Философия математики — это раздел философии , изучающий предположения, основы и последствия математики . Его цель - понять природу и методы математики, а также выяснить место математики в жизни людей.
Философия математики имеет две основные темы: математический реализм и математический антиреализм.
В основе математики лежат споры и разногласия. Было ли рождение математики случайным или вызвано необходимостью в ходе развития подобных предметов, таких как физика, остается предметом споров. [1] [2]
Многие мыслители высказали свои идеи относительно природы математики. Сегодня некоторые [ кто? Философы математики стремятся дать отчет об этой форме исследования и ее продуктах в их нынешнем виде, в то время как другие подчеркивают свою роль, которая выходит за рамки простой интерпретации и переходит к критическому анализу. Традиции математической философии существуют как в западной, так и в восточной философии . Западные философии математики восходят к Пифагору , который описал теорию «все есть математика» ( математизм ), Платону , который перефразировал Пифагора и изучал онтологический статус математических объектов, и Аристотелю , который изучал логику и вопросы, связанные с бесконечностью . (фактическое или потенциальное).
Греческая философия математики находилась под сильным влиянием изучения геометрии . Например, одно время греки придерживались мнения, что 1 (единица) — это не число , а единица произвольной длины. Число определялось как множество. Следовательно, 3, например, представляло определенное множество единиц и, таким образом, было «истинным» числом. В другом месте был высказан аналогичный аргумент, что 2 — это не число, а фундаментальное понятие пары. Эти взгляды исходят из строго геометрической точки зрения греков, основанной на циркуле и линейке: точно так же, как линии, нарисованные в геометрической задаче, измеряются пропорционально первой произвольно нарисованной линии, так и числа на числовой прямой измеряются пропорционально к произвольному первому «числу» или «одному». [ нужна цитата ]
Эти ранние греческие представления о числах были позднее опровергнуты открытием иррациональности извлечения квадратного корня из двух. Гиппас , ученик Пифагора , показал, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его ребром (единичной длины): другими словами, он доказал, что не существует существующего (рационального) числа, которое точно изображало бы пропорцию диагонали единичной единицы. квадрат к его краю. Это вызвало значительную переоценку греческой философии математики. Согласно легенде, собратья-пифагорейцы были настолько травмированы этим открытием, что убили Гиппаса, чтобы помешать ему распространять свои еретические идеи. [ нужна цитация ] Саймон Стевин был одним из первых в Европе, кто бросил вызов греческим идеям в 16 веке. Начиная с Лейбница , акцент сильно сместился на взаимосвязь между математикой и логикой. Эта точка зрения доминировала в философии математики во времена Фреге и Рассела , но была поставлена под сомнение событиями конца 19 и начала 20 веков.
Вечная проблема философии математики касается взаимоотношений между логикой и математикой в их общих основаниях. В то время как философы 20-го века продолжали задавать вопросы, упомянутые в начале этой статьи, философия математики 20-го века характеризовалась преобладающим интересом к формальной логике , теории множеств (как наивной теории множеств , так и аксиоматической теории множеств ) и фундаментальные вопросы.
Это глубокая загадка: с одной стороны, математические истины кажутся убедительными и неотвратимыми, но, с другой стороны, источник их «истинности» остается неуловимым. Исследования по этому вопросу известны как основы программы математики .
В начале 20-го века философы математики уже начали делиться на различные школы мысли по всем этим вопросам, широко отличающиеся своими представлениями о математической эпистемологии и онтологии . В это время возникли три школы: формализм , интуиционизм и логицизм , отчасти в ответ на все более широкое распространение опасений, что математика в ее нынешнем виде и анализ в частности не соответствуют стандартам достоверности и строгости , которые были приняты за предоставленный. Каждая школа обращалась к проблемам, которые вышли на первый план в то время, либо пытаясь решить их, либо заявляя, что математика не имеет права на статус нашего знания, которому мы больше всего доверяем.
Неожиданные и противоречивые разработки в формальной логике и теории множеств в начале 20-го века привели к появлению новых вопросов, касающихся того, что традиционно называлось основами математики . По мере развития столетия первоначальный фокус внимания расширился до открытого исследования фундаментальных аксиом математики, причем аксиоматический подход считался само собой разумеющимся со времен Евклида около 300 г. до н.э. как естественная основа математики. Понятия аксиомы , предложения и доказательства , а также понятие истинности предложения в отношении математического объекта (см. Задание ) были формализованы, что позволило трактовать их математически. Были сформулированы аксиомы Цермело -Френкеля для теории множеств, которые обеспечили концептуальную основу, в которой можно было интерпретировать большую часть математического дискурса. В математике, как и в физике, возникали новые и неожиданные идеи и наступали значительные изменения. С помощью нумерации Гёделя предложения можно интерпретировать как относящиеся к самим себе или другим предложениям, что позволяет исследовать непротиворечивость математических теорий. Эта рефлексивная критика, в которой рассматриваемая теория «сама становится объектом математического исследования», побудила Гильберта назвать такое исследование метаматематикой или теорией доказательства . [3]
В середине века Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Мак Лейн создали новую математическую теорию , известную как теория категорий , и она стала новым претендентом на естественный язык математического мышления. [4] Однако в течение 20-го века философские мнения разошлись относительно того, насколько обоснованными были вопросы о фондах, которые были подняты в начале века. Хилари Патнэм подвела итог распространенному взгляду на ситуацию последней трети века, сказав:
Когда философия обнаруживает, что в науке что-то не так, иногда науку приходится менять ( на ум приходит парадокс Рассела , а также нападки Беркли на фактическую бесконечно малую величину ), но чаще всего приходится менять философию. Я не думаю, что трудности, с которыми сегодня сталкивается философия в классической математике, являются подлинными трудностями; и я думаю, что философские интерпретации математики, которые нам предлагают повсюду, неверны, и что «философская интерпретация» — это как раз то, в чем математике не нужно. [5] : 169–170
Философия математики сегодня развивается по нескольким различным направлениям исследований философов математики, логиков и математиков, и существует множество школ мысли по этому вопросу. В следующем разделе школы рассматриваются отдельно, и их предположения объясняются.
Математический реализм , как и реализм в целом, утверждает, что математические объекты существуют независимо от человеческого разума . Таким образом, люди не изобретают математику, а скорее открывают ее, и любые другие разумные существа во Вселенной, по-видимому, сделали бы то же самое. С этой точки зрения действительно существует один вид математики, который можно открыть; треугольники , например, являются реальными объектами, а не творениями человеческого разума.
Многие работающие математики были математическими реалистами; они считают себя первооткрывателями природных объектов. Примеры включают Пола Эрдеша и Курта Гёделя . Гёдель верил в объективную математическую реальность, которую можно воспринимать аналогично чувственному восприятию. Определенные принципы (например, для любых двух объектов существует совокупность объектов, состоящая именно из этих двух объектов) можно непосредственно увидеть как истинные, но гипотеза континуальной гипотезы может оказаться неразрешимой только на основе таких принципов. Гёдель предположил, что квазиэмпирическую методологию можно использовать для получения достаточных доказательств, позволяющих разумно предположить такую гипотезу.
В рамках реализма существуют различия в зависимости от того, какой вид существования предполагается иметь математическим объектам и откуда мы о них знаем. Основные формы математического реализма включают платонизм и аристотелизм .
Математический антиреализм обычно утверждает, что математические утверждения имеют истинностные значения, но не соответствуют особой сфере нематериальных или неэмпирических сущностей. Основные формы математического антиреализма включают формализм и фикционализм.
Взгляд, который утверждает, что математика — это эстетическая комбинация предположений, а затем утверждает, что математика — это искусство . Известным математиком , утверждающим это, является британец Г.Х. Харди . [6] Для Харди в его книге «Апология математика » определение математики было больше похоже на эстетическую комбинацию понятий. [7]
Математический платонизм — это форма реализма, которая предполагает, что математические объекты абстрактны, не имеют пространственно-временных или причинных свойств, а также вечны и неизменны. Часто утверждают, что именно такого взгляда на числа придерживается большинство людей. Термин «платонизм» используется потому, что такая точка зрения рассматривается как параллель с « Теорией форм Платона » и «Миром идей» (греч.: эйдос (εἶδος)), описанным в аллегории Платона о пещере : повседневный мир может лишь несовершенно приближаться к неизменная, высшая реальность. И пещера Платона, и платонизм имеют значимые, а не только поверхностные связи, потому что идеям Платона предшествовали и, вероятно, находились под влиянием чрезвычайно популярных пифагорейцев Древней Греции, которые считали, что мир в буквальном смысле порожден числами .
Главный вопрос, рассматриваемый в математическом платонизме: где именно и как существуют математические сущности и откуда мы о них знаем? Существует ли мир, совершенно отдельный от нашего физического, населенный математическими объектами? Как мы можем получить доступ к этому отдельному миру и узнать правду о сущностях? Одним из предлагаемых ответов является «Предельный ансамбль» — теория, постулирующая, что все структуры, существующие математически, также существуют физически в своей собственной вселенной.
Платонизм Курта Гёделя [8] постулирует особый вид математической интуиции, которая позволяет нам непосредственно воспринимать математические объекты. (Эта точка зрения имеет сходство со многими высказываниями Гуссерля о математике и поддерживает идею Канта о том, что математика является синтетической априори . ) Дэвис и Херш в своей книге «Математический опыт» 1999 года предположили, что большинство математиков действуют так, как если бы они были платониками, даже однако, если их заставить тщательно защищать свою позицию, они могут отступить к формализму.
Чистокровный платонизм — это современная вариация платонизма, которая является реакцией на тот факт, что в зависимости от используемых аксиом и правил вывода (например, закона исключенного третьего и закона исключенного третьего ) может быть доказано существование различных наборов математических сущностей. аксиома выбора ). Он утверждает, что все математические объекты существуют. Они могут быть доказуемыми, даже если все они не могут быть выведены из единого непротиворечивого набора аксиом. [9]
Теоретико-множественный реализм (также теоретико-множественный платонизм ) [10] — позиция, защищаемая Пенелопой Мэдди , — это точка зрения, согласно которой теория множеств представляет собой единую вселенную множеств. [11] Эта позиция (которая также известна как натурализованный платонизм , поскольку она представляет собой натурализованную версию математического платонизма) подверглась критике со стороны Марка Балагера на основе эпистемологической проблемы Пола Бенасеррафа . [12] Похожая точка зрения, названная платонизированным натурализмом , позже была защищена школой Стэнфорда-Эдмонтона : согласно этой точке зрения, более традиционный вид платонизма совместим с натурализмом ; более традиционный вид платонизма, который они защищают, отличается общими принципами, утверждающими существование абстрактных объектов . [13]
Гипотеза математической вселенной Макса Тегмарка (или математикизм ) идет дальше платонизма, утверждая, что не только существуют все математические объекты, но и ничто другое. Единственный постулат Тегмарка таков: все структуры, существующие математически, существуют и физически . То есть в том смысле, что «в этих [мирах], достаточно сложных, чтобы содержать самосознательные подструктуры, [они] будут субъективно воспринимать себя существующими в физически «реальном» мире». [14] [15]
Логицизм — это тезис о том, что математика сводится к логике и, следовательно, является не чем иным, как частью логики. [16] : 41 Логики считают, что математика может быть познана априорно , но предполагают, что наше знание математики является лишь частью нашего знания логики в целом и, таким образом, является аналитическим , не требующим какой-либо специальной способности математической интуиции. С этой точки зрения логика является надлежащей основой математики, а все математические утверждения являются необходимыми логическими истинами .
Рудольф Карнап (1931) представляет логистический тезис в двух частях: [16]
Готтлоб Фреге – основоположник логицизма. В своей основополагающей книге Die Grundgesetze der Arithmetik (« Основные законы арифметики ») он построил арифметику на основе логической системы с общим принципом понимания, который он назвал «Основным законом V» (для понятий F и G расширение F равно расширение G тогда и только тогда, когда для всех объектов a Fa равно Ga ) , принцип, который он считал приемлемым как часть логики.
Конструкция Фреге была ошибочной. Бертран Рассел обнаружил, что Основной закон V противоречив (это парадокс Рассела ). Вскоре после этого Фреге отказался от своей логической программы, но ее продолжили Рассел и Уайтхед . Они объяснили этот парадокс «порочной цикличностью» и создали то, что они назвали разветвленной теорией типов , чтобы справиться с ним. В этой системе в конечном итоге удалось построить большую часть современной математики, но в измененном и чрезмерно сложном виде (например, в каждом типе были разные натуральные числа, а типов было бесконечно много). Им также пришлось пойти на несколько компромиссов, чтобы разработать большую часть математики, например, « аксиому сводимости ». Даже Рассел сказал, что эта аксиома на самом деле не принадлежит логике.
Современные логики (такие как Боб Хейл , Криспин Райт и, возможно, другие) вернулись к программе, более близкой к программе Фреге. Они отказались от Основного закона V в пользу принципов абстракции, таких как принцип Юма (количество объектов, подпадающих под понятие F , равно количеству объектов, подпадающих под понятие G , тогда и только тогда, когда расширение F и расширение G могут быть переписка один на один ). Фреге требовал, чтобы Основной закон V мог дать явное определение чисел, но все свойства чисел могут быть выведены из принципа Юма. Фреге этого было бы недостаточно, потому что (перефразируя его) это не исключает возможности того, что число 3 на самом деле является Юлием Цезарем. Кроме того, многие из ослабленных принципов, которые им пришлось принять взамен Основного закона V, больше не кажутся столь явно аналитическими и, следовательно, чисто логическими.
Формализм утверждает, что математические утверждения можно рассматривать как утверждения о последствиях определенных правил манипулирования строками. Например, в «игре» евклидовой геометрии (которая рассматривается как состоящая из некоторых строк, называемых «аксиомами», и некоторых «правил вывода» для генерации новых строк из заданных) можно доказать, что справедлива теорема Пифагора ( то есть можно сгенерировать строку, соответствующую теореме Пифагора). Согласно формализму, математические истины не связаны с числами, множествами, треугольниками и тому подобным — на самом деле они вообще ни о чем «ни о чем».
Другая версия формализма часто известна как дедуктивизм . В дедуктивизме теорема Пифагора является не абсолютной, а относительной истиной: если придать значение строкам таким образом, что правила игры станут истинными (т. е. аксиомам и правилам игры будут присвоены истинные утверждения). выводы сохраняют истину), то нужно принять теорему или, скорее, даваемая ей интерпретация должна быть истинным утверждением. То же самое справедливо и для всех других математических утверждений. Таким образом, формализм не обязательно означает, что математика — не что иное, как бессмысленная символическая игра. Обычно надеются, что существует некая интерпретация правил игры. (Сравните эту позицию со структурализмом .) Но она позволяет работающему математику продолжать свою работу и оставлять такие проблемы философу или ученому. Многие формалисты сказали бы, что на практике изучаемые системы аксиом будут предложены требованиями науки или других областей математики.
Основным ранним сторонником формализма был Дэвид Гильберт , чья программа была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. [17] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой. Цели Гильберта по созданию математической системы, которая была бы одновременно полной и непротиворечивой, были серьезно подорваны второй теоремой Гёделя о неполноте , которая утверждает, что достаточно выразительные непротиворечивые системы аксиом никогда не могут доказать свою собственную непротиворечивость. Поскольку любая такая система аксиом будет содержать финитарную арифметику в качестве подсистемы, теорема Гёделя подразумевала, что будет невозможно доказать непротиворечивость системы относительно нее (поскольку тогда она докажет свою собственную непротиворечивость, что, как показал Гёдель, невозможно). Таким образом, чтобы показать, что любая аксиоматическая система математики на самом деле непротиворечива, нужно сначала предположить непротиворечивость математической системы, которая в некотором смысле сильнее, чем система, непротиворечивость которой должна быть доказана.
Гильберт изначально был дедуктивистом, но, как ясно из вышесказанного, он считал, что определенные метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики, независимо от ее интерпретации, не существует.
Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , Альфред Тарский и Хаскелл Карри , считали математику исследованием формальных систем аксиом . Математические логики изучают формальные системы, но зачастую они являются реалистами и формалистами.
Формалисты относительно толерантны и приветствуют новые подходы к логике, нестандартные системы счисления, новые теории множеств и т. д. Чем больше игр мы изучаем, тем лучше. Однако во всех трех примерах мотивация основана на существующих математических или философских проблемах. «Игры» обычно не произвольны.
Основная критика формализма заключается в том, что реальные математические идеи, которыми занимаются математики, далеки от упомянутых выше игр по манипулированию строками. Таким образом, формализм ничего не говорит о том, какие системы аксиом следует изучать, поскольку с формалистической точки зрения ни одна из них не является более значимой, чем другая.
Недавно некоторые [ кто? ] математики-формалисты предложили, чтобы все наши формальные математические знания систематически кодировались в компьютерочитаемых форматах, чтобы облегчить автоматическую проверку математических доказательств и использование интерактивного доказательства теорем при разработке математических теорий и компьютерного программного обеспечения. Из-за их тесной связи с информатикой , эту идею также защищают математические интуиционисты и конструктивисты в традиции «вычислимости» — общий обзор см. в проекте QED .
Французский математик Анри Пуанкаре был одним из первых, кто сформулировал конвенционалистскую точку зрения. Использование Пуанкаре неевклидовой геометрии в своей работе над дифференциальными уравнениями убедило его в том, что евклидову геометрию не следует рассматривать как априорную истину. Он считал, что аксиомы в геометрии следует выбирать исходя из результатов, которые они дают, а не из-за их очевидной согласованности с человеческими интуициями о физическом мире.
В математике интуиционизм — это программа методологической реформы, девиз которой — «не существует неопытных математических истин» ( Л. Дж. Брауэр ). С этого трамплина интуиционисты стремятся реконструировать то, что они считают исправимой частью математики, в соответствии с кантовскими концепциями бытия, становления, интуиции и познания. Брауэр, основатель этого движения, считал, что математические объекты возникают из априорных форм воли, которые определяют восприятие эмпирических объектов. [18]
Главной силой, стоящей за интуиционизмом, был Л. Дж. Брауэр , который отвергал полезность любой формализованной логики для математики. Его ученик Аренд Хейтинг постулировал интуиционистскую логику , отличную от классической аристотелевской логики ; эта логика не содержит закона исключенного третьего и поэтому не одобряет доказательства от противного . Аксиома выбора также отвергается в большинстве интуиционистских теорий множеств, хотя в некоторых версиях она принимается.
В интуиционизме термин «явное построение» не имеет четкого определения, что вызвало критику. Были предприняты попытки использовать концепции машины Тьюринга или вычислимой функции , чтобы заполнить этот пробел, что привело к утверждению, что только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмов , имеют смысл и должны исследоваться в математике. Это привело к изучению вычислимых чисел , впервые введенных Аланом Тьюрингом . Неудивительно, что такой подход к математике иногда ассоциируется с теоретической информатикой .
Как и интуиционизм, конструктивизм включает в себя регулятивный принцип, согласно которому в математический дискурс следует допускать только математические сущности, которые могут быть явно сконструированы в определенном смысле. С этой точки зрения математика — это упражнение человеческой интуиции, а не игра с бессмысленными символами. Вместо этого речь идет о сущностях, которые мы можем создать непосредственно посредством умственной деятельности. Кроме того, некоторые приверженцы этих школ отвергают неконструктивные доказательства, такие как использование доказательства от противного при доказательстве существования объекта или при попытке установить истинность какого-либо утверждения. Важная работа была проделана Эрреттом Бишопом , которому удалось доказать версии наиболее важных теорем реального анализа как конструктивного анализа в его «Основах конструктивного анализа» 1967 года. [19]
.jpg/1280px-Leopold_Kronecker_(ca._1880).jpg)
Финитизм — крайняя форма конструктивизма , согласно которой математический объект не существует, если его нельзя сконструировать из натуральных чисел за конечное число шагов. В своей книге «Философия теории множеств» Мэри Тайлс охарактеризовала тех, кто допускает счетно-бесконечные объекты, как классических финитистов, а тех, кто отрицает даже счетно-бесконечные объекты , как строгих финитистов.
Самым известным сторонником финитизма был Леопольд Кронекер , [20] который сказал:
Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека.
Ультрафинитизм — это еще более крайняя версия финитизма, которая отвергает не только бесконечности, но и конечные величины, которые невозможно построить с использованием имеющихся ресурсов. Другой вариант финитизма — евклидова арифметика, система, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств» . [21] Система Мэйберри в целом вдохновлена Аристотелем и, несмотря на его решительное отрицание какой-либо роли операционализма или реализуемости в основах математики, приходит к несколько схожим выводам, таким как, например, что супервозведение в степень не является законным финитным функция.
Структурализм — это позиция, согласно которой математические теории описывают структуры и что математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах и, следовательно, не имеют внутренних свойств . Например, он будет утверждать, что все, что нужно знать о числе 1, — это то, что это первое целое число после 0. Аналогично все остальные целые числа определяются их местами в структуре — числовой строке . Другие примеры математических объектов могут включать линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .
Структурализм — это эпистемологически реалистичный взгляд, согласно которому математические утверждения имеют объективную истинностную ценность. Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой сущностью является математический объект, а не к тому, какой тип существования имеют математические объекты или структуры (другими словами, к их онтологии ). Вид существования математических объектов явно будет зависеть от структуры, в которую они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают в этом отношении разные онтологические претензии. [22]
Структурализм ante rem («до вещи») имеет онтологию, аналогичную платонизму . Считается, что структуры существуют реально, но абстрактно и нематериально. По существу, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови (см. проблему идентификации Бенасеррафа ).
Ин -реструктурализм («в вещи») является эквивалентом аристотелевского реализма. Структуры считаются существующими постольку, поскольку их примером является некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может оказаться недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в других отношениях законные структуры.
Структурализм post rem («после вещи») антиреалистичен в отношении структур, что соответствует номинализму . Как и номинализм, подход post rem отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно в отношении структуры, то это будет верно и для всех систем, воплощающих эту структуру. Однако говорить о том, что структуры «общие» между системами, просто полезно: на самом деле они не имеют независимого существования.
Теории воплощенного разума утверждают, что математическое мышление является естественным продуктом человеческого когнитивного аппарата, который находится в нашей физической вселенной. Например, абстрактная концепция числа возникает из опыта подсчета дискретных объектов (для обнаружения объектов требуются такие человеческие чувства, как зрение, осязание и передача сигналов от мозга). Считается, что математика не универсальна и не существует ни в каком реальном смысле, кроме человеческого мозга. Люди конструируют, но не открывают математику.
Когнитивные процессы поиска закономерностей и различения объектов также являются предметом нейробиологии ; если математика считается значимой для мира природы (например, с точки зрения реализма или его степени, в отличие от чистого солипсизма ).
Его фактическое соответствие реальности, хотя и считается заслуживающим доверия приближением (также предполагается, что эволюция восприятий , тела и чувств могла быть необходима для выживания), не обязательно соответствует полному реализму (и все еще подлежит такие недостатки, как иллюзия , предположения (следовательно; основы и аксиомы, в которых математика была сформирована людьми), обобщения, обман и галлюцинации . По сути, это также может вызвать вопросы к современному научному методу на предмет его совместимости с общей математикой; будучи относительно надежным, оно все же ограничено тем, что можно измерить эмпиризмом , что может быть не таким надежным, как предполагалось ранее (см. Также: «противоречащие здравому смыслу» концепции, такие как квантовая нелокальность и действие на расстоянии ).
Другая проблема заключается в том, что одна система счисления не обязательно может быть применима для решения задач. Такие предметы, как комплексные числа или мнимые числа, требуют особых изменений в более часто используемых аксиомах математики; в противном случае они не могут быть адекватно поняты.
В качестве альтернативы компьютерные программисты могут использовать шестнадцатеричное представление двоичных значений , а не десятичное (удобно для счета, поскольку у людей десять пальцев). Аксиомы или логические правила, лежащие в основе математики, также меняются со временем (например, адаптация и изобретение нуля ).
Поскольку восприятия человеческого мозга подвержены иллюзиям , предположениям, обману, (индуцированным) галлюцинациям , когнитивным ошибкам или предположениям в общем контексте, можно подвергнуть сомнению, являются ли они точными или строго указывают на истину (см. также: философия бытия ). и о природе самого эмпиризма по отношению к вселенной и о том, независим ли он от чувств и вселенной.
Человеческий разум не имеет особых претензий на реальность или подходы к ней, основанные на математике. Если такие конструкции, как тождество Эйлера, верны, то они верны и как карта человеческого разума и познания .
Таким образом, теоретики воплощенного разума объясняют эффективность математики: математика была создана мозгом для того, чтобы быть эффективной в этой вселенной.
Самая доступная, известная и печально известная трактовка этой точки зрения — книга Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса «Откуда берется математика» . Кроме того, математик Кейт Девлин исследовал подобные концепции в своей книге « Математический инстинкт» , а также нейробиолог Станислас Деэн в своей книге «Чувство чисел» . Дополнительную информацию о философских идеях, вдохновивших эту точку зрения, см. в разделе «Когнитивная наука математики» .
Аристотелевский реализм утверждает, что математика изучает такие свойства, как симметрия, непрерывность и порядок, которые могут быть буквально реализованы в физическом мире (или в любом другом мире, который может существовать). Он контрастирует с платонизмом, утверждая, что объекты математики, такие как числа, не существуют в «абстрактном» мире, но могут быть физически реализованы. Например, число 4 реализуется в отношении между кучей попугаев и универсальным «быть попугаем», разделяющим кучу на такое-то количество попугаев. [23] [24] Аристотелевский реализм защищается Джеймсом Франклином и Сиднейской школой в области философии математики и близок к точке зрения Пенелопы Мэдди о том, что, когда открывается коробка для яиц, воспринимается набор из трех яиц (т.е. математическая сущность, реализованная в физическом мире). [25] Проблема аристотелевского реализма заключается в том, как объяснить высшие бесконечности, которые могут быть нереализуемы в физическом мире.
Евклидова арифметика, развитая Джоном Пенном Мейберри в его книге «Основы математики в теории множеств» [21], также относится к аристотелевской реалистической традиции. Мэйберри, вслед за Евклидом, считает числа просто «определенными множествами единиц», реализованными в природе, например, «участниками Лондонского симфонического оркестра» или «деревьями в Бирнамском лесу». Существует ли определенное множество единиц, для которых общее понятие 5 Евклида (целое больше, чем часть) терпит неудачу и которые, следовательно, можно было бы считать бесконечными, для Мэйберри по сути является вопросом о Природе и не влечет за собой каких-либо трансцендентальных предположений.
Психологизм в философии математики - это позиция, согласно которой математические концепции и / или истины основаны, выведены из психологических фактов (или законов) или объяснены ими.
Джон Стюарт Милль, кажется, был сторонником определенного типа логического психологизма, как и многие немецкие логики XIX века, такие как Зигварт и Эрдманн , а также ряд психологов прошлого и настоящего: например, Гюстав Ле Бон . Психологизм подвергся знаменитой критике со стороны Фреге в его «Основах арифметики» , а также во многих его работах и эссе, включая его обзор « Философии арифметики» Гуссерля . Эдмунд Гуссерль в первом томе своих «Логических исследований », названном «Пролегомены чистой логики», подверг основательной критике психологизм и стремился дистанцироваться от него. «Пролегомены» считаются более кратким, справедливым и основательным опровержением психологизма, чем критика Фреге, а также сегодня многие считают их памятным опровержением решающего удара по психологизму. Психологизм также подвергался критике со стороны Чарльза Сандерса Пирса и Мориса Мерло-Понти .
Математический эмпиризм — это форма реализма, отрицающая возможность вообще познания математики априорно . Он гласит, что мы открываем математические факты посредством эмпирических исследований , как и факты в любой другой науке. Это не одна из трех классических позиций, отстаиваемых в начале 20 века, а возникшая в основном в середине века. Однако важным ранним сторонником подобной точки зрения был Джон Стюарт Милль . Точка зрения Милля подверглась широкой критике, поскольку, по мнению критиков, таких как А. Дж. Айер [26] , она делает утверждения типа «2 + 2 = 4» неопределенными, случайными истинами, которые мы можем узнать, только наблюдая примеры двух пар. собираются вместе и образуют квартет.
Карл Поппер был еще одним философом, указавшим на эмпирические аспекты математики, отметив, что «большинство математических теорий, подобно теориям физики и биологии, являются гипотетико-дедуктивными: поэтому чистая математика оказывается гораздо ближе к естественным наукам, чьи гипотезы являются предположениями. чем казалось еще недавно». [27] Поппер также отметил, что он «признал бы систему эмпирической или научной только в том случае, если ее можно проверить опытом». [28]
Современный математический эмпиризм, сформулированный У.В.О. Куайном и Хилари Патнэмом , прежде всего поддерживается аргументом незаменимости : математика необходима для всех эмпирических наук, и если мы хотим верить в реальность явлений, описываемых науками, мы должны также верить в реальность тех сущностей, которые необходимы для этого описания. То есть, поскольку физике необходимо поговорить об электронах , чтобы сказать, почему лампочки ведут себя именно так, то электроны должны существовать . Поскольку физике необходимо говорить о числах, предлагая любое из своих объяснений, числа должны существовать. В соответствии с общей философией Куайна и Патнэма это натуралистический аргумент. Он утверждает, что существование математических объектов является лучшим объяснением опыта, тем самым лишая математику отличия от других наук.
Патнэм решительно отверг термин « платоник », как подразумевающий сверхспецифическую онтологию , которая не была необходима для математической практики в каком-либо реальном смысле. Он защищал форму «чистого реализма», которая отвергала мистические представления об истине и допускала большую часть квазиэмпиризма в математике . Это произошло из-за все более популярного в конце 20 века утверждения о том, что существование ни одного основания математики никогда не может быть доказано. Его также иногда называют «постмодернизмом в математике», хотя некоторые считают этот термин перегруженным, а другие — оскорбительным. Квазиэмпиризм утверждает, что в ходе своих исследований математики проверяют гипотезы, а также доказывают теоремы. Математический аргумент может передавать ложность заключения в посылки так же, как он может передавать истину из посылок в заключение. Патнэм утверждал, что любая теория математического реализма будет включать квазиэмпирические методы. Он предположил, что инопланетный вид, занимающийся математикой, вполне может полагаться в первую очередь на квазиэмпирические методы, часто отказываясь от строгих и аксиоматических доказательств, и все же заниматься математикой - возможно, с несколько большим риском неудачи своих расчетов. Он дал подробные аргументы в пользу этого в «Новых направлениях» . [29] Квазиэмпиризм был также развит Имре Лакатосом .
Наиболее важная критика эмпирических взглядов на математику примерно такая же, как и критика Милля. Если математика столь же эмпирична, как и другие науки, то это означает, что ее результаты столь же подвержены ошибкам, как и их собственные, и столь же случайны. В случае Милля эмпирическое обоснование приходит напрямую, тогда как в случае Куайна оно приходит косвенно, через последовательность нашей научной теории в целом, т.е. согласованность после Э.О.Вильсона . Куайн предполагает, что математика кажется абсолютно достоверной, поскольку роль, которую она играет в нашей паутине убеждений, чрезвычайно важна, и что нам было бы чрезвычайно трудно ее пересмотреть, хотя и не невозможно.
О философии математики, которая пытается преодолеть некоторые недостатки подходов Куайна и Гёделя, принимая аспекты каждого из них, см. « Реализм в математике» Пенелопы Мэдди . Другим примером реалистической теории является теория воплощенного разума.
Экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что человеческие младенцы могут выполнять элементарную арифметику, см. у Брайана Баттерворта .
Математический фикционализм прославился в 1980 году, когда Хартри Филд опубликовал «Науку без чисел» [30] , которая отвергла и фактически перевернула аргумент Куайна о необходимости. Там, где Куайн предположил, что математика необходима для наших лучших научных теорий и, следовательно, ее следует принять как совокупность истин, говорящих о независимо существующих сущностях, Филд предположил, что математика необязательна и, следовательно, ее следует рассматривать как совокупность неправд, не говорящих ни о чем. настоящий. Он сделал это, дав полную аксиоматизацию ньютоновской механики вообще без ссылки на числа или функции. Он начал с «между» аксиом Гильберта , чтобы охарактеризовать пространство без его координации, а затем добавил дополнительные отношения между точками, чтобы выполнить работу, ранее выполняемую векторными полями . Геометрия Гильберта является математической, поскольку она говорит об абстрактных точках, но в теории Филда эти точки являются конкретными точками физического пространства, поэтому никаких специальных математических объектов вообще не требуется.
Показав, как заниматься наукой без использования чисел, Филд приступил к реабилитации математики как своего рода полезной фантастики . Он показал, что математическая физика является консервативным расширением его нематематической физики (то есть каждый физический факт, доказуемый в математической физике, уже доказуем на основе системы Филда), так что математика — это надежный процесс, все физические приложения которого верны, даже если его собственные утверждения ложны. Таким образом, занимаясь математикой, мы можем представить себя рассказывающими некую историю, говорящими так, как если бы числа существовали. Для Филда утверждение типа «2 + 2 = 4» является таким же вымышленным, как и « Шерлок Холмс жил на Бейкер-стрит, 221Б», но оба они верны согласно соответствующим вымыслам.
Другой писатель, Мэри Ленг , лаконично выражает эту точку зрения, отвергая любую кажущуюся связь между математикой и физическим миром как «счастливое совпадение». Это неприятие отделяет фикционализм от других форм антиреализма, которые считают математику искусственной, но все же каким-то образом связанной или приспособленной к реальности. [31]
С этой точки зрения не существует никаких метафизических или эпистемологических проблем, специфических для математики. Остались только общие опасения по поводу нематематической физики и художественной литературы в целом. Подход Филда оказал большое влияние, но широко отвергается. Отчасти это связано с необходимостью использования сильных фрагментов логики второго порядка для проведения его редукции, а также с тем, что утверждение консервативности, по-видимому, требует количественной оценки абстрактных моделей или выводов. [ нужна цитата ]
Социальный конструктивизм рассматривает математику прежде всего как социальную конструкцию , как продукт культуры, подлежащий исправлению и изменению. Как и другие науки, математика рассматривается как эмпирическая деятельность, результаты которой постоянно оцениваются и могут быть отброшены. Однако, если с эмпирической точки зрения оценка представляет собой своего рода сравнение с «реальностью», социальные конструктивисты подчеркивают, что направление математического исследования диктуется модой социальной группы, которая его выполняет, или потребностями финансирующего его общества. Однако, хотя такие внешние силы могут изменить направление некоторых математических исследований, существуют сильные внутренние ограничения — математические традиции, методы, проблемы, смыслы и ценности, в которые привиты математики, — которые работают на сохранение исторически определенной дисциплины.
Это противоречит традиционным убеждениям работающих математиков о том, что математика в некотором роде чиста и объективна. Но социальные конструктивисты утверждают, что математика на самом деле основана на значительной неопределенности: по мере развития математической практики статус предыдущей математики подвергается сомнению и корректируется в той степени, в которой этого требует или желает современное математическое сообщество. Это можно увидеть в развитии анализа на основе пересмотра исчисления Лейбница и Ньютона. Далее они утверждают, что законченной математике часто придается слишком высокий статус, а народной математике недостаточно из-за чрезмерного внимания к аксиоматическому доказательству и экспертной оценке как практике.
Социальная природа математики подчеркивается в ее субкультурах . Крупные открытия могут быть сделаны в одной области математики и иметь отношение к другой, однако эта связь остается нераскрытой из-за отсутствия социальных контактов между математиками. Социальные конструктивисты утверждают, что каждая специальность формирует свое собственное эпистемическое сообщество и часто испытывает большие трудности с общением или мотивацией исследования объединяющих гипотез , которые могут относиться к различным областям математики. Социальные конструктивисты рассматривают процесс «занятия математикой» как фактическое создание смысла, в то время как социальные реалисты видят недостаток либо человеческой способности к абстрагированию, либо когнитивных предубеждений человека, либо коллективного разума математиков как препятствующего пониманию реальной вселенной математические объекты. Социальные конструктивисты иногда отвергают поиск оснований математики как обреченный на неудачу, как бессмысленный или даже бессмысленный.
Вклад в эту школу внесли Имре Лакатос и Томас Тимочко , хотя неясно, поддержит ли кто-нибудь это название. [ нужны разъяснения ] Совсем недавно Пол Эрнест четко сформулировал социальную конструктивистскую философию математики. [32] Некоторые считают, что работа Пауля Эрдеша в целом выдвинула эту точку зрения (хотя он лично отверг ее) из-за его уникально широкого сотрудничества, которое побудило других рассматривать и изучать «математику как социальную деятельность», например, через число Эрдеша . Рубен Херш также продвигал социальный взгляд на математику, называя его «гуманистическим» подходом, [33] похожим на подход Элвина Уайта, но не совсем таким же; [34] Один из соавторов Херша, Филип Дж. Дэвис , также выразил симпатию к социальной точке зрения.
Вместо того чтобы сосредоточиться на узких дискуссиях об истинной природе математической истины или даже на уникальных для математиков практиках, таких как доказательство , растущее движение с 1960-х по 1990-е годы начало подвергать сомнению идею поиска оснований или поиска какого-либо единственного правильного ответа на вопрос. почему математика работает. Отправной точкой для этого стала знаменитая статья Юджина Вигнера 1960 года « Необоснованная эффективность математики в естественных науках », в которой он утверждал, что счастливое совпадение математики и физики, которые так хорошо сочетаются, кажется необоснованным и труднообъяснимым.
Реалистические и конструктивистские теории обычно считаются противоположными. Однако Карл Поппер [35] утверждал, что числовое высказывание, такое как «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока», можно понимать в двух смыслах. В каком-то смысле это неопровержимо и логически верно. Во втором смысле оно фактически истинно и фальсифицируемо. Другой способ выразить это — сказать, что одно числовое утверждение может выражать два предложения: одно из которых можно объяснить с точки зрения конструктивизма; другой на реалистическом уровне. [36]
Нововведения в философии языка в XX веке возобновили интерес к вопросу о том, является ли математика , как часто говорят , языком науки . Хотя некоторые [ кто? ] математики и философы приняли бы утверждение «математика — это язык» (большинство считают, что язык математики — это часть математики, к которой математику нельзя свести), [ нужна цитация ] лингвисты [ кто? ] считают, что необходимо учитывать последствия такого заявления. Например, инструменты лингвистики обычно не применяются к символьным системам математики, то есть математика изучается совершенно иначе, чем другие языки. Если математика — это язык, то это язык, отличный от естественных языков . Действительно, из-за необходимости ясности и конкретики язык математики гораздо более ограничен, чем естественные языки, изучаемые лингвистами. Однако методы, разработанные Фреге и Тарским для изучения математического языка, были значительно расширены учеником Тарского Ричардом Монтегю и другими лингвистами, работающими в области формальной семантики , чтобы показать, что различие между математическим языком и естественным языком может быть не таким большим, как кажется. .
Мохан Ганесалингам проанализировал математический язык, используя инструменты формальной лингвистики. [37] Ганесалингам отмечает, что некоторые особенности естественного языка не являются необходимыми при анализе математического языка (например, время ), но можно использовать многие из тех же аналитических инструментов (например , контекстно-свободные грамматики ). Одним из важных отличий является то, что математические объекты имеют четко определенные типы , которые могут быть явно определены в тексте: «Фактически нам разрешено вводить слово в одну часть предложения и объявлять его часть речи в другой; и эта операция не имеет аналога в естественном языке». [37] : 251
Этот аргумент, связанный с Уиллардом Куайном и Хилари Патнэмом , Стивен Ябло считает одним из самых сложных аргументов в пользу признания существования абстрактных математических объектов, таких как числа и множества. [38] Форма аргументации следующая.
Обоснование первой посылки является наиболее спорным. И Патнэм, и Куайн ссылаются на натурализм , чтобы оправдать исключение всех ненаучных объектов и, следовательно, защитить «единственную» часть «всего и только». Утверждение о том, что «все» сущности, постулируемые в научных теориях, включая числа, следует принимать как реальные, оправдано холизмом подтверждения . Поскольку теории подтверждаются не по частям, а в целом, нет оправдания исключению какой-либо из сущностей, упомянутых в хорошо подтвержденных теориях. Это ставит в затруднительное положение номиналиста , желающего исключить существование множеств и неевклидовой геометрии , но включить существование кварков и других необнаружимых физических объектов. [39]
Антиреалистический « эпистемический аргумент» против платонизма был выдвинут Полом Бенацеррафом и Хартри Филдом . Платонизм утверждает, что математические объекты являются абстрактными сущностями. По общему мнению, абстрактные сущности не могут причинно взаимодействовать с конкретными физическими сущностями («истинные значения наших математических утверждений зависят от фактов, включающих платоновские сущности, находящиеся в сфере вне пространства-времени» [40] ). Хотя наше знание конкретных физических объектов основано на нашей способности воспринимать их и, следовательно, причинно взаимодействовать с ними, не существует параллельного описания того, как математики приходят к познанию абстрактных объектов. [41] [42] [43] Другой способ подчеркнуть это состоит в том, что если бы платоновский мир исчез, это не имело бы никакого значения для способности математиков генерировать доказательства и т. д., что уже полностью подотчетно с точки зрения физические процессы в их мозгу.
Филд развил свои взгляды в фикционализм. Бенасерраф также разработал философию математического структурализма , согласно которой не существует математических объектов. Тем не менее, некоторые версии структурализма совместимы с некоторыми версиями реализма.
Этот аргумент основан на идее о том, что удовлетворительное натуралистическое объяснение мыслительных процессов с точки зрения мозговых процессов может быть дано как для математических рассуждений, так и для всего остального. Одна из линий защиты — утверждать, что это неверно, так что математические рассуждения используют некую особую интуицию , которая предполагает контакт с платоновской сферой. Современную форму этого аргумента предлагает сэр Роджер Пенроуз . [44]
Другая линия защиты — утверждать, что абстрактные объекты имеют отношение к математическим рассуждениям некаузально и не аналогично восприятию. Этот аргумент развит Джерролдом Кацем в его книге 2000 года «Реалистический рационализм» .
Более радикальная защита – это отрицание физической реальности, то есть гипотезы математической вселенной . В этом случае математические знания математика — это контакт одного математического объекта с другим.
Многих практикующих математиков этот предмет привлекал из-за чувства красоты , которое они в нем чувствовали. Иногда можно услышать мнение, что математики хотели бы оставить философию философам и вернуться к математике – в чем, по-видимому, и заключается красота.
В своей работе о божественной пропорции Х. Х. Хантли соотносит чувство чтения и понимания чужого доказательства математической теоремы с чувством зрителя, наблюдающего за шедевром искусства: читатель доказательства испытывает такое же чувство восторга от понимания, как и чувство восторга от понимания. он утверждает, что первоначальный автор доказательства точно так же, как, утверждает он, зритель шедевра испытывает чувство воодушевления, подобное оригинальному художнику или скульптору. Действительно, математические и научные труды можно изучать как литературу .
Филип Дж. Дэвис и Рубен Херш отметили, что чувство математической красоты универсально среди практикующих математиков. В качестве примера они приводят два доказательства иррациональности √ 2 . Первое — традиционное доказательство от противного , приписываемое Евклиду ; второе — более прямое доказательство, включающее фундаментальную теорему арифметики , которая, по их мнению, затрагивает суть проблемы. Дэвис и Херш утверждают, что математики находят второе доказательство более привлекательным с эстетической точки зрения, поскольку оно приближает природу проблемы.
Пауль Эрдеш был хорошо известен своей идеей гипотетической «Книги», содержащей самые элегантные и красивые математические доказательства. Не существует единого мнения о том, что результат имеет одно «самое элегантное» доказательство; Григорий Чайтин выступил против этой идеи.
Философы иногда критиковали чувство красоты и элегантности математиков как в лучшем случае сформулированное расплывчато. Однако по той же причине философы математики пытались охарактеризовать, что делает одно доказательство более желательным, чем другое, когда оба логически обоснованы.
Другой аспект эстетики математики — это взгляды математиков на возможное использование математики в целях, которые считаются неэтичными или неуместными. Самое известное изложение этой точки зрения содержится в книге Г.Х. Харди «Апология математика» , в которой Харди утверждает, что чистая математика превосходит по красоте прикладную математику именно потому, что ее нельзя использовать для войны и подобных целей.
