Амалия Эмми Нётер [a] ( США : / ˈnʌtər / , Великобритания : / ˈnɜːtə / ; нем.: [ ˈnøːtɐ] ; 23 марта 1882 — 14 апреля 1935) — немецкий математик , внёсший важный вклад в абстрактную алгебру . Она доказала первую и вторую теоремы Нётер , которые являются основополагающими в математической физике . [4] Павел Александров , Альберт Эйнштейн , Жан Дьёдонне , Герман Вейль и Норберт Винер называли её самой важной женщиной в истории математики . [5] [6] Будучи одним из ведущих математиков своего времени, она разработала теории колец , полей и алгебр . В физике теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения . [7]
Нётер родилась в еврейской семье в франконском городе Эрланген ; её отцом был математик Макс Нётер . Первоначально она планировала преподавать французский и английский языки после сдачи необходимых экзаменов, но вместо этого изучала математику в Университете Эрлангена , где читал лекции её отец. После получения докторской степени в 1907 году [8] под руководством Пауля Гордана она работала в Математическом институте Эрлангена бесплатно в течение семи лет. В то время женщины в основном были исключены из академических должностей. В 1915 году она была приглашена Давидом Гильбертом и Феликсом Кляйном на математический факультет Гёттингенского университета , всемирно известного центра математических исследований. Однако философский факультет возражал, и она провела четыре года, читая лекции под именем Гильберта. Её хабилитация была одобрена в 1919 году, что позволило ей получить звание приват-доцента . [8]
Нётер оставалась ведущим членом математического факультета Гёттингена до 1933 года; её учеников иногда называли «мальчиками Нётер». В 1924 году голландский математик Б. Л. ван дер Варден присоединился к её кругу и вскоре стал ведущим толкователем идей Нётер; её работа легла в основу второго тома его влиятельного учебника 1931 года « Современная алгебра» . К моменту её пленарного выступления на Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1932 году её алгебраическая проницательность была признана во всём мире. В следующем году нацистское правительство Германии уволило евреев с университетских должностей , и Нётер переехала в США, чтобы занять должность в колледже Брин-Мор в Пенсильвании . Там она преподавала аспиранткам и постдокторантам, включая Мари Иоганну Вайс , Рут Штауффер, Грейс Шовер Куинн и Ольгу Таусски-Тодд . В то же время она читала лекции и проводила исследования в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . [8] Нётер умерла 14 апреля 1935 года в возрасте 53 лет.
Математическая работа Нётер была разделена на три « эпохи ». [9] В первую (1908–1919) она внесла вклад в теории алгебраических инвариантов и числовых полей . Её работа по дифференциальным инвариантам в вариационном исчислении , теорема Нётер , была названа «одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в руководстве развитием современной физики». [10] Во вторую эпоху (1920–1926) она начала работу, которая «изменила лицо [абстрактной] алгебры». [11] В своей классической статье 1921 года Idealtheorie in Ringbereichen ( Теория идеалов в кольцевых областях ) Нётер развила теорию идеалов в коммутативных кольцах в инструмент с широким спектром приложений. Она элегантно использовала условие возрастающей цепи , и объекты, удовлетворяющие ему, называются нётеровыми в её честь. В третью эпоху (1927–1935) она опубликовала работы по некоммутативным алгебрам и гиперкомплексным числам и объединила теорию представлений групп с теорией модулей и идеалов. В дополнение к собственным публикациям Нётер была щедра на свои идеи и ей приписывают несколько направлений исследований, опубликованных другими математиками , даже в областях, далеких от ее основной работы, таких как алгебраическая топология .
Эмми Нётер родилась 23 марта 1882 года. Она была первой из четырёх детей математика Макса Нётера и Иды Амалии Кауфман, оба из семей еврейских торговцев. [12] Её первое имя было «Амалия», но она начала использовать своё второе имя в раннем возрасте и неизменно использовала имя «Эмми Нётер» во взрослой жизни и в своих публикациях. [a]
В юности Нётер не выделялась академическими успехами, хотя была известна как умная и дружелюбная. Она была близорука и немного шепелявила в детстве. Друг семьи рассказал историю много лет спустя о том, как юная Нётер быстро решила головоломку на детском празднике, проявив логическую сообразительность в раннем возрасте. [13] Её учили готовить и убирать, как и большинство девочек того времени, и она брала уроки игры на фортепиано. Она не занималась ни одним из этих занятий со страстью, хотя любила танцевать. [14]
У нее было три младших брата. Старший, Альфред Нётер, родился в 1883 году и получил докторскую степень по химии в Эрлангене в 1909 году, но умер девять лет спустя. [15] Фриц Нётер родился в 1884 году, учился в Мюнхене и внес вклад в прикладную математику . Он был казнен в Советском Союзе в 1941 году. [16] Младший, Густав Роберт Нётер, родился в 1889 году. О его жизни известно очень мало; он страдал хроническим заболеванием и умер в 1928 году. [17] [18]
Нётер рано проявила знание французского и английского языков. Весной 1900 года она сдала экзамен для учителей этих языков и получила общую оценку sehr gut (очень хорошо). Её успеваемость дала ей право преподавать языки в школах для девочек, но вместо этого она решила продолжить учёбу в Университете Эрлангена , [19] где её отец был профессором. [20]
Это было нетрадиционное решение; двумя годами ранее Академический сенат университета заявил, что разрешение смешанного образования полов «разрушит весь академический порядок». [21] Одна из двух женщин в университете с 986 студентами, Нётер могла только посещать занятия, а не участвовать в них в полной мере, и ей требовалось разрешение отдельных профессоров, чьи лекции она хотела посещать. Несмотря на эти препятствия, 14 июля 1903 года она сдала выпускной экзамен в Realgymnasium в Нюрнберге . [19] [22] [23]
В течение зимнего семестра 1903–1904 годов она училась в Гёттингенском университете , посещая лекции астронома Карла Шварцшильда и математиков Германа Минковского , Отто Блюменталя , Феликса Клейна и Давида Гильберта . [24]
В 1903 году ограничения на полный прием женщин в баварские университеты были отменены. [25] Нётер вернулась в Эрланген и официально повторно поступила в университет в октябре 1904 года, заявив о своем намерении сосредоточиться исключительно на математике. Она была одной из шести женщин на своем курсе (двумя слушателями) и единственной женщиной в выбранной ею школе. [26] Под руководством Пауля Гордана она написала свою диссертацию Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ( О полных системах инвариантов для тернарных биквадратных форм ) [27] в 1907 году, окончив ее с отличием в том же году. [28] Гордан был членом «вычислительной» школы исследователей инвариантов, и диссертация Нётер заканчивалась списком из более чем 300 явно разработанных инвариантов. Этот подход к инвариантам позже был заменен более абстрактным и общим подходом, впервые предложенным Гильбертом. [29] [30] Хотя он был хорошо принят, Нётер позже описала свою диссертацию и некоторые последующие похожие работы, написанные ею, как «чушь». [30] [31] [b]
С 1908 по 1915 год Нётер преподавала в Математическом институте Эрлангена бесплатно, иногда заменяя своего отца, Макса Нётера , когда он был слишком болен, чтобы читать лекции. [32] В 1910 и 1911 годах она опубликовала расширение своей диссертационной работы с трёх переменных до n переменных. [33]
Гордан вышел на пенсию в 1910 году, [34] и Нётер преподавала под руководством его преемников, Эрхарда Шмидта и Эрнста Фишера , который сменил первого в 1911 году. [35] По словам её коллеги Германа Вейля и её биографа Огюста Дика , Фишер оказал большое влияние на Нётер, в частности, познакомив её с работами Давида Гильберта . [36] [37] Нётер и Фишер разделяли живое удовольствие от математики и часто обсуждали лекции ещё долго после того, как они заканчивались; известно, что Нётер отправляла Фишеру открытки, продолжая ход своих математических мыслей. [38] [39]
С 1913 по 1916 год Нётер опубликовала несколько статей, расширяющих и применяющих методы Гильберта к математическим объектам, таким как поля рациональных функций и инварианты конечных групп . [40] Этот этап ознаменовал первое знакомство Нётер с абстрактной алгеброй , областью, в которую она внесла новаторский вклад. [41]
В Эрлангене Нётер консультировала двух докторантов: [42] Ганса Фалькенберга и Фрица Зайдельмана, которые защитили свои диссертации в 1911 и 1916 годах. [43] [44] Несмотря на значительную роль Нётер, они оба официально находились под руководством её отца. После завершения своей докторской диссертации Фалькенберг провел некоторое время в Брауншвейге и Кёнигсберге, прежде чем стать профессором в Гиссенском университете [45], в то время как Зайдельман стал профессором в Мюнхене . [42]
Весной 1915 года Нётер была приглашена вернуться в Гёттингенский университет Давидом Гильбертом и Феликсом Кляйном . Их попытка завербовать её была первоначально заблокирована филологами и историками среди философского факультета, которые настаивали на том, что женщины не должны становиться приват-доцентами . На совместном заседании факультета по этому вопросу один из преподавателей выразил протест: «Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и обнаружат, что им приходится учиться у ног женщины?» [46] [47] Гильберт, который считал, что квалификация Нётер была единственным важным вопросом, а пол кандидата не имел значения, возражал с возмущением и ругал тех, кто протестовал против её хабилитации. Хотя его точные слова не сохранились, часто говорят, что его возражение включало замечание о том, что университет был «не баней». [46] [36] [48] [49] По воспоминаниям Павла Александрова , оппозиция преподавателей Нётер основывалась не только на сексизме, но и на их возражениях против её социал-демократических политических убеждений и еврейского происхождения. [49]
Нётер уехала в Гёттинген в конце апреля; две недели спустя её мать внезапно умерла в Эрлангене. Ранее она получала медицинскую помощь из-за болезни глаз, но её характер и влияние на её смерть неизвестны. Примерно в то же время отец Нётер вышел в отставку, а её брат присоединился к немецкой армии, чтобы служить в Первой мировой войне . Она вернулась в Эрланген на несколько недель, в основном, чтобы ухаживать за своим стареющим отцом. [50]
В первые годы преподавания в Геттингене у нее не было официальной должности, и она не получала зарплату. Ее лекции часто рекламировались под именем Гильберта, а Нётер оказывала «помощь». [51]
Вскоре после прибытия в Гёттинген она продемонстрировала свои способности, доказав теорему, теперь известную как теорема Нётер , которая показывает, что закон сохранения связан с любой дифференцируемой симметрией физической системы . [47] [52] Доклад, Invariante Variationsprobleme , был представлен коллегой Феликсом Клейном 26 июля 1918 года на заседании Королевского научного общества в Гёттингене. [53] [54] Нётер, по-видимому, не представляла его сама, поскольку не была членом общества. [55] Американские физики Леон М. Ледерман и Кристофер Т. Хилл утверждают в своей книге «Симметрия и прекрасная Вселенная », что теорема Нётер «безусловно является одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в руководстве развитием современной физики , возможно, наравне с теоремой Пифагора ». [10]
Когда Первая мировая война закончилась, немецкая революция 1918–1919 годов принесла значительные изменения в общественные отношения, включая больше прав для женщин. В 1919 году Геттингенский университет разрешил Нётер продолжить ее хабилитацию (право на постоянную должность). Ее устный экзамен состоялся в конце мая, и она успешно прочитала свою лекцию по хабилитации в июне 1919 года. [56] Нётер стала приват-доцентом , [57] и в том осеннем семестре она прочитала первые лекции, перечисленные под ее собственным именем. [58] Ей по-прежнему не платили за ее работу. [51]
Три года спустя она получила письмо от Отто Бёлица , прусского министра науки, искусства и народного образования, в котором он присвоил ей звание nicht beamteter ausserordentlicher Professor (нештатный профессор с ограниченными внутренними административными правами и функциями). [59] Это была неоплачиваемая «экстраординарная» профессорская должность , а не более высокая «ординарная» профессорская должность, которая была государственной должностью. Хотя она признавала важность ее работы, эта должность все еще не предусматривала зарплату. Нётер не получала зарплату за свои лекции, пока ее не назначили на специальную должность Lehrbeauftragte für Algebra годом позже. [60] [61]
Хотя теорема Нётер оказала значительное влияние на классическую и квантовую механику, среди математиков она больше всего запомнилась своим вкладом в абстрактную алгебру . В своем введении к сборнику трудов Нётер Натан Якобсон написал, что
Развитие абстрактной алгебры, которая является одним из самых выдающихся нововведений математики двадцатого века, во многом обязано ей – опубликованным работам, лекциям и личному влиянию на ее современников. [1]
Работа Нётер в области алгебры началась в 1920 году, когда в сотрудничестве со своим учеником Вернером Шмейдлером она опубликовала статью о теории идеалов , в которой они определили левые и правые идеалы в кольце . [41]
-Portr_12109.tif/lossy-page1-1280px-ETH-BIB-Waerden,_Bartel_Leendert_van_der_(1903-1996)-Portr_12109.tif.jpg)
В следующем году она опубликовала статью Idealtheorie in Ringbereichen , [62] анализируя условия восходящей цепи относительно (математических) идеалов , в которой она доказала теорему Ласкера-Нётер в ее полной общности. Известный алгебраист Ирвинг Капланский назвал эту работу «революционной». [63] Публикация привела к появлению термина «нётеровский» для объектов, которые удовлетворяют условию восходящей цепи. [63] [64]
В 1924 году молодой голландский математик Бартель Леендерт ван дер Варден прибыл в Гёттингенский университет. Он сразу же начал работать с Нётер, которая предоставила бесценные методы абстрактной концептуализации. Ван дер Варден позже сказал, что ее оригинальность была «абсолютной вне всякого сравнения». [65] После возвращения в Амстердам он написал «Современную алгебру» , центральный двухтомный текст в этой области; его второй том, опубликованный в 1931 году, во многом заимствовал работы Нётер. [66] Хотя Нётер не искал признания, он включил в качестве примечания в седьмое издание «частично основанные на лекциях Э. Артина и Э. Нётер». [67] [68] [69] Начиная с 1927 года Нётер тесно сотрудничала с Эмилем Артином , Рихардом Брауэром и Хельмутом Хассе по некоммутативным алгебрам . [36] [66]
Визит Ван дер Вардена был частью сближения математиков со всего мира в Гёттингене, который стал крупным центром математических и физических исследований. Русские математики Павел Александров и Павел Урысон были первыми из нескольких в 1923 году. [70] Между 1926 и 1930 годами Александров регулярно читал лекции в университете, и он и Нётер стали хорошими друзьями. [71] Он начал называть ее der Noether , используя мужской немецкий артикль как ласковое обращение, чтобы показать свое уважение. Она пыталась устроить его на должность постоянного профессора в Гёттингене, но смогла только помочь ему получить стипендию в Принстонском университете на 1927–1928 учебный год от Фонда Рокфеллера . [71] [72]
В Гёттингене Нётер руководила более чем дюжиной докторантов, [42] хотя большинство из них были вместе с Эдмундом Ландау и другими, поскольку ей не разрешалось руководить диссертациями самостоятельно. [73] [74] Её первой была Грета Германн , которая защитила диссертацию в феврале 1925 года. [75] Хотя её больше всего помнят за её работу по основам квантовой механики , её диссертацию считали важным вкладом в идеальную теорию . [76] [77] Позднее Германн с почтением отзывалась о своей «матери диссертации». [75]
Примерно в то же время Генрих Грелл и Рудольф Хёльцер написали свои диссертации под руководством Нётер, хотя последний умер от туберкулёза незадолго до своей защиты. [75] [78] [79] Грелл защитил диссертацию в 1926 году и продолжил работать в Йенском университете и университете Галле , прежде чем потерять свою преподавательскую лицензию в 1935 году из-за обвинений в гомосексуальных связях. [42] Позже он был восстановлен и стал профессором в Университете Гумбольдта в 1948 году. [42] [75]
Затем Нётер руководила Вернером Вебером [80] и Якобом Левицким [81] , которые оба защитили свои диссертации в 1929 году. [82] [83] Вебер, которого считали всего лишь скромным математиком, [73] позже принял участие в изгнании еврейских математиков из Гёттингена. [84] Левицки работал сначала в Йельском университете , а затем в Еврейском университете в Иерусалиме в Палестине, внеся значительный вклад (в частности, теорему Левицкого и теорему Хопкинса–Левицкого ) в теорию колец . [83]
Другие братья Нётер включали Макса Дойринга , Ганса Фиттинга , Эрнста Витта , Чюнгце К. Цена и Отто Шиллинга . Дойринг, который считался самым многообещающим из учеников Нётер, получил докторскую степень в 1930 году. [85] [86] Он работал в Гамбурге, Мардене и Гёттингене [c] и известен своим вкладом в арифметическую геометрию . [88] Фиттинг окончил университет в 1931 году, защитив диссертацию по абелевым группам [89] и запомнился своими работами по теории групп , в частности, теоремой Фиттинга и леммой Фиттинга . [90] Он умер в возрасте 31 года от болезни костей. [91]
Первоначально Витт был под руководством Нётер, но её должность была отозвана в апреле 1933 года, и вместо него он был назначен Густавом Герглотцем . [91] Он получил докторскую степень в июле 1933 года, защитив диссертацию по теореме Римана-Роха и дзета-функциям , [92] и продолжил вносить несколько вкладов, которые теперь носят его имя . [90] Цен, которого больше всего помнят за доказательство теоремы Цена , получил докторскую степень в декабре того же года. [93] Он вернулся в Китай в 1935 году и начал преподавать в Национальном университете Чжэцзян , [90] но умер всего пять лет спустя. [d] Шиллинг также начал учиться у Нётер, но был вынужден найти нового руководителя из-за эмиграции Нётер. Под руководством Хельмута Хассе он закончил докторскую степень в 1934 году в университете Марбурга . [90] [95] Позже он работал постдокторантом в Тринити -колледже в Кембридже, прежде чем переехать в Соединенные Штаты. [42]
Другими учениками Нётер были Вильгельм Дёрнте, который получил докторскую степень в 1927 году за диссертацию о группах, [96] Вернер Форбек, который сделал это в 1935 году за диссертацию о расщеплении полей , [42] и Вольфганг Вихман, который сделал это в 1936 году за диссертацию о p-адической теории . [97] Информации о первых двух нет, но известно, что Вихман поддерживал студенческую инициативу, которая безуспешно пыталась отменить увольнение Нётер [98] и погиб как солдат на Восточном фронте во время Второй мировой войны . [42]
Нётер сформировала тесный круг математиков, помимо своих докторантов, которые разделяли подход Нётер к абстрактной алгебре и внесли вклад в развитие этой области, [99] группу, часто называемую школой Нётер . [100] [101] Примером этого является её тесное сотрудничество с Вольфгангом Круллем , который значительно продвинул коммутативную алгебру с его Hauptidealsatz и его теорией размерности для коммутативных колец. [102] Другим является Готфрид Кёте , который внес вклад в развитие теории гиперкомплексных величин , используя методы Нётер и Крулля. [102]
В дополнение к ее математической проницательности, Нётер уважали за ее внимание к другим. Хотя она иногда вела себя грубо по отношению к тем, кто не соглашался с ней, она, тем не менее, приобрела репутацию постоянной услужливости и терпеливого руководства новыми студентами. Ее преданность математической точности заставила одного коллегу назвать ее «строгим критиком», но она сочетала это требование точности с заботливым отношением. [103] В некрологе Нётер Ван дер Варден описал ее как
Совершенно неэгоистичная и свободная от тщеславия, она никогда ничего не претендовала для себя, но превыше всего пропагандировала труды своих учеников. [65]
Нётер проявила преданность своему предмету и своим ученикам, которая выходила за рамки академического дня. Однажды, когда здание было закрыто на государственный праздник, она собрала класс на ступенях снаружи, провела их через лес и прочитала лекцию в местной кофейне. [104] Позже, после того как нацистская Германия уволила её с должности преподавателя, она пригласила учеников к себе домой, чтобы обсудить их планы на будущее и математические концепции. [105]
Скромный образ жизни Нётер поначалу был обусловлен тем, что ей отказывали в оплате за её работу. Однако даже после того, как университет начал платить ей небольшую зарплату в 1923 году, она продолжала жить простой и скромной жизнью. Позже ей платили более щедро, но она откладывала половину своей зарплаты, чтобы завещать её своему племяннику, Готфриду Э. Нётеру . [106]
Биографы предполагают, что ее в основном не волновали внешность и манеры, она сосредоточилась на учебе. Ольга Таусски-Тодд , выдающийся алгебраист, которую преподавала Нётер, описала обед, во время которого Нётер, полностью поглощенная обсуждением математики, «дико жестикулировала» во время еды и «постоянно проливала еду и вытирала ее о платье, совершенно невозмутимо». [107] Студенты, следящие за своим внешним видом, съежились, когда она достала платок из блузки, и проигнорировали растущий беспорядок ее волос во время лекции. Однажды во время перерыва в двухчасовом занятии к ней подошли две студентки, чтобы выразить свою обеспокоенность, но они не смогли пробиться сквозь энергичную математическую дискуссию, которую она вела с другими студентами. [108]
Нётер не следовала плану урока для своих лекций. [65] Она говорила быстро, и многие, включая Карла Людвига Зигеля и Пола Дюбрейля , считали, что ее лекции трудно понимать . [109] [110] Студенты, которым не нравился ее стиль, часто чувствовали себя отчужденными. [111] «Посторонние», которые иногда посещали лекции Нётер, обычно проводили в аудитории всего полчаса, прежде чем уйти в разочаровании или замешательстве. Постоянный студент сказал об одном таком случае: «Враг был побежден; он очистил пространство». [112]
Она использовала свои лекции как спонтанное время для обсуждения со своими студентами, чтобы обдумать и прояснить важные проблемы математики. Некоторые из ее самых важных результатов были разработаны в этих лекциях, а конспекты лекций ее студентов легли в основу нескольких важных учебников, таких как учебники ван дер Вардена и Дойринга. [65] Нётер передала заразительный математический энтузиазм своим самым преданным студентам, которые наслаждались своими оживленными беседами с ней. [113] [114]
Несколько ее коллег посещали ее лекции, и она иногда позволяла другим (включая своих студентов) получать признание за ее идеи, в результате чего большая часть ее работы появлялась в статьях не под ее именем. [66] [67] Было зафиксировано, что Нётер прочитала по крайней мере пять семестровых курсов в Геттингене: [115]
Эти курсы часто предшествовали крупным публикациям по тем же темам.
Зимой 1928–1929 годов Нётер приняла приглашение в Московский государственный университет , где продолжила работать с П. С. Александровым . Помимо продолжения своих исследований, она вела занятия по абстрактной алгебре и алгебраической геометрии . Она работала с топологами Львом Понтрягиным и Николаем Чеботарёвым , которые впоследствии высоко оценили её вклад в развитие теории Галуа . [116] [117] [118]
Хотя политика не была центральной в ее жизни, Нётер проявляла живой интерес к политическим вопросам и, по словам Александрова, оказывала значительную поддержку русской революции . Она была особенно рада видеть советские достижения в области науки и математики, которые она считала признаком новых возможностей, ставших возможными благодаря большевистскому проекту. Такое отношение вызвало у нее проблемы в Германии, кульминацией которых стало ее выселение из здания пансионата после того, как студенческие лидеры пожаловались на проживание с «еврейкой, склонной к марксизму». [119] Герман Вайль вспоминал, что «в дикие времена после революции 1918 года » Нётер «более или менее поддерживала социал-демократов ». [36] С 1919 по 1922 год она была членом Независимых социал-демократов , недолго просуществовавшей отколовшейся партии. По словам логика и историка Колина Макларти , «она не была большевисткой, но не боялась, чтобы ее называли таковой». [120]
Нётер планировала вернуться в Москву, и в этом она получила поддержку от Александрова. После того, как она покинула Германию в 1933 году, он пытался помочь ей получить кафедру в Московском государственном университете через Министерство образования СССР . Хотя эта попытка оказалась безуспешной, они часто переписывались в 1930-х годах, и в 1935 году она строила планы возвращения в Советский Союз. [119]
В 1932 году Эмми Нётер и Эмиль Артин получили Мемориальную премию Аккермана-Тойбнера за их вклад в математику. [66] Премия включала денежное вознаграждение в размере 500 ℛ︁ℳ︁ и рассматривалась как давно ожидаемое официальное признание ее значительной работы в этой области. Тем не менее, ее коллеги выразили разочарование тем фактом, что она не была избрана в Геттингенское общество наук (Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften) и никогда не была повышена до должности Ordentlicher Professor [121] [122] (полный профессор). [59]
Коллеги Нётер отпраздновали её пятидесятилетие в 1932 году в типичном для математиков стиле. Хельмут Хассе посвятил ей статью в Mathematische Annalen , в которой он подтвердил её подозрение, что некоторые аспекты некоммутативной алгебры проще, чем аспекты коммутативной алгебры , доказав некоммутативный закон взаимности . [123] Это очень обрадовало её. Он также послал ей математическую загадку, которую назвал «m μν -загадкой слогов». Она решила её немедленно, но загадка была утеряна. [121] [122]
В сентябре того же года Нётер выступила с пленарным докладом ( großer Vortrag ) на тему «Гиперкомплексные системы в их отношениях с коммутативной алгеброй и теорией чисел» на Международном конгрессе математиков в Цюрихе . На конгрессе присутствовало 800 человек, включая коллег Нётер Германа Вейля , Эдмунда Ландау и Вольфганга Крулля . Было 420 официальных участников и представлено двадцать одно пленарное выступление. По-видимому, выдающееся положение Нётер как докладчика было признанием важности её вклада в математику. Конгресс 1932 года иногда описывается как высшая точка её карьеры. [122] [124]
Когда Адольф Гитлер стал рейхсканцлером Германии в январе 1933 года, активность нацистов по всей стране резко возросла. В Геттингенском университете Немецкая студенческая ассоциация возглавила атаку на «негерманский дух», приписываемый евреям, и ей помогал приват-доцент и бывший студент Нётер Вернер Вебер . Антисемитские настроения создали климат, враждебный к еврейским профессорам. Сообщается, что один молодой протестующий потребовал: «Арийские студенты хотят арийскую математику , а не еврейскую». [84]
Одним из первых действий администрации Гитлера был Закон о восстановлении профессиональной гражданской службы , который отстранял евреев и политически подозрительных государственных служащих (включая университетских профессоров) от их рабочих мест, если они не «продемонстрировали свою лояльность Германии», служа в Первой мировой войне . В апреле 1933 года Нётер получила уведомление от прусского Министерства науки, искусства и народного образования, в котором говорилось: «На основании пункта 3 Кодекса гражданской службы от 7 апреля 1933 года я настоящим лишаю вас права преподавать в Гёттингенском университете». [125] [126] Несколько коллег Нётер, включая Макса Борна и Рихарда Куранта , также были отозваны со своих должностей. [125] [126]
Нётер спокойно приняла решение, оказывая поддержку другим в это трудное время. Герман Вайль позже писал, что «Эмми Нётер — её мужество, её откровенность, её безразличие к собственной судьбе, её примирительный дух — была среди всей ненависти и подлости, отчаяния и печали, окружающих нас, моральным утешением». [84] Как правило, Нётер оставалась сосредоточенной на математике, собирая студентов в своей квартире для обсуждения теории классового поля . Когда один из её студентов появился в форме нацистской военизированной организации Sturmabteilung (SA), она не проявила никаких признаков волнения и, как сообщается, даже посмеялась над этим позже. [125] [126]
Когда десятки недавно безработных профессоров начали искать работу за пределами Германии, их коллеги в Соединенных Штатах стремились оказать им помощь и предоставить им возможности трудоустройства. Альберт Эйнштейн и Герман Вейль были назначены Институтом перспективных исследований в Принстоне , в то время как другие работали над поиском спонсора, необходимого для легальной иммиграции . С Нётер связались представители двух учебных заведений: колледжа Брин-Мор в Соединенных Штатах и колледжа Сомервилл в Оксфордском университете в Англии. После серии переговоров с Фондом Рокфеллера для Нётер был одобрен грант в Брин-Мор, и она заняла там должность, начав с конца 1933 года. [127] [128]
В Брин-Море Нётер познакомилась и подружилась с Анной Уилер , которая училась в Гёттингене как раз перед тем, как Нётер приехала туда. Другим источником поддержки в колледже была президент Брин-Мора Мэрион Эдвардс Парк , которая с энтузиазмом приглашала математиков в округе «увидеть доктора Нётер в действии!» [129] [130]
Во время своего пребывания в Брин-Море Нётер сформировала группу, иногда называемую « девушками Нётер» [131] , состоящую из четырёх постдокторантов (Грейс Шовер Куинн, Мари Йоханна Вайс , Ольга Таусски-Тодд , которые все впоследствии сделали успешную карьеру в математике) и докторантов (Рут Штауффер). [132] Они с энтузиазмом работали над «Современной алгеброй I» ван дер Вардена и частями « Теории алгебраических чисел » Эриха Гекке . [ 133] Штауффер была единственным докторантом Нётер в Соединённых Штатах, но Нётер умерла незадолго до её окончания. [134] Она сдала экзамен у Ричарда Брауэра и получила степень в июне 1935 года [135] , защитив диссертацию о сепарабельных нормальных расширениях . [136] После получения докторской степени Штауффер некоторое время работала учителем, а затем более 30 лет — статистиком. [42] [135]
В 1934 году Нётер начала читать лекции в Институте перспективных исследований в Принстоне по приглашению Абрахама Флекснера и Освальда Веблена . [137] Она также работала с Абрахамом Альбертом и Гарри Вандивером . [138] Однако она заметила о Принстонском университете , что её не приветствуют в «мужском университете, куда не допускаются никакие женские предметы». [139]
Ее время в Соединенных Штатах было приятным, так как она была окружена поддерживающими ее коллегами и поглощена своими любимыми предметами. [140] Летом 1934 года она ненадолго вернулась в Германию, чтобы увидеть Эмиля Артина и своего брата Фрица . [141] Последний, после того как его вынудили уйти с работы в Техническом институте Бреслау , принял должность в Научно-исследовательском институте математики и механики в Томске , в Сибирском федеральном округе России. [141] Впоследствии он был казнен во время резни в Медведевском лесу . [142]
Хотя многие из ее бывших коллег были вынуждены уйти из университетов, она смогла пользоваться библиотекой в Геттингене как «иностранный ученый». Без происшествий Нётер вернулась в Соединенные Штаты и продолжила учебу в Брин-Море. [143] [144]
В апреле 1935 года врачи обнаружили опухоль в области таза Нётер . Опасаясь осложнений после операции, они сначала назначили ей два дня постельного режима. Во время операции они обнаружили кисту яичника «размером с большую дыню ». [145] Две меньшие опухоли в ее матке оказались доброкачественными и не были удалены, чтобы избежать продления операции. В течение трех дней она, казалось, выздоравливала нормально, и на четвертый день она быстро оправилась от сосудистой недостаточности . 14 апреля Нётер потеряла сознание, ее температура подскочила до 109 °F (42,8 °C), и она умерла. «[I]t легко сказать, что произошло с доктором Нётер», — написал один из врачей. «Возможно, имела место какая-то форма необычной и вирулентной инфекции, которая поразила основание мозга, где предположительно находятся тепловые центры». [145] Ей было 53 года. [8]
Через несколько дней после смерти Нётер её друзья и коллеги в Брин-Море провели небольшую поминальную службу в доме президента колледжа Парка. [146] Герман Вейль и Ричард Брауэр оба приехали из Принстона и произнесли надгробные речи. [147] В последующие месяцы письменные дани памяти начали появляться по всему миру: Альберт Эйнштейн присоединился к ван дер Вардену, Вейлю и Павлу Александрову , чтобы отдать дань уважения. [5] Её тело было кремировано, а прах захоронен под дорожкой вокруг монастырей библиотеки М. Кэри Томаса в Брин-Море. [148] [149]
Работа Нётер в области абстрактной алгебры и топологии оказала влияние на математику, в то время как теорема Нётер имела широкое распространение в теоретической физике и динамических системах . Нётер проявила острую склонность к абстрактному мышлению, что позволило ей подойти к проблемам математики свежими и оригинальными способами. [38] Её друг и коллега Герман Вейль описал её научную деятельность в трёх эпохах:
(1) период относительной зависимости, 1907–1919 гг.
(2) исследования, сгруппированные вокруг общей теории идеалов 1920–1926 гг.
(3) изучение некоммутативных алгебр, их представлений линейными преобразованиями и их применение к изучению коммутативных числовых полей и их арифметики
— Вайль 1935
В первую эпоху (1907–1919) Нётер занималась в основном дифференциальными и алгебраическими инвариантами , начиная с диссертации под руководством Пола Гордана . Её математический кругозор расширился, а работа стала более общей и абстрактной, поскольку она познакомилась с работами Давида Гильберта , благодаря тесному взаимодействию с преемником Гордана, Эрнстом Сигизмундом Фишером . Вскоре после переезда в Гёттинген в 1915 году она доказала две теоремы Нётер , «одну из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в руководстве развитием современной физики». [10]
Во второй эпохе (1920–1926) Нётер посвятила себя разработке теории математических колец . [150] В третьей эпохе (1927–1935) Нётер сосредоточилась на некоммутативной алгебре , линейных преобразованиях и коммутативных числовых полях. [151] Хотя результаты первой эпохи Нётер были впечатляющими и полезными, её слава среди математиков в большей степени основывается на новаторской работе, которую она проделала во второй и третьей эпохах, как отметили Герман Вейль и Б. Л. ван дер Варден в своих некрологах. [36] [65]
В эти эпохи она не просто применяла идеи и методы более ранних математиков; скорее, она создавала новые системы математических определений, которые будут использоваться будущими математиками. В частности, она разработала совершенно новую теорию идеалов в кольцах , обобщив более ранние работы Ричарда Дедекинда . Она также известна разработкой условий восходящей цепи — простого условия конечности, которое дало в ее руках мощные результаты. [152] Такие условия и теория идеалов позволили Нётер обобщить многие старые результаты и рассмотреть старые проблемы с новой точки зрения, такие как теория исключения и алгебраические многообразия , которые изучал ее отец.
В столетии с 1832 года до смерти Нётер в 1935 году область математики, в частности алгебра , претерпела глубокую революцию, отголоски которой ощущаются до сих пор. Математики прошлых столетий работали над практическими методами решения определенных типов уравнений, например, кубических , четвертых и пятых , а также над связанной с ними проблемой построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки . Начиная с доказательства Карла Фридриха Гаусса 1832 года, что простые числа, такие как пять, могут быть разложены на гауссовы целые числа , [153] введение Эвариста Галуа групп перестановок в 1832 году (хотя из-за его смерти его статьи были опубликованы только в 1846 году Лиувиллем), описание кватернионов Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году и более современное определение групп Артуром Кэли в 1854 году, исследования обратились к определению свойств все более абстрактных систем, определяемых все более универсальными правилами. Наиболее важным вкладом Нётер в математику было развитие этой новой области, абстрактной алгебры . [154]
Двумя наиболее основными объектами абстрактной алгебры являются группы и кольца .
Группа состоит из набора элементов и одной операции, которая объединяет первый и второй элементы и возвращает третий. Операция должна удовлетворять определенным ограничениям, чтобы определить группу: она должна быть замкнутой (при применении к любой паре элементов связанного набора, сгенерированный элемент также должен быть членом этого набора), она должна быть ассоциативной , должен быть элемент идентичности (элемент, который при объединении с другим элементом с помощью операции дает исходный элемент, например, путем умножения числа на единицу), и для каждого элемента должен быть обратный элемент . [155] [156]
Аналогично, кольцо имеет множество элементов, но теперь имеет две операции. Первая операция должна сделать множество коммутативной группой, а вторая операция является ассоциативной и дистрибутивной относительно первой операции. Она может быть или не быть коммутативной ; это означает, что результат применения операции к первому и второму элементу такой же, как ко второму и первому — порядок элементов не имеет значения. [157] Если каждый ненулевой элемент имеет мультипликативную инверсию (элемент x такой, что ax = xa = 1 ), кольцо называется кольцом с делением . Поле определяется как коммутативное кольцо с делением. Например, целые числа образуют коммутативное кольцо, элементами которого являются целые числа, а операциями объединения являются сложение и умножение. Любая пара целых чисел может быть сложена или умножена , всегда в результате чего получается другое целое число, и первая операция, сложение, является коммутативной , т. е. для любых элементов a и b в кольце, a + b = b + a . Вторая операция, умножение, также является коммутативной, но это не обязательно должно быть верно для других колец, то есть a в сочетании с b может отличаться от b в сочетании с a . Примерами некоммутативных колец являются матрицы и кватернионы . Целые числа не образуют деление кольца, потому что вторая операция не всегда может быть инвертирована; например, не существует целого числа a такого, что 3 a = 1. [158] [159 ]
Целые числа обладают дополнительными свойствами, которые не обобщаются на все коммутативные кольца. Важным примером является фундаментальная теорема арифметики , которая гласит, что каждое положительное целое число может быть однозначно разложено на простые числа . [160] Уникальные факторизации не всегда существуют в других кольцах, но Нётер нашла теорему об уникальной факторизации, теперь называемую теоремой Ласкера–Нётер , для идеалов многих колец. Большая часть работы Нётер заключалась в определении того, какие свойства выполняются для всех колец, в разработке новых аналогов старых теорем о целых числах и в определении минимального набора предположений, необходимых для получения определенных свойств колец.
Группы часто изучаются через групповые представления . [161] В своей наиболее общей форме они состоят из выбора группы, множества и действия группы на множестве, то есть операции, которая берет элемент группы и элемент множества и возвращает элемент множества. Чаще всего множество является векторным пространством , а группа описывает симметрии векторного пространства. Например, есть группа, которая представляет жесткие вращения пространства. Вращения являются типом симметрии пространства, потому что сами законы физики не выбирают предпочтительное направление. [162] Нётер использовала эти виды симметрии в своей работе об инвариантах в физике. [163]
Эффективный способ изучения колец — через их модули . Модуль состоит из выбора кольца, другого набора, обычно отличного от базового набора кольца и называемого базовым набором модуля, операции над парами элементов базового набора модуля и операции, которая берет элемент кольца и элемент модуля и возвращает элемент модуля. [164]
Базовый набор модуля и его операция должны образовывать группу. Модуль — это кольцевая версия представления группы: игнорирование второй кольцевой операции и операции над парами элементов модуля определяет представление группы. Реальная полезность модулей заключается в том, что типы существующих модулей и их взаимодействия раскрывают структуру кольца способами, которые не очевидны из самого кольца. Важным частным случаем этого является алгебра . [ e] Алгебра состоит из выбора двух колец и операции, которая берет элемент из каждого кольца и возвращает элемент второго кольца. Эта операция превращает второе кольцо в модуль над первым. Часто первое кольцо является полем.
Такие слова, как «элемент» и «комбинирующая операция», являются очень общими и могут применяться ко многим реальным и абстрактным ситуациям. Любой набор вещей, который подчиняется всем правилам для одной (или двух) операций, по определению является группой (или кольцом) и подчиняется всем теоремам о группах (или кольцах). Целые числа и операции сложения и умножения — это всего лишь один пример. Например, элементы могут быть логическими предложениями, где первая комбинирующая операция — это исключающее или, а вторая — логическая конъюнкция . [165] Теоремы абстрактной алгебры сильны, потому что они общие; они управляют многими системами. Можно было бы представить, что мало что можно заключить об объектах, определенных с таким малым количеством свойств, но именно в этом и заключался дар Нётер открывать максимум, который можно было вывести из данного набора свойств, или, наоборот, определять минимальный набор, существенные свойства, ответственные за конкретное наблюдение. В отличие от большинства математиков, она не создавала абстракций, обобщая известные примеры; скорее, она работала напрямую с абстракциями. В некрологе Нётер ван дер Варден вспоминал, что
Максиму, которой Эмми Нётер руководствовалась на протяжении всей своей работы, можно сформулировать следующим образом: «Любые отношения между числами, функциями и операциями становятся прозрачными, общеприменимыми и полностью продуктивными только после того, как они были изолированы от своих конкретных объектов и сформулированы как универсально значимые концепции» [166] .
Это begriffliche Mathematik (чисто концептуальная математика), которая была характерна для Нётер. Этот стиль математики впоследствии был принят другими математиками, особенно в (тогда новой) области абстрактной алгебры. [167]
Большая часть работы Нётер в первую эпоху её карьеры была связана с теорией инвариантов , в основном с алгебраической теорией инвариантов . Теория инвариантов занимается выражениями, которые остаются постоянными (инвариантными) при группе преобразований. Как повседневный пример, если вращать жёсткую линейку, то координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 ) её конечных точек изменяются, но её длина L, заданная формулой L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 , остаётся прежней. Теория инвариантов была активной областью исследований в конце девятнадцатого века, отчасти подсказанной Эрлангенской программой Феликса Клейна , согласно которой различные типы геометрии должны характеризоваться их инвариантами при преобразованиях, например, поперечным отношением проективной геометрии .
Примером инварианта является дискриминант B 2 − 4 AC двоичной квадратичной формы x· A x + y· B x + y· C y , где x и y — векторы , а « · » — скалярное произведение или « внутреннее произведение » векторов. A , B и C — линейные операторы на векторах, обычно матрицах .
Дискриминант называется «инвариантным», потому что он не изменяется линейными подстановками x → a x + b y и y → c x + d y с определителем ad − bc = 1. Эти подстановки образуют специальную линейную группу SL 2 . [f]
Можно спросить обо всех многочленах от A , B и C , которые не изменяются под действием SL2 ; они называются инвариантами бинарных квадратичных форм и оказываются многочленами дискриминанта.
В более общем случае можно задать вопрос об инвариантах однородных многочленов A 0 x r y 0 + ... + Ar x 0 y r более высокой степени, которые будут определенными многочленами от коэффициентов A 0 , ..., Ar , и еще в более общем случае можно задать аналогичный вопрос для однородных многочленов от более чем двух переменных.
Одной из главных целей теории инвариантов было решение « проблемы конечного базиса ». Сумма или произведение любых двух инвариантов инвариантны, а проблема конечного базиса спрашивала, возможно ли получить все инварианты, начав с конечного списка инвариантов, называемых генераторами , а затем, складывая или умножая генераторы вместе. Например, дискриминант дает конечный базис (с одним элементом) для инвариантов бинарных квадратичных форм.
Советник Нётер, Пол Гордан, был известен как «король теории инвариантов», и его главный вклад в математику состоял в его решении в 1870 году проблемы конечного базиса для инвариантов однородных многочленов от двух переменных. [168] [169] Он доказал это, предложив конструктивный метод для нахождения всех инвариантов и их генераторов, но не смог реализовать этот конструктивный подход для инвариантов от трёх или более переменных. В 1890 году Давид Гильберт доказал аналогичное утверждение для инвариантов однородных многочленов от любого числа переменных. [170] [171] Более того, его метод работал не только для специальной линейной группы, но и для некоторых её подгрупп, таких как специальная ортогональная группа . [172]
Теория Галуа касается преобразований числовых полей , которые переставляют корни уравнения. [173] Рассмотрим полиномиальное уравнение переменной x степени n , в котором коэффициенты берутся из некоторого основного поля , которое может быть, например, полем действительных чисел , рациональных чисел или целых чисел по модулю 7. Может быть или не быть выбор x , который заставляет этот полином оцениваться как ноль. Такой выбор, если он существует, называется корнями . Например, если полином равен x 2 + 1 , а поле — действительные числа, то полином не имеет корней, потому что любой выбор x делает полином больше или равным единице. Однако, если поле расширено , то полином может получить корни, и если оно достаточно расширено, то он всегда имеет количество корней, равное его степени.
Продолжая предыдущий пример, если поле расширяется до комплексных чисел, то многочлен приобретает два корня, + i и − i , где i — мнимая единица , то есть i 2 = −1. В более общем смысле, поле расширения, в котором многочлен может быть разложен на его корни, известно как поле расщепления многочлена. [174]
Группа Галуа многочлена — это множество всех преобразований поля расщепления, которые сохраняют основное поле и корни многочлена. [175] (Эти преобразования называются автоморфизмами .) Группа Галуа x 2 + 1 состоит из двух элементов: тождественного преобразования, которое переводит каждое комплексное число в себя, и комплексного сопряжения , которое переводит + i в − i . Поскольку группа Галуа не изменяет основное поле, она оставляет коэффициенты многочлена неизменными, поэтому она должна оставить множество всех корней неизменным. Однако каждый корень может перейти в другой корень, поэтому преобразование определяет перестановку n корней между собой. Значимость группы Галуа вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая доказывает, что поля, лежащие между основным полем и полем расщепления, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы Галуа. [176]
В 1918 году Нётер опубликовала статью об обратной задаче Галуа . [177] Вместо определения группы Галуа преобразований данного поля и её расширения, Нётер задавалась вопросом, всегда ли, имея поле и группу, можно найти расширение поля, которое имеет данную группу в качестве своей группы Галуа. Она свела это к « проблеме Нётер », которая спрашивает, всегда ли фиксированное поле подгруппы G группы перестановок S n , действующей на поле k ( x 1 , ..., x n ), является чистым трансцендентным расширением поля k . (Она впервые упомянула эту проблему в статье 1913 года [178] , где она приписала проблему своему коллеге Фишеру .) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. В 1969 году Ричард Суон нашел контрпример к проблеме Нётер с n = 47 и G — циклической группой порядка 47 [179] (хотя эта группа может быть реализована как группа Галуа над рациональными числами другими способами). Обратная проблема Галуа остается нерешенной. [180]
Нётер была доставлена в Гёттинген в 1915 году Дэвидом Гильбертом и Феликсом Кляйном, которые хотели, чтобы ее опыт в теории инвариантов помог им в понимании общей теории относительности [181], геометрической теории гравитации, разработанной в основном Альбертом Эйнштейном . Гильберт заметил, что сохранение энергии , по-видимому, нарушается в общей теории относительности, поскольку гравитационная энергия сама по себе может гравитировать. Нётер предоставила разрешение этого парадокса и фундаментальный инструмент современной теоретической физики с первой теоремой Нётер , которую она доказала в 1915 году, но не публиковала до 1918 года. [182] Она не только решила проблему для общей теории относительности, но и определила сохраняющиеся величины для каждой системы физических законов, которая обладает некоторой непрерывной симметрией. [183] Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:
Вчера я получил от мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Я впечатлён, что такие вещи можно понимать таким общим образом. Старой гвардии в Гёттингене стоит поучиться у мисс Нётер! Кажется, она знает своё дело. [184]
Для иллюстрации, если физическая система ведет себя одинаково, независимо от того, как она ориентирована в пространстве, то физические законы, которые ею управляют, являются вращательно-симметричными; из этой симметрии теорема Нётер показывает, что угловой момент системы должен сохраняться. [163] [185] Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зубчатый астероид, кувыркающийся в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Скорее, симметрия физических законов, управляющих системой, ответственна за закон сохранения. В качестве другого примера, если физический эксперимент имеет одинаковый результат в любом месте и в любое время, то его законы симметричны относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени; по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения линейного импульса и энергии внутри этой системы соответственно. [186]
Теорема Нётер стала фундаментальным инструментом современной теоретической физики , как из-за понимания законов сохранения, которое она дает, так и в качестве практического инструмента вычислений. [7] Ее теорема позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины из наблюдаемых симметрий физической системы. Наоборот, она облегчает описание физической системы на основе классов гипотетических физических законов. Для иллюстрации предположим, что обнаружено новое физическое явление. Теорема Нётер обеспечивает проверку теоретических моделей явления:
Если теория обладает непрерывной симметрией, то теорема Нётер гарантирует, что теория имеет сохраняющуюся величину, и для того, чтобы теория была верной, это сохранение должно наблюдаться в экспериментах.
В эту эпоху Нётер прославилась своим искусным использованием возрастающих ( Teilerkettensatz ) или нисходящих ( Vielfachenkettensatz ) цепных условий. [152] Последовательность непустых подмножеств A 1 , A 2 , A 3 и т. д. множества S обычно называется возрастающей , если каждое из них является подмножеством следующего
И наоборот, последовательность подмножеств S называется нисходящей, если каждое из них содержит следующее подмножество:
Цепь становится постоянной после конечного числа шагов , если существует n такое, что для всех m ≥ n . Набор подмножеств данного множества удовлетворяет условию восходящей цепи , если любая восходящая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов. Он удовлетворяет условию нисходящей цепи, если любая нисходящая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов.
Условия восходящей и нисходящей цепи являются общими, то есть их можно применять ко многим типам математических объектов – и на первый взгляд они могут показаться не очень мощными. Однако Нётер показала, как использовать такие условия с максимальной выгодой. Например, условия цепи можно использовать, чтобы показать, что каждый набор подобъектов имеет максимальный/минимальный элемент или что сложный объект может быть сгенерирован меньшим числом элементов. Эти выводы часто являются решающими шагами в доказательстве.
Многие типы объектов в абстрактной алгебре могут удовлетворять цепным условиям, и обычно, если они удовлетворяют условию возрастающей цепи, их называют нётеровыми в её честь. [187] По определению, нётерово кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепи на своих левых и правых идеалах, тогда как нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепь подгрупп конечна. Нётеров модуль — это модуль , в котором каждая строго возрастающая цепь подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нётерово пространство — это топологическое пространство , в котором каждая строго возрастающая цепь открытых подпространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр нётерова кольца нётеровым топологическим пространством.
Условие цепи часто «наследуется» подобъектами. Например, все подпространства нётерова пространства сами являются нётеровыми; все подгруппы и факторгруппы нётеровой группы также являются нётеровыми; и, mutatis mutandis , то же самое справедливо для подмодулей и фактормодулей нётерова модуля. Все факторкольца нётерова кольца являются нётеровыми, но это не обязательно справедливо для его подколец. Условие цепи также может наследоваться комбинациями или расширениями нётерова объекта. Например, конечные прямые суммы нётеровских колец являются нётеровыми, как и кольцо формальных степенных рядов над нётеровым кольцом.
Другое применение таких цепных условий — нётеровская индукция , также известная как хорошо обоснованная индукция , которая является обобщением математической индукции . Она часто используется для сведения общих утверждений о наборах объектов к утверждениям о конкретных объектах в этом наборе. Предположим, что S — частично упорядоченное множество . Один из способов доказательства утверждения об объектах S — предположить существование контрпримера и вывести противоречие, тем самым доказав контрапозицию исходного утверждения. Основная предпосылка нётеровской индукции заключается в том, что каждое непустое подмножество S содержит минимальный элемент. В частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент, минимальный контрпример . Таким образом, чтобы доказать исходное утверждение, достаточно доказать что-то, казалось бы, гораздо более слабое: для любого контрпримера существует меньший контрпример.
Статья Нётер Idealtheorie in Ringbereichen ( Теория идеалов в кольцевых областях , 1921) [62] является основой общей теории коммутативных колец и даёт одно из первых общих определений коммутативного кольца . [188] До её статьи большинство результатов в коммутативной алгебре ограничивались специальными примерами коммутативных колец, такими как кольца полиномов над полями или кольца алгебраических целых чисел. Нётер доказала, что в кольце, которое удовлетворяет условию возрастающей цепи для идеалов , каждый идеал конечно порождён. В 1943 году французский математик Клод Шевалле ввёл термин «нётерово кольцо » для описания этого свойства. [188] Основным результатом статьи Нётер 1921 года является теорема Ласкера–Нётер , которая распространяет теорему Ласкера о первичном разложении идеалов колец полиномов на все нётеровы кольца. Теорему Ласкера–Нётер можно рассматривать как обобщение основной теоремы арифметики , которая утверждает, что любое положительное целое число может быть выражено в виде произведения простых чисел , и что это разложение является единственным.
Работа Нётер Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Абстрактная структура теории идеалов в алгебраических числовых и функциональных полях , 1927) [189] охарактеризовала кольца, в которых идеалы имеют однозначную факторизацию в простые идеалы, как области Дедекинда : области целостности, которые являются нётеровыми, 0- или 1- мерными и целозамкнутыми в своих полях частных. Эта статья также содержит то, что сейчас называется теоремами об изоморфизме , которые описывают некоторые фундаментальные естественные изоморфизмы , и некоторые другие основные результаты о нётеровых и артиновых модулях .
В 1923–1924 годах Нётер применила свою идеальную теорию к теории исключения в формулировке, которую она приписала своему ученику Курту Хентцельту. Она показала, что фундаментальные теоремы о факторизации многочленов могут быть перенесены напрямую. [190] [191] [192] Традиционно теория исключения занимается исключением одной или нескольких переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результирующих .
Для иллюстрации систему уравнений часто можно записать в виде
где матрица (или линейное преобразование ) M (без переменной x ), умноженная на вектор v (который имеет только ненулевые степени x ), равна нулевому вектору 0. Следовательно, определитель матрицы M должен быть равен нулю, что дает новое уравнение, в котором переменная x исключена.
Такие методы, как оригинальное неконструктивное решение Гильберта проблемы конечного базиса, не могли быть использованы для получения количественной информации об инвариантах группового действия, и, более того, они не были применимы ко всем групповым действиям. В своей статье 1915 года [193] Нётер нашла решение проблемы конечного базиса для конечной группы преобразований G, действующих на конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Её решение показывает, что кольцо инвариантов порождается однородными инвариантами, степень которых меньше или равна порядку конечной группы; это называется границей Нётер . В её статье были даны два доказательства границы Нётер, оба из которых также работают, когда характеристика поля взаимно проста с ( факториалом порядка группы G ). Степени генераторов не обязаны удовлетворять границе Нётер, когда характеристика поля делит число , [194] но Нётер не смогла определить, была ли эта граница правильной, когда характеристика поля делит, но не . В течение многих лет определение истинности или ложности этой границы для этого конкретного случая было открытой проблемой, называемой «разрыв Нётер». Она была окончательно решена независимо Флейшманном в 2000 году и Фогарти в 2001 году, которые оба показали, что граница остается верной. [195] [196]
В своей статье 1926 года [197] Нётер распространила теорему Гильберта на представления конечной группы над любым полем; новый случай, который не вытекает из работы Гильберта, — это случай, когда характеристика поля делит порядок группы. Результат Нётер был позже распространен Уильямом Хабушем на все редуктивные группы с помощью его доказательства гипотезы Мамфорда . [198] В этой статье Нётер также ввела лемму о нормализации Нётер , показывающую, что конечно порождённая область A над полем k имеет множество { x 1 , ..., x n } алгебраически независимых элементов, такое что A является целым над k [ x 1 , ..., x n ] .
Как отметил Герман Вейль в своем некрологе, вклад Нётер в топологию иллюстрирует ее щедрость на идеи и то, как ее прозрения могли преобразовать целые области математики. [36] В топологии математики изучают свойства объектов, которые остаются инвариантными даже при деформации, такие свойства, как их связность . Старая шутка гласит, что « тополог не может отличить пончик от кофейной кружки », поскольку их можно непрерывно деформировать друг в друга. [199]
Нётер приписывают фундаментальные идеи, которые привели к развитию алгебраической топологии из более ранней комбинаторной топологии , в частности, идею групп гомологий . [200] По словам Александрова, Нётер посещала лекции, которые он читал вместе с Хайнцем Хопфом летом 1926 и 1927 годов, где «она постоянно делала наблюдения, которые часто были глубокими и тонкими» [201] , и он продолжает, что,
Когда ... она впервые познакомилась с систематической конструкцией комбинаторной топологии, она сразу заметила, что стоило бы изучать непосредственно группы алгебраических комплексов и циклов данного многогранника и подгруппу группы циклов, состоящую из циклов, гомологичных нулю; вместо обычного определения чисел Бетти она предложила сразу определить группу Бетти как дополнительную (факторную) группу группы всех циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю. Это наблюдение сейчас кажется само собой разумеющимся. Но в те годы (1925–1928) это была совершенно новая точка зрения. [202]
Предложение Нётер изучать топологию алгебраически было немедленно принято Хопфом, Александровым и другими, [202] и стало частой темой обсуждения среди математиков Гёттингена. [203] Нётер заметила, что её идея группы Бетти делает формулу Эйлера–Пуанкаре более простой для понимания, и собственная работа Хопф по этой теме [204] «несёт на себе отпечаток этих замечаний Эмми Нётер». [205] Нётер упоминает свои собственные топологические идеи только в качестве отступления в публикации 1926 года, [206] где она цитирует её как приложение теории групп . [207]
Этот алгебраический подход к топологии был также разработан независимо в Австрии . В курсе 1926–1927 годов, прочитанном в Вене , Леопольд Виеторис определил группу гомологий , которая была развита Вальтером Майером в аксиоматическое определение в 1928 году. [208]
Большая часть работы по гиперкомплексным числам и представлениям групп была выполнена в девятнадцатом и начале двадцатого веков, но оставалась разрозненной. Нётер объединила эти ранние результаты и дала первую общую теорию представлений групп и алгебр. [209] [210] Эта единственная работа Нётер, как говорят, открыла новый период в современной алгебре и имела фундаментальное значение для ее развития. [211]
Вкратце, Нётер объединила структурную теорию ассоциативных алгебр и теорию представлений групп в единую арифметическую теорию модулей и идеалов в кольцах, удовлетворяющих условиям возрастающей цепи . [210]
Нётер также была ответственна за ряд других достижений в области алгебры. С Эмилем Артином , Рихардом Брауэром и Хельмутом Хассе она основала теорию центральных простых алгебр . [212]
Статья Нётер, Хельмута Хассе и Ричарда Брауэра относится к алгебрам с делением [213] , которые являются алгебраическими системами, в которых возможно деление. Они доказали две важные теоремы: локально-глобальную теорему, утверждающую, что если конечномерная центральная алгебра с делением над числовым полем расщепляется локально всюду, то она расщепляется глобально (и поэтому тривиальна), и из этого вывели свою Hauptsatz («главную теорему»):
каждая конечномерная центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел F расщепляется над циклическим циклотомическим расширением .
Эти теоремы позволяют классифицировать все конечномерные центральные алгебры с делением над заданным числовым полем. Последующая статья Нётер показала, как частный случай более общей теоремы, что все максимальные подполя алгебры с делением D являются полями расщепления . [214] Эта статья также содержит теорему Скулема–Нётер , которая утверждает, что любые два вложения расширения поля k в конечномерную центральную простую алгебру над k сопряжены. Теорема Брауэра–Нётер [215] дает характеристику полей расщепления центральной алгебры с делением над полем.
Работа Нётер продолжает быть актуальной для развития теоретической физики и математики, и она неизменно считается одним из величайших математиков двадцатого века. В своем некрологе коллега-алгебраист Б. Л. ван дер Варден говорит, что ее математическая оригинальность была «абсолютной вне всякого сравнения» [216], а Герман Вейль сказал, что Нётер «изменила лицо [абстрактной] алгебры своей работой». [11] Математик и историк Джереми Грей писал, что любой учебник по абстрактной алгебре несет в себе доказательства вклада Нётер: «Математики просто делают теорию колец по-своему». [187] При жизни и даже до сегодняшнего дня Нётер была охарактеризована как величайшая женщина-математик в истории математиками [6] [217], такими как Павел Александров , [218] Герман Вейль , [219] и Жан Дьедонне . [220]
В письме в The New York Times Альберт Эйнштейн писал: [5]
По мнению наиболее компетентных ныне живущих математиков, фрейлейн Нётер была самым значительным творческим математическим гением, появившимся с тех пор, как началось высшее образование женщин. В области алгебры, в которой на протяжении столетий работали самые одаренные математики, она открыла методы, которые оказались чрезвычайно важными для развития нынешнего молодого поколения математиков.
Но я думаю, что очень немногие неспециалисты слышали о ней или о ее создателе — Эмили Нётер, великом немецком математике. ... Для этого также требуется понимание Эмили Нётер, что сохраняющиеся величины связаны с симметриями естественного права.
一日 國立西康技藝專科學校教授曾烱之博士在西康衞生院病逝。 [1st: Dr. Chiungtze Tsen, professor at National Xikang Institute of Technology, died from illness in Xikang Health Center.]
Медиа из Commons
Цитаты из Викицитатника
Данные из Викиданных
