Квантовая электродинамика

В физике элементарных частиц квантовая электродинамика ( КЭД ) является релятивистской квантовой теорией поля электродинамики . ^[1][ ^2]^[3] По сути, она описывает, как взаимодействует свет и материя , и является первой теорией, в которой достигнуто полное согласие между квантовой механикой и специальной теорией относительности . ^[2] КЭД математически описывает все явления, в которых участвуют электрически заряженные частицы, взаимодействующие посредством обмена фотонами , и представляет собой квантовый аналог классического электромагнетизма, дающий полное описание взаимодействия материи и света. ^[2]^[3]

С технической точки зрения, КЭД можно описать как очень точный способ вычисления вероятности положения и движения частиц, даже безмассовых, таких как фотоны, и количества, зависящего от положения (поля) этих частиц, и описать свет и материю за пределами корпускулярно -волнового дуализма, предложенного Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Ричард Фейнман назвал ее «жемчужиной физики» за ее чрезвычайно точные предсказания величин, таких как аномальный магнитный момент электрона и лэмбовский сдвиг энергетических уровней водорода . ^[2]^{: Гл. 1} Это самая точная и строго проверенная теория в физике. [ ^4]^[5]

История

Первая формулировка квантовой теории, описывающей взаимодействие излучения и материи, приписывается британскому ученому Полю Дираку , который (в 1920-х годах) смог вычислить коэффициент спонтанного излучения атома . ^[6] Ему также приписывают введение термина «квантовая электродинамика». [ ^7]

Дирак описал квантование электромагнитного поля как ансамбля гармонических осцилляторов с введением концепции операторов рождения и уничтожения частиц. В последующие годы, с вкладом Вольфганга Паули , Юджина Вигнера , Паскуаля Йордана , Вернера Гейзенберга и элегантной формулировкой квантовой электродинамики Энрико Ферми ^[8], физики пришли к убеждению, что, в принципе, можно выполнить любое вычисление для любого физического процесса с участием фотонов и заряженных частиц. Однако дальнейшие исследования Феликса Блоха с Арнольдом Нордсиком [ ^9] и Виктором Вайскопфом [ ^10] в 1937 и 1939 годах показали, что такие вычисления были надежными только в первом порядке теории возмущений , проблема, уже указанная Робертом Оппенгеймером ^[11] . В более высоких порядках в ряду появлялись бесконечностей, что делало такие вычисления бессмысленными и вызывало серьезные сомнения во внутренней согласованности самой теории. Поскольку в то время не было известно решения этой проблемы, казалось, что между специальной теорией относительности и квантовой механикой существует фундаментальная несовместимость .

Трудности с теорией возросли к концу 1940-х годов. Усовершенствования в микроволновой технологии позволили провести более точные измерения сдвига уровней атома водорода ^[12] , теперь известного как сдвиг Лэмба и магнитный момент электрона. ^[13] Эти эксперименты выявили расхождения, которые теория не могла объяснить.

Первое указание на возможный выход было дано Гансом Бете в 1947 году ^[14] после посещения конференции на острове Шелтер . ^[15] Пока он ехал на поезде с конференции в Скенектади, он сделал первое нерелятивистское вычисление сдвига линий атома водорода, измеренного Лэмбом и Резерфордом . ^[14] Несмотря на ограничения вычислений, согласие было превосходным. Идея состояла в том, чтобы просто присоединить бесконечности к поправкам массы и заряда , которые фактически были зафиксированы до конечного значения экспериментами. Таким образом, бесконечности поглощаются этими константами и дают конечный результат, хорошо согласующийся с экспериментами. Эта процедура была названа перенормировкой .

Основываясь на интуиции Бете и фундаментальных работах по этой теме Синъитиро Томонаги ^[16] , Джулиана Швингера ^[17] [ ^18], Ричарда Фейнмана ^[1]^[19]^[20] и Фримена Дайсона ^[21]^[22] , наконец-то стало возможным получить полностью ковариантные формулировки, которые были конечны в любом порядке в ряду теории возмущений квантовой электродинамики. Синъитиро Томонага, Джулиан Швингер и Ричард Фейнман были совместно награждены Нобелевской премией по физике 1965 года за свою работу в этой области. ^[23] Их вклад, а также вклад Фримена Дайсона , касался ковариантных и калибровочно-инвариантных формулировок квантовой электродинамики, которые позволяют вычислять наблюдаемые в любом порядке теории возмущений . Математическая техника Фейнмана, основанная на его диаграммах , изначально казалась очень отличной от полевого, основанного на операторах подхода Швингера и Томонаги, но Фримен Дайсон позже показал, что эти два подхода эквивалентны. ^[21] Перенормировка , необходимость придавать физический смысл определенным расхождениям, появляющимся в теории, посредством интегралов , впоследствии стала одним из фундаментальных аспектов квантовой теории поля и стала рассматриваться как критерий общей приемлемости теории. Несмотря на то, что перенормировка очень хорошо работает на практике, Фейнман никогда не был полностью доволен ее математической обоснованностью, даже называя перенормировку «игрой в наперстки» и «фокус-покусом». ^[2]^{: 128}

Поэтому ни Фейнман, ни Дирак не были удовлетворены таким подходом к наблюдениям, сделанным в теоретической физике, прежде всего в квантовой механике. ^[24]

КЭД послужила моделью и шаблоном для всех последующих квантовых теорий поля. Одной из таких последующих теорий является квантовая хромодинамика , которая началась в начале 1960-х годов и достигла своей нынешней формы в работах 1970-х годов Х. Дэвида Политцера , Сиднея Коулмена , Дэвида Гросса и Фрэнка Вильчека . Опираясь на пионерские работы Швингера , Джеральда Гуральника , Дика Хагена и Тома Киббла , ^[25]^[26] Питера Хиггса , Джеффри Голдстоуна и других, Шелдон Глэшоу , Стивен Вайнберг и Абдус Салам независимо показали, как слабое ядерное взаимодействие и квантовая электродинамика могут быть объединены в единое электрослабое взаимодействие .

Взгляд Фейнмана на квантовую электродинамику

Введение

Ближе к концу своей жизни Ричард Фейнман прочитал серию лекций по КЭД, предназначенных для широкой публики. Эти лекции были расшифрованы и опубликованы как Feynman (1985), QED: The Strange Theory of Light and Matter , ^[2] классическое нематематическое изложение КЭД с точки зрения, изложенной ниже.

Ключевыми компонентами представления Фейнмана о КЭД являются три основных действия. ^[2]^{: 85}

Фотон перемещается из одного места и времени в другое место и время.

Электрон перемещается из одного места и времени в другое место и время.

Электрон испускает или поглощает фотон в определенном месте и в определенное время.

Эти действия представлены в виде визуальной стенографии тремя основными элементами диаграмм : волнистой линией для фотона, прямой линией для электрона и соединением двух прямых линий и волнистой для вершины, представляющей испускание или поглощение фотона электроном. Все это можно увидеть на соседней диаграмме.

Помимо визуального обозначения действий, Фейнман вводит еще один вид обозначения числовых величин, называемых амплитудами вероятности. Вероятность — это квадрат абсолютного значения полной амплитуды вероятности, . Если фотон перемещается из одного места и времени в другое место и время , связанная величина записывается в сокращении Фейнмана как , и она зависит только от импульса и поляризации фотона. Аналогичная величина для электрона, перемещающегося из в , записывается . Она зависит от импульса и поляризации электрона, в дополнение к константе, которую Фейнман называет n , иногда называемой «голой» массой электрона: она связана с измеренной массой электрона, но не совпадает с ней. Наконец, величина, которая говорит нам об амплитуде вероятности испускания или поглощения электроном фотона, Фейнман называет j , и иногда называется «голым» зарядом электрона: это константа, и она связана с измеренным зарядом электрона e , но не совпадает с ней . ^[2]^{: 91} ${\text{probability}}=|f({\text{amplitude}})|^{2}$ $A$ $B$ $P(A{\text{ to }}B)$ $C$ $D$ $E(C{\text{ to }}D)$

QED основана на предположении, что сложные взаимодействия многих электронов и фотонов могут быть представлены путем подбора подходящего набора из трех вышеупомянутых строительных блоков, а затем использования амплитуд вероятности для вычисления вероятности любого такого сложного взаимодействия. Оказывается, что основная идея QED может быть передана, предполагая, что квадрат суммы амплитуд вероятности, упомянутых выше ( P (от A до B ), E (от C до D ) и j ), действует так же, как наша повседневная вероятность (упрощение, сделанное в книге Фейнмана). Позже это будет исправлено, чтобы включить в себя специфическую квантовую математику, следуя Фейнману.

Основные правила амплитуд вероятности, которые будут использоваться, следующие: ^[2]^{: 93}

Если событие может произойти посредством ряда неразличимых альтернативных процессов (т.н. «виртуальных» процессов), то его амплитуда вероятности представляет собой сумму амплитуд вероятности альтернатив.
Если виртуальный процесс включает в себя ряд независимых или сопутствующих подпроцессов, то амплитуда вероятности общего (составного) процесса является произведением амплитуд вероятности подпроцессов.

Критерий неразличимости в (a) очень важен: он означает, что в данной системе нет наблюдаемой особенности , которая каким-либо образом «выявит», какая альтернатива выбрана. В таком случае невозможно наблюдать, какая альтернатива фактически имеет место, не изменяя экспериментальную установку каким-либо образом (например, путем введения нового аппарата в систему). Всякий раз, когда можно наблюдать, какая альтернатива имеет место, всегда обнаруживается, что вероятность события является суммой вероятностей альтернатив . Действительно, если бы это было не так, сам термин «альтернативы» для описания этих процессов был бы неуместным. (a) говорит о том, что как только физические средства для наблюдения за тем, какая альтернатива произошла, удаляются , нельзя все еще говорить, что событие происходит через «точно одну из альтернатив» в смысле сложения вероятностей; вместо этого нужно складывать амплитуды. ^[2]^{: 82}

Аналогично, критерий независимости в (б) очень важен: он применим только к процессам, которые не являются «запутанными».

Базовые конструкции

Предположим, что мы начинаем с одного электрона в определенном месте и времени (это место и время обозначены произвольно A ) и фотона в другом месте и времени (обозначены B ). Типичный вопрос с физической точки зрения: «Какова вероятность обнаружения электрона в C (в другом месте и в более позднее время) и фотона в D (еще в другом месте и в другое время)?». Самый простой процесс для достижения этой цели — перемещение электрона из A в C (элементарное действие) и перемещение фотона из B в D (еще одно элементарное действие). Зная амплитуды вероятности каждого из этих подпроцессов — E ( из A в C ) и P ( из B в D ) — мы могли бы ожидать вычисления амплитуды вероятности того, что оба процесса произойдут вместе, умножив их, используя правило b) выше. Это дает простую оценку общей амплитуды вероятности, которая возводится в квадрат, чтобы получить оценку вероятности. ^{[ необходима цитата ]}

Но есть и другие способы, которыми может возникнуть результат. Электрон может переместиться в место и время E , где он поглощает фотон; затем переместиться, прежде чем испустить другой фотон в F ; затем переместиться в C , где он обнаруживается, в то время как новый фотон перемещается в D . Вероятность этого сложного процесса снова можно вычислить, зная амплитуды вероятности каждого из отдельных действий: три действия электрона, два действия фотона и две вершины — одно излучение и одно поглощение. Мы ожидали бы найти общую амплитуду вероятности, умножив амплитуды вероятности каждого из действий для любых выбранных положений E и F . Затем мы, используя правило a) выше, должны сложить все эти амплитуды вероятности для всех альтернатив для E и F . (Это не элементарно на практике и требует интегрирования .) Но есть и другая возможность, которая заключается в том, что электрон сначала движется к G , где он испускает фотон, который переходит к D , в то время как электрон движется к H , где он поглощает первый фотон, прежде чем перейти к C. Опять же, мы можем вычислить амплитуду вероятности этих возможностей (для всех точек G и H ). Затем мы получаем лучшую оценку для общей амплитуды вероятности, добавляя амплитуды вероятности этих двух возможностей к нашей первоначальной простой оценке. Кстати, название, данное этому процессу взаимодействия фотона с электроном таким образом, — комптоновское рассеяние . ^{[ требуется цитата ]}

Существует бесконечное число других промежуточных «виртуальных» процессов, в которых поглощается и/или испускается все больше и больше фотонов. Для каждого из этих процессов можно нарисовать диаграмму Фейнмана, описывающую его. Это подразумевает сложные вычисления для результирующих амплитуд вероятности, но при условии, что чем сложнее диаграмма, тем меньше она вносит вклад в результат, то это лишь вопрос времени и усилий, чтобы найти настолько точный ответ, насколько это необходимо, на исходный вопрос. Это основной подход КЭД. Чтобы вычислить вероятность любого интерактивного процесса между электронами и фотонами, необходимо сначала отметить с помощью диаграмм Фейнмана все возможные способы, которыми процесс может быть построен из трех основных элементов. Каждая диаграмма включает в себя некоторые вычисления, включающие определенные правила для нахождения соответствующей амплитуды вероятности.

Эта базовая структура сохраняется при переходе к квантовому описанию, но необходимы некоторые концептуальные изменения. Одно из них заключается в том, что в то время как в нашей повседневной жизни мы могли бы ожидать, что будут некоторые ограничения на точки, в которые может двигаться частица, в полной квантовой электродинамике это не так. Существует ненулевая амплитуда вероятности электрона в точке A или фотона в точке B , движущихся как базовое действие в любое другое место и время во Вселенной . Это включает места, которые могут быть достигнуты только со скоростью, превышающей скорость света, а также более ранние времена . (Электрон, движущийся назад во времени, можно рассматривать как позитрон , движущийся вперед во времени.) ^[2]^{: 89, 98–99}

Амплитуды вероятности

Фейнман заменяет комплексные числа вращающимися стрелками, которые начинаются при испускании и заканчиваются при обнаружении частицы. Сумма всех полученных стрелок дает конечную стрелку, квадрат длины которой равен вероятности события. На этой диаграмме свет, испускаемый источником S, может достичь детектора в точке P, отражаясь от зеркала (синего цвета) в различных точках. Каждый из путей имеет связанную с ним стрелку (направление которой равномерно меняется со временем , необходимым свету для прохождения пути). Чтобы правильно рассчитать общую вероятность того, что свет достигнет точки P, начиная с точки S , нужно суммировать стрелки для всех таких путей. На графике ниже показано общее время, затраченное на прохождение каждого из путей выше.

Квантовая механика вносит важное изменение в способ вычисления вероятностей. Вероятности по-прежнему представлены обычными действительными числами, которые мы используем для вероятностей в нашем повседневном мире, но вероятности вычисляются как квадратный модуль амплитуд вероятностей , которые являются комплексными числами .

Фейнман избегает подвергать читателя математике комплексных чисел, используя простое, но точное представление их в виде стрелок на листе бумаги или экране. (Их не следует путать со стрелками диаграмм Фейнмана, которые являются упрощенными представлениями в двух измерениях взаимосвязи между точками в трех измерениях пространства и одном измерении времени.) Амплитудные стрелки имеют основополагающее значение для описания мира, даваемого квантовой теорией. Они связаны с нашими повседневными представлениями о вероятности простым правилом, что вероятность события равна квадрату длины соответствующей амплитудной стрелки. Таким образом, для данного процесса, если задействованы две амплитуды вероятности, v и w , вероятность процесса будет задана либо как

P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}

или

P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.

Однако правила относительно сложения или умножения те же, что и выше. Но там, где вы ожидаете сложения или умножения вероятностей, вместо этого вы складываете или умножаете амплитуды вероятностей, которые теперь являются комплексными числами.

Сложение амплитуд вероятностей как комплексных чисел

Умножение амплитуд вероятности как комплексных чисел

Сложение и умножение являются обычными операциями в теории комплексных чисел и приведены на рисунках. Сумма находится следующим образом. Пусть начало второй стрелки будет в конце первой. Тогда сумма будет третьей стрелкой, которая идет непосредственно от начала первой к концу второй. Произведение двух стрелок — это стрелка, длина которой является произведением двух длин. Направление произведения находится путем сложения углов, на которые каждая из двух была повернута относительно опорного направления: это дает угол, на который произведение повернуто относительно опорного направления.

Это изменение, от вероятностей к амплитудам вероятностей, усложняет математику, не меняя базовый подход. Но этого изменения все еще недостаточно, поскольку оно не учитывает тот факт, что и фотоны, и электроны могут быть поляризованы, то есть их ориентация в пространстве и времени должна быть принята во внимание. Следовательно, P (от A до B ) состоит из 16 комплексных чисел, или стрелок амплитуд вероятностей. ^[2]^{: 120–121} Также есть некоторые незначительные изменения, связанные с величиной j , которую, возможно, придется повернуть на кратное 90° для некоторых поляризаций, что представляет интерес только для подробного учета.

С тем фактом, что электрон может быть поляризован, связана еще одна небольшая необходимая деталь, которая связана с тем фактом, что электрон является фермионом и подчиняется статистике Ферми–Дирака . Основное правило заключается в том, что если у нас есть амплитуда вероятности для данного сложного процесса, включающего более одного электрона, то когда мы включаем (как мы всегда должны) дополнительную диаграмму Фейнмана, в которой мы обмениваемся двумя электронными событиями, результирующая амплитуда является обратной – отрицательной – первой. Простейшим случаем были бы два электрона, начинающихся в A и B , заканчивающихся в C и D. Амплитуда была бы рассчитана как «разность», E ( A в D ) × E ( B в C ) − E ( A в C ) × E ( B в D ) , где мы ожидали бы, исходя из нашего повседневного представления о вероятностях, что это будет сумма. ^[2]^{: 112–113}

Пропагаторы

Наконец, необходимо вычислить P ( от A до B ) и E ( от C до D ), соответствующие амплитудам вероятности для фотона и электрона соответственно. По сути, это решения уравнения Дирака , описывающие поведение амплитуды вероятности электрона, и уравнения Максвелла , описывающие поведение амплитуды вероятности фотона. Они называются пропагаторами Фейнмана . Перевод в обозначение, обычно используемое в стандартной литературе, выглядит следующим образом:

P(A{\text{ to }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ to }}D)\to S_{F}(x_{D}-x_{C}),

где сокращенный символ, такой как , обозначает четыре действительных числа, которые указывают время и положение в трех измерениях точки, обозначенной A. $x_{A}$

Перенормировка массы

Исторически возникла проблема, которая задержала прогресс на двадцать лет: хотя мы начинаем с предположения о трех основных «простых» действиях, правила игры гласят, что если мы хотим вычислить амплитуду вероятности для электрона попасть из A в B , мы должны учесть все возможные пути: все возможные диаграммы Фейнмана с этими конечными точками. Таким образом, будет путь, по которому электрон перемещается в C , испускает там фотон, а затем снова поглощает его в D , прежде чем перейти к B. Или он может сделать это дважды или больше. Короче говоря, у нас есть фракталоподобная ситуация, в которой, если мы внимательно посмотрим на линию, она распадается на набор «простых» линий, каждая из которых, если внимательно посмотреть, в свою очередь состоит из «простых» линий, и так далее до бесконечности . Это сложная ситуация для решения. Если бы добавление этой детали изменило ситуацию лишь немного, то это было бы не так уж и плохо, но случилась катастрофа, когда обнаружилось, что простая поправка, упомянутая выше, привела к бесконечным амплитудам вероятности. Со временем эта проблема была «исправлена» с помощью техники перенормировки . Однако сам Фейнман остался недоволен этим, назвав это «сумасшедшим процессом», ^[2]^{: 128} и Дирак также критиковал эту процедуру, поскольку «в математике нельзя избавиться от бесконечностей, когда они тебе не нравятся». ^[24]

Выводы

В рамках вышеизложенной структуры физики смогли затем вычислить с высокой степенью точности некоторые свойства электронов, такие как аномальный магнитный дипольный момент . Однако, как указывает Фейнман, это не объясняет, почему частицы, такие как электрон, имеют те массы, которые они имеют. «Нет теории, которая адекватно объясняет эти числа. Мы используем числа во всех наших теориях, но мы не понимаем их – что они такое, или откуда они берутся. Я считаю, что с фундаментальной точки зрения это очень интересная и серьезная проблема». ^[2]^{: 152}

Математическая формулировка

QED действие

Математически QED является абелевой калибровочной теорией с группой симметрии U(1) , определенной на пространстве Минковского (плоское пространство-время). Калибровочное поле , которое опосредует взаимодействие между заряженными полями спина 1/2 , является электромагнитным полем . Лагранжиан QED для поля спина 1/2, взаимодействующего с электромагнитным полем в естественных единицах, приводит к действию ^[27]^{: 78}

QED Действие

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$

где

$\gamma ^{\mu }$ являются матрицами Дирака .
$\psi$ биспинорное поле частиц со спином 1/2 (например, электронно - позитронное поле ).
${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ , называемый «пси-баром», иногда упоминается как сопряженный Дирака .
$D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }$ является калибровочно-ковариантной производной .
- e — константа связи , равная электрическому заряду биспинорного поля.
- $A_{\mu }$ является ковариантным четырехпотенциалом электромагнитного поля, генерируемого самим электроном. Он также известен как калибровочное поле или связь. ${\text{U}}(1)$
- $B_{\mu }$ — внешнее поле, налагаемое внешним источником.
m — масса электрона или позитрона.
$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ — тензор электромагнитного поля . Также известен как кривизна калибровочного поля.

Разложение ковариантной производной открывает вторую полезную форму лагранжиана (внешнее поле для простоты положено равным нулю) $B_{\mu }$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }

где - сохраняющийся ток, вытекающий из теоремы Нётер. Записывается $j^{\mu }$ ${\text{U}}(1)$

j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .

Уравнения движения

Разложение ковариантной производной в лагранжиане дает

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi

=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -ej^{\mu }A_{\mu }.

Для простоты, было установлено на ноль. В качестве альтернативы, мы можем поглотить в новое калибровочное поле и переименовать новое поле как $B_{\mu }$ $B_{\mu }$ $A'_{\mu }=A_{\mu }+B_{\mu }$ $A_{\mu }.$

Из этого лагранжиана можно получить уравнения движения для полей и . $\psi$ $A_{\mu }$

Уравнение движения для ψ

Они возникают наиболее прямолинейно, если рассмотреть уравнение Эйлера-Лагранжа для . Поскольку лагранжиан не содержит членов, мы немедленно получаем ${\bar {\psi }}$ $\partial _{\mu }{\bar {\psi }}$

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}}}=0

поэтому уравнение движения можно записать $(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =e\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi .$

Уравнение движения для А_μ

Используя уравнение Эйлера–Лагранжа для поля, $A_{\mu }$

производные на этот раз $\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

Подстановка обратно в ( 3 ) приводит к

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi

что можно записать в терминах тока как ${\text{U}}(1)$ $j^{\mu }$

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=ej^{\nu }.$

Теперь, если мы наложим калибровочное условие Лоренца, уравнения сводятся к волновому уравнению для четырехпотенциала, версии КЭД классических уравнений Максвелла в калибровке Лоренца . (Квадрат представляет волновой оператор , .) $\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$ $\Box A^{\mu }=ej^{\mu },$ $\Box =\partial _{\mu }\partial ^{\mu }$

Интерактивная картинка

Эту теорию можно напрямую квантовать, рассматривая бозонные и фермионные секторы ^{[ требуется разъяснение ]} как свободные. Это позволяет нам построить набор асимптотических состояний, которые можно использовать для начала вычисления амплитуд вероятности для различных процессов. Чтобы сделать это, нам нужно вычислить оператор эволюции , который для заданного начального состояния даст конечное состояние таким образом, чтобы иметь ^[27]^{: 5} $|i\rangle$ $\langle f|$

$M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .$

Этот метод также известен как S-матрица . Оператор эволюции получается в картине взаимодействия , где эволюция во времени задается гамильтонианом взаимодействия, который является интегралом по пространству второго члена в плотности лагранжиана, приведенной выше: ^[27]^{: 123}

$V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },$

и так, имеем ^[27]^{: 86}

$U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],$

где T — оператор упорядочения по времени . Этот оператор эволюции имеет смысл только как ряд, и то, что мы здесь получаем, — это ряд возмущений с постоянной тонкой структуры в качестве параметра развития. Этот ряд называется рядом Дайсона .

Диаграммы Фейнмана

Несмотря на концептуальную ясность этого подхода Фейнмана к КЭД, почти ни один из ранних учебников не следует его изложению. При выполнении вычислений гораздо проще работать с преобразованиями Фурье пропагаторов . Экспериментальные проверки квантовой электродинамики обычно представляют собой эксперименты по рассеянию. В теории рассеяния рассматриваются импульсы частиц , а не их положения, и удобно думать о частицах как о создаваемых или уничтожаемых при их взаимодействии. Диаграммы Фейнмана тогда выглядят одинаково , но линии имеют разные интерпретации. Электронная линия представляет электрон с заданной энергией и импульсом, с аналогичной интерпретацией фотонной линии. Вершинная диаграмма представляет уничтожение одного электрона и создание другого вместе с поглощением или созданием фотона, каждый из которых имеет указанные энергии и импульсы.

Используя теорему Вика о членах ряда Дайсона, все члены S-матрицы для квантовой электродинамики можно вычислить с помощью техники диаграмм Фейнмана . В этом случае правила рисования следующие ^[27]^{: 801–802}

К этим правилам мы должны добавить еще одно для замкнутых контуров, которое подразумевает интеграцию по импульсам , поскольку эти внутренние («виртуальные») частицы не ограничены какой-либо определенной энергией-импульсом, даже той, которая обычно требуется специальной теорией относительности (см. Пропагатор для получения подробной информации). Сигнатура метрики — . ${\textstyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}}$ $\eta _{\mu \nu }$ ${\rm {diag}}(+---)$

Из них напрямую даются вычисления амплитуд вероятности . Примером является комптоновское рассеяние , когда электрон и фотон подвергаются упругому рассеянию . Диаграммы Фейнмана в этом случае ^[27]^{: 158–159}

и поэтому мы можем получить соответствующую амплитуду в первом порядке ряда возмущений для S-матрицы :

$M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){\frac {p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),$

из которого мы можем вычислить сечение этого рассеяния.

Непертурбативные явления

Предсказательный успех квантовой электродинамики во многом основан на использовании теории возмущений, выраженной в диаграммах Фейнмана. Однако квантовая электродинамика также приводит к предсказаниям за пределами теории возмущений. При наличии очень сильных электрических полей она предсказывает, что электроны и позитроны будут спонтанно рождаться, тем самым вызывая распад поля. Этот процесс, называемый эффектом Швингера ^[28] , не может быть понят в терминах какого-либо конечного числа диаграмм Фейнмана и, следовательно, описывается как непертурбативный . Математически его можно вывести с помощью полуклассического приближения к интегралу по траектории квантовой электродинамики.

Перенормируемость

Члены более высокого порядка можно легко вычислить для оператора эволюции, но эти члены отображают диаграммы, содержащие следующие более простые ^[27]^{: гл. 10}

Однопетлевой вклад в функцию поляризации вакуума $\Pi$
Однопетлевой вклад в функцию собственной энергии электрона $\Sigma$
Вклад одной петли в вершинную функцию $\Gamma$

которые, будучи замкнутыми петлями, подразумевают наличие расходящихся интегралов , не имеющих математического смысла. Чтобы преодолеть эту трудность, была разработана техника, называемая перенормировкой , дающая конечные результаты в очень близком согласии с экспериментами. Критерием того, что теория имеет смысл после перенормировки, является то, что число расходящихся диаграмм конечно. В этом случае говорят, что теория «перенормируема». Причина этого в том, что для перенормировки наблюдаемых необходимо конечное число констант, чтобы сохранить предсказательную ценность теории нетронутой. Это как раз случай квантовой электродинамики, демонстрирующей всего три расходящихся диаграммы. Эта процедура дает наблюдаемые в очень близком согласии с экспериментом, как видно, например, для электронного гиромагнитного отношения .

Перенормируемость стала существенным критерием для того, чтобы квантовая теория поля считалась жизнеспособной. Все теории, описывающие фундаментальные взаимодействия , за исключением гравитации , квантовый аналог которой является лишь предположительным и в настоящее время находится в стадии очень активных исследований, являются перенормируемыми теориями.

Несходимость ряда

Аргумент Фримена Дайсона показывает, что радиус сходимости ряда возмущений в КЭД равен нулю. ^[29] Основной аргумент выглядит следующим образом: если бы константа связи была отрицательной, это было бы эквивалентно отрицательной константе силы Кулона . Это «перевернуло бы» электромагнитное взаимодействие так, что одноименные заряды притягивались бы , а разноименные — отталкивались бы . Это сделало бы вакуум нестабильным по отношению к распаду на скопление электронов на одной стороне вселенной и скопление позитронов на другой стороне вселенной. Поскольку теория «больна» для любого отрицательного значения константы связи, ряд не сходится, но в лучшем случае является асимптотическим рядом .

С современной точки зрения мы говорим, что КЭД не вполне определена как квантовая теория поля для произвольно высокой энергии. ^[30] Константа связи стремится к бесконечности при конечной энергии, что указывает на полюс Ландау . Проблема в том, что КЭД, по-видимому, страдает от проблем квантовой тривиальности . Это одна из причин встраивания КЭД в Великую объединенную теорию .

Электродинамика в искривленном пространстве-времени

Эту теорию можно расширить, по крайней мере как классическую теорию поля, на искривленное пространство-время. Это возникает аналогично случаю плоского пространства-времени, из связи свободной электромагнитной теории со свободной теорией фермионов и включения взаимодействия, которое продвигает частную производную в теории фермионов к калибровочно-ковариантной производной.

Смотрите также

Ссылки

^ ab RP Feynman (1949). "Пространственно-временной подход к квантовой электродинамике". Physical Review . 76 (6): 769–89. Bibcode :1949PhRv...76..769F. doi : 10.1103/PhysRev.76.769 .
^ abcdefghijklmno Фейнман, Ричард (1985). QED: Странная теория света и материи . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12575-6.
^ ab Feynman, RP (1950). "Математическая формулировка квантовой теории электромагнитного взаимодействия". Physical Review . 80 (3): 440–457. Bibcode :1950PhRv...80..440F. doi :10.1103/PhysRev.80.440. Архивировано из оригинала 2020-09-14 . Получено 2019-09-23 .
^ Венкатараман, Ганешан (1994). Квантовая революция II — QED: жемчужина физики . Universities Press. ISBN 978-8173710032.
^ "Проверка пределов стандартной модели физики элементарных частиц с помощью тяжелого, высокозаряженного иона". Nature . 2023-10-05. doi :10.1038/d41586-023-02620-7. PMID 37794145. S2CID 263670732 . Получено 2023-10-23 .
^ PAM Dirac (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Лондонского королевского общества A. 114 ( 767): 243–65. Bibcode :1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 .
^ Кульман, Мейнард (10 августа 2020 г.) [22 июня 2006 г.]. "Квантовая теория поля > История QFT". Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 июня 2024 г. Получено 22 октября 2023 г.
^ Э. Ферми (1932). «Квантовая теория излучения». Reviews of Modern Physics . 4 (1): 87–132. Bibcode :1932RvMP....4...87F. doi :10.1103/RevModPhys.4.87.
^ Блох, Ф.; Нордсик , А. (1937). «Заметка о поле излучения электрона». Physical Review . 52 (2): 54–59. Bibcode : 1937PhRv...52...54B. doi : 10.1103/PhysRev.52.54.
^ VF Weisskopf (1939). «О собственной энергии и электромагнитном поле электрона». Physical Review . 56 (1): 72–85. Bibcode : 1939PhRv...56...72W. doi : 10.1103/PhysRev.56.72.
^ Р. Оппенгеймер (1930). «Заметка о теории взаимодействия поля и материи». Physical Review . 35 (5): 461–77. Bibcode : 1930PhRv...35..461O. doi : 10.1103/PhysRev.35.461.
^ Лэмб, Уиллис ; Ретерфорд, Роберт (1947). «Тонкая структура атома водорода с помощью микроволнового метода». Physical Review . 72 (3): 241–43. Bibcode : 1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
^ Фоли, Х. М.; Куш , П. (1948). «О собственном моменте электрона». Physical Review . 73 (3): 412. Bibcode : 1948PhRv...73..412F. doi : 10.1103/PhysRev.73.412.
^ ab H. Bethe (1947). "Электромагнитный сдвиг уровней энергии". Physical Review . 72 (4): 339–41. Bibcode :1947PhRv...72..339B. doi :10.1103/PhysRev.72.339. S2CID 120434909.
^ Швебер, Сильван (1994). "Глава 5". QED и люди, которые это сделали: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Princeton University Press. стр. 230. ISBN 978-0-691-03327-3.
^ S. Tomonaga (1946). «О релятивистски инвариантной формулировке квантовой теории волновых полей». Progress of Theoretical Physics . 1 (2): 27–42. Bibcode :1946PThPh...1...27T. doi : 10.1143/PTP.1.27 .
^ Дж. Швингер (1948). «О квантовой электродинамике и магнитном моменте электрона». Physical Review . 73 (4): 416–17. Bibcode :1948PhRv...73..416S. doi : 10.1103/PhysRev.73.416 .
^ Дж. Швингер (1948). «Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка». Physical Review . 74 (10): 1439–61. Bibcode :1948PhRv...74.1439S. doi :10.1103/PhysRev.74.1439.
^ RP Feynman (1949). "Теория позитронов". Physical Review . 76 (6): 749–59. Bibcode :1949PhRv...76..749F. doi :10.1103/PhysRev.76.749. S2CID 120117564. Архивировано из оригинала 2022-08-09 . Получено 2021-11-19 .
^ RP Feynman (1950). "Математическая формулировка квантовой теории электромагнитного взаимодействия" (PDF) . Physical Review . 80 (3): 440–57. Bibcode : 1950PhRv...80..440F. doi : 10.1103/PhysRev.80.440.
^ ab F. Dyson (1949). "Теории излучения Томонаги, Швингера и Фейнмана". Physical Review . 75 (3): 486–502. Bibcode :1949PhRv...75..486D. doi : 10.1103/PhysRev.75.486 .
^ Ф. Дайсон (1949). «S-матрица в квантовой электродинамике». Physical Review . 75 (11): 1736–55. Bibcode : 1949PhRv...75.1736D. doi : 10.1103/PhysRev.75.1736.
^ "Нобелевская премия по физике 1965 года". Нобелевский фонд . Получено 2008-10-09 .
^ ab История позитрона - Поль Дирак (1975) , получено 2023-07-19
^ Гуральник, GS; Хаген, CR; Киббл, TWB (1964). «Глобальные законы сохранения и безмассовые частицы». Physical Review Letters . 13 (20): 585–87. Bibcode : 1964PhRvL..13..585G. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.585 .
^ Гуральник, ГС (2009). «История развития Гуральником, Хагеном и Кибблом теории спонтанного нарушения симметрии и калибровочных частиц». Международный журнал современной физики A. 24 ( 14): 2601–27. arXiv : 0907.3466 . Bibcode : 2009IJMPA..24.2601G. doi : 10.1142/S0217751X09045431. S2CID 16298371.
^ abcdefg Пескин, Майкл; Шредер, Дэниел (1995). Введение в квантовую теорию поля (Переиздание). Westview Press. ISBN 978-0201503975.
^ Швингер, Джулиан (1951-06-01). «О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума». Physical Review . 82 (5). Американское физическое общество (APS): 664–679. Bibcode : 1951PhRv...82..664S. doi : 10.1103/physrev.82.664. ISSN 0031-899X.
^ Киносита, Тоитиро (5 июня 1997 г.). "Квантовая электродинамика имеет нулевой радиус сходимости, суммированный из Тоитиро Киноситы" . Получено 6 мая 2017 г.
^ Эсприу и Таррах (30 апреля 1996 г.). «Неоднозначности в КЭД: ренормалоны против тривиальности». Physics Letters B . 383 (4): 482–486. arXiv : hep-ph/9604431 . Bibcode :1996PhLB..383..482E. doi :10.1016/0370-2693(96)00779-4. S2CID 119095192.

Дальнейшее чтение

Книги

Берестецкий, В.Б.; Лифшиц, Е.М .; Питаевский, Л.П. (1982). Курс теоретической физики, том 4: Квантовая электродинамика (2-е изд.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-3371-0.
Де Бройль, Л. (1925). Recherches sur la theorie des quanta [Исследования по квантовой теории] . Франция: Wiley-Interscience.
Фейнман, РП (1998). Квантовая электродинамика (Новое издание). Westview Press. ISBN 978-0-201-36075-2.
Greiner, W.; Bromley, DA; Müller, B. (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Springer. ISBN 978-3-540-67672-0.
Яух, Дж. М.; Рорлих, Ф. (1980). Теория фотонов и электронов . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-07295-1.
Кейн, Г. Л. (1993). Современная физика элементарных частиц . Westview Press. ISBN 978-0-201-62460-1.
Миллер, AI (1995). Ранняя квантовая электродинамика: Справочник . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56891-3.
Milonni, PW (1994). Квантовый вакуум: Введение в квантовую электродинамику. Бостон: Academic Press. ISBN 0124980805. LCCN 93029780. OCLC 422797902.
Швебер, СС (1994). QED и люди, которые это сделали . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03327-3.
Швингер, Дж. (1958). Избранные статьи по квантовой электродинамике . Dover Publications. ISBN 978-0-486-60444-2.
Таннуджи-Коэн, К.; Дюпон-Рок, Жак; Гринберг, Жильбер (1997). Фотоны и атомы: Введение в квантовую электродинамику . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18433-1.

Журналы

Дадли, Дж. М.; Кван, АМ (1996). «Популярные лекции Ричарда Фейнмана по квантовой электродинамике: Лекции Робба 1979 года в Оклендском университете». American Journal of Physics . 64 (6): 694–98. Bibcode : 1996AmJPh..64..694D. doi : 10.1119/1.18234.

Внешние ссылки

Нобелевская лекция Фейнмана, описывающая эволюцию КЭД и его роль в ней
Новозеландские лекции Фейнмана по КЭД для нефизиков
http://qed.wikina.org/ – Анимации, демонстрирующие QED