В математике и физике векторное пространство (также называемое линейным пространством ) — это набор , элементы которого, часто называемые векторами , можно складывать и умножать («масштабировать») на числа, называемые скалярами . Скаляры часто являются действительными числами , но могут быть и комплексными числами или, в более общем плане, элементами любого поля . Операции сложения векторов и скалярного умножения должны удовлетворять определенным требованиям, называемым векторными аксиомами . Действительные векторные пространства и комплексные векторные пространства — это виды векторных пространств, основанные на различных видах скаляров: действительных и комплексных числах .
Векторные пространства обобщают евклидовы векторы , которые позволяют моделировать физические величины , такие как силы и скорость , которые имеют не только величину , но и направление . Концепция векторных пространств является фундаментальной для линейной алгебры вместе с концепцией матриц , которая позволяет выполнять вычисления в векторных пространствах. Это обеспечивает краткий и синтетический способ манипулирования и изучения систем линейных уравнений .
Векторные пространства характеризуются своей размерностью , которая, грубо говоря, задает количество независимых направлений в пространстве. Это означает, что для двух векторных пространств над данным полем и одинаковой размерности свойства, которые зависят только от структуры векторного пространства, совершенно одинаковы (технически векторные пространства изоморфны ) . Векторное пространство является конечномерным, если его размерность является натуральным числом . В противном случае оно бесконечномерно , а его размерность — бесконечный кардинал . Конечномерные векторные пространства естественным образом встречаются в геометрии и смежных областях. Бесконечномерные векторные пространства встречаются во многих областях математики. Например, кольца полиномов представляют собой счетно -бесконечномерные векторные пространства, а многие функциональные пространства имеют мощность континуума в качестве размерности.
Многие векторные пространства, рассматриваемые в математике, наделены и другими структурами . Это случай алгебр , которые включают расширения полей , кольца многочленов, ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Это также относится к топологическим векторным пространствам , которые включают функциональные пространства, пространства внутреннего произведения , нормированные пространства , гильбертовы пространства и банаховы пространства .
В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, чтобы отличить их от скаляров. [номер 1] [1]
Векторное пространство над полем F — это непустое множество V вместе с бинарной операцией и бинарной функцией , которые удовлетворяют восьми аксиомам, перечисленным ниже. В этом контексте элементы V обычно называются векторами , а элементы F называются скалярами . [2]
Чтобы иметь векторное пространство, восемь следующих аксиом должны выполняться для всех u , v и w в V , а также a и b в F. [3]
Когда скалярное поле представляет собой действительные числа , векторное пространство называется действительным векторным пространством , а когда скалярное поле представляет собой комплексные числа , векторное пространство называется комплексным векторным пространством . [4] Эти два случая являются наиболее распространенными, но также часто рассматриваются векторные пространства со скалярами в произвольном поле F. Такое векторное пространство называется F - векторным пространством или векторным пространством над F. [5]
Можно дать эквивалентное определение векторного пространства, которое гораздо более краткое, но менее элементарное: первые четыре аксиомы (относящиеся к сложению векторов) говорят, что векторное пространство представляет собой абелеву группу при сложении, а четыре оставшиеся аксиомы (относящиеся к сложению векторов ) скалярное умножение) говорят, что эта операция определяет гомоморфизм колец из поля F в кольцо эндоморфизмов этой группы. [6]
Вычитание двух векторов можно определить как
Прямые следствия аксиом заключаются в том, что, поскольку каждый имеет
Если говорить еще более кратко, векторное пространство — это модуль над полем . [7]
Базисы — фундаментальный инструмент для изучения векторных пространств, особенно когда размерность конечна. В бесконечномерном случае существование бесконечных базисов, часто называемых базами Гамеля , зависит от выбранной аксиомы . Отсюда следует, что, вообще говоря, ни одна база не может быть описана явно. [16] Например, действительные числа образуют бесконечномерное векторное пространство над рациональными числами , для которого неизвестен конкретный базис.
Рассмотрим базис векторного пространства V размерности n над полем F . Определение базиса подразумевает, что каждый может быть записан с в F и что это разложение уникально. Скаляры называются координатами v на базисе . Их также называют коэффициентами разложения v по базису. Также говорят, что n - кортеж координат является координатным вектором v на базисе, поскольку набор n - кортежей элементов F представляет собой векторное пространство для покомпонентного сложения и скалярного умножения, размерность которого равна n .
Соответствие «один к одному» между векторами и их координатными векторами отображает сложение векторов в сложение векторов и скалярное умножение в скалярное умножение. Таким образом, это изоморфизм векторного пространства , который позволяет переводить рассуждения и вычисления над векторами в рассуждения и вычисления над их координатами. [17]
Векторные пространства происходят из аффинной геометрии путем введения координат в плоском или трехмерном пространстве. Около 1636 года французские математики Рене Декарт и Пьер де Ферма основали аналитическую геометрию , находя решения уравнения двух переменных с точками на плоской кривой . [18] Для достижения геометрических решений без использования координат Больцано ввел в 1804 году определенные операции над точками, линиями и плоскостями, которые являются предшественниками векторов. [19] Мёбиус (1827) ввёл понятие барицентрических координат . [20] Беллавитис (1833) ввел отношение эквивалентности на направленных отрезках прямой, которые имеют одинаковую длину и направление, которое он назвал равновесием . [21] Тогда евклидов вектор является классом эквивалентности этого отношения. [22]
Векторы были пересмотрены с представлением комплексных чисел Арганом и Гамильтоном и появлением последним кватернионов . [23] Они являются элементами R 2 и R 4 ; обработка их с помощью линейных комбинаций восходит к Лагерру в 1867 году, который также определил системы линейных уравнений .
В 1857 году Кэли ввёл матричную запись , позволяющую унифицировать и упростить линейные карты . Примерно в то же время Грассман изучал барицентрическое исчисление, начатое Мёбиусом. Он представлял себе наборы абстрактных объектов, наделенных операциями. [24] В его работах присутствуют понятия линейной независимости и размерности , а также скалярных произведений . Работа Грассмана 1844 года также выходит за рамки векторных пространств, поскольку рассмотрение умножения привело его к тому, что сегодня называется алгебрами . Итальянский математик Пеано был первым, кто дал современное определение векторных пространств и линейных отображений в 1888 году [25] , хотя он называл их «линейными системами». [26] Аксиоматизация Пеано допускала векторные пространства с бесконечной размерностью, но Пеано не развивал эту теорию дальше. В 1897 году Сальваторе Пинчерле принял аксиомы Пеано и сделал первые шаги в теории бесконечномерных векторных пространств. [27]
Важным развитием векторных пространств стало создание функциональных пространств Анри Лебегом . Позже это было формализовано Банахом и Гильбертом примерно в 1920 году. [28] В то время алгебра и новая область функционального анализа начали взаимодействовать, особенно с такими ключевыми понятиями, как пространства p -интегрируемых функций и гильбертовы пространства . [29]
Первый пример векторного пространства состоит из стрелок в фиксированной плоскости , начинающихся в одной фиксированной точке. Это используется в физике для описания сил или скоростей . [30] Учитывая любые две такие стрелки, v и w , параллелограмм , охватываемый этими двумя стрелками, содержит одну диагональную стрелку, которая также начинается в начале координат. Эта новая стрелка называется суммой двух стрелок и обозначается v + w . В частном случае двух стрелок на одной линии их суммой является стрелка на этой линии, длина которой равна сумме или разности длин в зависимости от того, имеют ли стрелки одинаковое направление. Другая операция, которую можно выполнять со стрелками, — это масштабирование: для любого положительного действительного числа a стрелка, которая имеет то же направление, что и v , но расширяется или сжимается в результате умножения ее длины на a , называется умножением v на a . Он обозначается v . Когда a отрицательно, v определяется как стрелка, указывающая в противоположном направлении . [31]
Ниже показано несколько примеров: если a = 2 , результирующий вектор a w имеет то же направление, что и w , но растягивается до двойной длины w (второе изображение). Эквивалентно, 2 w — это сумма w + w . Более того, (−1) v = − v имеет противоположное направление и ту же длину, что и v (синий вектор, направленный вниз на втором изображении).
Второй ключевой пример векторного пространства — пары действительных чисел x и y . Порядок компонентов x и y имеет значение, поэтому такую пару еще называют упорядоченной парой . Такая пара записывается как ( x , y ) . Сумма двух таких пар и умножение пары на число определяется следующим образом: [32]
Первый пример выше сводится к этому примеру, если стрелка представлена парой декартовых координат ее конечной точки.
Простейшим примером векторного пространства над полем F является само поле F , сложение которого рассматривается как сложение векторов, а умножение — как скалярное умножение. В более общем смысле, все n -кортежи (последовательности длины n ) элементов a i из F образуют векторное пространство, которое обычно обозначается F n и называется координатным пространством . [33] Случай n = 1 представляет собой упомянутый выше простейший пример, в котором поле F также рассматривается как векторное пространство над собой. Случай F = R и n = 2 (поэтому R 2 ) сводится к предыдущему примеру.
Набор комплексных чисел C , чисел, которые можно записать в виде x + iy для действительных чисел x и y , где i — мнимая единица , образуют векторное пространство над действительными числами с обычным сложением и умножением: ( x + iy ) + ( a + ib ) знак равно ( x + a ) + я ( y + b ) и c ⋅ ( x + iy ) знак равно ( c ⋅ x ) + я ( c ⋅ y ) для действительных чисел x , y , a , b и с . Различные аксиомы векторного пространства следуют из того факта, что одни и те же правила справедливы для арифметики комплексных чисел. Пример комплексных чисел по существу такой же, как (то есть, он изоморфен ) векторному пространству упорядоченных пар действительных чисел, упомянутому выше: если мы думаем о комплексном числе x + i y как о представлении упорядоченной пары ( x , y ) в комплексной плоскости , то мы видим, что правила сложения и скалярного умножения точно соответствуют правилам в предыдущем примере.
В более общем смысле, расширения полей предоставляют другой класс примеров векторных пространств, особенно в алгебре и теории алгебраических чисел : поле F , содержащее меньшее поле E , является E -векторным пространством в соответствии с заданными операциями умножения и сложения F . [34] Например, комплексные числа представляют собой векторное пространство над R , а расширение поля — это векторное пространство над Q.
Функции из любого фиксированного множества Ω в поле F также образуют векторные пространства, выполняя поточечное сложение и скалярное умножение. То есть сумма двух функций f и g представляет собой функцию, заданную выражением и аналогично умножению. Такие функциональные пространства встречаются во многих геометрических ситуациях, когда Ω — действительная линия , интервал или другие подмножества R. Многие понятия в топологии и анализе, такие как непрерывность , интегрируемость или дифференцируемость, хорошо относятся к линейности: суммы и скалярные кратные функций, обладающие таким свойством, по-прежнему обладают этим свойством. [35] Следовательно, множество таких функций представляют собой векторные пространства, изучение которых относится к функциональному анализу .
Системы однородных линейных уравнений тесно связаны с векторными пространствами. [36] Например, решения задаются тройками с произвольными и Они образуют векторное пространство: суммы и скалярные кратные таких троек по-прежнему удовлетворяют тем же отношениям трех переменных; таким образом, они тоже являются решениями. Матрицы можно использовать для объединения нескольких линейных уравнений, как указано выше, в одно векторное уравнение, а именно
где – матрица, содержащая коэффициенты данных уравнений, – вектор обозначает произведение матрицы , – нулевой вектор. Аналогичным образом решения однородных линейных дифференциальных уравнений образуют векторные пространства. Например,
дает где и — произвольные константы, а — естественная показательная функция .
Отношения двух векторных пространств могут быть выражены линейным отображением или линейным преобразованием . Это функции , отражающие структуру векторного пространства, то есть сохраняющие суммы и скалярное умножение: для всех и во всех в [37]
Изоморфизм — это линейное отображение f : V → W такое, что существует обратное отображение g : W → V , которое является отображением таким, что две возможные композиции f ∘ g : W → W и g ∘ f : V → V равны карты личности . Эквивалентно, f является одновременно взаимно однозначным ( инъективным ) и на ( сюръективным ). [38] Если существует изоморфизм между V и W , то эти два пространства называются изоморфными ; тогда они по существу идентичны векторным пространствам, поскольку все тождества, содержащиеся в V , через f переносятся в аналогичные в W и наоборот через g .
Например, стрелки на плоскости и упорядоченные пары векторных пространств чисел во введении выше (см. § Примеры) изоморфны: плоская стрелка v, выходящая из начала некоторой (фиксированной) системы координат, может быть выражена как упорядоченная пара рассматривая компоненты x и y стрелки, как показано на изображении справа. И наоборот, для пары ( x , y ) стрелка, идущая вдоль x вправо (или влево, если x отрицательный) и y вверх (вниз, если y отрицательный), поворачивает стрелку v назад . [39]
Линейные отображения V → W между двумя векторными пространствами образуют векторное пространство Hom F ( V , W ) , также обозначаемое L( V , W ) или 𝓛( V , W ) . [40] Пространство линейных отображений из V в F называется двойственным векторным пространством и обозначается V ∗ . [41] С помощью инъективного естественного отображения V → V ∗∗ любое векторное пространство можно вложить в его бидуальное пространство ; отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда пространство конечномерно. [42]
После выбора базиса V линейные отображения f : V → W полностью определяются путем указания образов базисных векторов, поскольку любой элемент V однозначно выражается как их линейная комбинация. [43] Если dim V = dim W , соответствие 1 к 1 между фиксированными базисами V и W приводит к линейному отображению, которое отображает любой базисный элемент V в соответствующий базисный элемент W . Это изоморфизм по самому своему определению. [44] Следовательно, два векторных пространства над данным полем изоморфны, если их размерности совпадают, и наоборот. Другой способ выразить это состоит в том, что любое векторное пространство над данным полем полностью классифицируется ( с точностью до изоморфизма) по своей размерности, одному числу. В частности , любое n -мерное F -векторное пространство V изоморфно Fn . Однако не существует «канонического» или предпочтительного изоморфизма; изоморфизм φ : Fn → V эквивалентен выбору базиса V путем отображения стандартного базиса Fn в V через φ .
Матрицы — полезное понятие для кодирования линейных карт. [45] Они записываются в виде прямоугольного массива скаляров, как на изображении справа. Любая матрица размером m на n приводит к линейному отображению от F n до F m с помощью следующего где обозначает суммирование или с помощью матричного умножения матрицы на координатный вектор :
Более того , после выбора базисов V и W любое линейное отображение f : V → W однозначно представляется матрицей с помощью этого присваивания. [46]
Определитель det ( A ) квадратной матрицы A является скаляром, который сообщает, является ли связанное отображение изоморфизмом или нет: для этого достаточно и необходимо, чтобы определитель был ненулевым. [47] Линейное преобразование R n , соответствующее вещественной матрице размером n x n , сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда его определитель положителен.
Эндоморфизмы , линейные отображения f : V → V , особенно важны, поскольку в этом случае векторы v можно сравнить с их образом при f , f ( v ) . Любой ненулевой вектор v, удовлетворяющий λ v = f ( v ) , где λ — скаляр, называется собственным вектором f с собственным значением λ . [48] Эквивалентно, v является элементом ядра разности f − λ · Id (где Id — тождественное отображение V → V ) . Если V конечномерно, это можно перефразировать, используя определители: f, имеющее собственное значение λ , эквивалентно характеристический полином f . [49] Если поле F достаточно велико, чтобы содержать нуль этого многочлена (что автоматически происходит для F алгебраически замкнутого , такого как F = C ), любое линейное отображение имеет хотя бы один собственный вектор. Векторное пространство V может иметь или не иметь собственный базис , состоящий из собственных векторов. Это явление регулируется жордановой канонической формой карты. [50] Набор всех собственных векторов, соответствующих конкретному собственному значению f, образует векторное пространство, известное как собственное пространство , соответствующее рассматриваемому собственному значению (и f ).
Помимо приведенных выше конкретных примеров, существует ряд стандартных линейных алгебраических конструкций, дающих векторные пространства, связанные с заданными.
Непустое подмножество векторного пространства , замкнутое относительно сложения и скалярного умножения (и, следовательно, содержащее -вектор ), называется линейным подпространством или просто подпространством , когда окружающее пространство однозначно является векторным пространством. [51] [nb 4] Подпространства являются векторными пространствами (над тем же полем) сами по себе. Пересечение всех подпространств, содержащих данный набор векторов, называется его промежутком , и это наименьшее подпространство, содержащее этот набор . Выраженный в терминах элементов, интервал представляет собой подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций элементов . [52]
Линейное подпространство размерности 1 и 2 называется линией (также векторной линией ) и плоскостью соответственно. Если W — n -мерное векторное пространство, любое подпространство размерности на 1 меньше, т. е. размерности, называется гиперплоскостью . [53]
Аналогом подпространств являются факторвекторные пространства . [54] Учитывая любое подпространство , факторпространство (« по модулю ») определяется следующим образом: как набор, оно состоит из где — произвольный вектор в . Сумма двух таких элементов и равна , а скалярное умножение определяется выражением . Ключевым моментом в этом определении является то, что тогда и только тогда, когда разница и лежит в . [nb 5] Таким образом, факторпространство «забывает» информацию, содержащуюся в подпространстве .
Ядро линейного отображения состоит из векторов , которые отображаются в . [55] Ядро и образ являются подпространствами и соответственно. [56]
Важным примером является ядро линейного отображения для некоторой фиксированной матрицы . Ядром этого отображения является подпространство векторов таких, что , которое и есть множество решений системы однородных линейных уравнений, принадлежащих . Эта концепция также распространяется на линейные дифференциальные уравнения , в которых коэффициенты также являются функциями . В соответствующем отображении производные функции появляются линейно (в отличие , например, от ) . Поскольку дифференцирование — линейная процедура (то есть и для константы ), то это присвоение является линейным и называется линейным дифференциальным оператором . В частности, решения дифференциального уравнения образуют векторное пространство (над R или C ). [57]
Существование ядер и изображений является частью утверждения о том, что категория векторных пространств (над фиксированным полем ) является абелевой категорией , то есть корпусом математических объектов и сохраняющих структуру отображений между ними ( категория ), которая ведет себя во многом как категория абелевых групп . [58] Из-за этого многие утверждения, такие как первая теорема об изоморфизме (также называемая теоремой о ранге-нулевости в терминах, связанных с матрицами), а также вторая и третья теоремы об изоморфизме, могут быть сформулированы и доказаны способом, очень похожим на соответствующие утверждения для группы .
Прямое произведение векторных пространств и прямая сумма векторных пространств — это два способа объединения индексированного семейства векторных пространств в новое векторное пространство.
Прямой продукт семейства векторных пространств состоит из набора всех кортежей , которые определяют для каждого индекса в некотором наборе индексов элемент . [59] Сложение и скалярное умножение выполняются покомпонентно. Вариантом этой конструкции является прямая сумма (также называемая копродукцией и обозначаемая ), где разрешены только кортежи с конечным числом ненулевых векторов. Если набор индексов конечен, две конструкции согласуются, но в целом они различны.
Тензорное произведение или просто двух векторных пространств является одним из центральных понятий полилинейной алгебры , которая занимается расширением таких понятий, как линейные отображения, на несколько переменных. Отображение из декартова произведения называется билинейным, если оно линейно по обеим переменным и То есть при фиксированном отображении линейно в указанном выше смысле, а также при фиксированном
Тензорное произведение представляет собой особое векторное пространство, которое является универсальным получателем билинейных отображений следующим образом. Оно определяется как векторное пространство, состоящее из конечных (формальных) сумм символов, называемых тензорами , подчиняющихся правилам [60]. Эти правила гарантируют, что отображение из в , которое отображает кортеж , является билинейным. Универсальность утверждает, что для любого векторного пространства и любого билинейного отображения существует уникальное отображение, показанное на диаграмме пунктирной стрелкой, состав которого равен [61]. Это называется универсальным свойством тензорного произведения, примером метода — часто используется в продвинутой абстрактной алгебре — для косвенного определения объектов путем указания карт от этого объекта или к нему.
С точки зрения линейной алгебры векторные пространства полностью понимаются постольку, поскольку любое векторное пространство над данным полем характеризуется с точностью до изоморфизма своей размерностью. Однако векторные пространства сами по себе не предлагают основу для решения крайне важного для анализа вопроса: сходится ли последовательность функций к другой функции. Точно так же линейная алгебра не приспособлена для работы с бесконечными рядами , поскольку операция сложения позволяет добавлять только конечное число членов. Поэтому потребности функционального анализа требуют рассмотрения дополнительных структур. [62]
Векторному пространству можно придать частичный порядок , при котором можно сравнивать некоторые векторы. [63] Например, -мерное реальное пространство можно упорядочить, сравнивая его векторы покомпонентно. Упорядоченные векторные пространства , например пространства Рисса , имеют фундаментальное значение для интегрирования Лебега , которое основано на способности выражать функцию как разность двух положительных функций, где обозначает положительную часть и отрицательную часть. [64]
«Измерение» векторов осуществляется путем указания нормы , базы данных, которая измеряет длину векторов, или внутреннего продукта , который измеряет углы между векторами. Нормы и внутренние продукты обозначаются и соответственно. Данные внутреннего продукта подразумевают, что длины векторов также могут быть определены путем определения соответствующей нормы. Векторные пространства, наделенные такими данными, известны как нормированные векторные пространства и пространства внутреннего продукта соответственно. [65]
Координатное пространство может быть снабжено стандартным скалярным произведением : это отражает общее понятие угла между двумя векторами и законом косинусов : из-за этого два удовлетворяющих вектора называются ортогональными . В пространстве Минковского используется важный вариант стандартного скалярного произведения : наделённый произведением Лоренца [66]. В отличие от стандартного скалярного произведения, оно не является положительно-определённым : также принимает отрицательные значения, например, для Выделение четвертой координаты — соответствующий времени , а не трем пространственным измерениям, — делает его полезным для математической обработки специальной теории относительности .
Вопросы сходимости рассматриваются путем рассмотрения векторных пространств, несущих совместимую топологию , структуру, которая позволяет говорить о близости элементов друг к другу . [67] Совместимость здесь означает, что сложение и скалярное умножение должны быть непрерывными отображениями . Грубо говоря, если и in , и in изменяются на ограниченную величину, то то же самое следует делать и [nb 6]. Чтобы иметь смысл указывать величину изменения скаляра, поле также должно нести топологию в этом контексте; общий выбор — действительные или комплексные числа.
В таких топологических векторных пространствах можно рассматривать серии векторов. Бесконечная сумма обозначает предел соответствующих конечных частичных сумм последовательности элементов. Например, это могут быть (действительные или комплексные) функции, принадлежащие некоторому функциональному пространству, и в этом случае ряд является функциональным рядом . Способ сходимости ряда зависит от топологии, наложенной на функциональное пространство. В таких случаях двумя яркими примерами являются поточечная и равномерная сходимость . [68]
Способ гарантировать существование пределов некоторых бесконечных серий — это ограничить внимание пространствами, где любая последовательность Коши имеет предел; такое векторное пространство называется полным . Грубо говоря, векторное пространство является полным, если оно содержит все необходимые пределы. Например, векторное пространство многочленов на единичном интервале, снабженное топологией равномерной сходимости, не является полным, поскольку любая непрерывная функция на может быть равномерно аппроксимирована последовательностью многочленов по теореме аппроксимации Вейерштрасса . [69] Напротив, пространство всех непрерывных функций с одной и той же топологией является полным. [70] Норма порождает топологию, определяя, что последовательность векторов сходится к тогда и только тогда, когда банахово и гильбертово пространства являются полными топологическими векторными пространствами, топологии которых задаются соответственно нормой и скалярным произведением. Их исследование — ключевая часть функционального анализа — сосредоточено на бесконечномерных векторных пространствах, поскольку все нормы в конечномерных топологических векторных пространствах порождают одно и то же понятие сходимости. [71] Изображение справа показывает эквивалентность -нормы и -нормы, поскольку единичные «шарики» охватывают друг друга, последовательность сходится к нулю в одной норме тогда и только тогда, когда это происходит в другой норме. Однако в бесконечномерном случае, как правило, будут неэквивалентные топологии, что делает изучение топологических векторных пространств более богатым, чем исследование векторных пространств без дополнительных данных.
С концептуальной точки зрения все понятия, связанные с топологическими векторными пространствами, должны соответствовать топологии. Например, вместо того, чтобы рассматривать все линейные карты (также называемые функционалами ), карты между топологическими векторными пространствами должны быть непрерывными. [72] В частности, (топологическое) дуальное пространство состоит из непрерывных функционалов (или к ). Фундаментальная теорема Хана – Банаха касается разделения подпространств соответствующих топологических векторных пространств непрерывными функционалами. [73]
Банаховы пространства , введенные Стефаном Банахом , являются полными нормированными векторными пространствами. [74]
Первым примером является векторное пространство , состоящее из бесконечных векторов с вещественными элементами, чья -норма определяется формулой
Топологии в бесконечномерном пространстве неэквивалентны для разных. Например, последовательность векторов , в которой первые компоненты и последующие - сходится к нулевому вектору для но не для но
В более общем смысле, чем последовательности действительных чисел, функции наделены нормой, которая заменяет указанную выше сумму интегралом Лебега .
Пространство интегрируемых функций на данной области (например, интервале), удовлетворяющих этой норме и снабженных этой нормой, называется пространством Лебега и обозначается [nb 7]
Эти пространства полны. [75] (Если вместо этого использовать интеграл Римана , пространство будет неполным , что можно рассматривать как обоснование теории интегрирования Лебега. [nb 8] ). Конкретно это означает, что для любой последовательности интегрируемых по Лебегу функций , удовлетворяющих условии, что существует функция, принадлежащая векторному пространству такая, что
Наложение условий ограниченности не только на функцию, но и на ее производные приводит к пространствам Соболева . [76]
Полные пространства внутреннего произведения известны как гильбертовы пространства , в честь Дэвида Гильберта . [77] Ключевым случаем является гильбертово пространство со скалярным произведением, где обозначает комплексно-сопряженное число из [78] [nb 9] .
По определению, в гильбертовом пространстве любая последовательность Коши сходится к пределу. И наоборот, не менее важно найти последовательность функций с желаемыми свойствами, которые аппроксимируют заданную предельную функцию. Ранний анализ под видом аппроксимации Тейлора установил аппроксимацию дифференцируемых функций полиномами. [79] По теореме Стоуна-Вейерштрасса каждая непрерывная функция на может быть сколь угодно близко аппроксимирована полиномом. [80] Подобный метод аппроксимации тригонометрическими функциями обычно называется расширением Фурье и широко применяется в технике. В более общем и более концептуальном плане теорема дает простое описание того, какие «базовые функции» или, в абстрактных гильбертовых пространствах, какие базовые векторы достаточны для создания гильбертова пространства в том смысле, что замыкание их промежутка (то есть конечного линейные комбинации и пределы тех) — это всё пространство. Такой набор функций называется базисом его мощности, известным как размерность гильбертова пространства . [nb 10] Теорема не только показывает подходящие базисные функции, достаточные для целей аппроксимации, но также вместе с процессом Грама – Шмидта она позволяет построить базис ортогональных векторов . [81] Такие ортогональные базисы являются обобщением координатных осей в гильбертовом пространстве в конечномерном евклидовом пространстве .
Решения различных дифференциальных уравнений можно интерпретировать в терминах гильбертовых пространств. Например, очень многие области физики и техники приводят к таким уравнениям, и часто решения с определенными физическими свойствами используются в качестве базисных функций, часто ортогональных. [82] В качестве примера из физики, зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике описывает изменение физических свойств во времени с помощью уравнения в частных производных , решения которого называются волновыми функциями . [83] Определенные значения физических свойств, таких как энергия или импульс, соответствуют собственным значениям определенного (линейного) дифференциального оператора , а соответствующие волновые функции называются собственными состояниями . Спектральная теорема разлагает линейный компактный оператор, действующий на функции, через эти собственные функции и их собственные значения. [84]
Общие векторные пространства не обладают умножением между векторами. Векторное пространство, снабженное дополнительным билинейным оператором , определяющим умножение двух векторов, является алгеброй над полем (или F -алгеброй, если поле F задано). [85]
Например, набор всех многочленов образует алгебру, известную как кольцо многочленов : используя то, что сумма двух многочленов является многочленом, они образуют векторное пространство; они образуют алгебру, поскольку произведение двух многочленов снова является многочленом. Кольца многочленов (от нескольких переменных) и их частных составляют основу алгебраической геометрии , поскольку они являются кольцами функций алгебро-геометрических объектов . [86]
Другим важным примером являются алгебры Ли , которые не являются ни коммутативными, ни ассоциативными, но неспособность быть таковой ограничивается ограничениями ( обозначает произведение и ):
Примеры включают векторное пространство -матриц с коммутатором двух матриц и наделенным векторным произведением .
Тензорная алгебра — это формальный способ добавления произведений в любое векторное пространство для получения алгебры. [88] Как векторное пространство, оно состоит из символов, называемых простыми тензорами , степень которых варьируется. Умножение задается путем объединения таких символов, применения закона распределения при сложении и требования, чтобы скалярное умножение коммутировало с тензорным произведением ⊗, почти так же, как с тензорным произведением двух векторных пространств, введенным в предыдущем разделе о тензорных произведениях. В общем, между ними нет никаких отношений . Принуждение двух таких элементов к равенству приводит к симметричной алгебре , тогда как принуждение дает внешнюю алгебру . [89]
Векторное расслоение — это семейство векторных пространств, непрерывно параметризованных топологическим пространством X . [90] Точнее, векторное расслоение над X — это топологическое пространство E, снабженное непрерывным отображением, такое , что для каждого x в X слой π −1 ( x ) является векторным пространством. Случай dim V = 1 называется линейным расслоением . Для любого векторного пространства V проекция X × V → X превращает произведение X × V в «тривиальное» векторное расслоение . Векторные расслоения над X должны быть локально продуктом X и некоторого (фиксированного) векторного пространства V : для каждого x в X существует окрестность U x такая , что ограничение π на π −1 ( U ) изоморфно. [nb 11] к тривиальному расслоению U × V → U . Несмотря на свой локально тривиальный характер, векторные расслоения могут (в зависимости от формы основного пространства X ) быть «скрученными» в большом (то есть расслоение не обязательно должно быть (глобально изоморфным) тривиальному расслоению X × V ). Например, ленту Мёбиуса можно рассматривать как расслоение линий над окружностью S 1 (путем отождествления открытых интервалов с реальной линией ). Однако он отличается от цилиндра S 1 × R тем, что последний является ориентируемым , а первый — нет. [91]
Свойства определенных векторных расслоений предоставляют информацию о базовом топологическом пространстве. Например, касательное расслоение состоит из совокупности касательных пространств , параметризованных точками дифференцируемого многообразия. Касательное расслоение окружности S1 глобально изоморфно S1 × R , поскольку на S1 существует глобальное ненулевое векторное поле . [nb 12] Напротив, по теореме о волосатом шаре на 2-сфере S 2 не существует (касательного) векторного поля, которое всюду ненулевое. [92] K-теория изучает классы изоморфизма всех векторных расслоений над некоторым топологическим пространством. [93] Помимо углубления топологического и геометрического понимания , оно имеет чисто алгебраические последствия, такие как классификация конечномерных вещественных алгебр с делением : R , C , кватернионов H и октонионов O.
Кокасательное расслоение дифференцируемого многообразия состоит в каждой точке многообразия из двойственного к касательному пространству — кокасательного пространства . Секции этого расслоения известны как дифференциальные одноформы .
Модули для колец — то же самое, что векторные пространства для полей: те же аксиомы, примененные к кольцу R вместо поля F , дают модули. [94] Теория модулей по сравнению с теорией векторных пространств усложняется наличием кольцевых элементов, не имеющих мультипликативных обратных . Например, модулям не обязательно иметь основания, как показывает Z -модуль (т. е. абелева группа ) Z /2 Z ; те модули, которые это делают (включая все векторные пространства), известны как свободные модули . Тем не менее, векторное пространство можно компактно определить как модуль над кольцом , которое является полем , элементы которого называются векторами. Некоторые авторы используют термин «векторное пространство» для обозначения модулей над телом . [95] Алгебро-геометрическая интерпретация коммутативных колец через их спектр позволяет развивать такие понятия, как локально свободные модули , алгебраический аналог векторных расслоений.
Грубо говоря, аффинные пространства — это векторные пространства, происхождение которых не указано. [96] Точнее, аффинное пространство — это множество со свободным транзитивным действием в векторном пространстве . В частности, векторное пространство является аффинным пространством над самим собой по отображению. Если W - векторное пространство, то аффинное подпространство - это подмножество W , полученное путем перевода линейного подпространства V на фиксированный вектор x ∈ W ; это пространство обозначается x + V (оно является смежным классом V в W ) и состоит из всех векторов вида x + v для v ∈ V . Важным примером является пространство решений системы неоднородных линейных уравнений, обобщающее однородный случай, рассмотренный в предыдущем разделе о линейных уравнениях, которое можно найти, поставив в это уравнение. [97] Пространство решений — это аффинное подпространство x + V , где x — частное решение уравнения, а V — пространство решений однородного уравнения ( нулевое пространство A ) .
Набор одномерных подпространств фиксированного конечномерного векторного пространства V известен как проективное пространство ; его можно использовать для формализации идеи параллельных линий, пересекающихся на бесконечности. [98] Грассманианы и многообразия флагов обобщают это путем параметризации линейных подпространств фиксированной размерности k и флагов подпространств соответственно.
{{citation}}
: CS1 maint: location missing publisher (link)