Феликс Христиан Клейн ( нем . Felix Christian Klein ; 25 апреля 1849 — 22 июня 1925) — немецкий математик и преподаватель математики , известный своими работами по теории групп , комплексному анализу , неевклидовой геометрии и связям между геометрией и теорией групп . Его Эрлангенская программа 1872 года классифицировала геометрии по их основным группам симметрии и была влиятельным синтезом большей части математики того времени.
За время своей работы в Геттингенском университете Кляйн смог превратить его в центр математических и научных исследований посредством создания новых лекций, профессорских должностей и институтов. Его семинары охватывали большинство известных тогда областей математики, а также их приложений. Кляйн также уделял значительное время математическому обучению и продвигал реформу математического образования на всех уровнях обучения в Германии и за рубежом. Он стал первым президентом Международной комиссии по математическому обучению в 1908 году на Четвертом международном конгрессе математиков в Риме.
Феликс Кляйн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе [ 1] в прусской семье. Его отец Каспар Кляйн (1809–1889) был секретарем прусского правительства, работавшим в Рейнской провинции . Его матерью была Софи Элиза Кляйн (1819–1890, урожденная Кайзер). [2] Он учился в гимназии в Дюссельдорфе, затем изучал математику и физику в Боннском университете [ 3] в 1865–1866 годах, намереваясь стать физиком. В то время Юлиус Плюккер занимал в Бонне должность профессора математики и экспериментальной физики, но к тому времени, когда Кляйн стал его ассистентом в 1866 году, интерес Плюккера в основном заключался в геометрии. В 1868 году Кляйн получил докторскую степень под руководством Плюккера в Боннском университете.
Плюккер умер в 1868 году, оставив свою книгу об основах линейной геометрии незавершённой. Клейн был очевидным человеком, который должен был закончить вторую часть « Neue Geometrie des Raumes » Плюккера , и таким образом познакомился с Альфредом Клебшем , который переехал в Гёттинген в 1868 году. Клейн посетил Клебша в следующем году, а также посетил Берлин и Париж. В июле 1870 года, в начале Франко-прусской войны , он был в Париже и был вынужден покинуть страну. Некоторое время он служил санитаром в прусской армии, прежде чем был назначен приват-доцентом (лектором) в Гёттингене в начале 1871 года.
Университет Эрлангена назначил Кляйна профессором в 1872 году, когда ему было всего 23 года. [4] За это его поддержал Клебш, который считал, что он, вероятно, станет лучшим математиком своего времени. Кляйн не хотел оставаться в Эрлангене, где было очень мало студентов, и был рад, когда в 1875 году ему предложили должность профессора в Технической высшей школе Мюнхена. Там он и Александр фон Бриль преподавали продвинутые курсы многим выдающимся студентам, включая Адольфа Гурвица , Вальтера фон Дейка , Карла Рона , Карла Рунге , Макса Планка , Луиджи Бьянки и Грегорио Риччи-Курбастро .
В 1875 году Кляйн женился на Анне Гегель, внучке философа Георга Вильгельма Фридриха Гегеля . [5]
Проведя пять лет в Технической высшей школе, Клейн был назначен на кафедру геометрии в Лейпцигском университете . Среди его коллег были Вальтер фон Дейк , Рон, Эдуард Штуд и Фридрих Энгель . Годы, проведенные Клейном в Лейпциге с 1880 по 1886 год, коренным образом изменили его жизнь. В 1882 году его здоровье ухудшилось, и в течение следующих двух лет он боролся с депрессией. [6] Тем не менее, его исследования продолжались; его основополагающая работа по гиперэллиптическим сигма-функциям, опубликованная между 1886 и 1888 годами, датируется примерно этим периодом.
Клейн принял должность профессора в Геттингенском университете в 1886 году. С тех пор и до выхода на пенсию в 1913 году он стремился восстановить Геттинген как главный мировой центр математических исследований. Однако ему так и не удалось перенести из Лейпцига в Геттинген свою собственную ведущую роль разработчика геометрии . Он читал различные курсы в Геттингене, в основном касающиеся взаимодействия математики и физики, в частности, механики и теории потенциала .
Научно-исследовательский центр, созданный Клейном в Гёттингене, послужил образцом для лучших подобных центров во всем мире. Он ввел еженедельные дискуссионные встречи и создал математический читальный зал и библиотеку. В 1895 году Клейн нанял Давида Гильберта из Кенигсбергского университета . Это назначение имело большое значение; Гильберт продолжал укреплять первенство Гёттингена в математике вплоть до своей отставки в 1932 году.
Под редакцией Кляйна Mathematische Annalen стал одним из лучших математических журналов в мире. Основанный Клебшем, он вырос под руководством Кляйна, чтобы конкурировать и в конечном итоге превзойти Crelle's Journal , базирующийся в Берлинском университете . Кляйн создал небольшую команду редакторов, которые регулярно встречались, принимая решения в демократическом духе. Журнал сначала специализировался на комплексном анализе , алгебраической геометрии и теории инвариантов . Он также стал важным источником информации для действительного анализа и новой теории групп .
В 1893 году Клейн был главным докладчиком на Международном математическом конгрессе, проходившем в Чикаго в рамках Всемирной Колумбийской выставки . [7] Частично благодаря усилиям Клейна, Гёттинген начал принимать женщин в 1893 году. Он руководил первой докторской диссертацией по математике, написанной в Гёттингене женщиной, Грейс Чисхолм Янг , английской ученицей Артура Кейли , которой Клейн восхищался. В 1897 году Клейн стал иностранным членом Королевской Нидерландской академии искусств и наук . [8]
Около 1900 года Клейн начал интересоваться математическим обучением в школах. В 1905 году он сыграл важную роль в разработке плана, рекомендующего преподавать аналитическую геометрию , основы дифференциального и интегрального исчисления и концепцию функции в средних школах. [9] [10] Эта рекомендация постепенно была реализована во многих странах мира. В 1908 году Клейн был избран президентом Международной комиссии по математическому обучению на Римском международном конгрессе математиков . [11] Под его руководством немецкая часть комиссии опубликовала множество томов по преподаванию математики на всех уровнях в Германии.
В 1893 году Лондонское математическое общество наградило Клейна медалью Де Моргана. В 1885 году он был избран членом Королевского общества , а в 1912 году был награжден медалью Копли . В следующем году он вышел на пенсию из-за плохого здоровья, но продолжал преподавать математику у себя дома еще несколько лет.
Кляйн был одним из девяноста трех, подписавших Манифест девяноста трех — документ, написанный в поддержку немецкого вторжения в Бельгию на ранних этапах Первой мировой войны .
Он умер в Гёттингене в 1925 году.
В диссертации Клейна по линейной геометрии и ее приложениям к механике была проведена классификация линейных комплексов второй степени с использованием теории элементарных делителей Вейерштрасса .
Первые важные математические открытия Клейна были сделаны в 1870 году. В сотрудничестве с Софусом Ли он открыл фундаментальные свойства асимптотических линий на поверхности Куммера . Позже они исследовали W-кривые , кривые, инвариантные относительно группы проективных преобразований . Именно Ли познакомил Клейна с понятием группы, которое сыграло важную роль в его более поздних работах. Клейн также узнал о группах от Камиля Жордана . [12]
Клейн придумал « бутылку Клейна », названную в его честь, одностороннюю замкнутую поверхность, которая не может быть встроена в трехмерное евклидово пространство , но может быть погружена в цилиндр, закольцованный сам по себе, чтобы соединиться с другим концом «изнутри». Она может быть встроена в евклидово пространство размерностей 4 и выше. Концепция бутылки Клейна была разработана как трехмерная лента Мёбиуса , одним из методов построения которой является соединение краев двух лент Мёбиуса . [13]
В 1890-х годах Клейн начал более интенсивно изучать математическую физику , работая над гироскопом вместе с Арнольдом Зоммерфельдом . [14] В 1894 году он выдвинул идею создания энциклопедии математики, включая ее приложения, которая стала Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften . Это начинание, просуществовавшее до 1935 года, предоставило важный стандартный справочник непреходящей ценности. [15]
В 1871 году, находясь в Гёттингене, Клейн сделал важные открытия в геометрии. Он опубликовал две статьи «О так называемой неевклидовой геометрии», показывающие, что евклидовы и неевклидовы геометрии можно считать метрическими пространствами, определяемыми метрикой Кэли–Клейна . Из этого понимания следовало, что неевклидова геометрия была непротиворечивой тогда и только тогда, когда была непротиворечивой евклидова геометрия , что придавало одинаковый статус евклидовым и неевклидовым геометриям и положило конец всем спорам о неевклидовой геометрии. Артур Кэли никогда не принимал аргумент Клейна, считая его круговым.
Синтез геометрии Клейна как изучение свойств пространства, инвариантного относительно заданной группы преобразований , известный как программа Эрлангена (1872), оказал глубокое влияние на эволюцию математики. Эта программа была инициирована вступительной лекцией Клейна в качестве профессора в Эрлангене, хотя это была не фактическая речь, которую он произнес по этому случаю. Программа предлагала единую систему геометрии, которая стала общепринятым современным методом. Клейн показал, как существенные свойства заданной геометрии могут быть представлены группой преобразований , сохраняющих эти свойства. Таким образом, определение геометрии программой охватывало как евклидову, так и неевклидову геометрию.
В настоящее время значимость вклада Клейна в геометрию очевидна. Они стали настолько важной частью математического мышления, что трудно оценить их новизну, когда они были впервые представлены, и понять тот факт, что они не были сразу приняты всеми его современниками.
Клейн считал свою работу по комплексному анализу своим главным вкладом в математику, в частности, его работы по:
Клейн показал, что модулярная группа перемещает фундаментальную область комплексной плоскости так, чтобы разбить плоскость на мозаику. В 1879 году он исследовал действие PSL(2,7) , рассматриваемое как образ модулярной группы , и получил явное представление римановой поверхности, которая теперь называется квартикой Клейна . Он показал, что это сложная кривая в проективном пространстве , что ее уравнение имеет вид x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0, а ее группа симметрии — PSL(2,7) порядка 168. Его работа Юбера Римана « Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale » (1882) рассматривает комплексный анализ геометрическим способом, связывая теорию потенциала и конформные отображения . Эта работа опиралась на понятия из динамики жидкости .
Клейн рассматривал уравнения степени > 4 и был особенно заинтересован в использовании трансцендентных методов для решения общего уравнения пятой степени. Опираясь на методы Шарля Эрмита и Леопольда Кронекера , он получил результаты, схожие с результатами Бриоски, и позднее полностью решил проблему с помощью икосаэдрической группы . Эта работа позволила ему написать серию статей об эллиптических модулярных функциях .
В своей книге 1884 года об икосаэдре Клейн создал теорию автоморфных функций , связав алгебру и геометрию. Пуанкаре опубликовал набросок своей теории автоморфных функций в 1881 году, что привело к дружескому соперничеству между двумя мужчинами. Оба стремились сформулировать и доказать великую теорему униформизации , которая бы более полно установила новую теорию. Клейну удалось сформулировать такую теорему и описать стратегию ее доказательства. Он придумал свое доказательство во время приступа астмы в 2:30 утра 23 марта 1882 года. [16]
Клейн обобщил свою работу по автоморфным и эллиптическим модулярным функциям в четырехтомном трактате, написанном совместно с Робертом Фрике в течение примерно 20 лет.
