В топологии и смежных областях математики подмножество A топологического пространства X называется плотным в X , если каждая точка X либо принадлежит A , либо сколь угодно « близка» к члену A - например, рациональное Числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел , поскольку каждое действительное число либо является рациональным числом, либо имеет сколь угодно близкое к нему рациональное число (см. Диофантово приближение ). Формально, является плотным, если наименьшее замкнутое подмножество содержащего есть оно само. [1]
The Плотность топологического пространства— это наименьшаямощностьплотного подмножества
Подмножеством топологического пространства называется плотное подмножество ,если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
и если это основа открытых множеств для топологии, то этот список можно расширить, включив в него:
Альтернативное определение плотного множества в случае метрических пространств состоит в следующем. Когда топология задана метрикой , замыкание in представляет собой объединение и множество всех пределов последовательностей элементов в (его предельных точек ) ,
Тогда плотно в if
Если — последовательность плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве, то она также плотна в. Этот факт является одной из эквивалентных форм теоремы Бэра о категориях .
Действительные числа с обычной топологией имеют рациональные числа как счетное плотное подмножество, что показывает, что мощность плотного подмножества топологического пространства может быть строго меньше мощности самого пространства. Иррациональные числа — это еще одно плотное подмножество, которое показывает, что топологическое пространство может иметь несколько непересекающихся плотных подмножеств (в частности, два плотных подмножества могут дополнять друг друга), и они даже не обязательно должны иметь одинаковую мощность. Возможно, еще более удивительно то, что и рациональные, и иррациональные числа имеют пустую внутреннюю часть, показывая, что плотные множества не обязательно должны содержать непустое открытое множество. Пересечение двух плотных открытых подмножеств топологического пространства снова является плотным и открытым. [доказательство 1] Пустое множество является плотным подмножеством самого себя. Но каждое плотное подмножество непустого пространства также должно быть непустым.
По аппроксимационной теореме Вейерштрасса любая данная комплекснозначная непрерывная функция , определенная на замкнутом интервале, может быть сколь угодно близко равномерно аппроксимирована полиномиальной функцией . Другими словами, полиномиальные функции плотны в пространстве непрерывных комплекснозначных функций на отрезке, снабженном супремум нормой .
Каждое метрическое пространство плотно в своем пополнении .
Каждое топологическое пространство является плотным подмножеством самого себя. Для множества , оснащенного дискретной топологией , все пространство является единственным плотным подмножеством. Каждое непустое подмножество множества, снабженное тривиальной топологией, плотно, и каждая топология, для которой каждое непустое подмножество плотно, должна быть тривиальной.
Плотность транзитивна : учитывая три подмножества топологического пространства с таким, что оно плотно в и плотно в (в соответствующей топологии подпространства ), то оно также плотно в
Образ плотного подмножества под действием сюръективной непрерывной функции снова плотен. Плотность топологического пространства (наименьшая из мощностей его плотных подмножеств) является топологическим инвариантом .
Топологическое пространство со связным плотным подмножеством само по себе обязательно связно.
Непрерывные функции в хаусдорфовом пространстве определяются их значениями на плотных подмножествах: если две непрерывные функции в хаусдорфовом пространстве согласуются на плотном подмножестве, то они согласуются на всех
Для метрических пространств существуют универсальные пространства, в которые могут быть вложены все пространства заданной плотности : метрическое пространство плотности изометрично подпространству пространства вещественных непрерывных функций на произведении копий единичного отрезка . [2]
Точка подмножества топологического пространства называется предельной точкой ( в ), если каждая окрестность также содержит точку, отличную от самой себя, и изолированную точку в противном случае. Подмножество без изолированных точек называется плотным в себе .
Подмножество топологического пространства называется нигде не плотным (в ), если не существует окрестности, на которой оно было бы плотным. Эквивалентно, подмножество топологического пространства нигде не является плотным тогда и только тогда, когда внутренняя часть его замыкания пуста. Внутренность дополнения нигде не плотного множества всегда плотна. Дополнением к замкнутому нигде не плотному множеству является плотное открытое множество. В топологическом пространстве его подмножество , которое можно выразить как объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств, называется скудным . Рациональные числа, хотя и плотны в действительных числах, являются скудным как подмножество действительных чисел.
Топологическое пространство со счетным плотным подмножеством называется сепарабельным . Топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда пересечение счетного числа плотных открытых множеств всегда плотно. Топологическое пространство называется разрешимым , если оно представляет собой объединение двух непересекающихся плотных подмножеств. В более общем смысле топологическое пространство называется κ-разрешимым для кардинала κ, если оно содержит κ попарно непересекающихся плотных множеств.
Вложение топологического пространства в плотное подмножество компакта называется компактификацией .
Линейный оператор между топологическими векторными пространствами называется плотно определенным , если его область определения является плотным подмножеством и если его диапазон содержится в пределах См. также Непрерывное линейное расширение .
Топологическое пространство гиперсвязно тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое множество плотно в . Топологическое пространство субмаксимально тогда и только тогда, когда каждое плотное подмножество открыто.
Если — метрическое пространство, то непустое подмножество называется -плотным, если
Тогда можно показать, что оно плотно тогда и только тогда, когда оно ε-плотно для любого
доказательства