Среднетоновые темперации — это музыкальные темперации ; [1] то есть, различные системы настройки, построенные, подобно пифагорейской настройке , как последовательность равных квинт, как восходящих, так и нисходящих, масштабированных так, чтобы оставаться в пределах одной октавы. Но вместо использования чистых квинт , состоящих из частотных соотношений значения , они темперируются подходящим фактором, который сужает их до соотношений, которые немного меньше , чтобы приблизить большую или малую терцию к правильному интонационному соотношению или , соответственно. Регулярная темперация — это та, в которой все квинты выбраны одинакового размера .
Двенадцатитоновая равномерная темперация ( 12 TET ) получается путем придания всем полутонам одинакового размера, каждый из которых равен одной двенадцатой октавы; т. е. с соотношением 12 √ 2 : 1. Относительно пифагорейской настройки она сужает чистые квинты примерно на 2 цента или 1/ 12 th пифагорейской запятой, чтобы получить частотное отношение. Это дает большие терции, которые шире примерно на 13 центов , или 1/ 8 th полутона. Двенадцатитоновая равномерная темперация почти такая же, как 1/ 11 синтоническая запятая означала настройку одного (1,955 цента против 1,95512).
Четверть-запятая означает единицу , которая смягчает каждую из двенадцати чистых квинт 1 /4 синтонической коммы , является наиболее известным типом темперации meanone, и термин meanone часто используется для обозначения его конкретно. Четыре восходящие квинты (как CGDAE ), темперированные 1 /4 комма (и пониженная на две октавы) дает только большую терцию ( CE ) (с соотношением 5:4 ), которая на одну синтоническую комму (или примерно на 22 цента ) уже пифагорейской терции, которая получилась бы из четырех чистых квинт .
Он был широко распространен с начала XVI века до начала XVIII века, после чего в конечном итоге во всеобщее употребление вошла двенадцатитоновая эквитемпераментация. Для церковных органов и некоторых других клавиатурных целей он продолжал использоваться вплоть до XIX века, а иногда и возрождается в старинных музыкальных исполнениях сегодня. Четверть-запятая значила тональность можно хорошо аппроксимировать делением октавы на 31 равный шаг .
Она действует так же, как и пифагорейская настройка ; то есть, она берет основную ноту (скажем, C ) и идет вверх на шесть последовательных квинт (всегда корректируя путем деления на степени 2 , чтобы оставаться в пределах октавы выше основной), и аналогично вниз на шесть последовательных квинт (корректируя обратно в октаву путем умножения на степени 2 ). Однако вместо использования 3 /2 соотношение, которое дает идеальные квинты , это нужно разделить на корень четвертой степени 81 /80 , которая является синтонической запятой : отношение пифагорейской терции 81 /64 до самой большой терции 5 /4 . Эквивалентно, можно использовать 4 √ 5 вместо 3 /2 , что дает те же слегка уменьшенные квинты. Это приводит к тому, что интервал CE становится просто большой терцией 5 /4 , и промежуточные секунды ( CD , DE ) делят CE равномерно, поэтому DC и ED являются равными отношениями, квадрат которых равен 5 /4 . То же самое относится к основным вторым последовательностям FGA и GAB .
Однако в настройке «четверть-запятая» между последней нотой верхней последовательности из шести квинт и последней нотой нижней последовательности имеется остаточный зазор ; например, между нотами F ♯ и G ♭, если начальной точкой выбрана нота C , которые, с поправкой на октаву, находятся в соотношении 125 /128 или -41,06 цента. Это в смысле, противоположном пифагорейской запятой (т.е. верхний конец более плоский, чем нижний) и почти в два раза больше.
В третьей запятой означает один , квинты темперируются 1 /3 синтонической запятой. Из этого следует, что три нисходящие квинты (такие как ADGC ) производят только минорную терцию ( AC ) соотношения 6 /5 , что почти на одну синтоническую комму шире малой терции, полученной в результате пифагорейской настройки трех чистых квинт . Терция-комма мидтон может быть очень хорошо аппроксимирована делением октавы на 19 равных шагов .
Название «среднетоновая темперация» происходит от того факта, что во всех таких темперациях размер целого тона в диатонической гамме находится где-то между мажорными и минорными тонами (9:8 и 10:9 соответственно) просто интонации , которые отличаются друг от друга синтонической запятой . В любой регулярной системе [1] целый тон (как CD ) достигается после двух квинт (как CGD ) (пониженных на октаву), в то время как большая терция достигается после четырех квинт ( CGDAE ) (пониженных на две октавы). Из этого следует, что в 1 /4 запятая означает, что весь тон равен ровно половине только что большой терции (в центах) или, что то же самое, квадратному корню из отношения частот 5 /4 .
Таким образом, один из смыслов, в котором тон является средним, заключается в том, что, как отношение частот, он является геометрическим средним мажорного тона и минорного тона: , эквивалентно 193,157 центам : размер целого тона в четверть запятой. Однако любой промежуточный тон квалифицируется как «средний» в том смысле, что он является промежуточным, и, следовательно, как допустимый выбор для некоторой системы средних тонов.
В случае четвертной запятой meanone, где большая терция сделана уже синтонической запятой, весь тон сделан на ползапятой уже, чем большой тон просто интонации (9:8), или на ползапятой шире, чем минорный тон (10:9). Это тот смысл, в котором четвертьтоновая темперация часто считается «образцовой» темперацией meanone, поскольку в ней весь тон лежит посередине (в центах ) между его возможными крайностями. [1]
Упоминания о системах настройки, которые могли бы относиться к meanone, были опубликованы еще в 1496 году ( Gaffurius ). [2] Пьетро Арон [3] (Венеция, 1523) несомненно обсуждал quarter-comma meanone. Лодовико Фольяни [4] упомянул систему quarter-comma, но не предложил никакого обсуждения по этому поводу. Первые математически точные описания настройки meanone можно найти в трактатах конца XVI века Зарлино [5] и де Салинаса . [6] Оба эти автора описали 1 /4 запятая, 1 /3 запятая, и 2 /7 запятая означала системы тонов. Марен Мерсенн описал различные системы настройки в своей основополагающей работе по теории музыки Harmonie universelle [ 7] ,включая 31-тоновую равномерно темперированную, но отверг ее по практическим соображениям.
Среднетоновые темперации иногда упоминались под другими названиями или описаниями. Например, в 1691 году Гюйгенс [8] отстаивал использование 31-тоновой эквитемперированной системы ( 31 TET ) как превосходного приближения для 1 /4 система comma meanone, упоминая предшествующие работы Zarlino и Salinas , и не соглашаясь с отрицательным мнением Mersenne (1639). Он провел детальное сравнение соотношений частот в системе 31 TET и темперамента quarter-comma meanone , который он называл по-разному «temperament ordinaire» или «тот, который используют все». (См. ссылки, цитируемые в статье Temperament Ordinaire .)
Конечно, система «четверть-запятая-междунотон» (или любая другая система «междунотон») не могла быть реализована с полной точностью до гораздо более позднего времени, поскольку устройства, которые могли точно измерять все частоты тона, не существовали до середины 19 века. Но настройщики могли применять те же методы, которые всегда использовали настройщики «на слух»: идти вверх по квинтам и вниз по октавам, или вниз по квинтам и вверх по октавам, темперируя квинты так, чтобы они были немного меньше, чем просто 3/ 2 соотношение. То, как настройщики могли бы надежно определить «четвертную запятую» на слух, немного более тонко. Поскольку это составляет около 0,3% от частоты, которая около средней C (~264 Гц) составляет около одного герца , они могли бы сделать это, используя чистые квинты в качестве эталона и настраивая темперированную ноту для получения ударов с этой частотой. Однако частоту ударов пришлось бы немного скорректировать, пропорционально частоте ноты. В качестве альтернативы диатонические тональности мажорные терции можно настроить только на мажорные терции, с соотношением 5/ 4 , устранив биения.
Для равномерно темперированной настройки в 12 тонов квинты должны быть темперированы значительно меньше, чем на 1/4 запятая (очень близко к 1/11 синтоническая запятая , или 1/12 Пифагорейская запятая ), поскольку они должны образовывать совершенный цикл, без пробела в конце, тогда как 1/4 Запятая означает, что настройка, как упоминалось выше, имеет остаточный зазор, который вдвое больше пифагорейского, в противоположном направлении.
Хотя минтон наиболее известен как система настройки, связанная с ранней музыкой эпохи Возрождения и барокко, имеются свидетельства ее постоянного использования в качестве клавиатурной темперации вплоть до XIX века.
Значительное возрождение старинной музыки произошло в конце XX века, а также в новых произведениях, написанных некоторыми композиторами, такими как Адамс , Лигети и Лиди , требующих особого внимания .
Среднетоновая темперация — это регулярная темперация , отличающаяся тем, что поправочный коэффициент к Пифагорейским совершенным квинтам, обычно даваемый как определенная доля синтонической коммы, выбирается так, чтобы сделать интервалы целых тонов равными, насколько это возможно, геометрическому среднему значению мажорного тона и минорного тона. Исторически, обычно используемые среднетоновые темперации, обсуждаемые ниже, занимают узкую часть этого континуума настройки, с квинтами в диапазоне приблизительно от 695 до 699 центов.
Среднетоновые темперации могут быть заданы различными способами: на какую долю синтонической коммы сглаживается квинта (как указано выше), ширина темперированной чистой квинты в центах или отношение целого тона (в центах) к диатоническому полутону . Это последнее отношение было названо « R » американским композитором, пианистом и теоретиком Изли Блэквудом . Если R является рациональным числом R = , то это ближайшее приближение к соответствующей среднетоновой темперированной квинте в пределах равнотемперированного деления октавы на равные части. Такие деления октавы на ряд малых частей, больших 12, иногда называют микротональностью , а наименьшие интервалы — микротонами .
В этих терминах ниже перечислены некоторые исторически примечательные настройки meantone и сравнены с ближайшей равномерно темперированной микротональной настройкой. В первом столбце указана доля систонической коммы, которой темперируются чистые квинты в системе meantone. Во втором перечисляются 5-предельные рациональные интервалы, которые встречаются в этой настройке. В третьем столбце указана доля октавы в соответствующей равномерно темперированной микроинтервальной системе, которая наилучшим образом приближается к meantone квинте. В четвертом столбце указана разница между ними в центах . Квинта — это соответствующее значение дроби R = , а квинта — это количество равномерно темперированных ( ET ) микротонов в октаве.
Ни в двенадцатитоновой эквитемперации, ни в четвертной коме тон не является квинтой, рациональной дробью октавы, но существует несколько строев, которые приближаются к квинте таким интервалом; они являются подмножеством равномерной темперации (« N TET »), в которой октава делится на некоторое количество ( N ) одинаково широких интервалов.
Равномерно темперированные строи, которые полезны в качестве приближений к среднетоновым настройкам, включают (в порядке увеличения ширины генератора ) 19 TET ( ~+ 1 /3 запятая), 50 ТЕТ ( ~+ 2 /7 запятая), 31 ТЕТ ( ~+ 1 /4 запятая), 43 ТЕТ ( ~+ 1 /5 запятая) и 55 ТЕТ ( ~+ 1 /6 comma). Однако чем дальше настройка отходит от четверть-запятая означает один, тем меньше настройка связана с гармоническими соотношениями. Это можно преодолеть, темперируя обертоны , чтобы они соответствовали настройке, что, однако, возможно только на электронных синтезаторах. [10]
12-ЕТ
19-ЕТ
31-ЕТ
43-ЕТ
50-ЕТ
55-ЕТ
Целое число только чистых квинт никогда не составит целое число октав, потому что log 2 3 — иррациональное число. Если целое число чистых квинт, сложенное вместе, слишком близко к октаве, то один из интервалов, энгармонически эквивалентный квинте, должен иметь иную ширину, чем другие квинт. Например, чтобы сделать хроматическую гамму из 12 нот в пифагорейской настройке близкой к октаве, один из интервалов квинт должен быть понижен («расстроен») пифагорейской коммой ; эта измененная квинта называется « волчья квинта », потому что она звучит похоже на квинту по размеру интервала и кажется расстроенной квинтой, но на самом деле является уменьшенной секстой (например, между G ♯ и E ♭ ). Аналогично, 11 из 12 чистых кварт также настроены, но оставшаяся кварта является увеличенной терцией (а не настоящей квартой).
Интервалы Вольфа являются артефактом конструкции клавиатуры, и клавишники используют клавишу, которая на самом деле настроена на другую высоту тона, чем предполагалось. [11] Это можно легко продемонстрировать с помощью изоморфной клавиатуры , например, показанной на рисунке 2.
На изоморфной клавиатуре любой заданный музыкальный интервал имеет одинаковую форму, где бы он ни появлялся, за исключением краев. Вот пример. На клавиатуре, показанной на рисунке 2, от любой заданной ноты нота, которая на чистую квинту выше, всегда находится вверх и вправо рядом с заданной нотой. В пределах нотного диапазона этой клавиатуры нет вольфовых интервалов. Проблема находится на краю, на ноте E ♯ . Нота, которая на чистую квинту выше E ♯ , — это B ♯ , которая не включена в показанную клавиатуру (хотя ее можно было бы включить в большую клавиатуру, поместив ее прямо справа от A ♯ , тем самым сохранив последовательный нотный рисунок клавиатуры). Поскольку кнопки B ♯ нет , при игре пауэр-аккорда E ♯ (аккорда с открытой квинтой) нужно выбрать какую-то другую ноту, например C , чтобы сыграть вместо отсутствующей B ♯ .
Даже краевые условия создают интервалы вольфа только в том случае, если изоморфная клавиатура имеет меньше кнопок на октаву, чем настройка имеет энгармонически -различимых нот (Milne 2007 ). Например, изоморфная клавиатура на рисунке 2 имеет 19 кнопок на октаву, поэтому вышеупомянутое краевое условие от E ♯ до C не является интервалом вольфа в 12-тоновой равномерной темперации ( TET ), 17 TET или 19 TET ; однако это интервал вольфа в 26 TET , 31 TET и 50 ET. В этих последних настройках использование электронной транспозиции может удерживать ноты текущей тональности на белых кнопках изоморфной клавиатуры, так что эти интервалы вольфа будут очень редко встречаться в тональной музыке, несмотря на модуляцию в экзотические тональности. [12]
Изоморфные клавиатуры раскрывают инвариантные свойства среднетоновых настроек синтонической темперации изоморфно (то есть, например, раскрывая заданный интервал с единой последовательной межкнопочной формой в каждой октаве, тональности и настройке), поскольку и изоморфная клавиатура, и темперация являются двумерными ( т.е. ранга 2 ) сущностями (Milne 2007 ). Одномерные клавиатуры с N клавишами (где N — некоторое число) могут точно раскрывать инвариантные свойства только одной одномерной настройки в N TET ; следовательно , одномерная клавиатура в стиле фортепиано с 12 клавишами на октаву может раскрывать инвариантные свойства только одной настройки: 12 TET .
Когда чистая квинта имеет ширину ровно 700 центов (то есть темперирована примерно на 1/11 синтонической запятой, или точно 1/12 пифагорейской коммы) тогда настройка идентична знакомой 12-тоновой равномерной темперации . Это отображается в таблице выше, когда R = 2:1 .
Из-за компромиссов (и интервалов вольфа), навязанных настройкам meanone одномерной клавиатурой фортепианного типа, более популярными стали хорошо темперированный строй и, в конечном итоге, равномерная темперация.
Используя стандартные названия интервалов, двенадцать квинт равны шести октавам плюс одна увеличенная септима ; семь октав равны одиннадцати квинтам плюс одна уменьшенная секста . Учитывая это, три «малые терции» на самом деле являются увеличенными секундами (например, B ♭ до C ♯ ), а четыре «большие терции» на самом деле являются уменьшенными квартами (например, B до E ♭ ). Несколько трезвучий (например, B E ♭ F ♯ и B ♭ C ♯ F ) содержат оба этих интервала и имеют обычные квинты.
Все настройки meantone попадают в допустимый диапазон настройки синтонической темперации , поэтому все настройки meantone являются синтоническими настройками. Все синтонические настройки, включая meantones и различные just intonations , предположительно имеют бесконечное количество нот в каждой октаве, то есть семь натуральных нот, семь диезных нот (от F ♯ до B ♯ ), семь бемольных нот ( от B ♭ до F ♭ ) (что является пределом оркестровой арфы , которая допускает 21 высоту звука в октаве); затем дубль-диезы, дубль-бемоль ноты, трипл-диезы и бемоли и так далее. На самом деле дубль-диезы и бемоли встречаются редко, но все равно нужны; трипл-диезы и бемоли почти никогда не встречаются. В любой синтонической настройке, которая делит октаву на небольшое количество одинаково широких наименьших интервалов (например, 12 , 19 или 31 ), эта бесконечность нот все еще существует, хотя некоторые ноты будут эквивалентны. Например, в 19 ET, E ♯ и F ♭ имеют одинаковую высоту; и в простом интонировании для C major , C ♯ D
находятся в пределах 8,1 цента , и поэтому могут быть закалены до идентичности.
Многие музыкальные инструменты способны к очень тонким различиям высоты звука, например, человеческий голос, тромбон, необрезанные струны, такие как скрипка, и лютни с завязанными ладами. Эти инструменты хорошо подходят для использования среднетоновых настроек.
С другой стороны, клавиатура фортепиано имеет только двенадцать физических устройств управления нотами на октаву, что делает ее плохо подходящей для любых настроек, кроме 12 ET. Почти все исторические проблемы с темперацией meanone вызваны попыткой сопоставить бесконечное количество нот meanone на октаву с конечным количеством клавиш фортепиано. Это, например, источник «волчьей квинты», обсуждавшейся выше. При выборе нот для сопоставления с черными клавишами фортепиано удобно выбирать те ноты, которые являются общими для небольшого количества тесно связанных клавиш, но это будет работать только до края октавы; при переходе к следующей октаве необходимо использовать «волчью квинту», которая не такая широкая, как другие, как обсуждалось выше.
Существование «волчьей квинты» является одной из причин, по которой до введения темперации инструментальная музыка, как правило, придерживалась ряда «безопасных» тональностей, не включавших «волчью квинту» (которая обычно помещалась между G♯ и E ♭ ) .
На протяжении всего периода Возрождения и Просвещения такие разные теоретики, как Никола Вичентино , Франсиско де Салинас , Фабио Колонна , Марин Мерсенн , Христиан Гюйгенс и Исаак Ньютон, выступали за использование среднетоновых настроек, которые были расширены за пределы двенадцати нот клавиатуры, [1] [13] [14] и, следовательно, стали называться «расширенными» среднетоновыми настройками. Эти усилия потребовали соответствующего расширения клавишных инструментов, чтобы предложить средства управления более чем 12 нотами на октаву, включая Archicembalo Винченто , 19 ET клавесин Мерсенна, 31 ET самбуку Колонны и 31 ET клавесин Гюйгенса. [15] Другие инструменты расширили клавиатуру всего на несколько нот. Некоторые клавесины и органы того времени имеют разделенные клавиши D ♯ / E ♭ , так что и E мажор / C ♯ минор (4 диеза), и E ♭ мажор / C минор (3 бемоля) могут быть сыграны без волчьих квинт. Многие из этих инструментов также имеют разделенные клавиши G ♯ / A ♭ , а некоторые имеют разделенные все пять случайных клавиш.
Все эти альтернативные инструменты были «сложными» и «громоздкими» (Isacoff 2009) из-за
что может значительно сократить количество кнопок управления нотами, необходимых на изоморфной клавиатуре (Plamondon 2009 ). Оба эти замечания могут быть решены с помощью электронных изоморфных клавишных инструментов (таких как клавиатура с открытым исходным кодом Hardware Jammer), которые могут быть проще, менее громоздкими и более выразительными, чем существующие клавишные инструменты. [16]
