stringtranslate.com

Поле (математика)

Правильный семиугольник нельзя построить, используя только линейку и циркуль ; это можно доказать , используя поле конструктивных чисел .

В математике поле — это множество , на котором определены сложение , вычитание , умножение и деление , которые ведут себя как соответствующие операции над рациональными и действительными числами . Таким образом, поле — это фундаментальная алгебраическая структура , которая широко используется в алгебре , теории чисел и многих других областях математики.

Наиболее известными полями являются поле рациональных чисел , поле действительных чисел и поле комплексных чисел . Многие другие поля, такие как поля рациональных функций , поля алгебраических функций , поля алгебраических чисел и p -адические поля , обычно используются и изучаются в математике, особенно в теории чисел и алгебраической геометрии . Большинство криптографических протоколов опираются на конечные поля , т. е. поля с конечным числом элементов .

Теория полей доказывает, что трисекция угла и квадратура круга не могут быть выполнены с помощью циркуля и линейки . Теория Галуа , посвященная пониманию симметрии расширений полей , дает элегантное доказательство теоремы Абеля–Руффини о том, что общие уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах .

Поля служат основополагающими понятиями в нескольких математических областях. Это включает в себя различные ветви математического анализа , которые основаны на полях с дополнительной структурой. Основные теоремы в анализе зависят от структурных свойств поля действительных чисел. Что наиболее важно для алгебраических целей, любое поле может использоваться в качестве скаляров для векторного пространства , которое является стандартным общим контекстом для линейной алгебры . Числовые поля , братья и сестры поля рациональных чисел, подробно изучаются в теории чисел . Функциональные поля могут помочь описать свойства геометрических объектов.

Определение

Неформально, поле — это множество, вместе с двумя операциями, определенными на этом множестве: операция сложения, записанная как a + b , и операция умножения, записанная как ab , обе из которых ведут себя аналогично тому, как они ведут себя для рациональных чисел и действительных чисел , включая существование аддитивной обратной a для всех элементов a и мультипликативной обратной b −1 для каждого ненулевого элемента b . Это позволяет также рассматривать так называемые обратные операции вычитания, ab , и деления, a / b , путем определения:

аб  := а + (− б ) ,
а / б  := аб −1 .

Классическое определение

Формально поле — это множество F вместе с двумя бинарными операциями над F , называемыми сложением и умножением . [1] Бинарная операция над F — это отображение F × FF , то есть соответствие, которое сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов F однозначно определенный элемент F . [2] [3] Результат сложения a и b называется суммой a и b и обозначается a + b . Аналогично, результат умножения a и b называется произведением a и b и обозначается ab или ab . Эти операции требуются для удовлетворения следующих свойств, называемых аксиомами поля (в этих аксиомах a , b , и c являются произвольными элементами поля F ):

Эквивалентное и более краткое определение таково: поле имеет две коммутативные операции, называемые сложением и умножением; оно является группой относительно сложения с 0 в качестве аддитивного тождества; ненулевые элементы являются группой относительно умножения с 1 в качестве мультипликативного тождества; и умножение распределяется относительно сложения.

Еще более кратко: поле — это коммутативное кольцо , где 0 ≠ 1 и все ненулевые элементы обратимы относительно умножения.

Альтернативное определение

Поля также могут быть определены различными, но эквивалентными способами. В качестве альтернативы можно определить поле четырьмя бинарными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) и их требуемыми свойствами. Деление на ноль по определению исключено. [4] Чтобы избежать квантификаторов существования , поля можно определить двумя бинарными операциями (сложением и умножением), двумя унарными операциями (дающими соответственно аддитивные и мультипликативные обратные величины) и двумя нульарными операциями (константы 0 и 1 ). Затем эти операции подчиняются условиям, указанным выше. Избегание квантификаторов существования важно в конструктивной математике и вычислениях . [5] Можно эквивалентно определить поле теми же двумя бинарными операциями, одной унарной операцией (мультипликативной обратной величиной) и двумя (не обязательно различными) константами 1 и −1 , поскольку 0 = 1 + (−1) и a = (−1) a . [a]

Примеры

Рациональные числа

Рациональные числа широко использовались задолго до разработки концепции поля. Это числа, которые можно записать в виде дробей a / b , где a и bцелые числа , а b ≠ 0. Аддитивная обратная дробь такой дроби равна a / b , а мультипликативная обратная (при условии, что a ≠ 0 ) равна b / a , что можно увидеть следующим образом:

Абстрактно требуемые аксиомы поля сводятся к стандартным свойствам рациональных чисел. Например, закон дистрибутивности может быть доказан следующим образом: [6]

Действительные и комплексные числа

Умножение комплексных чисел можно визуализировать геометрически с помощью вращений и масштабирований.

Действительные числа R , с обычными операциями сложения и умножения, также образуют поле. Комплексные числа C состоят из выражений

a + bi , где a , b действительны,

где iмнимая единица , т. е. (недействительное) число, удовлетворяющее i 2 = −1 . Сложение и умножение действительных чисел определяются таким образом, что выражения этого типа удовлетворяют всем аксиомам поля и, таким образом, справедливы для C. Например, распределительный закон обеспечивает

( а + би )( с + ди ) = ас + bci + ади + бди 2 = ( асбд ) + ( бс + ад ) я .

Сразу видно, что это снова выражение указанного выше типа, и поэтому комплексные числа образуют поле. Комплексные числа можно геометрически представить как точки на плоскости , с декартовыми координатами, заданными действительными числами их описывающего выражения, или как стрелки от начала координат до этих точек, заданные их длиной и углом, заключенным в некотором определенном направлении. Сложение тогда соответствует объединению стрелок в интуитивный параллелограмм (сложение декартовых координат), а умножение — менее интуитивно — объединение вращения и масштабирования стрелок (сложение углов и умножение длин). Поля действительных и комплексных чисел используются в математике, физике, инженерии, статистике и многих других научных дисциплинах.

Конструируемые числа

Теорема о среднем геометрическом утверждает, что h 2 = pq . Выбор q = 1 позволяет построить квадратный корень заданного конструктивного числа p .

В древности несколько геометрических задач касались (не)возможности построения некоторых чисел с помощью циркуля и линейки . Например, грекам было неизвестно, что, в общем случае, невозможно трисекцию заданного угла таким образом. Эти задачи можно решить, используя поле конструктивных чисел . [7] Действительные конструктивные числа, по определению, являются длинами отрезков прямых, которые могут быть построены из точек 0 и 1 за конечное число шагов, используя только циркуль и линейку . Эти числа, наделенные полевыми операциями действительных чисел, ограниченными конструктивными числами, образуют поле, которое, собственно, включает поле Q рациональных чисел. На иллюстрации показано построение квадратных корней конструктивных чисел, не обязательно содержащихся в Q. Используя маркировку на иллюстрации, постройте отрезки AB , BD и полуокружность над AD (центр в средней точке C ), которая пересекает перпендикулярную линию, проходящую через B, в точке F , на расстоянии точно от B, когда BD имеет длину один.

Не все действительные числа конструируемы. Можно показать, что — неконструируемое число, что подразумевает невозможность построения с помощью циркуля и линейки длины стороны куба с объемом 2 — еще одна проблема, поставленная древними греками.

Поле с четырьмя элементами

В дополнение к знакомым системам счисления, таким как рациональные числа, существуют и другие, менее непосредственные примеры полей. Следующий пример — поле, состоящее из четырех элементов, называемых O , I , A , и B . Обозначение выбрано таким образом, что O играет роль элемента аддитивной идентичности (обозначаемого 0 в аксиомах выше), а I — мультипликативной идентичности (обозначаемого 1 в аксиомах выше). Аксиомы поля можно проверить, используя еще немного теории поля или прямым вычислением. Например,

A ⋅ ( B + A ) = AI = A , что равно AB + AA = I + B = A , как того требует дистрибутивность.

Это поле называется конечным полем или полем Галуа с четырьмя элементами и обозначается F 4 или GF(4) . [8] Подмножество , состоящее из O и I (выделено красным в таблицах справа), также является полем, известным как бинарное поле F 2 или GF(2) .

Элементарные понятия

В этом разделе F обозначает произвольное поле, а a и b произвольные элементы F.

Последствия определения

Имеем a ⋅ 0 = 0 и a = (−1) ⋅ a . В частности, можно вывести аддитивную инверсию каждого элемента, как только узнаем −1 . [9]

Если ab = 0, то a или b должны быть равны 0 , поскольку, если a ≠ 0 , то b = ( a −1 a ) b = a −1 ( ab ) = a −1 ⋅ 0 = 0. Это означает, что каждое поле является целостной областью .

Кроме того, для любых элементов a и b справедливы следующие свойства :

−0 = 0
1 −1 = 1
(−(− а )) = а
(− а ) ⋅ б = а ⋅ (− б ) = −( аб )
( а −1 ) −1 = а, если а ≠ 0

Аддитивные и мультипликативные группы поля

Аксиомы поля F подразумевают, что оно является абелевой группой относительно сложения. Эта группа называется аддитивной группой поля и иногда обозначается как ( F , +), хотя обозначение ее просто как F может привести к путанице.

Аналогично, ненулевые элементы F образуют абелеву группу относительно умножения, называемую мультипликативной группой и обозначаемую либо просто , либо F × .

Таким образом, поле может быть определено как множество F, снабженное двумя операциями, обозначаемыми как сложение и умножение, такими, что F является абелевой группой относительно сложения, является абелевой группой относительно умножения (где 0 является единичным элементом сложения), и умножение является дистрибутивным относительно сложения. [b] Поэтому некоторые элементарные утверждения о полях могут быть получены путем применения общих фактов о группах . Например, аддитивные и мультипликативные обратные a и a −1 однозначно определяются a .

Требование 1 ≠ 0 налагается по соглашению, чтобы исключить тривиальное кольцо , состоящее из одного элемента; это определяет любой выбор аксиом, определяющих поля.

Каждая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической (см. Корень из единицы § Циклические группы ).

Характеристика

В дополнение к умножению двух элементов F , можно определить произведение na произвольного элемента a из F на положительное целое число n как n -кратную сумму

a + a + ... + a (который является элементом F .)

Если не существует такого положительного целого числа, что

н ⋅ 1 = 0 ,

тогда говорят, что F имеет характеристику 0. [ 11 ] Например, поле рациональных чисел Q имеет характеристику 0, поскольку никакое положительное целое число n не равно нулю. В противном случае, если существует положительное целое число n, удовлетворяющее этому уравнению, можно показать, что наименьшее такое положительное целое число является простым числом . Обычно оно обозначается как p , и говорят, что поле имеет характеристику p тогда. Например, поле F 4 имеет характеристику 2 , поскольку (в обозначениях приведенной выше таблицы сложения) I + I = O.

Если F имеет характеристику p , то pa = 0 для всех a из F. Это означает, что

( а + б ) р = а р + б р ,

так как все остальные биномиальные коэффициенты , входящие в биномиальную формулу, делятся на p . Здесь a p  := aa ⋅ ⋯ ⋅ a ( p factors) — это p -я степень, т. е. p -кратное произведение элемента a . Следовательно, отображение Фробениуса

ФФ  : хх п

совместимо со сложением в F (а также с умножением) и, следовательно, является гомоморфизмом поля. [12] Существование этого гомоморфизма делает поля в характеристике p совершенно отличными от полей характеристики 0 .

Подполя и основные поля

Подполе E поля F — это подмножество F , которое является полем относительно полевых операций F. Эквивалентно E — это подмножество F , которое содержит 1 и замкнуто относительно сложения, умножения, аддитивного обратного и мультипликативного обратного ненулевого элемента. Это означает, что 1 E , что для всех a , bE и a + b , и ab принадлежат E , и что для всех a ≠ 0 в E , и a, и 1 / a принадлежат E.

Гомоморфизмы полей — это отображения φ : EF между двумя полями, такие, что φ ( e 1 + e 2 ) = φ ( e 1 ) + φ ( e 2 ) , φ ( e 1 e 2 ) = φ ( e 1 )  φ ( e 2 ) и φ (1 E ) = 1 F , где e 1 и e 2 — произвольные элементы E . Все гомоморфизмы полей инъективны . [13] Если φ также сюръективно , это называется изоморфизмом (или поля E и F называются изоморфными).

Поле называется простым полем, если оно не имеет собственных (т.е. строго меньших) подполей. Любое поле F содержит простое поле. Если характеристика F равна p (простое число), простое поле изоморфно конечному полю F p , введенному ниже. В противном случае простое поле изоморфно Q . [14]

Конечные поля

Конечные поля (также называемые полями Галуа ) — это поля с конечным числом элементов, число которых также называется порядком поля. Приведенный выше вводный пример F 4 — это поле с четырьмя элементами. Его подполе F 2 — это наименьшее поле, поскольку по определению поле имеет по крайней мере два различных элемента, 0 и 1 .

В модульной арифметике по модулю 12, 9 + 4 = 1, так как 9 + 4 = 13 в Z , что при делении на 12 дает остаток  1. Однако Z /12 Z не является полем, поскольку 12 не является простым числом.

Простейшие конечные поля с простым порядком наиболее доступны напрямую с помощью модульной арифметики . Для фиксированного положительного целого числа n арифметика "по модулю n " означает работу с числами

Z / n Z = {0, 1, ..., n − 1}.

Сложение и умножение на этом множестве выполняются путем выполнения рассматриваемой операции в множестве целых чисел Z , деления на n и взятия остатка в качестве результата. Эта конструкция дает поле точно, если n является простым числом . Например, взятие простого числа n = 2 приводит к вышеупомянутому полю F 2 . Для n = 4 и, в более общем случае, для любого составного числа (т. е. любого числа n , которое может быть выражено как произведение n = rs двух строго меньших натуральных чисел), Z / n Z не является полем: произведение двух ненулевых элементов равно нулю, поскольку rs = 0 в Z / n Z , что, как было объяснено выше, не позволяет Z / n Z быть полем. Поле Z / p Z с p элементами ( p является простым числом), построенное таким образом, обычно обозначается как F p .

Каждое конечное поле F имеет q = p n элементов, где p — простое число, а n ≥ 1. Это утверждение справедливо, поскольку F можно рассматривать как векторное пространство над его простым полем. Размерность этого векторного пространства обязательно конечна, скажем, n , что подразумевает утверждаемое утверждение. [15]

Поле с q = p n элементами может быть построено как поле разбиения многочлена

f ( x ) = x q x .

Такое поле расщепления является расширением F p , в котором многочлен f имеет q нулей. Это означает, что f имеет столько нулей, сколько возможно, поскольку степень f равна q . Для q = 2 2 = 4 можно проверить в каждом конкретном случае с помощью приведенной выше таблицы умножения, что все четыре элемента F 4 удовлетворяют уравнению x 4 = x , поэтому они являются нулями f . Напротив, в F 2 f имеет только два нуля (а именно 0 и 1 ), поэтому f не распадается на линейные множители в этом меньшем поле. Развивая далее основные понятия теории поля , можно показать , что два конечных поля с одинаковым порядком изоморфны. [16] Таким образом, принято говорить о конечном поле с q элементами, обозначаемом F q или GF( q ) .

История

Исторически три алгебраические дисциплины привели к понятию поля: вопрос решения полиномиальных уравнений, алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия . [17] Первый шаг к понятию поля был сделан в 1770 году Жозефом -Луи Лагранжем , который заметил, что перестановка нулей x 1 , x 2 , x 3 кубического многочлена в выражении

( х 1 + ωx 2 + ω 2 х 3 ) 3

(где ω — третий корень из единицы ) дает только два значения. Таким образом, Лагранж концептуально объяснил классический метод решения Сципиона дель Ферро и Франсуа Виэта , который осуществляется путем сведения кубического уравнения для неизвестного x к квадратному уравнению для x 3 . [18] Вместе с аналогичным наблюдением для уравнений степени 4 , Лагранж таким образом связал то, что в конечном итоге стало концепцией полей, и концепцией групп. [19] Вандермонд , также в 1770 году, и в более полной степени Карл Фридрих Гаусс , в своих Disquisitiones Arithmeticae (1801) изучали уравнение

х р = 1

для простого числа p и, снова используя современный язык, полученную циклическую группу Галуа . Гаусс вывел, что правильный p -угольник может быть построен, если p = 2 2 k + 1 . Основываясь на работе Лагранжа, Паоло Руффини утверждал (1799), что уравнения пятой степени (полиномиальные уравнения степени 5 ) не могут быть решены алгебраически; однако его аргументы были ошибочными. Эти пробелы были заполнены Нильсом Хенриком Абелем в 1824 году. [20] Эварист Галуа в 1832 году разработал необходимые и достаточные критерии для того, чтобы полиномиальное уравнение было алгебраически разрешимым, тем самым фактически установив то, что сегодня известно как теория Галуа . И Абель, и Галуа работали с тем, что сегодня называется алгебраическим числовым полем , но не придумали ни явного понятия поля, ни группы.

В 1871 году Ричард Дедекинд ввел для набора действительных или комплексных чисел, который замкнут относительно четырех арифметических операций, немецкое слово Körper , что означает «тело» или «корпус» (чтобы обозначить органически замкнутую сущность). Английский термин «поле» был введен Муром (1893). [21]

Под полем мы будем понимать каждую бесконечную систему действительных или комплексных чисел, настолько замкнутую в себе и совершенную, что сложение, вычитание, умножение и деление любых двух из этих чисел снова дает число этой системы.

-  Ричард Дедекинд, 1871 г. [22]

В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал областью рациональности , которая является полем рациональных дробей в современных терминах. Понятие Кронекера не охватывало поле всех алгебраических чисел (которое является полем в смысле Дедекинда), но с другой стороны было более абстрактным, чем у Дедекинда, в том смысле, что оно не делало никаких конкретных предположений о природе элементов поля. Кронекер интерпретировал поле, такое как Q (π), абстрактно как поле рациональных функций Q ( X ) . До этого примеры трансцендентных чисел были известны со времен работы Жозефа Лиувилля в 1844 году, пока Шарль Эрмит (1873) и Фердинанд фон Линдеманн (1882) не доказали трансцендентность e и π соответственно. [23]

Первое четкое определение абстрактного поля принадлежит Веберу (1893). [24] В частности, понятие Генриха Мартина Вебера включало поле F p . Джузеппе Веронезе (1891) изучал поле формальных степенных рядов, что привело Гензеля (1904) к введению поля p -адических чисел. Штейниц (1910) синтезировал знания абстрактной теории поля, накопленные к настоящему времени. Он аксиоматически изучал свойства полей и определил многие важные концепции теории поля. Большинство теорем, упомянутых в разделах Теория Галуа, Построение полей и Элементарные понятия, можно найти в работе Штейница. Артин и Шрайер (1927) связали понятие упорядоченности в поле и, таким образом, область анализа с чисто алгебраическими свойствами. [25] Эмиль Артин переработал теорию Галуа с 1928 по 1942 год, устранив зависимость от теоремы о примитивном элементе .

Построение полей

Построение полей из колец

Коммутативное кольцо — это множество, которое снабжено операциями сложения и умножения и удовлетворяет всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных чисел a −1 . [26] Например, целые числа Z образуют коммутативное кольцо, но не поле: обратная величина целого числа n сама по себе не является целым числом, если только n = ±1 .

В иерархии алгебраических структур поля можно охарактеризовать как коммутативные кольца R , в которых каждый ненулевой элемент является единицей (что означает, что каждый элемент обратим). Аналогично, поля являются коммутативными кольцами с ровно двумя различными идеалами , (0) и R. Поля также являются в точности коммутативными кольцами, в которых (0) является единственным простым идеалом .

Если задано коммутативное кольцо R , то существует два способа построить поле, связанное с R , т. е. два способа модификации R таким образом, чтобы все ненулевые элементы стали обратимыми: формирование поля дробей и формирование полей вычетов. Поле дробей Z — это Q , рациональные числа, тогда как поля вычетов Z — это конечные поля F p .

Поле дробей

Если задана область целостности R , ее поле дробей Q ( R ) строится из дробей двух элементов R точно так же, как Q строится из целых чисел. Точнее, элементы Q ( R ) — это дроби a / b , где a и b находятся в R , а b ≠ 0 . Две дроби a / b и c / d равны тогда и только тогда, когда ad = bc . Операция над дробями работает точно так же, как для рациональных чисел. Например,

Легко показать, что если кольцо является целостной областью, то множество дробей образует поле. [27]

Поле F ( x ) рациональных дробей над полем (или областью целостности) F есть поле дробей кольца многочленов F [ x ] . Поле F (( x )) рядов Лорана

над полем F есть поле дробей кольца F [[ x ]] формальных степенных рядов (в котором k ≥ 0 ). Поскольку любой ряд Лорана является дробью степенного ряда, деленной на степень x (в отличие от произвольного степенного ряда), то представление дробей в этой ситуации, однако, менее важно.

Поля остатков

В дополнение к полю дробей, которое инъективно вкладывает R в поле, поле может быть получено из коммутативного кольца R с помощью сюръективного отображения на поле F. Любое поле, полученное таким образом, является фактором R / m , где mмаксимальный идеал R. Если R имеет только один максимальный идеал m , это поле называется полем вычетов R. [ 28 ]

Идеал , порождённый одним многочленом f в кольце многочленов R = E [ X ] (над полем E ), максимален тогда и только тогда, когда f неприводим в E , т. е. если f не может быть выражен как произведение двух многочленов в E [ X ] меньшей степени . Это даёт поле

F = E [ X ] / ( f ( X )).

Это поле F содержит элемент x (а именно класс остатков X ) , который удовлетворяет уравнению

f ( x ) = 0.

Например, C получается из R присоединением символа мнимой единицы i , что удовлетворяет f ( i ) = 0 , где f ( X ) = X 2 + 1. Более того, f неприводим над R , что подразумевает , что отображение , которое переводит многочлен f ( X ) ∊ R [ X ] в f ( i ), дает изоморфизм

Создание полей внутри большего поля

Поля могут быть построены внутри заданного большего контейнерного поля. Предположим, что задано поле E и поле F , содержащее E как подполе. Для любого элемента x из F существует наименьшее подполе F , содержащее E и x , называемое подполем F, порожденным x, и обозначаемое E ( x ) . [29] Переход от E к E ( x ) обозначается присоединением элемента к E . В более общем смысле, для подмножества SF существует минимальное подполе F , содержащее E и S , обозначаемое E ( S ) .

Композитум двух подполей E и E некоторого поля F — это наименьшее подполе F , содержащее как E, так и E . Композитум можно использовать для построения наибольшего подполя F, удовлетворяющего определенному свойству, например, наибольшего подполя F , которое на языке, введенном ниже, является алгебраическим над E . [c]

Расширения поля

Понятие подполя EF можно также рассматривать с противоположной точки зрения, ссылаясь на F как на расширение поля (или просто расширение) E , обозначаемое как

Ф / Э ,

и прочитайте « F над E ».

Базисным параметром расширения поля является его степень [ F  : E ] , т. е. размерность F как E -векторного пространства. Она удовлетворяет формуле [30]

[ Г  : Э ] = [ Г  : Ж ] [ Ж  : Э ] .

Расширения , степень которых конечна, называются конечными расширениями. Расширения C / R и F4 / F2 имеют степень 2 , тогда как R / Q является бесконечным расширением.

Алгебраические расширения

Ключевым понятием в изучении расширений полей F / E являются алгебраические элементы . Элемент xF является алгебраическим над E, если он является корнем многочлена с коэффициентами в E , то есть если он удовлетворяет полиномиальному уравнению

ен х n + ен −1 х n −1 +   + е 1 х + е 0 = 0 ,

с e n , ..., e 0 в E , и e n ≠ 0 . Например, мнимая единица i в C является алгебраической над R , и даже над Q , так как она удовлетворяет уравнению

я 2 + 1 = 0 .

Расширение поля, в котором каждый элемент F является алгебраическим над E , называется алгебраическим расширением . Любое конечное расширение обязательно является алгебраическим, как можно вывести из приведенной выше формулы мультипликативности. [31]

Подполе E ( x ), порожденное элементом x , как указано выше, является алгебраическим расширением E тогда и только тогда, когда x является алгебраическим элементом. То есть, если x является алгебраическим, все остальные элементы E ( x ) обязательно также являются алгебраическими. Более того, степень расширения E ( x ) / E , т. е. размерность E ( x ) как E -векторного пространства, равна минимальной степени n такой, что существует полиномиальное уравнение, включающее x , как указано выше. Если эта степень равна n , то элементы E ( x ) имеют вид

Например, поле Q ( i ) гауссовых рациональных чисел является подполем C, состоящим из всех чисел вида a + bi , где и a, и b являются рациональными числами: слагаемые вида i 2 (и аналогично для более высоких показателей) здесь не обязательно должны рассматриваться, поскольку a + bi + ci 2 можно упростить до ac + bi .

Основы трансцендентности

Вышеупомянутое поле рациональных дробей E ( X ) , где Xнеопределённость , не является алгебраическим расширением E , поскольку не существует полиномиального уравнения с коэффициентами в E , нулем которого является X . Элементы, такие как X , которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными . Неформально говоря, неопределённость X и её степени не взаимодействуют с элементами E . Аналогичное построение можно осуществить с набором неопределённостей, а не только с одной.

Опять же, расширение поля E ( x ) / E , обсуждавшееся выше, является ключевым примером: если x не является алгебраическим (т. е. x не является корнем многочлена с коэффициентами в E ), то E ( x ) изоморфно E ( X ) . Этот изоморфизм получается путем подстановки x в X в рациональных дробях.

Подмножество S поля F является базисом трансцендентности , если оно алгебраически независимо (не удовлетворяет никаким полиномиальным соотношениям) над E и если F является алгебраическим расширением E ( S ) . Любое расширение поля F / E имеет базис трансцендентности. [32] Таким образом, расширения полей можно разбить на расширения вида E ( S ) / E ( чисто трансцендентные расширения ) и алгебраические расширения.

Закрытие операций

Поле алгебраически замкнуто , если оно не имеет строго больших алгебраических расширений или, что эквивалентно, если любое полиномиальное уравнение

f n x n + f n −1 x n −1 + ⋯ + f 1 x + f 0 = 0 , с коэффициентами f n , ..., f 0F , n > 0 ,

имеет решение xF . [33] По основной теореме алгебры , C алгебраически замкнуто, т.е. любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение. Рациональные и действительные числа не являются алгебраически замкнутыми, так как уравнение

х 2 + 1 = 0

не имеет рационального или действительного решения. Поле, содержащее F, называется алгебраическим замыканием F , если оно алгебраично над F (грубо говоря, не слишком велико по сравнению с F ) и алгебраически замкнуто (достаточно велико, чтобы содержать решения всех полиномиальных уравнений).

Согласно вышесказанному, C является алгебраическим замыканием поля R. Ситуация, когда алгебраическое замыкание является конечным расширением поля F, является весьма частной: по теореме Артина–Шрайера степень этого расширения обязательно равна 2 , и F элементарно эквивалентно R. Такие поля также известны как действительные замкнутые поля .

Любое поле F имеет алгебраическое замыкание, которое, более того, единственно с точностью до (неединственного) изоморфизма. Его обычно называют алгебраическим замыканием и обозначают F . Например, алгебраическое замыкание Q поля Q называется полем алгебраических чисел . Поле F обычно довольно неявно, поскольку его построение требует леммы об ультрафильтре , теоретико-множественной аксиомы, которая слабее аксиомы выбора . [34] В этом отношении алгебраическое замыкание поля F q , исключительно просто. Оно представляет собой объединение конечных полей, содержащих F q (порядка q n ). Для любого алгебраически замкнутого поля F характеристики 0 алгебраическое замыкание поля F (( t )) рядов Лорана является полем рядов Пюизе , полученных присоединением корней t . [35]

Поля с дополнительной структурой

Поскольку поля повсеместно присутствуют в математике и за ее пределами, несколько уточнений этой концепции были адаптированы к потребностям конкретных математических областей.

Упорядоченные поля

Поле F называется упорядоченным полем , если любые два элемента можно сравнить, так что x + y ≥ 0 и xy ≥ 0 всякий раз, когда x ≥ 0 и y ≥ 0 . Например, действительные числа образуют упорядоченное поле с обычным порядком  . Теорема Артина–Шрайера утверждает, что поле может быть упорядочено тогда и только тогда, когда оно является формально действительным полем , что означает, что любое квадратное уравнение

имеет только решение x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 . [36] Множество всех возможных порядков на фиксированном поле F изоморфно множеству кольцевых гомоморфизмов из кольца Витта W( F ) квадратичных форм над F в Z . [37]

Архимедово поле — это упорядоченное поле, для каждого элемента которого существует конечное выражение

1 + 1 + ⋯ + 1

чье значение больше этого элемента, то есть нет бесконечных элементов. Эквивалентно, поле не содержит бесконечно малых (элементов, меньших всех рациональных чисел); или, что еще эквивалентно, поле изоморфно подполю R .

Каждое ограниченное действительное множество имеет наименьшую верхнюю границу.

Упорядоченное поле является дедекиндово-полным, если все верхние границы , нижние границы (см. разрез Дедекинда ) и пределы, которые должны существовать, существуют. Более формально, каждое ограниченное подмножество F должно иметь наименьшую верхнюю границу. Любое полное поле обязательно архимедово, [38] поскольку в любом неархимедовом поле нет ни наибольшего бесконечно малого, ни наименьшего положительного рационального числа, откуда последовательность 1/2, 1/3, 1/4, ... , каждый элемент которой больше любого бесконечно малого, не имеет предела.

Поскольку каждое собственное подполе действительных чисел также содержит такие пробелы, R является единственным полным упорядоченным полем с точностью до изоморфизма. [39] Несколько основополагающих результатов в исчислении непосредственно следуют из этой характеристики действительных чисел.

Гиперреальные числа R * образуют упорядоченное поле, которое не является архимедовым. Это расширение действительных чисел, полученное включением бесконечных и бесконечно малых чисел. Они больше, соответственно меньше любого действительного числа. Гиперреальные числа образуют фундаментальную основу нестандартного анализа .

Топологические поля

Другим уточнением понятия поля является топологическое поле , в котором множество F является топологическим пространством , таким, что все операции поля (сложение, умножение, отображения a ↦ − a и aa −1 ) являются непрерывными отображениями относительно топологии пространства. [40] Топология всех полей, обсуждаемых ниже, индуцируется из метрики , т. е . функции

г  : Ф × ФР ,

который измеряет расстояние между любыми двумя элементами F.

Завершение F — это еще одно поле, в котором, неформально говоря, заполняются «пробелы» в исходном поле F , если таковые имеются. Например, любое иррациональное число x , такое как x = 2 , является «пробелом» в рациональных числах Q в том смысле , что это действительное число, которое может быть сколь угодно близко аппроксимировано рациональными числами p / q , в том смысле, что расстояние между x и p / q, заданное абсолютным значением | xp / q |, сколь угодно мало. В следующей таблице перечислены некоторые примеры такой конструкции. В четвертом столбце показан пример нулевой последовательности , т. е. последовательности, предел которой (при n → ∞ ) равен нулю.

Поле Q p используется в теории чисел и p -адическом анализе . Алгебраическое замыкание Q p несет уникальную норму, расширяющую норму на Q p , но не является полным. Завершение этого алгебраического замыкания, однако, алгебраически замкнуто. Из-за его грубой аналогии с комплексными числами его иногда называют полем комплексных p -адических чисел и обозначают C p . [41]

Местные поля

Следующие топологические поля называются локальными полями : [42] [d]

Эти два типа локальных полей имеют некоторые фундаментальные сходства. В этом отношении элементы pQ p и tF p (( t )) (называемые униформизатором ) соответствуют друг другу. Первое проявление этого происходит на элементарном уровне: элементы обоих полей могут быть выражены как степенные ряды в униформизаторе с коэффициентами в F p . (Однако, поскольку сложение в Q p выполняется с использованием переноса , чего нет в F p (( t )) , эти поля не изоморфны.) Следующие факты показывают, что это поверхностное сходство идет гораздо глубже:

Дифференциальные поля

Дифференциальные поля — это поля, снабженные деривацией , т. е. позволяющие брать производные элементов в поле. [44] Например, поле R ( X ) вместе со стандартной производной полиномов образует дифференциальное поле. Эти поля являются центральными в дифференциальной теории Галуа , варианте теории Галуа, имеющем дело с линейными дифференциальными уравнениями .

теория Галуа

Теория Галуа изучает алгебраические расширения поля, изучая симметрию в арифметических операциях сложения и умножения. Важным понятием в этой области является понятие конечных расширений Галуа F / E , которые по определению являются теми, которые являются отделимыми и нормальными . Теорема о примитивном элементе показывает, что конечные отделимые расширения обязательно являются простыми , т. е. имеют вид

F = E [ X ] / f ( X ) ,

где f — неприводимый многочлен (как и выше). [45] Для такого расширения быть нормальным и отделимым означает, что все нули f содержатся в F и что f имеет только простые нули. Последнее условие всегда выполняется, если E имеет характеристику 0 .

Для конечного расширения Галуа группа Галуа Gal( F / E ) является группой автоморфизмов полей F , которые тривиальны на E (т. е. биекции σ  : FF , которые сохраняют сложение и умножение и которые отправляют элементы E в себя). Важность этой группы вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая строит явное взаимно-однозначное соответствие между множеством подгрупп Gal ( F / E ) и множеством промежуточных расширений расширения F / E . [46] С помощью этого соответствия теоретико-групповые свойства переводятся в факты о полях. Например, если группа Галуа расширения Галуа, как указано выше, неразрешима ( не может быть построена из абелевых групп ), то нули f не могут быть выражены в терминах сложения, умножения и радикалов, т. е. выражений, включающих . Например, симметрическая группа S n неразрешима для n ≥ 5 . Следовательно, как можно показать, нули следующих многочленов не выражаются через суммы, произведения и радикалы. Для последнего многочлена этот факт известен как теорема Абеля–Руффини :

f ( X ) = X 5 − 4 X + 2 E = Q ), [47]
f ( X ) = X n + a n −1 X n −1 + ⋯ + a 0 (где f рассматривается как многочлен от E ( a 0 , ..., an −1 ) для некоторых неизвестных a i , E — любое поле, и n ≥ 5 ) .

Тензорное произведение полей обычно не является полем. Например, конечное расширение F / E степени n является расширением Галуа тогда и только тогда, когда существует изоморфизм F -алгебр

FE FF n .

Этот факт является началом теории Галуа Гротендика , далеко идущего расширения теории Галуа, применимой к алгебро-геометрическим объектам. [48]

Инварианты полей

Базовые инварианты поля F включают характеристику и степень трансцендентности F над его простым полем. Последняя определяется как максимальное число элементов в F , которые алгебраически независимы над простым полем. Два алгебраически замкнутых поля E и F изоморфны в точности, если эти два данных совпадают. [49] Это означает, что любые два несчетных алгебраически замкнутых поля одинаковой мощности и одинаковой характеристики изоморфны. Например, Q p , C p и C изоморфны (но не изоморфны как топологические поля).

Модельная теория полей

В теории моделей , разделе математической логики , два поля E и F называются элементарно эквивалентными , если каждое математическое утверждение, которое верно для E, также верно для F и наоборот. Математические утверждения, о которых идет речь, должны быть предложениями первого порядка (включая 0 , 1 , сложение и умножение). Типичным примером для n > 0 , n — целое число, является

φ ( E ) = "любой многочлен степени n в E имеет ноль в E "

Набор таких формул для всех n выражает, что E алгебраически замкнуто. Принцип Лефшеца утверждает, что C элементарно эквивалентно любому алгебраически замкнутому полю F нулевой характеристики. Более того, любое фиксированное утверждение φ выполняется в C тогда и только тогда, когда оно выполняется в любом алгебраически замкнутом поле достаточно высокой характеристики. [50]

Если Uультрафильтр на множестве I , а F i — поле для каждого i из I , то ультрапроизведение F i относительно U является полем . [51] Оно обозначается как

ulim i →∞ F i ,

поскольку он ведет себя несколькими способами как предел полей F i : теорема Лоса утверждает, что любое утверждение первого порядка, которое справедливо для всех, кроме конечного числа F i , справедливо также и для ультрапроизведения. Применительно к приведенному выше предложению φ это показывает, что существует изоморфизм [e]

Упомянутая выше теорема Акса–Кохена также следует из этого и изоморфизма ультрапроизведений (в обоих случаях по всем простым числам p )

ulim p Q p ≅ ulim p F p (( t )) .

Кроме того, теория моделей также изучает логические свойства различных других типов полей, таких как действительные замкнутые поля или экспоненциальные поля (которые снабжены экспоненциальной функцией exp : FF × ). [52]

Абсолютная группа Галуа

Для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми (или не являются сепарабельно замкнутыми), абсолютная группа Галуа Gal( F ) имеет принципиально важное значение: расширяя случай конечных расширений Галуа, описанных выше, эта группа управляет всеми конечными сепарабельными расширениями F . Элементарными средствами можно показать, что группа Gal( F q ) является группой Прюфера, проконечным пополнением Z . Это утверждение включает тот факт , что единственными алгебраическими расширениями Gal ( F q ) являются поля Gal ( F q n ) для n > 0 , и что группы Галуа этих конечных расширений задаются как

Гал( F q n / F q ) = Z / n Z .

Описание в терминах генераторов и соотношений известно также для групп Галуа полей p -адических чисел (конечных расширений Q p ). [53]

Представления групп Галуа и связанных с ними групп, таких как группа Вейля, являются фундаментальными во многих разделах арифметики, таких как программа Ленглендса . Когомологическое исследование таких представлений выполняется с использованием когомологий Галуа . [54] Например, группа Брауэра , которая классически определяется как группа центральных простых F -алгебр , может быть переинтерпретирована как группа когомологий Галуа, а именно

Br( F ) = H 2 ( F , G m ) .

К-теория

К-теория Милнора определяется как

Теорема об изоморфизме норменного вычета , доказанная около 2000 года Владимиром Воеводским , связывает это с когомологиями Галуа посредством изоморфизма

Алгебраическая K-теория связана с группой обратимых матриц с коэффициентами в заданном поле. Например, процесс взятия определителя обратимой матрицы приводит к изоморфизму K 1 ( F ) = F × . Теорема Мацумото показывает, что K 2 ( F ) согласуется с K 2 M ( F ) . В более высоких степенях K-теория расходится с K-теорией Милнора и остается трудновычислимой в общем случае.

Приложения

Линейная алгебра и коммутативная алгебра

Если a ≠ 0 , то уравнение

ах = б

имеет единственное решение x в поле F , а именно Это непосредственное следствие определения поля является фундаментальным в линейной алгебре . Например, это существенный ингредиент гауссовского исключения и доказательства того, что любое векторное пространство имеет базис . [55]

Теория модулей (аналог векторных пространств над кольцами вместо полей) гораздо сложнее, поскольку приведенное выше уравнение может иметь несколько решений или не иметь ни одного. В частности, системы линейных уравнений над кольцом гораздо сложнее решить, чем в случае полей, даже в особенно простом случае кольца Z целых чисел.

Конечные поля: криптография и теория кодирования

Сумма трех точек P , Q и R на эллиптической кривой E (красной) равна нулю, если через эти точки проходит прямая (синяя).

Широко применяемая криптографическая процедура использует тот факт, что дискретное возведение в степень, т. е. вычисление

a n = aa ⋅ ⋯ ⋅ a ( n множителей, для целого числа n ≥ 1 )

в (большом) конечном поле F q может быть выполнено гораздо эффективнее, чем дискретное логарифмирование , которое является обратной операцией, т.е. определением решения n уравнения

а н = б .

В криптографии эллиптических кривых умножение в конечном поле заменяется операцией сложения точек на эллиптической кривой , т. е. решений уравнения вида

у2 = х3 + ах + Ь .

Конечные поля также используются в теории кодирования и комбинаторике .

Геометрия: поле функций

Компактная риманова поверхность рода два (две ручки). Род можно считать из поля мероморфных функций на поверхности.

Функции на подходящем топологическом пространстве X в поле F можно складывать и умножать поточечно, например, произведение двух функций определяется произведением их значений в области определения:

( fg )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

Это делает эти функции F - коммутативной алгеброй .

Для того, чтобы иметь поле функций, нужно рассмотреть алгебры функций, которые являются областями целостности . В этом случае отношения двух функций, т.е. выражения вида

образуют поле, называемое полем функций.

Это происходит в двух основных случаях. Когда Xкомплексное многообразие X . В этом случае рассматривается алгебра голоморфных функций , т.е. комплексных дифференцируемых функций. Их отношения образуют поле мероморфных функций на X .

Поле функций алгебраического многообразия X (геометрический объект, определяемый как общие нули полиномиальных уравнений) состоит из отношений регулярных функций , т. е. отношений полиномиальных функций на многообразии. Поле функций n -мерного пространства над полем F есть F ( x 1 , ..., x n ) , т. е. поле, состоящее из отношений полиномов от n неизвестных. Поле функций X такое же, как и поле любого открытого плотного подмногообразия. Другими словами, поле функций нечувствительно к замене X на (немного) меньшее подмногообразие.

Поле функций инвариантно относительно изоморфизма и бирациональной эквивалентности многообразий. Поэтому оно является важным инструментом для изучения абстрактных алгебраических многообразий и для классификации алгебраических многообразий. Например, размерность , которая равна степени трансцендентности F ( X ) , инвариантна относительно бирациональной эквивалентности. [56] Для кривых (т. е. размерность равна единице) поле функций F ( X ) очень близко к X : если X является гладким и собственным (аналог компактности ) , X может быть восстановлено с точностью до изоморфизма из его поля функций. [f] В более высокой размерности поле функций помнит меньше, но все еще решающую информацию о X . Изучение полей функций и их геометрического смысла в более высоких размерностях называется бирациональной геометрией . Программа минимальной модели пытается идентифицировать простейшие (в определенном точном смысле) алгебраические многообразия с предписанным полем функций.

Теория чисел: глобальные поля

Глобальные поля находятся в центре внимания в алгебраической теории чисел и арифметической геометрии . Они, по определению, являются числовыми полями (конечными расширениями Q ) или функциональными полями над F q (конечными расширениями F q ( t ) ). Что касается локальных полей, эти два типа полей имеют несколько схожих черт, хотя они имеют характеристику 0 и положительную характеристику соответственно. Эта аналогия с функциональным полем может помочь сформировать математические ожидания, часто сначала путем понимания вопросов о функциональных полях, а затем рассмотрения случая числового поля. Последнее часто бывает сложнее. Например, гипотезу Римана относительно нулей дзета-функции Римана (открытую в 2017 году) можно рассматривать как параллельную гипотезам Вейля (доказанным в 1974 году Пьером Делинем ).

Пятые корни из единицы образуют правильный пятиугольник .

Циклотомические поля являются одними из наиболее интенсивно изучаемых числовых полей. Они имеют вид Q ( ζ n ) , где ζ n — примитивный корень n-й степени из единицы , т. е. комплексное число ζ , которое удовлетворяет ζ n = 1 и ζ m ≠ 1 для всех 0 < m < n . [57] Для n , являющегося обычным простым числом , Куммер использовал циклотомические поля для доказательства Великой теоремы Ферма , которая утверждает несуществование рациональных ненулевых решений уравнения

хn + yn = zn .

Локальные поля являются пополнениями глобальных полей. Теорема Островского утверждает, что единственными пополнениями Q , глобального поля, являются локальные поля Q p и R . Изучение арифметических вопросов в глобальных полях иногда может быть выполнено путем рассмотрения соответствующих вопросов локально. Этот метод называется локально-глобальным принципом . Например, теорема Хассе–Минковского сводит задачу поиска рациональных решений квадратных уравнений к решению этих уравнений в R и Q p , решения которых можно легко описать. [58]

В отличие от локальных полей, группы Галуа глобальных полей неизвестны. Обратная теория Галуа изучает (нерешенную) проблему, является ли любая конечная группа группой Галуа Gal( F / Q ) для некоторого числового поля F . [59] Теория полей классов описывает абелевы расширения , т. е. расширения с абелевой группой Галуа или, что эквивалентно, абелианизированные группы Галуа глобальных полей. Классическое утверждение, теорема Кронекера–Вебера , описывает максимальное абелевое расширение Q ab поля Q : это поле

Q ( ζn , n ≥ 2 )

полученный присоединением всех примитивных корней n-й степени из единицы. Югендтраум Кронекера требует аналогичного явного описания F ab общих числовых полей F . Для мнимых квадратичных полей , , d > 0 , теория комплексного умножения описывает F ab с помощью эллиптических кривых . Для общих числовых полей такое явное описание неизвестно.

Связанные понятия

В дополнение к дополнительной структуре, которой могут обладать поля, поля допускают различные другие связанные понятия. Поскольку в любом поле 0 ≠ 1 , любое поле имеет по крайней мере два элемента. Тем не менее, существует концепция поля с одним элементом , которая, как предполагается, является пределом конечных полей F p , когда p стремится к 1 . [60] В дополнение к кольцам деления существуют различные другие более слабые алгебраические структуры, связанные с полями, такие как квазиполя , почти-поля и полуполя .

Существуют также правильные классы с полевой структурой, которые иногда называют Полем s, с заглавной буквы «F». Сюрреалистические числа образуют Поле, содержащее действительные числа, и были бы полем, если бы не тот факт, что они являются правильным классом, а не множеством. Нимберы , концепция из теории игр , также образуют такое Поле. [61]

Кольца деления

Отбрасывание одной или нескольких аксиом в определении поля приводит к другим алгебраическим структурам. Как было упомянуто выше, коммутативные кольца удовлетворяют всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных. Отбрасывание вместо этого коммутативности умножения приводит к концепции деления кольца или тела ; [g] иногда ассоциативность также ослабляется. Единственными делениями, которые являются конечномерными R -векторными пространствами, являются само R , C (которое является полем) и кватернионы H (в которых умножение некоммутативно). Этот результат известен как теорема Фробениуса . Октонионы O , для которых умножение не является ни коммутативным, ни ассоциативным, являются нормированной альтернативной алгеброй с делением, но не являются делением. Этот факт был доказан с использованием методов алгебраической топологии в 1958 году Мишелем Кервером , Раулем Боттом и Джоном Милнором . [62]

Малая теорема Веддерберна утверждает, что все конечные тела являются полями.

Примечания

  1. ^ Априорное двойное использование символа « » для обозначения одной части константы и для аддитивных обратных величин оправдано этим последним условием.
  2. ^ Эквивалентно, поле — это алгебраическая структура F , +, ⋅, −, −1 , 0, 1⟩ типа ⟨2, 2, 1, 1, 0, 0⟩ , такая, что 0 −1 не определено, F , +, −, 0⟩ и являются абелевыми группами, а дистрибутивна над + . [10]
  3. ^ Другие примеры включают максимальное неразветвленное расширение или максимальное абелево расширение внутри F.
  4. ^ Некоторые авторы также считают поля R и C локальными полями. С другой стороны, эти два поля, также называемые архимедовыми локальными полями, имеют мало общего с локальными полями, рассматриваемыми здесь, до такой степени, что Касселс (1986, стр. vi) называет их «полностью аномальными».
  5. ^ Оба C и ulim p F p алгебраически замкнуты по теореме Лося. По той же причине они оба имеют нулевую характеристику. Наконец, они оба несчетны, так что они изоморфны.
  6. ^ Точнее, существует эквивалентность категорий между гладкими собственными алгебраическими кривыми над алгебраически замкнутым полем F и конечными расширениями полей F ( T ) .
  7. ^ Исторически деления иногда назывались полями, а поля назывались коммутативными полями .

Цитаты

  1. ^ Бичи и Блэр (2006), Определение 4.1.1, стр. 181
  2. ^ Фрейли (1976), стр. 10
  3. ^ Маккой (1968), стр. 16
  4. ^ Кларк (1984), Глава 3
  5. ^ Майнс, Ричман и Рюитенбург (1988), §II.2. См. также поле Гейтинга .
  6. ^ Бичи и Блэр (2006), стр. 120, гл. 3
  7. ^ Артин (1991), Глава 13.4
  8. ^ Lidl & Niederreiter (2008), пример 1.62.
  9. ^ Бичи и Блэр (2006), стр. 120, гл. 3
  10. ^ Уоллес (1998), Ч. 2
  11. ^ Адамсон (2007), §I.2, стр. 10
  12. ^ Эскофьер (2012), 14.4.2
  13. ^ Адамсон (2007), §I.3
  14. ^ Адамсон (2007), стр. 12
  15. ^ Lidl & Niederreiter (2008), Лемма 2.1, Теорема 2.2.
  16. ^ Лидл и Нидеррайтер (2008), Теорема 1.2.5
  17. ^ Кляйнер (2007), стр. 63
  18. ^ Кирнан (1971), стр. 50
  19. ^ Бурбаки (1994), стр. 75–76
  20. ^ Корри (2004), стр. 24
  21. ^ «Самые ранние известные случаи использования некоторых слов математики (F)».
  22. ^ Дирихле (1871), стр. 42, перевод Клейнера (2007), стр. 66
  23. ^ Бурбаки (1994), стр. 81
  24. ^ Корри (2004), стр. 33. См. также Фрике и Вебер (1924).
  25. ^ Бурбаки (1994), стр. 92
  26. ^ Ланг (2002), §II.1
  27. ^ Артин (1991), §10.6
  28. ^ Эйзенбуд (1995), стр. 60
  29. ^ Якобсон (2009), стр. 213
  30. ^ Артин (1991), Теорема 13.3.4
  31. ^ Артин (1991), Следствие 13.3.6
  32. ^ Бурбаки (1988), Глава V, §14, № 2, Теорема 1
  33. ^ Артин (1991), §13.9
  34. ^ Банашевски (1992). Пост на Mathoverflow
  35. ^ Рибенбойм (1999), стр. 186, §7.1
  36. ^ Бурбаки (1988), Глава VI, §2.3, Следствие 1
  37. ^ Лоренц (2008), §22, Теорема 1
  38. ^ Престель (1984), Предложение 1.22
  39. ^ Престель (1984), Теорема 1.23
  40. ^ Уорнер (1989), Глава 14
  41. ^ Гувеа (1997), §5.7
  42. ^ Серр (1979)
  43. ^ Шольце (2014)
  44. ^ ван дер Пут и Сингер (2003), §1
  45. ^ Лэнг (2002), Теорема V.4.6
  46. ^ Ланг (2002), §VI.1
  47. ^ Ланг (2002), Пример VI.2.6
  48. ^ Борсо и Джанелидзе (2001). См. также фундаментальную группу Étale .
  49. ^ Гувеа (2012), Теорема 6.4.8
  50. ^ Маркер, Мессмер и Пиллэй (2006), Следствие 1.2
  51. ^ Схоутенс (2002), §2
  52. ^ Кульманн (2000)
  53. ^ Яннсен и Вингберг (1982)
  54. ^ Серр (2002)
  55. ^ Артин (1991), §3.3
  56. ^ Эйзенбуд (1995), §13, Теорема A
  57. ^ Вашингтон (1997)
  58. ^ Серр (1996), Глава IV
  59. ^ Серр (1992)
  60. ^ Титьки (1957)
  61. ^ Конвей (1976)
  62. ^ Баез (2002)

Ссылки

Внешние ссылки