В математике правильный многогранник — это многогранник , группа симметрии которого действует транзитивно на его флаги , что придает ему высшую степень симметрии. В частности, все его элементы или j -грани (для всех 0 ≤ j ≤ n , где n — размерность многогранника) — ячейки, грани и т. д. — также транзитивны на симметриях многогранника и сами являются регулярными. многогранники размерности j ≤ n .
Правильные многогранники — это обобщенный аналог в любом количестве измерений правильных многоугольников (например, квадрата или правильного пятиугольника) и правильных многогранников (например, куба ). Сильная симметрия правильных многогранников придает им эстетическое качество, которое интересует как нематематиков, так и математиков.
Классически правильный многогранник в n измерениях можно определить как имеющий правильные грани ( [ n –1] -грани) и правильные фигуры вершин . Этих двух условий достаточно, чтобы гарантировать, что все грани и все вершины одинаковы. Однако обратите внимание, что это определение не работает для абстрактных многогранников .
Правильный многогранник может быть представлен символом Шлефли вида {a, b, c,..., y, z} с правильными гранями как {a, b, c,..., y} и правильной вершиной . цифры как {b, c, ..., y, z}.
Правильные многогранники классифицируются в первую очередь по их размерности.
В каждом измерении существуют три класса правильных многогранников:
Любой другой правильный многогранник называется исключительным.
В одном измерении отрезок одновременно служит 1-симплексом, 1-гиперкубом и 1-ортоплексом.
В двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников , а именно правильный n -сторонний многоугольник для n ≥ 3. Треугольник является 2-симплексом. Квадрат является одновременно 2-гиперкубом и 2-ортоплексом. n -сторонние многоугольники для n ≥ 5 являются исключительными.
В трех и четырех измерениях существует еще несколько исключительных правильных многогранников и 4-многогранников .
В пяти измерениях и выше симплекс, гиперкуб и ортоплекс являются единственными правильными многогранниками. Исключительных правильных многогранников в этих размерностях не существует.
См. также список правильных многогранников .
Правильные многогранники можно дополнительно классифицировать по симметрии . Например, куб и правильный октаэдр имеют одну и ту же симметрию, как и правильный додекаэдр и икосаэдр . Два различных правильных многогранника с одинаковой симметрией двойственны друг другу. Действительно, группы симметрии иногда называют в честь правильных многогранников, например, тетраэдрические и икосаэдрические симметрии.
Идея многогранника иногда обобщается и включает в себя родственные виды геометрических объектов. Некоторые из них имеют регулярные примеры, как обсуждается в разделе об исторических открытиях ниже.
Краткое символическое представление правильных многогранников было разработано Людвигом Шлефли в 19 веке, и слегка измененная форма стала стандартной. Обозначения лучше всего объясняются добавлением одного измерения за раз.
Двойственный правильному многограннику также является правильным многогранником . Символ Шлефли для двойственного многогранника — это просто исходный символ, записанный задом наперед: {3, 3} самодвойственный, {3, 4} двойственный к {4, 3}, {4, 3, 3} к {3, 3, 4} и так далее.
Вершинная фигура правильного многогранника является двойственной грани двойственного многогранника. Например, фигура вершины {3, 3, 4} — это {3, 4}, двойственной ей является {4, 3} — ячейка { 4, 3, 3}.
Многогранники меры и пересечения в любом измерении двойственны друг другу.
Если символ Шлефли является палиндромным , т.е. читается одинаково и вперед, и назад, то многогранник самодвойственный. Самодвойственные правильные многогранники:
Начните с точки А. Отметьте точку B на расстоянии r от нее и соедините, чтобы образовался отрезок . Отметьте точку C во втором, ортогональном измерении на расстоянии r от обеих точек и соедините ее с точками A и B , чтобы образовать равносторонний треугольник . Отметьте точку D в третьем, ортогональном, отмерьте расстояние r от всех трех и соедините, чтобы сформировать правильный тетраэдр . И так далее для более высоких измерений.
Это обычные симплексы или симплексы . Их имена в порядке размеров:
Начните с точки А. Продлите линию до точки B на расстоянии r и соедините, чтобы сформировать сегмент линии. Продлите вторую линию длины r , ортогональную AB , от B до C и аналогично от A до D , чтобы образовался квадрат ABCD . Продлите линии длиной r соответственно из каждого угла, ортогонально AB и BC (т. е. вверх). Отметьте новые точки E , F , G , H , чтобы сформировать куб ABCDEFGH . И так далее для более высоких измерений.
Это многогранники меры или гиперкубы . Их имена в порядке размеров:
Начните с точки О. Продлите линию в противоположных направлениях до точек A и B на расстоянии r от точки O и на расстоянии 2 r друг от друга. Нарисуйте линию COD длины 2 r с центром в точке O и ортогональную AB . Соедините концы, чтобы сформировать квадрат ACBD . Нарисуйте линию EOF одинаковой длины с центром в точке «O», ортогональную AB и CD (т.е. вверх и вниз). Соедините концы квадрата, чтобы сформировать правильный октаэдр . И так далее для более высоких измерений.
Это перекрестные многогранники или ортоплексы . Их имена в порядке размерности:
Правильные многогранники можно классифицировать по их группе изометрии . Это конечные группы Кокстера , но не каждая конечная группа Кокстера может быть реализована как группа изометрий регулярного многогранника. Правильные многогранники находятся в биекции с группами Кокстера с линейной диаграммой Кокстера-Дынкина (без точки ветвления) и возрастающей нумерацией узлов. Изменение нумерации на обратную дает двойственный многогранник.
Таким образом, классификация конечных групп Кокстера, восходящая к (Coxeter 1935), подразумевает классификацию правильных многогранников:
Биекцию между правильными многогранниками и группами Кокстера с линейной диаграммой Кокстера-Дынкина можно понять следующим образом. Рассмотрим правильный многогранник размерности и возьмем его барицентрическое подразделение . Фундаментальной областью действия группы изометрий на является любой симплекс барицентрического подразделения. Симплекс имеет вершины, которые можно пронумеровать от 0 до по размеру соответствующей грани (грани, барицентром которой они являются). Группа изометрий генерируется отражениями вокруг гиперплоскостей, содержащих номер вершины (поскольку барицентр всего многогранника фиксируется любой изометрией). Эти гиперплоскости можно пронумеровать по вершинам, которых они не содержат. Осталось проверить, что любые две гиперплоскости с соседними номерами не могут быть ортогональными, тогда как гиперплоскости с несмежными номерами ортогональны. Это можно сделать с помощью индукции (поскольку все грани снова являются правильными многогранниками). Следовательно, диаграмма Кокстера-Дынкина группы изометрий имеет вершины с номерами от 0 до таких, что соседние числа связаны хотя бы одним ребром, а несмежные числа не связаны.
Самая ранняя из сохранившихся математических трактовок правильных многоугольников и многогранников пришла к нам от древнегреческих математиков. Им были известны пять Платоновых тел . Пифагор знал по крайней мере о трёх из них, а Теэтет (ок. 417 – 369 до н. э.) описал все пять. Позже Евклид написал систематическое исследование по математике, опубликовав его под названием «Элементы» , в котором была построена логическая теория геометрии и теория чисел . Его работа завершилась математическим описанием пяти Платоновых тел .
Наше понимание оставалось неизменным на протяжении многих столетий после Евклида. Последующая история правильных многогранников может характеризоваться постепенным расширением основного понятия, позволяющим рассматривать в их числе все больше и больше объектов. Томас Брэдвардин (Bradwardinus) был первым, кто зафиксировал серьезное исследование звездных многоугольников. В искусстве эпохи Возрождения появляются различные звездчатые многогранники, но только после того, как Иоганн Кеплер изучил малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр в 1619 году, он понял, что они правильные. Луи Пуансо открыл большой додекаэдр и большой икосаэдр в 1809 году, а Огюстен Коши доказал полный список в 1812 году. Эти многогранники известны под общим названием многогранники Кеплера-Пуансо .
Лишь в 19 веке швейцарский математик Людвиг Шлефли исследовал и охарактеризовал правильные многогранники в высших измерениях. Его усилия были впервые полностью опубликованы в «Шлефли» (1901 г.), шесть лет спустя после его смерти, хотя некоторые из них были опубликованы в «Шлефли» (1855 г.) и «Шлефли» (1858 г.). Между 1880 и 1900 годами результаты Шлефли были независимо заново открыты по крайней мере девятью другими математиками — более подробную информацию см. в Coxeter (1973, стр. 143–144). Шлефли назвал такую фигуру «полисхемой» (по-английски «полиссхема» или «полисхема»). Термин «многогранник» был введен Рейнхольдом Хоппе , одним из первооткрывателей Шлефли, в 1882 году и впервые использован на английском языке Алисией Буль Стотт примерно двадцать лет спустя. Термин «многогранники» использовался и в более ранней литературе (Гильберт, 1952).
Коксетер (1973), вероятно, представляет собой наиболее полное на сегодняшний день печатное исследование Шлефли и подобных ему результатов. Шлефли показал, что существует шесть правильных выпуклых многогранников в четырех измерениях . Пять из них можно рассматривать как аналоги Платоновых тел: 4-симплекс (или пентахорон) — тетраэдру , гиперкуб ( или тессеракт ) — кубу , 4-ортоплекс (или гексадекахорон или 16-ячеечный ) — октаэдру. , 120-ячеечный додекаэдр и 600 - ячеечный икосаэдр . Шестой, 24-ячеечный , можно рассматривать как переходную форму между гиперкубом и 16-ячеечным, аналогично тому, как кубооктаэдр и ромбдодекаэдр являются переходными формами между кубом и октаэдром.
В пяти и более измерениях существует ровно три правильных многогранника, соответствующих тетраэдру, кубу и октаэдру: это правильные симплексы, многогранники меры и перекрестные многогранники. Их описания можно найти в списке правильных многогранников . Также интерес представляют звездные правильные 4-многогранники , частично открытые Шлефли.
К концу 19-го века такие математики, как Артур Кэли и Людвиг Шлефли, разработали теорию правильных многогранников в четырех и более высоких измерениях, таких как тессеракт и 24-клеточный .
Последние трудно (хотя и возможно) визуализировать посредством многомерной аналогии , поскольку они сохраняют знакомую симметрию своих аналогов из более низких измерений. Тессеракт содержит 8 кубических ячеек. Он состоит из двух кубов в параллельных гиперплоскостях с соответствующими вершинами, перекрестно связанными таким образом, что 8 поперечных ребер равны по длине и ортогональны 12+12 ребрам, расположенным на каждом кубе. Соответствующие грани двух кубов соединяются, образуя оставшиеся 6 кубических граней тессеракта . 24-ячейку можно получить из тессеракта , соединив 8 вершин каждой из его кубических граней с дополнительной вершиной, чтобы сформировать четырехмерный аналог пирамиды. Обе фигуры, как и другие четырехмерные фигуры, можно непосредственно визуализировать и изобразить с помощью четырехмерных стереографий. [1]
Еще труднее представить себе более современные абстрактные правильные многогранники, такие как 57-клеточный или 11-клеточный . Однако с математической точки зрения эти объекты обладают теми же эстетическими качествами, что и их более знакомые двух- и трехмерные родственники.
В начале 20 века определение правильного многогранника было следующим.
Это «рекурсивное» определение. Он определяет регулярность фигур более высоких измерений с точки зрения правильных фигур более низкого измерения. Существует эквивалентное (нерекурсивное) определение, которое гласит, что многогранник является правильным, если он имеет достаточную степень симметрии.
Так, например, куб является правильным, потому что если мы выберем вершину куба, одно из трех ребер, на которых она находится, и одну из двух граней, содержащих это ребро, то эта тройка, известная как флаг ( вершина, ребро, грань) может быть отображено в любой другой такой флаг посредством подходящей симметрии куба. Таким образом, мы можем очень кратко определить правильный многогранник:
В 20 веке произошло несколько важных событий. Группы симметрии классических правильных многогранников были обобщены в так называемые группы Кокстера . Группы Кокстера также включают группы симметрии правильных мозаик пространства или плоскости. Например, группой симметрии бесконечной шахматной доски будет группа Кокстера [4,4].
В первой половине 20 века Коксетер и Петри открыли три бесконечные структуры {4, 6}, {6, 4} и {6, 6}. Они назвали их правильными косыми многогранниками, потому что они, казалось бы, удовлетворяли определению правильного многогранника — все вершины, ребра и грани одинаковы, все углы одинаковы, а фигура не имеет свободных ребер. В настоящее время их называют бесконечными многогранниками или апейроэдрами. Правильные мозаики плоскости {4, 4}, {3, 6} и {6, 3} также можно рассматривать как бесконечные многогранники.
В 1960-х годах Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть более абстрактные типы правильных многогранников, которые он назвал полистроматами . Он развил теорию полистромат, показав примеры новых объектов, которые он назвал правильными апейротопами , то есть правильными многогранниками с бесконечным числом граней. Простым примером перекоса апейрогона может быть зигзаг. Кажется, он удовлетворяет определению правильного многоугольника — все ребра имеют одинаковую длину, все углы одинаковы, и у фигуры нет свободных концов (потому что до них невозможно добраться). Что еще более важно, возможно, существуют симметрии зигзага, которые могут сопоставить любую пару вершины и присоединенного ребра с любой другой. С тех пор продолжают открываться другие правильные апейрогоны и высшие апейротопы.
Комплексное число имеет действительную часть, то есть бит, с которым мы все знакомы, и мнимую часть, которая кратна квадратному корню из минус единицы. Комплексное гильбертово пространство имеет координаты x, y, z и т. д. как комплексные числа. Это эффективно удваивает количество измерений. Многогранник, построенный в таком унитарном пространстве, называется комплексным многогранником . [2]
Грюнбаум также открыл 11-клеточный четырехмерный самодвойственный объект, чьи грани не являются икосаэдрами, а представляют собой «полу-икосаэдры» — то есть, они представляют собой форму, которую можно получить, если считать противоположные грани икосаэдров фактически то же лицо (Грюнбаум 1976). У полуикосаэдра всего 10 треугольных граней и 6 вершин, в отличие от икосаэдра, у которого их 20 и 12.
Читателю будет легче понять эту концепцию, если принять во внимание взаимосвязь куба и полукуба. Обычный куб имеет 8 углов, их можно обозначить от A до H, где A напротив H, B напротив G и так далее. В полукубе A и H будут рассматриваться как один и тот же угол. То же самое можно сказать о B и G и так далее. Ребро AB стало бы тем же ребром, что и GH, а грань ABEF стала бы той же гранью, что и CDGH. У новой формы всего три грани, 6 ребер и 4 угла.
11-ячейка не может быть сформирована с правильной геометрией в плоском (евклидовом) гиперпространстве, а только в положительно искривленном (эллиптическом) гиперпространстве.
Через несколько лет после открытия Грюнбаумом 11-клеточной структуры HSM Coxeter независимо обнаружил ту же форму. Ранее он обнаружил аналогичный многогранник с 57 ячейками (Coxeter 1982, 1984).
К 1994 году Грюнбаум рассматривал многогранники абстрактно как комбинаторные наборы точек или вершин, и его не заботило, являются ли грани плоскими. Когда он и другие усовершенствовали эти идеи, такие множества стали называть абстрактными многогранниками . Абстрактный многогранник определяется как частично упорядоченный набор (poset), элементами которого являются грани многогранника (вершины, ребра, грани и т. д.), упорядоченные по содержанию . На множество накладываются определенные ограничения, аналогичные свойствам, которым обладают классические правильные многогранники (включая платоновы тела). Однако ограничения настолько слабы, что обычные мозаики, полукубы и даже такие странные объекты, как 11-ячеечный или незнакомец, — все это примеры правильных многогранников.
Под геометрическим многогранником понимается реализация абстрактного многогранника, такая, что существует взаимно-однозначное отображение абстрактных элементов на соответствующие грани геометрической реализации. Таким образом, любой геометрический многогранник может быть описан соответствующим абстрактным ЧУМ, хотя не все абстрактные многогранники имеют правильные геометрические реализации.
С тех пор теория получила дальнейшее развитие, в основном McMullen & Schulte (2002), но и другие исследователи также внесли свой вклад.
Регулярность имеет схожее, хотя и другое значение для абстрактных многогранников , поскольку углы и длины ребер не имеют значения.
Определение регулярности с точки зрения транзитивности флагов, данное во введении, применимо к абстрактным многогранникам.
Любой классический правильный многогранник имеет абстрактный эквивалент, который является регулярным и получается путем взятия набора граней. Но неправильные классические многогранники могут иметь регулярные абстрактные эквиваленты, поскольку абстрактные многогранники, например, не сохраняют информацию об углах и длинах ребер. А правильный абстрактный многогранник может быть нереализуем как классический многогранник.
Например, в абстрактном мире все многоугольники являются правильными, тогда как в классическом мире правильными являются только те многоугольники, которые имеют равные углы и края одинаковой длины.
Понятие вершинной фигуры также определяется по-разному для абстрактного многогранника . Фигура вершины данного абстрактного n -многогранника в данной вершине V — это набор всех абстрактных граней, содержащих V , включая сам V. Более формально, это абстрактный раздел.
где Fn — максимальная грань, т.е. условная n -грань , содержащая все остальные грани. Обратите внимание, что каждая i -грань, i ≥ 0, исходного многогранника становится ( i - 1)-гранью вершинной фигуры.
В отличие от евклидовых многогранников, абстрактный многогранник с правильными гранями и фигурами вершин может быть, а может и не быть правильным сам по себе - например, квадратная пирамида, все грани и фигуры вершин которой являются правильными абстрактными многоугольниками.
Однако классическая вершинная фигура будет реализацией абстрактной.
Традиционный способ построения правильного многоугольника или любой другой фигуры на плоскости — это использование циркуля и линейки . Построить некоторые правильные многоугольники таким способом очень просто (самый простой, пожалуй, равносторонний треугольник), некоторые более сложные, а некоторые невозможны («неконструируемые»). Простейшими правильными многоугольниками, которые невозможно построить, являются n -сторонние многоугольники с n , равным 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,...
Конструируемость в этом смысле относится только к идеальным конструкциям с идеальными инструментами. Конечно, достаточно точные аппроксимации можно построить с помощью ряда методов; тогда как теоретически возможные конструкции могут оказаться непрактичными.
«Начала» Евклида дали представление о конструкции линейки и циркуля для пяти платоновых тел. [3] Однако чисто практический вопрос о том, как можно провести прямую линию в пространстве, даже с помощью линейки, может привести к вопросу, что именно означает «построить» правильный многогранник. (Конечно, тот же вопрос можно задать и о многоугольниках.)
Английское слово «конструировать» имеет значение систематического строительства построенной вещи. Самый распространенный способ построения правильного многогранника — использование раскладывающейся сетки . Чтобы получить развертку многогранника, нужно взять поверхность многогранника и разрезать ее по ребрам ровно настолько, чтобы поверхность можно было выложить плоской. Это дает план развертки развернутого многогранника. Поскольку грани Платоновых тел имеют только треугольники, квадраты и пятиугольники, и все они могут быть построены с помощью линейки и циркуля, существуют методы рисования этих складных сетей с помощью линейки и циркуля. То же самое относится и к звездчатым многогранникам, хотя здесь мы должны быть осторожны и создавать развертку только для видимой внешней поверхности.
Если эта сеть нарисована на картоне или подобном складном материале (например, листовом металле), сеть можно вырезать, сложить по неразрезанным краям, соединить по соответствующим разрезанным краям и образовать таким образом многогранник, для которого была создана сеть. спроектирован. Для данного многогранника может быть много разверток. Например, у куба их 11, а у додекаэдра более 900 000. [4]
Многочисленные детские игрушки, обычно предназначенные для подростков или детей до подросткового возраста, позволяют экспериментировать с правильными многоугольниками и многогранниками. Например, klikko предоставляет наборы пластиковых треугольников, квадратов, пятиугольников и шестиугольников, которые можно соединить от края до края множеством различных способов. Ребенок, играющий с такой игрушкой, может заново открыть для себя Платоновы тела (или Архимедовы тела ), особенно если получить небольшое руководство от знающего взрослого.
Теоретически для построения правильных многогранников можно использовать практически любой материал. [5] Их можно вырезать из дерева, вылепить из проволоки, сделать из витража. Воображение – это предел.
В более высоких измерениях становится сложнее сказать, что имеется в виду под «конструированием» объектов. Понятно, что в трехмерной вселенной невозможно построить физическую модель объекта, имеющую 4 и более измерений. Для решения этой проблемы обычно используют несколько подходов.
Первый подход, подходящий для четырех измерений, использует четырехмерную стереографию. [1] Глубина в третьем измерении представлена горизонтальным относительным смещением, глубина в четвертом измерении - вертикальным относительным смещением между левым и правым изображениями стереографа.
Второй подход заключается во внедрении объектов более высокой размерности в трехмерное пространство с использованием методов, аналогичных способам рисования трехмерных объектов на плоскости. Например, раскладные сети, упомянутые в предыдущем разделе, имеют эквиваленты более высоких размерностей. [6] Можно даже представить себе построение модели этой раскладывающейся сети, подобно тому, как рисуют раскладывающуюся развертку многогранника на листе бумаги. К сожалению, мы никогда не смогли выполнить необходимое свертывание трехмерной структуры для получения четырехмерного многогранника из-за ограничений физической вселенной. Другой способ «рисовать» многомерные формы в трех измерениях — это использовать какую-либо проекцию, например, аналог ортогональной или перспективной проекции . В знаменитой книге Коксетера о многогранниках (Coxeter 1973) есть несколько примеров таких орфографических проекций. [7] Заметим, что погружение даже 4-х мерной полихоры непосредственно в два измерения весьма запутывает. Легче понять трехмерные модели проекций. Такие модели иногда можно найти в научных музеях или на математических факультетах университетов (например, Свободного университета Брюсселя ).
Пересечение четырехмерного (или более) правильного многогранника с трехмерной гиперплоскостью будет многогранником (не обязательно правильным). Если гиперплоскость перемещается по форме, трехмерные фрагменты можно объединить, анимировать в своего рода четырехмерный объект, где четвертым измерением считается время. Таким образом, мы можем увидеть (хотя и не полностью уловить) полную четырехмерную структуру четырехмерных правильных многогранников через такие разрезные сечения. Это аналогично тому, как компьютерная томография собирает двухмерные изображения для формирования трехмерного представления сканируемых органов. Идеалом была бы какая-нибудь анимированная голограмма , однако даже простая анимация, подобная показанной, уже может дать некоторое ограниченное представление о структуре многогранника.
Другой способ, которым трехмерный зритель может понять структуру четырехмерного многогранника, — это «погружение» в объект, возможно, с помощью какой-либо технологии виртуальной реальности . Чтобы понять, как это может работать, представьте, что можно было бы увидеть, если бы пространство было заполнено кубами. Зритель будет находиться внутри одного из кубов и сможет видеть кубы спереди, сзади, сверху, снизу, слева и справа от себя. Если бы можно было путешествовать в этих направлениях, можно было бы исследовать массив кубов и понять его геометрическую структуру. Бесконечный массив кубов не является многогранником в традиционном понимании. По сути, это мозаика 3-мерного ( евклидова ) пространства. Однако 4-многогранник можно рассматривать как замощение 3-мерного неевклидова пространства, а именно замощение поверхности четырехмерной сферы (4-мерное сферическое замощение ).
Локально это пространство похоже на то, с которым мы знакомы, и поэтому систему виртуальной реальности в принципе можно запрограммировать так, чтобы она позволяла исследовать эти «тесселяции», то есть четырехмерные правильные многогранники. На математическом факультете UIUC есть несколько изображений того, что можно было бы увидеть, если бы они были встроены в мозаику гиперболического пространства с додекаэдрами. Такая тесселяция является примером бесконечного абстрактного правильного многогранника.
Обычно для абстрактных правильных многогранников математик считает, что объект «построен», если известна структура его группы симметрии . Это связано с важной теоремой в изучении абстрактных правильных многогранников, предоставляющей метод, который позволяет построить абстрактный правильный многогранник на основе его группы симметрии стандартным и простым способом.
Примеры полигонов в природе см.:
Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме:
