Теория моделей

Область математической логики

В математической логике теория моделей — это изучение взаимосвязи между формальными теориями (совокупность предложений на формальном языке, выражающих утверждения о математической структуре ) и их моделями (те структуры , в которых утверждения теории имеют место). ^[1] Исследуемые аспекты включают количество и размер моделей теории, взаимосвязь различных моделей друг с другом и их взаимодействие с самим формальным языком. В частности, теоретики моделей также исследуют множества, которые могут быть определены в модели теории, и взаимосвязь таких определяемых множеств друг с другом. Как отдельная дисциплина, теория моделей восходит к Альфреду Тарскому , который впервые использовал термин «Теория моделей» в публикации в 1954 году. ^[2] С 1970-х годов предмет был решительно сформирован теорией стабильности Сахарона Шелаха .

По сравнению с другими областями математической логики, такими как теория доказательств , теория моделей часто меньше озабочена формальной строгостью и ближе по духу к классической математике. Это побудило заметить, что «если теория доказательств касается священного, то теория моделей касается мирского» . ^[3] Приложения теории моделей к алгебраической и диофантовой геометрии отражают эту близость к классической математике, поскольку они часто включают в себя интеграцию алгебраических и теоретико-модельных результатов и методов. Следовательно, теория доказательств является синтаксической по своей природе, в отличие от теории моделей, которая является семантической по своей природе.

Наиболее известной научной организацией в области теории моделей является Ассоциация символической логики .

Обзор

На этой странице основное внимание уделяется теории финитных моделей первого порядка бесконечных структур.

Относительный акцент, сделанный на классе моделей теории, в отличие от класса определяемых множеств внутри модели, менялся в истории предмета, и эти два направления обобщены в кратких характеристиках 1973 и 1997 годов соответственно:

теория моделей = универсальная алгебра + логика ^[4]

где универсальная алгебра обозначает математические структуры, а логика — логические теории; и

теория моделей = алгебраическая геометрия − поля .

где логические формулы относятся к определимым множествам так же, как уравнения относятся к многообразиям над полем. ^[5]

Тем не менее, взаимодействие классов моделей и множеств, определяемых в них, имело решающее значение для развития теории моделей на протяжении всей ее истории. Например, хотя изначально устойчивость была введена для классификации теорий по числу моделей в заданной мощности , теория устойчивости оказалась решающей для понимания геометрии определяемых множеств.

Основные понятия теории моделей первого порядка

Логика первого порядка

Формула первого порядка строится из атомарных формул, таких как или с помощью булевых связок и префиксов квантификаторов или . Предложение — это формула, в которой каждое вхождение переменной находится в области действия соответствующего квантификатора. Примерами формул являются (или для указания, является ли несвязанная переменная в ) и (или ), определяемые следующим образом: ${\displaystyle R(f(x,y),z)}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$ ${\displaystyle \forall v}$ ${\displaystyle \exists v}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}}$

(Обратите внимание, что символ равенства здесь имеет двойное значение.) Интуитивно ясно, как перевести такие формулы в математический смысл. Например, в σ _smr -структуре натуральных чисел элемент удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда является простым числом. Формула аналогичным образом определяет неприводимость . Тарский дал строгое определение, иногда называемое «определением истины Тарского» , для отношения удовлетворения , так что легко доказать: ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \models }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$является простым числом.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$является неприводимым.

Набор предложений называется теорией (первого порядка) , которая принимает предложения в наборе в качестве своих аксиом. Теория выполнима , если у нее есть модель , т. е. структура (соответствующей сигнатуры), которая удовлетворяет всем предложениям в наборе . Полная теория — это теория, которая содержит каждое предложение или его отрицание. Полная теория всех предложений, удовлетворяемых структурой, также называется теорией этой структуры . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$ ${\displaystyle T}$

Следствием теоремы Гёделя о полноте (не путать с его теоремами о неполноте ) является то, что теория имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива , т. е. теория не доказывает противоречий. Поэтому теоретики моделей часто используют «непротиворечивый» как синоним «выполнимого».

Основные модельно-теоретические концепции

Сигнатура или язык — это набор нелогических символов, такой, что каждый символ является либо константным символом, либо функцией или символом отношения с указанной арностью . Обратите внимание , что в некоторой литературе константные символы рассматриваются как функциональные символы с нулевой арностью и, следовательно, опускаются. Структура — это набор вместе с интерпретациями каждого из символов сигнатуры как отношений и функций на (не путать с формальным понятием « интерпретации » одной структуры в другой). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Пример: Обычная сигнатура для упорядоченных колец — , где и — 0-арные функциональные символы (также известные как константные символы), а — бинарные (= 2-арные) функциональные символы, — унарный (= 1-арный) функциональный символ, а — бинарный символ отношения. Затем, когда эти символы интерпретируются в соответствии с их обычным значением на (так что , например , — функция от до и — подмножество ), получается структура . ${\displaystyle \sigma _{or}=(0,1,+,\times ,-,<)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{or})}$

Говорят, что структура моделирует набор предложений первого порядка в данном языке, если каждое предложение в истинно в отношении интерпретации сигнатуры, ранее указанной для . (Опять же, не путать с формальным понятием « интерпретации » одной структуры в другой) Модель — это структура, которая моделирует . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Подструктура σ-структуры — это подмножество ее области, замкнутое относительно всех функций в ее сигнатуре σ, которая рассматривается как σ-структура путем ограничения всех функций и отношений в σ на подмножество. Это обобщает аналогичные понятия из алгебры; например, подгруппа — это подструктура в сигнатуре с умножением и обратным. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подструктура называется элементарной , если для любой формулы первого порядка и любых элементов a ₁ , ..., a _n из , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

В частности, если — предложение и элементарная подструктура , то тогда и только тогда, когда . Таким образом, элементарная подструктура является моделью теории именно тогда, когда надстройка является моделью. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi }$

Пример: В то время как поле алгебраических чисел является элементарной подструктурой поля комплексных чисел , рациональное поле таковым не является, поскольку мы можем выразить «Существует квадратный корень из 2» как предложение первого порядка, которому удовлетворяет , но не удовлетворяет . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Вложение σ-структуры в другую σ-структуру — это отображение f : A → B между областями, которое можно записать как изоморфизм с подструктурой . Если его можно записать как изоморфизм с элементарной подструктурой, то оно называется элементарным вложением. Каждое вложение является инъективным гомоморфизмом, но обратное справедливо только в том случае, если сигнатура не содержит символов отношения, например, в группах или полях. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Поле или векторное пространство можно рассматривать как (коммутативную) группу, просто игнорируя часть его структуры. Соответствующее понятие в теории моделей — это понятие редукции структуры к подмножеству исходной сигнатуры. Противоположное отношение называется расширением — например, (аддитивная) группа рациональных чисел , рассматриваемая как структура в сигнатуре {+,0}, может быть расширена до поля с сигнатурой {×,+,1,0} или до упорядоченной группы с сигнатурой {+,0,<}.

Аналогично, если σ' — это сигнатура, которая расширяет другую сигнатуру σ, то полная σ'-теория может быть ограничена до σ путем пересечения множества ее предложений с множеством σ-формул. Наоборот, полная σ-теория может рассматриваться как σ'-теория, и ее можно расширить (более чем одним способом) до полной σ'-теории. Термины редукция и расширение иногда применяются также к этому отношению.

Компактность и теорема Лёвенгейма-Сколема

Теорема о компактности утверждает, что множество предложений S выполнимо, если каждое конечное подмножество S выполнимо. Аналогичное утверждение с непротиворечивым вместо выполнимого является тривиальным, поскольку каждое доказательство может иметь только конечное число антецедентов, используемых в доказательстве. Теорема о полноте позволяет нам перенести это на выполнимость. Однако существует также несколько прямых (семантических) доказательств теоремы о компактности. Как следствие (т. е. ее контрапозитив), теорема о компактности утверждает, что каждая невыполнимая теория первого порядка имеет конечное невыполнимое подмножество. Эта теорема имеет центральное значение в теории моделей, где слова «по компактности» являются обычным явлением. ^[6]

Другим краеугольным камнем теории моделей первого порядка является теорема Лёвенгейма-Скулема . Согласно теореме Лёвенгейма-Скулема, каждая бесконечная структура в счетной сигнатуре имеет счетную элементарную подструктуру. Наоборот, для любого бесконечного кардинала κ каждая бесконечная структура в счетной сигнатуре, которая имеет мощность меньше κ, может быть элементарно вложена в другую структуру мощности κ (существует прямое обобщение на несчетные сигнатуры). В частности, теорема Лёвенгейма-Скулема подразумевает, что любая теория в счетной сигнатуре с бесконечными моделями имеет счетную модель, а также произвольно большие модели. ^[7]

В определенном смысле, уточненном теоремой Линдстрема , логика первого порядка является наиболее выразительной логикой, для которой справедливы как теорема Лёвенгейма–Скулема, так и теорема о компактности. ^[8]

Определимость

Определимые множества

В теории моделей определимые множества являются важными объектами изучения. Например, в формуле ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

определяет подмножество простых чисел, в то время как формула

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

определяет подмножество четных чисел. Аналогичным образом формулы с n свободными переменными определяют подмножества . Например, в поле формула ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$

${\displaystyle y=x\times x}$

определяет кривую всех таких, что . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

Оба определения, упомянутые здесь, являются безпараметрическими , то есть определяющие формулы не упоминают никаких фиксированных элементов домена. Однако можно также рассмотреть определения с параметрами из модели . Например, в формула ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y=x\times x+\pi }$

использует параметр из для определения кривой. ^[9] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Устранение квантификаторов

В целом, определяемые множества без квантификаторов легко описать, в то время как определяемые множества, включающие в себя, возможно, вложенные квантификаторы, могут быть гораздо сложнее. ^[10]

Это делает исключение кванторов важнейшим инструментом для анализа определимых множеств: теория T имеет исключение кванторов, если каждая формула первого порядка φ( x ₁ , ..., x _n ) над ее сигнатурой эквивалентна по модулю T формуле первого порядка ψ( x ₁ , ..., x _n ) без кванторов, т.е. выполняется во всех моделях T . ^[11] Если теория структуры имеет исключение кванторов, каждое множество, определяемое в структуре, определяется формулой без кванторов над теми же параметрами, что и исходное определение. Например, теория алгебраически замкнутых полей в сигнатуре σ _ring = (×,+,−,0,1) имеет исключение кванторов. ^[12] Это означает, что в алгебраически замкнутом поле каждая формула эквивалентна булевой комбинации уравнений между многочленами. ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$

Если теория не имеет исключения кванторов, можно добавить дополнительные символы к ее сигнатуре, чтобы она имела это. Результаты аксиоматизации и исключения кванторов для конкретных теорий, особенно в алгебре, были среди ранних знаковых результатов теории моделей. ^[13] Но часто вместо исключения кванторов достаточно более слабого свойства:

Теория T называется модельно-полной, если каждая подструктура модели T , которая сама является моделью T, является элементарной подструктурой. Существует полезный критерий для проверки того, является ли подструктура элементарной подструктурой, называемый тестом Тарского–Воота . ^[14] Из этого критерия следует, что теория T является модельно-полной тогда и только тогда, когда каждая формула первого порядка φ( x ₁ , ..., x _n ) над ее сигнатурой эквивалентна по модулю T экзистенциальной формуле первого порядка, т. е. формуле следующего вида:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

где ψ — кванторная свобода. Теория, которая не является модельно-полной, может иметь модельное завершение , которое является связанной модельно-полной теорией, которая, в общем случае, не является расширением исходной теории. Более общее понятие — модель- компаньон . ^[15]

Минимальность

В каждой структуре каждое конечное подмножество можно определить с помощью параметров: просто используйте формулу ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}}$.

Поскольку мы можем отрицать эту формулу, каждое коконечное подмножество (включающее в себя все элементы области, кроме конечного числа) также всегда определимо.

Это приводит к понятию минимальной структуры . Структура называется минимальной, если каждое подмножество, определяемое параметрами из , является либо конечным, либо коконечным. Соответствующее понятие на уровне теорий называется сильной минимальностью : теория T называется сильно минимальной, если каждая модель T является минимальной. Структура называется сильно минимальной , если теория этой структуры является сильно минимальной. Эквивалентно, структура является сильно минимальной, если каждое элементарное расширение является минимальным. Поскольку теория алгебраически замкнутых полей имеет исключение кванторов, каждое определимое подмножество алгебраически замкнутого поля определяется бескванторной формулой от одной переменной. Бескванторные формулы от одной переменной выражают булевы комбинации полиномиальных уравнений от одной переменной, и поскольку нетривиальное полиномиальное уравнение от одной переменной имеет только конечное число решений, теория алгебраически замкнутых полей является сильно минимальной. ^[16] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

С другой стороны, поле действительных чисел не является минимальным: рассмотрим, например, определимое множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\exists y(y\times y=x)}$.

Это определяет подмножество неотрицательных действительных чисел, которое не является ни конечным, ни коконечным. Фактически можно использовать для определения произвольных интервалов на числовой прямой. Оказывается, этого достаточно для представления каждого определяемого подмножества . ^[17] Это обобщение минимальности оказалось очень полезным в теории моделей упорядоченных структур. Плотно полностью упорядоченная структура в сигнатуре, включающая символ для отношения порядка, называется о-минимальной, если каждое подмножество, определяемое параметрами из , является конечным объединением точек и интервалов. ^[18] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Определимые и интерпретируемые структуры

Особенно важны те определимые множества, которые также являются подструктурами, т. е. содержат все константы и замкнуты относительно применения функций. Например, можно изучать определимые подгруппы определенной группы. Однако нет необходимости ограничиваться подструктурами в той же сигнатуре. Поскольку формулы с n свободными переменными определяют подмножества , n -арные отношения также могут быть определимыми. Функции определимы, если график функции является определимым отношением, а константы определимы, если существует формула такая, что a является единственным элементом , которая истинна. Таким образом, можно изучать определимые группы и поля в общих структурах, например, что было важно в геометрической теории устойчивости. ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (a)}$

Можно даже пойти на шаг дальше и выйти за рамки непосредственных подструктур. При наличии математической структуры очень часто существуют связанные структуры, которые могут быть построены как фактор части исходной структуры через отношение эквивалентности. Важным примером является фактор-группа группы. Можно сказать, что для понимания полной структуры необходимо понимать эти факторы. Когда отношение эквивалентности определимо, мы можем придать предыдущему предложению точное значение. Мы говорим, что эти структуры интерпретируемы . Ключевым фактом является то, что можно переводить предложения с языка интерпретируемых структур на язык исходной структуры. Таким образом, можно показать, что если структура интерпретирует другую, теория которой неразрешима, то она сама неразрешима. ^[19] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Типы

Основные понятия

Для последовательности элементов структуры и подмножества A из можно рассмотреть множество всех формул первого порядка с параметрами в A , которым удовлетворяет . Это называется полным (n-)типом, реализуемым над A . Если существует автоморфизм , который постоянен на A и отправляется в соответственно, то и реализуют один и тот же полный тип над A . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Действительная числовая прямая , рассматриваемая как структура с единственным отношением порядка {<}, будет служить в этом разделе в качестве рабочего примера. Каждый элемент удовлетворяет одному и тому же 1-типу над пустым множеством. Это ясно, поскольку любые два действительных числа a и b связаны автоморфизмом порядка, который сдвигает все числа на ba . Полный 2-тип над пустым множеством, реализуемый парой чисел, зависит от их порядка: либо , либо . Над подмножеством целых чисел 1-тип нецелого действительного числа a зависит от его значения, округленного до ближайшего целого числа. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$

В более общем случае, когда есть структура и A есть подмножество , (частичный) n-тип над A есть множество формул p с не более чем n свободными переменными, которые реализованы в элементарном расширении . Если p содержит каждую такую ​​формулу или ее отрицание, то p является полным . Множество полных n -типов над A часто записывается как . Если A есть пустое множество, то пространство типов зависит только от теории . Обозначение обычно используется для множества типов над пустым множеством, согласованным с . Если существует единственная формула , такая что теория подразумевает для каждой формулы в p , то p называется изолированным . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{n}^{\mathcal {M}}(A)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{n}(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Поскольку действительные числа являются архимедовыми , не существует действительного числа, большего любого целого числа. Однако аргумент компактности показывает, что существует элементарное расширение действительной числовой прямой, в котором есть элемент, больший любого целого числа. Следовательно, множество формул является 1-типом над , который не реализуется в действительной числовой прямой . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Подмножество , которое может быть выражено как именно те элементы, реализующие определенный тип над A , называется определяемым типом над A . Для алгебраического примера предположим, что есть алгебраически замкнутое поле . Теория имеет исключение кванторов . Это позволяет нам показать, что тип определяется именно полиномиальными уравнениями, которые он содержит. Таким образом, множество полных -типов над подполем соответствует множеству простых идеалов полиномиального кольца , а определяемые типом множества являются в точности аффинными многообразиями. ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Структуры и типы

Хотя не каждый тип реализуется в каждой структуре, каждая структура реализует свои изолированные типы. Если единственные типы над пустым множеством, которые реализуются в структуре, являются изолированными типами, то структура называется атомарной .

С другой стороны, ни одна структура не реализует каждый тип над каждым набором параметров; если взять все из в качестве набора параметров, то каждый 1-тип над реализованным в изолируется формулой вида a = x для an . Однако любое правильное элементарное расширение из содержит элемент, которого нет в . Поэтому было введено более слабое понятие, которое охватывает идею структуры, реализующей все типы, которые она могла бы реализовать. Структура называется насыщенной , если она реализует каждый тип над набором параметров , имеющим меньшую мощность, чем она сама. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

В то время как автоморфизм, который является постоянным на A , всегда сохраняет типы над A , обычно неверно, что любые две последовательности и , которые удовлетворяют одному и тому же типу над A , могут быть отображены друг в друга таким автоморфизмом. Структура , в которой это обратное утверждение выполняется для всех A меньшей мощности, чем , называется однородной . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Действительная числовая прямая является атомарной в языке, который содержит только порядок , поскольку все n -типы над пустым множеством, реализованные в , изолированы отношениями порядка между . Однако она не насыщена, поскольку не реализует ни одного 1-типа над счетным множеством , который подразумевает, что x больше любого целого числа. Рациональная числовая прямая насыщена, напротив, поскольку сама счетна и, следовательно, должна реализовать типы только над конечными подмножествами, чтобы быть насыщенной. ^[21] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Каменные пространства

Множество определяемых подмножеств по некоторым параметрам является булевой алгеброй . По теореме Стоуна о представлении для булевых алгебр существует естественное двойственное топологическое пространство , которое состоит в точности из полных -типов над . Топология , порожденная множествами вида для отдельных формул . Это называется пространством Стоуна n-типов над A . ^[22] Эта топология объясняет часть терминологии, используемой в теории моделей: Теорема о компактности гласит, что пространство Стоуна является компактным топологическим пространством, а тип p является изолированным тогда и только тогда, когда p является изолированной точкой в ​​топологии Стоуна. ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$ ${\displaystyle \varphi }$

В то время как типы в алгебраически замкнутых полях соответствуют спектру кольца многочленов, топология на пространстве типов является конструктивной топологией : множество типов является базисно открытым тогда и только тогда, когда оно имеет вид или вид . Это тоньше, чем топология Зарисского . ^[23] ${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$ ${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$

Построение моделей

Реализация и исключение типов

Построение моделей, реализующих определенные типы и не реализующих другие, является важной задачей в теории моделей. Нереализованный тип называется его пропуском и, как правило, возможен по теореме (счетных) пропусков типов :

Пусть — теория в счетной сигнатуре, а — счетное множество неизолированных типов над пустым множеством. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Затем есть модель , в которой отсутствует каждый тип . ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Это означает, что если теория в счетной сигнатуре имеет только счетное число типов над пустым множеством, то эта теория имеет атомарную модель.

С другой стороны, всегда существует элементарное расширение, в котором реализуется любой набор типов над фиксированным набором параметров:

Пусть будет структурой, а будет набором полных типов по заданному набору параметров. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}.}$

Тогда есть элементарное расширение , которое реализует каждый тип в . ^[25] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Однако, поскольку набор параметров фиксирован и здесь не упоминается мощность , это не означает, что каждая теория имеет насыщенную модель. Фактически, то, имеет ли каждая теория насыщенную модель, не зависит от аксиом Цермело-Френкеля теории множеств, и является верным, если верна обобщенная гипотеза континуума . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Ультрапродукты

Ультрапроизведения используются как общий метод построения моделей, реализующих определенные типы. Ультрапроизведение получается из прямого произведения набора структур над индексным набором I путем идентификации тех кортежей, которые согласуются почти по всем записям, где почти все делается точным с помощью ультрафильтра U на I. Ультрапроизведение копий одной и той же структуры известно как ультрастепень . Ключом к использованию ультрапроизведений в теории моделей является теорема Лося :

Пусть — множество σ -структур, индексированное множеством индексов I , а U — ультрафильтр на I. Тогда любая σ -формула истинна в ультрапроизведении на , если множество всех для которого лежит в U. ^[27] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ ${\displaystyle \varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})}$

В частности, любой ультрапродукт моделей теории сам по себе является моделью этой теории, и, таким образом, если две модели имеют изоморфные ультрастепени, они элементарно эквивалентны. Теорема Кейслера-Шелаха дает обратное утверждение:

Если M и N элементарно эквивалентны, то существует множество I и ультрафильтр U на I, такие, что ультрастепени M и : N по U изоморфны. ^[28]

Таким образом, ультрапроизведения предоставляют способ говорить об элементарной эквивалентности, избегая упоминания теорий первого порядка вообще. Базовые теоремы теории моделей, такие как теорема о компактности, имеют альтернативные доказательства с использованием ультрапроизведений, ^[29] и их можно использовать для построения насыщенных элементарных расширений, если они существуют. ^[30]

Категоричность

Теория изначально называлась категоричной , если она определяет структуру с точностью до изоморфизма. Оказывается, это определение бесполезно из-за серьезных ограничений в выразительности логики первого порядка. Теорема Лёвенгейма–Скулема подразумевает, что если теория T имеет бесконечную модель для некоторого бесконечного кардинального числа , то она имеет модель размера κ для любого достаточно большого кардинального числа κ . Поскольку две модели разных размеров не могут быть изоморфными, категоричной теорией могут быть описаны только конечные структуры.

Однако более слабое понятие κ -категоричности для кардинала κ стало ключевым понятием в теории моделей. Теория T называется κ -категоричной, если любые две модели T , имеющие мощность κ, изоморфны. Оказывается, что вопрос κ -категоричности критически зависит от того, больше ли κ мощности языка (т. е ., где | σ | - мощность сигнатуры). Для конечных или счетных сигнатур это означает, что существует фундаментальное различие между ω -мощностью и κ -мощностью для несчетного κ . ${\displaystyle \aleph _{0}+|\sigma |}$

ω-категоричность

ω -категоричные теории можно охарактеризовать свойствами пространства их типов:

Для полной теории первого порядка T в конечной или счетной сигнатуре следующие условия эквивалентны:

1. T является ω -категоричным.
2. Каждый тип в S _n ( T ) изолирован.
3. Для каждого натурального числа n число S _n ( T ) конечно.
4. Для каждого натурального числа n число формул φ ( x ₁ , ..., x _n ) от n свободных переменных, с точностью до эквивалентности по модулю T , конечно.

Теория , которая также является теорией , является ω -категоричной, так как каждый n -тип над пустым множеством изолирован отношением попарного порядка между . Это означает, что каждый счетный плотный линейный порядок порядково изоморфен прямой рациональных чисел. С другой стороны, теории ℚ, ℝ и ℂ как полей не являются -категоричными. Это следует из того факта, что во всех этих полях любое из бесконечного множества натуральных чисел может быть определено формулой вида . ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$ ${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x=1+\dots +1}$

${\displaystyle \aleph _{0}}$-категоричные теории и их счетные модели также имеют тесные связи с олигоморфными группами :

Полная теория первого порядка T в конечной или счетной сигнатуре является ω -категоричной тогда и только тогда, когда ее группа автоморфизмов олигоморфна.

Эквивалентные характеристики этого подраздела, независимо друг от друга предложенные Энгелером , Рылль-Нардзевским и Свенониусом , иногда называют теоремой Рылля-Нардзевского.

В комбинаторных сигнатурах общим источником ω -категоричных теорий являются пределы Фрэйсса , которые получаются как предел объединения всех возможных конфигураций класса конечных реляционных структур.

Неисчислимая категоричность

Майкл Морли показал в 1963 году, что существует только одно понятие несчетной категоричности для теорий в счетных языках. ^[31]

Теорема категоричности Морли

Если теория первого порядка T в конечной или счетной сигнатуре является κ -категоричной для некоторого несчетного кардинала κ , то T является κ-категоричной для всех несчетных кардиналов κ .

Доказательство Морли выявило глубокие связи между несчетной категоричностью и внутренней структурой моделей, что стало отправной точкой теории классификации и теории устойчивости. Несчетно категоричные теории являются с многих точек зрения наиболее хорошо себя ведущими теориями. В частности, полные сильно минимальные теории несчетно категоричны. Это показывает, что теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики несчетно категорична, причем степень трансцендентности поля определяет его тип изоморфизма.

Теория, которая является одновременно ω -категоричной и несчетно категоричной, называется полностью категоричной .

Теория устойчивости

Ключевым фактором в структуре класса моделей теории первого порядка является ее место в иерархии устойчивости .

Полная теория T называется -стабильной для кардинала, если для любой модели T и любого набора параметров мощности, не превосходящей , существует не более чем полных T -типов над A . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Теория называется стабильной, если она является -стабильной для некоторого бесконечного кардинала . Традиционно, теории, которые являются -стабильными, называются -стабильными . ^[32] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

Иерархия стабильности

Фундаментальным результатом в теории стабильности является теорема о спектре стабильности ^[33] , которая подразумевает, что каждая полная теория T в счетной сигнатуре попадает в один из следующих классов:

1. Не существует таких кардиналов, что T является -стабильным. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$
2. T является -стабильным тогда и только тогда, когда (см. Кардинальное возведение в степень для объяснения ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}}$
3. T является -устойчивым для любого (где - мощность континуума ) . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \geq 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Теория первого типа называется нестабильной , теория второго типа называется строго стабильной , а теория третьего типа называется сверхстабильной . Более того, если теория -стабильна, то она стабильна в каждом бесконечном кардинале, ^[34] поэтому -стабильность сильнее сверхстабильности. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Многие конструкции в теории моделей становятся проще, если ограничиться стабильными теориями; например, каждая модель стабильной теории имеет насыщенное элементарное расширение, независимо от того, верна ли обобщенная континуальная гипотеза. ^[35]

Первоначальным мотивом Шелаха для изучения стабильных теорий было решить, сколько моделей счетной теории имеет любая несчетная мощность. ^[36] Если теория несчетно категорична, то она -стабильна. В более общем смысле, теорема о главном разрыве подразумевает, что если существует несчетный кардинал такой, что теория T имеет меньше моделей мощности , то T является сверхстабильной. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Геометрическая теория устойчивости

Иерархия стабильности также имеет решающее значение для анализа геометрии определяемых множеств в модели теории. В -стабильных теориях ранг Морли является важным понятием размерности для определяемых множеств S в модели. Он определяется трансфинитной индукцией : ${\displaystyle \omega }$

• Ранг Морли равен по крайней мере 0, если S непусто.
• Для α — ординала -последователя ранг Морли не меньше α , если в некотором элементарном расширении N множества M множество S имеет бесконечно много непересекающихся определимых подмножеств, каждое из которых имеет ранг не меньше α  − 1.
• Для α — ненулевого предельного ординала ранг Морли не меньше α , если он не меньше β для всех β, меньших α .

Теория T, в которой каждое определимое множество имеет вполне определенный ранг Морли, называется полностью трансцендентной ; если T счетно, то T вполне трансцендентно тогда и только тогда, когда T является -стабильным. Ранг Морли можно распространить на типы, установив ранг Морли типа равным минимуму рангов Морли формул в типе. Таким образом, можно также говорить о ранге Морли элемента a над множеством параметров A , определяемом как ранг Морли типа a над A . Существуют также аналоги ранга Морли, которые вполне определены тогда и только тогда, когда теория является сверхстабильной ( U-ранг ) или просто стабильной ( -ранг Шелаха ). Эти понятия размерности можно использовать для определения понятий независимости и генерических расширений. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$

Совсем недавно устойчивость была разложена на простоту и «не свойство независимости» (NIP). Простые теории — это теории, в которых можно определить хорошо ведущее себя понятие независимости, в то время как теории NIP обобщают o-минимальные структуры. Они связаны с устойчивостью, поскольку теория устойчива тогда и только тогда, когда она является NIP и проста, ^[37], и различные аспекты теории устойчивости были обобщены на теории в одном из этих классов.

Теория неэлементарных моделей

Результаты теории моделей были обобщены за пределы элементарных классов, то есть классов, аксиоматизируемых теорией первого порядка.

Теория моделей в логиках высшего порядка или бесконечных логиках затруднена тем фактом, что полнота и компактность в общем случае не выполняются для этих логик. Это конкретизируется теоремой Линдстрема , утверждающей, что логика первого порядка по сути является сильнейшей логикой, в которой выполняются и теоремы Лёвенгейма-Сколема, и компактность. Однако методы теории моделей были широко разработаны и для этих логик. ^[38] Однако оказывается, что большая часть теории моделей более выразительных логических языков независима от теории множеств Цермело-Френкеля . ^[39]

Совсем недавно, наряду со смещением фокуса на полные стабильные и категоричные теории, была проведена работа над классами моделей, определенных семантически, а не аксиоматизированных логической теорией. Одним из примеров является теория однородных моделей , которая изучает класс подструктур произвольно больших однородных моделей. Фундаментальные результаты теории устойчивости и геометрической теории устойчивости обобщаются на эту установку. ^[40] Как обобщение строго минимальных теорий, квазиминимально превосходные классы - это те, в которых каждое определимое множество либо счетно, либо сосчетно. Они являются ключом к теории моделей комплексной экспоненциальной функции . ^[41] Наиболее общей семантической структурой, в которой изучается устойчивость, являются абстрактные элементарные классы , которые определяются сильным отношением подструктуры, обобщающим отношение элементарной подструктуры. Несмотря на то, что его определение является чисто семантическим, каждый абстрактный элементарный класс может быть представлен как модели теории первого порядка, которые опускают определенные типы. Обобщение понятий теории устойчивости на абстрактные элементарные классы является продолжающейся исследовательской программой. ^[42]

Избранные приложения

Среди ранних успехов теории моделей — доказательства Тарским исключения кванторов для различных алгебраически интересных классов, таких как вещественные замкнутые поля , булевы алгебры и алгебраически замкнутые поля заданной характеристики . Исключение кванторов позволило Тарскому показать, что теории первого порядка вещественно замкнутых и алгебраически замкнутых полей, а также теория первого порядка булевых алгебр разрешимы, классифицировать булевы алгебры с точностью до элементарной эквивалентности и показать, что теории вещественно замкнутых полей и алгебраически замкнутых полей заданной характеристики являются уникальными. Более того, исключение кванторов дало точное описание определимых отношений на алгебраически замкнутых полях как алгебраических многообразий и определимых отношений на вещественно замкнутых полях как полуалгебраических множеств ^{[43] [44]}

В 1960-х годах введение конструкции ультрапроизведения привело к новым приложениям в алгебре. Это включает в себя работу Акс о псевдоконечных полях , доказывающую, что теория конечных полей разрешима, ^[45] и доказательство Акс и Кохена как частного случая гипотезы Артина о диофантовых уравнениях, теоремы Акс-Кохена . ^[46] Конструкция ультрапроизведения также привела к разработке Абрахамом Робинсоном нестандартного анализа , который направлен на обеспечение строгого исчисления бесконечно малых . ^[47]

Совсем недавно связь между устойчивостью и геометрией определимых множеств привела к нескольким приложениям из алгебраической и диофантовой геометрии, включая доказательство Эхуда Хрушовски 1996 года геометрической гипотезы Морделла-Лэнга во всех характеристиках ^[48]. В 2001 году аналогичные методы были использованы для доказательства обобщения гипотезы Манина-Мамфорда. В 2011 году Джонатан Пила применил методы вокруг o-минимальности для доказательства гипотезы Андре-Оорта для произведений модулярных кривых. ^[49]

В отдельной ветви исследований, которые также выросли вокруг стабильных теорий, Ласковски показал в 1992 году, что теории NIP описывают именно те определяемые классы, которые являются PAC-обучаемыми в теории машинного обучения. Это привело к нескольким взаимодействиям между этими отдельными областями. В 2018 году соответствие было расширено, поскольку Хантер и Чейз показали, что стабильные теории соответствуют онлайн-обучаемым классам . ^[50]

История

Теория моделей как предмет существует примерно с середины 20-го века, а само название было придумано Альфредом Тарским , членом Львовско-Варшавской школы , в 1954 году. ^[51] Однако некоторые более ранние исследования, особенно в области математической логики , в ретроспективе часто рассматриваются как имеющие модельно-теоретическую природу. ^[52] Первым значительным результатом в том, что сейчас называется теорией моделей, был частный случай нисходящей теоремы Лёвенгейма–Скулема, опубликованный Леопольдом Лёвенгеймом в 1915 году. Теорема о компактности подразумевалась в работе Торальфа Скулема , ^[53] но впервые она была опубликована в 1930 году в качестве леммы в доказательстве Курта Гёделя его теоремы о полноте . Теорема Лёвенгейма–Скулема и теорема о компактности получили свои соответствующие общие формы в 1936 и 1941 годах от Анатолия Мальцева . Развитие теории моделей как самостоятельной дисциплины было инициировано Альфредом Тарским в межвоенный период . Работы Тарского включали логическое следствие , дедуктивные системы , алгебру логики, теорию определимости и семантическое определение истины , среди прочих тем. Его семантические методы достигли кульминации в теории моделей, которую он и ряд его студентов из Беркли разработали в 1950-х и 1960-х годах.

В дальнейшей истории дисциплины начали появляться различные направления, и фокус предмета сместился. В 1960-х годах методы вокруг ультрапроизведений стали популярным инструментом в теории моделей. ^[54] В то же время такие исследователи, как Джеймс Акс , исследовали теорию моделей первого порядка различных алгебраических классов, а другие, такие как Х. Джером Кейслер , расширяли концепции и результаты теории моделей первого порядка на другие логические системы. Затем, вдохновленный проблемой Морли , Шелах разработал теорию устойчивости . Его работа вокруг устойчивости изменила облик теории моделей, породив целый новый класс концепций. Это известно как сдвиг парадигмы. ^[55] В течение следующих десятилетий стало ясно, что результирующая иерархия устойчивости тесно связана с геометрией множеств, которые можно определить в этих моделях; это дало начало субдисциплине, теперь известной как геометрическая теория устойчивости. Примером влиятельного доказательства из теории геометрических моделей является доказательство Хрушовски гипотезы Морделла–Лэнга для функциональных полей. ^[56]

Связи со смежными разделами математической логики

Теория конечных моделей

Теория конечных моделей , которая концентрируется на конечных структурах, значительно расходится с изучением бесконечных структур как в изучаемых проблемах, так и в используемых методах. ^[57] В частности, многие центральные результаты классической теории моделей, которые терпят неудачу при ограничении конечными структурами. Это включает теорему о компактности , теорему о полноте Гёделя и метод ультрапроизведений для логики первого порядка . На стыке теории конечных и бесконечных моделей находятся алгоритмическая или вычислимая теория моделей и изучение законов 0-1, где бесконечные модели общей теории класса структур предоставляют информацию о распределении конечных моделей. ^[58] Известными областями применения FMT являются описательная теория сложности , теория баз данных и теория формального языка . ^[59]

Теория множеств

Любая теория множеств (выраженная на счетном языке), если она непротиворечива, имеет счетную модель; это известно как парадокс Скулема , поскольку в теории множеств есть предложения, которые постулируют существование несчетных множеств, и все же эти предложения истинны в нашей счетной модели. В частности, доказательство независимости гипотезы континуума требует рассмотрения множеств в моделях, которые кажутся несчетными, если смотреть изнутри модели , но счетны для кого-то вне модели. ^[60]

Модельно-теоретическая точка зрения оказалась полезной в теории множеств ; например, в работе Курта Гёделя о конструируемой вселенной, которая, наряду с методом принуждения, разработанным Полом Коэном, может быть доказана (опять же, философски интересной) независимостью аксиомы выбора и гипотезы континуума от других аксиом теории множеств. ^[61]

В другом направлении, теория моделей сама по себе формализована в рамках теории множеств Цермело-Френкеля. Например, развитие основ теории моделей (таких как теорема о компактности) опирается на аксиому выбора и фактически эквивалентно в теории множеств Цермело-Френкеля без выбора теореме о простом идеале Буля. ^[62] Другие результаты в теории моделей зависят от аксиом теории множеств за пределами стандартной структуры ZFC. Например, если верна гипотеза континуума, то каждая счетная модель имеет ультрамощность, которая насыщена (в своей собственной мощности). Аналогично, если верна обобщенная гипотеза континуума, то каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение. Ни один из этих результатов не доказуем в рамках одной только ZFC. Наконец, было показано, что некоторые вопросы, возникающие из теории моделей (такие как компактность для бесконечных логик), эквивалентны большим кардинальным аксиомам. ^[63]

Смотрите также

• Теория абстрактной модели
• Алгебраическая теория
• Аксиоматизируемый класс
• Теорема компактности
• Описательная сложность
• Элементарная эквивалентность
• Теории первого порядка
• Гипердействительное число
• Теория институциональной модели
• Семантика Крипке
• Теорема Лёвенгейма–Сколема
• Модельно-теоретическая грамматика
• Теория доказательств
• Насыщенная модель
• Сколемская нормальная форма

Примечания

1. Чанг и Кейслер, стр. 1
2. "Теория моделей". Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет. 2020.
3. Дирк ван Дален, (1980; Пятая редакция 2013) «Логика и структура» Springer. (См. стр. 1. )
4. Чанг и Кейслер, стр. 1
5. Ходжес (1997), стр. vii
6. Маркер (2002), стр. 32
7. Маркер (2002), стр. 45
8. Барвайз и Феферман, стр. 43
9. Маркер (2002), стр. 19
10. Маркер (2002), стр. 71
11. Маркер (2002), стр. 72
12. Маркер (2002), стр. 85
13. Донер, Джон; Ходжес, Уилфрид (1988). «Альфред Тарский и разрешимые теории». Журнал символической логики . 53 (1): 20. doi :10.2307/2274425. ISSN  0022-4812. JSTOR  2274425.
14. Маркер (2002), стр. 45
15. Маркер (2002), стр. 106
16. Маркер (2002), стр. 208
17. Маркер (2002), стр. 97
18. Ходжес (1993), стр. 31, 92
19. Тарский, Альфред (1953), «I: Общий метод доказательств неразрешимости», Неразрешимые теории , Исследования по логике и основаниям математики, т. 13, Elsevier, стр. 1–34, doi :10.1016/s0049-237x(09)70292-7, ISBN 9780444533784, получено 2022-01-26
20. Маркер (2002), стр. 115–124.
21. Маркер (2002), стр. 125–155.
22. Ходжес (1993), стр. 280
23. Маркер (2002), стр. 124–125.
24. Ходжес (1993), стр. 333
25. Ходжес (1993), стр. 451
26. Ходжес (1993), 492
27. Ходжес (1993), стр. 450
28. Ходжес (1993), стр. 452
29. Белл и Сломсон, стр. 102.
30. Ходжес (1993), стр. 492
31. Морли, Майкл (1963). «О теориях, категоричных в несчетных степенях». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 49 (2): 213–216. Bibcode :1963PNAS...49..213M. doi : 10.1073/pnas.49.2.213 . PMC 299780 . PMID  16591050. 
32. Маркер (2002), стр. 135
33. Маркер (2002), стр. 172
34. Маркер (2002), стр. 136
35. Ходжес (1993), стр. 494
36. Сахарон., Шелах (1990). Теория классификации и число неизоморфных моделей. Северная Голландия. ISBN 0-444-70260-1. OCLC  800472113.
37. Вагнер, Франк (2011). Простые теории. Springer. doi :10.1007/978-94-017-3002-0. ISBN 978-90-481-5417-3.
38. Barwise, J. (2016), Barwise, J; Feferman, S (ред.), «Теоретико-модельная логика: предпосылки и цели», Model-Theoretic Logics , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 3–24, doi : 10.1017/9781316717158.004, ISBN 9781316717158, получено 2022-01-15
39. Шелах, Сахарон (2000). «О том, чего я не понимаю и что мне есть что сказать (теория моделей)». Fundamenta Mathematicae . 166 (1): 1–82. arXiv : math/9910158 . doi :10.4064/fm-166-1-2-1-82. ISSN  0016-2736. S2CID  116922041.
40. Бюхлер, Стивен; Лессманн, Оливье (2002-10-08). «Простые однородные модели». Журнал Американского математического общества . 16 (1): 91–121. doi : 10.1090/s0894-0347-02-00407-1 . ISSN  0894-0347. S2CID  12044966.
41. Маркер, Дэвид (2016), «Квазиминимальное превосходство», Лекции по теории бесконечных моделей , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 97–112, doi : 10.1017/cbo9781316855560.009, ISBN 9781316855560, получено 2022-01-23
42. Болдуин, Джон (2009-07-24). Категоричность . Серия университетских лекций. Том 50. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/ulect/050. ISBN 9780821848937.
43. Ходжес (1993), стр. 68-69
44. Донер, Джон; Ходжес, Уилфрид (март 1988 г.). «Альфред Тарский и разрешимые теории». Журнал символической логики . 53 (1): 20. doi :10.2307/2274425. ISSN  0022-4812. JSTOR  2274425.
45. Эклоф, Пол К. (1977), «Ультрапроизведения для алгебраистов», СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ , Исследования по логике и основаниям математики, т. 90, Elsevier, стр. 105–137, doi :10.1016/s0049-237x(08)71099-1, ISBN 9780444863881, получено 2022-01-23
46. Акс, Джеймс; Кохен, Саймон (1965). «Диофантовы задачи над локальными полями: I». Американский журнал математики . 87 страниц=605-630.
47. Черлин, Грег; Хиршфельд, Йорам (1972), «Ультрафильтры и ультрапроизведения в нестандартном анализе», Вклад в нестандартный анализ , Исследования по логике и основаниям математики, т. 69, Elsevier, стр. 261–279, doi :10.1016/s0049-237x(08)71563-5, ISBN 9780720420654, получено 2022-01-23
48. Эхуд Хрушовски, Гипотеза Морделла-Лэнга для функциональных полей. Журнал Американского математического общества 9:3 (1996), стр. 667-690.
49. Джонатан Пила, Рациональные точки определимых множеств и результаты типа Андре–Оорта–Манина–Мамфорда, O-минимальность и гипотеза Андре–Оорта для C ⁿ . Annals of Mathematics 173:3 (2011), стр. 1779–1840. doi=10.4007/annals.2011.173.3.11
50. ЧЕЙЗ, ХАНТЕР; ФРЕЙТАГ, ДЖЕЙМС (15.02.2019). «Теория моделей и машинное обучение». Бюллетень символической логики . 25 (3): 319–332. arXiv : 1801.06566 . doi : 10.1017/bsl.2018.71. ISSN  1079-8986. S2CID  119689419.
51. Тарский, Альфред (1954). «Вклад в теорию моделей. I». Indagationes Mathematicae . 57 : 572–581. doi :10.1016/S1385-7258(54)50074-0. ISSN  1385-7258.
52. Уилфрид Ходжес (2018-05-24). «Историческое приложение: краткая история теории моделей». Философия и теория моделей . Баттон, Тим; Уолш, Шон. стр. 439. doi :10.1093/oso/9780198790396.003.0018.
53. "Все три комментатора [т. е. Воот, ван Хейеноорт и Дребен] согласны, что теоремы о полноте и компактности подразумевались в работе Сколема 1923 года..." [ Доусон, Дж. В. (1993). "Компактность логики первого порядка: от Гёделя до Линдстрема". История и философия логики . 14 : 15–37. doi :10.1080/01445349308837208.]
54. Ходжес (1993), стр. 475
55. Болдуин, Джон Т. (2018-01-19). Теория моделей и философия математической практики. Cambridge University Press. doi :10.1017/9781316987216. ISBN 978-1-107-18921-8. S2CID  126311148.
56. Сакс, Джеральд (2003). Математическая логика в 20 веке . Singapore University Press. doi :10.1142/4800. ISBN 981-256-489-6. OCLC  62715985.
57. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг (1995). Теория конечных моделей. Перспективы математической логики. стр. v. doi :10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
58. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг (1995). "Законы 0-1". Теория конечных моделей. Перспективы математической логики. doi :10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
59. Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг (1995). Теория конечных моделей. Перспективы математической логики. doi :10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
60. Кунен, Кеннет (2011). "Модели теории множеств". Теория множеств . College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9.
61. Кунен, Кеннет (2011). Теория множеств . College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9.
62. Ходжес (1993), стр. 272
63. Болдуин, Джон Т. (2018-01-19). "Теория моделей и теория множеств". Теория моделей и философия математической практики. Cambridge University Press. doi :10.1017/9781316987216. ISBN 978-1-107-18921-8. S2CID  126311148.

Ссылки

Канонические учебники

• Чан, Чэнь Чанг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основаниям математики (3-е изд.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Чан, Чен Чанг ; Кейслер, Х. Джером (2012) [1990]. Теория моделей . Dover Books on Mathematics (3-е изд.). Dover Publications . стр. 672. ISBN 978-0-486-48821-9.
• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модель теории . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-58713-6.
• Копперман, Р. (1972). Теория моделей и ее приложения . Бостон: Allyn and Bacon .
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.

Другие учебники

• Белл, Джон Л.; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: Введение (переиздание издания 1974 г.). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
• Эббингауз, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг; Томас, Вольфганг (1994). Математическая логика . Спрингер . ISBN 0-387-94258-0.
• Хинман, Питер Г. (2005). Основы математической логики . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0.
• Ходжес, Уилфрид (1993). Теория моделей . Cambridge University Press . ISBN 0-521-30442-3.
• Мансано, Мария (1999). Теория моделей . Oxford University Press . ISBN 0-19-853851-0.
• Пуаза, Бруно (2000). Курс теории моделей . Springer. ISBN 0-387-98655-3.
• Раутенберг, Вольфганг (2010). Краткое введение в математическую логику (3-е изд.). Нью-Йорк : Springer Science+Business Media . doi :10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Ротмалер, Филипп (2000). Введение в теорию моделей (новое издание). Тейлор и Фрэнсис . ISBN 90-5699-313-5.
• Тент, Катрин ; Циглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Cambridge University Press . ISBN 9780521763240.
• Кирби, Джонатан (2019). Приглашение к теории моделей . Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-16388-1.

Бесплатные текстовые сообщения онлайн

• Хатзидакис, Зои (2001). Введение в теорию моделей (PDF) . стр. 26 страниц.
• Пиллэй, Ананд (2002). Конспект лекций – Теория моделей (PDF) . стр. 61 страница.
• «Теория моделей», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Ходжес, Уилфрид , Теория моделей . Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Ходжес, Уилфрид , Теория моделей первого порядка . Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Симмонс, Гарольд (2004), Введение в старую добрую теорию моделей . Заметки вводного курса для аспирантов (с упражнениями).
• Дж. Барвайз и С. Феферман (редакторы), Теоретико-модельная логика, Перспективы математической логики, том 8, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1985.