Группа (математика)

Набор с ассоциативной обратимой операцией

Манипуляции с кубиком Рубика образуют группу «Кубик Рубика» .

В математике группа — это множество с операцией , которая сопоставляет элемент множества каждой паре элементов множества (как это делает каждая бинарная операция) и удовлетворяет следующим ограничениям: операция ассоциативна , имеет единичный элемент , и каждый элемент множества имеет обратный элемент .

Многие математические структуры представляют собой группы, наделенные другими свойствами. Например, целые числа с операцией сложения образуют бесконечную группу, которая порождается одним элементом, называемым ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ (эти свойства характеризуют целые числа уникальным образом).

Концепция группы была разработана для обработки, унифицированным образом, многих математических структур, таких как числа, геометрические фигуры и полиномиальные корни . Поскольку концепция группы повсеместно распространена во многих областях как внутри, так и за пределами математики, некоторые авторы рассматривают ее как центральный организующий принцип современной математики. ^{[1] [2]}

В геометрии группы естественным образом возникают при изучении симметрий и геометрических преобразований : симметрии объекта образуют группу, называемую группой симметрии объекта, а преобразования данного типа образуют общую группу. Группы Ли появляются в группах симметрии в геометрии, а также в Стандартной модели физики элементарных частиц . Группа Пуанкаре — это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности . Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии .

Понятие группы возникло при изучении полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа (фр. groupe ) для группы симметрии корней уравнения , теперь называемой группой Галуа . После вклада других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно установлено около 1870 года. Современная теория групп — активная математическая дисциплина — изучает группы как таковые. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, чтобы разбить группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы , фактор-группы и простые группы . В дополнение к их абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Была разработана теория для конечных групп , которая завершилась классификацией конечных простых групп , завершенной в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порождённые группы как геометрические объекты, стала активной областью в теории групп.

Определение и иллюстрация

Первый пример: целые числа

Одной из наиболее известных групп является множество целых чисел вместе со сложением . ^[3] Для любых двух целых чисел и ⁠ ⁠ сумма также является целым числом; это свойство замыкания говорит, что является бинарной операцией над ⁠ ⁠ . Следующие свойства сложения целых чисел служат моделью для аксиом группы в определении ниже. $${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Для всех целых чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , и  ⁠ ⁠ , имеем ⁠ ⁠ . Выражаясь словами, сначала сложение с , а затем сложение результата с дает тот же конечный результат, что и сложение с суммой и  ⁠ ⁠ . Это свойство известно как ассоциативность . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$
• Если — любое целое число, то и ⁠ ⁠ . Ноль называется единичным элементом сложения, потому что добавление его к любому целому числу возвращает то же самое целое число. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0+a=a}$ ${\displaystyle a+0=a}$
• Для каждого целого числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ существует целое число такое, что и ⁠ ⁠ . Целое число называется обратным элементом целого числа и обозначается  ⁠ ⁠ . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=0}$ ${\displaystyle b+a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Целые числа вместе с операцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ образуют математический объект, принадлежащий широкому классу, разделяющему схожие структурные аспекты. Для надлежащего понимания этих структур как коллектива, разработано следующее определение.

Определение

Аксиомы для группы короткие и естественные... Однако каким-то образом за этими аксиомами скрывается монструозная простая группа , огромный и необычный математический объект, существование которого, по-видимому, зависит от многочисленных странных совпадений. Аксиомы для групп не дают явного намека на то, что что-то подобное существует.

Ричард Борчердс , Математики: Внешний взгляд на внутренний мир ^[4]

Группа — это непустое множество вместе с бинарной операцией на ⁠ ⁠ , здесь обозначаемой « ⁠ ⁠ », которая объединяет любые два элемента и из , чтобы сформировать элемент ⁠ ⁠ , обозначаемый ⁠ ⁠ , таким образом, что выполняются следующие три требования, известные как аксиомы группы : ^{[5] [6] [7] [a]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

Ассоциативность

Для всех ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ в ⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$ , имеем ⁠ ⁠ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .

Элемент идентичности

Существует элемент в , такой что для каждого в ⁠ ⁠ , имеем ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a}$ ${\displaystyle a\cdot e=a}$

Такой элемент является уникальным (см. ниже). Он называется элементом идентичности (или иногда нейтральным элементом ) группы.

Обратный элемент

Для каждого из ⁠ ⁠ существует элемент из такой, что и ⁠ ⁠ , где — единичный элемент. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b=e}$ ${\displaystyle b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Для каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ элемент уникален (см. ниже); он называется обратным и обычно обозначается ⁠ ⁠ . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Обозначения и терминология

Формально, группа — это упорядоченная пара множества и бинарной операции на этом множестве, которая удовлетворяет аксиомам группы . Множество называется базовым множеством группы, а операция называется групповой операцией или групповым законом .

Группа и ее базовый набор, таким образом, являются двумя различными математическими объектами . Чтобы избежать громоздкой нотации, принято злоупотреблять нотацией , используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный способ мышления: группа — это то же самое, что и набор, за исключением того, что она была обогащена дополнительной структурой, предоставленной операцией.

Например, рассмотрим множество действительных чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , которое имеет операции сложения и умножения ⁠ ⁠ . Формально, является множеством, является группой и является полем . Но принято писать для обозначения любого из этих трех объектов. ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аддитивная группа поля — это группа, базовым множеством которой является множество ненулевых действительных чисел , а операцией — умножение. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

В более общем смысле, говорят об аддитивной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как сложение; в этом случае тождество обычно обозначается ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ , а обратный элемент обозначается ⁠ ⁠ . Аналогично, говорят об мультипликативной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как умножение; в этом случае тождество обычно обозначается ⁠ ⁠ , а обратный элемент обозначается ⁠ ⁠ . В мультипликативной группе символ операции обычно полностью опускается, так что операция обозначается сопоставлением, а не ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

Определение группы не требует этого для всех элементов и в ⁠ ⁠ . Если это дополнительное условие выполняется, то операция называется коммутативной , а группа называется абелевой группой . Общепринято, что для абелевой группы можно использовать как аддитивную, так и мультипликативную запись, но для неабелевой группы используется только мультипликативная запись. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Несколько других обозначений обычно используются для групп, элементы которых не являются числами. Для группы, элементы которой являются функциями , операция часто является композицией функций ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\circ g}$ ; тогда тождество может быть обозначено как id. В более конкретных случаях групп геометрических преобразований , групп симметрии , групп перестановок и групп автоморфизмов символ часто опускается, как и для мультипликативных групп. Можно встретить много других вариантов обозначений. ${\displaystyle \circ }$

Второй пример: группа симметрии

Две фигуры на плоскости конгруэнтны, если одну из них можно преобразовать в другую с помощью комбинации вращений , отражений и переносов . Любая фигура конгруэнтна сама себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем одним способом, и эти дополнительные конгруэнтности называются симметриями . Квадрат имеет восемь симметрий. Это:

• операция тождественности, оставляющая все без изменений, обозначается id;
• повороты квадрата вокруг его центра на 90°, 180° и 270° по часовой стрелке, обозначаемые ⁠ ⁠ и ${\displaystyle r_{1}}$ ⁠ ⁠ соответственно ; ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$
• отражения относительно горизонтальной и вертикальной средней линии ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ), или через две диагонали ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ ).

Эти симметрии являются функциями. Каждая отправляет точку в квадрате в соответствующую точку под симметрией. Например, отправляет точку в ее поворот на 90° по часовой стрелке вокруг центра квадрата и отправляет точку в ее отражение относительно вертикальной средней линии квадрата. Составление двух из этих симметрий дает еще одну симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую диэдральной группой степени четыре, обозначаемую ⁠ ⁠ . Базовым набором группы является указанный выше набор симметрий, а групповая операция — композиция функций. ^[8] Две симметрии объединяются путем составления их как функций, то есть применения первой к квадрату, а второй — к результату первого применения. Результат выполнения сначала , а затем записывается символически справа налево как («применить симметрию после выполнения симметрии ⁠ ⁠ »). Это обычное обозначение для композиции функций. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\circ a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

Таблица Кэли перечисляет результаты всех возможных композиций. Например, поворот на 270° по часовой стрелке ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{3}}$ ) и последующее отражение по горизонтали ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ) равносильны отражению по диагонали ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ). Используя приведенные выше символы, выделенные синим цветом в таблице Кэли: $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, аксиомы группы можно понимать следующим образом.

Бинарная операция : Композиция — это бинарная операция. То есть, является симметрией для любых двух симметрий и ⁠ ⁠ . Например, то есть поворот на 270° по часовой стрелке после отражения по горизонтали равен отражению вдоль контрдиагонали ( ⁠ ⁠ ). Действительно, любая другая комбинация двух симметрий все еще дает симметрию, что можно проверить с помощью таблицы Кэли. ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Ассоциативность : Аксиома ассоциативности касается составления более двух симметрий: начиная с трех элементов ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , есть два возможных способа использования этих трех симметрий в этом порядке для определения симметрии квадрата. Один из этих способов — сначала составить и в одну симметрию, затем составить эту симметрию с ⁠ ⁠ . Другой способ — сначала составить и ⁠ ⁠ , затем составить полученную симметрию с ⁠ ⁠ . Эти два способа должны всегда давать один и тот же результат, то есть, Например, можно проверить с помощью таблицы Кэли: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$ ${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$

Элемент идентичности : Элемент идентичности — ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ , поскольку он не меняет симметрию ни при компоновке с ним слева, ни справа. ${\displaystyle a}$

Обратный элемент : Каждая симметрия имеет обратный элемент: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ , отражения ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ и поворот на 180° являются своими собственными обратными, потому что выполнение их дважды возвращает квадрат к его первоначальной ориентации. Повороты и являются обратными друг другу, потому что поворот на 90°, а затем поворот на 270° (или наоборот) дает поворот на 360°, который оставляет квадрат неизменным. Это легко проверить по таблице. ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

В отличие от группы целых чисел выше, где порядок операции не имеет значения, он имеет значение в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , как, например, но ⁠ ⁠ . Другими словами, не является абелевым. ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

История

Современное понятие абстрактной группы развилось из нескольких областей математики. ^{[9] [10] [11]} Первоначальной мотивацией для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик 19-го века Эварист Галуа , расширяя предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа-Луи Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного полиномиального уравнения в терминах группы симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Сначала идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы только посмертно. ^{[12] [13]} Более общие группы перестановок были исследованы, в частности, Огюстеном Луи Коши . Работа Артура Кэли « О теории групп, как зависящих от символического уравнения» ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854) дает первое абстрактное определение конечной группы . ^[14]

Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть программы Феликса Клейна в Эрлангене 1872 года . ^[15] После того, как появились новые геометрии, такие как гиперболическая и проективная геометрия , Клейн использовал теорию групп, чтобы организовать их более связным образом. Продолжая развивать эти идеи, Софус Ли основал изучение групп Ли в 1884 году. ^[16]

Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел . Некоторые структуры абелевых групп неявно использовались в работе Карла Фридриха Гаусса по теории чисел Disquisitiones Arithmeticae (1798), а более явно — Леопольдом Кронекером . ^[17] В 1847 году Эрнст Куммер предпринял первые попытки доказать Великую теорему Ферма , разработав группы, описывающие разложение на простые числа . ^[18]

Схождение этих различных источников в единую теорию групп началось с работы Камиля Жордана « Traité des substitutions et des équations algébriques» (1870). ^[19] Вальтер фон Дейк (1882) ввел идею задания группы с помощью образующих и соотношений, а также был первым, кто дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. ^[20] В 20 веке группы получили широкое признание благодаря пионерским работам Фердинанда Георга Фробениуса и Уильяма Бернсайда (работавших над теорией представлений конечных групп), модулярной теории представлений Рихарда Брауэра и работам Иссая Шура . ^[21] Теория групп Ли и, в более общем плане, локально компактных групп изучалась Германом Вейлем , Эли Картаном и многими другими. ^[22] Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп , была впервые сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а затем работами Армана Бореля и Жака Титса . ^[23]

Год теории групп Чикагского университета 1960–61 объединил таких теоретиков групп, как Дэниел Горенштейн , Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт , заложив основу сотрудничества, которое при участии многих других математиков привело к классификации конечных простых групп , а последний шаг был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические начинания по своему размеру, как по длине доказательства , так и по количеству исследователей. Исследования, касающиеся этого доказательства классификации, продолжаются. ^[24] Теория групп остается весьма активной математической ветвью, ^[b] оказывающей влияние на многие другие области, как показывают приведенные ниже примеры.

Элементарные следствия групповых аксиом

Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из аксиом групп, обычно включаются в элементарную теорию групп . ^[25] Например, повторные применения аксиомы ассоциативности показывают, что однозначность обобщается на более чем три фактора. Поскольку это подразумевает, что скобки могут быть вставлены в любом месте внутри такой серии терминов, скобки обычно опускаются. ^[26] $${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

Уникальность элемента идентичности

Аксиомы группы подразумевают, что элемент идентичности уникален; то есть существует только один элемент идентичности: любые два элемента идентичности и группы равны, поскольку аксиомы группы подразумевают ⁠ ⁠ . Таким образом, принято говорить об элементе идентичности группы. ^[27] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

Уникальность обратных чисел

Аксиомы группы также подразумевают, что обратный элемент каждого элемента уникален: Пусть элемент группы имеет как обратные элементы, так и . Тогда ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

Поэтому принято говорить об инверсии элемента. ^[27]

Разделение

При заданных элементах и ​​группы ⁠ ⁠ существует единственное решение уравнения ⁠ ⁠ , а именно ⁠ ⁠ . ^{[c] [28]} Отсюда следует, что для каждого из , функция , которая отображает каждый в , является биекцией ; это называется левым умножением на или левым переносом на ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\cdot x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Аналогично, если и ⁠ ⁠ , единственным решением для является ⁠ ⁠ . Для каждого ⁠ ⁠ функция , которая отображает каждое в , является биекцией, называемой правым умножением на или правым переносом на ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\cdot a=b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Эквивалентное определение с ослабленными аксиомами

Групповые аксиомы для тождества и обратных могут быть «ослаблены», чтобы утверждать только существование левого тождества и левых обратных . Из этих односторонних аксиом можно доказать, что левое тождество также является правым тождеством, а левое обратное также является правым обратным для того же элемента. Поскольку они определяют точно такие же структуры, как группы, в совокупности аксиомы не слабее. ^[29]

В частности, предполагая ассоциативность и существование левого тождества (то есть, ⁠ ⁠ ) и левого обратного элемента для каждого элемента (то есть, ⁠ ⁠ ), можно показать, что каждый левый обратный элемент является также правым обратным элементом того же элемента следующим образом. ^[29] Действительно, имеем ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

Аналогично, левая идентичность также является правой идентичностью: ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

Эти доказательства требуют всех трех аксиом (ассоциативность, существование левой идентичности и существование левой инверсии). Для структуры с более свободным определением (например, полугруппы ) можно иметь, например, что левая идентичность не обязательно является правой идентичностью.

Тот же результат можно получить, только предположив существование правильного тождества и правильного обратного.

Однако, только предположение о существовании левого тождества и правого обратного (или наоборот) недостаточно для определения группы. Например, рассмотрим множество с оператором, удовлетворяющим и ⁠ ⁠ . Эта структура имеет левое тождество (а именно, ⁠ ⁠ ), и каждый элемент имеет правое обратное (которое есть для обоих элементов). Более того, эта операция ассоциативна (поскольку произведение любого количества элементов всегда равно самому правому элементу в этом произведении, независимо от порядка, в котором выполняются эти операции). Однако, не является группой, поскольку у нее отсутствует правое тождество. ${\displaystyle G=\{e,f\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$

Основные понятия

При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество , функция и фактор по отношению эквивалентности . При изучении групп вместо этого используются подгруппы , гомоморфизмы и факторгруппы . Это аналоги, которые учитывают структуру группы. ^[d]

Групповые гомоморфизмы

Групповые гомоморфизмы ^[e] — это функции, которые уважают структуру группы; они могут быть использованы для связи двух групп. Гомоморфизм из группы в группу — это функция, такая что ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle (H,*)}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$для всех элементов и в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Было бы естественно также потребовать соблюдения тождеств, ⁠ ⁠ , и обратных, для всех в ⁠ ⁠ . Однако эти дополнительные требования не обязательно включать в определение гомоморфизмов, поскольку они уже подразумеваются требованием соблюдения групповой операции. ^[30] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$ ${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

Тождественный гомоморфизм группы — это гомоморфизм , который отображает каждый элемент из в себя. Обратный гомоморфизм гомоморфизма — это гомоморфизм такой, что и ⁠ ⁠ , то есть такой, что для всех в и такой, что для всех в ⁠ ⁠ . Изоморфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный гомоморфизм; эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы и называются изоморфными , если существует изоморфизм ⁠ ⁠ . В этом случае можно получить из просто переименовав ее элементы в соответствии с функцией ⁠ ⁠ ; тогда любое утверждение, верное для , верно и для ⁠ ⁠ , при условии, что любые конкретные элементы, упомянутые в утверждении, также переименованы. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle \psi :H\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$ ${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Совокупность всех групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию , категорию групп . ^[31]

Инъективный гомоморфизм канонически факторизуется как изоморфизм, за которым следует включение, для некоторой подгруппы ⁠ ⁠ из ⁠ ⁠ . Инъективные гомоморфизмы — это мономорфизмы в категории групп. ${\displaystyle \phi :G'\to G}$ ${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Подгруппы

Неформально, подгруппа — это группа , содержащаяся в большей группе, ⁠ ⁠ : она имеет подмножество элементов ⁠ ⁠ , с той же операцией. ^[32] Конкретно, это означает, что единичный элемент должен содержаться в ⁠ ⁠ , и всякий раз, когда и оба находятся в ⁠ ⁠ , то также находятся и ⁠ ⁠ , поэтому элементы ⁠ ⁠ , снабженные групповой операцией на ограниченном ⁠ ⁠ , действительно образуют группу. В этом случае отображение включения является гомоморфизмом. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

В примере симметрий квадрата тождество и вращения составляют подгруппу ⁠ ⁠ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ , выделенную красным в таблице Кэли примера: любые два составленных вращения все еще являются вращением, и вращение может быть отменено (т. е. является обратным) дополнительными вращениями 270° для 90°, 180° для 180° и 90° для 270°. Тест подгруппы обеспечивает необходимое и достаточное условие для того, чтобы непустое подмножество ⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$ группы ⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$ было подгруппой: достаточно проверить это для всех элементов и в ⁠ ⁠ . Знание подгрупп группы важно для понимания группы в целом. ^[f] ${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$

Для любого подмножества группы ⁠ ⁠ подгруппа, порожденная , состоит из всех произведений элементов и их обратных. Это наименьшая подгруппа , содержащая ⁠ ⁠ . ^[33] В примере симметрий квадрата подгруппа, порожденная , состоит из этих двух элементов, единичного элемента ⁠ ⁠ и элемента ⁠ ⁠ . Опять же, это подгруппа, потому что объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются этими же элементами) дает элемент этой подгруппы. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

Смежные классы

Во многих ситуациях желательно считать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом заданной подгруппы. Например, в группе симметрии квадрата, как только выполнено любое отражение, вращения сами по себе не могут вернуть квадрат в его исходное положение, поэтому можно считать, что отраженные положения квадрата все эквивалентны друг другу и неэквивалентны неотраженным положениям; операции вращения не имеют отношения к вопросу, было ли выполнено отражение. Смежные классы используются для формализации этого понимания: подгруппа определяет левые и правые смежные классы, которые можно рассматривать как переводы произвольным элементом группы ⁠ ⁠ . В символических терминах левые и правые смежные классы ⁠ ⁠ , содержащие элемент ⁠ ⁠ , являются ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$и ⁠ ⁠ ${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$ , соответственно. ^[34]

Левые смежные классы любой подгруппы образуют разбиение ⁠ ⁠ ; то есть объединение всех левых смежных классов равно и два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение . ^[35] Первый случай происходит именно тогда, когда ⁠ ⁠ , то есть когда два элемента отличаются на элемент из ⁠ ⁠ . Аналогичные соображения применимы к правым смежным классам ⁠ ⁠ . Левые смежные классы могут совпадать или не совпадать с ее правыми смежными классами. Если они совпадают (то есть, если все в удовлетворяют ⁠ ⁠ ), то говорят, что это нормальная подгруппа . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gH=Hg}$ ${\displaystyle H}$

В ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , группе симметрий квадрата, с ее подгруппой вращений, левые смежные классы либо равны ⁠ ⁠ , если является элементом самого себя, либо в противном случае равны (выделено зеленым в таблице Кэли ⁠ ⁠ ). Подгруппа является нормальной, поскольку и аналогично для других элементов группы. (На самом деле, в случае ⁠ ⁠ , смежные классы, порожденные отражениями, все равны: ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle gR}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

Факторные группы

Предположим, что является нормальной подгруппой группы ⁠ ⁠ , и обозначает ее множество смежных классов. Тогда существует единственный групповой закон на , для которого отображение, отправляющее каждый элемент в , является гомоморфизмом. Явно, произведение двух смежных классов и есть ⁠ ⁠ , смежный класс служит тождеством ⁠ ⁠ , а обратный элемент в фактор-группе есть ⁠ ⁠ . Группа ⁠ ⁠ , читаемая как " ⁠ ⁠ modulo ⁠ ⁠ ", ^[36] называется фактор-группой или фактор-группой . Фактор-группа может быть альтернативно охарактеризована универсальным свойством . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G\to G/N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle eN=N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Элементами факторгруппы являются и ⁠ ⁠ . Групповая операция над фактором показана в таблице. Например, ⁠ ⁠ . И подгруппа , и фактор являются абелевыми, но не являются. Иногда группу можно восстановить из подгруппы и фактора (плюс некоторые дополнительные данные) с помощью конструкции полупрямого произведения ; является примером. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$ ${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

Первая теорема об изоморфизме подразумевает, что любой сюръективный гомоморфизм канонически факторизуется как фактор-гомоморфизм, за которым следует изоморфизм: ⁠ ⁠ . Сюръективные гомоморфизмы являются эпиморфизмами в категории групп. ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

Презентации

Каждая группа изоморфна фактору свободной группы во многих отношениях.

Например, диэдральная группа порождается правым вращением и отражением относительно вертикальной прямой (каждый элемент из является конечным произведением копий этих и их обратных). Следовательно, существует сюръективный гомоморфизм ⁠ ⁠ из свободной группы с двумя образующими в посылку в и в ⁠ ⁠ . Элементы в называются отношениями ; примеры включают ⁠ ⁠ . Фактически, оказывается, что является наименьшей нормальной подгруппой из , содержащей эти три элемента; другими словами, все отношения являются следствиями этих трех. Фактор свободной группы по этой нормальной подгруппе обозначается ⁠ ⁠ . Это называется представлением с помощью образующих и отношений, потому что первая теорема об изоморфизме для ⁠ ⁠ дает изоморфизм ⁠ ⁠ . ^[37] ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

Представление группы может быть использовано для построения графа Кэли , графического изображения дискретной группы . ^[38]

Примеры и приложения

Периодический рисунок обоев приводит к образованию группы обоев .

Примеров и приложений групп предостаточно. Отправной точкой является группа целых чисел со сложением как групповой операцией, введенная выше. Если вместо сложения рассматривать умножение, то получаются мультипликативные группы . Эти группы являются предшественниками важных конструкций в абстрактной алгебре . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Группы также применяются во многих других областях математики. Математические объекты часто исследуются путем сопоставления им групп и изучения свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраической топологией, введя фундаментальную группу . ^[39] С помощью этой связи топологические свойства, такие как близость и непрерывность, переходят в свойства групп. ^[g]

Фундаментальная группа плоскости без точки (жирный шрифт) состоит из петель вокруг отсутствующей точки. Эта группа изоморфна целым числам при сложении.

Элементами фундаментальной группы топологического пространства являются классы эквивалентности циклов, где циклы считаются эквивалентными, если один может быть гладко деформирован в другой, а групповая операция — «конкатенация» (отслеживание одного цикла, затем другого). Например, как показано на рисунке, если топологическое пространство — это плоскость с одной удаленной точкой, то циклы, которые не охватывают отсутствующую точку (синюю), могут быть гладко сжаты в одну точку и являются элементом тождества фундаментальной группы. Цикл, охватывающий отсутствующую точку раз, не может быть деформирован в цикл, охватывающий отсутствующую точку раз (с ⁠ ⁠ ), потому что цикл не может быть гладко деформирован через отверстие, поэтому каждый класс циклов характеризуется своим числом витков вокруг отсутствующей точки. Полученная группа изоморфна целым числам при сложении. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\neq k}$

В более поздних приложениях влияние также было обращено вспять, чтобы мотивировать геометрические построения теоретико-групповым фоном. ^[h] В похожем ключе геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп . ^[40] Другие ветви, критически применяющие группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел. ^[41]

В дополнение к вышеперечисленным теоретическим приложениям существует множество практических приложений групп. Криптография опирается на комбинацию подхода абстрактной теории групп вместе с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп , в частности, при реализации для конечных групп. ^[42] Приложения теории групп не ограничиваются математикой; такие науки, как физика , химия и информатика, извлекают выгоду из этой концепции.

Числа

Многие числовые системы, такие как целые числа и рациональные числа , обладают естественно заданной групповой структурой. В некоторых случаях, например, с рациональными числами, как операции сложения, так и умножения приводят к групповым структурам. Такие числовые системы являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Другие абстрактные алгебраические концепции, такие как модули , векторные пространства и алгебры, также образуют группы.

Целые числа

Группа целых чисел при сложении, обозначенная ⁠ ⁠ , была описана выше. Целые числа с операцией умножения вместо сложения не образуют группу. Аксиомы ассоциативности и тождества выполнены, но обратных чисел не существует: например, является целым числом, но единственным решением уравнения в этом случае является ⁠ ⁠ , которое является рациональным числом, но не целым числом. Следовательно, не каждый элемент имеет (мультипликативное) обратное число. ^[i] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle a\cdot b=1}$ ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Рациональные соображения

Желание существования обратных чисел предполагает рассмотрение дробей $${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

Дроби целых чисел (с ненулевым значением) известны как рациональные числа . ^[j] Множество всех таких несократимых дробей обычно обозначается ⁠ ⁠ . Есть еще небольшое препятствие для ⁠ ⁠ , рациональных чисел с умножением, являющихся группой: поскольку ноль не имеет мультипликативной инверсии (т. е. не существует такого, что ⁠ ⁠ ), это все еще не группа. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot 0=1}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Однако множество всех ненулевых рациональных чисел образует абелеву группу относительно умножения, также обозначаемую ⁠ ⁠ . ^[k] Аксиомы ассоциативности и тождественного элемента следуют из свойств целых чисел. Требование замкнутости остается верным после удаления нуля, поскольку произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратным является ⁠ ⁠ , поэтому аксиома обратного элемента выполняется. ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle b/a}$

Рациональные числа (включая ноль) также образуют группу по сложению. Переплетение операций сложения и умножения дает более сложные структуры, называемые кольцами, и – если деление на что-то, кроме нуля, возможно, например, на – поля, которые занимают центральное положение в абстрактной алгебре. Теоретико-групповые аргументы, таким образом, лежат в основе частей теории этих сущностей. ^[l] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Модульная арифметика

Часы на часах образуют группу, использующую сложение по модулю  12. Здесь 9 + 4 ≡ 1 .

Модульная арифметика для модуля определяет любые два элемента и , которые отличаются на кратное , как эквивалентные, обозначаемые ⁠ ⁠ . Каждое целое число эквивалентно одному из целых чисел от до ⁠ ⁠ , и операции модульной арифметики изменяют обычную арифметику, заменяя результат любой операции его эквивалентным представителем . Модульное сложение, определенное таким образом для целых чисел от до ⁠ ⁠ , образует группу, обозначаемую или ⁠ ⁠ , с в качестве единичного элемента и в качестве обратного элемента ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle a}$

Знакомый пример — сложение часов на циферблате часов , где в качестве представителя тождества выбрано 12, а не 0. Если часовая стрелка включена и передвинута на часы, она заканчивается на ⁠ ⁠ , как показано на иллюстрации. Это выражается тем, что конгруэнтно «модулю ⁠ ⁠ » или, в символах, ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9+4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 12}$ $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Для любого простого числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ . ^[43] Ее элементы могут быть представлены как ⁠ ⁠ . Групповая операция, умножение по модулю ⁠ ⁠ , заменяет обычное произведение его представителем, остатком от деления на ⁠ ⁠ . Например, для ⁠ ⁠ , четыре элемента группы могут быть представлены как ⁠ ⁠ . В этой группе ⁠ ⁠ , поскольку обычное произведение эквивалентно ⁠ ⁠ : при делении на него получается остаток ⁠ ⁠ . Простота гарантирует, что обычное произведение двух представителей не делится на ⁠ ⁠ , и, следовательно, что модульное произведение отлично от нуля. ^[m] Элемент тождества представлен как  ⁠ ⁠ , а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы для данного целого числа, не делящегося на ⁠ ⁠ , существовало целое число такое, что то есть, такое, что нацело делит ⁠ ⁠ . Обратное можно найти, используя тождество Безу и тот факт, что наибольший общий делитель равен  ⁠ ⁠ . ^[44] В приведенном выше случае обратный элемент представленного как представлен как ⁠ ⁠ , а обратный элемент представленного как представлен как  ⁠ ⁠ , как ⁠ ⁠ . Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Этот пример аналогичен предыдущему: он состоит именно из тех элементов в кольце , которые имеют мультипликативный обратный элемент. ^[45] Эти группы, обозначенные ⁠ ⁠ , имеют решающее значение для криптографии с открытым ключом . ^[n] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\cdot b-1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$

Циклические группы

Комплексные корни 6-й степени из единицы образуют циклическую группу. является примитивным элементом, но не является таковым, поскольку нечетные степени не являются степенью ⁠ ⁠ . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$

Циклическая группа — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента . ^[46] В мультипликативной нотации элементы группы имеют вид , где означает ⁠ ⁠ , обозначает ⁠ ⁠ , и т. д. ^[o] Такой элемент называется генератором или примитивным элементом группы. В аддитивной нотации требованием к примитивному элементу является то, что каждый элемент группы может быть записан как ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle a\cdot a}$ ${\displaystyle a^{-3}}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

В группах, представленных выше, элемент является примитивным, поэтому эти группы являются циклическими. Действительно, каждый элемент можно выразить в виде суммы, все члены которой являются ⁠ ⁠ . Любая циклическая группа с элементами изоморфна этой группе. Вторым примером циклических групп является группа ⁠ ⁠ комплексных корней из единицы , заданная комплексными числами, удовлетворяющими ⁠ ⁠ . Эти числа можно визуализировать как вершины на правильном -угольнике, как показано синим цветом на изображении для ⁠ ⁠ . Групповая операция — умножение комплексных чисел. На рисунке умножение на соответствует повороту против часовой стрелки на 60°. ^[47] Из теории поля следует , что группа является циклической для простых чисел : например, если ⁠ ⁠ , является генератором, поскольку ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{1}=3}$ ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$ ${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$ ${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$

Некоторые циклические группы имеют бесконечное число элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ все степени различны; несмотря на название «циклическая группа», степени элементов не цикличны. Бесконечная циклическая группа изоморфна ⁠ ⁠ , группе целых чисел по сложению, введенной выше. ^[48] Поскольку оба эти прототипа абелевы, то таковыми являются и все циклические группы. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

Изучение конечно порожденных абелевых групп является достаточно зрелым, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах ; и отражая это положение дел, многие связанные с группами понятия, такие как центр и коммутатор , описывают степень, в которой данная группа не является абелевой. ^[49]

Группы симметрии

Группа треугольника (2,3,7), гиперболическая группа отражений, действует на эту мозаику гиперболической плоскости [ 50 ^]

Группы симметрии — это группы, состоящие из симметрий заданных математических объектов, в основном геометрических сущностей, таких как группа симметрии квадрата, приведенная в качестве вводного примера выше, хотя они также возникают в алгебре, например, симметрии среди корней полиномиальных уравнений, рассматриваемых в теории Галуа (см. ниже). ^[51] Концептуально теорию групп можно рассматривать как изучение симметрии. ^[p] Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов. Говорят, что группа действует на другой математический объект ⁠ ⁠, ${\displaystyle X}$ если каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией на ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ и композиция этих операций следует групповому закону. Например, элемент группы треугольника (2,3,7) действует на треугольную мозаику гиперболической плоскости, переставляя треугольники. ^[50] С помощью группового действия шаблон группы связан со структурой объекта, на который оказывается воздействие.

В химии точечные группы описывают молекулярные симметрии , в то время как пространственные группы описывают кристаллические симметрии в кристаллографии . Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантово-механический анализ этих свойств. ^[52] Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии задействованных состояний. ^[53]

Теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической в ​​тетраэдрическую кристаллическую форму. Примером являются сегнетоэлектрические материалы, где изменение из параэлектрического в сегнетоэлектрическое состояние происходит при температуре Кюри и связано с изменением из высокосимметричного параэлектрического состояния в низкосимметричное сегнетоэлектрическое состояние, сопровождаемое так называемой мягкой фононной модой, колебательной решеточной модой, которая достигает нулевой частоты при переходе. ^[54]

Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его возникновение связано с появлением голдстоуновских бозонов . ^[55]

Конечные группы симметрии, такие как группы Матье, используются в теории кодирования , которая, в свою очередь, применяется для исправления ошибок передаваемых данных и в проигрывателях компакт-дисков . ^[59] Другое применение — дифференциальная теория Галуа , которая характеризует функции, имеющие первообразные заданной формы, давая групповые критерии того, когда решения определенных дифференциальных уравнений ведут себя хорошо. ^[q] Геометрические свойства, которые остаются стабильными при групповых действиях, исследуются в (геометрической) теории инвариантов . ^[60]

Общая линейная группа и теория представлений

Два вектора (левая иллюстрация), умноженные на матрицы (средняя и правая иллюстрации). Средняя иллюстрация представляет собой поворот по часовой стрелке на 90°, а правая растягивает ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ -координату в 2 раза.

Группы матриц состоят из матриц вместе с умножением матриц . Общая линейная группа состоит из всех обратимых ⁠ ⁠ -на- ⁠ ⁠ матриц с действительными элементами. ^[61] Ее подгруппы называются матричными группами или линейными группами . Упомянутый выше пример диэдральной группы можно рассматривать как (очень малую) матричную группу. Другая важная матричная группа — это специальная ортогональная группа ⁠ ⁠ . Она описывает все возможные вращения в измерениях. Матрицы вращения в этой группе используются в компьютерной графике . ^[62] ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle n}$

Теория представлений является как приложением концепции группы, так и важной для более глубокого понимания групп. ^{[63] [64]} Она изучает группу по ее групповым действиям на других пространствах. Широкий класс представлений групп — это линейные представления, в которых группа действует на векторное пространство, такое как трехмерное евклидово пространство ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Представление группы на -мерном вещественном векторном пространстве — это просто групповой гомоморфизм из группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которая может быть задана абстрактно, переводится в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. ^[r] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Групповое действие дает дополнительные средства для изучения объекта, на который оказывается действие. ^[s] С другой стороны, оно также дает информацию о группе. Групповые представления являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп , особенно (локально) компактных групп . ^{[63] [65]}

Группы Галуа

Группы Галуа были разработаны для помощи в решении полиномиальных уравнений путем захвата их особенностей симметрии. ^{[66] [67]} Например, решения квадратного уравнения задаются как Каждое решение может быть получено путем замены знака на или ; аналогичные формулы известны для кубических и четвертых уравнений , но не существуют в общем случае для степени 5 и выше. ^[68] В квадратной формуле изменение знака (перестановка полученных двух решений) можно рассматривать как (очень простую) групповую операцию. Аналогичные группы Галуа действуют на решения полиномиальных уравнений более высокой степени и тесно связаны с существованием формул для их решения. Абстрактные свойства этих групп (в частности, их разрешимость ) дают критерий возможности выражать решения этих полиномов, используя только сложение, умножение и корни, аналогичные формуле выше. ^[69] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

Современная теория Галуа обобщает указанный выше тип групп Галуа, переходя к теории полей и рассматривая расширения полей, образованные как поле расщепления многочлена. Эта теория устанавливает — посредством фундаментальной теоремы теории Галуа — точную связь между полями и группами, еще раз подчеркивая вездесущность групп в математике. ^[70]

Конечные группы

Группа называется конечной, если она имеет конечное число элементов . Число элементов называется порядком группы. ^[71] Важный класс — это симметрические группы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ , группы перестановок объектов. Например, симметрическая группа из 3 букв — это группа всех возможных переупорядочений объектов. Три буквы ABC можно переупорядочить в ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, образуя в общей сложности 6 ( факториал 3) элементов. Групповая операция — это композиция этих переупорядочений, а единичный элемент — это операция переупорядочения, которая оставляет порядок неизменным. Этот класс является фундаментальным, поскольку любая конечная группа может быть выражена как подгруппа симметрической группы для подходящего целого числа ⁠ ⁠ , согласно теореме Кэли . Параллельно группе симметрий квадрата выше, также может быть интерпретирована как группа симметрий равностороннего треугольника . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

Порядок элемента в группе — это наименьшее положительное целое число , такое что ⁠ ⁠ , где представляет то есть применение операции " ⁠ ⁠ " к копиям ⁠ ⁠ . (Если " ⁠ ⁠ " представляет умножение, то соответствует ⁠ ⁠ -й степени ⁠ ⁠ .) В бесконечных группах такой может не существовать, и в этом случае порядок называется бесконечностью. Порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, порожденной этим элементом. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}=e}$ ${\displaystyle a^{n}}$ $${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

Более сложные методы подсчета, например, подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы порядок любой конечной подгруппы делит порядок ⁠ ⁠ . Теоремы Силова дают частичное обращение. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Диэдральная группа симметрий квадрата — это конечная группа порядка 8. В этой группе порядок равен 4, как и порядок подгруппы , которую порождает этот элемент. Порядок элементов отражения и т. д. равен 2. Оба порядка делят 8, как и предсказывает теорема Лагранжа. Группы умножения по модулю простого числа имеют порядок ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$

Конечные абелевы группы

Любая конечная абелева группа изоморфна произведению конечных циклических групп; это утверждение является частью фундаментальной теоремы о конечно порождённых абелевых группах .

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе (следствие теоремы Лагранжа ). Любая группа порядка является абелевой, изоморфной или ⁠ ⁠ . Но существуют неабелевы группы порядка ; диэдральная группа порядка выше является примером. ^[72] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$

Простые группы

Когда группа имеет нормальную подгруппу, отличную от и самой себя, вопросы о иногда можно свести к вопросам о и ⁠ ⁠ . Нетривиальная группа называется простой, если у нее нет такой нормальной подгруппы. Конечные простые группы относятся к конечным группам так же, как простые числа относятся к положительным целым числам: они служат строительными блоками, в смысле, уточненном теоремой Жордана–Гёльдера . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Классификация конечных простых групп

Системы компьютерной алгебры использовались для составления списка всех групп порядка до 2000. [ ^t] Однако классификация всех конечных групп — задача, которая считается слишком сложной для решения.

Классификация всех конечных простых групп была крупным достижением в современной теории групп. Существует несколько бесконечных семейств таких групп, а также 26 « спорадических групп », которые не принадлежат ни к одному из семейств. Самая большая спорадическая группа называется группой монстров . Гипотезы чудовищного лунного света , доказанные Ричардом Борчердсом , связывают группу монстров с определенными модулярными функциями . ^[73]

Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп заключается в проблеме расширения . ^[74]

Группы с дополнительной структурой

Эквивалентное определение группы состоит в замене части «существует» аксиом группы операциями, результатом которых является элемент, который должен существовать. Таким образом, группа — это множество, снабженное бинарной операцией (групповая операция), унарной операцией (которая обеспечивает обратную) и нулевой операцией , которая не имеет операнда и приводит к элементу тождества. В противном случае аксиомы группы точно такие же. Этот вариант определения избегает кванторов существования и используется в вычислениях с группами и для компьютерных доказательств . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G}$

Этот способ определения групп поддается обобщениям, таким как понятие группового объекта в категории. Вкратце, это объект с морфизмами , которые имитируют групповые аксиомы. ^[75]

Топологические группы

Единичная окружность в комплексной плоскости при комплексном умножении является группой Ли и, следовательно, топологической группой. Она является топологической, поскольку комплексное умножение и деление непрерывны. Это многообразие и, следовательно, группа Ли, поскольку каждая маленькая часть , такая как красная дуга на рисунке, выглядит как часть действительной прямой (показанной внизу).

Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Для того чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями; неформально, и не должны сильно меняться, если и изменяются лишь немного. Такие группы называются топологическими группами, и они являются групповыми объектами в категории топологических пространств . ^[76] Самыми основными примерами являются группа действительных чисел при сложении и группа ненулевых действительных чисел при умножении. Подобные примеры могут быть образованы из любого другого топологического поля , такого как поле комплексных чисел или поле p -адических чисел . Эти примеры локально компактны , поэтому они имеют меры Хаара и могут изучаться с помощью гармонического анализа . Другие локально компактные топологические группы включают группу точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей ; они являются основными для теории чисел ^[77] Группы Галуа бесконечных расширений алгебраических полей снабжены топологией Крулля , которая играет роль в бесконечной теории Галуа . ^[78] Обобщением, используемым в алгебраической геометрии, является этальная фундаментальная группа . ^[79] ${\displaystyle g\cdot h}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Группы Ли

Группа Ли — это группа, которая также имеет структуру дифференцируемого многообразия ; неформально это означает, что она локально выглядит как евклидово пространство некоторой фиксированной размерности. ^[80] Опять же, определение требует, чтобы дополнительная структура, в данном случае структура многообразия, была совместима: умножение и обратные отображения должны быть гладкими .

Стандартным примером является общая линейная группа, введенная выше: это открытое подмножество пространства всех матриц размерности θ, поскольку оно задается неравенством, где обозначает матрицу размерности θ . ^[81] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \det(A)\neq 0,}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами . ^[82] Вращение , а также трансляции в пространстве и времени , являются основными симметриями законов механики . Например, их можно использовать для построения простых моделей — наложение, скажем, осевой симметрии на ситуацию, как правило, приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить для предоставления физического описания. ^[u] Другим примером является группа преобразований Лоренца , которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выразив преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского . Последняя служит — при отсутствии значительной гравитации — моделью пространства-времени в специальной теории относительности . ^[83] Полная группа симметрии пространства Минковского, т. е. включая трансляции, известна как группа Пуанкаре . Согласно вышесказанному, она играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля . ^[84] Симметрии, которые изменяются в зависимости от местоположения, являются центральными для современного описания физических взаимодействий с помощью калибровочной теории . Важным примером калибровочной теории является Стандартная модель , которая описывает три из четырех известных фундаментальных сил и классифицирует все известные элементарные частицы . ^[85]

Обобщения

Более общие структуры могут быть определены путем ослабления некоторых аксиом, определяющих группу. ^{[31] [86] [87]} В таблице приведен список нескольких структур, обобщающих группы.

Например, если требование, чтобы каждый элемент имел обратный, устранено, то полученная алгебраическая структура называется моноидом . Натуральные числа (включая ноль) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении ⁠ ⁠ . Присоединение обратных элементов всех элементов моноида производит группу ⁠ ⁠ , и аналогичным образом присоединение обратных элементов к любому (абелеву) моноиду ⁠ ⁠ производит группу, известную как группа Гротендика ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Группу можно рассматривать как малую категорию с одним объектом ⁠ ⁠ , ${\displaystyle x}$ в которой каждый морфизм является изоморфизмом: если задана такая категория, множество является группой; и наоборот, если задана группа ⁠ ⁠ , можно построить малую категорию с одним объектом ⁠ ⁠ , в которой ⁠ ⁠ . В более общем смысле, группоид — это любая малая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. В группоиде множество всех морфизмов в категории обычно не является группой, поскольку композиция определена лишь частично: ⁠ ⁠ определяется только тогда, когда источник ⁠ ⁠ совпадает с целью ⁠ ⁠ . Группоиды возникают в топологии (например, фундаментальный группоид ) и в теории стеков . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)\simeq G}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию n- арной операцией (т.е. операцией, принимающей n аргументов, для некоторого неотрицательного целого числа n ). При надлежащем обобщении аксиом группы это дает понятие n -арной группы . ^[88]

Смотрите также

• Математический портал

• Список тем по теории групп

Примечания

1. Некоторые авторы включают дополнительную аксиому, называемую замыканием , под операцией " ⋅ ", которая означает, что a ⋅ b является элементом G для любых a и b в G. Это условие включается требованием, чтобы " ⋅ " была бинарной операцией над G. См. Lang 2002.
2. База данных математических публикаций MathSciNet содержит 1779 исследовательских работ по теории групп и ее обобщениям, написанных только в 2020 году. См. MathSciNet 2021.
3. Обычно избегают использования дробной записи ⁠б/а⁠ если только G не абелева, из-за неоднозначности того, означает ли это a ⁻¹ ⋅ b или b ⋅ a ⁻¹ .)
4. См., например, Lang 2002, Lang 2005, Herstein 1996 и Herstein 1975.
5. Слово гомоморфизм происходит от греческого ὁμός — тот же самый и μορφή — структура. См. Schwartzman 1994, стр. 108.
6. Однако группа не определяется решеткой ее подгрупп. См. Suzuki 1951.
7. См . пример в теореме Зейферта–Ван Кампена .
8. Примером являются когомологии группы, которые равны сингулярным когомологиям ее классифицирующего пространства , см. Weibel 1994, §8.2.
9. Элементы, которые имеют мультипликативные обратные, называются единицами , см. Lang 2002, стр. 84, §II.1.
10. Переход от целых чисел к рациональным путем включения дробей обобщается полем дробей .
11. То же самое верно для любого поля F вместо Q. См. Lang 2005, стр. 86, §III.1.
12. Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Lang 2002, теорема IV.1.9. Понятия кручения модуля и простых алгебр являются другими примерами этого принципа.
13. Указанное свойство является возможным определением простых чисел. См. Элемент простого числа .
14. Например, протокол Диффи–Хеллмана использует дискретный логарифм . См. Gollmann 2011, §15.3.2.
15. Аддитивная запись элементов циклической группы будет иметь вид t ⋅ a , где t находится в Z.
16. Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого графа ; см. теорему Фрухта , Frucht 1939.
17. Точнее, рассматривается действие монодромии на векторном пространстве решений дифференциальных уравнений. См. Kuga 1993, стр. 105–113.
18. Это имело решающее значение для классификации конечных простых групп, например. См. Aschbacher 2004.
19. См., например, лемму Шура о влиянии группового действия на простые модули . Более сложный пример — действие абсолютной группы Галуа на этальные когомологии .
20. С точностью до изоморфизма существует около 49 миллиардов групп порядка до 2000. См. Besche, Eick & O'Brien 2001.
21. См . метрику Шварцшильда в качестве примера, где симметрия значительно упрощает анализ сложности физических систем.

Цитаты

1. Херштейн 1975, стр. 26, §2.
2. Холл 1967, стр. 1, §1.1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую , так и прикладную ».
3. Ланг 2005, стр. 360, Приложение 2.
4. Кук 2009, стр. 24.
5. Артин 2018, стр. 40, §2.2.
6. Ланг 2002, стр. 3, I.§1 и стр. 7, I.§2.
7. Ланг 2005, стр. 16, II.§1.
8. Херштейн 1975, с. 54, §2.6.
9. Вуссинг 2007.
10. Кляйнер 1986.
11. Смит 1906.
12. Галуа 1908.
13. Кляйнер 1986, стр. 202.
14. Кейли 1889.
15. Вуссинг 2007, §III.2.
16. Ложь 1973.
17. Кляйнер 1986, стр. 204.
18. Вуссинг 2007, §I.3.4.
19. Джордан 1870.
20. фон Дейк 1882.
21. Кертис 2003.
22. Макки 1976.
23. Борель 2001.
24. Соломон 2018.
25. Ледерманн 1953, стр. 4–5, §1.2.
26. Ледерманн 1973, стр. 3, §I.1.
27. Ланг 2005, с. 17, §II.1.
28. Артин 2018, стр. 40.
29. Lang 2002, стр. 7, §I.2.
30. Ланг 2005, стр. 34, §II.3.
31. Mac Lane 1998.
32. Ланг 2005, стр. 19, §II.1.
33. Ледерманн 1973, стр. 39, §II.12.
34. Ланг 2005, стр. 41, §II.4.
35. Ланг 2002, стр. 12, §I.2.
36. Ланг 2005, стр. 45, §II.4.
37. Ланг 2002, стр. 9, §I.2.
38. Магнус, Каррасс и Солитар 2004, стр. 56–67, §1.6.
39. Хэтчер 2002, стр. 30, Глава I.
40. Корнарт, Дельзант и Пападопулос 1990.
41. Например, группы классов и группы Пикара ; см. Neukirch 1999, в частности §§I.12 и I.13
42. Сересс 1997.
43. Ланг 2005, Глава VII.
44. Розен 2000, стр. 54, (Теорема 2.1).
45. Ланг 2005, с. 292, §VIII.1.
46. Ланг 2005, стр. 22, §II.1.
47. Ланг 2005, стр. 26, §II.2.
48. Ланг 2005, стр. 22, §II.1 (пример 11).
49. Ланг 2002, стр. 26, 29, §I.5.
50. Эллис 2019.
51. Вейль 1952.
52. Конвей и др. 2001. См. также Бишоп 1993.
53. Вейль 1950, стр. 197–202.
54. Голубь 2003.
55. Зи 2010, стр. 228.
56. Chancey & O'Brien 2021, стр. 15, 16.
57. Саймонс 2003, §4.2.1.
58. Элиэль, Вилен и Мандер 1994, стр. 82.
59. Уэльс, 1989.
60. Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994.
61. Лэй 2003.
62. Кейперс 1999.
63. Фултон и Харрис, 1991.
64. Серр 1977.
65. Рудин 1990.
66. Робинсон 1996, стр. viii.
67. Артин 1998.
68. Ланг 2002, Глава VI (см., в частности, стр. 273 для конкретных примеров).
69. Ланг 2002, стр. 292, (Теорема VI.7.2).
70. Стюарт 2015, §12.1.
71. Курцвейл и Штельмахер 2004, с. 3.
72. Артин 2018, Предложение 6.4.3. См. также Lang 2002, стр. 77 для аналогичных результатов.
73. Ронан 2007.
74. Ашбахер 2004, стр. 737.
75. Аводей 2010, §4.1.
76. Хусейн 1966.
77. Нойкирх 1999.
78. Шац 1972.
79. Милн 1980.
80. Уорнер 1983.
81. Борель 1991.
82. Гольдштейн 1980.
83. Вайнберг 1972.
84. Набер 2003.
85. Зи 2010.
86. Денеке и Висмат 2002.
87. Романовска и Смит 2002.
88. Дудек 2001.

Ссылки

Общие ссылки

• Артин, Майкл (2018), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-468960-9Глава 2 содержит изложение понятий, рассматриваемых в этой статье, на уровне бакалавриата.
• Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний взгляд на внутренний мир, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7
• Холл, Г.Г. (1967), Прикладная теория групп , American Elsevier Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, MR  0219593, элементарное введение.
• Херштейн, Израэль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, МР  1375019.
• Херштейн, Израэль Натан (1975), Топики по алгебре (2-е изд.), Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, MR  0356988.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556
• Ланг, Серж (2005), Бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
• Ледерманн, Вальтер (1953), Введение в теорию конечных групп , Оливер и Бойд, Эдинбург и Лондон, MR  0054593.
• Ледерманн, Уолтер (1973), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Barnes and Noble, OCLC  795613.
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

Специальные ссылки

• Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-62342-9.
• Ашбахер, Майкл (2004), «Статус классификации конечных простых групп» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (7): 736–740.
• Аводей, Стив (2010), Теория категорий , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-958736-0
• Бехлер, Флориан; Викледер, Матиас С.; Кристофферс, Йенс (2014), «Бифенил и бимезитилтетрасульфоновая кислота – новые линкерные молекулы для координационных полимеров», Arkivoc , 2015 (2): 64–75, doi : 10.3998/ark.5550190.p008.911 , hdl : 2027/spo.5550190.p008.911
• Берсукер, Айзек (2006), Эффект Яна–Теллера, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2.
• Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайен, EA (2001), «Группы порядка не более 2000», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 7 : 1–4, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR  1826989.
• Бишоп, Дэвид HL (1993), Теория групп и химия , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
• Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, МР  1102012.
• Картер, Роджер В. (1989), Простые группы типа лжи , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6.
• Chancey, CC; O'Brien, MCM (2021), Эффект Яна-Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22534-0
• Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Хьюсон, Дэниел Х.; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR  1865535.
• Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Геометрия и теория групп] , Конспекты лекций по математике (на французском языке), vol. 1441, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, МР  1075994.
• Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2002), Универсальная алгебра и ее применение в теоретической информатике , Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-254-1.
• Dove, Martin T (2003), Структура и динамика: атомный взгляд на материалы , Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3.
• Дудек, Веслав А. (2001), «О некоторых старых и новых проблемах в n-арных группах» (PDF) , Квазигруппы и родственные системы , 8 : 15–36, MR  1876783.
• Элиель, Эрнест; Вилен, Сэмюэл; Мандер, Льюис (1994), Стереохимия органических соединений , Wiley, ISBN 978-0-471-01670-0
• Эллис, Грэм (2019), «6.4 Группы треугольников», Приглашение к вычислительной гомотопии , Oxford University Press, стр. 441–444, doi : 10.1093/oso/9780198832973.001.0001, ISBN 978-0-19-883298-0, г-н  3971587.
• Фрухт, Р. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Построение графов с заданной группой]», Compositio Mathematica (на немецком языке), 6 : 239–50, заархивировано из оригинала 1 декабря 2008 г..
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений: Первый курс , Выпускные тексты по математике , Чтения по математике, т. 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, г-н  1153249
• Голдштейн, Герберт (1980), Классическая механика (2-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, стр. 588–596, ISBN 0-201-02918-9.
• Голлманн, Дитер (2011), Компьютерная безопасность (2-е изд.), Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0-470-74115-3
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
• Хусейн, Такдир (1966), Введение в топологические группы , Филадельфия: WB Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
• Jahn, H. ; Teller, E. (1937), "Устойчивость многоатомных молекул в вырожденных электронных состояниях. I. Орбитальное вырождение", Труды Королевского общества A , 161 (905): 220–235, Bibcode :1937RSPSA.161..220J, doi : 10.1098/rspa.1937.0142.
• Кёйперс, Джек Б. (1999), Кватернионы и последовательности вращения: учебник для начинающих с приложениями к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности , Princeton University Press , Bibcode : 1999qrsp.book.....K, ISBN 978-0-691-05872-6, г-н  1670862.
• Куга, Мичио (1993), Мечта Галуа: Теория групп и дифференциальные уравнения , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, г-н  1199112.
• Курцвейл, Ганс; Штельмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, МР  2014408.
• Лэй, Дэвид (2003), Линейная алгебра и ее приложения , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-70970-4.
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
• Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Абрахам; Солитэр, Дональд (2004) [1966], Комбинаторная теория групп: представления групп в терминах образующих и отношений, Courier, ISBN 978-0-486-43830-6
• MathSciNet (2021), Список статей, рассмотренных на MathSciNet по теме «Теория групп и ее обобщения» (код MSC 20), опубликовано в 2020 г. , получено 14 мая 2021 г.
• Михлер, Герхард (2006), Теория конечных простых групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5.
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальная когомология, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , т. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, МР  1304906.
• Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, г-н  2044239.
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021
• Романовска, AB ; Смит, JDH (2002), Режимы , World Scientific , ISBN 978-981-02-4942-7.
• Ронан, Марк (2007), Симметрия и монстр: история одного из величайших поисков математики , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-280723-6.
• Розен, Кеннет Х. (2000), Элементарная теория чисел и ее приложения (4-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, г-н  1739433.
• Рудин, Уолтер (1990), Анализ Фурье на группах , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X.
• Сересс, Акош (1997), «Введение в вычислительную теорию групп» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 44 (6): 671–679, MR  1452069.
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, МР  0450380.
• Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-511-9.
• Шатц, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, МР  0347778
• Саймонс, Джек (2003), Введение в теоретическую химию , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53047-7
• Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы», Notices of the AMS , 65 (6): 1, doi : 10.1090/noti1689
• Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0
• Судзуки, Мичио (1951), «О решетке подгрупп конечных групп», Труды Американского математического общества , 70 (2): 345–371, doi : 10.2307/1990375 , JSTOR  1990375.
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
• Вайбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324, OCLC  36131259
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
• Уэлш, Доминик (1989), Коды и криптография , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
• Вейль, Герман (1952), Симметрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.
• Зи, А. (2010), Квантовая теория поля в двух словах (второе издание), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14034-6, OCLC  768477138

Исторические справки

• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5
• Кейли, Артур (1889), Собрание математических работ Артура Кейли, т. II (1851–1860), Cambridge University Press.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Развитие теории групп», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2677-5.
• фон Дейк, Вальтер (1882), «Gruppentheoretische Studien (Теоретико-групповые исследования)», Mathematische Annalen (на немецком языке), 20 (1): 1–44, doi : 10.1007/BF01443322, S2CID  179178038, заархивировано из оригинала в 2014 г. -02-22.
• Галуа, Эварист (1908), Таннери, Жюль (редактор), Manuscrits de Évariste Galois [Рукописи Эвариста Галуа] (на французском языке), Париж: Готье-Вилларс(Работа Галуа была впервые опубликована Жозефом Лиувиллем в 1843 году).
• Джордан, Камилла (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Исследование замен и алгебраических уравнений] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар.
• Кляйнер, Израиль (1986), «Эволюция теории групп: краткий обзор», Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi :10.2307/2690312, JSTOR  2690312, MR  0863090.
• Ложь, Софус (1973), Gesammelte Abhandlungen. Группа 1 [Сборник статей. Том 1] (на немецком языке), Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp., MR  0392459..
• Макки, Джордж Уайтлоу (1976), Теория представлений унитарных групп , Издательство Чикагского университета , MR  0396826
• Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики, Математические монографии, № 1.
• Вейль, Герман (1950) [1931], Теория групп и квантовая механика , перевод Робертсона, HP, Довер, ISBN 978-0-486-60269-1.
• Вуссинг, Ганс (2007), Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения теории абстрактных групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Группа», MathWorld