Теория множеств

Теория множеств — это раздел математической логики , изучающий множества , которые можно неформально описать как коллекции объектов. Хотя объекты любого типа могут быть собраны в множество, теория множеств — как раздел математики — в основном занимается теми, которые имеют отношение к математике в целом.

Современное изучение теории множеств было инициировано немецкими математиками Рихардом Дедекиндом и Георгом Кантором в 1870-х годах. В частности, Георг Кантор обычно считается основателем теории множеств. Неформализованные системы, исследованные на этом раннем этапе, называются наивной теорией множеств . После открытия парадоксов в наивной теории множеств (таких как парадокс Рассела , парадокс Кантора и парадокс Бурали-Форти ) в начале двадцатого века были предложены различные аксиоматические системы , из которых теория множеств Цермело–Френкеля (с аксиомой выбора или без нее ) по-прежнему остается самой известной и наиболее изученной.

Теория множеств обычно используется в качестве основополагающей системы для всей математики, особенно в форме теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора. Помимо своей основополагающей роли, теория множеств также обеспечивает основу для разработки математической теории бесконечности и имеет различные приложения в информатике (например, в теории реляционной алгебры ), философии , формальной семантике и эволюционной динамике . Ее основополагающая привлекательность вместе с ее парадоксами и ее последствиями для концепции бесконечности и ее многочисленными приложениями сделали теорию множеств областью основного интереса для логиков и философов математики . Современные исследования теории множеств охватывают широкий спектр тем, начиная от структуры действительной числовой оси и заканчивая изучением согласованности больших кардиналов .

История

Математические темы обычно возникают и развиваются посредством взаимодействия многих исследователей. Однако теория множеств была основана в одной статье 1874 года Георга Кантора : « О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ». ^[1]^[2]

Начиная с V века до нашей эры, начиная с греческого математика Зенона Элейского на Западе и ранних индийских математиков на Востоке, математики боролись с концепцией бесконечности . Особенно примечательна работа Бернарда Больцано в первой половине XIX века. ^[3] Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работой Кантора по реальному анализу . ^[4]

Основные понятия и обозначения

Теория множеств начинается с фундаментального бинарного отношения между объектом $o$ и множеством $A.$ Если $o$ является членом (или элементом ) $A$ , используется обозначение $o \in A.$ ^{Множество описывается перечислением элементов, разделенных запятыми, или характеризующим свойством его элементов в фигурных скобках { }. [5]} Поскольку множества являются объектами, отношение принадлежности может также связывать множества, т. е. сами множества могут быть членами других множеств.

Производное бинарное отношение между двумя множествами — это отношение подмножества, также называемое включением множества . Если все члены множества $A$ также являются членами множества $B$ , то $A$ является подмножеством B , обозначаемым как $A$ $\subseteq B. Например$ , ${1, 2}$ является подмножеством ${1, 2, 3}$ , и также ${2}$ является подмножеством, но ${1, 4} — нет. Как следует из этого определения, множество является подмножеством самого себя. Для случаев, когда эта возможность$ $не$ подходит или имеет смысл ее отвергнуть, определяется термин собственное подмножество . $A$ называется собственным подмножеством B тогда и только тогда, когда $A$ является подмножеством $B$ , но $A$ не равно $B.$ Кроме того, 1, 2 и 3 являются членами (элементами) множества ${1, 2, 3}$ , но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как ${1}$ , не являются членами множества ${1, 2, 3}$ . Могут существовать и более сложные отношения; например, множество ${1}$ является одновременно членом и собственным подмножеством множества ${1, {1}}$ .

Так же, как арифметика описывает бинарные операции над числами , теория множеств описывает бинарные операции над множествами. ^[6] Ниже приведен их частичный список:

Объединение множеств $A$ и $B$ , обозначаемое $A \cup B$ , представляет собой множество всех объектов, которые являются членами $A$ , $B$ или обоих.^[7] Например, объединение ${1, 2, 3}$ и ${2, 3, 4}$ представляет собой множество ${1, 2, 3, 4}$ .
Пересечение множеств $A$ и $B$ , обозначаемое $A \cap B$ , — это множество всех объектов, которые являются членами как $A,$ так и $B.$ Например, пересечение ${1, 2, 3}$ и ${2, 3, 4}$ — это множество ${2, 3}$ .
Разность множеств U $и$ A $,$ обозначаемая $U \ A$ , представляет собой множество всех членов $U$ , которые не являются членами $A.$ Разность множеств ${1, 2, 3} \ {2, 3, 4}$ равна ${1}$ , в то время как, наоборот, разность множеств ${2, 3, 4} \ {1, 2, 3}$ равна ${4}$ . Когда $A$ является подмножеством $U$ , разность множеств $U \ A$ $также$ называется дополнением Aв $U.$ В этом случае, если выбор $U$ ясен из контекста,иногда вместо $U$ $\$ $A используется обозначение$ $A$ $c$ , особенно если $U$ является универсальным множеством , как при изучении диаграмм Венна .
Симметрическая разность множеств $A$ и $B$ , обозначаемая $A △ B$ или $A ⊖ B$ , — это множество всех объектов, которые являются членами ровно одного из множеств $A$ и $B$ (элементы, которые находятся в одном из множеств, но не в обоих). Например, для множеств ${1, 2, 3}$ и ${2, 3, 4}$ множество симметричной разности — это ${1, 4}$ . Это разность множеств объединения и пересечения, $( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )$ или $( A \ B ) ∪ ( B \ A )$ .
Декартово произведение A $и$ B $,$ обозначаемое $A \times B$ , — это множество, членами которого являются все возможные упорядоченные пары $(a, b)$ , где $a$ — элемент $A$ , $а b$ — элемент $B.$ Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} равно {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}.
Множество элементов множества $A$ , обозначаемое, — это множество, членами которого являются все возможные подмножества $A.$ Например, множество элементов ${1, 2}$ — это ${ {}, {1}, {2}, {1, 2} }$ . ${\mathcal {P}}(A)$

Некоторые базовые множества центральной важности — это множество натуральных чисел , множество действительных чисел и пустое множество — уникальное множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество также иногда называют нулевым множеством , ^[8] хотя это название неоднозначно и может привести к нескольким толкованиям.

Онтология

Множество является чистым, если все его элементы являются множествами, все элементы его элементов являются множествами и т. д. Например, множество, содержащее только пустое множество, является непустым чистым множеством. В современной теории множеств принято ограничивать внимание фон Неймана вселенной чистых множеств, и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и теряется немного общности, поскольку по сути все математические концепции могут быть смоделированы чистыми множествами. Множества во вселенной фон Неймана организованы в кумулятивную иерархию , основанную на том, насколько глубоко вложены их элементы, элементы элементов и т. д. Каждому множеству в этой иерархии присваивается (с помощью трансфинитной рекурсии ) порядковый номер , известный как его ранг. Ранг чистого множества определяется как наименьший порядковый номер, который строго больше ранга любого из его элементов. Например, пустому множеству присваивается ранг 0, тогда как множеству ${{}},$ содержащему только пустое множество, присваивается ранг 1. Для каждого порядкового числа множество определяется как состоящее из всех чистых множеств с рангом меньше . Вся вселенная фон Неймана обозначается . $\альфа$ $X$ $\альфа$ $V_{\альфа}$ $\альфа$ $V$

Формализованная теория множеств

Элементарную теорию множеств можно изучать неформально и интуитивно, и поэтому ее можно преподавать в начальной школе с использованием диаграмм Венна . Интуитивный подход молчаливо предполагает, что множество может быть образовано из класса всех объектов, удовлетворяющих любому конкретному определяющему условию. Это предположение приводит к парадоксам, простейшими и наиболее известными из которых являются парадокс Рассела и парадокс Бурали-Форти . Аксиоматическая теория множеств была первоначально разработана для того, чтобы избавить теорию множеств от таких парадоксов. ^{[примечание 1]}

Наиболее широко изученные системы аксиоматической теории множеств подразумевают, что все множества образуют кумулятивную иерархию . ^{[a] Такие системы бывают двух видов,}онтология которых состоит из:

Sets alone . Сюда входит наиболее распространенная аксиоматическая теория множеств, теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора ( ZFC ) . Фрагменты ZFC включают:
- Теория множеств Цермело , которая заменяет аксиоматическую схему замены на схему разделения ;
- Общая теория множеств , небольшой фрагмент теории множеств Цермело, достаточный для аксиом Пеано и конечных множеств ;
- Теория множеств Крипке–Платека , которая опускает аксиомы бесконечности, мощности множества и выбора , а также ослабляет схемы аксиом разделения и замены .
Множества и собственные классы . К ним относятся теория множеств Фон Неймана–Бернейса–Гёделя , которая имеет ту же силу , что и ZFC для теорем о множествах, а также теория множеств Морса–Келли и теория множеств Тарского–Гротендика , обе из которых сильнее ZFC.

Вышеуказанные системы можно модифицировать, чтобы разрешить использование urelements — объектов, которые могут быть членами множеств, но сами по себе не являются множествами и не имеют никаких членов.

Системы New Foundations NFU ( допускающие urelements ) и NF (отсутствующие), ассоциируемые с Willard Van Orman Quine , не основаны на кумулятивной иерархии. NF и NFU включают «множество всего», относительно которого каждое множество имеет дополнение. В этих системах urelements имеют значение, потому что NF, но не NFU, производит множества, для которых аксиома выбора не выполняется. Несмотря на то, что онтология NF не отражает традиционную кумулятивную иерархию и нарушает обоснованность, Томас Форстер утверждал, что она отражает итеративную концепцию множества. ^[9]

Системы конструктивной теории множеств , такие как CST, CZF и IZF, встраивают свои аксиомы множеств в интуиционистскую, а не классическую логику . Другие же системы принимают классическую логику, но имеют нестандартное отношение принадлежности. К ним относятся грубая теория множеств и нечеткая теория множеств , в которых значение атомарной формулы, воплощающей отношение принадлежности, не просто True или False . Булевозначные модели ZFC являются смежной темой.

Обогащение ZFC , названное теорией внутренних множеств, было предложено Эдвардом Нельсоном в 1977 году. ^[10]

Приложения

Многие математические концепции могут быть точно определены с использованием только теоретико-множественных концепций. Например, такие разнообразные математические структуры, как графы , многообразия , кольца , векторные пространства и реляционные алгебры , могут быть определены как множества, удовлетворяющие различным (аксиоматическим) свойствам. Отношения эквивалентности и порядка повсеместно встречаются в математике, и теория математических отношений может быть описана в теории множеств. ^[11]^[12]

Теория множеств также является перспективной фундаментальной системой для большей части математики. После публикации первого тома Principia Mathematica было заявлено, что большинство (или даже все) математических теорем могут быть выведены с использованием удачно разработанного набора аксиом для теории множеств, дополненного многими определениями, с использованием логики первого или второго порядка . Например, свойства натуральных и действительных чисел могут быть выведены в рамках теории множеств, поскольку каждая из этих числовых систем может быть определена путем представления их элементов в виде наборов определенных форм. ^[13]

Теория множеств как основа для математического анализа , топологии , абстрактной алгебры и дискретной математики также не вызывает споров; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Однако остается то, что лишь немногие полные выводы сложных математических теорем из теории множеств были формально проверены, поскольку такие формальные выводы часто намного длиннее доказательств на естественном языке, которые обычно представляют математики. Один проект проверки, Metamath , включает написанные человеком, проверенные компьютером выводы более 12 000 теорем, начиная с теории множеств ZFC , логики первого порядка и пропозициональной логики . ^[14] ZFC и аксиома выбора недавно нашли применение в эволюционной динамике , ^[15] улучшая понимание устоявшихся моделей эволюции и взаимодействия.

Области изучения

Теория множеств — это важнейшая область исследований в математике, состоящая из множества взаимосвязанных подразделов:

Комбинаторная теория множеств

Комбинаторная теория множеств занимается расширениями конечной комбинаторики на бесконечные множества. Это включает в себя изучение кардинальной арифметики и изучение расширений теоремы Рамсея, таких как теорема Эрдёша–Радо .

Описательная теория множеств

Описательная теория множеств — это изучение подмножеств действительной прямой и, в более общем смысле, подмножеств польских пространств . Она начинается с изучения точечных классов в иерархии Бореля и распространяется на изучение более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и иерархия Вэджа . Многие свойства множеств Бореля могут быть установлены в ZFC, но доказательство того, что эти свойства справедливы для более сложных множеств, требует дополнительных аксиом, связанных с определенностью и большими кардиналами.

Область эффективной дескриптивной теории множеств находится между теорией множеств и теорией рекурсии . Она включает в себя изучение lightface pointclasses и тесно связана с гиперарифметической теорией . Во многих случаях результаты классической дескриптивной теории множеств имеют эффективные версии; в некоторых случаях новые результаты получаются путем доказательства сначала эффективной версии, а затем ее расширения («релятивизации»), чтобы сделать ее более широко применимой.

Недавняя область исследований касается отношений эквивалентности Бореля и более сложных определимых отношений эквивалентности . Это имеет важные приложения к изучению инвариантов во многих областях математики.

Теория нечетких множеств

В теории множеств, как определил Кантор и аксиоматизировал Цермело и Френкель, объект либо является членом множества, либо нет. В теории нечетких множеств это условие было ослаблено Лотфи А. Заде , так что объект имеет степень принадлежности к множеству, число от 0 до 1. Например, степень принадлежности человека к множеству «высокие люди» более гибка, чем простой ответ «да» или «нет», и может быть действительным числом, например 0,75.

Теория внутренней модели

Внутренняя модель теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) — это транзитивный класс , который включает все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZF. Каноническим примером является конструируемая вселенная L, разработанная Гёделем. Одна из причин, по которой изучение внутренних моделей представляет интерес, заключается в том, что ее можно использовать для доказательства результатов согласованности. Например, можно показать, что независимо от того, удовлетворяет ли модель V теории множеств ZF гипотезе континуума или аксиоме выбора , внутренняя модель L, построенная внутри исходной модели, будет удовлетворять как обобщенной гипотезе континуума, так и аксиоме выбора. Таким образом, предположение о том, что ZF непротиворечива (имеет по крайней мере одну модель), подразумевает, что ZF вместе с этими двумя принципами непротиворечива.

Изучение внутренних моделей является обычным при изучении детерминированности и больших кардиналов , особенно при рассмотрении аксиом, таких как аксиома детерминированности, которые противоречат аксиоме выбора. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет аксиоме выбора, внутренняя модель может не удовлетворять аксиоме выбора. Например, существование достаточно больших кардиналов подразумевает, что существует внутренняя модель, удовлетворяющая аксиоме детерминированности (и, таким образом, не удовлетворяющая аксиоме выбора). ^[16]

Большие кардиналы

Большой кардинал — это кардинальное число с дополнительным свойством. Изучается множество таких свойств, включая недоступные кардиналы , измеримые кардиналы и многое другое. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень большим, а существование кардинала с указанным свойством недоказуемо в теории множеств Цермело–Френкеля .

Определенность

Определенность относится к тому факту, что при соответствующих предположениях некоторые игры двух игроков с полной информацией определяются с самого начала в том смысле, что у одного игрока должна быть выигрышная стратегия. Существование этих стратегий имеет важные последствия в дескриптивной теории множеств, поскольку предположение о том, что определен более широкий класс игр, часто подразумевает, что более широкий класс множеств будет иметь топологическое свойство. Аксиома определенности (AD) является важным объектом изучения; хотя и несовместима с аксиомой выбора, AD подразумевает, что все подмножества действительной линии ведут себя хорошо (в частности, измеримы и обладают свойством совершенного множества). AD можно использовать для доказательства того, что степени Вэджа имеют элегантную структуру.

Принуждение

Пол Коэн изобрел метод принуждения , когда искал модель ZFC , в которой гипотеза континуума неверна, или модель ZF, в которой аксиома выбора неверна. Принуждение присоединяет к некоторой заданной модели теории множеств дополнительные множества, чтобы создать более крупную модель со свойствами, определяемыми (т. е. «принудительными») конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна присоединяет дополнительные подмножества натуральных чисел, не изменяя ни одного из кардинальных чисел исходной модели. Принуждение также является одним из двух методов доказательства относительной согласованности финитными методами, другой метод — булевозначные модели .

Кардинальные инварианты

Кардинальный инвариант — это свойство действительной прямой, измеряемое кардинальным числом. Например, хорошо изученный инвариант — это наименьшая мощность набора скудных наборов действительных чисел, объединение которых является всей действительной прямой. Это инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать один и тот же кардинал для каждого инварианта. Было изучено много кардинальных инвариантов, и отношения между ними часто сложны и связаны с аксиомами теории множеств.

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология изучает вопросы общей топологии , которые являются теоретико-множественными по своей природе или требуют передовых методов теории множеств для своего решения. Многие из этих теорем не зависят от ZFC, требуя более сильных аксиом для своего доказательства. Известной проблемой является вопрос о нормальном пространстве Мура , вопрос в общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на вопрос о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC.

Противоречие

С самого начала теории множеств некоторые математики возражали против нее как основы математики . Наиболее распространенное возражение против теории множеств, высказанное Кронекером в самые ранние годы теории множеств, начинается с конструктивистской точки зрения, что математика слабо связана с вычислениями. Если принять эту точку зрения, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивной , так и в аксиоматической теории множеств, вводит в математику методы и объекты, которые невычислимы даже в принципе. Возможность конструктивизма как альтернативной основы математики значительно возросла после влиятельной книги Эрретта Бишопа «Основы конструктивного анализа» . ^[17]

Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре , заключается в том, что определение множеств с использованием схем аксиом спецификации и замены , а также аксиомы степенного множества , вводит непредикативность , тип цикличности , в определения математических объектов. Область действия предикативно обоснованной математики, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело–Френкеля, намного больше, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ может быть разработан [с использованием предикативных методов]». ^[18]

Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее коннотации математического платонизма . ^[19] Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивной символики, имеет «пагубные идиомы» и что бессмысленно говорить обо «всех числах». ^[20] Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией; ^[21] потребность в надежном фундаменте для математики казалась ему бессмысленной. ^[22] Более того, поскольку человеческие усилия обязательно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и финитизму . Метаматематические утверждения — которые, по Витгенштейну, включали любое утверждение, количественно оценивающее бесконечные области, и, таким образом, почти всю современную теорию множеств — не являются математикой. ^[23] Немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после эффектной ошибки в «Замечаниях об основаниях математики» : Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы Гёделя о неполноте , прочитав только аннотацию. Как отметили рецензенты Крайзель , Бернайс , Дамметт и Гудштейн , многие из его критических замечаний не были применимы к статье в полном объеме. Только недавно философы, такие как Криспин Райт, начали реабилитировать аргументы Витгенштейна. ^[24]

Теоретики категорий предложили теорию топосов как альтернативу традиционной аксиоматической теории множеств. Теория топосов может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм , теория конечных множеств и теория вычислимых множеств. ^[25]^[26] Топосы также дают естественную обстановку для принуждения и обсуждения независимости выбора от ZF, а также предоставляют основу для бесточечной топологии и пространств Стоуна . ^[27]

Активной областью исследований являются унивалентные основы и связанная с ними теория гомотопических типов . В рамках теории гомотопических типов множество может рассматриваться как гомотопический 0-тип с универсальными свойствами множеств, вытекающими из индуктивных и рекурсивных свойств высших индуктивных типов . Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного третьего, могут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке в теории множеств или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теории типов. Некоторые из этих принципов могут быть доказаны как следствие других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет проводить детальный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов. ^[28]^[29]

Математическое образование

Поскольку теория множеств приобрела популярность как основа современной математики, появилась поддержка идеи введения основ наивной теории множеств на ранних этапах обучения математике .

В США в 1960-х годах эксперимент New Math был направлен на обучение базовой теории множеств, среди других абстрактных понятий, учеников начальной школы , но был встречен большой критикой. Программа по математике в европейских школах следовала этой тенденции и в настоящее время включает этот предмет на разных уровнях во всех классах. Диаграммы Венна широко используются для объяснения основных теоретико-множественных отношений ученикам начальной школы (хотя Джон Венн изначально разработал их как часть процедуры оценки обоснованности выводов в терминологической логике ).

Теория множеств используется для знакомства студентов с логическими операторами (НЕ, И, ИЛИ), а также семантическим или нормативным описанием (технически интенциональным определением ^[30] ) множеств (например, «месяцы, начинающиеся с буквы А »), что может быть полезно при изучении компьютерного программирования , поскольку булева логика используется в различных языках программирования . Аналогично, множества и другие объекты, подобные коллекциям, такие как мультимножества и списки , являются распространенными типами данных в информатике и программировании .

Кроме того, множества обычно упоминаются в преподавании математики, когда речь идет о различных типах чисел (множествах натуральных чисел , целых чисел , действительных чисел и т. д.), а также при определении математической функции как отношения одного множества ( области определения ) к другому множеству ( диапазону ). $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Смотрите также

Глоссарий теории множеств
Класс (теория множеств)
Список тем теории множеств
Реляционная модель – заимствована из теории множеств
Диаграмма Венна

Примечания

^ В своей статье 1925 года «Аксиоматизация теории множеств» Джон фон Нейман заметил, что «теория множеств в ее первой, «наивной» версии, созданной Кантором, привела к противоречиям. Это хорошо известные антиномии множества всех множеств, не содержащих самих себя (Рассел), множества всех трансфинитных порядковых чисел (Бурали-Форти) и множества всех конечно определимых действительных чисел (Ричард)». Далее он отмечает, что две «тенденции» пытались «реабилитировать» теорию множеств. Из первых усилий, представленных Бертраном Расселом , Юлиусом Кёнигом , Германом Вейлем и Л. Э. Й. Брауэром , фон Нейман назвал «общий эффект их деятельности... сокрушительный». Что касается аксиоматического метода, используемого второй группой, состоящей из Цермело, Френкеля и Шёнфлиса, фон Нейман беспокоился, что «мы видим только, что известные способы вывода, ведущие к антиномиям, терпят неудачу, но кто знает, где нет других?», и он поставил перед собой задачу «в духе второй группы» «создать посредством конечного числа чисто формальных операций... все множества, которые мы хотим видеть сформированными», но не допускают антиномий. (Все цитаты из von Neumann 1925 перепечатаны в van Heijenoort, Jean (1967, третье издание 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Краткий обзор истории, написанный ван Хейеноортом, можно найти в комментариях, которые предшествуют статье фон Неймана 1925 года.

^ Это обратная ситуация для ZFC; V — это модель ZFC.

Ссылки

^ Кантор, Георг (1874), «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen алгебраишен Zahlen», Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515/crll.1874.77.258 , S2CID 199545885
^ Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
^ Больцано, Бернар (1975), Берг, Ян (ред.), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre , Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, под редакцией Эдуарда Винтера и др., vol. II, A, 7, Штутгарт, Бад-Каннштатт: Фридрих Фромманн Верлаг, с. 152, ISBN 3-7728-0466-7
^ Даубен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Издательство Гарвардского университета, стр. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.
^ «Введение в множества», www.mathsisfun.com , получено 20 августа 2020 г.
^ Колмогоров, А. Н .; Фомин, С. В. (1970), Вводный реальный анализ (переиздание англ. ред.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264
^ "теория множеств | Основы, примеры и формулы", Encyclopedia Britannica , получено 20 августа 2020 г.
^ Багария, Джоан (2020), «Теория множеств», в Zalta, Edward N. (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (весна 2020 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 20 августа 2020 г.
^ Форстер, TE (2008), «Итеративная концепция множества» (PDF) , The Review of Symbolic Logic , 1 : 97–110, doi :10.1017/S1755020308080064, S2CID 15231169
↑ Нельсон, Эдвард (ноябрь 1977 г.), «Теория внутренних множеств: новый подход к нестандартному анализу», Бюллетень Американского математического общества , 83 (6): 1165, doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14398-X
^ "6.3: Отношения эквивалентности и разбиения", Mathematics LibreTexts , 2019-11-25 , получено 2022-07-27
^ "Отношения порядка и функции" (PDF) , Web.stanford.edu , получено 29 июля 2022 г.
^ Мендельсон, Эллиотт (1973), Системы чисел и основы анализа , Academic Press, MR 0357694, Zbl 0268.26001
^ "ИСЧИСЛЕНИЕ РАЗБИЕНИЙ В ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ" (PDF) , Ams.org , получено 29.07.2022
^ Беркемейер, Франциско; Пейдж, Карен М. (29.09.2023), «Унификация эволюционной динамики: исследование симметрии и взаимодействия с помощью теории множеств», doi : 10.1101/27.09.2023.559729 , получено 07.12.2023 {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ Йех, Томас (2003), Теория множеств, Springer Monographs in Mathematics (ред. третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 642, ISBN 978-3-540-44085-7, ЗБЛ 1007.03002
^ Бишоп, Эрретт (1967), Основы конструктивного анализа, Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 4-87187-714-0
^ Феферман, Соломон (1998), В свете логики, Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 280–283, 293–294, ISBN 0-195-08030-0
↑ Родич, Виктор (31 января 2018 г.), «Философия математики Витгенштейна», в Zalta, Edward N. (ред.), Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. весна 2018 г.)
↑ Витгенштейн, Людвиг (1975), Философские замечания, §129, §174 , Оксфорд: Бэзил Блэквелл, ISBN 0-631-19130-5
^ Родич 2018, §2.1: «Когда мы доказываем теорему или принимаем решение относительно предложения, мы действуем чисто формальным, синтаксическим образом. Занимаясь математикой, мы не открываем уже существующие истины, которые «уже существовали без чьего-либо знания» (PG 481) — мы изобретаем математику, понемногу». Однако следует отметить, что Витгенштейн не отождествляет такую дедукцию с философской логикой ; см. Родич §1, пп. 7–12.
^ Родыч 2018, §3.4: «Учитывая, что математика — это « смешение методов доказательства» (RFM III, §46), она не требует фундамента (RFM VII, §16) и ей нельзя дать самоочевидный фундамент (PR §160; WVC 34 и 62; RFM IV, §3). Поскольку теория множеств была изобретена для того, чтобы обеспечить математику фундаментом, она, как минимум, не нужна».
^ Родыч 2018, §2.2: «Выражение, количественно определяющее бесконечную область, никогда не является осмысленным предложением, даже если мы доказали, например, что конкретное число $n$ имеет конкретное свойство».
^ Родыч 2018, §3.6.
^ Ферро, Альфредо; Омодео, Эухенио Г.; Шварц, Якоб Т. (сентябрь 1980 г.), «Процедуры принятия решений для элементарных подъязыков теории множеств. I. Многоуровневые силлогистики и некоторые расширения», Сообщения по чистой и прикладной математике , 33 (5): 599–608, doi :10.1002/cpa.3160330503
^ Кантоне, Доменико; Ферро, Альфредо; Омодео, Эухенио Г. (1989), Вычислимая теория множеств , Международная серия монографий по информатике, Oxford Science Publications, Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press , стр. xii, 347, ISBN 0-198-53807-3
^ Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Leke (1992), Пучки в геометрии и логике: Первое введение в теорию топосов, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2
^ Теория гомотопического типа в n Lab
^ Теория гомотопических типов: унифицированные основания математики. Программа унифицированных оснований. Институт перспективных исследований .
↑ Франк Руда (6 октября 2011 г.), «Сброд Гегеля: исследование философии права Гегеля», Bloomsbury Publishing, стр. 151, ISBN 978-1-4411-7413-0

Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN 0-444-85401-0
Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6

Дальнейшее чтение

Девлин, Кит (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств , Учебники по математике для бакалавров (2-е изд.), Springer Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0903-4, ISBN 0-387-94094-4
Феррейрос, Хосе (2001), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике, Берлин: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
Монк, Дж. Дональд (1969), Введение в теорию множеств , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение, Oxford University Press , ISBN 978-0-191-55643-2
Смаллиан, Рэймонд М.; Фитинг, Мелвин (2010), Теория множеств и проблема континуума , Dover Publications , ISBN 978-0-486-47484-7
Тайлз, Мэри (2004), Философия теории множеств: историческое введение в рай Кантора, Dover Publications , ISBN 978-0-486-43520-6

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Дискретная математика/Теория множеств

Дэниел Каннингем, статья о теории множеств в Интернет-энциклопедии философии .
Хосе Феррейрос, статья «Раннее развитие теории множеств» в [Стэнфордской энциклопедии философии] .
Форман, Мэтью , Акихиро Канамори , ред. Справочник по теории множеств . 3 тома, 2010. Каждая глава рассматривает некоторые аспекты современных исследований в теории множеств. Не охватывает установленную элементарную теорию множеств, о которой см. Devlin (1993).
«Аксиоматическая теория множеств», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Теория множеств», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Шенфлис, Артур (1898). Менгенлере в энциклопедии Кляйна .
Онлайн-книги и библиотечные ресурсы в вашей библиотеке и в других библиотеках по теории множеств
Рудин, Уолтер Б. (6 апреля 1990 г.), «Теория множеств: порождение анализа», лекция Мардена по математике , Университет Висконсин-Милуоки , заархивировано из оригинала 31 октября 2021 г. – через YouTube