Равный темперамент

Сравнение некоторых равных темпераментов. ^[a] График занимает одну октаву по горизонтали (откройте изображение, чтобы просмотреть полную ширину), а каждый заштрихованный прямоугольник соответствует ширине одного шага шкалы. Отношения справедливых интервалов разделены в строках их простыми пределами .

12-тоновая хроматическая гамма равной темперации на C , восходящая на одну полную октаву, обозначенная только диезами. Играйте по возрастанию и убыванию

Равная темперация - это музыкальная темперация или система настройки , которая аппроксимирует только интервалы , разделив октаву (или другой интервал) на ступени так, чтобы соотношение частот любой соседней пары нот было одинаковым. Эта система дает шаги шага , воспринимаемые как равные по размеру из-за логарифмических изменений частоты основного тона. ^[2]

В классической музыке и западной музыке в целом наиболее распространенной системой настройки с 18 века была 12 равнотемперированных (также известная как 12 равнотемперированных тонов , 12 TET или 12 ET , неофициально сокращенно называемая 12 равных ), которая делит октаву на 12 частей, все из которых равны в логарифмическом масштабе , с соотношением, равным корню 12-й степени из 2, ( ¹² √ 2 ≈ 1,05946). Полученный в результате наименьший интервал1/12Ширина октавы называется полутоном или полутоном. В западных странах термин «равный темперамент» без оговорок обычно означает 12 5TET.

В наше время 12 TET обычно настраивается относительно стандартной высоты 440 Гц, называемой A 440 , что означает, что одна нота A настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как несколько полутонов от нее, либо выше. или ниже по частоте. Стандартная высота звука не всегда составляла 440 Гц; он значительно менялся и в целом увеличился за последние несколько сотен лет. ^[3]

Другие равные темпераменты делят октаву по-разному. Например, некоторая музыка написана в 19 ТЕТ и 31 ТЕТ , тогда как в арабской системе тонов используется 24 ТЕТ .

Вместо того, чтобы делить октаву, равная темперация может также делить другой интервал, как, например, равнотемперированная версия шкалы Болена-Пирса , которая делит справедливый интервал октавы и квинты (соотношение 3:1), называемую « тритава» или « псевдооктава » в этой системе на 13 равных частей.

Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются приближениями только интервалов, можно использовать термин «равное деление октавы » или EDO .

Струнные ансамбли без ладов , которые могут регулировать настройку всех нот, кроме открытых струн , и вокальные группы, у которых нет механических ограничений настройки, иногда используют настройку, намного более близкую к простой интонации, по акустическим причинам. Другие инструменты, такие как некоторые духовые , клавишные и ладовые инструменты, часто имеют лишь приблизительно равную темперацию, где технические ограничения не позволяют точно настроить. ^[4] Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять свой тон, особенно тромбоны , используют настройку, аналогичную настройке струнных ансамблей и вокальных групп.

Сравнение одинаковых темпераментов между 10 ТЕТ и 60 ТЕТ на каждом основном интервале малых простых пределов (красный:3 2 , зеленый:5 4 , индиго:7 4 , желтый:11 8 , голубой:13 8 ). Каждый цветной график показывает, насколько велика ошибка (в центах) в ближайшем приближении соответствующего интервала (черная линия в центре). Две черные кривые, окружающие график с обеих сторон, обозначают максимально возможную ошибку, а серые внутри них — ее половину.

Общие свойства

В равной темперации расстояние между двумя соседними ступенями гаммы равно одному и тому же интервалу . Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его соотношения , эта шкала с четными шагами представляет собой геометрическую последовательность умножений. ( Арифметическая последовательность интервалов не будет звучать равномерно и не позволит транспонировать ее в разные тональности .) В частности, наименьший интервал в равнотемперированной гамме - это соотношение:

\ r^{n}=p\

\ r = {\sqrt[{n}]{p\ }}\

где соотношение $r$ делит соотношение $p$ (обычно октаву, которая составляет 2:1) на $n$ равных частей. ( См. «Двенадцать тонов равной темперации» ниже. )

Весы часто измеряются в центах , которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый из которых называется центом). Эта логарифмическая шкала упрощает сравнение различных систем настройки, чем сравнение соотношений, и широко используется в этномузыкологии . Основной шаг в центах для любого равного темперамента можно найти, взяв ширину $p$ выше в центах (обычно октаву, ширина которой составляет 1200 центов), называемую ниже $w$ , и разделив ее на $n$ частей:

\ c={\frac {\ w\ {n}}\

В музыкальном анализе материалу, принадлежащему к равной темпераменту, часто присваивается целочисленное обозначение , то есть для обозначения каждой высоты звука используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение тонального материала в темпераменте точно так же, как логарифмирование умножения сводит его к сложению. Более того, применяя модульную арифметику , где модуль представляет собой количество делений октавы (обычно 12), эти целые числа можно свести к классам высоты звука , что устраняет различие (или признает сходство) между высотами звука с одинаковым названием, например , $c$ равен 0 независимо от октавного регистра. Стандарт кодирования MIDI использует целочисленные обозначения нот.

Общие формулы равнотемперированного интервала

Двенадцать тонов равного темперамента

12-тоновая равнотемперированная система, которая делит октаву на 12 интервалов одинакового размера, является музыкальной системой, наиболее широко используемой сегодня, особенно в западной музыке.

История

Двум фигурам, которым часто приписывают достижение точного расчета равного темперамента, являются Чжу Цзайюй (также латинизированный как Чу-Цайю. Китайский:朱載堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Ф.А. Каттнера, критика, отдающего должное Чжу, ^[5] известно, что Чжу «представил очень точный, простой и остроумный метод арифметического расчета равнотемперированных монохордов в 1584 году» и что Стевин «предложил математическое определение равнотемперации плюс несколько менее точное вычисление равнотемперированных монохордов». соответствующие числовые значения в 1585 году или позже».

События происходили независимо. ^[6]^(стр.200)

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу ^[7] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. ^[8] В 1584 году Чжу писал:

Я основал новую систему. Я определяю один фут как число, из которого нужно извлечь остальные, и, используя пропорции, извлекаю их. Всего надо найти точные цифры для волынщиков за двенадцать операций. ^[9]^[8]

Каттнер не согласен и отмечает, что его утверждение «нельзя считать правильным без существенных оговорок». ^[5] Каттнер предполагает, что ни Чжу, ни Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни один из них не должен считаться его изобретателем. ^[10]

Китай

Равномерная по темпераменту трубка Чжу Цзайюя

Китайские теоретики ранее уже придумали приближения для 12 ТЕТ , но Чжу был первым человеком, который математически решил 12 тонов равного темперамента, ^[11] который он описал в двух книгах, опубликованных в 1580 ^[12] и 1584 годах ^{. [9]}^{[13 ] ]} Нидхэм также дает расширенный отчет. ^[14]

Чжу получил свой результат, разделив длину струны и трубы последовательно на $12$ $\sqrt$ $2$ $\approx 1,059463$ , а длину трубы на $24$ $\sqrt$ $2$ $\approx 1,029302$ , ^[15] так, что после 12 делений (октава) длина уменьшалась вдвое.

Чжу создал несколько инструментов, настроенных на его систему, в том числе бамбуковые трубы. ^[16]

Европа

Одними из первых европейцев, выступавших за равный темперамент, были лютнисты Винченцо Галилей , Джакомо Горзанис и Франческо Спиначино , все из которых писали на нем музыку. ^[17]^[18]^[19]^[20]

Саймон Стевин был первым, кто разработал 12 ТЕТ на основе корня двенадцатой степени из двух , который он описал в книге van de Spiegheling der Singconst ( ок. 1605 ), опубликованной посмертно в 1884 году. ^[21]

Исполнители щипковых инструментов (лютнисты и гитаристы) обычно отдавали предпочтение равному темпераменту, ^[22] в то время как другие были более разделены. ^[23] В конце концов, победили 12-тоновые равнотемперированные. Это позволило энгармонической модуляции , новым стилям симметричной тональности и политональности , атональной музыке , например, написанной с использованием 12-тоновой техники или сериализма , и джазу (по крайней мере, его фортепианному компоненту) развиваться и процветать.

Математика

В 12-тоновой равнотемперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна корню двенадцатой степени из двух :

{\sqrt[{12}]{2\ }}=2^{\tfrac {1}{12}}\приблизительно 1,059463

Этот интервал делится на 100 центов.

Расчет абсолютных частот

Чтобы найти частоту $P n$ ноты в 12 TET , можно использовать следующую формулу:

\ P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr)}^{na}\

В этой формуле $P n$ представляет высоту звука или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. $P a$ — частота эталонного тона. Индексы $n$ и $a$ — это метки, присвоенные желаемому шагу ( $n$ ) и эталонному шагу ( $a$ ). Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, которым присвоены последовательные полутона. Например, A₄ (опорная высота) — это 49-я клавиша от левого конца фортепиано (настроенного на 440 Гц ), а C₄ ( средняя C ), а F♯ 4_— 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать для нахождения частоты C₄ и F ♯₄ :

P_{40}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49 )}\approx 261,626\ {\mathsf {Гц}}\

P_{46}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49 )}\approx 369,994\ {\mathsf {Гц}}\

Преобразование частот в их равнотемперированные аналоги.

Чтобы преобразовать частоту (в Гц) в ее эквивалент 12 TET , можно использовать следующую формулу:

\ E_ {n} = E_ {a} \ \ cdot \ 2 ^ {\ x} \ \ Quad

где вообще

\quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac { \ n\ {a}}\right){\Biggr )}~.

$En$ — частота звука равной темперации, а $E$ $a$ — частота эталонного звука $.$ Например, если мы примем опорную высоту тона равной 440 Гц, мы увидим, что E₅ и C ♯₅ имеют следующие частоты соответственно:

E_{660}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659,255\ { \mathsf {Гц}}\ \quad

где в этом случае

\quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.

E_{550}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554,365\ { \mathsf {Гц}}\ \quad

где в этом случае

\quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ } {440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.

Сравнение только с интонацией

Интервалы 12 ТЕТ близко приближаются к некоторым интервалам только по интонации . ^[24] Квинты и четверти почти неразличимо близки к интервалам, тогда как терции и шестые находятся дальше.

В следующей таблице размеры различных справедливых интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, выраженными как в пропорциях, так и в центах.

Семитоновое равное деление пятой части

Скрипки, альты и виолончели настроены по идеальным квинтам ( GDAE для скрипок и CGDA для альтов и виолончелей), что позволяет предположить, что соотношение полутонов у них немного выше, чем в обычных 12-тоновых равнотемперированных инструментах. Поскольку чистая квинта находится в соотношении 3:2 со своим основным тоном, а этот интервал состоит из семи ступеней, каждый тон находится в соотношении ⁷ √3/2до следующего (100,28 цента), что обеспечивает идеальную квинту с соотношением 3:2, но слегка расширенную октаву с соотношением ≈ 517:258 или ≈ 2,00388:1, а не обычное 2:1, потому что 12 совершенных пятые не равны семи октавам. ^[25] Однако во время реальной игры скрипачи выбирают высоту звука на слух, и только четыре непрерывных звука струн гарантированно демонстрируют это соотношение 3:2.

Другие равные темпераменты

Пяти-, семи- и девятитоновые темпераменты в этномузыкологии.

Приблизительно 7 ТЕТ

Пяти- и семитоновая равнотемперированная ( 5 TET Play ^ⓘ и {{7 TET }} Play ^ⓘ ) с шагами Play ^ⓘ 240 центов и Play ^ⓘ 171 цент соответственно довольно распространены.

5 TET и 7 TET отмечают конечные точки допустимого диапазона настройки синтонической темперамента , как показано на рисунке 1.

В 5 TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и отмечает конечную точку континуума настройки , в которой ширина второстепенной секунды сжимается до ширины 0 центов.
В 7 TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 686 центов (внизу континуума настройки) и отмечает конечную точку континуума настройки, в которой малая секунда расширяется до такой же ширины, как и большая секунда (по 171 центу каждая) . ).

5 тонов и 9 тонов одинаковой темпераментности

По данным Кунста (1949), индонезийские гамеланы настроены на 5 ТЕТ , но по Худу (1966) и Макфи (1966) их настройка широко варьируется, а по Тенцеру (2000) они содержат растянутые октавы . Сейчас принято, что из двух основных систем настройки в музыке гамелан, слендро и пелог , только слендро несколько напоминает пятитоновую равнотемперированную, тогда как пелог весьма неравен; однако в 1972 году Сурджодининграт, Сударжана и Сусанто анализировали пелог как эквивалент 9-TET (шаги Play ^ⓘ по 133 цента ). ^[26]

7-тональный равнотемперированный

Тайский ксилофон, измеренный Мортоном в 1974 году, «отличался всего на плюс-минус 5 центов» от 7 TET . ^[27] По словам Мортона,

«Тайские инструменты фиксированной высоты звука настроены на равноотстоящую систему из семи тонов на октаву… Однако, как и в западной традиционной музыке, все высоты звука системы настройки не используются в одном режиме (часто называемом «гаммой»); в тайской системе пять из семи используются в основных тонах любого лада, тем самым устанавливая структуру неэквидистантных интервалов для этого лада». ^[28] Играть

Гамма южноамериканских индейцев из доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом в 1969 году, характеризовалась равной темпераментностью семи тонов 175 центов, что немного расширяет октаву, как и в инструментальной музыке гамелана. ^[29]

В китайской музыке традиционно используется 7 TET . ^{[До нашей}^эры]

Различные равные темпераменты

Система обозначений Исли Блэквуда для 16 равных темпераментов: интервалы обозначаются так же, как и те, к которым они аппроксимируются, и имеется меньше энгармонических эквивалентов. ^[32] Играть

19 ЭДО: Многие инструменты созданы с использованием настройки 19 EDO . Эквивалентно 1 /3запятая означает, что у него немного более плоская идеальная квинта (695 центов), но его малая третья и большая шестая части отстоят менее чем на одну пятую цента от простого, с самым низким EDO, который дает лучшую второстепенную третью и большую шестую, чем 19 EDO — это 232 EDO. Его идеальная кварта (505 центов) на семь центов острее, чем просто интонация, и на пять центов острее, чем 12 EDO.

23 ЭДО: 23 EDO — это самый большой EDO, который не может аппроксимировать 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) в пределах 20 центов. Но он очень хорошо приближает соотношения между ними (включая правильно настроенную минорную терцию 6/5), что делает его привлекательным для микротоналистов, ищущих необычную гармоническую территорию.

24 ЭДО: 24 EDO , четвертьтоновая гамма , особенно популярна, поскольку она представляет собой удобную точку доступа для композиторов, придерживающихся стандартной западной 12-тоновой шкалы и нотной практики, которые также интересуются микротональностью. Поскольку 24 EDO содержит все высоты звука 12 EDO, музыканты используют дополнительные цвета, не теряя при этом никакой тактики, доступной в 12-тоновой гармонии. То, что 24 кратно 12, также позволяет легко достичь 24 EDO инструментально, используя два традиционных инструмента 12 EDO, настроенных на четверть тона друг от друга, например два фортепиано, что также позволяет каждому исполнителю (или одному исполнителю играть на разных фортепиано каждой рукой) ), чтобы прочитать знакомую 12-тональную нотацию. Различные композиторы, в том числе Чарльз Айвз , экспериментировали с музыкой для четвертьтонового фортепиано. 24 EDO также очень хорошо аппроксимирует 11-ю и 13-ю гармоники, в отличие от 12 EDO.

26 ЭДО: 26 — это наименьшее количество равных делений октавы, которое почти полностью настраивает 7-ю гармонику (7:4). Хотя это средний темперамент, он очень плоский: четыре его идеальных квинты образуют нейтральную треть, а не мажорную треть. 26 EDO имеет две минорные трети и две минорные сексты и может быть альтернативным темпераментом для гармонии в парикмахерской .

27 ЭДО: 27 — это наименьшее количество равных делений октавы, которое однозначно представляет все интервалы, включающие первые восемь гармоник. Он смягчает септимальную запятую , но не синтонную запятую .

29 ЭДО: 29 - это наименьшее количество равных долей октавы, идеальная квинта которого ближе примерно к 12 EDO, в которой квинта имеет диез на 1,5 цента вместо бемоли на 2 цента. Его классическая мажорная треть примерно такая же неточная, как 12 EDO, но настроена на 14 центов ровно, а не на 14 центов выше. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники примерно на одинаковую величину, позволяя 29 EDO очень точно соответствовать таким интервалам, как 7:5, 11:7 и 13:11. Разрезание всех 29 интервалов пополам дает 58 EDO , что позволяет снизить ошибки для некоторых тонов.

31 ОДО: 31 EDO был предложен Христианом Гюйгенсом и Адрианом Фоккером и представляет собой стандартизацию значения четверти запятой . 31 EDO не имеет такой точной квинты, как 12 EDO (например, 19 EDO), но его основные терции и второстепенные шестые части отстоят от точного менее чем на 1 цент. Он также обеспечивает хорошее согласование гармоник до 11, из которых седьмая гармоника особенно точна.

34 ЭДО: 34 EDO дает немного меньшие общие комбинированные ошибки аппроксимации до 3:2, 5:4, 6:5 и их инверсий, чем 31 EDO, несмотря на то, что он немного менее точно соответствует 5:4. 34 EDO неточно аппроксимирует седьмую гармонику или отношения, включающие 7, и не означает единицу, поскольку ее пятая гармоника является резкой, а не плоской. Это позволяет использовать тритон 600 центов, поскольку 34 — четное число.

41 ЭДО: 41 — второе по величине число равных долей октавы с лучшей идеальной квинтой, чем 12 EDO. Его классическая мажорная терция точнее, чем 12 EDO и 29 EDO, ровно на шесть центов. Это не тон, поэтому различает 10:9 и 9:8, а также классические и пифагорейские мажорные трети, в отличие от 31 EDO. Он более точен в пределе 13, чем 31 EDO.

46 ЭДО: 46 EDO обеспечивает мажорные терции и идеальные квинты, которые одновременно слегка резкие, и многие говорят, что это придает мажорным трезвучиям характерное яркое звучание. Гармоники до 11 находятся в пределах 5 центов с точностью до 10:9 и 9:5 на одну пятую цента от чистого. Поскольку это не система средних значений, она различает 10:9 и 9:8.

53 ОДО: 53 EDO использовался лишь изредка, но он лучше приближает традиционные созвучия , чем 12, 19 или 31 EDO. Его чрезвычайно точные идеальные квинты делают его эквивалентом расширенной пифагорейской настройки , и он иногда используется в теории турецкой музыки . Однако он не соответствует техническим требованиям среднего темперамента, которые позволяют легко достичь хороших терций через цикл квинт. В 53 EDO самые согласные терции вместо этого достигаются с помощью пифагорейской уменьшенной кварты (CF ♭ ), поскольку это пример раскольнического темперамента , как и 41 EDO.

58 ЭДО: 58 равного темперамента является дублированием 29 EDO, который он содержит в качестве встроенного темперамента. Как и 29 EDO, он может очень точно сопоставлять такие интервалы, как 7:4, 7:5, 11:7 и 13:11, а также лучше аппроксимировать только трети и шестые доли.

72 ЭДО: 72 EDO хорошо аппроксимирует многие интонационные интервалы, обеспечивая почти эквиваленты 3-й, 5-й, 7-й и 11-й гармоникам. 72 EDO преподавали, писали и исполняли на практике Джо Манери и его ученики (чьи атональные наклонности обычно избегают каких-либо упоминаний просто об интонации ). Его можно считать расширением 12 EDO, поскольку 72 кратно 12. 72 EDO неточно аппроксимирует 13-ю гармонику или наиболее простые соотношения, включающие 13. Он содержит шесть копий 12 EDO, начинающихся на разных тонах, три копии 24 EDO. и две копии 36 EDO, которые сами кратны 12.

96 ЭДО: 96 EDO аппроксимирует все интервалы в пределах 6,25 цента, что едва различимо. Поскольку число, кратное 12, в восемь раз, его можно использовать полностью так же, как обычное 12 EDO. Его защищали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо . ^[34]

Другие равные части октавы, которые время от времени используются, включают 15 EDO , 17 EDO и 22 EDO .

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменателями первых подходящих чисел log ₂ (3), поэтому 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 двенадцатые (и пятые), будучи в соответствующих равных темперациях, равных целому числу октав, являются лучшими приближениями 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 всего лишь двенадцатых/пятых, чем в любой равной темперации с меньшим количеством тонов. ^[35]^[36]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, ... (последовательность A060528 в OEIS ) - это последовательность делений октавы, которая обеспечивает все лучшее и лучшее приближение к идеальной квинте. Родственные последовательности, содержащие подразделения, аппроксимирующие другие справедливые интервалы, перечислены в сноске. ^[д]

Равные темпераменты неоктавных интервалов

Равнотемперированная версия шкалы Болена-Пирса состоит из соотношения 3:1 (1902 цента), традиционно состоящего из идеальной квинты плюс октавы (то есть идеальной двенадцатой части), называемого в этой теории тритавой ( игра ⓘ ⁾ , и разделить на 13 равных частей. Это обеспечивает очень близкое соответствие правильно настроенным соотношениям, состоящим только из нечетных чисел. Каждый шаг составляет 146,3 цента ( игра ^ⓘ ), или ¹³ √ 3 .

Венди Карлос создала три необычных равных темперамента после тщательного изучения свойств возможных темпераментов с размером шага от 30 до 120 центов. Их называли альфа , бета и гамма . Их можно считать равными долями идеальной квинты. Каждый из них обеспечивает очень хорошую аппроксимацию нескольких интервалов. ^[37] Размер их шага:

альфа : ⁹ √3/2 (78,0 центов) Играть ^ⓘ
бета : ¹¹ √3/2 (63,8 цента) Играть ^ⓘ
гамма : ²⁰ √3/2 (35,1 цента) Играть ^ⓘ

Альфу и бета можно услышать в заглавном треке альбома Карлоса 1986 года Beauty in the Beast .

Пропорции между полутоном и целым тоном.

В этом разделе полутон и целый тон могут не иметь своих обычных 12 значений EDO, поскольку в нем обсуждается, как их можно смягчать разными способами, отличными от их справедливых версий, для создания желаемых отношений. Пусть количество шагов в полутоне равно $s$ , а количество шагов в тоне равно $t$ .

Существует ровно одно семейство равных темпераций, которое фиксирует полутон на любой правильной части целого тона, сохраняя при этом ноты в правильном порядке (это означает, что, например, C , D , E , F и F ♯ находятся в возрастающем порядке ). порядок, если они сохраняют свои обычные отношения с C ). То есть привязка $q$ к правильной дроби в отношении $qt = s$ также определяет уникальное семейство одного равного темперамента и его кратных, которые удовлетворяют этому соотношению.

Например, где $k$ — целое число, 12 $k$ EDO устанавливает $q = 1 / 2$ , 19 $тыс.$ наборов EDO $q = 1 / 3$ , и 31 $k$ наборов EDO $q = 2 / 5$ . Наименьшие кратные в этих семействах (например, 12, 19 и 31 выше) обладают дополнительным свойством: не имеют нот за пределами квинтового круга . (В целом это не так; в 24 EDO полудиез и полубемоль не находятся в круге квинт, генерируемых, начиная с C. ) Крайними случаями являются 5 $k$ EDO , где $q = 0$ и полутон становится унисон и 7 $k$ EDO , где $q = 1$ , а полутон и тон — один и тот же интервал.

Зная, сколько ступеней имеет полутон и тон в этой равной темперации, можно найти количество ступеней в октаве. Равная темперация с вышеуказанными свойствами (в том числе отсутствие нот за пределами квинтового круга) делит октаву на $7$ шагов $t$ $- 2$ $с$ , а чистую квинту - на $4 шага t - s$ . Если есть ноты вне квинтового круга, необходимо затем умножить эти результаты на $n$ , количество непересекающихся квинтовых кругов, необходимых для генерации всех нот (например, две в 24 EDO , шесть в 72 EDO ). (Для этого нужно взять малый полутон: 19 EDO имеет два полутона, один из которых 1 /3тон и другое существо 2 /3. Точно так же 31 EDO имеет два полутона, один из которых 2 /5тон и другое существо 3 /5).

Самым маленьким из этих семейств является $12к$ ЭДО , и , в частности, 12 ЭДО — это наименьший равнотемпераментный с вышеперечисленными свойствами. Кроме того, полутон составляет ровно половину целого тона, что является простейшим возможным соотношением. Вот некоторые из причин, по которым 12 EDO стал наиболее часто используемым равнотемпераментным. (Другая причина заключается в том, что 12 EDO — это наименьший равный темперамент, близко приближающийся к 5-предельной гармонии, а следующим по величине является 19 EDO.)

Каждый выбор доли $q$ для отношений приводит к ровно одному равному семейству темпераментов, но обратное неверно: 47 EDO имеет два разных полутона, один из которых 1 /7тон, а другой 8 /9, которые не являются дополнением друг друга, как в 19 EDO ( 1 /3и 2 /3). Взятие каждого полутона приводит к разному выбору идеальной квинты.

Сопутствующие системы настройки

Обычные диатонические настройки

Диатоническую настройку в 12 тонах равной темперации (12 ТЕТ ) можно обобщить до любой регулярной диатонической настройки, разделяющей октаву как последовательность шагов $T ts T t T s$ (или некоторый круговой сдвиг или «вращение» ее). Чтобы называться обычной диатонической настройкой, каждый из двух полутонов ( $s$ ) должен быть меньше любого из тонов ( большего тона , $T$ , и меньшего тона , $t$ ). Запятая $κ$ подразумевает соотношение размеров между большим и меньшим тонами: Выражается как частоты $κ$ $=$    $Т / т$ , или в виде центов $κ$ $знак равно$ $Т$ $-$ $т$ .

Ноты в обычном диатоническом строе соединяются в цикл из трех чистых квинт $TT ts$ , прерываемых тяжелой квинтой $T tts$ ( грейв означает «бемоль через запятую»), еще одной последовательностью из двух чистых квинт и еще одной тяжелой квинты, и затем он повторяется до бесконечности, сглаживаясь на две запятые при каждом переходе от естественного звука к диезу (или одиночного диеза к двойному диезу) и взаимно обостряясь на две запятые при каждом переходе от естественного тона к сглаженному (или бемоль к двойному бемолю). Если оставить без изменений, две серьезные квинты в каждой октаве являются источником «волчьих» интервалов .     

Поскольку запятая $κ$ расширяет меньший тон $t = sc$ в больший тон $T = sc κ$ , просто интонацию $T ts T t T s$ можно разбить на последовательность $sc κ sc s sc κ sc sc κ s$ , (или его круговой сдвиг ) диатонических полутонов $s$ , хроматических полутонов $c$ и запятых $κ$ . Различные равные темпераменты изменяют размеры интервалов, обычно разбивая три запятые и затем перераспределяя их части на семь диатонических полутонов $s$ или на пять хроматических полутонов $c$ , или на оба $s$ и $c$ , с некоторой фиксированной пропорцией для каждого типа полутона. .   

Последовательность интервалов $s$ , $c$ и $κ$ можно неоднократно присоединять к самой себе в большую спираль из 12 квинт и соединять на ее дальних концах путем небольших корректировок размера одного или нескольких интервалов, или оставить неизмененной с помощью случайные неидеальные квинты, ровно через запятую.

Преобразование диатонических строев в EDO

Равную темперацию можно создать, если размеры мажорного и минорного тонов ( $T$ , $t$ ) изменить так, чтобы они были одинаковыми (скажем, установив $κ = 0$ , а остальные расширить, чтобы по-прежнему заполнять октаву), и оба полутона ( s и $c$ ) одинакового размера, то в результате получается двенадцать равных полутонов, по два на тон. В 12 TET полутон $s$ равен ровно половине размера целых тонов того же размера $T$ = $t$ .

Некоторые промежуточные размеры тонов и полутонов также можно генерировать в системах равной темперации путем изменения размеров запятой и полутонов. В пределе получается 7 ТЕТ , когда размеры $c$ и $κ$ стремятся к нулю, при фиксированной октаве, и 5 ТЕТ в пределе, когда $s$ и $κ$ стремятся к нулю; 12 TET — это, конечно, случай $s = c$ и $κ$ $= 0$ . Например:

5 ТЕТ и 7 ТЕТ: Есть два крайних случая, которые ограничивают эту структуру: когда $s$ и $κ$ уменьшаются до нуля при фиксированном размере октавы, результатом является $ttttt$ , 5-тоновая равная темперация. По мере того, как буква $s$ становится больше (и поглощает пространство, ранее использовавшееся для запятой $κ$ ), в конечном итоге все шаги становятся одинакового размера, $ttttttt$ , и в результате получается семитональная равномерная темпераментность. Эти две крайности не относятся к «обычным» диатоническим строям.

19 ТЕТ: Если диатонический полутон установлен в два раза больше хроматического полутона, т.е. $s = 2 c$ (в центах) и $κ$ $= 0$ , результат будет 19 TET , с одним шагом для хроматического полутона $c$ и двумя шагами для диатонического полутона $s.$ , три шага для тонов $T$ = $t$ , а общее количество шагов $3$ $T$ $+ 2$ $t$ $+ 2$ $s$ $=$ $9 + 6 + 4$ $=$ 19 шагов. Встроенная 12-тональная подсистема близко соответствует исторически важной  1 /3запятая означает систему знаков .

31 ТЕТ: Если хроматический полутон составляет две трети размера диатонического полутона, т. е. $c = 2 / 3 s$ ,при $κ = 0$ результат равен31 TET ,с двумя ступенями для хроматического полутона, тремя ступенями для диатонического полутона и пятью ступенями для тона, где $3 T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 =$ 31 шаг. Встроенная 12-тональная подсистема близко соответствует исторически важной 1 /4запятая имела в виду .

53 ТЕТ: Если хроматический полутон сделать такого же размера, как три запятые, $c$ $= 3$ $κ$ (в центах, по частоте $c$ $=$ $κ$ $³$ ), то диатоника равна пяти запятым, $s$ $= 5$ $κ$ , что делает меньший тон восемью запятыми $t$ $=$ $s$ $+$ $c$ $= 8$ $κ$ , а старший тон девять, $T$ $=$ $s$ $+$ $c$ $+$ $κ$ $= 9$ $κ$ . Следовательно, $3$ $T$ $+ 2$ $t$ $+ 2$ $s$ $=$ $27$ $κ$ $+ 16$ $κ$ $+ 10$ $κ$ $= 53$ $κ$ по 53 шага по одной запятой. Размер запятой/размер шага составляет $κ$ $=$ $1300 / 53$ ¢ точно, или $κ$ $= 22,642$ ¢ $\approx 21,506$ ¢, синтонная запятая . Это чрезвычайно близкое приближение к простой интонации , и оно до сих пор используется в теории классической турецкой музыки .

Смотрите также

Сноски

^ ab Sethares (2005) сравнивает несколько равных темпераментов на графике с осями, обратными от осей в первом сравнении равных темпераментов, и идентичными осями второго. ^[1]
^ «Гепта-равный темперамент» в нашей народной музыке всегда был спорным вопросом. ^[30]
^ Из флейты в течение двух тысяч лет производственного процесса и японских сякухати, оставшихся в производстве династий Суй и Тан, и фактического темперамента, идентификация людей с использованием так называемых «Семи законов» по крайней мере две тысячи лет истории. ; и решил, что эта правовая система связана с законом флейты. ^[31]
^ Последовательности OEIS, содержащие деления октавы, которые обеспечивают улучшенную аппроксимацию только интервалов:
(последовательность A060528 в OEIS ) — 3:2
(последовательность A054540 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3
(последовательность A060525 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5
(последовательность A060526 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 7:4 и 8:7
(последовательность A060527 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 7:4 и 8:7, 16:11 и 11:8
(последовательность A060233 в OEIS ) — 4:3 и 3:2, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3, 7:4 и 8:7, 16:11 и 11:8, 16: 13 и 13:8
(последовательность A061920 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3, 9:8 и 16:9, 10:9 и 9:5, 16: 15 и 15:8, 45:32 и 64:45
(последовательность A061921 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3, 9:8 и 16:9, 10:9 и 9:5, 16: 15 и 15:8, 45:32 и 64:45, 27:20 и 40:27, 32:27 и 27:16, 81:64 и 128:81, 256:243 и 243:128.
(последовательность A061918 в OEIS ) — 5:4 и 8:5
(последовательность A061919 в OEIS ) — 6:5 и 5:3
(последовательность A060529 в OEIS ) — 6:5 и 5:3, 7:5 и 10:7, 7:6 и 12:7
(последовательность A061416 в OEIS ) — 11:8 и 16:11

Источники

Бойлз, Дж. (1969). «Терпеуа-песня». Этномузыкология . 13 : 42–47.
Чо, Джин Джинсён (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Льюистон, Нью-Йорк: Эдвин Меллен Пресс .
Даффин, Росс В. (2007). Как равные темпераменты разрушили гармонию (и почему вас это должно волновать ) Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: WWNorton & Company. ISBN 978-0-39306227-4.
Йоргенсен, Оуэн (1991). Тюнинг . Издательство Мичиганского государственного университета. ISBN 0-87013-290-3.
Сетарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
Сурйодининграт, В.; Сударжана, П.Дж.; Сусанто, А. (1972). Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте . Джокьякарта, Индиана: Издательство Университета Гаджа Мада.Цитируется в «Шкала гамелан-пелог Центральной Явы как пример негармонической музыкальной гаммы». Telia.com . Нейронаука музыки. Архивировано из оригинала 27 января 2005 года . Проверено 19 мая 2006 г.
Стюарт, П.Дж. (2006) [январь 1999 г.]. От галактики к галактике: Музыка сфер (Репортаж). 8096295 – через academia.edu. «Альтернативная ссылка 1». 269108386 – через сайт Researchgate.net. «Альтернативная ссылка 2» – через документы Google.
Храмов, Михаил (26–29 июля 2008 г.). Приближение к 5-ти пределам просто интонации . Компьютерное MIDI-моделирование в отрицательных системах равных делений октавы. Международная конференция СИГМАП-2008. Порту . стр. 181–184. ISBN 978-989-8111-60-9.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

дальнейшее чтение

Гельмгольц, Х. (2005) [1877 (4-е изд. на немецком языке), 1885 г. (2-е изд. на английском языке)]. Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки. Перевод Эллиса, AJ (переиздание). Уайтфиш, Монтана: Издательство Келлингер. ISBN 978-1-41917893-1. OCLC 71425252 – через Интернет-архив (archive.org).
— Фундаментальный труд по акустике и восприятию звука. Особенно материал в Приложении XX: Дополнения переводчика , страницы 430–556, (pdf, страницы 451–577) (см. также вики-статью On Sensations of Tone )

Внешние ссылки

Введение в исторические настройки Кайла Ганна
Xenharmonic вики об EDO и равных темпераментах
Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
А.Орландини: Музыкальная акустика
«Темперамент» из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900. (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
Фрактальная микротональная музыка, Джим Кукула .
Все существующие цитаты XVIII века об И.С. Бахе и темпераменте.
Доминик Экерсли: «Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха»
Ну темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
ПРЕДПОЧТЕННЫЕ МОЩНОСТИ ШКАЛ ПЕТЕРА БУХА