Плотный набор

Подмножество, замыкание которого представляет собой все пространство

В топологии и смежных областях математики подмножество A топологического пространства X называется плотным в X, если каждая точка X либо принадлежит A , либо произвольно «близка» к элементу A — например, рациональные числа являются плотным подмножеством действительных чисел , поскольку каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет рациональное число, произвольно близкое к нему (см. Диофантовы приближения ). Формально является плотным в, если наименьшее замкнутое подмножество , содержащее его , является им самим. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

TheПлотность топологического пространства— это наименьшаямощностьплотного подмножества ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Определение

Подмножество топологического пространства называется ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$плотное подмножество , ${\displaystyle X}$если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Наименьшее замкнутое подмножество , содержащее его, является им самим. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
2. Замыкание в равно То есть , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. Внутренняя часть дополнения пуста. То есть , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. Каждая точка либо принадлежит , либо является предельной точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
5. Для каждой окрестности пересечений , то есть, ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A;}$ ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$пересекает каждое непустое открытое подмножество ${\displaystyle X.}$

и если является базой открытых множеств для топологии, то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

7. Для каждой каждой базовой окрестности пересекается ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$пересекает каждый непустой ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Плотность в метрических пространствах

Альтернативное определение плотного множества в случае метрических пространств следующее. Когда топология задана метрикой , замыкание в является объединением и множества всех пределов последовательностей элементов в ( его предельных точек ) , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}}$$

Тогда плотно в если ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

Если — последовательность плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве, то также плотно в Этот факт является одной из эквивалентных форм теоремы Бэра о категории . ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Действительные числа с обычной топологией имеют рациональные числа как счетное плотное подмножество, что показывает, что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше мощности самого пространства. Иррациональные числа являются другим плотным подмножеством, что показывает, что топологическое пространство может иметь несколько непересекающихся плотных подмножеств (в частности, два плотных подмножества могут быть дополнениями друг друга), и они даже не обязаны иметь одинаковую мощность. Возможно, еще более удивительно, что и рациональные, и иррациональные числа имеют пустые внутренности, что показывает, что плотные множества не обязаны содержать никаких непустых открытых множеств. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова является плотным и открытым. ^{[доказательство 1]} Пустое множество является плотным подмножеством самого себя. Но каждое плотное подмножество непустого пространства также должно быть непустым.

По теореме Вейерштрасса об аппроксимации любая заданная комплекснозначная непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале, может быть равномерно приближена сколь угодно близко полиномиальной функцией . Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве непрерывных комплекснозначных функций на интервале, снабженном супремум-нормой . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b],}$

Каждое метрическое пространство плотно в своем завершении .

Характеристики

Каждое топологическое пространство является плотным подмножеством самого себя. Для множества, снабженного дискретной топологией , все пространство является единственным плотным подмножеством. Каждое непустое подмножество множества, снабженного тривиальной топологией, является плотным, и каждая топология, для которой каждое непустое подмножество является плотным, должна быть тривиальной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Плотность транзитивна : даны три подмножества и топологического пространства с такими, что является плотным в и является плотным в (в соответствующей топологии подпространства ), то также является плотным в ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C.}$

Образ плотного подмножества при сюръективной непрерывной функции снова плотен. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощностей его плотных подмножеств) является топологическим инвариантом .

Топологическое пространство со связным плотным подмножеством обязательно связно само.

Непрерывные функции в хаусдорфовом пространстве определяются их значениями на плотных подмножествах: если две непрерывные функции в хаусдорфовом пространстве совпадают на плотном подмножестве, то они совпадают на всех ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые могут быть вложены все пространства заданной плотности : метрическое пространство плотности изометрично подпространству пространства действительных непрерывных функций на произведении копий единичного интервала . ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$ ${\displaystyle \alpha }$

Связанные понятия

Точка подмножества топологического пространства называется предельной точкой ( в ), если каждая окрестность также содержит точку из , отличную от себя, и изолированную точку из в противном случае. Подмножество без изолированных точек называется плотным-в-себе . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Подмножество топологического пространства называется нигде не плотным (в ), если нет соседства в на , на котором является плотным. Эквивалентно, подмножество топологического пространства является нигде не плотным тогда и только тогда, когда внутренность его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного множества всегда плотна. Дополнение замкнутого нигде не плотного множества является плотным открытым множеством. Для топологического пространства подмножество , которое может быть выражено как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств , называется тощим . Рациональные числа, будучи плотными в действительных числах, являются тощими как подмножество действительных чисел. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется сепарабельным . Топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимым, если оно является объединением двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинального κ, если оно содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.

Вложение топологического пространства как плотного подмножества компактного пространства называется компактификацией ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейный оператор между топологическими векторными пространствами и называется плотно определенным, если его область определения является плотным подмножеством и если его область определения содержится в См. также Непрерывное линейное расширение . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Топологическое пространство является гиперсвязным тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое множество является плотным в Топологическое пространство является субмаксимальным тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество является открытым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Если — метрическое пространство, то непустое подмножество называется -плотным, если ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

Тогда можно показать, что является плотным в тогда и только тогда, когда оно является ε-плотным для каждого ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Смотрите также

• Теорема Блумберга  – Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R
• Плотный порядок  – Частичный порядок, при котором между любыми двумя различными сопоставимыми элементами находится другой элемент.
• Плотный (теория решеток)

Ссылки

1. Стин, LA; Зеебах, JA (1995), Контрпримеры в топологии , Dover, ISBN 0-486-68735-X
2. Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура». Bull. Austral. Math. Soc . 1 (2): 169–173. doi : 10.1017/S0004972700041411 .

доказательства

1. Предположим, что и являются плотными открытыми подмножествами топологического пространства Если тогда вывод о том, что открытое множество плотно в , следует немедленно, поэтому предположим обратное. Пусть является непустым открытым подмножеством , поэтому остается показать, что также не пусто. Поскольку является плотным в , а является непустым открытым подмножеством их пересечения , то не пусто. Аналогично, поскольку является непустым открытым подмножеством , а является плотным в , то их пересечения , то не пусто. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap (A\cap B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A\cap B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Общие ссылки

• Николя Бурбаки (1989) [1971]. Общая топология, главы 1–4 . Элементы математики. Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для студентов по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.