Теория моделей

Область математической логики

В математической логике теория моделей — это исследование отношений между формальными теориями (набором предложений на формальном языке , выражающих утверждения о математической структуре ) и их моделями (теми структурами , в которых выполняются утверждения теории). ^[1] Исследуемые аспекты включают количество и размер моделей теории, взаимосвязь различных моделей друг с другом и их взаимодействие с самим формальным языком. В частности, теоретики моделей также исследуют множества, которые могут быть определены в модели теории, и взаимосвязь таких определимых множеств друг с другом. Как отдельная дисциплина, теория моделей восходит к Альфреду Тарскому , который впервые использовал термин «Теория моделей» в публикации в 1954 году. ^[2] С 1970-х годов этот предмет решающим образом определялся теорией стабильности Сахарона Шелаха .

По сравнению с другими областями математической логики, такими как теория доказательств , теория моделей часто менее озабочена формальной строгостью и ближе по духу к классической математике. Это привело к высказыванию о том, что «если теория доказательств касается священного, то теория моделей — профанного» . ^[3] Приложения теории моделей к алгебраической и диофантовой геометрии отражают эту близость к классической математике, поскольку они часто включают интеграцию алгебраических и теоретико-модельных результатов и методов. Следовательно, теория доказательств имеет синтаксическую природу, в отличие от теории моделей, которая имеет семантическую природу.

Наиболее известной научной организацией в области теории моделей является Ассоциация символической логики .

Обзор

Эта страница посвящена финитной теории моделей первого порядка бесконечных структур.

Относительный акцент, уделяемый классу моделей теории в отличие от класса определяемых множеств внутри модели, менялся в истории предмета, и эти два направления суммируются в содержательных характеристиках 1973 и 1997 годов соответственно:

теория моделей = универсальная алгебра + логика ^[4]

где универсальная алгебра означает математические структуры, а логика — логические теории; и

теория моделей = алгебраическая геометрия − поля .

где логические формулы относятся к определимым множествам, как уравнения относятся к многообразиям над полем. ^[5]

Тем не менее, взаимодействие классов моделей и определяемых в них множеств имело решающее значение для развития теории моделей на протяжении всей ее истории. Например, хотя изначально стабильность была введена для классификации теорий по количеству моделей заданной мощности , теория стабильности оказалась решающей для понимания геометрии определимых множеств.

Основные понятия теории моделей первого порядка

Логика первого порядка

Формула первого порядка строится из атомарных формул , таких как или, с помощью логических связок и префиксов кванторов или . Предложение — это формула, в которой каждое вхождение переменной находится в области действия соответствующего квантора. Примеры формул (или для обозначения того факта, что не более чем несвязанная переменная в ) определяются следующим образом: ${\displaystyle R(f(x,y),z)}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$ ${\displaystyle \forall v}$ ${\displaystyle \exists v}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,:\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}}$

(Обратите внимание, что символ равенства здесь имеет двоякое значение.) Интуитивно понятно, как перевести такие формулы в математический смысл. Например, в σ _smr -структуре натуральных чисел элемент удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда является простым числом. Формула аналогичным образом определяет неприводимость . Тарский дал строгое определение отношения удовлетворения , которое иногда называют «определением истины Тарского» , так что можно легко доказать: ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \models }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$является простым числом.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$является нередуцируемым.

Набор предложений называется теорией (первого порядка) , которая принимает предложения в наборе в качестве своих аксиом. Теория является выполнимой, если она имеет модель , т. е. структуру (соответствующей сигнатуры), которая удовлетворяет всем предложениям множества . Полная теория — это теория, содержащая каждое предложение или его отрицание. Полная теория всех предложений, которым удовлетворяет структура, также называется теорией этой структуры . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$ ${\displaystyle T}$

Следствием теоремы Гёделя о полноте (не путать с его теоремами о неполноте ) является то, что теория имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива , т. е. теория не доказывает никаких противоречий. Поэтому теоретики моделей часто используют слово «последовательный» как синоним слова «выполнимый».

Основные теоретико-модельные концепции

Сигнатура или язык — это набор нелогических символов , каждый из которых является либо постоянным символом, либо символом функции или отношения с заданной арностью . Обратите внимание, что в некоторой литературе постоянные символы рассматриваются как функциональные символы с нулевой арностью и, следовательно, опускаются. Структура — это совокупность интерпретаций каждого из символов сигнатуры как отношений и функций (не путать с формальным понятием « интерпретация » одной структуры в другой). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Пример: Общая подпись для упорядоченных колец — , где и — 0-арные функциональные символы (также известные как постоянные символы), а — двоичные (= 2-арные) функциональные символы, — унарный (= 1-арный) функциональный символ, и является символом бинарного отношения. Затем, когда эти символы интерпретируются как соответствующие их обычному значению на (так что, например, является функцией от до и является подмножеством ), получается структура . ${\displaystyle \sigma _{or}=\{0,1,+,\times ,-,<\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{or})}$

Говорят, что структура моделирует ^{[ необходимы пояснения ]} набор предложений первого порядка на данном языке, если каждое предложение в истинно в отношении интерпретации сигнатуры, ранее указанной для . (Опять же, не путать с формальным понятием « интерпретации » одной структуры в другой) ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Подструктура σ-структуры — это подмножество ее области, замкнутое относительно всех функций в ее сигнатуре σ, которое рассматривается как σ-структура путем ограничения всех функций и отношений в σ этим подмножеством . Это обобщает аналогичные понятия из алгебры; например, подгруппа — это подструктура в сигнатуре с умножением и обратным. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подструктура называется элементарной , если для любой формулы первого порядка φ и любых элементов a ₁ , ..., an _n из , ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$если и только если . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

В частности, если φ — предложение и элементарная подструктура , то тогда и только тогда, когда . Таким образом, элементарная подструктура является моделью теории именно тогда, когда надстройка является моделью. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi }$

Пример: Хотя поле алгебраических чисел является элементарной подструктурой поля комплексных чисел , рациональное поле таковым не является, поскольку мы можем выразить «Существует квадратный корень из 2» как предложение первого порядка, удовлетворяемое, но не удовлетворяемое . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Вложение одной σ-структуры в другую σ-структуру представляет собой отображение f : A → B между областями, которое можно записать как изоморфизм с подструктурой . Если его можно записать как изоморфизм с элементарной подструктурой, то его называют элементарным вложением. Каждое вложение является инъективным гомоморфизмом, но обратное справедливо только в том случае, если сигнатура не содержит символов отношения, например, в группах или полях. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Поле или векторное пространство можно рассматривать как (коммутативную) группу, просто игнорируя некоторые элементы ее структуры. Соответствующее понятие в теории моделей — это приведение структуры к подмножеству исходной сигнатуры. Противоположное отношение называется расширением - например, (аддитивная) группа рациональных чисел , рассматриваемая как структура сигнатуры {+,0}, может быть расширена до поля с сигнатурой {×,+,1,0} или в упорядоченную группу с сигнатурой {+,0,<}.

Аналогично, если σ' является сигнатурой, расширяющей другую сигнатуру σ, то полная σ'-теория может быть ограничена σ путем пересечения множества ее предложений с набором σ-формул. И наоборот, полную σ-теорию можно рассматривать как σ'-теорию, и ее можно расширить (более чем одним способом) до полной σ'-теории. К этому отношению иногда также применяются термины сокращение и расширение.

Компактность и теорема Левенхайма-Скулема

Теорема о компактности утверждает, что набор предложений S выполним, если каждое конечное подмножество S выполнимо. Аналогичное утверждение с непротиворечивым вместо выполнимого тривиально, поскольку каждое доказательство может иметь только конечное число антецедентов, используемых в доказательстве. Теорема о полноте позволяет перенести это на выполнимость. Однако существует и несколько прямых (семантических) доказательств теоремы о компактности. Как следствие (т. е. противоположное) теорема компактности утверждает, что каждая невыполнимая теория первого порядка имеет конечное невыполнимое подмножество. Эта теорема имеет центральное значение в теории моделей, где слова «по компактности» являются обычным явлением. ^[6]

Еще одним краеугольным камнем теории моделей первого порядка является теорема Левенхайма-Скулема . Согласно теореме Левенхайма-Скулема, каждая бесконечная структура счетной сигнатуры имеет счетную элементарную подструктуру. И наоборот, для любого бесконечного кардинала κ каждая бесконечная структура счетной сигнатуры, мощность которой меньше κ, может быть элементарно вложена в другую структуру мощности κ (существует прямое обобщение на несчетные сигнатуры). В частности, из теоремы Левенхайма-Скулема следует, что любая теория счетной сигнатуры с бесконечными моделями имеет счетную модель, а также модели сколь угодно больших размеров. ^[7]

В определенном смысле, уточненном теоремой Линдстрема , логика первого порядка является наиболее выразительной логикой, для которой справедливы как теорема Левенхайма-Скулема, так и теорема о компактности. ^[8]

Определимость

Определяемые наборы

В теории моделей определяемые множества являются важными объектами исследования. Например, в формуле ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

определяет подмножество простых чисел, а формула

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

определяет подмножество четных чисел. Аналогичным образом формулы с n свободными переменными определяют подмножества . Например, в поле формула ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$

${\displaystyle y=x\times x}$

определяет кривую всего такого, что . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

Оба упомянутых здесь определения не содержат параметров , то есть в определяющих формулах не упоминаются какие-либо элементы фиксированной области. Однако можно рассматривать и определения с параметрами из модели . Например, в формула ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y=x\times x+\pi }$

использует параметр from для определения кривой. ^[9] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Устранение кванторов

В общем, определимые множества без кванторов легко описать, тогда как определяемые множества, включающие возможно вложенные кванторы, могут быть намного сложнее. ^[10]

Это делает исключение кванторов важным инструментом для анализа определимых множеств: теория T имеет исключение кванторов, если каждая формула первого порядка φ( x ₁ , ..., x _n ) по ее сигнатуре эквивалентна по модулю T формуле первого порядка ψ ( x ₁ , ..., x _n ) без кванторов, т.е. выполняется во всех моделях T . ^[11] Если теория структуры допускает исключение кванторов, каждое множество, определяемое в структуре, можно определить с помощью формулы без кванторов по тем же параметрам, что и исходное определение. Например, теория алгебраически замкнутых полей в сигнатуре σ- _кольца = (×,+,−,0,1) допускает устранение кванторов. ^[12] Это означает, что в алгебраически замкнутом поле каждая формула эквивалентна булевой комбинации уравнений между многочленами. ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$

Если в теории нет исключения кванторов, можно добавить к ее сигнатуре дополнительные символы, чтобы это было сделано. Результаты аксиоматизируемости и исключения кванторов для конкретных теорий, особенно в алгебре, были одними из первых знаковых результатов теории моделей. ^[13] Но часто вместо исключения кванторов достаточно более слабого свойства:

Теория Т называется модельно-полной, если каждая подструктура модели Т , которая сама является моделью Т , является элементарной подструктурой. Существует полезный критерий проверки того, является ли подструктура элементарной подструктурой, называемый тестом Тарского-Вота . ^[14] Из этого критерия следует, что теория T является модельно полной тогда и только тогда, когда каждая формула первого порядка φ( x ₁ , ..., x _n ) по ее сигнатуре эквивалентна по модулю T экзистенциальной формуле первого порядка. формула, т.е. формула следующего вида:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

где ψ свободен от кванторов. Теория, которая не является модельно-полной, может иметь модельное завершение , которое представляет собой связанную модельно-полную теорию, которая, как правило, не является расширением исходной теории. Более общее понятие – это модель компаньона . ^[15]

Минимальность

В каждой структуре каждое конечное подмножество можно определить с помощью параметров: просто используйте формулу ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}}$.

Поскольку мы можем отрицать эту формулу, каждое коконечное подмножество (которое включает в себя все элементы области, кроме конечного числа) также всегда определимо.

Это приводит к концепции минимальной структуры . Структура называется минимальной, если каждое подмножество , определяемое параметрами из , конечно или коконечно. Соответствующее понятие на уровне теорий называется сильной минимальностью : Теория T называется сильно минимальной, если каждая модель T минимальна. Структура называется сильно минимальной, если теория этой структуры сильно минимальна. Эквивалентно, структура является строго минимальной, если каждое элементарное расширение минимально. Поскольку теория алгебраически замкнутых полей допускает устранение кванторов, каждое определимое подмножество алгебраически замкнутого поля можно определить с помощью бескванторной формулы с одной переменной. Бескванторные формулы с одной переменной выражают булевы комбинации полиномиальных уравнений с одной переменной, а поскольку нетривиальное полиномиальное уравнение с одной переменной имеет лишь конечное число решений, теория алгебраически замкнутых полей сильно минимальна. ^[16] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

С другой стороны, поле действительных чисел не является минимальным: рассмотрим, например, определимое множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\exists y(y\times y=x)}$.

Это определяет подмножество неотрицательных действительных чисел, которое не является ни конечным, ни конечным. Фактически можно использовать для определения произвольных интервалов на прямой числовой линии. Оказывается, их достаточно для представления любого определимого подмножества . ^[17] Это обобщение минимальности оказалось очень полезным в теории моделей упорядоченных структур. Плотно полностью упорядоченная структура в сигнатуре, включающая символ отношения порядка, называется o-минимальной, если каждое подмножество , определяемое параметрами из, представляет собой конечное объединение точек и интервалов. ^[18] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Определяемые и интерпретируемые структуры

Особенно важны те определяемые множества, которые также являются подструктурами, т.е. содержат все константы и замыкаются при применении функции. Например, можно изучить определяемые подгруппы определенной группы. Однако не нужно ограничиваться подструктурами в одной сигнатуре. Поскольку формулы с n свободными переменными определяют подмножества , n -арные отношения также могут быть определены. Функции определимы, если график функции представляет собой определимое отношение, а константы являются определяемыми, если существует формула , в которой a является единственным истинным элементом . Таким способом можно изучать, например, определимые группы и поля в общих структурах, что важно в теории геометрической устойчивости. ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (a)}$

Можно даже пойти еще дальше и выйти за рамки непосредственных подструктур. Учитывая математическую структуру, очень часто существуют связанные структуры, которые можно построить как частное части исходной структуры с помощью отношения эквивалентности. Важным примером является факторгруппа группы. Можно сказать, что для понимания всей структуры необходимо понять эти частные. Когда отношение эквивалентности определимо, мы можем придать предыдущему предложению точный смысл. Мы говорим, что эти структуры интерпретируемы . Ключевым фактом является то, что можно переводить предложения с языка интерпретируемых структур на язык исходной структуры. Таким образом, можно показать, что если одна структура интерпретирует другую, теория которой неразрешима, то сама структура неразрешима. ^[19] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Типы

Основные понятия

Для последовательности элементов структуры и подмножества A из можно рассмотреть набор всех формул первого порядка с параметрами в A , которым удовлетворяет . Это называется полным (n-)типом , реализуемым над A. Если существует автоморфизм , который постоянен на A и отправляет в соответственно, то и реализует тот же полный тип над A . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Линия действительных чисел , рассматриваемая как структура, содержащая только отношение порядка {<}, будет служить в этом разделе рабочим примером. Каждый элемент удовлетворяет одному и тому же 1-типу в пустом множестве. Это понятно, поскольку любые два действительных числа a и b связаны порядковым автоморфизмом, сдвигающим все числа на ba . Полный 2-тип над пустым множеством, реализуемый парой чисел, зависит от их порядка: либо , либо . В подмножестве целых чисел 1-тип нецелого действительного числа a зависит от его значения, округленного до ближайшего целого числа. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$

В более общем смысле, всякий раз, когда структура и A является подмножеством , (частичный) n-тип над A представляет собой набор формул p с не более чем n свободными переменными, которые реализуются в элементарном расширении . Если p содержит каждую такую ​​формулу или ее отрицание, то p является полным . Множество полных n -типов над A часто записывается как . Если A — пустое множество, то пространство типов зависит только от теории . Эта нотация обычно используется для набора типов в пустом наборе, соответствующем . Если существует единственная формула такая, что теория влечет за собой каждую формулу из p , то p называется изолированным . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{n}^{\mathcal {M}}(A)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{n}(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Поскольку действительные числа являются архимедовыми , не существует действительного числа, большего любого целого числа. Однако аргумент компактности показывает, что существует элементарное расширение линии действительных чисел, в котором есть элемент, больший любого целого числа. Следовательно, множество формул является над 1-типом , не реализованным в строке действительных чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Подмножество, которое может быть выражено как именно те элементы реализации определенного типа над A , называется определяемым типом над A . В качестве алгебраического примера предположим, что это алгебраически замкнутое поле . Теория допускает устранение кванторов. Это позволяет нам показать, что тип определяется именно содержащимися в нем полиномиальными уравнениями. Таким образом, множество полных -типов над подполем соответствует множеству простых идеалов кольца полиномов , а типоопределяемые множества являются в точности аффинными многообразиями. ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Структуры и типы

Хотя не каждый тип реализуется в каждой структуре, каждая структура реализует свои отдельные типы. Если единственными типами в пустом множестве, которые реализованы в структуре, являются изолированные типы, то структура называется атомарной .

С другой стороны, ни одна структура не реализует каждый тип для каждого набора параметров; если в качестве набора параметров взять все из , то каждая сверхреализованная в 1-типа изолируется формулой вида a = x для an . Однако любое правильное элементарное расширение содержит элемент, которого нет в . Поэтому было введено более слабое понятие, отражающее идею структуры, реализующей все типы, которые от нее можно ожидать. Структура называется насыщенной , если она реализует каждый тип с набором параметров меньшей мощности, чем она сама. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Хотя автоморфизм, постоянный на A , всегда сохраняет типы над A , обычно неверно, что любые две последовательности и , удовлетворяющие одному и тому же типу над A , могут быть отображены друг в друга с помощью такого автоморфизма. Структура , в которой это обратное справедливо, справедлива для всех А меньшей мощности, чем называется однородной . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Строка действительных чисел является атомарной в языке, который содержит только порядок , поскольку все n -типы в пустом множестве, реализуемые in , изолированы отношениями порядка между . Однако он не является насыщенным, поскольку не реализует ни одного 1-типа в счетном множестве, который подразумевал бы, что x больше любого целого числа. Напротив, линия рациональных чисел является насыщенной, поскольку сама по себе счетна и, следовательно, должна реализовывать типы только для конечных подмножеств, чтобы быть насыщенной. ^[21] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Каменные пространства

Множество определимых подмножеств над некоторыми параметрами является булевой алгеброй . По теореме Стоуна о представлении булевых алгебр существует естественное двойственное топологическое пространство , состоящее в точности из полных -типов над . Топология , порожденная наборами вида для отдельных формул . Это называется пространством Стоуна n-типов над A . ^[22] Эта топология объясняет некоторые термины, используемые в теории моделей: Теорема о компактности говорит, что пространство Стоуна является компактным топологическим пространством, а тип p изолирован тогда и только тогда, когда p является изолированной точкой в ​​топологии Стоуна. ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$ ${\displaystyle \varphi }$

В то время как типы в алгебраически замкнутых полях соответствуют спектру кольца многочленов, топология в пространстве типов является конструктивной топологией : набор типов является базовым открытым тогда и только тогда, когда он имеет форму или форму . Это тоньше, чем топология Зариского . ^[23] ${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$ ${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$

Построение моделей

Реализация и исключение типов

Построение моделей, реализующих одни типы и не реализующих другие, является важной задачей теории моделей. Нереализация типа называется его пропуском и обычно возможна согласно теореме о (счетных) исключениях типов :

Пусть – теория счетной сигнатуры и пусть – счетное множество неизолированных типов над пустым множеством. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Кроме того, существует модель , в которой отсутствуют все типы в . ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Это означает, что если теория счетной сигнатуры имеет только счетное число типов на пустом множестве, то эта теория имеет атомарную модель.

С другой стороны, всегда существует элементарное расширение, в котором реализуется любой набор типов с фиксированным набором параметров:

Пусть это структура и пусть это набор полных типов с заданным набором параметров. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}.}$

Затем существует элементарное расширение , которое реализует каждый тип в . ^[25] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Однако поскольку набор параметров фиксирован и здесь не упоминается мощность , это не означает, что каждая теория имеет насыщенную модель. Фактически, вопрос о том, имеет ли каждая теория насыщенную модель, не зависит от аксиом Цермело-Френкеля теории множеств и является верным, если верна обобщенная гипотеза континуума . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Ультрапродукты

Ультрапродукты используются как общий метод построения моделей, реализующих определенные типы. Ультрапродукт получается из прямого произведения набора структур по набору индексов I путем идентификации тех кортежей, которые согласуются почти по всем записям, причем почти все уточняется с помощью ультрафильтра U на I. Ультрапродукт копий одной и той же структуры известен как ультрастепень . Ключом к использованию ультрапроизведений в теории моделей является теорема Лоша :

Пусть – набор -структур, индексированных набором индексов I , а U – ультрафильтр на I. Тогда любая -формула истинна в ультрапроизведении , если множество всех для которых лежит в U . ^[27] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})}$

В частности, любой ультрапродукт моделей теории сам по себе является моделью этой теории, и, таким образом, если две модели имеют изоморфные ультрастепени, они элементарно эквивалентны. Теорема Кейслера -Шела обеспечивает обратное:

Если и элементарно эквивалентны, то существует множество I и ультрафильтр U на I такие, что ультрастепени U и : изоморфны. ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Таким образом, ультрапроизведения дают возможность говорить об элементарной эквивалентности, вообще избегая упоминания теорий первого порядка. Основные теоремы теории моделей, такие как теорема о компактности, имеют альтернативные доказательства с использованием ультрапроизведений ^[29] , и их можно использовать для построения насыщенных элементарных расширений, если они существуют. ^[30]

Категоричность

Теория первоначально называлась категориальной , если она определяет структуру с точностью до изоморфизма. Оказывается, это определение бесполезно из-за серьезных ограничений в выразительности логики первого порядка. Теорема Левенхайма-Скулема подразумевает, что если теория T имеет бесконечную модель для некоторого бесконечного кардинального числа , то она имеет модель размера κ для любого достаточно большого кардинального числа κ. Поскольку две модели разных размеров не могут быть изоморфными, категорической теорией можно описать только конечные структуры.

Однако более слабое понятие κ-категоричности для кардинала κ стало ключевым понятием в теории моделей. Теория T называется κ-категоричной, если любые две модели T мощности κ изоморфны. Оказывается, вопрос о κ-категоричности критически зависит от того, превышает ли κ мощность языка (т. е.  + |σ|, где |σ| — мощность сигнатуры). Для конечных или счетных подписей это означает, что существует фундаментальная разница между -мощностью и κ-мощностью для несчетного κ. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

ω-категоричность

${\displaystyle \omega }$-категоричные теории могут быть охарактеризованы свойствами их пространства типов:

Для полной теории T первого порядка в конечной или счетной сигнатуре следующие условия эквивалентны:

1. T является -категоричным. ${\displaystyle \omega }$
2. Каждый тип в Sn ₍ T ) изолирован.
3. Для любого натурального числа n Sn ( _T ) конечно .
4. Для каждого натурального числа n количество формул φ( x ₁ , ..., x _n ) от n свободных переменных с точностью до эквивалентности по модулю T конечно.

Теория , которая также является теорией , является категориальной, поскольку каждый n -тип над пустым множеством изолирован парным отношением порядка между . Это означает, что каждый счетный плотный линейный порядок порядково-изоморфен прямой рациональной числа. С другой стороны, теории полей и как не являются категориальными. Это следует из того, что во всех этих полях любое из бесконечного числа натуральных чисел можно определить формулой вида . ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x=1+\dots +1}$

${\displaystyle \aleph _{0}}$-категоричные теории и их счетные модели также имеют прочные связи с олигоморфными группами :

Полная теория T первого порядка в конечной или счетной сигнатуре является -категоричной тогда и только тогда, когда ее группа автоморфизмов олигоморфна. ${\displaystyle \omega }$

Эквивалентные характеристики этого подраздела, независимо от Энгелера , Рыля-Нардзевского и Свенониуса , иногда называют теоремой Рилла-Нардзевского.

В комбинаторных сигнатурах общим источником -категоричных теорий являются пределы Фрэссе , которые получаются как предел объединения всех возможных конфигураций класса конечных реляционных структур. ${\displaystyle \omega }$

Неисчислимая категоричность

Майкл Морли показал в 1963 году, что существует только одно понятие неисчислимой категоричности для теорий на счетных языках. ^[31]

Теорема о категоричности Морли

Если теория T первого порядка в конечной или счетной сигнатуре κ-категорична для некоторого несчетного кардинала κ, то T κ-категорична для всех несчетных кардиналов κ.

Доказательство Морли выявило глубокую связь между неисчислимой категоричностью и внутренней структурой моделей, что стало отправной точкой теории классификации и теории устойчивости. Бесчисленные категоричные теории со многих точек зрения являются наиболее благоразумными теориями. В частности, полные сильно минимальные теории несчетно категоричны. Это показывает, что теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики несчетно категорична, причем степень трансцендентности поля определяет тип его изоморфизма.

Теория, одновременно являющаяся -категоричной и бессчетно категоричной, называется вполне категоричной . ${\displaystyle \omega }$

Теория стабильности

Ключевым фактором в структуре класса моделей теории первого порядка является ее место в иерархии устойчивости .

Полная теория T называется -стабильной относительно кардинала , если для любой модели T и любого набора параметров мощности, не превосходящей , существуют не более полных T -типов над A . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Теория называется стабильной , если она -стабильна для некоторого бесконечного кардинала . Традиционно теории, которые являются -стабильными, называются -стабильными . ^[32] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

Иерархия стабильности

Фундаментальным результатом теории устойчивости является теорема о спектре устойчивости ^[33] , из которой следует, что каждая полная теория T в счетной сигнатуре попадает в один из следующих классов:

1. Не существует кардиналов , для которых T является -стабильным. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$
2. T является -стабильным тогда и только тогда, когда (см. Кардинальное возведение в степень для объяснения ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}}$
3. T -стабилен для любого (где – мощность континуума ) . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \geq 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Теория первого типа называется неустойчивой , теория второго типа — строго стабильной , теория третьего типа — сверхстабильной . Более того, если теория -стабильна , она устойчива относительно любого бесконечного кардинала ^[34] , поэтому -стабильность сильнее, чем суперстабильность. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Многие конструкции в теории моделей становятся проще, если ограничиваться стабильными теориями; например, каждая модель стабильной теории имеет насыщенное элементарное расширение, независимо от того, верна ли гипотеза обобщенного континуума. ^[35]

Первоначальная мотивация Шела к изучению стабильных теорий заключалась в том, чтобы решить, сколько моделей имеет счетная теория любой несчетной мощности. ^[36] Если теория несчетно категорична, то она -стабильна. В более общем смысле, теорема о главном разрыве подразумевает, что если существует несчетный кардинал такой, что теория T имеет мощность меньше, чем модели , то T суперстабильна. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Геометрическая теория устойчивости

Иерархия устойчивости также имеет решающее значение для анализа геометрии определимых множеств в модели теории. В стабильных теориях ранг Морли является важным понятием размерности для определимых множеств S внутри модели. Это определяется трансфинитной индукцией : ${\displaystyle \omega }$

• Ранг Морли не меньше 0, если S непусто.
• Для α , ординала - преемника , ранг Морли равен α , если в некотором элементарном расширении N множества M множество S имеет бесконечно много непересекающихся определимых подмножеств, каждое из которых имеет ранг не менее α  − 1.
• Если α ненулевой предельный ординал , ранг Морли равен не менее α , если он равен не менее β для всех β, меньших α .

Теория Т , в которой каждое определимое множество имеет четко определенный ранг Морли, называется полностью трансцендентной ; если T счетно, то T вполне трансцендентно тогда и только тогда, когда T -стабильно . Ранг Морли можно распространить на типы, установив ранг Морли типа как минимальный из рангов Морли формул в этом типе. Таким образом, можно также говорить о ранге Морли элемента a над множеством параметров A , определяемом как ранг Морли типа a над A. Существуют также аналоги ранга Морли, которые четко определены тогда и только тогда, когда теория является суперстабильной ( U-ранг ) или просто стабильной (-ранг Шелаха ). Эти понятия измерений можно использовать для определения понятий независимости и общих расширений. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$

Совсем недавно стабильность была разложена на простоту, а не на «свойство независимости» (NIP). Простые теории — это те теории, в которых можно определить правильное понятие независимости, в то время как теории NIP обобщают o-минимальные структуры. Они связаны со стабильностью, поскольку теория стабильна тогда и только тогда, когда она NIP и проста ^[37] , а различные аспекты теории стабильности были обобщены на теории одного из этих классов.

Неэлементарная теория моделей

Результаты теории моделей были обобщены за пределы элементарных классов, то есть классов, аксиоматизируемых теорией первого порядка.

Теория моделей в логиках высшего порядка или бесконечных логиках затруднена тем фактом, что полнота и компактность, как правило, не соблюдаются для этих логик. Это конкретизируется в теореме Линдстрема , грубо утверждающей, что логика первого порядка, по сути, является самой сильной логикой, в которой соблюдаются как теоремы Левенхайма-Скулема, так и компактность. Однако для этих логик также широко разработаны методы теории моделей. ^[38] Однако оказывается, что большая часть теории моделей более выразительных логических языков не зависит от теории множеств Цермело-Френкеля . ^[39]

Совсем недавно, наряду со смещением акцента на полные стабильные и категориальные теории, была проведена работа над классами моделей, определяемых семантически, а не аксиоматизированных логической теорией. Одним из примеров является теория однородных моделей , которая изучает класс подструктур сколь угодно больших однородных моделей. Фундаментальные результаты теории устойчивости и геометрической теории устойчивости обобщаются на этот случай. ^[40] Как обобщение сильно минимальных теорий, квазиминимально превосходные классы — это те, в которых каждое определимое множество либо счетно, либо сосчетно. Они являются ключом к теории моделей комплексной показательной функции . ^[41] Наиболее общей семантической структурой, в которой изучается устойчивость, являются абстрактные элементарные классы , которые определяются сильным отношением подструктуры , обобщающим отношение элементарной подструктуры. Несмотря на то, что его определение является чисто семантическим, каждый абстрактный элементарный класс может быть представлен как модели теории первого порядка, в которых отсутствуют определенные типы. Обобщение понятий теории устойчивости на абстрактные элементарные классы является продолжающейся исследовательской программой. ^[42]

Выбранные приложения

Среди первых успехов теории моделей — доказательства Тарского исключения кванторов для различных алгебраически интересных классов, таких как вещественные замкнутые поля , булевы алгебры и алгебраически замкнутые поля заданной характеристики . Элиминация кванторов позволила Тарскому показать, что теории вещественно-замкнутых и алгебраически замкнутых полей первого порядка, а также теория первого порядка булевых алгебр разрешимы, классифицировать булевы алгебры с точностью до элементарной эквивалентности и показать, что теории вещественно-замкнутых и алгебраически замкнутых полей, а также теории вещественно-замкнутых и алгебраически замкнутых полей первого порядка разрешимы. замкнутые поля и алгебраически замкнутые поля данной характеристики единственны. Более того, устранение кванторов обеспечило точное описание определимых отношений на алгебраически замкнутых полях как алгебраических многообразий и определимых отношений на вещественно-замкнутых полях как полуалгебраических множеств ^{[43] [44]}

В 1960-х годах введение конструкции ультрапроизведения привело к новым приложениям в алгебре. Сюда входит работа Акса о псевдоконечных полях , доказывающая, что теория конечных полей разрешима, ^[45] и доказательство Акса и Кохена как частного случая гипотезы Артина о диофантовых уравнениях, теоремы Акса-Кохена . ^[46] Конструкция ультрапродукта также привела к развитию Абрахамом Робинсоном нестандартного анализа , целью которого является обеспечение строгого исчисления бесконечно малых . ^[47]

Совсем недавно связь между стабильностью и геометрией определимых множеств привела к нескольким приложениям из алгебраической и диофантовой геометрии, включая доказательство Эхуда Грушовского 1996 года геометрической гипотезы Морделла-Ланга во всех характеристиках ^[48] . В 2001 году были использованы аналогичные методы. доказать обобщение гипотезы Манина-Мамфорда. В 2011 году Джонатан Пила применил методы o-минимальности , чтобы доказать гипотезу Андре-Оорта для произведений модульных кривых. ^[49]

В отдельном направлении исследований, также выросших вокруг стабильных теорий, Ласковски в 1992 году показал, что теории NIP описывают именно те определяемые классы, которые в теории машинного обучения могут быть изучены с помощью PAC . Это привело к нескольким взаимодействиям между этими отдельными областями. В 2018 году переписка расширилась, поскольку Хантер и Чейз показали, что стабильные теории соответствуют онлайн-классам . ^[50]

История

Теория моделей как предмет существует примерно с середины 20-го века, а название было придумано Альфредом Тарским , членом Львовско-Варшавской школы , в 1954 году . ^[51] Однако некоторые более ранние исследования, особенно в области математической логики , в ретроспективе часто рассматривается как имеющая теоретико-модельную природу. ^[52] Первым значительным результатом в том, что сейчас называется теорией моделей, был частный случай нисходящей теоремы Левенгейма–Скулема, опубликованный Леопольдом Левенхаймом в 1915 году . Теорема о компактности была неявно сформулирована в работе Торальфа Сколема ^[53] , но она была впервые опубликовано в 1930 году как лемма в доказательстве Курта Гёделя его теоремы о полноте . Теорема Левенгейма-Скулема и теорема о компактности получили свои общие формы в 1936 и 1941 годах от Анатолия Мальцева . Развитие теории моделей как самостоятельной дисциплины было начато Альфредом Тарским в межвоенный период . Работа Тарского включала, среди прочего , логические следствия , дедуктивные системы , алгебру логики, теорию определимости и семантическое определение истины . Его семантические методы завершились разработкой теории моделей, которую он и ряд его студентов из Беркли разработали в 1950-х и 60-х годах.

В дальнейшей истории дисциплины стали возникать разные направления, смещался фокус темы. В 1960-х годах методы ультрапроизведения стали популярным инструментом в теории моделей. ^[54] В то же время такие исследователи, как Джеймс Акс, исследовали теорию моделей первого порядка различных алгебраических классов, а другие, такие как Х. Джером Кейслер, распространяли концепции и результаты теории моделей первого порядка на другие логические системы. . Затем, вдохновленный проблемой Морли , Шела разработал теорию устойчивости . Его работа над стабильностью изменила облик теории моделей, породив совершенно новый класс концепций. Это известно как смена парадигмы ^[55] . В последующие десятилетия стало ясно, что возникающая в результате иерархия устойчивости тесно связана с геометрией множеств, которые можно определить в этих моделях; это привело к возникновению субдисциплины, ныне известной как геометрическая теория устойчивости. Примером влиятельного доказательства из теории геометрических моделей является доказательство Грушовского гипотезы Морделла -Ланга для функциональных полей. ^[56]

Связи со смежными разделами математической логики.

Теория конечных моделей

Теория конечных моделей , которая концентрируется на конечных структурах, значительно расходится с изучением бесконечных структур как по изучаемым проблемам, так и по используемым методам. ^[57] В частности, многие центральные результаты классической теории моделей терпят неудачу, если ограничиться конечными структурами. Сюда входят теорема о компактности , теорема Гёделя о полноте и метод ультрапроизведений для логики первого порядка . На стыке теории конечных и бесконечных моделей находятся алгоритмическая или вычислимая теория моделей и изучение законов 0–1, где бесконечные модели общей теории класса структур предоставляют информацию о распределении конечных моделей. ^[58] Видными областями применения FMT являются описательная теория сложности , теория баз данных и теория формального языка . ^[59]

Теория множеств

Любая теория множеств (выраженная на счетном языке), если она непротиворечива, имеет счетную модель; это известно как парадокс Скулема , поскольку в теории множеств есть предложения, которые постулируют существование несчетных множеств, и тем не менее эти предложения верны в нашей счетной модели. В частности, доказательство независимости гипотезы континуума требует рассмотрения множеств в моделях, которые кажутся несчетными, если смотреть изнутри модели , но являются счетными для кого-то вне модели. ^[60]

Теоретико-модельная точка зрения оказалась полезной в теории множеств ; например, в работе Курта Гёделя о конструируемой вселенной, которая, наряду с методом принуждения , разработанным Полом Коэном, может быть показана для доказательства (опять же интересной с философской точки зрения) независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума от других аксиом. теории множеств. ^[61]

С другой стороны, теория моделей сама формализуется в рамках теории множеств Цермело-Френкеля. Например, развитие основ теории моделей (таких как теорема о компактности) основано на аксиоме выбора и фактически эквивалентно теории множеств Цермело-Френкеля без выбора булевой теореме о простых идеалах. ^[62] Другие результаты в теории моделей зависят от теоретико-множественных аксиом, выходящих за рамки стандартной структуры ZFC. Например, если гипотеза континуума верна, то каждая счетная модель имеет насыщенную сверхстепень (по своей мощности). Аналогично, если верна обобщенная гипотеза континуума, то каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение. Ни один из этих результатов невозможно доказать только в ZFC. Наконец, было показано, что некоторые вопросы, возникающие из теории моделей (например, компактность бесконечной логики), эквивалентны большим кардинальным аксиомам. ^[63]

Смотрите также

• Абстрактная теория моделей
• Алгебраическая теория
• Аксиоматизируемый класс
• Теорема о компактности
• Описательная сложность
• Элементарная эквивалентность
• Теории первого порядка
• Гиперреальное число
• Теория институциональной модели
• Семантика Крипке
• Теорема Левенхайма – Скулема
• Теоретико-модельная грамматика
• Теория доказательств
• Насыщенная модель
• Сколем нормальной формы

Примечания

1. Чанг и Кейслер, с. 1
2. «Теория моделей». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2020.
3. Дирк ван Дален, (1980; Пятая редакция, 2013 г.) «Логика и структура» Спрингер. (См. стр. 1. )
4. Чанг и Кейслер, с. 1
5. Ходжес (1997), с. VII
6. Маркер (2002), с. 32
7. Маркер (2002), с. 45
8. Барвайз и Феферман, с. 43
9. Маркер (2002), с. 19
10. Маркер (2002), с. 71
11. Маркер (2002), с. 72
12. Маркер (2002), с. 85
13. Донер, Джон; Ходжес, Уилфрид (1988). «Альфред Тарский и разрешимые теории». Журнал символической логики . 53 (1): 20. дои : 10.2307/2274425. ISSN  0022-4812. JSTOR  2274425.
14. Маркер (2002), с. 45
15. Маркер (2002), с. 106
16. Маркер (2002), с. 208
17. Маркер (2002), с. 97
18. Ходжес (1993), стр. 31, 92.
19. Тарский, Альфред (1953), «I: Общий метод доказательства неразрешимости», Неразрешимые теории , Исследования по логике и основам математики, Elsevier, vol. 13, стр. 1–34, doi : 10.1016/s0049-237x(09)70292-7, ISBN 9780444533784, получено 26 января 2022 г.
20. Маркер (2002), стр. 115–124.
21. Маркер (2002), стр. 125–155.
22. Ходжес (1993), с. 280
23. Маркер (2002), стр. 124–125.
24. Ходжес (1993), с. 333
25. Ходжес (1993), с. 451
26. Ходжес (1993), 492
27. Ходжес (1993), с. 450
28. Ходжес (1993), с. 452
29. Белл и Сломсон, с. 102
30. Ходжес (1993), с. 492
31. Морли, Майкл (1963). «О теориях, категоричных в неисчисляемых степенях». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 49 (2): 213–216. Бибкод : 1963PNAS...49..213M. дои : 10.1073/pnas.49.2.213 . ПМК 299780 . ПМИД  16591050. 
32. Маркер (2002), с. 135
33. Маркер (2002), с. 172
34. Маркер (2002), с. 136
35. Ходжес (1993), с. 494
36. Сахарон., Шела (1990). Теория классификации и число неизоморфных моделей. Северная Голландия. ISBN 0-444-70260-1. ОСЛК  800472113.
37. Вагнер, Франк (2011). Простые теории. Спрингер. дои : 10.1007/978-94-017-3002-0. ISBN 978-90-481-5417-3.
38. Барвайз, Дж. (2016), Барвайз, Дж.; Феферман, С. (ред.), «Теоретико-модельная логика: предыстория и цели», Теоретико-модельная логика , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 3–24, doi : 10.1017/9781316717158.004, ISBN 9781316717158, получено 15 января 2022 г.
39. Шела, Сахарон (2000). «О том, чего я не понимаю и мне есть что сказать (теория моделей)». Фундамента Математика . 166 (1): 1–82. arXiv : математика/9910158 . дои : 10.4064/fm-166-1-2-1-82. ISSN  0016-2736. S2CID  116922041.
40. Бюхлер, Стивен; Лессманн, Оливье (8 октября 2002 г.). «Простые однородные модели». Журнал Американского математического общества . 16 (1): 91–121. дои : 10.1090/s0894-0347-02-00407-1 . ISSN  0894-0347. S2CID  12044966.
41. Маркер, Дэвид (2016), «Квазиминимальное совершенство», Лекции по теории бесконечных моделей , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 97–112, doi : 10.1017/cbo9781316855560.009, ISBN 9781316855560, получено 23 января 2022 г.
42. Болдуин, Джон (24 июля 2009 г.). Категоричность . Серия университетских лекций. Том. 50. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/улект/050. ISBN 9780821848937.
43. Ходжес (1993), с. 68-69
44. Донер, Джон; Ходжес, Уилфрид (март 1988 г.). «Альфред Тарский и разрешимые теории». Журнал символической логики . 53 (1): 20. дои : 10.2307/2274425. ISSN  0022-4812. JSTOR  2274425.
45. Эклоф, Пол К. (1977), «Ультрапродукты для алгебраистов», РУКОВОДСТВО ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ , Исследования по логике и основам математики, Elsevier, vol. 90, стр. 105–137, doi : 10.1016/s0049-237x(08)71099-1, ISBN 9780444863881, получено 23 января 2022 г.
46. Топор, Джеймс; Кохен, Саймон (1965). «Диофантовы задачи над локальными полями: I.». Американский журнал математики . 87 страниц=605-630.
47. Черлин, Грег; Хиршфельд, Йорам (1972), «Ультрафильтры и ультрапродукты в нестандартном анализе», Вклад в нестандартный анализ , Исследования по логике и основам математики, Elsevier, vol. 69, стр. 261–279, doi : 10.1016/s0049-237x(08)71563-5, ISBN 9780720420654, получено 23 января 2022 г.
48. Эхуд Грушовски, Гипотеза Морделла-Ланга для функциональных полей. Журнал Американского математического общества 9:3 (1996), стр. 667-690.
49. Джонатан Пила, Рациональные точки определимых множеств и результаты типа Андре-Оорта-Манина-Мамфорда, O-минимальность и гипотеза Андре-Оорта для C ⁿ . Анналы математики 173:3 (2011), стр. 1779–1840. doi=10.4007/annals.2011.173.3.11
50. ЧЕЙЗ, ОХОТНИК; ФРЕЙТАГ, ДЖЕЙМС (15 февраля 2019 г.). «Теория моделей и машинное обучение». Бюллетень символической логики . 25 (3): 319–332. arXiv : 1801.06566 . дои : 10.1017/bsl.2018.71. ISSN  1079-8986. S2CID  119689419.
51. Тарский, Альфред (1954). «Вклад в теорию моделей. I». Indagationes Mathematicae . 57 : 572–581. дои : 10.1016/S1385-7258(54)50074-0. ISSN  1385-7258.
52. Уилфрид Ходжес (24 мая 2018 г.). «Историческое приложение: Краткая история теории моделей». Философия и теория моделей . Баттон, Тим; Уолш, Шон. п. 439. дои : 10.1093/oso/9780198790396.003.0018.
53. «Все три комментатора [т.е. Воут, ван Хейеноорт и Дребен] согласны с тем, что теоремы о полноте и компактности неявно подразумевались в Сколеме 1923...» [ Доусон, JW (1993). «Компактность логики первого порядка: от Гёделя до Линдстрема». История и философия логики . 14 :15–37. дои : 10.1080/01445349308837208.]
54. Ходжес (1993), с. 475
55. Болдуин, Джон Т. (19 января 2018 г.). Теория моделей и философия математической практики. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316987216. ISBN 978-1-107-18921-8. S2CID  126311148.
56. Сакс, Джеральд (2003). Математическая логика в 20 веке . Издательство Сингапурского университета. дои : 10.1142/4800. ISBN 981-256-489-6. ОСЛК  62715985.
57. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг (1995). Теория конечных моделей. Перспективы математической логики. п. v. doi : 10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
58. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг (1995). «Правила 0-1». Теория конечных моделей. Перспективы математической логики. дои : 10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
59. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг (1995). Теория конечных моделей. Перспективы математической логики. дои : 10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
60. Кунен, Кеннет (2011). «Модели теории множеств». Теория множеств . Публикации колледжа. ISBN 978-1-84890-050-9.
61. Кунен, Кеннет (2011). Теория множеств . Публикации колледжа. ISBN 978-1-84890-050-9.
62. Ходжес (1993), с. 272
63. Болдуин, Джон Т. (19 января 2018 г.). «Теория моделей и теория множеств». Теория моделей и философия математической практики. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316987216. ISBN 978-1-107-18921-8. S2CID  126311148.

Рекомендации

Канонические учебники

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (2012) [1990]. Теория моделей . Дуврские книги по математике (3-е изд.). Дуврские публикации . п. 672. ИСБН 978-0-486-48821-9.
• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модель теории . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-58713-6.
• Копперман, Р. (1972). Теория моделей и ее приложения . Бостон: Аллин и Бэкон .
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для аспирантов по математике 217. Спрингер. ISBN 0-387-98760-6.

Другие учебники

• Белл, Джон Л.; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Дуврские публикации . ISBN 0-486-44979-3.
• Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг; Томас, Вольфганг (1994). Математическая логика . Спрингер . ISBN 0-387-94258-0.
• Хинман, Питер Г. (2005). Основы математической логики . АК Петерс . ISBN 1-56881-262-0.
• Ходжес, Уилфрид (1993). Модельная теория . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-30442-3.
• Мансано, Мария (1999). Модельная теория . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853851-0.
• Пуаза, Бруно (2000). Курс теории моделей . Спрингер. ISBN 0-387-98655-3.
• Раутенберг, Вольфганг (2010). Краткое введение в математическую логику (3-е изд.). Нью-Йорк : Springer Science + Business Media . дои : 10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Ротмалер, Филипп (2000). Введение в теорию моделей (новое изд.). Тейлор и Фрэнсис . ISBN 90-5699-313-5.
• Тент, Катрин ; Зиглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521763240.
• Кирби, Джонатан (2019). Приглашение к теории моделей . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-107-16388-1.

Бесплатные онлайн-тексты

• Хацидакис, Зоэ (2001). Введение в теорию моделей (PDF) . стр. 26 стр.
• Пиллэй, Ананд (2002). Конспект лекций – Теория моделей (PDF) . стр. 61 страница.
• «Теория моделей», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ходжес, Уилфрид , Теория моделей . Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Ходжес, Уилфрид , Теория моделей первого порядка . Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Симмонс, Гарольд (2004), Введение в старую добрую теорию моделей . Конспект вводного курса для аспирантов (с упражнениями).
• Дж. Барвайз и С. Феферман (редакторы), Теоретико-модельная логика, Перспективы математической логики, Том 8, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1985.