Квадратное уравнение

Полиномиальное уравнение второй степени

В математике квадратное уравнение ( от латинского quadratus  ' квадрат ') — это уравнение , которое можно переписать в стандартной форме как ^[1] ​​где x представляет собой неизвестное значение, а a , b и c представляют собой известные числа, где a ≠ 0. (Если a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение является линейным , а не квадратным.) Числа a , b и c являются коэффициентами уравнения и могут быть различены, называя их соответственно квадратичным коэффициентом , линейным коэффициентом и постоянным коэффициентом или свободным членом . ^[2] $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,,}$$

Значения x , которые удовлетворяют уравнению , называются решениями уравнения, а корни или нули выражения в его левой части. Квадратное уравнение имеет не более двух решений. Если существует только одно решение, говорят, что это двойной корень . Если все коэффициенты являются действительными числами , существует либо два действительных решения, либо один действительный двойной корень, либо два комплексных решения, которые являются комплексно сопряженными друг другу. Квадратное уравнение всегда имеет два корня, если включены комплексные корни и двойной корень считается за два. Квадратное уравнение можно разложить на эквивалентное уравнение ^[3] , где r и s являются решениями для x . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0}$$

Квадратичная формула выражает решения через a , b и c . Завершение квадрата — один из нескольких способов вывода формулы. $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

Решения задач, которые можно выразить с помощью квадратных уравнений, были известны еще в 2000 году до нашей эры. ^{[4] [5]}

Поскольку квадратное уравнение содержит только одно неизвестное, оно называется « одномерным ». Квадратное уравнение содержит только степени x , которые являются неотрицательными целыми числами, и поэтому оно является полиномиальным уравнением . В частности, это полиномиальное уравнение второй степени , поскольку наибольшая степень равна двум.

Решение квадратного уравнения

Рисунок 1. Графики квадратичной функции y = ax ² + bx + c , при этом каждый коэффициент варьируется отдельно, а остальные коэффициенты фиксированы (при значениях a  = 1, b  = 0, c  = 0)

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет два решения, называемые корнями . Эти два решения могут быть различными, а могут и не быть, и они могут быть действительными, а могут и не быть.

Факторинг путем проверки

Может оказаться возможным выразить квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 как произведение ( px + q )( rx + s ) = 0 . В некоторых случаях можно простым осмотром определить значения p , q , r и s , которые делают две формы эквивалентными друг другу. Если квадратное уравнение записано во второй форме, то «свойство нулевого множителя» гласит, что квадратное уравнение выполняется, если px + q = 0 или rx + s = 0 . Решение этих двух линейных уравнений дает корни квадратного.

Для большинства студентов факторизация путем проверки является первым методом решения квадратных уравнений, с которым они сталкиваются. ^{[6] : 202–207} Если дано квадратное уравнение в виде x ² + bx + c = 0 , искомая факторизация имеет вид ( x + q )( x + s ) , и нужно найти два числа q и s , которые в сумме дают b и произведение которых равно c (это иногда называют «правилом Виета» ^[7] и связано с формулами Виета ). Например, x ² + 5 x + 6 разлагается как ( x + 3)( x + 2) . Более общий случай, когда a не равно 1, может потребовать значительных усилий в пробах и ошибках, догадках и проверках, предполагая, что его вообще можно разложить путем проверки.

За исключением особых случаев, таких как b = 0 или c = 0 , факторизация путем проверки работает только для квадратных уравнений, имеющих рациональные корни. Это означает, что подавляющее большинство квадратных уравнений, которые возникают в практических приложениях, не могут быть решены факторизацией путем проверки. ^{[6] : 207}

Завершение квадрата

Рисунок 2. Для квадратичной функции y = x ² − x − 2 точки пересечения графика с осью x , x = −1 и x = 2 , являются решениями квадратного уравнения x ² − x − 2 = 0 .

Процесс завершения квадрата использует алгебраическое тождество , которое представляет собой четко определенный алгоритм , который можно использовать для решения любого квадратного уравнения. ^{[6] : 207} Начиная с квадратного уравнения в стандартной форме, ax ² + bx + c = 0 $${\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$$

1. Разделите каждую сторону на a — коэффициент при квадрате.
2. Вычтите постоянный член c / a из обеих сторон.
3. Добавьте квадрат половины b / a , коэффициент x , к обеим сторонам. Это «завершит квадрат», превратив левую сторону в полный квадрат.
4. Запишите левую часть в виде квадрата и упростите правую часть, если необходимо.
5. Составьте два линейных уравнения, приравняв квадратный корень левой части к положительным и отрицательным квадратным корням правой части.
6. Решите каждое из двух линейных уравнений.

Проиллюстрируем использование этого алгоритма на примере решения 2 x ² + 4 x − 4 = 0. $${\displaystyle 2x^{2}+4x-4=0}$$ $${\displaystyle \ x^{2}+2x-2=0}$$ $${\displaystyle \ x^{2}+2x=2}$$ $${\displaystyle \ x^{2}+2x+1=2+1}$$ $${\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=3}$$ $${\displaystyle \ x+1=\pm {\sqrt {3}}}$$ $${\displaystyle \ x=-1\pm {\sqrt {3}}}$$

Знак плюс-минус «±» указывает на то, что x = −1 + √ 3 и x = −1 − √ 3 являются решениями квадратного уравнения. ^[8]

Квадратичная формула и ее вывод

Завершение квадрата может быть использовано для вывода общей формулы для решения квадратных уравнений, называемой квадратной формулой. ^[9] Математическое доказательство будет теперь кратко изложено. ^[10] Легко видеть, с помощью полиномиального разложения , что следующее уравнение эквивалентно квадратному уравнению: Взяв квадратный корень из обеих сторон и изолировав x , получаем: $${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Некоторые источники, особенно старые, используют альтернативные параметризации квадратного уравнения, такие как ax ² + 2 bx + c = 0 или ax ² − 2 bx + c = 0  , ^[11] где b имеет величину, равную половине более распространенной, возможно, с противоположным знаком. Это приводит к немного иным формам решения, но в остальном они эквивалентны.

В литературе можно найти ряд альтернативных выводов . Эти доказательства проще, чем стандартный метод завершения квадрата, представляют собой интересные приложения других часто используемых методов в алгебре или предлагают понимание других областей математики.

Менее известная квадратная формула, используемая в методе Мюллера , дает те же корни через уравнение Это можно вывести из стандартной квадратной формулы с помощью формул Виета , которые утверждают, что произведение корней равно c / a . Это также следует из деления квадратного уравнения, давая решение этого для и затем инвертируя. $${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,}$ ${\displaystyle x^{-1},}$

Одним из свойств этой формы является то, что она дает один правильный корень, когда a = 0 , в то время как другой корень содержит деление на ноль, потому что когда a = 0 , квадратное уравнение становится линейным уравнением, которое имеет один корень. Напротив, в этом случае более общая формула имеет деление на ноль для одного корня и неопределенную форму 0/0 для другого корня. С другой стороны, когда c = 0 , более общая формула дает два правильных корня, тогда как эта форма дает нулевой корень и неопределенную форму 0/0 .

Когда ни a, ни c не равны нулю, равенство между стандартной квадратичной формулой и методом Мюллера можно проверить перекрестным умножением , и аналогично для другого выбора знаков. $${\displaystyle {\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,}$$

Приведенное квадратное уравнение

Иногда удобно сократить квадратное уравнение так, чтобы его старший коэффициент был равен единице. Это делается путем деления обеих сторон на a , что всегда возможно, поскольку a не равно нулю. Это дает сокращенное квадратное уравнение : ^[12]

$${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$$

где p = b / a и q = c / a . Это моническое полиномиальное уравнение имеет те же решения, что и исходное.

Квадратичная формула для решений приведенного квадратного уравнения, записанная через его коэффициенты, имеет вид $${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.}$$

Дискриминант

Рисунок 3. Дискриминантные признаки

В квадратной формуле выражение под знаком квадратного корня называется дискриминантом квадратного уравнения и часто обозначается заглавной буквой D или заглавной греческой дельтой : ^[13] Квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь либо один, либо два различных действительных корня, либо два различных комплексных корня. В этом случае дискриминант определяет количество и характер корней. Существует три случая: $${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$$

• Если дискриминант положительный, то есть два различных корня, оба из которых являются действительными числами. Для квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, если дискриминант является квадратным числом , то корни рациональны — в других случаях они могут быть квадратными иррациональными числами . $${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$$
• Если дискриминант равен нулю, то существует ровно один действительный корень , который иногда называют повторным или двойным корнем или двумя равными корнями. ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}$
• Если дискриминант отрицательный, то действительных корней нет. Вместо этого есть два различных (недействительных) комплексных корня ^[14] , которые являются комплексно сопряженными друг другу. В этих выражениях i — мнимая единица . $${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$$

Таким образом, корни различны тогда и только тогда, когда дискриминант не равен нулю, а корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.

Геометрическая интерпретация

Визуализация комплексных корней y = ax ² + bx + c : парабола повернута на 180° вокруг своей вершины ( оранжевый ). Ее пересечения с осью x повернуты на 90° вокруг своей средней точки, а декартова плоскость интерпретируется как комплексная плоскость ( зеленый ). ^[15]

Функция f ( x ) = ax ² + bx + c является квадратичной функцией . ^[16] График любой квадратичной функции имеет одну и ту же общую форму, которая называется параболой . Местоположение и размер параболы, а также то, как она раскрывается, зависят от значений a , b , и c . Если a > 0 , парабола имеет минимальную точку и ветви направлены вверх. Если a < 0 , парабола имеет максимальную точку и ветви направлены вниз. Крайняя точка параболы, будь то минимальная или максимальная, соответствует ее вершине . Координата x вершины будет расположена в , а координата y вершины может быть найдена путем подстановки этого значения x в функцию. Точка пересечения с осью y расположена в точке (0, c ) . ${\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}$

Решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 соответствуют корням функции f ( x ) = ax ² + bx + c , так как они являются значениями x , для которых f ( x ) = 0 . Если a , b , и c являются действительными числами и областью определения f является множество действительных чисел, то корни f являются в точности x - координатами точек, в которых график касается оси x . Если дискриминант положительный, график касается оси x в двух точках; если нуль, график касается в одной точке; и если отрицательный, график не касается оси x .

Квадратичная факторизация

Член является множителем многочлена тогда и только тогда, когда r является корнем квадратного уравнения. Из квадратной формулы следует, что в частном случае b ² = 4 ac , когда квадратное уравнение имеет только один отличный корень ( т.е. дискриминант равен нулю), квадратный многочлен можно разложить на множители следующим образом: $${\displaystyle x-r}$$ $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$ $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$$ $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}$$ $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}$$

Графическое решение

Рисунок 4. Графический калькулятор вычисляет один из двух корней квадратного уравнения 2 x ² + 4 x − 4 = 0. Хотя на дисплее отображается только пять значащих цифр точности, полученное значение xc составляет 0,732050807569 с точностью до двенадцати значащих цифр.

Квадратичная функция без действительного корня: y = ( x − 5) ² + 9 . "3" — мнимая часть отрезка x . Действительная часть — x -координата вершины. Таким образом, корни равны 5 ± 3 i .

Решения квадратного уравнения можно вывести из графика квадратичной функции , который представляет собой параболу . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$$ $${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$$

Если парабола пересекает ось x в двух точках, то существует два действительных корня , которые являются x- координатами этих двух точек (также называемыми x -пересечением).

Если парабола касается оси x , то существует двойной корень, который является координатой x точки контакта между графиком и параболой.

Если парабола не пересекает ось x , то есть два комплексно-сопряженных корня. Хотя эти корни нельзя изобразить на графике, их действительную и мнимую части можно. ^[17]

Пусть h и k будут соответственно x- координатой и y -координатой вершины параболы (т.е. точкой с максимальной или минимальной y -координатой). Квадратичную функцию можно переписать Пусть d будет расстоянием между точкой y -координаты 2 k на оси параболы и точкой на параболе с той же y -координатой (см. рисунок; таких точек, дающих одинаковое расстояние, две из-за симметрии параболы). Тогда действительная часть корней равна h , а их мнимая часть равна ± d . То есть корни равны или в случае примера рисунка $${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}$$ $${\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,}$$ $${\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}$$

Избегание потери значимости

Хотя квадратичная формула обеспечивает точное решение, результат не является точным, если действительные числа аппроксимируются во время вычисления, как это обычно бывает в численном анализе , где действительные числа аппроксимируются числами с плавающей точкой (называемыми «действительными» во многих языках программирования ). В этом контексте квадратичная формула не является полностью стабильной .

Это происходит, когда корни имеют разный порядок величины , или, что то же самое, когда b ² и b ² − 4 ac близки по величине. В этом случае вычитание двух почти равных чисел приведет к потере значимости или катастрофическому сокращению в меньшем корне. Чтобы избежать этого, корень, который меньше по величине, r , можно вычислить как где R — корень, который больше по величине. Это эквивалентно использованию формулы ${\displaystyle (c/a)/R}$

$${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$$

используя знак плюс, если и знак минус, если ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle b<0.}$

Вторая форма сокращения может возникнуть между членами b ² и 4 ac дискриминанта, то есть когда два корня очень близки. Это может привести к потере до половины правильных значащих цифр в корнях. ^{[11] [18]}

Примеры и приложения

Траектория прыгуна со скалы параболическая, поскольку горизонтальное смещение является линейной функцией времени , а вертикальное смещение является квадратичной функцией времени . В результате путь следует квадратному уравнению , где и являются горизонтальными и вертикальными компонентами исходной скорости, a является ускорением свободного падения , а h является исходной высотой. Значение a здесь следует считать отрицательным, так как его направление (вниз) противоположно измерению высоты (вверх). ${\displaystyle x=v_{x}t}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h}$ ${\displaystyle y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$

Золотое сечение находится как положительное решение квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

Уравнения окружности и других конических сечений — эллипсов , парабол и гипербол — являются квадратными уравнениями с двумя переменными.

Зная косинус или синус угла, нахождение косинуса или синуса угла, который вдвое меньше, требует решения квадратного уравнения.

Процесс упрощения выражений, содержащих квадратный корень выражения, содержащего квадратный корень другого выражения, включает нахождение двух решений квадратного уравнения.

Теорема Декарта утверждает, что для любых четырех соприкасающихся (взаимно касающихся) окружностей их радиусы удовлетворяют определенному квадратному уравнению.

Уравнение, заданное теоремой Фусса , устанавливающее связь между радиусом вписанной окружности бицентрического четырехугольника , радиусом описанной окружности и расстоянием между центрами этих окружностей, можно выразить как квадратное уравнение, одним из решений которого является расстояние между центрами двух окружностей в терминах их радиусов. Другое решение того же уравнения в терминах соответствующих радиусов дает расстояние между центром описанной окружности и центром вневписанной окружности внекасательного четырехугольника .

Критические точки кубической функции и точки перегиба четверичной функции находятся путем решения квадратного уравнения.

В физике для движения с постоянным ускорением смещение или положение движущегося тела можно выразить как квадратичную функцию времени, учитывая начальное положение и начальную скорость : . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\textstyle x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$

В химии pH раствора слабой кислоты можно рассчитать с помощью отрицательного десятичного логарифма положительного корня квадратного уравнения через константу кислотности и аналитическую концентрацию кислоты.

История

Вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры (изображено на древневавилонских глиняных табличках ) могли решать задачи, связывающие площади и стороны прямоугольников. Существуют свидетельства, датирующие этот алгоритм еще Третьей династией Ура . ^[19] В современных обозначениях задачи обычно включали решение пары одновременных уравнений вида: что эквивалентно утверждению, что x и y являются корнями уравнения: ^{[20] : 86} $${\displaystyle x+y=p,\ \ xy=q,}$$ $${\displaystyle z^{2}+q=pz.}$$

Шаги, предложенные вавилонскими писцами для решения вышеуказанной задачи с прямоугольником в терминах x и y , были следующими:

1. Вычислите половину p .
2. Возведите результат в квадрат.
3. Вычтите q .
4. Найдите (положительный) квадратный корень, используя таблицу квадратов.
5. Сложите результаты шагов (1) и (4), чтобы получить x .

В современных обозначениях это означает вычисление , что эквивалентно современной квадратной формуле для большего действительного корня (если таковой имеется) при a = 1 , b = − p и c = q . ${\displaystyle x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$ ${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Геометрические методы использовались для решения квадратных уравнений в Вавилонии, Египте, Греции, Китае и Индии. Египетский Берлинский папирус , датируемый периодом Среднего царства (2050 г. до н. э. — 1650 г. до н. э.), содержит решение двухчленного квадратного уравнения. ^[21] Вавилонские математики примерно с 400 г. до н. э. и китайские математики примерно с 200 г. до н. э. использовали геометрические методы рассечения для решения квадратных уравнений с положительными корнями. ^{[22] [23]} Правила для квадратных уравнений были даны в «Девяти главах о математическом искусстве» , китайском трактате по математике. ^{[23] [24]} Эти ранние геометрические методы, по-видимому, не имели общей формулы. Евклид , греческий математик , создал более абстрактный геометрический метод около 300 г. до н. э. С чисто геометрическим подходом Пифагор и Евклид создали общую процедуру для поиска решений квадратного уравнения. В своей работе «Арифметика» греческий математик Диофант решил квадратное уравнение, но дал только один корень, даже когда оба корня были положительными. ^[25]

В 628 году нашей эры индийский математик Брахмагупта дал в своей книге «Брахмаспутасиддханта » первое явное (хотя все еще не полностью общее) решение квадратного уравнения ax ² + bx = c следующим образом: «К абсолютному числу, умноженному на четыре [коэффициента] квадрата, прибавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же числа, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, есть значение». ^[26] Это эквивалентно Рукописи Бахшали , написанной в Индии в 7 веке нашей эры, содержала алгебраическую формулу для решения квадратных уравнений, а также линейных неопределенных уравнений (первоначально типа ax / c = y ). Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (9 век) разработал набор формул, которые работали для положительных решений. Аль-Хорезми идет дальше в предоставлении полного решения общего квадратного уравнения, принимая один или два числовых ответа для каждого квадратного уравнения, при этом предоставляя геометрические доказательства в процессе. ^[27] Он также описал метод завершения квадрата и признал, что дискриминант должен быть положительным, ^{[27] [28] : 230} что было доказано его современником Абд аль-Хамидом ибн Турком (Средняя Азия, 9 век), который привел геометрические фигуры, чтобы доказать, что если дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет решения. ^{[28] : 234} Хотя сам аль-Хорезми не принимал отрицательных решений, более поздние исламские математики , которые последовали за ним, принимали отрицательные решения, ^{[27] : 191} а также иррациональные числа в качестве решений. ^[29] Абу Камил Шуджа ибн Аслам (Египет, 10 век) был, в частности, первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня , кубического корня или корня четвертой степени ) в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнении. ^[30] Индийский математик 9 века Шридхара записал правила решения квадратных уравнений. ^[31] $${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.}$$

Еврейский математик Авраам бар Хийя Ха-Наси (XII век, Испания) написал первую европейскую книгу, включающую полное решение общего квадратного уравнения. ^[32] Его решение во многом основывалось на работе Аль-Хорезми. ^[27] Труд китайского математика Ян Хуэя (1238–1298 гг. н. э.) является первым известным трудом, в котором появляются квадратные уравнения с отрицательными коэффициентами «x», хотя он приписывает это более раннему Лю И. ^[33] К 1545 году Джероламо Кардано составил труды, связанные с квадратными уравнениями. Квадратная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Симоном Стевином в 1594 году. ^[34] В 1637 году Рене Декарт опубликовал «La Géométrie», содержащую квадратную формулу в форме, которую мы знаем сегодня.

Продвинутые темы

Альтернативные методы вычисления корня

Формулы Виета

Формулы Виета (названные в честь Франсуа Виета ) — это соотношения между корнями квадратного многочлена и его коэффициентами. Они получаются путем сравнения почленно соотношения с уравнением $${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$$ $${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0}$$ $${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$$

Первая формула Виета полезна для построения графика квадратичной функции. Поскольку график симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину , x-координата вершины находится в среднем значении корней (или отрезков). Таким образом, x -координата вершины равна Y- координату можно получить, подставив указанный выше результат в данное квадратное уравнение, что дает Кроме того, эти формулы для вершины можно вывести непосредственно из формулы (см. Завершение квадрата ) $${\displaystyle x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.}$$ $${\displaystyle y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$$ $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$$

Для численных вычислений формулы Виета предоставляют полезный метод нахождения корней квадратного уравнения в случае, когда один корень намного меньше другого. Если | x ₂ | << | x ₁ | , то x ₁ + x ₂ ≈ x ₁ , и мы имеем оценку: Вторая формула Виета тогда дает: Эти формулы гораздо легче вычислить, чем квадратную формулу при условии одного большого и одного малого корня, потому что квадратная формула вычисляет малый корень как разность двух очень почти равных чисел (случай большого b ), что вызывает ошибку округления при численной оценке. На рисунке показана разница между ^{[ необходимо разъяснение ]} (i) прямой оценкой с использованием квадратной формулы (точной, когда корни близки друг к другу по значению) и (ii) оценкой, основанной на приведенном выше приближении формул Виета (точной, когда корни широко разнесены). По мере увеличения линейного коэффициента b изначально квадратичная формула точна, а приближенная формула улучшает точность, что приводит к уменьшению разницы между методами по мере увеличения b . Однако в какой-то момент квадратичная формула начинает терять точность из-за ошибки округления, в то время как приближенный метод продолжает улучшаться. Следовательно, разница между методами начинает увеличиваться, поскольку квадратичная формула становится все хуже и хуже. $${\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.}$$ $${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.}$$

Такая ситуация часто возникает при проектировании усилителей, где для обеспечения стабильной работы требуются широко разнесенные корни (см. Реакция на скачок ).

Тригонометрическое решение

До появления калькуляторов люди использовали математические таблицы — списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами — для упрощения и ускорения вычислений. Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были обычным явлением в учебниках по математике и естественным наукам. Были опубликованы специализированные таблицы для таких приложений, как астрономия, небесная навигация и статистика. Существовали методы численного приближения, называемые простеаферезисом , которые предлагали сокращения для таких трудоемких операций, как умножение, возведение в степень и извлечение корней. ^[35] Астрономы, в частности, были озабочены методами, которые могли бы ускорить длинные серии вычислений, используемых в расчетах небесной механики .

Именно в этом контексте мы можем понять развитие средств решения квадратных уравнений с помощью тригонометрической подстановки . Рассмотрим следующую альтернативную форму квадратного уравнения,

где знак символа ± выбран таким образом, что a и c могут быть оба положительными. Подставляя

и затем умножая на cos ² ( θ ) / c , получаем

Вводя функции 2 θ и переставляя, получаем

где индексы n и p соответствуют использованию отрицательного или положительного знака в уравнении [1] соответственно . Подстановка двух значений θ _n или θ _p , найденных из уравнений [4] или [5] , в [2] дает требуемые корни [1] . Комплексные корни возникают в решении, основанном на уравнении [5], если абсолютное значение sin 2 θ _p превышает единицу. Объем усилий, затраченных на решение квадратных уравнений с использованием этой смешанной стратегии поиска по тригонометрическим и логарифмическим таблицам, составил две трети усилий, затраченных при использовании только логарифмических таблиц. ^[36] Вычисление комплексных корней потребовало бы использования другой тригонометрической формы. ^[37]

Для иллюстрации предположим, что у нас есть семизначные логарифмические и тригонометрические таблицы, и мы хотим решить следующее уравнение с точностью до шести значащих цифр: $${\displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0}$$

1. Таблица поиска из семи знаков может содержать всего 100 000 записей, а вычисление промежуточных результатов до семи знаков обычно требует интерполяции между соседними записями.
2. ${\displaystyle \log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927}$
3. ${\displaystyle 2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314}$
4. ${\displaystyle \theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }}$
5. ${\displaystyle \log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462}$
6. ${\displaystyle \log {\textstyle {\sqrt {c/a}}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318}$
7. ${\displaystyle x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353}$(округлено до шести значащих цифр) $${\displaystyle x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943}$$

Решение для комплексных корней в полярных координатах

Если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет два комплексных корня — случай, когда требуется , чтобы a и c имели одинаковые знаки — то решения для корней можно выразить в полярной форме как ^[38] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac<0,}$

$${\displaystyle x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),}$$

где и ${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}}$ ${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).}$

Геометрическое решение

Рисунок 6. Геометрическое решение ax ² + bx + c = 0 с использованием метода Лилла. Решения: −AX1/SA, −AX2/SA

Квадратное уравнение может быть решено геометрически несколькими способами. Один из способов — с помощью метода Лилла . Три коэффициента a , b , c изображены с прямыми углами между ними, как в SA, AB и BC на рисунке 6. Нарисована окружность с начальной и конечной точкой SC в качестве диаметра. Если она пересекает среднюю линию AB этих трех, то уравнение имеет решение, и решения даются отрицательным значением расстояния вдоль этой линии от A, деленного на первый коэффициент a или SA. Если a равно 1, коэффициенты можно считать напрямую. Таким образом, решения на диаграмме равны −AX1/SA и −AX2/SA. ^[39]

Круг Карлейля квадратного уравнения x ²  −  sx  +  p  = 0.

Окружность Карлейля , названная в честь Томаса Карлейля , обладает тем свойством, что решения квадратного уравнения являются горизонтальными координатами пересечений окружности с горизонтальной осью . ^[40] Окружности Карлейля использовались для разработки конструкций правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки .

Обобщение квадратного уравнения

Формула и ее вывод остаются верными, если коэффициенты a , b и c являются комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля , характеристика которого не равна 2. (В поле с характеристикой 2 элемент 2a равен нулю и на него невозможно делить.)

Символ в формуле следует понимать как «любой из двух элементов, квадрат которых равен b ² − 4 ac , если такие элементы существуют». В некоторых полях некоторые элементы не имеют квадратных корней, а некоторые имеют два; только ноль имеет только один квадратный корень, за исключением полей характеристики 2 . Даже если поле не содержит квадратный корень некоторого числа, всегда существует квадратичное поле расширения , которое его содержит, поэтому квадратичная формула всегда будет иметь смысл как формула в этом поле расширения. $${\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$$

Характеристика 2

В поле характеристики 2 квадратичная формула, которая опирается на то, что 2 является единицей , не выполняется. Рассмотрим монический квадратичный многочлен над полем характеристики 2. Если b = 0 , то решение сводится к извлечению квадратного корня, поэтому решение равно и есть только один корень, так как Подводя итог, см. квадратичный вычет для получения дополнительной информации об извлечении квадратных корней в конечных полях. $${\displaystyle x^{2}+bx+c}$$ $${\displaystyle x={\sqrt {c}}}$$ $${\displaystyle -{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.}$$ $${\displaystyle \displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.}$$

В случае, когда b ≠ 0 , есть два различных корня, но если многочлен неприводим , они не могут быть выражены в терминах квадратных корней чисел в поле коэффициентов. Вместо этого определим 2-корень R ( c ) числа c как корень многочлена x ² + x + c , элемент поля разбиения этого многочлена. Проверяется, что R ( c ) + 1 также является корнем. В терминах операции 2-корня два корня (немонического) квадратичного ax ² + bx + c равны и $${\displaystyle {\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).}$$

Например, пусть a обозначает мультипликативный генератор группы единиц F ₄ , поля Галуа четвертого порядка (таким образом, a и a + 1 являются корнями x ² + x + 1 над F ₄ . Поскольку ( a + 1) ² = a , a + 1 является единственным решением квадратного уравнения x ² + a = 0 . С другой стороны, многочлен x ² + ax + 1 неприводим над F ₄ , но он расщепляется над F ₁₆ , где он имеет два корня ab и ab + a , где b является корнем x ² + x + a в F ₁₆ .

Это частный случай теории Артина–Шрайера .

Смотрите также

• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Линейное уравнение
• Кубическая функция
• Уравнение четвертой степени
• Уравнение пятой степени
• Основная теорема алгебры

Ссылки

1. Чарльз П. Маккиг (2014). Промежуточная алгебра с тригонометрией (переиздание). Academic Press. стр. 219. ISBN 978-1-4832-1875-5.Выдержка из страницы 219
2. Проттерс и Морри: «Исчисление и аналитическая геометрия. Первый курс».
3. Princeton Review (2020). Princeton Review SAT Prep, 2021: 5 практических тестов + обзор и методы + онлайн-инструменты. Random House Children's Books. стр. 360. ISBN 978-0-525-56974-9.Выдержка из страницы 360
4. Дэвид Мамфорд; Серия Каролина; Дэвид Райт (2002). Жемчужины Индры: Видение Феликса Кляйна (иллюстрированное, переизданное издание). Cambridge University Press. стр. 37. ISBN 978-0-521-35253-6.Выдержка из страницы 37
5. Математика в действии. Ресурсная книга для учителей 4б (иллюстрированное издание). Нельсон Торнс. 1996. стр. 26. ISBN 978-0-17-431439-4.Выдержка из страницы 26
6. Вашингтон, Аллин Дж. (2000). Основы технической математики с исчислением, седьмое издание . Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 978-0-201-35666-3.
7. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Эвинг, Джон Х. (1991), Числа, Graduate Texts in Mathematics, т. 123, Springer, стр. 77, ISBN 9780387974972.
8. Стерлинг, Мэри Джейн (2010), Алгебра I для чайников, Wiley Publishing, стр. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
9. Рич, Барнетт; Шмидт, Филип (2004), Очерк теории и проблем элементарной алгебры Шаума, The McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-141083-0, Глава 13 §4.4, стр. 291
10. Химонас, Алекс. Исчисление для бизнеса и социальных наук , стр. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).
11. Kahan, Willian (20 ноября 2004 г.), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF) , получено 25.12.2012
12. Аленицын, Александр и Бутиков, Евгений. Краткий справочник по математике и физике , стр. 38 (CRC Press 1997)
13. Δ — начальная буква греческого слова Δ ιακρίνουσα, Diakrínousa , дискриминант.
14. Ахац, Томас; Андерсон, Джон Г.; Маккензи, Кэтлин (2005). Техническая математика цеха. Industrial Press. стр. 277. ISBN 978-0-8311-3086-2.
15. "Комплексные корни стали видимыми – забавные факты о математике" . Получено 1 октября 2016 г.
16. Уортон, П. (2006). Основы Edexcel Gcse Math/Higher. Лонсдейл. стр. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.
17. Алек Нортон, Бенджамин Лотто (июнь 1984 г.), «Комплексные корни стали видимыми», The College Mathematics Journal , 15 (3): 248–249, doi :10.2307/2686333, JSTOR  2686333
18. Хайэм, Николас (2002), Точность и устойчивость численных алгоритмов (2-е изд.), SIAM, стр. 10, ISBN 978-0-89871-521-7
19. Фриберг, Йоран (2009). «Геометрический алгоритм с решениями квадратных уравнений в шумерском юридическом документе из Ура III Уммы». Журнал Cuneiform Digital Library . 3 .
20. Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (2-е изд.) . Springer. ISBN 978-0-387-95336-6.
21. Кембриджская древняя история. Часть 2. Ранняя история Ближнего Востока. Издательство Кембриджского университета. 1971. С. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
22. Хендерсон, Дэвид В. "Геометрические решения квадратных и кубических уравнений". Математический факультет, Корнелльский университет . Получено 28 апреля 2013 г.
23. Aitken, Wayne. "A Chinese Classic: The Nine Chapters" (PDF) . Математический факультет, Калифорнийский государственный университет . Получено 28 апреля 2013 г.
24. Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики. Courier Dover Publications. стр. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
25. Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики, том 1. Courier Dover Publications. стр. 134. ISBN 978-0-486-20429-1.Выдержка из страницы 134
26. Brāhmasphuṭasiddhānta, перевод Colebrook, 1817, стр. 346; цитируется Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (3-е изд.) . Springer. стр. 93. doi :10.1007/978-1-4419-6053-5. ISBN 978-0-387-95336-6.
27. Katz, VJ; Barton, B. (2006). «Этапы в истории алгебры с последствиями для преподавания». Educational Studies in Mathematics . 66 (2): 185–201. doi :10.1007/s10649-006-9023-7. S2CID  120363574.
28. Boyer, Carl B. (1991). Merzbach, Uta C. (ред.). История математики. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
29. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999), «Арабская математика: забытое великолепие?», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс«Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты».
30. Жак Сезиано, «Исламская математика», стр. 148, в Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , ред. (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
31. Смит, Дэвид Юджин (1958). История математики. Courier Dover Publications. стр. 280. ISBN 978-0-486-20429-1.
32. Ливио, Марио (2006). Уравнение, которое не удалось решить. Simon & Schuster. ISBN 978-0743258210.
33. Ронан, Колин (1985). Краткая наука и цивилизация в Китае. Cambridge University Press. стр. 15. ISBN 978-0-521-31536-4.
34. Struik, DJ; Stevin, Simon (1958), Основные работы Simon Stevin, Mathematics (PDF) , т. II–B, CV Swets & Zeitlinger, стр. 470
35. Баллью, Пат. «Решение квадратных уравнений — аналитическими и графическими методами; включая несколько методов, которые вы, возможно, никогда не видели» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 апреля 2011 г. . Получено 18 апреля 2013 г. .
36. Seares, FH (1945). «Тригонометрическое решение квадратного уравнения». Публикации Астрономического общества Тихого океана . 57 (339): 307–309. Bibcode :1945PASP...57..307S. doi : 10.1086/125759 .
37. Aude, HTR (1938). «Решения квадратного уравнения, полученные с помощью тригонометрии». National Mathematics Magazine . 13 (3): 118–121. doi :10.2307/3028750. JSTOR  3028750.
38. Саймонс, Стюарт, «Альтернативный подход к комплексным корням действительных квадратных уравнений», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 91–92.
39. Биксби, Уильям Герберт (1879), Графический метод быстрого нахождения действительных корней числовых уравнений любой степени , Вест-Пойнт, Нью-Йорк
40. Weisstein, Eric W. "Carlyle Circle". Из MathWorld—A Wolfram Web Resource . Получено 21 мая 2013 г.

Внешние ссылки

• «Квадратное уравнение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратные уравнения". MathWorld .
• 101 применение квадратного уравнения Архивировано 10 ноября 2007 г. на Wayback Machine
• 101 применение квадратного уравнения: Часть II Архивировано 22 октября 2007 г. на Wayback Machine