Упругость (физика)

В физике и материаловедении эластичность — это способность тела противостоять искажающему воздействию и возвращаться к своим первоначальным размерам и форме, когда это воздействие или сила прекращаются. Твердые объекты деформируются , когда к ним прикладываются адекватные нагрузки ; если материал эластичен, объект вернется к своей первоначальной форме и размеру после прекращения воздействия. Это противоположно пластичности , при которой объект не может этого сделать и вместо этого остается в своем деформированном состоянии.

Физические причины упругого поведения могут быть совершенно разными для разных материалов. В металлах атомная решетка меняет размер и форму при приложении сил (энергия добавляется к системе). Когда силы снимаются, решетка возвращается в исходное состояние с более низкой энергией. Для резин и других полимеров упругость вызвана растяжением полимерных цепей при приложении сил.

Закон Гука гласит, что сила, необходимая для деформации эластичных объектов, должна быть прямо пропорциональна расстоянию деформации, независимо от того, насколько большим становится это расстояние. Это известно как идеальная упругость , при которой данный объект возвращается к своей первоначальной форме независимо от того, насколько сильно он деформирован. Это лишь идеальная концепция ; большинство материалов, обладающих упругостью на практике, остаются чисто упругими только до очень малых деформаций, после чего наступает пластическая (постоянная) деформация.

В машиностроении эластичность материала количественно определяется модулем упругости , таким как модуль Юнга , объемный модуль или модуль сдвига , которые измеряют величину напряжения, необходимую для достижения единицы деформации ; более высокий модуль указывает на то, что материал труднее деформировать. Единицей измерения этого модуля в системе СИ является паскаль (Па). Предел упругости или предел текучести материала — это максимальное напряжение , которое может возникнуть до начала пластической деформации. Его единицей измерения в системе СИ также является паскаль (Па).

Обзор

Когда эластичный материал деформируется из-за внешней силы, он испытывает внутреннее сопротивление деформации и восстанавливает свое исходное состояние, если внешняя сила больше не применяется. Существуют различные модули упругости , такие как модуль Юнга , модуль сдвига и модуль объемной упругости , все из которых являются мерами присущих материалу упругих свойств как сопротивления деформации под приложенной нагрузкой. Различные модули применяются к различным видам деформации. Например, модуль Юнга применяется к растяжению/сжатию тела, тогда как модуль сдвига применяется к его сдвигу . ^[1] Модуль Юнга и модуль сдвига применяются только для твердых тел, тогда как модуль объемной упругости применяется для твердых тел, жидкостей и газов.

Упругость материалов описывается кривой напряжение-деформация , которая показывает связь между напряжением (средней восстановительной внутренней силой на единицу площади) и деформацией (относительной деформацией). ^[2] Кривая, как правило, нелинейна, но ее можно (используя ряд Тейлора ) аппроксимировать как линейную для достаточно малых деформаций (в которых члены более высокого порядка пренебрежимо малы). Если материал изотропен , линеаризованное соотношение напряжение-деформация называется законом Гука , который часто предполагается применимым вплоть до предела упругости для большинства металлов или кристаллических материалов, тогда как нелинейная упругость обычно требуется для моделирования больших деформаций резиноподобных материалов даже в упругом диапазоне. При еще более высоких напряжениях материалы проявляют пластическое поведение , то есть они деформируются необратимо и не возвращаются к своей первоначальной форме после того, как напряжение больше не прикладывается. ^[3] Для резиноподобных материалов, таких как эластомеры , наклон кривой напряжение-деформация увеличивается с напряжением, что означает, что резину становится все труднее растягивать, в то время как для большинства металлов градиент уменьшается при очень высоких напряжениях, что означает, что их становится все легче растягивать. ^[4] Упругость проявляют не только твердые тела; неньютоновские жидкости , такие как вязкоупругие жидкости , также будут проявлять упругость в определенных условиях, количественно определяемых числом Деборы . В ответ на небольшую, быстро приложенную и снятую деформацию эти жидкости могут деформироваться, а затем возвращаться к своей первоначальной форме. При больших деформациях или деформациях, приложенных в течение более длительных периодов времени, эти жидкости могут начать течь как вязкая жидкость.

Поскольку упругость материала описывается в терминах зависимости напряжения от деформации, важно, чтобы термины напряжение и деформация были определены без двусмысленности. Обычно рассматриваются два типа зависимости. Первый тип касается материалов, которые являются упругими только при малых деформациях. Второй тип касается материалов, которые не ограничиваются малыми деформациями. Очевидно, что второй тип зависимости является более общим в том смысле, что он должен включать первый тип как частный случай.

Для малых деформаций мерой напряжения, которая используется, является напряжение Коши, в то время как мерой деформации, которая используется, является тензор бесконечно малой деформации ; результирующее (предсказываемое) поведение материала называется линейной упругостью , которая (для изотропных сред) называется обобщенным законом Гука . Упругие материалы Коши и гипоупругие материалы являются моделями, которые расширяют закон Гука, чтобы допустить возможность больших вращений, больших искажений и внутренней или индуцированной анизотропии .

Для более общих ситуаций можно использовать любую из ряда мер напряжения , и обычно желательно (но не обязательно), чтобы упругое соотношение напряжения и деформации было сформулировано в терминах конечной меры деформации , которая сопряжена по работе с выбранной мерой напряжения, т. е. временной интеграл внутреннего произведения меры напряжения со скоростью меры деформации должен быть равен изменению внутренней энергии для любого адиабатического процесса , который остается ниже предела упругости.

Единицы

Международная система

Единицей СИ для упругости и модуля упругости является паскаль (Па). Эта единица определяется как сила на единицу площади, обычно мера давления , которое в механике соответствует напряжению . Паскаль и, следовательно, упругость имеют размерность L ⁻¹ ⋅M⋅T ⁻² .

Для большинства широко используемых конструкционных материалов модуль упругости измеряется в гигапаскалях (ГПа, 109 ^Па ).

Линейная эластичность

Как отмечено выше, при малых деформациях большинство упругих материалов, таких как пружины, проявляют линейную упругость и могут быть описаны линейной зависимостью между напряжением и деформацией. Эта зависимость известна как закон Гука . Геометрически зависимая версия идеи ^[a] была впервые сформулирована Робертом Гуком в 1675 году в виде латинской анаграммы , "ceiiinosssttuv". Он опубликовал ответ в 1678 году: " Ut tensio, sic vis ", что означает " Каково расширение, такова и сила ", ^[5]^[6] линейная зависимость, обычно называемая законом Гука . Этот закон можно сформулировать как зависимость между силой растяжения $F$ и соответствующим смещением растяжения , $x$

F=kx,

где $k$ — константа, известная как скорость или константа пружины . Ее также можно сформулировать как соотношение между напряжением и деформацией : $\sigma$ $\varepsilon$

\sigma =E\varepsilon ,

где $E$ известен как модуль Юнга . ^[7]

Хотя общая константа пропорциональности между напряжением и деформацией в трех измерениях представляет собой тензор четвертого порядка, называемый жесткостью , системы, обладающие симметрией , такие как одномерный стержень, часто можно свести к применению закона Гука.

Конечная эластичность

Упругое поведение объектов, подвергающихся конечным деформациям, описывается с помощью ряда моделей, таких как модели упругого материала Коши , модели гипоупругого материала и модели гиперупругого материала . Градиент деформации ( F ) является основной мерой деформации, используемой в теории конечных деформаций .

Эластичные материалы Коши

Материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши σ является функцией только градиента деформации F :

\ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})

В целом неверно утверждать, что напряжение Коши является функцией только тензора деформации , поскольку такая модель не содержит важной информации о вращении материала, необходимой для получения правильных результатов для анизотропной среды, подвергнутой вертикальному растяжению по сравнению с тем же растяжением, приложенным горизонтально, а затем подвергнутым повороту на 90 градусов; обе эти деформации имеют одинаковые тензоры пространственной деформации, но должны давать разные значения тензора напряжения Коши.

Хотя напряжение в упругом материале Коши зависит только от состояния деформации, работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Поэтому упругость Коши включает неконсервативные «негиперупругие» модели (в которых работа деформации зависит от пути), а также консервативные модели « гиперупругого материала » (для которых напряжение может быть выведено из скалярной функции «упругого потенциала»).

Гипоэластичные материалы

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, который моделируется с использованием уравнения состояния, удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[8]

Напряжение Коши во времени зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости времени, с которой эти прошлые конфигурации были пройдены. В качестве особого случая этот критерий включает упругий материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций. ${\boldsymbol {\sigma }}$ $t$
Существует тензорнозначная функция, такая что где — материальная скорость тензора напряжений Коши, а — тензор градиента пространственной скорости . $G$ ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\boldsymbol {L}}$

Если для определения гипоэластичности используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побуждает некоторых составителей моделей добавлять третий критерий, который специально требует, чтобы гипоупругая модель не была гиперэластичной (т. е. гипоэластичность подразумевает, что напряжение не выводится из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, то из этого следует, что гипоупругий материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагрузки, которые начинаются и заканчиваются с одним и тем же градиентом деформации , но не начинаются и не заканчиваются с одной и той же внутренней энергией.

Обратите внимание, что второй критерий требует только того, чтобы функция существовала . Как подробно описано в основной статье о гипоупругих материалах , конкретные формулировки гипоупругих моделей обычно используют так называемые объективные скорости, так что функция существует только неявно и обычно требуется явно только для численных обновлений напряжения, выполняемых посредством прямой интеграции фактической (не объективной) скорости напряжения. $G$ $G$

Гиперэластичные материалы

Гиперупругие материалы (также называемые зелеными эластичными материалами) являются консервативными моделями, которые выводятся из функции плотности энергии деформации ( W ). Модель является гиперупругой тогда и только тогда, когда возможно выразить тензор напряжений Коши как функцию градиента деформации через соотношение вида

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

Эта формулировка принимает энергетический потенциал ( W ) как функцию градиента деформации ( ). Требуя также удовлетворения материальной объективности , энергетический потенциал может быть альтернативно рассмотрен как функция тензора деформации Коши-Грина ( ), в этом случае гиперупругую модель можно записать альтернативно как ${\boldsymbol {F}}$ ${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}$

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

Приложения

Линейная упругость широко используется при проектировании и анализе таких конструкций, как балки , пластины и оболочки , а также сэндвич-композиты . Эта теория также является основой многих разделов механики разрушения .

Гиперэластичность в основном используется для определения реакции объектов на основе эластомеров, таких как прокладки , а также биологических материалов, таких как мягкие ткани и клеточные мембраны .

Факторы, влияющие на эластичность

В данном изотропном твердом теле с известной теоретической упругостью для объемного материала в терминах модуля Юнга эффективная упругость будет определяться пористостью . Обычно более пористый материал будет демонстрировать меньшую жесткость. Более конкретно, доля пор, их распределение по разным размерам и природа жидкости, которой они заполнены, приводят к различному упругому поведению в твердых телах. ^[9]

Для изотропных материалов , содержащих трещины, наличие трещин влияет на модуль Юнга и модуль сдвига, перпендикулярные плоскостям трещин, которые уменьшаются (модуль Юнга быстрее, чем модуль сдвига) по мере увеличения плотности трещин ^[10], указывая на то, что наличие трещин делает тела более хрупкими. Микроскопически , соотношение напряжения и деформации материалов в целом регулируется свободной энергией Гельмгольца , термодинамической величиной . Молекулы располагаются в конфигурации, которая минимизирует свободную энергию, с учетом ограничений, вытекающих из их структуры, и, в зависимости от того, доминирует ли над свободной энергией энергетический или энтропийный член, материалы можно в целом классифицировать как энергоупругие и энтропийно-упругие . Таким образом, микроскопические факторы, влияющие на свободную энергию, такие как равновесное расстояние между молекулами, могут влиять на эластичность материалов: например, в неорганических материалах, по мере увеличения равновесного расстояния между молекулами при 0 К , объемный модуль упругости уменьшается. ^[11] Влияние температуры на эластичность трудно изолировать, поскольку на него влияет множество факторов. Например, объемный модуль упругости материала зависит от формы его решетки , его поведения при расширении , а также колебаний молекул, все из которых зависят от температуры. ^[12]

Смотрите также

Примечания

^ Описания поведения материала должны быть независимыми от геометрии и формы объекта, изготовленного из рассматриваемого материала. Первоначальная версия закона Гука включает константу жесткости, которая зависит от начального размера и формы объекта. Таким образом, константа жесткости не является строго материальным свойством. ^{[ необходима цитата ]}

Ссылки

^ Ландау Л. Д., Липшиц Э. М. Теория упругости, 3-е издание, 1970: 1–172.
^ Treloar, LRG (1975). Физика эластичности резины . Оксфорд: Clarendon Press. стр. 2. ISBN 978-0-1985-1355-1.
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные данные . Оксфорд: Elsevier. стр. 70. ISBN 978-0-1237-4446-3.
^ de With, Gijsbertus (2006). Структура, деформация и целостность материалов, том I: основы и эластичность . Weinheim: Wiley VCH. стр. 32. ISBN 978-3-527-31426-3.
^ Атанакович, Теодор М.; Гуран, Ардешир (2000). «Закон Гука». Теория упругости для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. стр. 85. ISBN 978-0-8176-4072-9.
^ "Прочность и дизайн". Столетия гражданского строительства: выставка редких книг, посвященная наследию гражданского строительства . Библиотека науки, техники и технологий Линды Холл. Архивировано из оригинала 13 ноября 2010 г.^{[ нужна страница ]}
^ Ибрагимбегович, Аднан (2 июня 2009 г.). Нелинейная механика твердого тела: теоретические формулировки и методы решения методом конечных элементов. Springer Science & Business Media. стр. 20–26. ISBN 978-90-481-2330-8. Архивировано из оригинала 28 мая 2024 . Получено 9 июля 2023 .
^ Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. стр. 401. ISBN 978-3-540-02779-9.
^ Лю, Минчао; У, Цзянь; Гань, Исян; Ханаор, Дориан AH; Чэнь, CQ (1 мая 2019 г.). «Многомасштабное моделирование эффективных упругих свойств пористых материалов, заполненных жидкостью». Международный журнал твердых тел и структур . 162 : 36–44. doi :10.1016/j.ijsolstr.2018.11.028.
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные данные . Оксфорд: Elsevier. стр. 387. ISBN 978-0-1237-4446-3.
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные данные . Оксфорд: Elsevier. стр. 344. ISBN 978-0-1237-4446-3.
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные данные . Оксфорд: Elsevier. стр. 365. ISBN 978-0-1237-4446-3.

Внешние ссылки

Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 38: Упругость