Логистическая функция

S-образная кривая

Логистическая функция или логистическая кривая — это обычная S-образная кривая ( сигмовидная кривая ) с уравнением

$${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$$

где

${\displaystyle x_{0}}$, значение средней точки функции; ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L}$, верхняя грань значений функции;

${\displaystyle k}$, темп логистического роста или крутизна кривой. ^[1]

Стандартная логистическая функция, где ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

Для значений в области действительных чисел от до получена S-кривая, показанная справа, с графиком приближения при приближении и приближения к нулю при приближении . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$

Логистическая функция находит применение в ряде областей, включая биологию (особенно экологию ), биоматематику , химию , демографию , экономику , геонауки , математическую психологию , теорию вероятности , социологию , политологию , лингвистику , статистику и искусственные нейронные сети . Обобщением логистической функции является гиперболатическая функция типа I.

Стандартную логистическую функцию, где иногда называют просто сигмоидой . ^[2] Его также иногда называют выходом , поскольку он является инверсией логита . ^{[3] [4]} ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

История

Исходное изображение логистической кривой, контрастирующее с тем, что Ферхюльст назвал «логарифмической кривой» (в современных терминах «экспоненциальной кривой»).

Логистическая функция была введена в серии из трех статей Пьером Франсуа Верхюльстом между 1838 и 1847 годами, который разработал ее как модель роста населения путем корректировки модели экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетле . ^[5] Ферхюльст впервые разработал эту функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году, ^[1] затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 году (опубликовано в 1845 году); ^{[a] [6]} третий документ скорректировал поправочный член в своей модели роста населения Бельгии. ^[7]

Начальная стадия роста примерно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а при достижении зрелости рост прекращается.

Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистический» (франц.: Logistic ), но он предположительно противоположен логарифмической кривой ^{[8] [б]} и по аналогии с арифметической и геометрической. Его модели роста предшествует обсуждение арифметического роста и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической кривой вместо современного термина «экспоненциальная кривая »), и поэтому «логистический рост», предположительно, назван по аналогии, термин « логистика» происходит от древнегреческого : λογῐστῐκός , латинизированное :  логистикос , традиционный раздел греческой математики . ^[с]

Этот термин не имеет отношения к военному и управленческому термину «логистика » , который вместо этого происходит от французского языка : logis «жилье», хотя некоторые полагают, что греческий термин также повлиял на логистику ; подробности см. в разделе «Логистика § Происхождение» . ^{[ нужна цитата ]}

Математические свойства

The стандартная логистическая функция – это логистическая функция с параметрами,,, которая дает ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle L=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right).}$$

На практике из-за характера экспоненциальной функции часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для небольшого диапазона действительных чисел, например диапазона, содержащегося в [−6, +6], поскольку она очень быстро сходится. близко к значениям насыщения 0 и 1. ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$

Логистическая функция обладает свойством симметрии, которое

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

Таким образом, – нечетная функция . ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$

Логистическая функция представляет собой функцию смещения и масштабированного гиперболического тангенса :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$

$${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

Это следует из

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

Производная

Логистическая функция и ее первые три производные

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную . Производная известна как плотность логистического распределения :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$

интеграл

И наоборот, ее первообразную можно вычислить заменой , так как , так (отбрасывая константу интегрирования ) ${\displaystyle u=1+e^{x}}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}}$

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

В искусственных нейронных сетях это известно как функция softplus и (с масштабированием) представляет собой плавную аппроксимацию функции линейного изменения , точно так же, как логистическая функция (с масштабированием) является плавной аппроксимацией ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Логистическое дифференциальное уравнение

Уникальная стандартная логистическая функция является решением простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

с граничным условием . Это уравнение представляет собой непрерывную версию логистической карты . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. ^[9] ${\displaystyle f(0)=1/2}$

Качественное поведение легко понять с точки зрения фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; и производная положительна для значений от 0 до 1 и отрицательна для значений выше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные популяции обычно не соответствуют физической модели). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Логистическое уравнение является частным случаем дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

Выбор константы интегрирования дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой: ${\displaystyle C=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

В более количественном отношении, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который достигает линейного роста наклона 1/4 для аргумента, близкого к 0, затем приближается к 1 с экспоненциально затухающим разрывом.

Логистическая функция является обратной натуральной логит -функцией .

${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1}$

и таким образом преобразует логарифм шансов в вероятность . Преобразование логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Дифференциальное уравнение, полученное выше, является частным случаем общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмовидную функцию для . Во многих приложениях моделирования более общая форма ^[10] ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}}$$

${\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big )}}$

Отношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

который связывает логистическую функцию с логистическим распределением .

Вращательная симметрия относительно (0, 1/2)

Сумма логистической функции и ее отражения относительно вертикальной оси равна ${\displaystyle f(-x)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

Таким образом, логистическая функция вращательно-симметрична относительно точки (0, 1/2). ^[11]

Приложения

Линк ^[12] создал расширение теории последовательного анализа Уолда для накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока положительная или отрицательная граница не будет сначала равна или превышена. Линк ^[13] выводит вероятность первого достижения положительной границы или ее превышения как логистическую функцию. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в своей основе случайный процесс. Линк ^[14] приводит столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно полученную связь между этой вероятностью и временем поглощения на границах. ${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$

В экологии: моделирование роста населения

Пьер-Франсуа Верхюльст (1804–1849)

Типичным применением логистического уравнения является распространенная модель роста населения (см. также динамику населения ), первоначально предложенная Пьером-Франсуа Верхюльстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству доступных ресурсов. при прочих равных условиях. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал « Очерк принципа народонаселения » Томаса Мальтуса , в котором описывается мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение, описывающее самоограничивающийся рост биологической популяции . Уравнение было заново открыто в 1911 году А. Г. Маккендриком для роста бактерий в бульоне и экспериментально проверено с использованием метода нелинейной оценки параметров. ^[15] Это уравнение также иногда называют уравнением Ферхюльста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Рэймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Университета Джонса Хопкинса . ^[16] Другой учёный, Альфред Дж. Лотка , снова вывел это уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения .

Если представить размер популяции ( вместо этого часто используется в экологии) и время, эта модель формализуется дифференциальным уравнением : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

где константа определяет скорость роста и является пропускной способностью . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$

В уравнении ранний беспрепятственный темп роста моделируется первым членом . Значение показателя представляет собой пропорциональный прирост населения за одну единицу времени. Позже, по мере роста населения, модуль второго члена (который умножается на ) становится почти таким же большим, как и первый, поскольку некоторые члены населения мешают друг другу, конкурируя за какой-то критический ресурс, например, еду или жизненное пространство. . Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра . Конкуренция снижает совокупный темп роста до тех пор, пока стоимость не перестанет расти (это называется зрелостью населения). Решение уравнения (с исходной популяцией) равно ${\displaystyle +rP}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -rP^{2}/K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

где

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

где - предельное значение , наивысшее значение, которого популяция может достичь за бесконечное время (или приблизиться к достижению за конечное время). Важно подчеркнуть, что пропускная способность асимптотически достигается независимо от начального значения , а также в том случае, когда . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(0)>K}$

В экологии виды иногда называют -стратегами или -стратегами в зависимости от процессов отбора , которые сформировали стратегии их жизненного цикла .Выбор переменных размерностей так, чтобы численность населения измерялась в единицах пропускной способности, а время измерялось в единицах , дает безразмерное дифференциальное уравнение. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

интеграл

Первообразную экологической формы логистической функции можно вычислить заменой , так как ${\displaystyle u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}$ ${\displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

$${\displaystyle \int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C}$$

Изменяющаяся во времени пропускная способность

Поскольку условия окружающей среды влияют на пропускную способность, как следствие, она может меняться во времени, причем , что приводит к следующей математической модели: ${\displaystyle K(t)>0}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$$

Особенно важным случаем является случай пропускной способности, которая периодически меняется в зависимости от периода : ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$$

Можно показать ^[17] , что в таком случае независимо от начального значения будет стремиться к единственному периодическому решению , период которого равен . ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P_{*}(t)}$ ${\displaystyle T}$

Типичное значение составляет один год: в этом случае могут отражаться периодические изменения погодных условий. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(t)}$

Еще одно интересное обобщение состоит в том, чтобы принять во внимание, что пропускная способность является функцией популяции в более раннее время, отражая задержку в том, как популяция изменяет свою окружающую среду. Это приводит к уравнению логистической задержки ^[18] , которое имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (т. е. множественными S-образными формами), прерывистый рост или чередование до стационарного уровня, колебательный подход к стационарному уровню, устойчивые колебания, сингулярности с конечным временем, а также смерть с конечным временем. ${\displaystyle K(t)}$

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в статистике в нескольких целях. Например, они представляют собой кумулятивную функцию распределения логистического семейства распределений , и они, немного упрощенно, используются для моделирования шанса, который шахматист имеет, чтобы победить своего противника в рейтинговой системе Эло . Далее следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия

Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования того, как на вероятность события могут влиять одна или несколько независимых переменных : примером может служить модель ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=f(a+bx),}$$

где – объясняющая переменная, – параметры модели, которые необходимо подобрать, и – стандартная логистическая функция. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$

Логистическая регрессия и другие лог-линейные модели также широко используются в машинном обучении . Обобщением логистической функции на несколько входных данных является функция активации softmax , используемая в полиномиальной логистической регрессии .

Другое применение логистической функции находится в модели Раша , используемой в теории реагирования на предмет . В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположений объектов или людей в континууме на основе набора категориальных данных , например, способностей людей в континууме на основе ответов, которые были отнесены к категории правильных и неправильно.

Нейронные сети

Логистические функции часто используются в искусственных нейронных сетях для введения нелинейности в модель или ограничения сигналов в пределах заданного интервала . Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет к результату ограниченную логистическую функцию в качестве функции активации ; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона .

Распространенный выбор функций активации или «сжатия», используемых для ограничения больших величин, чтобы ограничить реакцию нейронной сети ^[19] :

$${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$$

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами . Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением ошибки . ^[20]

Логистическая функция сама по себе является производной от другой предлагаемой функции активации — softplus .

В медицине: моделирование роста опухолей

Другое применение логистической кривой находится в медицине, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно считать расширением вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. также Обобщенную логистическую кривую , учитывающую больше параметров). Обозначая размер опухоли во времени , ее динамика определяется ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

который относится к типу

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

где скорость пролиферации опухоли. ${\displaystyle F(X)}$

Если химиотерапия начинается с логарифмическим эффектом, уравнение можно пересмотреть следующим образом:

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

где уровень смертности, вызванной терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии ее можно смоделировать как периодическую функцию (периода ) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянную функцию, и получается, что ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

т.е. если средний уровень смертности, вызванный терапией, превышает базовый уровень пролиферации, то происходит ликвидация заболевания. Конечно, это упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не учитывает явление клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно распространяется экспоненциально на ранних стадиях, пока количество восприимчивых людей велико. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост на ранних стадиях заражения в нескольких странах в начале 2020 года. ^[21] Факторы, включая отсутствие восприимчивых хозяев (за счет продолжающегося распространения инфекции до тех пор, пока она не преодолеет порог для коллективного иммунитета ) или снижение доступности потенциальных хозяев посредством мер физического дистанцирования может привести к экспоненциальному виду эпидемических кривых, сначала линеаризующихся (воспроизводя «логарифмический» к «логистическому» переход, впервые отмеченный Пьером- Франсуа Верхюльстом , как отмечалось выше) и затем достижение максимального предела. ^[22]

Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомпертца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере развития у населения коллективного иммунитета. . Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, коэффициенте заражения, инкубационном времени, социальном дистанцировании и т. д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые дают логистическое решение. ^{[23] [24] [25]}

Моделирование ранних случаев COVID-19

Обобщенная логистическая функция (кривая роста Ричардса) в эпидемиологическом моделировании

Обобщенная логистическая функция , также называемая кривой роста Ричардса, была применена для моделирования ранней фазы вспышки COVID-19 . ^[26] Авторы подгоняют обобщенную логистическую функцию к совокупному числу инфицированных случаев, называемому здесь траекторией заражения . В литературе встречаются различные параметризации обобщенной логистической функции . Одной из часто используемых форм является

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}$$

где – действительные числа, а – положительное действительное число. Гибкость кривой обусловлена ​​параметром : (i) если затем кривая сводится к логистической функции, и (ii) при приближении к нулю кривая сходится к функции Гомпертца . В эпидемиологическом моделировании , и обозначают окончательный размер эпидемии, уровень заражения и лаг-фазу соответственно. На правой панели приведен пример траектории заражения, когда установлено значение . ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$ ${\displaystyle (10000,0.2,40)}$

Экстраполированные траектории распространения инфекции в 40 странах, серьезно пострадавших от COVID-19, и средний показатель (население) до 14 мая.

Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция, в эпидемиологическом моделировании является ее относительно простое применение в рамках многоуровневой модели , где можно объединить информацию из разных географических регионов.

В химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов автокаталитических реакций подчиняется логистической функции. Разложение катализатора реакции восстановления кислорода (ORR) без металлов платиновой группы (без металлов платиновой группы) в катодах топливных элементов следует логистической функции распада, ^[27] предполагая автокаталитический механизм разложения.

В физике: распределение Ферми – Дирака.

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы, находящейся в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный энергетический уровень занят фермионом, согласно статистике Ферми-Дирака .

В оптике: мираж

Логистическая функция также находит применение в оптике, особенно при моделировании таких явлений, как миражи . При определенных условиях, таких как наличие градиента температуры или концентрации из-за диффузии и баланса силы тяжести, может возникнуть поведение логистической кривой. ^{[28] [29]}

Мираж, возникающий в результате температурного градиента, который изменяет показатель преломления, связанный с плотностью/концентрацией материала на расстоянии, можно смоделировать с использованием жидкости с градиентом показателя преломления из-за градиента концентрации. Этот механизм можно приравнять к модели ограничения роста населения, в которой концентрированный регион пытается диффундировать в регион с более низкой концентрацией, одновременно стремясь к равновесию с гравитацией, что дает кривую логистической функции. ^[28]

В материаловедении: Фазовые диаграммы.

См. Диффузионная сварка .

В лингвистике: изменение языка

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования языковых изменений : ^[30] нововведение, которое сначала является маргинальным, со временем начинает распространяться быстрее, а затем медленнее по мере того, как оно становится более универсальным.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур

Логистическую S-кривую можно использовать для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Существует два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность сельскохозяйственных культур может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или уменьшаться с увеличением значения фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует обратной S-образная кривая.

В экономике и социологии: диффузия инноваций

Логистическую функцию можно использовать для иллюстрации хода распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.

В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания. В частности, Тард выделяет три основных этапа распространения инноваций: первый соответствует трудным начинаниям, во время которых идее приходится бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует собственно экспоненциальному взлету идеи, при ; наконец, третий этап – логарифмический, с , и соответствует моменту, когда импульс идеи постепенно замедляется и одновременно появляются новые идеи оппонента. Сложившаяся ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, приближающийся к асимптоте. ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$

В суверенном государстве субнациональные единицы (составляющие штаты или города) могут использовать кредиты для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым правилам, а также ограничениям экономического дефицита , особенно ресурсов, которые банки могут кредитовать (из-за их собственного капитала или ограничений Базельского соглашения ). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным натиском экономической конкуренции за деньги, создают распространение государственных финансов по кредитным просьбам, и совокупный национальный ответ представляет собой сигмовидную кривую . ^[33]

В истории экономики, когда появляются новые продукты, проводятся интенсивные исследования и разработки , которые приводят к значительному улучшению качества и снижению затрат. Это приводит к периоду быстрого роста промышленности. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация , автомобили и воздушные перевозки. В конце концов, возможности радикального улучшения и снижения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются, при этом остается мало потенциальных новых клиентов, и рынки насыщаются.

Логистический анализ использовался в работах нескольких исследователей из Международного института прикладного системного анализа ( IIASA ). Эти статьи посвящены распространению различных инноваций, инфраструктур и замене источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длительному экономическому циклу. Длинные экономические циклы исследовал Роберт Эйрес (1989). ^[34] Чезаре Маркетти опубликовал работы о длинных экономических циклах и распространении инноваций. ^{[35] [36]} Книга Арнульфа Грюблера (1990) дает подробный отчет о распространении инфраструктур, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывая, что их распространение следовало кривым логистической формы. ^[37]

Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать долгий ( Кондратьев ) деловой цикл со следующими обозначениями: начало технологической эры как вторжение , подъем как безумие , быстрое развитие как синергия и завершение как зрелость . ^[38]

Смотрите также

• Перекрестная жидкость
• Гиперболический рост
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Уравнение Хилла (биохимия)
• Кривая Хабберта
• Список математических функций
• ЗВЕЗДНАЯ модель
• Кинетика Михаэлиса – Ментен
• теория выбора р / К
• Выпрямитель (нейронные сети)
• Сдвинутое распределение Гомпертца
• Переломный момент (социология)

Примечания

1. Статья была представлена ​​в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 ноября 1844 года)». "(Прочитано на заседании 30 ноября 1844 г.).", с. 1.
2. Ферхюльст сначала относится к арифметической прогрессии и геометрической прогрессии и называет кривую геометрического роста логарифмической кривой (что сбивает с толку, современный термин - это экспоненциальная кривая, которая является обратной). Затем он называет свою кривую логистической , в отличие от логарифмической , и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке своей статьи.
3. В Древней Греции λογῐστῐκός относилось к практическим вычислениям и учету, в отличие от ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), теоретического или философского изучения чисел. Как ни странно, в английском языке арифметика относится к практическим вычислениям, хотя она происходит от ἀριθμητική , а не от λογῐστῐκός . См., например , Луи Чарльз Карпински , Никомах из Герасы: Введение в арифметику (1926), с. 3: «Арифметика фундаментально ассоциируется у современных читателей, особенно у ученых и математиков, с искусством вычислений. Однако для древних греков после Пифагора арифметика была прежде всего философским исследованием, не имеющим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дал отдельное название деловой арифметике, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика]... Вообще философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства рассматривать эту отрасль, которая, вероятно, составляла часть элементарного обучения дети."

Рекомендации

1. Верхюльст, Пьер-Франсуа (1838). «Обратите внимание на закон о том, что население стремится к росту сына» (PDF) . Переписка по математике и физике . 10 : 113–121 . Проверено 3 декабря 2014 г.
2. «Sigmoid — документация PyTorch 1.10.1» .
3. выходная документация для пакета R ClusterPower.
4. "Scipy.special.expit — Руководство по SciPy v1.7.1" .
5. Крамер 2002, стр. 3–5.
6. Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1845). «Математические исследования закона роста населения». Новые мемуары Королевской академии наук и изящной словесности Брюсселя . 18 :8 . Проверено 18 февраля 2013 г. Nous donnerons le nom de logistic à la courbe [Мы дадим кривой логистическое название]
7. Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1847). «Вторая память о законах развития населения». Мемуары Королевской академии наук, литературы и изящных искусств Бельгии . 20 :1–32 . Проверено 18 февраля 2013 г.
8. Шульман, Бонни (1998). «Математика жива! Использование оригинальных источников для преподавания математики в социальном контексте». ПРИМУС . 8 (март): 1–14. дои : 10.1080/10511979808965879. Диаграмма убедила меня: там две кривые с надписью «Логистика» и «Логарифмия» нарисованы на одних и тех же осях, и видно, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся. Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста, назвав кривую, действительно состояло в том, чтобы предложить такое сравнение, и что слово «логистика» должно было передать «логарифмическое» качество кривой.
   
9. Коциан, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Инкроччи, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Прогнозирование временных рядов байесовского сигмоидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур». Датчики . 20 (11): 3246. Бибкод : 2020Senso..20.3246K. дои : 10.3390/s20113246 . ПМК 7309099 . ПМИД  32517314. 
10. Кюркчиев, Николай и Святослав Марков. «Сигмовидные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». Академическое издательство LAP LAMBERT, Саарбрюккен (2015).
11. Рауль Рохас. Нейронные сети. Систематическое введение (PDF) . Проверено 15 октября 2016 г.
12. Ссылка, SW; Хит, РА (1975). «Последовательная теория психологической дискриминации». Психометрика . 40 (1): 77–105. дои : 10.1007/BF02291481.
13. Линк, SW (1978). «Теория относительного суждения психометрической функции». Внимание и эффективность VII . Тейлор и Фрэнсис. стр. 619–630. ISBN 9781003310228.
14. SW Link, Волновая теория различия и подобия (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992.
15. А.Г. Маккендрика; М. Кесава Пайа1 (январь 1912 г.). «XLV. — Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование». Труды Королевского общества Эдинбурга . 31 : 649–653. дои : 10.1017/S0370164600025426.{{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
16. Раймонд Перл и Лоуэлл Рид (июнь 1920 г.). «О темпах роста населения Соединенных Штатов» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Том. 6, нет. 6. с. 275.
17. Гриффитс, Грэм; Шиссер, Уильям (2009). «Линейные и нелинейные волны». Схоларпедия . 4 (7): 4308. Бибкод : 2009SchpJ...4.4308G. doi : 10.4249/scholarpedia.4308 . ISSN  1941-6016.
18. Юкалов, В.И.; Юкалова, Е.П.; Сорнетт, Д. (2009). «Периодичная эволюция из-за задержки пропускной способности». Физика D: Нелинейные явления . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Бибкод : 2009PhyD..238.1752Y. doi :10.1016/j.physd.2009.05.011. S2CID  14456352.
19. Гершенфельд 1999, с. 150.
20. ЛеКун, Ю.; Ботту, Л.; Орр, Г.; Мюллер, К. (1998). Орр, Г.; Мюллер, К. (ред.). Эффективный BackProp (PDF) . Спрингер. ISBN 3-540-65311-2. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
21. Worldometer: ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА COVID-19
22. Вильялобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования численности населения, зараженного Covid-19». arXiv : 2004.02406 [q-bio.PE].
23. Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19 «на обратной стороне конверта»: обеспечивает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?». Хаос, солитоны и фракталы . 135 : 109841. Бибкод : 2020CSF...13509841P. дои : 10.1016/j.chaos.2020.109841. ПМК 7252058 . ПМИД  32501369. 
24. Сайто, Такеси (июнь 2020 г.). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертности от COVID-19 в Японии». medRxiv 10.1101/2020.25.06.20139865v2 . 
25. Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv : 2006.01550 [q-bio.PE].
26. Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с использованием глобальных данных и заимствованной информации». ПЛОС ОДИН . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Бибкод : 2020PLoSO..1536860L. дои : 10.1371/journal.pone.0236860 . ПМК 7390340 . ПМИД  32726361. 
27. Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). «Кинетические модели механизмов разложения катализаторов ORR, не содержащих МПГ». ECS-транзакции . 85 (13): 1239–1250. дои : 10.1149/08513.1239ecst. ОСТИ  1471365. S2CID  103125742.
28. Таналихит, Паттарапон; Воракиттамронг, Танабоди; Чайдет, Наттанон; Канчанапусакит, Виттайя (24–25 мая 2021 г.). «Измерение градиента показателя преломления раствора сахара». Физический журнал: серия конференций . 2145 : 012072. дои : 10.1088/1742-6596/2145/1/012072 . S2CID  245811843.
29. Лопес-Ариас, Т; Кальса, Г; Граттон, Луизиана; Осс, С. (2009). «Миражи в бутылке». Физическое образование . 44 (6): 582. дои : 10.1088/0031-9120/44/6/002. S2CID  59380632.
30. Бод, Хэй, Дженнеди (ред.) 2003, стр. 147–156.
31. Сборник данных о растениеводстве и глубине уровня грунтовых вод в почве различных авторов. На линии: [1]
32. Сборник данных о растениеводстве и засолении почв различных авторов. На линии: [2]
33. Роча, Лено С.; Роча, Фредерико С.А.; Соуза, Тарсис Т.П. (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии». ПЛОС ОДИН . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Бибкод : 2017PLoSO..1285257R. дои : 10.1371/journal.pone.0185257 . ISSN  1932-6203. ПМЦ 5628819 . ПМИД  28981532. 
34. Эйрес, Роберт (февраль 1989 г.). «Технологические трансформации и длинные волны» (PDF) . Международный институт прикладного системного анализа . Архивировано из оригинала (PDF) 1 марта 2012 года . Проверено 6 ноября 2010 г.
35. Маркетти, Чезаре (1996). «Повсеместные длинные волны: циклотимично ли общество» (PDF) . Институт глобальных изменений Аспена . Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2012 года.
36. Маркетти, Чезаре (1988). «Возвращение к Кондратьеву - после одного цикла» (PDF) . Чезаре Маркетти .
37. Грюблер, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктур: динамика эволюции и технологических изменений на транспорте (PDF) . Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.
38. Перес, Карлота (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотого века . Великобритания: Эдвард Элгар Паблишинг Лимитед. ISBN 1-84376-331-1.

• Крамер, Дж. С. (2002). Истоки логистической регрессии (PDF) (Технический отчет). Том. 119. Институт Тинбергена. стр. 167–178. дои : 10.2139/ssrn.360300.
  • Опубликовано: Крамер, Дж.С. (2004). «Ранние истоки логит-модели». Исследования по истории и философии науки. Часть C: Исследования по истории и философии биологических и биомедицинских наук . 35 (4): 613–626. дои :10.1016/j.shpsc.2004.09.003.
• Джаннеди, Стефани; Бод, Ренс; Хэй, Дженнифер (2003). Вероятностная лингвистика. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8.
• Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57095-4.
• Кингсленд, Шэрон Э. (1995). Моделирование природы: эпизоды из истории популяционной экологии . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-43728-0.
• Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение». Математический мир .

Внешние ссылки

• LJ Linacre, Почему логистическая ожива, а не автокаталитическая кривая?, по состоянию на 12 сентября 2009 г.
• https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/reгрессия/Logistic.html
• Вайсштейн, Эрик В. «Сигмовидная функция». Математический мир .
• Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• Эссы повсюду.
• Видеть S-образную кривую — это все.
• Ограниченный логарифмический рост при инъекции