Перевод (геометрия)

В евклидовой геометрии перенос — это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одно и то же расстояние в заданном направлении. Перенос также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как смещение начала координатной системы . В евклидовом пространстве любой перенос является изометрией .

Как функция

Если — фиксированный вектор, известный как вектор переноса , и — начальное положение некоторого объекта, то функция переноса будет работать как . $\mathbf {v}$ $\mathbf {п}$ $T_{\mathbf {v} }$ $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$

Если — это перевод, то изображение подмножества под функцией — это перевод по . Перевод по часто записывается как . $Т$ $А$ $Т$ $А$ $Т$ $А$ $T_{\mathbf {v} }$ $A+\mathbf {v}$

Применение в классической физике

В классической физике поступательное движение — это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращения . Например, по Уиттекеру: ^[1]

Если тело перемещается из одного положения в другое и линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых линий длины ℓ , так что ориентация тела в пространстве не изменяется, то перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .
— ET Whittaker , Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел , стр. 1

Перевод — это операция изменения положения всех точек объекта в соответствии с формулой $(x,y,z)$

(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)

где — один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перемещения, общий для всех точек объекта, описывает определенный тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, включающих в себя вращение, называемых угловыми смещениями. $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Как оператор

Оператор трансляции превращает функцию исходного положения, , в функцию конечного положения, . Другими словами, определяется таким образом, что Этот оператор более абстрактен, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими лежащими в их основе векторами. Оператор трансляции может действовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики. $f(\mathbf {v} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ delta })}$ $T_{\mathbf {\delta } }$ $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ $T_{\mathbf {\delta } }$

Как группа

Множество всех трансляций образует группу трансляций , которая изоморфна самому пространству, и нормальную подгруппу евклидовой группы . Фактор -группа по изоморфна группе жестких движений, которые фиксируют определенную начальную точку, ортогональной группе : $\mathbb {T}$ $E(n)$ $E(n)$ $\mathbb {T}$ $O(n)$

E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)

Поскольку трансляция коммутативна , группа трансляций абелева . Существует бесконечное число возможных трансляций, поэтому группа трансляций является бесконечной группой .

В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переносы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают переносы относительно времени.

Группы решеток

Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются решеточные группы , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп трансляций, конечно порождены . То есть, конечный порождающий набор порождает всю группу.

Матричное представление

Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Матричные умножения всегда имеют начало координат в качестве фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь с использованием однородных координат для представления перевода векторного пространства с матричным умножением : Запишите 3-мерный вектор, используя 4 однородные координаты, как . ^[2] $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$

Чтобы переместить объект с помощью вектора , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу переноса : $\mathbf {v}$ $\mathbf {p}$

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

Обратную матрицу трансляции можно получить, изменив направление вектора на противоположное:

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!

Аналогично, произведение матриц трансляции получается путем сложения векторов:

T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц переноса также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей

В то время как геометрический перенос часто рассматривается как активный процесс, который изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут пассивным преобразованием, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического переноса известна как перенос осей .

Трансляционная симметрия

Объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, называется трансляционной симметрией . Распространенным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора трансляции.

Переводы графика

График действительной функции f $,$ множество точек ⁠ ⁠ , часто изображается в действительной координатной плоскости, где x $—$ горизонтальная координата, а ⁠ ⁠ — вертикальная координата. $(x,f(x))$ $y=f(x)$

Начиная с графика функции $f$ , горизонтальный перенос означает составление $функции f$ с функцией ⁠ ⁠ $x\mapsto x-a$ для некоторого постоянного числа $a$ , что приводит к графику, состоящему из точек ⁠ ⁠ $(x,f(x-a))$ . Каждая точка ⁠ ⁠ $(x,y)$ исходного графика соответствует точке ⁠ ⁠ $(x+a,y)$ на новом графике, что наглядно приводит к горизонтальному сдвигу.

Вертикальный перенос означает составление функции ⁠ ⁠ $y\mapsto y+b$ с $f$ , для некоторой константы $b$ , что приводит к графику, состоящему из точек ⁠ ⁠ ${\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}$ . Каждая точка ⁠ ⁠ $(x,y)$ исходного графика соответствует точке ⁠ ⁠ $(x,y+b)$ на новом графике, что наглядно приводит к вертикальному сдвигу. ^[3]

Например, взяв квадратичную функцию ⁠ ⁠ $y=x^{2}$ , график которой представляет собой параболу с вершиной в ⁠ ⁠ $(0,0)$ , горизонтальный перенос на 5 единиц вправо будет новой функцией ⁠ ⁠ , $y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$ вершина которой имеет координаты ⁠ ⁠ $(5,0)$ . Вертикальный перенос на 3 единицы вверх будет новой функцией ⁠ ⁠ , $y=x^{2}+3$ вершина которой имеет координаты ⁠ ⁠ $(0,3)$ .

Первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и , следовательно, являются вертикальными переносами друг друга. ^[4]

Приложения

Динамика автомобиля

Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используют механическую модель, состоящую из шести степеней свободы , которая включает перемещения вдоль трех осей отсчета, а также вращения вокруг этих трех осей.

Эти переводы часто называют:

Всплеск , перемещение вдоль продольной оси (вперед или назад)
Качание , перемещение вдоль поперечной оси (из стороны в сторону)
Подъем , перемещение вдоль вертикальной оси (для перемещения вверх или вниз).

Соответствующие вращения часто называют:

ролл , вокруг продольной оси
шаг , относительно поперечной оси
рыскание вокруг вертикальной оси.

Смотрите также

Ссылки

^ Эдмунд Тейлор Уиттекер (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел (Переиздание четвертого издания 1936 года с предисловием редактора Уильяма МакКри). Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 0-521-35883-3.
^ Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами, MIT Press, Кембридж, Массачусетс
^ Догерти, Эдвард Р.; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений, серия SPIE/IEEE по науке и технике обработки изображений, т. 59, SPIE Press, стр. 169, ISBN 9780819430335.
^ Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Jones & Bartlett Learning, стр. 269, ISBN 9780763749651.

Дальнейшее чтение

Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Концепции перевода функций: препятствия, интуиции и перенаправление. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb
Трансформации графов: горизонтальные переводы. (2006, 1 января). BioMath: Трансформация графов. Получено 29 апреля 2014 г.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Перевод (геометрия)» .

Перевод Transform в cut-the-knot
Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
Понимание 2D-трансляции и понимание 3D-трансляции Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .