Лагранжиан (теория поля)

Применение механики Лагранжа к теориям поля

Лагранжева теория поля — это формализм классической теории поля . Это теоретико-полевой аналог механики Лагранжа . Лагранжева механика используется для анализа движения системы дискретных частиц, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы . Лагранжева теория поля применима к континуумам и полям , которые имеют бесконечное число степеней свободы.

Одной из причин разработки лагранжева формализма полей и, в более общем смысле, классической теории поля , является обеспечение четкого математического обоснования квантовой теории поля , которая печально известна формальными трудностями, которые делают ее неприемлемой как математическая теория. Представленные здесь лагранжианы идентичны своим квантовым эквивалентам, но, рассматривая поля как классические поля, а не квантованные, можно дать определения и получить решения со свойствами, совместимыми с традиционным формальным подходом к математике уравнений в частных производных . Это позволяет формулировать решения в пространствах с хорошо охарактеризованными свойствами, таких как пространства Соболева . Это позволяет предоставлять различные теоремы, начиная от доказательств существования и равномерной сходимости формальных рядов до общих положений теории потенциала . Кроме того, понимание и ясность достигаются за счет обобщений на римановы многообразия и расслоения , что позволяет четко различить геометрическую структуру и отделить ее от соответствующих уравнений движения. Более четкое представление о геометрической структуре, в свою очередь, позволило использовать для получения более глубокого понимания весьма абстрактные теоремы из геометрии, начиная от теоремы Черна-Гаусса-Бонне и теоремы Римана-Роха до теоремы об индексе Атьи-Зингера и теории Черна-Саймонса. .

Обзор

В теории поля независимая переменная заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на римановом многообразии . Зависимые переменные заменяются значением поля в этой точке пространства-времени, так что уравнения движения получаются посредством принципа действия , записанного как: где действие , , является функционалом зависимых переменных , их производных и это само по себе ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$ $${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}$$

где скобки обозначают ; и s = { s ^α } обозначает набор из n независимых переменных системы, включая переменную времени, и индексируется α = 1, 2, 3, ..., n . Каллиграфический шрифт используется для обозначения плотности и является формой объема полевой функции, т.е. мерой области определения полевой функции. ${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

В математических формулировках лагранжиан принято выражать как функцию на расслоении , при этом уравнения Эйлера-Лагранжа можно интерпретировать как задание геодезических на расслоении. Учебник Абрахама и Марсдена ^[1] дал первое исчерпывающее описание классической механики в терминах современных геометрических идей, т. е. в терминах касательных многообразий , симплектических многообразий и контактной геометрии . В учебнике Бликера ^[2] теории поля в физике подробно изложены в терминах калибровочно-инвариантных расслоений. Такие составы были известны или предполагались задолго до этого. Йост ^[3] продолжает геометрическое изложение, разъясняя связь между гамильтоновой и лагранжевой формами, описывая спиновые многообразия из первых принципов и т. д. Текущие исследования сосредоточены на нежестких аффинных структурах (иногда называемых «квантовыми структурами»), в которых заменяются вхождения векторных пространств тензорными алгебрами . Это исследование мотивировано прорывным пониманием квантовых групп как аффинных алгебр Ли ( группы Ли в некотором смысле «жесткие», поскольку они определяются своей алгеброй Ли. При переформулировке на тензорной алгебре они становятся «гибкими», имея бесконечные степени свободы, см., например, алгебру Вирасоро .)

Определения

В лагранжевой теории поля лагранжиан как функция обобщенных координат заменяется плотностью лагранжа, функцией полей в системе и их производных, а также, возможно, самих пространственных и временных координат. В теории поля независимая переменная t заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на многообразии.

Часто «лагранжеву плотность» называют просто «лагранжианом».

Скалярные поля

Для одного скалярного поля плотность лагранжиана примет вид: ^{[nb 1] [4]} ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

Для многих скалярных полей $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

В математических формулировках под скалярными полями понимаются координаты на расслоении , а под производными поля — сечения струйного расслоения .

Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля

Вышеизложенное можно обобщить для векторных полей , тензорных полей и спинорных полей . В физике фермионы описываются спинорными полями. Бозоны описываются тензорными полями, к которым в качестве частных случаев относятся скалярные и векторные поля.

Например, если существуют вещественнозначные скалярные поля , , то многообразием полей является . Если поле является действительным векторным полем , то многообразие полей изоморфно . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Действие

Интеграл по времени от лагранжиана называется действием , обозначаемым S . В теории поля иногда проводится различие между лагранжианом L , интегралом по времени которого является действие, и плотностью Лагранжа , которую интегрируют по всему пространству-времени , чтобы получить действие: $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

Пространственный объемный интеграл лагранжианской плотности является лагранжианом; в 3D, $${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

Действие часто называют « функционалом действия », поскольку оно является функцией полей (и их производных).

Форма объёма

При наличии гравитации или при использовании общих криволинейных координат плотность лагранжа будет включать коэффициент . Это обеспечивает инвариантность действия относительно общих преобразований координат. В математической литературе пространство-время рассматривается как риманово многообразие , и тогда интеграл становится формой объема. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

Здесь – произведение клина , а – квадратный корень из определителя метрического тензора на . Для плоского пространства-времени (например, пространства-времени Минковского ) единица объема равна единице, т.е. поэтому ее обычно опускают при обсуждении теории поля в плоском пространстве-времени. Аналогичным образом, использование символов клинового произведения не дает дополнительного понимания по сравнению с обычным понятием объема в многомерном исчислении, поэтому от них также отказываются. В некоторых старых учебниках, например, Ландау и Лифшица, используется форма объема, поскольку знак минус подходит для метрических тензоров с сигнатурой (+---) или (-+++) (поскольку определитель в любом случае отрицательный). . При обсуждении теории поля на общих римановых многообразиях форму объема обычно записывают в сокращенных обозначениях где – звезда Ходжа . То есть и так ${\displaystyle \wedge }$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle *(1)}$ ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

Нередко приведенные выше обозначения считаются совершенно излишними и встречаются часто. Не заблуждайтесь: форма объема неявно присутствует в приведенном выше интеграле, даже если она не записана явно. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$

Уравнения Эйлера–Лагранжа.

Уравнения Эйлера –Лагранжа описывают геодезический поток поля как функцию времени. Принимая вариацию по , получаем ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

Решая относительно граничных условий , получаем уравнения Эйлера–Лагранжа : $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

Примеры

Большое разнообразие физических систем было сформулировано в терминах лагранжианов над полями. Ниже приведена выборка некоторых из наиболее распространенных из них, встречающихся в учебниках физики по теории поля.

Ньютоновская гравитация

Лагранжева плотность для ньютоновской гравитации равна:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$где Φ – гравитационный потенциал , ρ – плотность массы, а G в м ³ ·кг ^-1 ·с ^-2 – гравитационная постоянная . Плотность имеет единицы Дж·м ^-3 . Здесь термин взаимодействия включает в себя непрерывную массовую плотность ρ в кг·м ^-3 . Это необходимо, поскольку использование точечного источника для поля может привести к математическим трудностям. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Этот лагранжиан можно записать в виде , учитывая кинетический член, а взаимодействие - потенциальный член. См. также теорию гравитации Нордстрема, чтобы узнать, как ее можно изменить, чтобы справиться с изменениями с течением времени. Эта форма повторяется в следующем примере скалярной теории поля. ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ ${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$ ${\displaystyle V=\rho \Phi }$

Вариация интеграла по Φ равна: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

После интегрирования по частям, отбрасывания общего интеграла и деления на δ Φ формула принимает вид: что эквивалентно: что дает закон Гаусса для гравитации . $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

Скалярная теория поля

Лагранжиан для скалярного поля, движущегося в потенциале, можно записать как. Совсем не случайно скалярная теория напоминает лагранжиан из учебника для студентов для кинетического члена свободной точечной частицы, записанный как . Скалярная теория является обобщением теории поля частицы, движущейся в потенциале. Когда - потенциал мексиканской шляпы , результирующие поля называются полями Хиггса . ${\displaystyle V(\phi )}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Сигма-модель Лагранжиана

Сигма -модель описывает движение скалярной точечной частицы, вынужденной двигаться на римановом многообразии , таком как круг или сфера. Он обобщает случай скалярных и векторных полей, то есть полей, вынужденных двигаться на плоском многообразии. Лагранжиан обычно записывается в одной из трех эквивалентных форм: где – дифференциал . Эквивалентное выражение имеет риманова метрика на многообразии поля; т.е. поля представляют собой просто локальные координаты на координатной карте многообразия. Третьей распространенной формой является группа Ли SU(N ) и . Эту группу можно заменить любой группой Ли или, в более общем смысле, симметрическим пространством . След — это всего лишь скрывающаяся форма Убийства ; форма Киллинга дает квадратичную форму на полевом многообразии, тогда лагранжиан представляет собой просто обратный образ этой формы. С другой стороны, лагранжиан можно также рассматривать как откат формы Маурера – Картана к базовому пространству-времени. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$ $${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$ ${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$

В общем, сигма-модели демонстрируют топологические солитонные решения. Самым известным и хорошо изученным из них является Скирмион , служащий моделью нуклона , выдержавшей испытание временем.

Электромагнетизм в специальной теории относительности

Рассмотрим точечную частицу, заряженную частицу, взаимодействующую с электромагнитным полем . Условия взаимодействия заменяются членами, включающими непрерывную плотность заряда ρ в А·с·м ^-3 и плотность тока в А·м ^-2 . Результирующая плотность лагранжиана электромагнитного поля равна: $${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

Варьируя это относительно φ , получаем , что дает закон Гаусса . $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$

Варьируя вместо этого по , мы получаем что дает закон Ампера . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$

Используя тензорную запись , мы можем всё это записать более компактно. На самом деле этот термин является внутренним продуктом двух четырехвекторов . Мы упаковываем плотность заряда в текущий 4-вектор, а потенциал — в потенциальный 4-вектор. Эти два новых вектора: Затем мы можем записать термин взаимодействия как Кроме того, мы можем упаковать поля E и B в так называемый электромагнитный тензор . Мы определяем этот тензор как Искомый термин оказывается Мы использовали метрику Минковского для повышения индексов тензора ЭДС. В этих обозначениях уравнения Максвелла имеют вид где ε — тензор Леви-Чивита . Таким образом, плотность Лагранжа для электромагнетизма в специальной теории относительности, записанная в терминах векторов и тензоров Лоренца, равна В этих обозначениях очевидно, что классический электромагнетизм представляет собой лоренц-инвариантную теорию. Благодаря принципу эквивалентности становится проще распространить понятие электромагнетизма на искривленное пространство-время. ^{[5] [6]} ${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$ $${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$ $${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$ $${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$

Электромагнетизм и уравнения Янга – Миллса.

Используя дифференциальные формы , электромагнитное действие S в вакууме на (псевдо)риманово многообразие можно записать (используя натуральные единицы , c = ε ₀ = 1 ) как Здесь A обозначает 1-форму электромагнитного потенциала, J — ток 1-форма, F — 2-форма напряженности поля, а звездочка обозначает оператор звезды Ходжа . Это в точности тот же лагранжиан, что и в предыдущем разделе, за исключением того, что трактовка здесь бескоординатная; расширение подынтегральной функции в основу дает идентичное длинное выражение. Обратите внимание, что для форм дополнительная мера интегрирования не требуется, поскольку в формы встроены дифференциалы координат. Вариация действия приводит к: Это уравнения Максвелла для электромагнитного потенциала. Подстановка F = d A сразу дает уравнение для полей, поскольку F — точная форма . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

Поле A можно понимать как аффинную связность на U ( 1) -расслоении . То есть классическую электродинамику, все ее эффекты и уравнения можно полностью понять в терминах расслоения кругов в пространстве-времени Минковского .

Уравнения Янга – Миллса можно записать точно в той же форме, что и выше, заменив группу Ли U (1) электромагнетизма произвольной группой Ли. В Стандартной модели так принято считать, хотя общий случай представляет общий интерес. Во всех случаях нет необходимости выполнять какое-либо квантование. Хотя уравнения Янга–Миллса исторически уходят корнями в квантовую теорию поля, приведенные выше уравнения являются чисто классическими. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$

Функционал Черна – Саймонса

Аналогично вышеизложенному, можно рассматривать действие в одном измерении меньше, т.е. в условиях геометрии контакта . Это дает функционал Черна – Саймонса . Это написано как $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

Теория Черна-Саймонса была глубоко изучена в физике как игрушечная модель для широкого спектра геометрических явлений, которые можно было бы ожидать найти в теории великого объединения .

Лагранжиан Гинзбурга–Ландау

Плотность лагранжиана для теории Гинзбурга–Ландау сочетает в себе лагранжиан для скалярной теории поля с лагранжианом для действия Янга–Миллса . Его можно записать так: ^[7] где – сечение векторного расслоения со слоем . соответствует параметру порядка в сверхпроводнике ; эквивалентно, оно соответствует полю Хиггса , если отметить, что второй член представляет собой знаменитый потенциал «шляпы сомбреро» . Поле является (неабелевым) калибровочным полем, т. е. полем Янга – Миллса , и представляет собой его напряженность поля. Уравнения Эйлера –Лагранжа для функционала Гинзбурга–Ландау представляют собой уравнения Янга–Миллса и где – оператор звезды Ходжа , т.е. полностью антисимметричный тензор. Эти уравнения тесно связаны с уравнениями Янга–Миллса–Хиггса . Другой близкородственный лагранжиан находится в теории Зайберга-Виттена . $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$ $${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$ ${\displaystyle {\star }}$

Дирак Лагранжиан

Плотность лагранжа для поля Дирака равна: ^[8] где – спинор Дирака , – его сопряженный Дирака , и – обозначение Фейнмана с косой чертой для . На спинорах Дирака в классической теории особого внимания нет. Спиноры Вейля обеспечивают более общую основу; они могут быть построены непосредственно из алгебры пространства-времени Клиффорда ; конструкция работает в любом количестве измерений, ^[3] и спиноры Дирака представляют собой особый случай. Спиноры Вейля имеют то дополнительное преимущество, что их можно использовать в метрике риманова многообразия; это позволяет создать концепцию спиновой структуры , которая, грубо говоря, представляет собой способ последовательной формулировки спиноров в искривленном пространстве-времени. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$

Квантовый электродинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для КЭД объединяет лагранжиан для поля Дирака вместе с лагранжианом для электродинамики калибровочно-инвариантным способом. Это: где – электромагнитный тензор , D – калибровочная ковариантная производная , и – обозначение Фейнмана для где – электромагнитный четырехпотенциал . Хотя слово «квант» встречается выше, это исторический артефакт. Определение поля Дирака не требует какого-либо квантования, его можно записать как чисто классическое поле антикоммутирующих спиноров Вейля, построенное на основе первых принципов алгебры Клиффорда . ^[3] Полная калибровочно-инвариантная классическая формулировка приведена у Бликера. ^[2] $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$ ${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$ ${\displaystyle A_{\sigma }}$

Квантовый хромодинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики сочетает в себе лагранжиан для одного или нескольких массивных спиноров Дирака с лагранжианом для действия Янга – Миллса , которое описывает динамику калибровочного поля; объединенный лагранжиан является калибровочным инвариантом. Его можно записать так: ^[9] где D — калибровочная ковариантная производная КХД , n = 1, 2, ...6 подсчитывает типы кварков , а — тензор напряженности глюонного поля . Что касается приведенного выше случая электродинамики, появление выше слова «квант» лишь подтверждает ее историческое развитие. Лагранжиан и его калибровочная инвариантность можно сформулировать и трактовать чисто классическим способом. ^{[2] [3]} $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

Эйнштейн гравитация

Плотность Лагранжа для общей теории относительности при наличии полей материи равна где – космологическая постоянная , – скаляр кривизны , который представляет собой тензор Риччи, сжатый с метрическим тензором , а тензор Риччи – это тензор Римана, сжатый с дельтой Кронекера . Интеграл известен как действие Эйнштейна–Гильберта . Тензор Римана представляет собой тензор приливной силы и состоит из символов Кристоффеля и производных символов Кристоффеля, которые определяют метрическую связь в пространстве-времени. Само гравитационное поле исторически приписывалось метрическому тензору; современная точка зрения состоит в том, что эта связь «более фундаментальна». Это связано с пониманием того, что можно писать связи с ненулевым кручением . Они изменяют метрику, не изменяя ни на бит геометрии. Что касается фактического «направления, в котором указывает гравитация» (например, на поверхности Земли оно направлено вниз), то это происходит из тензора Римана: это то, что описывает «поле гравитационных сил», которое ощущают и реагируют движущиеся тела. к. (Это последнее утверждение необходимо уточнить: «силового поля» как такового не существует ; движущиеся тела следуют геодезическим линиям на многообразии, описываемом связью. Они движутся по « прямой линии ».) $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

Лагранжиан общей теории относительности также можно записать в форме, которая делает его явно похожим на уравнения Янга–Миллса. Это называется принципом действия Эйнштейна-Янга-Миллса. Для этого следует отметить, что большая часть дифференциальной геометрии работает «прекрасно» на расслоениях с аффинной связностью и произвольной группой Ли. Затем, подставив SO(3,1) для этой группы симметрии, т.е. для полей системы координат , можно получить приведенные выше уравнения. ^{[2] [3]}

Подставляя этот лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа и принимая метрический тензор в качестве поля, мы получаем, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой тензор энергии-импульса и определяются как где - определитель метрического тензора, если рассматривать его как матрицу. Обычно в общей теории относительности мера интегрирования действия плотности Лагранжа равна . Это делает интегральную координату независимой, поскольку корень метрического определителя эквивалентен определителю Якобиана . Знак минус является следствием сигнатуры метрики (определитель сам по себе отрицательный). ^[5] Это пример ранее обсуждавшейся формы объёма , проявляющейся в неплоском пространстве-времени. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$ ${\displaystyle g}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

Электромагнетизм в общей теории относительности

Плотность Лагранжа электромагнетизма в общей теории относительности также содержит действие Эйнштейна – Гильберта сверху. Чистый электромагнитный лагранжиан — это именно лагранжиан материи . Лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

Этот лагранжиан получается простой заменой метрики Минковского в приведенном выше плоском лагранжиане более общей (возможно, искривленной) метрикой . Мы можем сгенерировать уравнения поля Эйнштейна в присутствии ЭМ поля, используя этот лагранжиан. Тензор энергии-импульса равен. Можно показать, что этот тензор энергии-импульса не имеет следов, т.е. если мы возьмем след обеих частей уравнений поля Эйнштейна, мы получим. Итак, бесследность тензора энергии-импульса означает, что скаляр кривизны в электромагнитное поле исчезает. Тогда уравнения Эйнштейна имеют вид. Кроме того, уравнения Максвелла имеют вид где – ковариантная производная . Для свободного пространства мы можем установить текущий тензор равным нулю, . Решение уравнений Эйнштейна и Максвелла вокруг сферически симметричного распределения массы в свободном пространстве приводит к заряженной черной дыре Рейсснера – Нордстрема с определяющим линейным элементом (записанным в натуральных единицах и с зарядом Q ): ^[5] ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ $${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ $${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$ $${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$ $${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ $${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle j^{\mu }=0}$ $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

Один из возможных способов объединения электромагнитного и гравитационного лагранжианов (с использованием пятого измерения) дается теорией Калуцы-Клейна . ^[2] Фактически, строится аффинное расслоение, как и для уравнений Янга–Миллса, приведенных ранее, а затем рассматривается действие отдельно на 4-мерной и 1-мерной частях. Такие факторизации , такие как тот факт, что 7-сфера может быть записана как произведение 4-сферы и 3-сферы или что 11-сфера является продуктом 4-сферы и 7-сферы, объясняются во многом из-за первоначального волнения по поводу того, что была найдена теория всего . К сожалению, 7-сфера оказалась недостаточно большой, чтобы вместить всю Стандартную модель , что разбило эти надежды.

Дополнительные примеры

• Лагранжиан модели БФ , сокращение от «Фоновое поле», описывает систему с тривиальной динамикой, если она записана на плоском пространственно-временном многообразии. В топологически нетривиальном пространстве-времени система будет иметь нетривиальные классические решения, которые можно интерпретировать как солитоны или инстантоны . Существует множество расширений, составляющих основу топологических теорий поля .

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Ковариантная классическая теория поля
• Уравнение Эйлера–Лагранжа
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• Обобщенные координаты
• гамильтонова механика
• Гамильтонова теория поля
• Кинетический срок
• Лагранжевы и эйлеровы координаты
• Лагранжева механика
• точка Лагранжа
• Лагранжева система
• Теорема Нётер
• Функция Онзагера – Махлупа
• Принцип наименьшего действия
• Скалярная теория поля

Примечания

1. Сокращать все производные и координаты лагранжевой плотности следующим образом — это стандартное злоупотребление обозначениями: см. Four-gradient . μ — это индекс , который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому будет присутствовать строго только одна производная или координата. В общем, все пространственные и временные производные появятся в лагранжевой плотности, например, в декартовых координатах лагранжева плотность имеет полный вид: Здесь мы пишем то же самое, но используя ∇ для сокращения всех пространственных производных в виде вектора. $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x_{\mu })}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$$

Цитаты

1. Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден, (1967) «Основы механики»
2. Дэвид Бликер, (1981) «Калибровочная теория и вариационные принципы» Аддисон-Уэсли
3. Юрген Йост, (1995) «Риманова геометрия и геометрический анализ», Springer
4. Мандл, Ф.; Шоу, Г. (2010). «Лагранжева теория поля». Квантовая теория поля (2-е изд.). Уайли. п. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.
5. Zee, Энтони (2013). Коротко о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 344–390. ISBN 9780691145587.
6. Кэхилл, Кевин (2013). Физическая математика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107005211.
7. Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга – Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (Третье изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
8. Ицыксон-Зубер, экв. 3-152
9. Клод Итиксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля»