Биномиальная теорема

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}

Биномиальный коэффициент появляется как

k

-й элемент в

n-

й строке треугольника Паскаля (где вершина — 0-й ряд ). Каждый элемент представляет собой сумму двух элементов над ним.

{\tbinom {n}{k}}

{\tbinom {0}{0}}

В элементарной алгебре теорема о биноме (или биномиальное разложение ) описывает алгебраическое разложение степеней двучлена . Согласно теореме, можно разложить многочлен $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $n$ в сумму, содержащую члены вида $ax$ $b$ $y$ c , где показатели степеней $b и c$ $являются$ неотрицательными $целыми$ числами с b $+$ $c$ $=$ $n$ $,$ а коэффициент $a$ каждого члена является определенным положительным целым числом, зависящим от $n$ и $b$ . Например, для $n$ $= 4$ , $(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$

Коэффициент $a$ в выражении $ax b y c$ известен как биномиальный коэффициент или (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения $n$ и $b$ можно расположить так, чтобы сформировать треугольник Паскаля . Эти числа также встречаются в комбинаторике , где указывает число различных комбинаций (т. е. подмножеств) элементов $b$ , которые можно выбрать из множества из $n$ элементов . Поэтому обычно произносится как « $n$ choose $b$ ». ${\tbinom {n}{b}}$ ${\tbinom {n}{c}}$ ${\tbinom {n}{b}}$ ${\tbinom {n}{b}}$

История

Частные случаи теоремы о биноме были известны по крайней мере с IV века до н. э., когда греческий математик Евклид упомянул частный случай теоремы о биноме для показателя степени . ^[1] Греческий математик Диофант возводил в куб различные биномы, включая . ^[1] Метод индийского математика Арьябхаты для нахождения кубических корней, датируемый примерно 510 годом н. э., предполагает, что он знал формулу бинома для показателя степени . ^[1] $n=2$ $x-1$ $n=3$

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора $k$ объектов из $n$ без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную задачу — « Чандахшастра» индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. э.), которая содержит метод ее решения. ^[2]^{: 230} Комментатор Халаюдха из 10-го века н. э. объясняет этот метод. ^[2]^{: 230} К 6-му веку н. э. индийские математики, вероятно, знали, как выразить это в виде частного , ^[3] и четкое изложение этого правила можно найти в тексте 12-го века «Лилавати» Бхаскары . [ ^3] ${\textstyle {\frac {n!}{(nk)!k!}}}$

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появляется в работе Аль-Караджи , цитируемой Аль-Самавалем в его «аль-Бахир». ^[4]^[5]^[6] Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов ^[7], а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . ^[7] Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой до высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. ^[1] Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах 13-го века Ян Хуэя ^[8], а также Чжу Ши-Чи . ^[1] Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту 11-го века Цзя Сяня , хотя эти сочинения теперь также утеряны. ^[2]^{: 142}

В 1544 году Михаэль Штифель ввел термин «биномиальный коэффициент» и показал, как использовать их для выражения через , с помощью «треугольника Паскаля». ^[9]Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своем «Трактате об арифметике треугольника » . ^[10] Однако закономерность чисел была уже известна европейским математикам позднего Возрождения, включая Штифеля, Никколо Фонтана Тарталью и Симона Стевина . ^[9] $(1+x)^{n}$ $(1+x)^{n-1}$

Исааку Ньютону обычно приписывают открытие обобщенной биномиальной теоремы, справедливой для любого действительного показателя, в 1665 году. ^[9]^[11] Она была открыта независимо в 1670 году Джеймсом Грегори . ^[12]

Заявление

Согласно теореме, разложение любой неотрицательной целой степени $n$ двучлена $x + y$ представляет собой сумму вида , где каждое из них является положительным целым числом, известным как биномиальный коэффициент , определяемый как $(x+y)^{n}={n \выбрать 0}x^{n}y^{0}+{n \выбрать 1}x^{n-1}y^{1}+{n \выбрать 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \выбрать n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \выбрать n}x^{0}y^{n},$ ${\tbinom {n}{k}}$

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(nk)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.$

Эта формула также называется биномиальной формулой или биномиальным тождеством . Используя запись суммирования , ее можно записать более кратко как $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{nk}y^{k}=\sum _{k=0} ^{n}{n \выберите k}x^{k}y^{nk}.$

Окончательное выражение следует из предыдущего в силу симметрии $x$ и $y$ в первом выражении, а из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична, ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{nk}}.}$

Простой вариант биномиальной формулы получается путем замены $y$ на $1$ , так что в ней участвует только одна переменная . В этой форме формула имеет вид ${\begin{align}(x+1)^{n}&={n \выбрать 0}x^{0}+{n \выбрать 1}x^{1}+{n \выбрать 2}x^{2}+\cdots +{n \выбрать {n-1}}x^{n-1}+{n \выбрать n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \выбрать k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{align}}$

Примеры

Вот несколько первых случаев биномиальной теоремы: В общем случае для разложения $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $n$ в правой части в $n$ -й строке (пронумерованной так, что верхняя строка является 0-й строкой): ${\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y )^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+ 6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x ^{3}y^{4}+21x^{2}y^{ 5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{align}}$

показатели степени $x$ в членах равны $n, n - 1, ..., 2, 1, 0$ (последний член неявно содержит $x 0 = 1$ );
показатели степеней $y$ в членах равны $0, 1, 2, ..., n - 1, n$ (первый член неявно содержит $y 0 = 1$ );
коэффициенты образуют $n-$ ю строку треугольника Паскаля;
до объединения подобных членов в разложении имеется $2 n$ членов $x i y j (не показано);$
После объединения подобных членов получается $n + 1$ член, а их коэффициенты в сумме составляют $2 n$ .

Пример, иллюстрирующий последние два пункта: с . ${\begin{align}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{terms}})\end{align}}$ $1+3+3+1=2^{3}$

Простой пример с определенным положительным значением $y$ : ${\begin{align}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{align}}$

Простой пример с определенным отрицательным значением $y$ : ${\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}$

Геометрическое объяснение

Для положительных значений $a$ и $b$ теорема о биноме Ньютона при $n = 2$ является геометрически очевидным фактом, что квадрат со стороной $a + b$ можно разрезать на квадрат со стороной $a$ , квадрат со стороной $b$ и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ . При $n = 3$ теорема утверждает, что куб со стороной $a + b$ можно разрезать на куб со стороной $a$ , куб со стороной $b$ , три прямоугольных ящика $a \times a \times b$ и три прямоугольных ящика $a \times b \times b .$

В исчислении эта картинка также дает геометрическое доказательство производной [ ^13] если положить и интерпретировать $b$ как бесконечно малое изменение $a$ , то эта картинка показывает бесконечно малое изменение объема $n$ -мерного гиперкуба , где коэффициент линейного члена (в ) представляет собой площадь $n$ граней, каждая из которых имеет размерность $n$ $- 1$ : Подстановка этого в определение производной через разностное отношение и взятие пределов означает, что члены более высокого порядка и выше становятся пренебрежимо малыми, и дает формулу, интерпретируемую как $(x^{n})'=nx^{n-1}:$ $a=x$ $b=\Delta x,$ $(x+\Delta x)^{n},$ $\Delta x$ $nx^{n-1},$ $(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .$ $(\Delta x)^{2}$ $(x^{n})'=nx^{n-1},$

«бесконечно малая скорость изменения объема

n-

мерного куба при изменении длины его стороны равна площади

n

его

(n - 1)

-мерных граней».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению основной теоремы исчисления , то получим квадратурную формулу Кавальери , интеграл – см. доказательство квадратурной формулы Кавальери для получения подробностей. ^[13] $\textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}$

Биномиальные коэффициенты

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Они обычно пишутся и произносятся как « $n$ choose $k$ ». ${\tbinom {n}{k}},$

Формулы

Коэффициент $x n - k y k$ задается формулой , которая определяется в терминах факториальной функции $n$ $!$ . Эквивалентно, эта формула может быть записана с $k$ множителями как в числителе, так и в знаменателе дроби . Хотя эта формула включает дробь, биномиальный коэффициент на самом деле является целым числом . ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},$ ${\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}$ ${\tbinom {n}{k}}$

Комбинаторная интерпретация

Биномиальный коэффициент можно интерпретировать как число способов выбора $k$ элементов из $n$ -элементного набора. Это связано с биномами по следующей причине: если мы запишем $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $n$ как произведение , то, согласно распределительному закону , в разложении будет один член для каждого выбора $x$ или $y$ из каждого из биномов произведения. Например, будет только один член $x$ $n$ , соответствующий выбору $x$ из каждого бинома. Однако будет несколько членов вида $x$ $n$ $-2$ $y$ $2$ , по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов для внесения вклада $y$ . Поэтому после объединения подобных членов коэффициент при $x$ $n$ $-2$ $y$ $2$ будет равен числу способов выбора ровно $2$ элементов из $n$ -элементного набора. ${\tbinom {n}{k}}$ $(x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),$

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Разложение $(x + y) n$ дает сумму $2 n$ произведений вида $e 1 e 2 ... e n$ , где каждое $e i$ равно $x$ или $y$ . Перестановка множителей показывает, что каждое произведение равно $x n - k y k$ для некоторого $k$ между $0$ и $n$ . Для заданного $k$ последовательно доказывается равенство следующих произведений:

число членов, равных $x n - k y k$ в разложении
количество $n$ -символьных строк $x, y$ , содержащих $y$ ровно в $k$ позициях
количество $k$ -элементных подмножеств ${1, 2, ..., n}$
${\tbinom {n}{k}},$ либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если кто-то определяет как ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.$

Это доказывает биномиальную теорему.

Пример

Коэффициент при $xy 2$ равен , поскольку существует три строки $x$ $,$ $y$ длины 3, содержащие ровно два $y$ , а именно, соответствующие трем 2-элементным подмножествам ${1, 2, 3}$ , а именно, где каждое подмножество определяет позиции $y$ в соответствующей строке. ${\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}$ ${\tbinom {3}{2}}=3$ $xyy,\;yxy,\;yyx,$ $\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},$

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда $n = 0$ , обе стороны равны $1$ , так как $x 0 = 1$ и Теперь предположим, что равенство выполняется для заданного $n$ ; мы докажем его для $n$ $+ 1.$ Для $j$ $,$ $k$ $\geq 0$ пусть $[$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)]$ $j$ $,$ $k$ обозначает коэффициент при $x$ $j$ $y$ $k$ в многочлене $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ . По индуктивному предположению, $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $n$ является многочленом от $x$ и $y$ таким, что $[($ $x$ $+$ $y$ $)$ $n$ $]$ $j$ $,$ $k$ равно , если $j$ $+$ $k$ $=$ $n$ , и $0$ в противном случае. Тождество показывает, что $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $n$ $+1$ также является многочленом от $x$ и $y$ , и так как если $j$ $+$ $k$ $=$ $n$ $+ 1$ , то $($ $j$ $- 1) +$ $k$ $=$ $n$ и $j$ $+ ($ $k$ $- 1) =$ $n$ . Теперь правая часть — по тождеству Паскаля . ^[14] С другой стороны, если $j$ $+$ $k$ $\neq$ $n$ $+ 1$ , то $($ $j$ $- 1) +$ $k$ $\neq$ $n$ и $j$ $+ ($ $k$ $- 1) \neq$ $n$ , так что мы получаем $0 + 0 = 0.$ Таким образом, это индуктивная гипотеза с заменой $n на$ $n$ $+ 1$ , и таким образом завершается индуктивный шаг. ${\tbinom {0}{0}}=1.$ ${\tbinom {n}{k}}$ $(x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}$ $[(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},$ ${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},$ $(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},$

Обобщения

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил теорему о биноме, чтобы разрешить действительные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (То же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Чтобы сделать это, нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа $r$ можно определить , где есть символ Похгаммера , здесь обозначающий падающий факториал . Это согласуется с обычными определениями, когда $r$ — неотрицательное целое число. Тогда, если $x$ и $y$ — действительные числа с $|$ $x$ $| > |$ $y$ $|$ , ^{[Примечание 1]} и $r$ — любое комплексное число, то имеем ${r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},$ $(\cdot )_{k}$ ${\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}$

Когда $r$ — неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при $k > r$ равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и имеется не более $r + 1$ ненулевых членов. Для других значений $r$ ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Например, $r = 1/2$ дает следующий ряд для квадратного корня: ${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .$

Принимая $r = -1$ , обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрической прогрессии , верную для $| x | < 1$ : $(1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .$

В более общем случае при $r = - s$ мы имеем для $| x | < 1$ : ^[15] ${\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.$

Так, например, когда $s = 1/2$ , ${\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$

Замена $x$ на $-x$ дает: ${\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.$

Так, например, когда $s = 1/2$ , мы имеем для $| x | < 1$ : ${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .$

Дальнейшие обобщения

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда $x$ и $y$ — комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить $| x | > | y |$ ^{[Примечание 1]} и определить степени $x + y$ и $x$ с помощью голоморфной ветви логарифма , определенной на открытом круге радиуса $| x |$ с центром в точке $x$ . Обобщенная биномиальная теорема верна также для элементов $x$ и $y$ банаховой алгебры , пока $xy = yx$ , а $x$ обратим и $‖ y / x ‖ < 1$ .

Версия биномиальной теоремы верна для следующего семейства полиномов, подобных символу Похгаммера : для заданной действительной константы $c$ определим и для Тогда ^[16] Случай $c$ $= 0$ восстанавливает обычную биномиальную теорему. $x^{(0)}=1$ $x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]$ $n>0.$ $(a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.$

В более общем смысле последовательность многочленов называется биномиальной, если $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$

$\deg p_{n}=n$ для всех , $n$
$p_{0}(0)=1$ , и
$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$ для всех , , и . $x$ $y$ $n$

Оператор в пространстве многочленов называется базисным оператором последовательности тогда и для всех . Последовательность является биномиальной тогда и только тогда, когда ее базисный оператор является дельта-оператором . ^[17] Записывая для сдвига на оператор, дельта-операторы, соответствующие указанным выше семействам многочленов «Похгаммера», являются обратной разностью для , обычной производной для и прямой разностью для . $Q$ $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ $Qp_{0}=0$ $Qp_{n}=np_{n-1}$ $n\geqslant 1$ $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ $E^{a}$ $a$ $I-E^{-c}$ $c>0$ $c=0$ $E^{-c}-I$ $c<0$

Теорема о многочлене

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия такова:

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},$

где суммирование берется по всем последовательностям неотрицательных целых индексов $k 1$ через $k m$ таким образом, что сумма всех $k i$ равна $n$ . (Для каждого члена в разложении показатели степени должны в сумме давать $n$ ). Коэффициенты известны как коэффициенты полинома и могут быть вычислены по формуле ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$ ${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.$

Комбинаторно мультиномиальный коэффициент подсчитывает количество различных способов разбиения множества из $n$ элементов на непересекающиеся подмножества размеров $k$ $1$ $, ...,$ $k$ $m$ . ${\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}$

Мультибиномиальная теорема

При работе в большем количестве измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно $(x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.$

Это можно записать более кратко, используя многоиндексную нотацию , как $(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница дает $n-$ ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы: ^[18] $(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).$

Здесь верхний индекс $(n)$ указывает на $n-$ ю производную функции, . Если положить $f$ $($ $x$ $) =$ $e$ $ax$ и $g$ $($ $x$ $) =$ $e$ $bx$ , то сокращение общего множителя $e$ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $x$ из каждого члена дает обычную биномиальную теорему. ^[19] $f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$

Приложения

Многоугольные идентичности

Для комплексных чисел биномиальную теорему можно объединить с формулой Муавра, чтобы получить формулы для нескольких углов для синуса и косинуса . Согласно формуле Муавра, $\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно разложить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для $cos(nx)$ и $sin(nx)$ . Например, так как Но формула Муавра отождествляет левую часть с , так что которые являются обычными тождествами двойного угла. Аналогично, так как формула Муавра дает В общем случае и Существуют также похожие формулы с использованием многочленов Чебышёва . $\left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),$ $(\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)$ $\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,$ $\left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,$ $\cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.$ $\cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x$ $\sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.$

Серия дляе

Число e часто определяется $формулой$ $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для $e$ . В частности: $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.$

K $-$ й член этой суммы равен ${n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}$

При $n \to \infty$ рациональное выражение справа стремится к $1$ , и поэтому $\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.$

Это означает, что $e$ можно записать в виде ряда: $e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .$

Действительно, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией n , $из$ теоремы о монотонной сходимости рядов следует , что сумма этого бесконечного ряда равна $e$ .

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха, когда все они не происходят, равна $\{X_{t}\}_{t\in S}$ $p\in [0,1]$

P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.

Верхняя граница этой величины составляет ^[20] $e^{-p|S|}.$

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема справедлива в более общем случае для двух элементов $x$ и $y$ в кольце или даже полукольце , при условии, что $xy = yx$ . Например, она справедлива для двух матриц $n \times n$ , при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно при вычислении степеней матрицы. ^[21]

$Биномиальную теорему можно$ сформулировать, сказав, что $полиномиальная$ последовательность ${1, x, x2, x3, ...}$ имеет биномиальный тип .

В популярной культуре

Биномиальная теорема упоминается в Песне генерал-майора в комической опере «Пираты Пензанса» .
Шерлок Холмс описывает профессора Мориарти как автора трактата о биномиальной теореме .
Португальский поэт Фернандо Пессоа , используя гетероним Альваро де Кампос , писал, что «Бином Ньютона так же прекрасен, как Венера Милосская . Правда в том, что немногие замечают его». ^[22]
В фильме 2014 года «Игра в имитацию » Алан Тьюринг ссылается на работу Исаака Ньютона над биномиальной теоремой во время своей первой встречи с коммандером Деннистоном в Блетчли-парке.

Смотрите также

Примечания

^ ab Это гарантирует сходимость. В зависимости от $r$ ряд может также иногда сходиться, когда $| x | = | y |$ .

Ссылки

^ abcde Кулидж, Дж. Л. (1949). «История биномиальной теоремы». The American Mathematical Monthly . 56 (3): 147–157. doi :10.2307/2305028. JSTOR 2305028.
^ abc Жан-Клод Марцлофф; С. С. Уилсон; Дж. Гернет; Дж. Домбр (1987). История китайской математики . Springer.
^ ab Biggs, NL (1979). «Корни комбинаторики». Historia Math . 6 (2): 109–136. doi : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 .
^ Ядегари, Мохаммад (1980). «Биномиальная теорема: широко распространенная концепция в средневековой исламской математике». Historia Mathematica . 7 (4): 401–406. doi : 10.1016/0315-0860(80)90004-X .
^ Стиллвелл, Джон (2015). «Укрощение неизвестного. История алгебры ... Виктора Дж. Каца и Карен Хангер Паршалл». Бюллетень Американского математического общества (рецензия на книгу). 52 (4): 725–731. doi : 10.1090/S0273-0979-2015-01491-6 . стр. 727: Однако алгебра продвинулась в других отношениях. Около 1000 г. аль-Караджи сформулировал биномиальную теорему
^ Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй. Kluwer. стр. 63. ISBN 0-7923-2565-6.
^ Аб О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Бекр ибн Мухаммад ибн аль-Хусейн Аль-Караджи», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Ландау, Джеймс А. (1999-05-08). "Архив рассылки Historia Matematica: Re: [HM] Pascal's Triangle". Архив Historia Matematica . Архивировано из оригинала (рассылка по электронной почте) 24-02-2021 . Получено 13-04-2007 .
^ abc Клайн, Моррис (1972). История математической мысли . Oxford University Press. стр. 273.
^ Кац, Виктор (2009). "14.3: Элементарная вероятность". История математики: Введение . Эддисон-Уэсли. стр. 491. ISBN 978-0-321-38700-4.
^ Бурбаки, Н. (18 ноября 1998 г.). Элементы истории математики Мягкая обложка . Перевод Дж. Мелдрума . ISBN 978-3-540-64767-6.
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (третье изд.). Springer. стр. 186. ISBN 978-1-4419-6052-8.
^ ab Barth, Nils R. (2004). «Вычисление квадратурной формулы Кавальери с помощью симметрии n -куба». The American Mathematical Monthly . 111 (9): 811–813. doi :10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193.
^ Биномиальная теорема – индуктивные доказательства Архивировано 24 февраля 2015 г. на Wayback Machine
^ Вайсштейн, Эрик В. «Отрицательный биномиальный ряд». Wolfram MathWorld .
^ Соколовский, Дэн; Ренни, Бэзил К. (февраль 1979 г.). «Задача 352». Crux Mathematicorum . 5 (2): 55–56.
^ Aigner, Martin (1997) [Переиздание издания 1979 года]. Комбинаторная теория . Springer. стр. 105. ISBN 3-540-61787-6.
^ Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. С. 318–319. ISBN 9780387950006.
^ Spivey, Michael Z. (2019). Искусство доказательства биномиальных тождеств . CRC Press. стр. 71. ISBN 978-1351215800.
↑ Обложка, Томас М.; Томас, Джой А. (2001-01-01). Сжатие данных . John Wiley & Sons, Inc. стр. 320. doi :10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.
^ Артин, Алгебра , 2-е издание, Пирсон, 2018, уравнение (4.7.11).
^ "Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como Венера Милосская" . arquivopessoa.net.

Дальнейшее чтение

Баг, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Indian J. History Sci . 1 (1): 68–74.
Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). "(5) Биномиальные коэффициенты". Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 17649857.

Внешние ссылки

В Wikibook Combinatorics есть страница на тему: Биномиальная теорема

Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Бином Ньютона", Энциклопедия математики , Издательство EMS
«Биномиальная теорема» Стивена Вольфрама и «Биномиальная теорема (шаг за шагом)» Брюса Коллетти и Джеффа Брайанта, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
В данной статье использованы материалы индуктивного доказательства биномиальной теоремы с сайта PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .