Октаэдр

Многогранник с восемью треугольными гранями

В геометрии октаэдр ( мн. ч . октаэдры или октаэдры ) — многогранник с восемью гранями. Особым случаем является правильный октаэдр , Платоново тело , состоящее из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых встречаются в каждой вершине. Правильные октаэдры встречаются в природе в виде кристаллических структур. Также существует множество типов неправильных октаэдров, включая как выпуклые , так и невыпуклые формы.

Правильный октаэдр — это трехмерный случай более общей концепции кросс-политопа .

Правильный октаэдр

Правильный октаэдр и его двойственный многогранник — куб .

Правильный октаэдр — это октаэдр, который является правильным многогранником . Все грани правильного октаэдра — равносторонние треугольники одинакового размера, и в каждой вершине сходятся ровно четыре треугольника. Правильный октаэдр является выпуклым, что означает, что для любых двух точек внутри него отрезок прямой , соединяющий их, полностью лежит внутри него.

Это один из восьми выпуклых дельтаэдров , потому что все его грани — равносторонние треугольники . ^[1] Это составной многогранник, образованный путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид . ^{[2] [3]} Его двойственный многогранник — куб , и они имеют одну и ту же трехмерную группу симметрии — октаэдрическую симметрию . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$

Как Платоново тело

Правильный октаэдр — одно из Платоновых тел , набор многогранников, грани которых являются конгруэнтными правильными многоугольниками , и одинаковое количество граней сходится в каждой вершине. ^[4] Этот древний набор многогранников был назван в честь Платона , который в своем диалоге « Тимей» связал эти тела с природой. Одно из них, правильный октаэдр, представляло классический элемент ветра . ^[5]

После его приписывания природе Платоном, Иоганн Кеплер в своей книге Harmonices Mundi набросал каждое из Платоновых тел. ^[5] В своей книге Mysterium Cosmographicum Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, помещая их в другое и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самых внутренних к самым внешним: правильный октаэдр, правильный икосаэдр , правильный додекаэдр , правильный тетраэдр и куб . ^[6]

Как квадратная бипирамида

Квадратная бипирамида

Многие октаэдры, представляющие интерес, являются квадратными бипирамидами . ^[7] Квадратная бипирамида — это бипирамида, построенная путем присоединения двух квадратных пирамид основаниями друг к другу. Эти пирамиды покрывают свои квадратные основания, поэтому полученный многогранник имеет восемь треугольных граней. ^[1]

Говорят, что квадратная бипирамида правильная, если квадратные пирамиды симметрично правильные и обе их вершины находятся на прямой, проходящей через центр основания; в противном случае она наклонная. ^[8] Полученная бипирамида имеет трехмерную точечную группу диэдральной группы шестнадцати: внешний вид симметричен при вращении вокруг оси симметрии, проходящей через вершины и центр основания вертикально, и имеет зеркальную симметрию относительно любой биссектрисы основания; она также симметрична при отражении ее относительно горизонтальной плоскости. ^[9] Следовательно, эта квадратная бипирамида является гранетранзитивной или изоэдральной. ^[10] ${\displaystyle D_{4\mathrm {h} }}$

Если все ребра квадратной бипирамиды имеют одинаковую длину, то эта квадратная бипирамида является правильным октаэдром.

Метрические свойства и декартовы координаты

3D модель правильного октаэдра

Площадь поверхности правильного октаэдра можно определить, суммируя все его восемь равносторонних треугольников, тогда как его объем в два раза больше объема квадратной пирамиды; если длина ребра равна , ^[11] Радиус описанной сферы (той, которая касается октаэдра во всех вершинах), радиус вписанной сферы (той, которая касается каждой из граней октаэдра) и радиус средней сферы (той, которая касается середины каждого ребра) равны: ^[12] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2{\sqrt {3}}a^{2}&\approx 3.464a^{2},\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}&\approx 0.471a^{3}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408a,\qquad r_{m}={\frac {1}{2}}a=0.5a.}$$

Двугранный угол правильного октаэдра между двумя соседними треугольными гранями равен 109,47°. Это можно получить из двугранного угла равносторонней квадратной пирамиды: ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями равен двугранному углу равносторонней квадратной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями, а ее двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями на ребре, в котором прикреплены две равносторонние квадратные пирамиды, равен удвоенному двугранному углу равносторонней квадратной пирамиды между ее треугольной гранью и ее квадратным основанием. ^[13]

Октаэдр с длиной ребра можно поместить так, чтобы его центр находился в начале координат, а вершины — на осях координат; декартовы координаты вершин следующие: В трехмерном пространстве октаэдр с координатами центра и радиусом представляет собой множество всех точек, таких что . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle (\pm 1,0,0),\qquad (0,\pm 1,0),\qquad (0,0,\pm 1).}$$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r.}$$

График

Граф правильного октаэдра

Скелет правильного октаэдра можно представить в виде графа согласно теореме Штейница , при условии, что граф является плоским — его ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра — и 3 -связным графом — его ребра остаются соединенными, когда удаляются две из более чем трех вершин графа. ^{[14] [15]} Его граф называется октаэдрическим графом , платоновым графом . ^[4]

Октаэдрический граф можно рассматривать как полный трехдольный граф , граф, разделенный на три независимых множества, каждое из которых состоит из двух противоположных вершин. ^[16] В более общем смысле, это граф Турана . ${\displaystyle K_{2,2,2}}$ ${\displaystyle T_{6,3}}$

Октаэдрический граф является 4-связным , что означает, что для разъединения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Другие три многогранника с этим свойством — это пентагональная дипирамида , плосконосый двуклиноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[17]

Связанные цифры

Октаэдр представляет собой центральное пересечение двух тетраэдров.

Внутренняя часть соединения двух двойных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение — называемое stella octangula — является его первой и единственной звездчатой ​​формой . Соответственно, правильный октаэдр является результатом отрезания от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т.е. выпрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в серединах ребер тетраэдра, и в этом смысле он соотносится с тетраэдром таким же образом, как кубооктаэдр и икосододекаэдр соотносятся с другими Платоновыми телами.

Можно также разделить ребра октаэдра в отношении золотого сечения , чтобы определить вершины правильного икосаэдра . Это делается путем размещения векторов вдоль ребер октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбиения каждого ребра на золотое сечение вдоль направления его вектора. Пять октаэдров определяют любой заданный икосаэдр таким образом, и вместе они определяют правильное соединение . Правильный икосаэдр, полученный таким образом, называется плосконосым октаэдром . ^[18]

Правильный октаэдр можно рассматривать как антипризму , призмоподобный многогранник, в котором боковые грани заменены чередующимися равносторонними треугольниками. Его также называют тригональной антипризмой . ^[19] Поэтому он обладает свойством квазиправильного многогранника, в котором две различные многоугольные грани чередуются и встречаются в вершине. ^[20]

Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершинную, ребристую и гране-однородную мозаику пространства . Эта мозаика и правильная мозаика кубов являются единственными такими однородными сотами в трехмерном пространстве.

Равномерный тетрагемигексаэдр — это тетраэдрическая симметрия огранки правильного октаэдра, имеющая общее расположение ребер и вершин . Он имеет четыре треугольные грани и 3 центральных квадрата.

Правильный октаэдр — это 3-шар в метрике Манхэттена ( ℓ ₁ ) .

Характерная ортосхема

Как и все правильные выпуклые многогранники, октаэдр можно разбить на целое число непересекающихся ортосхем , все из которых имеют одинаковую форму, характерную для многогранника. Характерная ортосхема многогранника является фундаментальным свойством, поскольку многогранник генерируется отражениями в гранях его ортосхемы. Ортосхема встречается в двух хиральных формах, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Характерная ортосхема правильного многогранника — это четырехпрямоугольный неправильный тетраэдр .

Грани характерного тетраэдра октаэдра лежат в зеркальных плоскостях симметрии октаэдра . Октаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что имеет четное число граней, сходящихся в каждой вершине. Следовательно, он является единственным членом этой группы, обладающим среди своих зеркальных плоскостей некоторыми, которые не проходят ни через одну из его граней. Группа симметрии октаэдра обозначается B 3 . Октаэдр и его двойственный многогранник , куб , имеют одну и ту же группу симметрии, но разные характерные тетраэдры.

Характерный тетраэдр правильного октаэдра может быть найден путем канонического рассечения ^[21] правильного октаэдракоторый подразделяет его на 48 характерных ортосхемокружающие центр октаэдра. Три левосторонние ортосхемы и три правосторонние ортосхемы встречаются в каждой из восьми граней октаэдра, шесть ортосхем совместно образуют трипрямоугольный тетраэдр : треугольную пирамиду с гранью октаэдра в качестве равностороннего основания и ее кубоугольной вершиной в центре октаэдра. ^[22]

Если октаэдр имеет длину ребра 𝒍 = 2, шесть ребер его характеристического тетраэдра имеют длины , , вокруг его внешней прямоугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[a] плюс , , (ребра, являющиеся характеристическими радиусами октаэдра). Путь из 3 ребер вдоль ортогональных ребер ортосхемы — это , , , сначала от вершины октаэдра к центру ребра октаэдра, затем поворот на 90° к центру грани октаэдра, затем поворот на 90° к центру октаэдра. Ортосхема имеет четыре разнородные прямоугольные треугольные грани. Внешняя грань — треугольник 90-60-30, который составляет одну шестую грани октаэдра. Три грани внутри октаэдра: треугольник 45-90-45 со сторонами , , , прямоугольный треугольник со сторонами , , , и прямоугольный треугольник со сторонами , , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$

Равномерная окраска и симметрия

Существует 3 равномерных окраски октаэдра, названных по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

Группа симметрии октаэдра — Oh _, порядка 48, трехмерная гипероктаэдрическая группа . Подгруппы этой группы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16), группу симметрии квадратной бипирамиды ; и T _d (порядок 24), группу симметрии выпрямленного тетраэдра. Эти симметрии можно подчеркнуть с помощью различной раскраски граней.

Другие типы октаэдров

Правильный выпуклый многогранник, гиробифастигиум .

Октаэдр может быть любым многогранником с восемью гранями. В предыдущем примере правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер, минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. ^[24] Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, исключая зеркальные изображения. Более конкретно, существует 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 для октаэдров с 6-12 вершинами соответственно. ^{[25] [26]} (Два многогранника являются «топологически различными», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменив длины ребер или углы между ребрами или гранями.) Некоторые из многогранников действительно имеют восемь граней, помимо того, что являются квадратными бипирамидами в следующем:

• Шестиугольная призма : две грани представляют собой параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов соединяют соответствующие пары ребер шестиугольников.
• Семиугольная пирамида : Одна грань — семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней — треугольники (обычно равнобедренные). Все треугольные грани не могут быть равносторонними.
• Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усечены и превращены в правильные шестиугольники, а в местах усечения каждой вершины тетраэдра имеется еще четыре равносторонних треугольных грани.
• Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней — конгруэнтные воздушные змеи .
• Гиробифастигиум : две однородные треугольные призмы, склеенные по одной из своих квадратных сторон так, что ни один треугольник не имеет общего ребра с другим треугольником (тело Джонсона 26).
• Усеченный треугольный трапецоэдр , также называемый телом Дюрера: полученный путем усечения двух противоположных углов куба или ромбоэдра, он имеет шесть пятиугольных граней и две треугольные грани. ^[27]
• Восьмиугольный осоэдр : вырожден в евклидовом пространстве, но может быть реализован сферически.

Октаэдр Брикара с антипараллелограммом в качестве экватора. Ось симметрии проходит через плоскость антипараллелограмма.

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые соответствуют один к одному его особенностям:

• Треугольные антипризмы : Две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные. Правильный октаэдр является особым случаем, в котором шесть боковых треугольников также равносторонние.
• Тетрагональные бипирамиды , в которых по крайней мере один из экваториальных четырехугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр является особым случаем, в котором все три четырехугольника являются плоскими квадратами.
• Многогранник Шёнхардта — невыпуклый многогранник, который невозможно разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
• Октаэдр Брикара , невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Флюоритовый октаэдр.

• Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно имеют октаэдрическую форму, подобно заполняющим пространство тетраэдрически-октаэдрическим сотам .
• Пластины камаситового сплава в метеоритах- октаэдритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
• Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
• Видманштеттеновые узоры в кристаллах никеля и железа

Октаэдры в искусстве и культуре

Две одинаково сформированные Змейки Рубика могут приблизительно составить октаэдр.

• Особенно в ролевых играх это тело известно как «d8», один из наиболее распространенных многогранных кубиков .
• Если каждое ребро октаэдра заменить резистором сопротивлением 1 Ом , то сопротивление между противоположными вершинами составит ⁠1/2⁠ ом, а между соседними вершинами ⁠5/12⁠ Ом. ^[28]
• Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра таким образом, что каждое ребро будет представлять согласную диаду, а каждая грань — согласную триаду; см. гексаэдр .

Тетраэдрическая октетная ферма

Пространственная рама из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрических сот, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Она обычно рассматривается как самая прочная строительная конструкция для сопротивления консольным напряжениям.

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно расширить до тетраэдра, добавив 4 тетраэдра на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

Октаэдр — один из представителей семейства однородных многогранников, родственных кубу.

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса — многогранника, образованного определенными пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром – и его можно назвать тетратетраэдром . Это можно показать с помощью двухцветной модели грани. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения тетраэдра и его двойственного объекта:

Вышеуказанные формы могут быть также реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять срезов выше находятся на высотах r , ⁠3/8⁠ , ⁠1/2⁠ , ⁠5/8⁠ и s , где r — любое число в диапазоне 0 < r ≤ ⁠1/4⁠ , а s — любое число в диапазоне ⁠3/4⁠ ≤ с < 1 ​​.

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , прогрессирующих от мозаик сферы до евклидовой плоскости и в гиперболическую плоскость. С симметрией орбифолдной нотации * n 32 все эти мозаики являются конструкциями Витхоффа в пределах фундаментальной области симметрии с точками генератора в прямоугольном углу области. ^{[29] [30]}

Тригональная антипризма

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.

Другие родственные многогранники

Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадратного бифрустума .

Октаэдр можно сгенерировать как случай трехмерного суперэллипсоида, при этом все значения показателя степени будут равны 1.

Смотрите также

• Октаэдрическое число
• Центрированное октаэдрическое число
• Вращающийся октаэдр
• Stella octangula
• Триакисоктаэдр
• Гексакисоктаэдр
• Усеченный октаэдр
• Октаэдрическая молекулярная геометрия
• Октаэдрическая симметрия
• Октаэдрический граф
• Октаэдрическая сфера

Примечания

1. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Ссылки

1. Trigg, Charles W. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Mathematics Magazine . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR  2689647.
2. Тимофеенко, А. В. (2010). «Соединение несоставных многогранников» (PDF) . Санкт-Петербургский математический журнал . 21 (3): 483–512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
3. Erickson, Martin (2011). Beautiful Mathematics. Математическая ассоциация Америки . стр. 62. ISBN 978-1-61444-509-8.
4. Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Taylor & Francis. стр. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.
5. Cromwell, Peter R. (1997). Многогранники. Cambridge University Press. стр. 55. ISBN 978-0-521-55432-9.
6. Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое коммерческое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . С. 70–71. ISBN 0-7679-0816-3.
7. О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Dover Publications . стр. 141. ISBN 978-0-486-83654-6.
8. Полиа, Г. (1954). Математика и правдоподобное рассуждение: Индукция и аналогия в математике. Princeton University Press. стр. 138. ISBN 0-691-02509-6.
9. Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джерелин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.). Cengage Learning. стр. 403. ISBN 978-1-285-19569-8.
10. Маклин, К. Робин (1990). «Подземелья, драконы и кости». The Mathematical Gazette . 74 (469): 243–256. doi :10.2307/3619822. JSTOR  3619822. S2CID  195047512.
11. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
12. Coxeter (1973) Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбцы , помеченные , и , обозначения Коксетера для описанной окружности, среднего радиуса и вписанного радиуса соответственно, также отмечая, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle 2\ell }$
13. Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
14. Грюнбаум, Бранко (2003), "13.1 Теорема Штейница", Выпуклые многогранники , Graduate Texts in Mathematics , т. 221 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 235–244, ISBN 0-387-40409-0
15. Циглер, Гюнтер М. (1995). "Глава 4: Теорема Штейница для 3-многогранников". Лекции по многогранникам . Выпускные тексты по математике . Том 152. Springer-Verlag. С. 103–126. ISBN 0-387-94365-X.
16. Negami, S. (2016). "Точные вложения планарных графов на ориентируемых замкнутых поверхностях". В Širáň, Jozef; Jajcay, Robert (ред.). Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, июль 2014 г. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 159. Springer. p. 250. doi :10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.
17. Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III». Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894–912. doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . MR  2602814.
18. Каппрафф, Джей (1991). Связи: геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). World Scientific . стр. 475. ISBN 978-981-281-139-4.
19. О'Киф и Хайд (2020), стр. 141.
20. Maekawa, Jun (2022). Искусство и наука геометрического оригами: создание впечатляющих бумажных многогранников, волн, спиралей, фракталов и многого другого!. Tuttle . стр. 42. ISBN 978-1-4629-2398-4.
21. Коксетер 1973, стр. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».
22. Coxeter 1973, стр. 70–71, Характерные тетраэдры; Рис. 4.7A.
23. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».
24. "Перечисление многогранников". Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Получено 2 мая 2006 года .
25. «Подсчет многогранников».
26. "Многогранники с 8 гранями и 6-8 вершинами". Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Получено 14 августа 2016 года .
27. Футамура, Ф .; Франц, М.; Крэннелл, А. (2014), «Двухстороннее отношение как параметр формы для твердого тела Дюрера», Журнал математики и искусств , 8 (3–4): 111–119, arXiv : 1405.6481 , doi : 10.1080/17513472.2014.974483, S2CID  120958490
28. Klein, Douglas J. (2002). "Resistance-Distance Sum Rules" (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 г. . Получено 30 сентября 2006 г. .
29. Coxeter, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Dover. Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Вайтхоффа. ISBN 0-486-61480-8.
30. Хасон, Дэниел Х. (сентябрь 1998 г.), Двумерная мутация симметрии

Внешние ссылки

• «Октаэдр»  . Британская энциклопедия . Том. 19 (11-е изд.). 1911.
• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр». MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники x3o4o – oct».
• Редактируемая печатная развертка октаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Бумажная модель октаэдра
• К. Дж. М. Маклин, Геометрический анализ пяти Платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников
  • Обозначение Конвея для многогранников – попробуйте: dP4