (R[x],x), где R[x] — кольцо полиномов с коэффициентами из R.
• Абелианизация . Рассмотрим функтор включения G  : Ab → Grp из категории абелевых групп в категорию групп . Он имеет левый сопряженный, называемый абелианизацией , который сопоставляет каждой группе G фактор-группу G ^ab = G /[ G , G ].
• Группа Гротендика . В K-теории отправной точкой является наблюдение, что категория векторных расслоений на топологическом пространстве имеет коммутативную моноидную структуру относительно прямой суммы . Можно сделать абелеву группу из этого моноида, группы Гротендика , формально добавив аддитивный обратный для каждого расслоения (или класса эквивалентности). В качестве альтернативы можно наблюдать, что функтор, который для каждой группы берет базовый моноид (игнорируя обратные), имеет левый сопряженный. Это конструкция, устанавливаемая раз и навсегда, в соответствии с обсуждением третьего раздела выше. То есть, можно имитировать конструкцию отрицательных чисел ; но есть и другой вариант теоремы существования . Для случая финитных алгебраических структур существование само по себе может быть отнесено к универсальной алгебре или теории моделей ; естественно, также существует доказательство, адаптированное к теории категорий.
• Взаимность Фробениуса в теории представлений групп : см. индуцированное представление . Этот пример предвосхитил общую теорию примерно на полвека.

Топология

• Функтор с левым и правым сопряженным. Пусть G — функтор из топологических пространств в множества , который сопоставляет каждому топологическому пространству его базовое множество (забывая топологию, конечно). G имеет левый сопряженный F , создающий дискретное пространство на множестве Y , и правый сопряженный H, создающий тривиальную топологию на Y.
• Подвески и пространства петель. Для заданных топологических пространств X и Y пространство [ SX , Y ] гомотопических классов отображений из подвески SX пространства X в Y естественно изоморфно пространству [ X , Ω Y ] гомотопических классов отображений из X в пространство петель Ω Y пространства Y. Таким образом, функтор подвески является левым сопряженным к функтору пространства петель в гомотопической категории , что является важным фактом в теории гомотопии .
• Компактификация Стоуна–Чеха. Пусть KHaus — категория компактных хаусдорфовых пространств , а G  : KHaus → Top — функтор включения в категорию топологических пространств . Тогда G имеет левый сопряженный F  : Top → KHaus , компактификацию Стоуна–Чеха . Единица этой сопряженной пары задает непрерывное отображение из каждого топологического пространства X в его компактификацию Стоуна–Чеха.
• Прямые и обратные образы пучков. Каждое непрерывное отображение f  : X → Y между топологическими пространствами индуцирует функтор f _∗ из категории пучков (множеств, или абелевых групп, или колец...) на X в соответствующую категорию пучков на Y , функтор прямого образа . Он также индуцирует функтор f ⁻¹ из категории пучков абелевых групп на Y в категорию пучков абелевых групп на X , функтор обратного образа . f ⁻¹ является левым сопряженным к f _∗ . Здесь более тонкий момент заключается в том, что левый сопряженный для когерентных пучков будет отличаться от левого сопряженного для пучков (множеств).
• Soberification. Статья о двойственности Стоуна описывает присоединение между категорией топологических пространств и категорией трезвых пространств , которое известно как soberification. Примечательно, что статья также содержит подробное описание другого присоединения, которое подготавливает путь для знаменитой двойственности трезвых пространств и пространственных локалей, эксплуатируемых в бесточечной топологии .

Посеты

Каждое частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию (где элементы частично упорядоченного множества становятся объектами категории, и мы имеем единственный морфизм из x в y тогда и только тогда, когда x ≤ y ). Пара сопряженных функторов между двумя частично упорядоченными множествами называется связью Галуа (или, если она контравариантна, антитонной связью Галуа). См. эту статью для ряда примеров: случай теории Галуа , конечно, является ведущим. Любая связь Галуа порождает операторы замыкания и обратные сохраняющие порядок биекции между соответствующими замкнутыми элементами.

Как и в случае с группами Галуа, реальный интерес часто заключается в уточнении соответствия дуальности ( т. е. антитонного порядкового изоморфизма). Трактовка теории Галуа в этом направлении Капланским оказала влияние на признание общей структуры здесь.

Случай частичного порядка довольно заметно разрушает определения присоединения, но может предоставить несколько тем:

• Присоединения могут не быть дуальностями или изоморфизмами, но являются кандидатами на повышение до этого статуса.
• Операторы замыкания могут указывать на наличие присоединений, как соответствующих монад (ср. аксиомы замыкания Куратовского )
• очень общее замечание Уильяма Ловера ^[3] заключается в том, что синтаксис и семантика сопряжены: возьмем C как множество всех логических теорий (аксиоматизаций), а D как множество мощности множества всех математических структур. Для теории T в C пусть G ( T ) будет множеством всех структур, которые удовлетворяют аксиомам T ; для множества математических структур S пусть F ( S ) будет минимальной аксиоматизацией S . Тогда мы можем сказать, что S является подмножеством G ( T ) тогда и только тогда, когда F ( S ) логически подразумевает T : «функтор семантики» G является правым сопряженным к «функтору синтаксиса» F .
• Деление (в общем случае) является попыткой инвертировать умножение, но в ситуациях, когда это невозможно, мы часто пытаемся вместо этого построить сопряженное : идеальное частное сопряжено к умножению на идеалы кольца , а импликация в пропозициональной логике сопряжена к логической конъюнкции .

Теория категорий

• Эквивалентности. Если F  : D → C — эквивалентность категорий , то мы имеем обратную эквивалентность G  : C → D , и два функтора F и G образуют сопряженную пару. В этом случае единица и коединица являются естественными изоморфизмами.
• Серия присоединений. Функтор π ₀ , который сопоставляет категории ее множество связных компонент, является левосопряжённым к функтору D , который сопоставляет множеству дискретную категорию на этом множестве. Более того, D является левосопряжённым к объектному функтору U , который сопоставляет каждой категории её множество объектов, и, наконец, U является левосопряжённым к A , который сопоставляет каждому множеству недискретную категорию ^[4] на этом множестве.
• Экспоненциальный объект . В декартовой замкнутой категории эндофунктор C → C, заданный как –× A, имеет правый сопряженный – ^A . Эту пару часто называют каррированием и декаррированием; во многих частных случаях они также непрерывны и образуют гомеоморфизм.

Категориальная логика

• Квантификация. Если — унарный предикат, выражающий некоторое свойство, то достаточно сильная теория множеств может доказать существование множества терминов, которые удовлетворяют свойству. Собственное подмножество и связанная инъекция в характеризуется предикатом, выражающим строго более ограничительное свойство. ${\displaystyle \phi _{Y}}$ ${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$ ${\displaystyle T\subset Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)}$

Роль квантификаторов в логике предикатов заключается в формировании предложений, а также в выражении сложных предикатов путем замыкания формул с возможным большим количеством переменных. Например, рассмотрим предикат с двумя открытыми переменными типа и . Используя квантификатор для замыкания , мы можем сформировать множество ${\displaystyle \psi _{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

всех элементов из , для которых существует , с которым он -связан, и который сам по себе характеризуется свойством . Теоретико-множественные операции, такие как пересечение двух множеств, напрямую соответствуют конъюнкции предикатов. В категорической логике , подполе теории топосов , квантификаторы отождествляются с сопряженными к функтору обратного вытягивания. Такую реализацию можно рассматривать по аналогии с обсуждением пропозициональной логики с использованием теории множеств, но общее определение обеспечивает более богатый диапазон логик. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi _{f}}$ ${\displaystyle \phi _{S}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \land }$

Итак, рассмотрим объект в категории с пулбэками. Любой морфизм индуцирует функтор ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$

на категории, которая является предпорядком подобъектов . Он отображает подобъекты (технически: классы мономорфизма ) в обратный путь . Если этот функтор имеет левое или правое сопряжение, они называются и , соответственно. ^[5] Они оба отображают из обратно в . Очень грубо говоря, если задана область для квантификации отношения, выраженного через over, функтор/квантор замыкается и возвращает указанное таким образом подмножество . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$ ${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle Y}$

Пример : В , категории множеств и функций, каноническими подобъектами являются подмножество (или, скорее, их канонические инъекции). Обратный путь инъекции подмножества в вдоль характеризуется как наибольшее множество, которое знает все о и инъекция в . Таким образом, оно оказывается (в биекции с) обратным образом . ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ ${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

Для давайте выясним левый сопряженный, который определяется через ${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$

что здесь просто означает

${\displaystyle \exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]}$.

Рассмотрим . Мы видим . Наоборот, если для мы также имеем , то очевидно . Так что следует . Мы заключаем, что левый сопряженный к обратному образу функтор задается прямым образом. Вот характеристика этого результата, которая больше соответствует логической интерпретации: Образ под является полным набором ' , таким что является непустым. Это работает, потому что он пренебрегает именно теми , которые находятся в дополнении к . Так что ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$ ${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle f(x)\in T}$ ${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f[S]}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].}$

Проведите аналогию с нашей мотивацией . ${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

Правый сопряженный функтор к обратному образу задается (без выполнения вычислений здесь) как

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.}$

Подмножество характеризуется как полный набор 's со свойством, что прообраз относительно полностью содержится в . Обратите внимание , что предикат, определяющий набор, такой же, как и выше, за исключением того, что он заменен на . ${\displaystyle \forall _{f}S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$

См. также powerset .

Вероятность

Близнецовый факт в вероятности можно понимать как дополнение: ожидание коммутирует с аффинным преобразованием и ожидание в некотором смысле является наилучшим решением проблемы нахождения действительного приближения к распределению действительных чисел.

Определите категорию на основе , где объекты — действительные числа, а морфизмы — «аффинные функции, вычисляемые в точке». То есть, для любой аффинной функции и любого действительного числа определите морфизм . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,f):r\to f(r)}$

Определим категорию на основе , множество вероятностного распределения на с конечным ожиданием. Определим морфизмы на как «аффинные функции, вычисленные при распределении». То есть, для любой аффинной функции и любого , определим морфизм . ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mu ,f):\mu \to \mu \circ f^{-1}}$

Тогда дельта-мера Дирака определяет функтор: , а ожидание определяет другой функтор , и они являются сопряженными: . (Несколько сбивает с толку то, что является левым сопряженным, хотя и является «забывчивым» и «свободным».) ${\displaystyle \delta :x\mapsto \delta _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} :\mu \mapsto \mathbb {E} [\mu ]}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \dashv \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \delta }$

Придаточные предложения в полном объеме

Таким образом, с каждым присоединением связано множество функторов и естественных преобразований, и лишь небольшой их части достаточно для определения остальных.

Дополнение между категориями C и D состоит из

• Функтор F  : D → C, называемый левым сопряженным
• Функтор G  : C → D , называемый правым сопряженным
• Естественный изоморфизм Φ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
• Естественное преобразование ε : FG → 1 _C называется коединицей
• Естественное преобразование η : 1 _D → GF называется единицей

Эквивалентная формулировка, где X обозначает любой объект C , а Y обозначает любой объект D , выглядит следующим образом:

Для каждого C -морфизма f  : FY → X существует единственный D -морфизм Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GX такой, что диаграммы ниже коммутируют, и для каждого D -морфизма g  : Y → GX существует единственный C -морфизм Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → X в C такой, что диаграммы ниже коммутируют:

Из этого утверждения можно сделать вывод, что:

• Преобразования ε, η и Φ связаны уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}$

• Преобразования ε, η удовлетворяют счетно-единичным уравнениям

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$

• Каждая пара ( GX , ε _X ) является терминальным морфизмом из F в X в C
• Каждая пара ( FY , η _Y ) является начальным морфизмом из Y в G в D

В частности, приведенные выше уравнения позволяют определить Φ, ε и η в терминах любого из трех. Однако одних только сопряженных функторов F и G в общем случае недостаточно для определения сопряжения. Эквивалентность этих ситуаций продемонстрирована ниже.

Универсальные морфизмы индуцируют присоединение hom-set

Для данного правого сопряженного функтора G  : C → D ; в смысле начальных морфизмов, можно построить индуцированное сопряжение hom-set, выполнив следующие шаги.

• Построим функтор F  : D → C и естественное преобразование η.
  • Для каждого объекта Y в D выберем начальный морфизм ( F ( Y ), η _Y ) из Y в G , так что η _Y  : Y → G ( F ( Y )). У нас есть отображение F на объекты и семейство морфизмов η.
  • Для каждого f  : Y ₀ → Y ₁ , так как ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) является начальным морфизмом, то факторизуем η _{Y 1} o f с η _{Y 0} и получаем F ( f ) : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Это отображение F на морфизмы.
  • Коммутационная диаграмма этой факторизации подразумевает коммутационную диаграмму естественных преобразований, поэтому η : 1 _D → G o F является естественным преобразованием .
  • Уникальность этой факторизации и то, что G является функтором, подразумевают, что отображение F на морфизмах сохраняет композиции и тождества.
• Постройте естественный изоморфизм Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -).
  • Для каждого объекта X в C , каждого объекта Y в D , так как ( F ( Y ), _ηY ) является начальным морфизмом, то ΦY _{, X является} биекцией, где ΦY , _{X ( f} : F  ( Y ) → X ) = G ( f ) o ηY _.
  • η — естественное преобразование, G — функтор, тогда для любых объектов X ₀ , X ₁ в C , любых объектов Y ₀ , Y ₁ в D , любого x  : X ₀ → X ₁ , любого y  : Y ₁ → Y ₀ , имеем Φ _{Y 1 , X 1} ( x o f o F ( y )) = G(x) o G ( f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0 , X 0} ( f ) o y , и тогда Φ является естественным в обоих аргументах.

Аналогичный аргумент позволяет построить присоединение hom-множества из терминальных морфизмов к левому сопряженному функтору. (Конструкция, которая начинается с правого сопряженного функтора, встречается немного чаще, поскольку правый сопряженный элемент во многих сопряженных парах является тривиально определенным включением или забывающим функтором.)

присоединение коединица–единица индуцирует присоединение hom-set

Имея функторы F  : D → C , G  : C → D и сопряжение коединица–единица (ε, η) : F G , мы можем построить сопряжение hom-множеств, найдя естественное преобразование Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -) за следующие шаги: ${\displaystyle \dashv }$

• Для каждого f  : FY → X и каждого g  : Y → GX определите

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

Преобразования Φ и Ψ естественны, поскольку η и ε естественны.

• Используя, для порядка, что F является функтором, что ε является натуральным, и уравнение коединица–единица 1 _FY = ε _FY o F (η _Y ), получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$

следовательно, ΨΦ — это тождественное преобразование.

• Двойственно, используя тот факт, что G является функтором, что η является натуральным, и уравнение коединица–единица 1 _GX = G (ε _X ) o η _GX , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$

следовательно, ΦΨ — это тождественное преобразование. Таким образом, Φ — естественный изоморфизм с обратным Φ ⁻¹ = Ψ.

Присоединение Hom-set вызывает все вышеперечисленное

Имея функторы F  : D → C , G  : C → D и сопряжение hom-множества Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -), можно построить сопряжение коединица–единица

${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ,

который определяет семейства начальных и конечных морфизмов, в следующих шагах:

• Пусть     для каждого X в C , где     — тождественный морфизм. ${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$ ${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• Пусть     для каждого Y в D , где     — тождественный морфизм. ${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$ ${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• Из биективности и естественности Φ следует, что каждый ( GX , ε _X ) является терминальным морфизмом из F в X в C , а каждый ( FY , η _Y ) является начальным морфизмом из Y в G в D.
• Естественность Φ подразумевает естественность ε и η, и две формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

для каждого f : FY → X и g : Y → GX (которые полностью определяют Φ).

• Подставляя FY вместо X и η _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY ) вместо g во второй формуле, получаем первое уравнение соединённости

${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})}$,

и подстановка GX вместо Y и ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX ) вместо f в первой формуле дает второе уравнение коединица–единица

${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}}$.

Характеристики

Существование

Не каждый функтор G  : C → D допускает левый сопряженный. Если C — полная категория , то функторы с левыми сопряженными могут быть охарактеризованы теоремой о сопряженном функторе Питера Дж. Фрейда : G имеет левый сопряженный тогда и только тогда, когда он непрерывен и выполняется определенное условие малости: для каждого объекта Y из D существует семейство морфизмов

f _i  : Y → G ( X _i )

где индексы i берутся из множества I , а не из собственного класса , так что каждый морфизм

ч  : Y → G ( X )

можно записать как

h = G ( t ) ∘ f _i

для некоторого i из I и некоторого морфизма

t  : X _i → X ∈ C .

Аналогичное утверждение характеризует функторы с правым сопряженным.

Важным частным случаем является случай локально представимых категорий . Если — функтор между локально представимыми категориями, то ${\displaystyle F:C\to D}$

• F имеет правый сопряженный тогда и только тогда, когда F сохраняет малые копределы
• F имеет левый сопряженный тогда и только тогда, когда F сохраняет малые пределы и является достижимым функтором

Уникальность

Если функтор F  : D → C имеет два правых сопряженных G и G ′, то G и G ′ естественно изоморфны . То же самое верно и для левых сопряженных.

Наоборот, если F лево сопряжен к G , а G естественно изоморфен G ′, то F также лево сопряжен к G ′. В более общем случае, если 〈F , G , ε, η〉 является сопряжением (с коединицей–единицей (ε,η)) и

σ : F → F ′

τ : G → G ′

являются естественными изоморфизмами, то 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 является присоединением, где

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$

Здесь обозначает вертикальную композицию природных преобразований, а обозначает горизонтальную композицию. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \ast }$

Состав

Присоединения могут быть составлены естественным образом. В частности, если 〈F , G , ε, η〉 — присоединение между C и D , а 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 — присоединение между D и E , то функтор

${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$

слева сопряжен с

${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$

Точнее, существует сопряжение между F F' и G' G с единицей и соединицей, заданными соответственно композициями:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$

Это новое присоединение называется композицией двух данных присоединений.

Поскольку существует также естественный способ определения тождественного сопряжения между категорией C и самой собой, можно образовать категорию, все объекты которой являются малыми категориями , а морфизмы — сопряжениями.

Сохранение предела

Важнейшим свойством сопряженных элементов является их непрерывность: каждый функтор, имеющий левый сопряженный элемент (и, следовательно, являющийся правым сопряженным элементом), непрерывен (т. е. коммутирует с пределами в категориальном теоретическом смысле); каждый функтор, имеющий правый сопряженный элемент (и, следовательно, являющийся левым сопряженным элементом), конепрерывен (т. е. коммутирует с копределами ).

Поскольку многие общие конструкции в математике являются пределами или копределами, это дает массу информации. Например:

• применение правого сопряженного функтора к произведению объектов дает произведение изображений;
• применение левого сопряженного функтора к копроизведению объектов дает копроизведение изображений;
• каждый правый сопряженный функтор между двумя абелевыми категориями является точным слева ;
• каждый левосопряжённый функтор между двумя абелевыми категориями является правоточным .

Аддитивность

Если C и D — предаддитивные категории , а F  : D → C — аддитивный функтор с правым сопряженным G  : C → D , то G также является аддитивным функтором и биекции hom-set

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

являются, по сути, изоморфизмами абелевых групп. Двойственно, если G аддитивна с левым сопряженным F , то F также аддитивна.

Более того, если и C, и D являются аддитивными категориями (т.е. предаддитивными категориями со всеми конечными бипроизведениями ), то любая пара сопряженных функторов между ними автоматически аддитивна.

Отношения

Универсальные конструкции

Как было сказано ранее, присоединение категорий C и D порождает семейство универсальных морфизмов , по одному для каждого объекта из C и по одному для каждого объекта из D. Наоборот, если существует универсальный морфизм к функтору G  : C → D из каждого объекта из D , то G имеет левый сопряженный.

Однако универсальные конструкции являются более общими, чем сопряженные функторы: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает сопряженную пару тогда и только тогда, когда эта задача имеет решение для каждого объекта D (эквивалентно, каждого объекта C ).

Эквивалентности категорий

Если функтор F  : D → C является половиной эквивалентности категорий , то он является левым сопряженным в сопряженной эквивалентности категорий, т.е. сопряжением, единица и коединица которого являются изоморфизмами.

Каждое присоединение 〈F , G , ε, η〉 расширяет эквивалентность некоторых подкатегорий. Определим C ₁ как полную подкатегорию C, состоящую из тех объектов X из C , для которых ε _X является изоморфизмом, и определим D ₁ как полную подкатегорию D , состоящую из тех объектов Y из D , для которых η _Y является изоморфизмом. Тогда F и G можно ограничить до D ₁ и C ₁ и получить обратные эквивалентности этих подкатегорий.

В некотором смысле, тогда, сопряженные элементы являются "обобщенными" обратными. Однако следует отметить, что правый обратный элемент F (т. е. функтор G такой, что FG естественно изоморфен 1 _D ) не обязательно должен быть правым (или левым) сопряженным элементом F . Сопряжённые элементы обобщают двусторонние обратные элементы.

Монады

Каждое присоединение 〈F , G , ε, η〉 порождает ассоциированную монаду〈T , η, μ〉 в категории D. Функтор

${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$

дается как T = GF . Единица монады

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$

это просто единица η присоединения и преобразования умножения

${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$

задается выражением µ знак равно грамм ε F . Двойственным образом тройка 〈FG , ε, F η G〉 определяет комонаду в C .

Каждая монада возникает из некоторого присоединения — на самом деле, обычно из многих присоединений — указанным выше способом. Две конструкции, называемые категорией алгебр Эйленберга–Мура и категорией Клейсли, являются двумя экстремальными решениями задачи построения присоединения, которое порождает данную монаду.

Примечания

1. Баез, Джон К. (1996). «Высокоразмерная алгебра II: 2-гильбертовы пространства». arXiv : q-alg/9609018 .
2. Кан, Дэниел М. (1958). «Сопряженные функторы» (PDF) . Труды Американского математического общества . 87 (2): 294–329. дои : 10.2307/1993102 . JSTOR  1993102.
3. Ловер, Ф. Уильям , «Сопряженность в основаниях», Dialectica , 1969. В настоящее время обозначения иные; более простое введение Питера Смита в этих лекционных заметках, которые также относят концепцию к цитируемой статье.
4. "Недискретная категория". nLab .
5. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992) Пучки в геометрии и логике , Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 См. стр. 58 

Ссылки

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Кошачья радость (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Збл  0695.18001.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.

Внешние ссылки

• Плейлист «Присоединения» на YouTube – семь коротких лекций о присоединениях от Евгении Ченг из The Catsters
• WildCats — пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .