Равномерный темперамент

Сравнение некоторых равнотемперированных строев. ^[a] График охватывает одну октаву по горизонтали (откройте изображение, чтобы увидеть полную ширину), и каждый затененный прямоугольник — это ширина одной ступени в гамме. Соотношения равных интервалов разделены в строках их простыми пределами .

12-тоновая равномерно темперированная хроматическая гамма на C , одна полная восходящая октава, нотируется только диезами. Играть по восходящей и нисходящей

Равномерная темперация — это музыкальная темперация или система настройки , которая аппроксимирует только интервалы путем деления октавы (или другого интервала) на шаги таким образом, что соотношение частот любой соседней пары нот одинаково. Эта система дает шаги высоты тона , воспринимаемые как равные по размеру, из-за логарифмических изменений частоты высоты тона. ^[2]

В классической музыке и западной музыке в целом наиболее распространенной системой настройки с XVIII века была 12-тоновая равномерная темперация (также известная как 12-тоновая равномерная темперация , 12 TET или 12 ET , неформально сокращенно 12 equal ), которая делит октаву на 12 частей, все из которых равны по логарифмической шкале , с отношением, равным 12-му корню из 2, ( ¹² √ 2 ≈ 1,05946). Этот полученный наименьший интервал, ⁠1/12⁠ ширина октавы называется полутоном или полутоном. В западных странах термин равномерная темперация , без уточнения, обычно означает 12 ТЕТ .

В наше время 12 TET обычно настраивается относительно стандартной высоты тона 440 Гц, называемой A 440 , что означает, что одна нота, A , настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как несколько полутонов от нее, либо выше, либо ниже по частоте. Стандартная высота тона не всегда была 440 Гц; она значительно менялась и в целом выросла за последние несколько сотен лет. ^[3]

Другие равнотемперированные лады делят октаву по-разному. Например, некоторые произведения написаны в 19 TET и 31 TET , в то время как арабская тоновая система использует 24 TET .

Вместо деления октавы равномерная темперация может также делить другой интервал, как в равномерно темперированной версии шкалы Болена-Пирса , которая делит точный интервал октавы и квинты (соотношение 3:1), называемый в этой системе «тритавой» или «псевдооктавой » , на 13 равных частей.

Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются приближениями просто интервалов, можно использовать термин «равное деление октавы » или EDO .

Неладовые струнные ансамбли , которые могут регулировать настройку всех нот, кроме открытых струн , и вокальные группы, которые не имеют механических ограничений настройки, иногда используют настройку, гораздо более близкую к просто интонации по акустическим причинам. Другие инструменты, такие как некоторые духовые , клавишные и ладовые инструменты, часто только приближаются к равномерной темперации, где технические ограничения не позволяют точно настроить. ^[4] Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять свой тон, в первую очередь тромбоны , используют настройку, похожую на настройку струнных ансамблей и вокальных групп.

Сравнение равных темпераций между 10 TET и 60 TET на каждом основном интервале малых простых пределов (красный: ⁠3 2 ⁠ , зеленый: ⁠5 4 ⁠ , индиго: ⁠7 4 ⁠ , желтый: ⁠11 8 ⁠ , голубой: ⁠13 8 ⁠ ). Каждый цветной график показывает, какая ошибка возникает (в центах) при ближайшем приближении соответствующего справедливого интервала (черная линия в центре). Две черные кривые, окружающие график с обеих сторон, представляют максимально возможную ошибку, в то время как серые кривые внутри них указывают на ее половину.

Общие свойства

В равномерно темперированном строе расстояние между двумя соседними ступенями шкалы равно одному и тому же интервалу . Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его отношения , эта гамма в четных ступенях представляет собой геометрическую последовательность умножений. ( Арифметическая последовательность интервалов не будет звучать равномерно распределенной и не позволит транспонировать в разные тональности .) В частности, наименьший интервал в равномерно темперированном строе равен отношению:

\ r^{n}=p\

\ r={\sqrt[{n}]{p\ }}\

где отношение $r$ делит отношение $p$ (обычно октаву, которая равна 2:1) на $n$ равных частей. ( См. Двенадцатитоновая равномерная темперация ниже. )

Гаммы часто измеряются в центах , которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый из которых называется центом). Эта логарифмическая шкала упрощает сравнение различных систем настройки, чем сравнение соотношений, и широко используется в этномузыкологии . Основной шаг в центах для любой равномерной темперации можно найти, взяв ширину $p$ в центах (обычно октаву, которая имеет ширину 1200 центов), называемую ниже $w$ , и разделив ее на $n$ частей:

\ c={\frac {\ w\ {n}}\

В музыкальном анализе материалу, принадлежащему к равномерной темперации, часто присваивается целочисленная нотация , то есть для представления каждой высоты звука используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение материала высоты звука в пределах темперации таким же образом, как взятие логарифма умножения сводит его к сложению. Кроме того, применяя модульную арифметику , где модуль — это число делений октавы (обычно 12), эти целые числа можно свести к классам высоты звука , что устраняет различие (или признает сходство) между высотами звука с одинаковым названием, например, $c$ равно 0 независимо от регистра октавы. Стандарт кодирования MIDI использует целочисленные обозначения нот.

Общие формулы для равномерно темперированного интервала

Двенадцатитоновая равномерная темперация

12-тоновая равномерная темперация, которая делит октаву на 12 интервалов равной величины, является наиболее широко используемой сегодня музыкальной системой, особенно в западной музыке.

История

Двумя деятелями, которым часто приписывают достижение точного расчета равномерной темперации, являются Чжу Цзайюй (также романизированный как Чу-Цайюй. Китайский:朱載堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Ф. А. Каттнера, критика, воздающего должное Чжу, ^[5] известно, что Чжу «представил высокоточный, простой и гениальный метод арифметического расчета моноаккордов равномерной темперации в 1584 году», а Стевин «предложил математическое определение равномерной темперации, а также несколько менее точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже».

События развивались независимо друг от друга. ^[6]^{(стр. 200)}

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равномерной темперации Чжу ^[7]^[b] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. ^[8] В 1584 году Чжу писал:

Я основал новую систему. Я устанавливаю одну стопу как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. Всего нужно найти точные цифры для волынщиков за двенадцать операций. ^[9]^[8]

Каттнер не соглашается и замечает, что его утверждение «не может считаться верным без существенных оговорок». ^[5] Каттнер предполагает, что ни Чжу, ни Стевин не достигли равной темперации и что ни один из них не должен считаться ее изобретателем. ^[10]

Китай

Равномерная по темпераменту труба Чжу Цзайюя

Китайские теоретики ранее предлагали приближения для 12 TET , но Чжу был первым человеком, который математически решил 12-тоновую равномерную темперацию, ^[11] которую он описал в двух книгах, опубликованных в 1580 ^[12] и 1584 годах. ^[9]^[13] Нидхэм также дает развернутый отчет. ^[14]

Чжу получил свой результат, разделив длину струны и трубы последовательно на $12$ $\sqrt$ $2$ $\approx 1,059463$ , а длину трубы — на $24$ $\sqrt$ $2$ $\approx 1,029302$ [ ^15] таким образом, что после 12 делений (октава) длина уменьшилась вдвое.

Чжу создал несколько инструментов, настроенных по его системе, включая бамбуковые трубы. ^[16]

Европа

Одними из первых европейцев, выступавших за равномерную темперацию, были лютнисты Винченцо Галилей , Джакомо Горзанис и Франческо Спиначино , каждый из которых писал музыку в этом стиле. ^[17]^[18]^[19]^[20]

Симон Стевин был первым, кто разработал 12 TET на основе корня двенадцатой степени из двух , который он описал в труде ван де Шпигелинга «О поющей силе» ( около 1605 г. ), опубликованном посмертно в 1884 г. ^[21]

Исполнители щипковых инструментов (лютнисты и гитаристы) в целом отдавали предпочтение равномерной темперации, ^[22] в то время как другие были более разобщены. ^[23] В конце концов, победила 12-тоновая равномерная темперация. Это позволило развиться и расцвести энгармонической модуляции , новым стилям симметричной тональности и политональности , атональной музыке, например, написанной с использованием 12-тоновой техники или сериализма , и джазу (по крайней мере, его фортепианному компоненту).

Математика

В двенадцатитоновой равномерной темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т.е. отношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна двенадцатому корню из двух :

{\sqrt[{12}]{2\ }}=2^{\tfrac {1}{12}}\approx 1,059463

Этот интервал делится на 100 центов.

Расчет абсолютных частот

Чтобы найти частоту $P n$ ноты в 12 TET , можно использовать следующую формулу:

\ P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr )}^{na}\

В этой формуле $P n$ представляет высоту тона или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. $P a$ — частота опорной высоты тона. Индексные числа $n$ и $a$ — это метки, назначенные желаемой высоте тона ( $n$ ) и опорной высоте тона ( $a$ ). Эти два числа берутся из списка последовательных целых чисел, назначенных последовательным полутонам. Например, A₄ (опорная высота тона) — это 49-я клавиша с левого конца фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C₄ ( средняя C ) и F ♯₄ — это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать для нахождения частоты C₄ и F ♯₄ :

P_{40}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49)}\approx 261.626\ {\mathsf {Гц}}\

P_{46}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49)}\approx 369.994\ {\mathsf {Гц}}\

Преобразование частот в их равнотемперированные аналоги

Для преобразования частоты (в Гц) в ее эквивалент в 12 ТЕТ можно использовать следующую формулу:

\ E_{n}=E_{a}\ \cdot \ 2^{\ x}\ \quad

где вообще

\quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ n\ }{a}}\right){\Biggr )}~.

Сравнение интервалов в 12-ТЕТ с простой интонацией

$E n$ — частота высоты тона в равномерной темперации, а $E a$ — частота опорной высоты. Например, если мы допустим, что опорная высота тона равна 440 Гц, то мы можем увидеть, что E₅ и C ♯₅ имеют следующие частоты, соответственно:

E_{660}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {Гц}}\ \quad

где в этом случае

\quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.

E_{550}=440\ {\mathsf {Гц}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {Гц}}\ \quad

где в этом случае

\quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.

Сравнение только с интонацией

Интервалы 12 TET очень близки к некоторым интервалам по интонации . ^[24] Квинты и кварты почти неразличимо близки к интервалам, тогда как терции и сексты находятся дальше.

В следующей таблице размеры различных интервалов темперирования сравниваются с их эквивалентами в равномерной темперации, как в пропорциях, так и в центах.

Семитоновое равное деление квинты

Скрипки, альты и виолончели настроены в чистых квинтах ( GDAE для скрипок и CGDA для альтов и виолончелей), что предполагает, что их соотношение полутонов немного выше, чем в обычной 12-тоновой равномерной темперации. Поскольку чистая квинта находится в соотношении 3:2 с ее базовым тоном, и этот интервал состоит из семи шагов, каждый тон находится в соотношении ⁷ √ ⁠3/2⁠ к следующему (100,28 центов), что обеспечивает чистую квинту с соотношением 3:2, но слегка расширенную октаву ссоотношением ≈ 517:258 или ≈ 2,00388:1вместо обычных 2:1, потому что 12 чистых квинт не равны семи октавам.^[25]Однако во время реальной игры скрипачи выбирают высоту звука на слух, и только четыре незакрытые высоты звука струн гарантированно демонстрируют это соотношение 3:2.

Другие равные темпераменты

Пяти-, семи- и девятитоновая темперация в этномузыковедении

Приблизительное значение 7 ТЕТ

Пяти- и семитоновая равномерная темперация ( 5 TET Play ^ⓘ и {{7 TET }} Play ^ⓘ ) с шагом в 240 центов Play ^ⓘ и 171 цент Play ^ⓘ соответственно встречаются довольно часто.

5 ТЕТ и 7 ТЕТ отмечают конечные точки допустимого диапазона настройки синтонической темперации , как показано на рисунке 1.

В 5 TET темперированная чистая квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и отмечает конечную точку на континууме настройки , в которой ширина малой секунды сокращается до ширины 0 центов.
В 7 TET темперированная чистая квинта имеет ширину 686 центов (в самом низу диапазона настройки) и отмечает конечную точку диапазона настройки, в которой малая секунда расширяется до такой же ширины, как и большая секунда (по 171 центу каждая) .

5-тоновая и 9-тоновая равномерная темперация

Согласно Кунсту (1949), индонезийские гамеланы настроены на 5 TET , но согласно Худу (1966) и Макфи (1966) их настройка сильно варьируется, и согласно Тензеру (2000) они содержат растянутые октавы . В настоящее время принято считать, что из двух основных систем настройки в музыке гамелана, слендро и пелог , только слендро несколько напоминает пятитоновую равномерную темперацию, в то время как пелог крайне неравномерен; однако в 1972 году Сурджодининграт, Сударджана и Сусанто анализируют пелог как эквивалент 9-TET (133-центовые шаги Play ^ⓘ ). ^[26]

7-тоновая равномерная темперация

Тайский ксилофон, измеренный Мортоном в 1974 году, «отклонялся только на плюс-минус 5 центов» от 7 TET . [ ^27] По словам Мортона,

«Тайские инструменты с фиксированной высотой тона настраиваются по эквидистантной системе из семи нот на октаву... Однако, как и в западной традиционной музыке, все высоты тона в системе настройки не используются в одном ладу (часто называемом «гаммой»); в тайской системе пять из семи используются в основных высотах тона в любом ладу, тем самым устанавливая шаблон неэквидистантных интервалов для лада». ^[28] Play

Гамма южноамериканских индейцев из доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом в 1969 году, включала 175-центовую семитоновую равномерную темперацию, которая слегка растягивает октаву, как в инструментальной музыке гамелан. ^[29]

Китайская музыка традиционно использует 7 TET . ^[c]^[d]

Различные равномерные темпераменты

Система обозначений Изли Блэквуда для 16 равномерно темперированных ладов: интервалы обозначаются так же, как и те, к которым они приближаются, и имеется меньше энгармонических эквивалентов. ^[32] Играть

19 ЭДО: Многие инструменты были созданы с использованием настройки 19 EDO . Эквивалентно ⁠ 1 /3⁠ запятая означает один, у него немного более низкая чистая квинта (в 695 центов), но его малая терция и большая секста отстают менее чем на одну пятую цента от just, при этом наименьшее EDO, которое дает лучшую малую терцию и большую сексту, чем 19 EDO, составляет 232 EDO. Его чистая кварта (в 505 центов) на семь центов выше, чем just intonation's и на пять центов выше, чем 12 EDO.

22 ЭДО: 22 EDO — один из самых точных EDO для представления темперации суперпитта (где 7:4 и 16:9 — один и тот же интервал) и близок к оптимальному генератору для темперации дикобраза. Квинты настолько резкие, что большая и малая терции, которые мы получаем от наложения квинт, будут большой и малой терцией (9/7) и субмалой терцией (7/6). На один шаг ближе друг к другу находятся классические большая и малая терции (5/4 и 6/5).

23 ЭДО: 23 EDO — это самый большой EDO, который не может аппроксимировать 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) в пределах 20 центов, но он очень хорошо аппроксимирует некоторые соотношения между ними (например, 6:5 малая терция), что делает его привлекательным для микротоналистов, ищущих необычную гармоническую территорию.

24 ЭДО: 24 EDO , четвертьтоновая гамма , особенно популярна, так как она представляет собой удобную точку доступа для композиторов, привыкших к стандартным западным 12 EDO нотам и практикам нотации, которые также интересуются микротональностью. Поскольку 24 EDO содержит все ноты 12 EDO, музыканты используют дополнительные цвета, не теряя при этом никаких тактик, доступных в 12-тоновой гармонии. То, что 24 кратно 12, также делает 24 EDO простым для инструментального достижения с помощью двух традиционных 12 EDO инструментов, настроенных на четверть тона, например, двух фортепиано, что также позволяет каждому исполнителю (или одному исполнителю, играющему на разных фортепиано каждой рукой) читать знакомую 12-тоновую нотацию. Различные композиторы, включая Чарльза Айвза , экспериментировали с музыкой для четвертьтоновых фортепиано. 24 EDO также очень хорошо приближает 11-ю и 13-ю гармоники, в отличие от 12 EDO.

26 ЭДО: 26 — знаменатель конвергента к log ₂ (7), настраивающий 7-ю гармонику (7:4) с ошибкой менее чем в полцента. Хотя это и среднетоновая темперация, она очень плоская, с четырьмя ее чистыми квинтами, создающими большую терцию на 17 центов (что эквивалентно нейтральной терции 11:9). 26 EDO имеет две малые терции и две малые сексты и может быть альтернативной темперацией для гармонии парикмахерской .

27 ЭДО: 27 — наименьшее число равных делений октавы, которое однозначно представляет все интервалы, включающие первые восемь гармоник. Оно смягчает септимальную запятую , но не синтоническую запятую .

29 ЭДО: 29 — наименьшее число равных делений октавы, чья чистая квинта ближе к just, чем в 12 EDO, в которой квинта на 1,5 цента диез вместо 2 центов бемоль. Его классическая мажорная терция примерно такая же неточная, как и 12 EDO, но настроена на 14 центов бемоль, а не на 14 центов диез. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники бемоль примерно на ту же величину, что позволяет 29 EDO очень точно соответствовать интервалам, таким как 7:5, 11:7 и 13:11. Сокращение всех 29 интервалов пополам дает 58 EDO , что позволяет снизить ошибки для некоторых just тонов.

31 ЭДО: 31 EDO пропагандировался Христианом Гюйгенсом и Адрианом Фоккером и представляет собой исправление четверть-комма-между-ноной в равномерную темперацию. 31 EDO не имеет такой точной чистой квинты, как 12 EDO (как 19 EDO), но его большие терции и малые сексты находятся менее чем в 1 центе от простого. Он также обеспечивает хорошие соответствия для гармоник до 11, из которых седьмая гармоника особенно точна.

34 ЭДО: 34 EDO дает немного меньшие общие объединенные ошибки аппроксимации для 3:2, 5:4, 6:5 и их инверсий, чем 31 EDO, несмотря на то, что имеет немного менее точное соответствие для 5:4. 34 EDO неточно аппроксимирует седьмую гармонику или отношения, включающие 7, и не подразумевается, поскольку его квинта диезная, а не бемольная. Он позволяет использовать тритон в 600 центов, поскольку 34 — четное число.

41 ЭДО: 41 — это следующий EDO с лучшей чистой квинтой, чем 29 EDO и 12 EDO. Его классическая большая терция также более точна, всего на шесть центов бемоль. Это не мезонинная темперация, поэтому она различает 10:9 и 9:8, а также классические и пифагорейские большие терции, в отличие от 31 EDO. Она более точна в пределе 13, чем 31 EDO.

46 ЭДО: 46 EDO обеспечивает мажорные терции и чистые квинты, которые оба немного диезированы, и многие ^{[ кто? ]} говорят, что это придает мажорным трезвучиям характерный яркий звук. Все основные гармоники до 17 находятся в пределах 6 центов точности, а 10:9 и 9:5 находятся на расстоянии квинты цента от чистого. Поскольку это не система мезонина, она различает 10:9 и 9:8.

53 ЭДО: 53 EDO использовался лишь изредка, но лучше приближает традиционные точные консонансы, чем 12, 19 или 31 EDO. Его чрезвычайно точные совершенные квинты делают его эквивалентным расширенной пифагорейской настройке , поскольку 53 является знаменателем конвергента к log ₂ (3). Благодаря своему точному циклу квинт и многоцелевому шагу коммы, 53 EDO использовался в турецкой музыкальной теории. Это не мизансцена, которая позволяет легко достичь хороших терций путем наложения квинт; вместо этого, как и все схизматические темперации , самые консонантные терции представлены пифагорейской уменьшенной квартой (CF ♭ ), достигаемой путем наложения восьми совершенных кварт. Он также смягчает клеизму , позволяя достичь ее квинты путем наложения шести малых терций (6:5).

58 ЭДО: 58 равномерная темперация является дублированием 29 EDO, которую он содержит как встроенную темперацию. Как и 29 EDO, он может очень точно соответствовать интервалам, таким как 7:4, 7:5, 11:7 и 13:11, а также лучше аппроксимировать только терции и сексты.

72 ЭДО: 72 EDO хорошо аппроксимирует многие интервалы просто интонации , обеспечивая почти точные эквиваленты 3-й, 5-й, 7-й и 11-й гармоник. 72 EDO преподавал, писал и исполнял на практике Джо Манери и его ученики (чьи атональные наклонности обычно избегают любых ссылок на просто интонацию ). Поскольку он кратен 12, 72 EDO можно считать расширением 12 EDO, содержащим шесть копий 12 EDO, начинающихся на разных высотах, три копии 24 EDO и две копии 36 EDO.

96 ЭДО: 96 EDO приближает все интервалы в пределах 6,25 центов, что едва различимо. Как восьмикратное кратное 12, его можно использовать в полной мере, как и обычный 12 EDO. Его пропагандировали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо . ^[34]

Другие равные деления октавы, которые нашли эпизодическое применение, включают 13 EDO, 15 EDO , 17 EDO и 55 EDO.

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменателями первых подходящих дробей log ₂ (3), поэтому 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 двенадцатых (и квинты), находясь в соответствующих равнотемперированных строях, равных целому числу октав, являются лучшими приближениями 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 просто двенадцатых/квинтовых, чем в любой равнотемперированной системе с меньшим количеством тонов. ^[35]^[36]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, ... (последовательность A060528 в OEIS ) — это последовательность делений октавы, которая обеспечивает все лучшие и лучшие приближения к чистой квинте. Связанные последовательности, содержащие деления, приближающие другие точные интервалы, перечислены в сноске. ^[e]

Равномерная темперация неоктавных интервалов

Равномерно темперированная версия шкалы Болена–Пирса состоит из соотношения 3:1 (1902 цента), условно чистой квинты плюс октавы (то есть чистой двенадцатой), называемой в этой теории тритавой ( play ^ⓘ ), и разделенной на 13 равных частей. Это обеспечивает очень близкое соответствие справедливо настроенным соотношениям, состоящим только из нечетных чисел. Каждый шаг составляет 146,3 цента ( play ^ⓘ ), или ¹³ √ 3 .

Венди Карлос создала три необычных равнотемперированных строя после тщательного изучения свойств возможных темперированных строя с размером шага от 30 до 120 центов. Они были названы альфа , бета и гамма . Их можно считать равными делениями чистой квинты. Каждый из них обеспечивает очень хорошее приближение нескольких точных интервалов. ^[37] Их размеры шага:

альфа : ⁹ √ ⁠3/2⁠ (78,0 центов) Играть ^ⓘ
бета : ¹¹ √ ⁠3/2⁠ (63,8 цента) Играть ^ⓘ
гамма : ²⁰ √ ⁠3/2⁠ (35,1 центов) Играть ^ⓘ

Альфу и бету можно услышать в заглавном треке альбома Карлоса 1986 года Beauty in the Beast .

Пропорции между полутоном и целым тоном

В этом разделе полутон и целый тон могут не иметь своих обычных 12 значений EDO, поскольку в нем обсуждается, как их можно темперировать разными способами из их простых версий, чтобы получить желаемые отношения. Пусть количество шагов в полутоне будет $s$ , а количество шагов в тоне будет $t$ .

Существует ровно одно семейство равномерно темперированных строев, которое фиксирует полутон на любой правильной дроби целого тона, сохраняя при этом правильный порядок нот (что означает, что, например, C , D , E , F , и F ♯ находятся в порядке возрастания, если они сохраняют свои обычные отношения с C ). То есть, фиксация $q$ на правильной дроби в отношении $qt = s$ также определяет уникальное семейство из одного равномерно темперированного строя и его кратных, которые удовлетворяют этому отношению.

Например, где $k$ — целое число, 12 $k$ EDO устанавливает $q = ⁠ 1 / 2 ⁠$ , 19 $k$ EDO устанавливает $q = ⁠ 1 / 3 ⁠$ ,и31 $k$ EDO устанавливает $q = ⁠ 2 / 5 ⁠$ .Наименьшие кратные в этих семействах (например, 12, 19 и 31 выше) обладают дополнительным свойством — отсутствием нот за пределамиквинтового круга. (В общем случае это неверно; в 24 EDO полудиезы и полубемоль не входят в квинтовый круг, образованный от ноты C .) Крайними случаями являются5 $k$ EDO ,где $q = 0$ и полутон становится унисоном, и7 $k$ EDO , где $q = 1$ и полутон и тон являются одним и тем же интервалом.

Как только вы узнаете, сколько ступеней полутон и тон в этой равномерной темперации, вы можете найти количество ступеней в октаве. Равномерная темперация с указанными выше свойствами (включая отсутствие нот вне квинтового круга) делит октаву на $7 t - 2 ступеней$ , а чистую квинту — на $4 t - s$ ступеней. Если за пределами квинтового круга есть ноты, то вы должны умножить эти результаты на $n$ , количество неперекрывающихся квинтовых кругов, необходимых для получения всех нот (например, два в 24 EDO , шесть в 72 EDO ). (Для этой цели нужно взять малый полутон: 19 EDO имеет два полутона, один из которых ⁠ 1 /3⁠ тон и другое существо ⁠ 2 /3⁠ . Аналогично, 31 EDO имеет два полутона, один из которых ⁠ 2 /5⁠ тон и другое существо ⁠ 3 /5⁠ ).

Наименьшим из этих семейств является 12 $k$ EDO , и в частности, 12 EDO является наименьшей равномерной темперацией с указанными выше свойствами. Кроме того, он делает полутон ровно половиной целого тона, что является самым простым возможным соотношением. Вот некоторые из причин, по которым 12 EDO стала наиболее часто используемой равномерной темперацией. (Другая причина заключается в том, что 12 EDO является наименьшей равномерной темперацией, близко приближающейся к гармонии предела 5, следующей наименьшей является 19 EDO.)

Каждый выбор дроби $q$ для отношения приводит к ровно одной семье равной темперации, но обратное неверно: 47 EDO имеет два разных полутона, один из которых — ⁠ 1 /7⁠ тон, а другой ⁠ 8 /9⁠ , которые не являются дополнениями друг друга, как в 19 EDO ( ⁠ 1 /3⁠ и ⁠ 2 /3⁠ ). Взятие каждого полутона приводит к разному выбору чистой квинты.

Сопутствующие системы настройки

Системы равномерной темперации можно рассматривать в терминах интервалов трех интервалов, найденных в просто интонации , большинство аккордов которой гармонически идеально настроены — хорошее свойство, которое не совсем достигается между почти всеми тонами почти во всех равнотемперированных строях. Большинство просто аккордов звучат удивительно консонансно, а большинство равномерно темперированных аккордов звучат по крайней мере слегка диссонансно. В C мажоре эти три интервала таковы: ^[38]

больший тон $T$ $=$ $⁠$ $9 / 8 ⁠ =$ интервал от C:D, F:G и A:B;
меньший тон $t$ $=$ $⁠$ $10 / 9 ⁠ =$ интервал от D:E до G:A;
диатонический полутон $s$ $=$ $⁠$ $16 / 15 ⁠ =$ интервал от E:F до B:C.

Анализ равномерной темперации с точки зрения того, как она изменяет или адаптирует эти три интервала, дает быстрый способ оценить, насколько созвучными могут быть различные аккорды в этой темперации, основываясь на том, насколько искажены эти интервалы. ^[38]^[f]

Регулярные диатонические настройки

Диатоническая настройка в 12-тоновой равномерной темперации (12 TET ) может быть обобщена до любой регулярной диатонической настройки, разделяющей октаву как последовательность шагов $T ts T t T s$ (или некоего кругового сдвига или «вращения» ее). Чтобы называться регулярной диатонической настройкой, каждый из двух полутонов ( $s$ ) должен быть меньше любого из тонов ( большего тона , $T$ , и меньшего тона , $t$ ). Запятая $κ$ подразумевается как соотношение размеров между большим и меньшим тонами: Выражается как частоты $κ$ $=$ $⁠$    $Т / т ⁠$ ,или какценты $κ$ $=$ $T$ $-$ $t$ .

Ноты в обычной диатонической настройке соединены в «спираль квинт», которая не замыкается (в отличие от круга квинт в 12 TET ). Начиная с субдоминанты F (в тональности C ) идут три чистых квинты подряд — F – C , C – G , и G – D — каждая из которых представляет собой композицию некоторой перестановки меньших интервалов $TT ts$  . Три созвучных квинты прерываются кислой квинтой D – A = $T tts$ ( grave означает «бемоль через запятую » ), за которой следует еще одна чистая квинта, E – B , и еще одна кислая квинта, B – F ♯ , а затем перезапуск в диезах с F ♯ – C ♯ ; та же самая схема повторяется через диезные ноты, затем дубль-диезы и так далее, до бесконечности. Но каждая октава натуральных или исключительно диезных или исключительно контрадиезных нот понижается на две комы при каждом переходе от бекара к диезу или от сингле-диеза к дубль-диезу и т. д. Модель также обратно симметрична в бемоль: спускаясь по квартам, модель взаимно повышает ноты на две комы при каждом переходе от натуральных нот к пониженным нотам или от бемолей к дубль-бемолям и т. д. Если оставить их неизменными, две квинтовые мазды в каждом блоке натуральных нот, или исключительно диезов, или исключительно бемолей являются «волчьими» интервалами : каждая из квинтовых маздов расстроена на диатоническую комму .    

Так как запятая, $κ$ , расширяет меньший тон $t = sc$ , в больший тон , $T = sc κ$ , то октаву T $ts T t T s$ можно разбить на последовательность $sc κ sc s sc κ sc sc κ s$ ( или ее циклический сдвиг ) из 7 диатонических полутонов $s$ , 5 хроматических полутонов $c$ и 3 запятых $κ$ . Различные равнотемперированные строи изменяют размеры интервалов, обычно разбивая три запятые, а затем перераспределяя их части в семь диатонических полутонов $s$ , или в пять хроматических полутонов $c$ , или в оба $s$ и $c$ , с некоторой фиксированной пропорцией для каждого типа полутона.   

Последовательность интервалов $s$ , $c$ и $κ$ может быть многократно присоединена к себе в большую спираль из 12 квинт и соединена на ее дальних концах путем небольших изменений размера одного или нескольких интервалов, или оставлена без изменений с редкими несовершенными квинтами, заменяя их запятой.

Преобразование диатонических настроек в EDO

Различные равномерные темперации можно понимать и анализировать как вносящие коррективы в размеры и подразделяющие три интервала — $T$ , $t$ и $s$ , или, в более точном разрешении, их составляющие $s$ , $c$ , и $κ$ . Равномерную темперацию можно создать, сделав размеры мажорных и минорных тонов ( $T$ , $t$ ) одинаковыми (скажем, установив $κ = 0$ , а другие расширенными так, чтобы все еще заполнять октаву), и оба полутона ( s и $c$ ) одинаковыми, тогда получится 12 равных полутонов, по два на тон. В 12 TET полутон $s$ составляет ровно половину размера целых тонов того же размера $T$ = $t$ .

Некоторые из промежуточных размеров тонов и полутонов также могут быть получены в системах равномерной темперации путем изменения размеров коммы и полутонов. Получается 7 TET в пределе, когда размер $c$ и $κ$ стремится к нулю, при фиксированной октаве, и 5 TET в пределе, когда $s$ и $κ$ стремятся к нулю; 12 TET , конечно, случай $s = c$ и $κ$ $= 0.$ Например :

5 ТЕТ и 7 ТЕТ: Есть два крайних случая, которые ограничивают эту структуру: когда $s$ и $κ$ уменьшаются до нуля при фиксированном размере октавы, результатом является $ttttt$ , 5-тоновая равномерная темперация. По мере того, как $s$ становится больше (и поглощает пространство, ранее использовавшееся для запятой $κ$ ), в конечном итоге все ступени становятся одинакового размера, $ttttttt$ , и результатом является семитоновая равномерная темперация. Эти две крайности не включены в качестве «обычных» диатонических настроек.

19 ТЕТ: Если диатонический полутон установлен в два раза больше хроматического полутона, то есть $s = 2 c$ (в центах) и $κ$ $= 0$ , то результат будет 19 TET , с одним шагом для хроматического полутона $c$ , двумя шагами для диатонического полутона $s$ , тремя шагами для тонов $T$ = $t$ , а общее количество шагов $3$ $T$ $+ 2$ $t$ $+ 2$ $s$ $=$ $9 + 6 + 4$ $=$ 19 шагов. Встроенная 12-тоновая подсистема близко приближается к исторически важной ⁠  1 /3⁠ запятая означала одну систему .

31 ТЕТ: Если хроматический полутон составляет две трети размера диатонического полутона, т.е. $c = ⁠ 2 / 3 ⁠ s$ ,при $κ = 0$ ,результат равен31 TET , с двумя шагами для хроматического полутона, тремя шагами для диатонического полутона и пятью шагами для тона, где $3 T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 =$ 31 шаг. Встроенная 12-тоновая подсистема близко приближается к исторически важной ⁠ 1 /4⁠ запятая означала один.

43 ТЕТ: Если хроматический полутон составляет три четверти размера диатонического полутона, т.е. $c = ⁠ 3 / 4 ⁠ s$ ,при $κ = 0$ ,результат равен 43 TET с тремя шагами для хроматического полутона, четырьмя шагами для диатонического полутона и семью шагами для тона, где $3 T + 2 t + 2 s = 21 + 14 + 8 =$ 43. Встроенная 12-тоновая подсистема близко приближается к ⁠ 1 /5⁠ запятая означала один.

53 ТЕТ: Если хроматический полутон сделать таким же размером, как три запятые, $c$ $= 3$ $κ$ (в центах, по частоте $c$ $=$ $κ$ $³$ ), диатонический таким же, как пять запятых, $s$ $= 5$ $κ$ , что делает меньший тон восемью запятыми $t$ $=$ $s$ $+$ $c$ $= 8$ $κ$ , а больший тон девятью, $T$ $=$ $s$ $+$ $c$ $+$ $κ$ $= 9$ $κ$ . Следовательно, $3$ $T$ $+ 2$ $t$ $+ 2$ $s$ $=$ $27$ $κ$ $+ 16$ $κ$ $+ 10$ $κ$ $= 53$ $κ$ для 53 шагов по одной запятой каждый. Размер запятой / размер шага равен $κ$ $=$ $⁠$ $1 200 / 53 ⁠$ ¢точно, или $κ$ $= 22,642$ ¢ $\approx 21,506$ ¢ ,синтоническаякомма. Это чрезвычайно близкое приближение к 5-предельнойпростой интонациии пифагорейской настройке, и является основойтурецкой музыкальной теории.

Смотрите также

Сноски

^ ab Sethares (2005) сравнивает несколько одинаковых темпераментов на графике с осями, обратными осям в первом сравнении одинаковых темпераментов, и идентичными осями во втором сравнении. ^[1]
^ « Чжу-Цайюй [был] первым в мире сформулировал математику «равномерной темперации» . — Робинсон (1980), стр. $vii$ ^[7]
^ «Гепта-равномерная темперация» в нашей народной музыке всегда была спорным вопросом. ^[30]
^ Из флейты в течение двух тысяч лет процесса производства, и японской сякухати, оставшейся в производстве династий Суй и Тан и фактической темперации, идентификация людей, использующих так называемые «Семь законов» по крайней мере двухтысячелетней истории; и решили, что эта система законов связана с законом флейты. ^[31]
^ Последовательности OEIS, содержащие деления октавы, которые обеспечивают улучшение приближений точных интервалов:
(последовательность A060528 в OEIS ) — 3:2
(последовательность A054540 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3
(последовательность A060525 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5
(последовательность A060526 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 7:4 и 8:7
(последовательность A060527 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 7:4 и 8:7, 16:11 и 11:8
(последовательность A060233 в OEIS ) — 4:3 и 3:2, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3, 7:4 и 8:7, 16:11 и 11:8, 16:13 и 13:8
(последовательность A061920 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3, 9:8 и 16:9, 10:9 и 9:5, 16:15 и 15:8, 45:32 и 64:45
(последовательность A061921 в OEIS ) — 3:2 и 4:3, 5:4 и 8:5, 6:5 и 5:3, 9:8 и 16:9, 10:9 и 9:5, 16:15 и 15:8, 45:32 и 64:45, 27:20 и 40:27, 32:27 и 27:16, 81:64 и 128:81, 256:243 и 243:128
(последовательность A061918 в OEIS ) — 5:4 и 8:5
(последовательность A061919 в OEIS ) — 6:5 и 5:3
(последовательность A060529 в OEIS ) — 6:5 и 5:3, 7:5 и 10:7, 7:6 и 12:7
(последовательность A061416 в OEIS ) — 11:8 и 16:11
^ Для 12-тональных систем, как для всей 12-нотной шкалы, так и для 12-нотных подпоследовательностей, встроенных в некоторую более крупную шкалу, ^[38] используйте этот анализ как способ программирования программного обеспечения для микронастройки электронной клавиатуры динамически или «на лету», пока музыкант играет. Цель состоит в том, чтобы точно настроить используемые ноты в данный момент и любые возможные последующие ноты, включающие согласные аккорды, чтобы всегда производить тональности, которые гармонически настроены, вдохновленные тем, как оркестры и хоры постоянно перенастраивают свою общую высоту тона на длинных аккордах для большего созвучия, чем это возможно при строгом 12 TET. ^[38]

Ссылки

^ Сетарес (2005), рис. 4.6, с. 58
^ О'Доннелл, Майкл. "Основы восприятия звука" . Получено 11 марта 2017 г.
^ Гельмгольц, Х .; Эллис, А. Дж. «История музыкальной высоты звука в Европе». О ощущениях тона . Перевод Эллиса, А. Дж. (переиздание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер. С. 493–511.
^ Вариески, Габриэле У.; Гауэр, Кристина М. (2010). «Интонация и компенсация струнных инструментов с ладами». American Journal of Physics . 78 (1): 47–55. arXiv : 0906.0127 . Bibcode : 2010AmJPh..78...47V. doi : 10.1119/1.3226563. S2CID 20827087.
^ ab Kuttner (1975), стр. 163
^ Каттнер, Фриц А. (май 1975 г.). «Жизнь и творчество принца Чу Цай-Ю: переоценка его вклада в теорию равномерной темперации». Ethnomusicology . 19 (2): 163–206. doi :10.2307/850355. JSTOR 850355.
^ ab Robinson, Kenneth (1980). Критическое исследование вклада Чжу Цай-юя в теорию равномерной темперации в китайской музыке . Sinologica Coloniensia. Т. 9. Висбаден, Германия: Franz Steiner Verlag. стр. $vii$ .
^ ab Робинсон, Кеннет Г.; Нидхэм, Джозеф (1962–2004). «Часть 1: Физика». В Нидхэм, Джозеф (ред.). Физика и физическая технология . Наука и цивилизация в Китае. Том 4. Кембридж, Великобритания: University Press. стр. 221.
^ Аб Чжу, Зайю (1584). Юэ Лу Цюань Шу 樂律全書[ Полный сборник музыки и высоты тона ] (на китайском языке).
^ Каттнер (1975), стр. 200
^ Чо, Джин Дж. (февраль 2010 г.). «Значение открытия музыкальной равномерной темперации в истории культуры». Журнал Синхайской консерватории музыки . ISSN 1000-4270. Архивировано из оригинала 15 марта 2012 г.
^ Чжу, Зайю (1580). Ло Ли Ронг Тонг 律暦融通[ Слияние музыки и календаря ] (на китайском языке).
^ "Количественная оценка ритуала: политическая космология, придворная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века". uts.cc.utexas.edu . Роджер Харт, кафедры истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин. Архивировано из оригинала 2012-03-05 . Получено 2012-03-20 .
↑ Робинсон и Нидхэм (1962–2004), стр. 220 и далее.
^ Ронан, Колин (ред.). Краткая наука и цивилизация в Китае (сокращенное издание). стр. 385.— сокращенная версия оригинала Robinson & Needham (1962–2004).
^ Хансон, Лау. 劳汉生《珠算与实用数学》 389页[ Счеты и практическая математика ]. стр. 389.
^ Галилей, В. (1584). Il Fronimo ... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare [ Фронимо ... Диалог об искусстве хорошего начала ] (на итальянском языке). Венеция, IT: Джироламо Скотто . стр. 80–89.
^ "Resound – искажение музыки". Philresound.co.uk . Архивировано из оригинала 2012-03-24 . Получено 2012-03-20 .
^ Горзанис, Джакомо (1982) [ ок. 1525~1575 ]. Intabolatura di liuto [ Табуляция лютни ] (на итальянском языке) (переиздание). Женева, Швейцария: Минкофф.
^ "Spinacino 1507a: Thematic Index". Appalachian State University. Архивировано из оригинала 25 июля 2011 года . Получено 14 июня 2012 года .
^ Стевин, Саймон (30 июня 2009 г.) [ ок. 1605 г. ]. Раш, Рудольф (ред.). Van de Spiegheling der singconst. The Diapason Press. Архивировано из оригинала 17 июля 2011 г. Получено 20 марта 2012 г. – через diapason.xentonic.org.
^ Линдли, Марк. Лютни, альты, темпераменты . ISBN 978-0-521-28883-5.
↑ Веркмейстер, Андреас (1707). Musicalische paradoxal-Discourse [ Парадоксальная музыкальная дискуссия ] (на немецком языке).
^ Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Da Capo Press. стр. 134. ISBN 0-306-80106-X.
^ Кордье, Серж. «Le tempéramment égal à quintes justes». aredem.online.fr (на французском языке). Ассоциация исследований и развития музыки . Проверено 2 июня 2010 г.
^ Сурджодининграт, Сударжана и Сусанто (1972)
^ Мортон (1980)
^ Мортон, Дэвид (1980). Мэй, Элизабет (ред.). Музыка Таиланда . Музыка многих культур. стр. 70. ISBN 0-520-04778-8.
^ Бойлс (1969)
^ 有关"七平均律"新文献著作的发现 [Находки новой литературы о гепте - равном темпераменте] (на китайском языке). Архивировано из оригинала 27 октября 2007 г.
^ 七平均律"琐谈--兼及旧式均孔曲笛制作与转调 [аннотация о «Системе семи равной настройки» ] (на китайском языке). Архивировано из оригинала 30 сентября 2007 г. Проверено в 2007 г. -06-25 .
^ Скиннер, Майлз Ли (2007). К четвертьтоновому синтаксису: анализ избранных работ Блэквуда, Хабы, Айвса и Вышнеградского . стр. 55. ISBN 9780542998478.
^ Сетарес (2005), стр. 58
^ Монзо, Джо (2005). «Равномерно темперированный строй». Tonalsoft Encyclopedia of Microtonal Music Theory . Джо Монзо . Получено 26 февраля 2019 .
^ "665 edo". xenoharmonic (микротональная вики) . Архивировано из оригинала 2015-11-18 . Получено 2014-06-18 .
^ "convergents log2(3), 10". WolframAlpha . Получено 2014-06-18 .
^ Карлос, Венди. «Три асимметричных деления октавы». wendycarlos.com . Serendip LLC . Получено 01.09.2016 .
^ abcde Milne, A.; Sethares, WA ; Plamondon, J. (зима 2007). «Изоморфные контроллеры и динамическая настройка: инвариантные аппликатуры в континууме настройки». Computer Music Journal . 31 (4): 15–32. doi : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . ISSN 0148-9267.Онлайн: ISSN 1531-5169

Источники

Boiles, J. (1969). «Песня-мысль Терпеуа». Этномузыкология . 13 : 42–47.
Чо, Джин Джинсионг (2003). Открытие музыкальной равномерной темперации в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Льюистон, Нью-Йорк: Edwin Mellen Press .
Даффин, Росс В. (2007). Как равномерный темперамент разрушил гармонию (и почему вам следует беспокоиться) . Нью-Йорк, Нью-Йорк: WWNorton & Company. ISBN 978-0-39306227-4.
Йоргенсен, Оуэн (1991). Настройка . Издательство Мичиганского государственного университета. ISBN 0-87013-290-3.
Sethares, William A. (2005). Настройка, тембр, спектр, шкала (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
Сурйодининграт, В.; Сударжана, П.Дж.; Сусанто, А. (1972). Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте . Джокьякарта, Индиана: Издательство Университета Гаджа Мада.Как указано в "Гамелан пелог-шкала Центральной Явы как пример негармонической музыкальной шкалы". telia.com . Нейронаука музыки. Архивировано из оригинала 27 января 2005 г. Получено 19 мая 2006 г.
Стюарт, П. Дж. (2006) [январь 1999]. От галактики к галактике: Музыка сфер (Отчет). 8096295 – через academia.edu. «Альтернативная ссылка 1». 269108386 – через сайт Researchgate.net. «Альтернативная ссылка 2» – через документы Google.
Храмов, Михаил (26–29 июля 2008 г.). Аппроксимация 5-предельной правильной интонации . Компьютерное MIDI-моделирование в отрицательных системах равных делений октавы. Международная конференция SIGMAP-2008. Порту . С. 181–184. ISBN 978-989-8111-60-9. ^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}

Дальнейшее чтение

Гельмгольц, Х. (2005) [1877 (4-е немецкое изд.), 1885 (2-е английское изд.)]. Ощущения тона как физиологическая основа теории музыки. Перевод Эллиса, А. Дж. (переиздание). Уайтфиш, МТ: Kellinger Publishing. ISBN 978-1-41917893-1. OCLC 71425252 – через Интернет-архив (archive.org).
— Основополагающая работа по акустике и восприятию звука. Особенно материал в Приложении XX: Дополнения переводчика , страницы 430–556, (страницы pdf 451–577) (см. также статью в вики « Ощущения тона» ).

Внешние ссылки

Введение в исторические настройки Кайла Ганна
Xenharmonic вики об EDO и равных темпераментах
Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
А.Орландини: Музыкальная акустика
«Темперамент» из Дополнения к энциклопедии мистера Чемберса (1753)
Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900. (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
Фрактальная микротональная музыка, Джим Кукула .
Все существующие цитаты XVIII века о И. С. Бахе и темпераменте
Доминик Экерсли: «Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха»
Ну, темпераменты, основанные на определении Веркмейстера
ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЕ МОЩНОСТИ ШКАЛ ПЕТЕРА БУЧА