Измерение в квантовой механике

Взаимодействие квантовой системы с классическим наблюдателем

В квантовой физике измерение — это тестирование или манипулирование физической системой для получения числового результата. Фундаментальной особенностью квантовой теории является то, что ее предсказания носят вероятностный характер . Процедура нахождения вероятности включает в себя объединение квантового состояния , которое математически описывает квантовую систему, с математическим представлением измерения, которое необходимо выполнить в этой системе. Формула для этого расчета известна как правило Борна . Например, квантовая частица, такая как электрон, может быть описана квантовым состоянием, которое связывает с каждой точкой пространства комплексное число, называемое амплитудой вероятности . Применение правила Борна к этим амплитудам дает вероятности того, что электрон будет обнаружен в той или иной области, когда будет проведен эксперимент по его местонахождению. Это лучшее, что может сделать теория; он не может с уверенностью сказать, где будет найден электрон. То же самое квантовое состояние можно использовать и для предсказания того, как будет двигаться электрон, если провести эксперимент по измерению его импульса, а не его положения. Принцип неопределенности подразумевает , что каким бы ни было квантовое состояние, диапазон предсказаний положения электрона и диапазон предсказаний его импульса не могут одновременно быть узкими. Некоторые квантовые состояния предполагают почти точное предсказание результата измерения положения, но результат измерения импульса будет крайне непредсказуемым, и наоборот. Более того, тот факт, что природа нарушает статистические условия, известные как неравенства Белла, указывает на то, что непредсказуемость результатов квантовых измерений нельзя объяснить незнанием « локальных скрытых переменных » внутри квантовых систем.

Измерение квантовой системы обычно меняет квантовое состояние, описывающее эту систему. Это центральная особенность квантовой механики, одновременно математически сложная и концептуально тонкая. Математические инструменты для прогнозирования того, какие результаты измерений могут произойти и как могут измениться квантовые состояния, были разработаны в 20 веке и используют линейную алгебру и функциональный анализ . Квантовая физика доказала свой эмпирический успех и широкое применение. Однако на более философском уровне продолжаются дебаты о значении концепции измерения.

Математический формализм

«Наблюдаемые» как самосопряженные операторы

В квантовой механике каждой физической системе сопоставлено гильбертово пространство , каждый элемент которого представляет возможное состояние физической системы. Подход, систематизированный Джоном фон Нейманом, представляет собой измерение физической системы с помощью самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, называемом «наблюдаемым». ^{[1] : 17} Эти наблюдаемые играют роль измеримых величин, знакомых из классической физики: положение, импульс , энергия , угловой момент и так далее. Размерность гильбертова пространства может быть бесконечной, как и пространство интегрируемых с квадратом функций на прямой, которое в квантовой физике используется для определения непрерывной степени свободы. Альтернативно, гильбертово пространство может быть конечномерным, как это происходит со спиновыми степенями свободы. Многие трактовки теории сосредоточены на конечномерном случае, поскольку задействованная математика несколько менее требовательна. Действительно, вводные тексты по физике по квантовой механике часто замалчивают математические тонкости, возникающие для непрерывных наблюдаемых и бесконечномерных гильбертовых пространств, такие как различие между ограниченными и неограниченными операторами ; вопросы сходимости (принадлежит ли предел последовательности элементов гильбертова пространства также гильбертовому пространству), экзотические возможности для множеств собственных значений, таких как канторовы множества ; и так далее. ^{[2] : 79  [3]} Эти проблемы можно удовлетворительно решить с помощью спектральной теории ; ^{[2] : 101} в настоящей статье мы будем избегать их, когда это возможно.

Проективное измерение

Собственные векторы наблюдаемой фон Неймана образуют ортонормированный базис гильбертова пространства, и каждый возможный результат этого измерения соответствует одному из векторов, составляющих базис. Оператор плотности — это положительно-полуопределенный оператор в гильбертовом пространстве, след которого равен 1. ^{[1] [2]} Для каждого измерения, которое может быть определено, распределение вероятностей по результатам этого измерения может быть вычислено из оператора плотности. . Процедурой для этого является правило Борна , которое гласит, что

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

где – оператор плотности, – оператор проецирования на базисный вектор, соответствующий результату измерения . Среднее значение собственных значений наблюдаемой фон Неймана, взвешенное по вероятностям правила Борна, является математическим ожиданием этой наблюдаемой. Для наблюдаемой математическое ожидание данного квантового состояния равно ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$

Оператор плотности, являющийся проекцией ранга 1, известен как чистое квантовое состояние, а все нечистые квантовые состояния называются смешанными . Чистые состояния также известны как волновые функции . Присвоение квантовой системе чистого состояния подразумевает уверенность в результате некоторого измерения этой системы (т. е. в отношении некоторого результата ). Любое смешанное состояние можно записать как выпуклую комбинацию чистых состояний, хотя и не единственным способом . ^[4] Пространство состояний квантовой системы — это набор всех состояний, чистых и смешанных, которые можно ей приписать. ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle x}$

Правило Борна связывает вероятность с каждым единичным вектором в гильбертовом пространстве таким образом, что сумма этих вероятностей равна 1 для любого набора единичных векторов, содержащего ортонормированный базис. Более того, вероятность, связанная с единичным вектором, является функцией оператора плотности и единичного вектора, а не дополнительной информации, такой как выбор базиса для встраивания этого вектора. Теорема Глисона устанавливает обратное: все присвоения вероятностей единичные векторы (или, что то же самое, проектирующие на них операторы), удовлетворяющие этим условиям, принимают форму применения правила Борна к некоторому оператору плотности. ^{[5] [6] [7]}

Обобщенное измерение (POVM)

В функциональном анализе и квантовой теории измерения мера с положительным операторным знаком (POVM) — это мера, значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM представляют собой обобщение проекционных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM. Грубо говоря, POVM по отношению к PVM — то же самое, что смешанное состояние по отношению к чистому состоянию. Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. теорему Шредингера-ХЮВ ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполненного в более крупной системе. POVM — это наиболее общий вид измерений в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[8] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительных полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , сумма которых равна единичной матрице , ^{[9] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

В квантовой механике элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при измерении квантового состояния определяется выражением ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

где находится оператор трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Изменение состояния в результате измерения

Измерение квантовой системы обычно приводит к изменению квантового состояния этой системы. Написание POVM не дает полной информации, необходимой для описания процесса изменения состояния. ^{[10] : 134} Чтобы исправить это, дополнительная информация уточняется путем разложения каждого элемента POVM на продукт:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Операторы Крауса , названные в честь Карла Крауса , предоставляют спецификацию процесса изменения состояния. ^[а] Они не обязательно самосопряжены, но произведения самосопряжены. Если при выполнении измерения получен результат, то исходное состояние обновляется до ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Важным частным случаем является правило Людерса, названное в честь Герхарта Людерса . ^{[16] [17]} Если POVM сама является PVM, то операторы Крауса можно считать проекторами на собственные пространства наблюдаемой фон Неймана:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Если начальное состояние чистое и проекторы имеют ранг 1, их можно записать как проекторы на векторы и соответственно. Таким образом, формула упрощается до ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

Исторически это было известно как «сокращение волнового пакета» или «коллапс волновой функции ». Чистое состояние подразумевает предсказание с вероятностью единица для любой наблюдаемой фон Неймана, имеющей собственный вектор. Вводные тексты по квантовой теории часто выражают это, говоря, что если квантовое измерение повторяется в быстрой последовательности, оба раза произойдет один и тот же результат. Это чрезмерное упрощение, поскольку физическая реализация квантового измерения может включать в себя такой процесс, как поглощение фотона; после измерения фотон не существует, чтобы его можно было измерить снова. ^{[9] : 91} ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle }$

Мы можем определить линейную, сохраняющую следы, полностью положительную карту , суммируя все возможные состояния POVM после измерения без нормализации:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Это пример квантового канала , ^{[10] :150} , и его можно интерпретировать как выражение того, как изменяется квантовое состояние, если измерение выполняется, но результат этого измерения теряется. ^{[10] : 159}

Примеры

Представление состояний в сфере Блоха (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначного распознавания квантовых состояний ^[18] по состояниям и . Заметим, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Прототипическим примером конечномерного гильбертова пространства является кубит , квантовая система, гильбертово пространство которого двумерно. Чистое состояние кубита можно записать как линейную комбинацию двух ортогональных базисных состояний с комплексными коэффициентами: ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Измерение в базисе даст результат с вероятностью и результат с вероятностью , поэтому путем нормализации ${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Произвольное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые служат основой для самосопряженных матриц: ^{[10] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

где действительные числа — это координаты точки внутри единичного шара , а ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Элементы POVM могут быть представлены аналогичным образом, хотя след элемента POVM не фиксирован равным 1. Матрицы Паули не имеют следов и ортогональны друг другу относительно внутреннего произведения Гильберта – Шмидта , поэтому координаты состояния являются ожидаемые значения трех измерений фон Неймана, определенных матрицами Паули. ^{[10] : 126} Если такое измерение применить к кубиту, то по правилу Людерса состояние обновится до собственного вектора этой матрицы Паули, соответствующего результату измерения. Собственными векторами являются базисные состояния и , а измерение часто называют измерением в «вычислительном базисе». ^{[10] : 76} После измерения в вычислительной базе результат измерения максимально неопределенен. ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$

Пара кубитов вместе образуют систему, гильбертово пространство которой четырехмерно. Одним из важных измерений фон Неймана в этой системе является то, что определяется базисом Белла , ^{[19] :36} набором из четырех максимально запутанных состояний:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Плотность вероятности результата измерения положения с учетом собственного состояния энергии одномерного гармонического осциллятора. ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

Распространенным и полезным примером квантовой механики, примененной к непрерывной степени свободы, является квантовый гармонический осциллятор . ^{[20] : 24} Эта система определяется гамильтонианом

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

где оператор импульса и оператор положения являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом на действительной прямой . Собственные состояния энергии решают независимое от времени уравнение Шредингера : ${\displaystyle {H}}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {x}}$

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Можно показать, что эти собственные значения задаются формулой

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

и эти значения дают возможные численные результаты измерения энергии генератора. Множество возможных результатов измерения положения на гармоническом генераторе является непрерывным, поэтому предсказания формулируются в терминах функции плотности вероятности , которая дает вероятность результата измерения, лежащего в бесконечно малом интервале от до . ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$

История концепции измерения

«Старая квантовая теория»

Старая квантовая теория представляет собой совокупность результатов 1900–1925 годов ^[21] , которые предшествовали современной квантовой механике . Теория никогда не была полной или самосогласованной, а скорее представляла собой набор эвристических поправок к классической механике . ^[22] Теория теперь понимается как полуклассическое приближение ^[23] к современной квантовой механике. ^[24] Известные результаты этого периода включают расчет Планком спектра излучения черного тела , объяснение Эйнштейном фотоэлектрического эффекта , работы Эйнштейна и Дебая по удельной теплоемкости твердых тел, доказательство Бора и ван Лювена , что классическое физика не может объяснить диамагнетизм , модель атома водорода Бора и расширение модели Бора Арнольдом Зоммерфельдом , включив в него релятивистские эффекты .

Эксперимент Штерна-Герлаха: атомы серебра перемещаются через неоднородное магнитное поле и отклоняются вверх или вниз в зависимости от их спина; (1) печь, (2) пучок атомов серебра, (3) неоднородное магнитное поле, (4) классически ожидаемый результат, (5) наблюдаемый результат

Эксперимент Штерна -Герлаха , предложенный в 1921 году и реализованный в 1922 году, ^{[25] [26] [27]} стал прототипным примером квантового измерения, имеющего дискретный набор возможных результатов. В первоначальном эксперименте атомы серебра проходили через пространственно изменяющееся магнитное поле, которое отклоняло их до того, как они попадали на экран детектора, например на предметное стекло. Частицы с ненулевым магнитным моментом отклоняются из-за градиента магнитного поля от прямого пути. На экране видны дискретные точки накопления, а не непрерывного распределения из-за квантованного спина частиц . ^{[28] [29] [30]}

Переход к «новой» квантовой теории

Статья Гейзенберга 1925 года , известная на английском языке как « Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений », ознаменовала поворотный момент в становлении квантовой физики. ^[31] Гейзенберг стремился разработать теорию атомных явлений, которая опиралась бы только на «наблюдаемые» величины. В то время, в отличие от более позднего стандартного представления квантовой механики, Гейзенберг не считал положение электрона, связанного внутри атома, «наблюдаемым». Вместо этого его основными интересующими величинами были частоты света, излучаемого или поглощаемого атомами. ^[31]

К этому периоду относится принцип неопределенности . Его часто приписывают Гейзенбергу, который ввел эту концепцию при анализе мысленного эксперимента , в котором пытались одновременно измерить положение и импульс электрона . Однако Гейзенберг не дал точных математических определений того, что означает «неопределенность» в этих измерениях. Точная математическая формулировка принципа неопределенности положения-импульса принадлежит Кеннарду , Паули и Вейлю , а его обобщение на произвольные пары некоммутирующих наблюдаемых принадлежит Робертсону и Шрёдингеру . ^{[32] [33]}

Записав и для самосопряженных операторов, представляющих положение и импульс соответственно, стандартное отклонение положения можно определить как ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {p}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

и то же самое для импульса:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

Соотношение неопределенностей Кеннарда – Паули – Вейля имеет вид

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Это неравенство означает, что никакая подготовка квантовой частицы не может одновременно предполагать точные предсказания для измерения положения и измерения импульса. ^[34] Неравенство Робертсона обобщает это на случай произвольной пары самосопряженных операторов и . Коммутатором этих двух операторов является ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

и это дает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Подставляя в каноническое коммутационное соотношение выражение, впервые постулированное Максом Борном в 1925 году, ^[35] восстанавливает формулировку принципа неопределенности Кеннарда-Паули-Вейля. ${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$

От неопределенности к «отсутствию скрытых переменных»

Существование принципа неопределенности естественным образом ставит вопрос о том, можно ли понимать квантовую механику как приближение к более точной теории. Существуют ли « скрытые переменные », более фундаментальные, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория? Ряд результатов, в первую очередь теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой.

Белл опубликовал теорему, теперь известную под его именем, в 1964 году, более глубоко исследуя мысленный эксперимент , первоначально предложенный в 1935 году Эйнштейном , Подольским и Розеном . ^{[36] [37]} Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, поддающимся количественной оценке образом. Если тест Белла проводится в лаборатории и результаты таким образом не ограничены, то они несовместимы с гипотезой о существовании локальных скрытых переменных. Такие результаты подтверждают позицию о том, что не существует способа объяснить явления квантовой механики с точки зрения более фундаментального описания природы, которое больше соответствовало бы правилам классической физики . Многие типы тестов Белла проводились в физических лабораториях, часто с целью решения проблем, связанных с планированием или постановкой эксперимента, которые в принципе могли повлиять на достоверность результатов более ранних тестов Белла. Это известно как «закрытие лазеек в тестах Белла ». На сегодняшний день тесты Белла показали, что гипотеза о локальных скрытых переменных несовместима с поведением физических систем. ^{[38] [39]}

Квантовые системы как измерительные приборы

Принцип неопределенности Робертсона-Шредингера устанавливает, что, когда две наблюдаемые не коммутируют, между ними возникает компромисс в предсказуемости. Теорема Вигнера -Араки-Янасе демонстрирует еще одно следствие некоммутативности: наличие закона сохранения ограничивает точность, с которой можно измерить наблюдаемые величины, которые не коммутируют с сохраняющейся величиной. ^[40] Дальнейшие исследования в этом направлении привели к формулировке перекоса информации Вигнера-Янасе . ^[41]

Исторически эксперименты в квантовой физике часто описывались в полуклассических терминах. Например, вращение атома в эксперименте Штерна-Герлаха можно рассматривать как квантовую степень свободы, в то время как атом рассматривается как движущийся в магнитном поле , описываемом классической теорией уравнений Максвелла . ^{[2] : 24} Но устройства, используемые для создания экспериментальной установки, сами по себе являются физическими системами, и поэтому квантовая механика должна быть применима и к ним. Начиная с 1950-х годов Розенфельд , фон Вайцзеккер и другие пытались разработать условия согласованности, которые выражали бы возможность рассматривать квантово-механическую систему как измерительный прибор. ^[42] Одно из предложений по критерию относительно того, когда система, используемая как часть измерительного устройства, может быть смоделирована полуклассическим способом, опирается на функцию Вигнера , квазивероятностное распределение , которое можно рассматривать как распределение вероятностей в фазовом пространстве в тех случаях, когда оно есть везде. неотрицательный. ^{[2] : 375}

Декогеренция

Квантовое состояние несовершенно изолированной системы обычно развивается и переплетается с квантовым состоянием окружающей среды. Следовательно, даже если начальное состояние системы является чистым, состояние в более поздний момент, найденное путем частичного отслеживания совместного состояния системы и окружающей среды, будет смешанным. Этот феномен запутанности, возникающий в результате взаимодействия системы и окружающей среды, имеет тенденцию скрывать более экзотические особенности квантовой механики, которые в принципе может проявлять система. Квантовая декогеренция, как называют этот эффект, впервые подробно изучалась в 1970-х годах. ^[43] (Более ранние исследования того, как классическая физика может быть получена как предел квантовой механики, изучали тему несовершенно изолированных систем, но роль запутанности не была полностью оценена. ^[42] ). Значительная часть усилий была затрачена на квантовые вычисления призваны избежать пагубных последствий декогеренции. ^{[44] [19] : 239}

Для иллюстрации обозначим начальное состояние системы, начальное состояние среды и гамильтониан, задающий взаимодействие системы со средой. Оператор плотности можно диагонализировать и записать в виде линейной комбинации проекторов на его собственные векторы: ${\displaystyle \rho _{S}}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho _{E}}$

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Выражая эволюцию во времени в течение продолжительности унитарным оператором , состояние системы после этой эволюции будет ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

который оценивается как

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Окружающие величины можно назвать операторами Крауса, и это определяет квантовый канал. ^[43] ${\displaystyle \rho _{S}}$

Определение формы взаимодействия между системой и окружающей средой может установить набор «состояний указателя», состояний системы, которые (приблизительно) стабильны, за исключением общих фазовых факторов, по отношению к колебаниям окружающей среды. Набор состояний указателя определяет предпочтительный ортонормированный базис гильбертова пространства системы. ^{[2] : 423}

Квантовая информация и вычисления

Квантовая информатика изучает, как информатика и ее применение в качестве технологии зависят от квантово-механических явлений. Понимание измерений в квантовой физике важно для этой области во многих отношениях, некоторые из которых кратко рассмотрены здесь.

Измерение, энтропия и различимость

Энтропия фон Неймана — это мера статистической неопределенности, представленной квантовым состоянием. Для матрицы плотности энтропия фон Неймана равна ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

запись в терминах основы собственных векторов, ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

энтропия фон Неймана равна

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

Это энтропия Шеннона набора собственных значений, интерпретируемая как распределение вероятностей, и поэтому энтропия фон Неймана - это энтропия Шеннона случайной величины , определенной путем измерения в собственном базисе . Следовательно, энтропия фон Неймана исчезает, когда она чистая. ^{[10] : 320} Энтропию фон Неймана можно эквивалентно охарактеризовать как минимальную энтропию Шеннона для измерения с учетом квантового состояния с минимизацией по всем POVM с элементами ранга 1. ^{[10] : 323} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Многие другие величины, используемые в квантовой теории информации, также находят обоснование и обоснование с точки зрения измерений. Например, расстояние следа между квантовыми состояниями равно наибольшей разнице в вероятности , которую эти два квантовых состояния могут подразумевать для результата измерения: ^{[10] : 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

Точно так же точность двух квантовых состояний, определяемая формулой

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

выражает вероятность того, что одно государство пройдет тест на выявление успешной подготовки другого. Расстояние следа обеспечивает оценку точности с помощью неравенств Фукса – Ван де Граафа : ^{[10] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

Квантовые схемы

Схематическое изображение измерения. Одна линия слева обозначает кубит, а две линии справа представляют собой классический бит.

Квантовые схемы — это модель квантовых вычислений , в которой вычисление представляет собой последовательность квантовых вентилей, за которыми следуют измерения. ^{[19] :93} Ворота представляют собой обратимые преобразования квантовомеханического аналога n - битного регистра . Эта аналогичная структура называется n - кубитным регистром . Измерения, нарисованные на принципиальной схеме в виде стилизованных циферблатов-указателей, указывают, где и как получается результат от квантового компьютера после выполнения этапов вычислений. Без ограничения общности можно работать со стандартной схемотехнической моделью, в которой набор вентилей представляет собой однокубитные унитарные преобразования и управляемые вентили НЕ на парах кубитов, а все измерения лежат в вычислительной основе. ^{[19] : 93  [45]}

Квантовые вычисления на основе измерений

Квантовые вычисления на основе измерений (MBQC) — это модель квантовых вычислений , в которой ответ на вопрос, неформально говоря, создается в процессе измерения физической системы, которая служит компьютером. ^{[19] : 317  [46] [47]}

Квантовая томография

Томография квантовых состояний — это процесс, с помощью которого на основе набора данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется квантовое состояние, соответствующее результатам этих измерений. ^[48] ​​Названа по аналогии с томографией , реконструкцией трехмерных изображений из срезов, взятых через них, как при компьютерной томографии . Томографию квантовых состояний можно расширить до томографии квантовых каналов ^[48] и даже измерений. ^[49]

Квантовая метрология

Квантовая метрология — это использование квантовой физики для измерения величин, которые обычно имели значение в классической физике, например, использование квантовых эффектов для повышения точности измерения длины. ^[50] Ярким примером является введение сжатого света в эксперимент LIGO , что увеличило его чувствительность к гравитационным волнам . ^{[51] [52]}

Лабораторные внедрения

Диапазон физических процедур, к которым может быть применена математика квантовых измерений, очень широк. ^[53] В первые годы изучения предмета лабораторные процедуры включали запись спектральных линий , затемнение фотопленки, наблюдение мерцаний , поиск следов в камерах Вильсона и прослушивание щелчков счетчиков Гейгера . ^[b] Язык той эпохи сохраняется, например, абстрактное описание результатов измерений как «щелчки детектора». ^[55]

Эксперимент с двумя щелями — прототипическая иллюстрация квантовой интерференции , обычно описываемой с помощью электронов или фотонов. Первым интерференционным экспериментом, проведенным в режиме, где существенны как волновые, так и корпускулярные аспекты поведения фотонов, был эксперимент Дж. Тейлора в 1909 году. Тейлор использовал экраны из дымчатого стекла для ослабления света, проходящего через его аппарат. до такой степени, что, выражаясь современным языком, только один фотон будет освещать щели интерферометра одновременно. Он записывал интерференционные картины на фотопластинки; для самого тусклого света необходимое время выдержки составляло примерно три месяца. ^{[56] [57]} В 1974 году итальянские физики Пьер Джорджио Мерли, Джан Франко Миссироли и Джулио Поцци осуществили эксперимент с двумя щелями, используя одиночные электроны и телевизионную трубку . ^[58] Четверть века спустя группа из Венского университета провела интерференционный эксперимент с бакиболами , в котором бакиболлы, прошедшие через интерферометр, ионизировались лазером , а ионы затем вызывали эмиссию электронов, выбросы, которые были, в свою очередь, усилены и обнаружены электронным умножителем . ^[59]

В современных экспериментах по квантовой оптике можно использовать однофотонные детекторы . Например, в «тесте BIG Bell» 2018 года в нескольких лабораторных установках использовались однофотонные лавинные диоды . Другая лабораторная установка использовала сверхпроводящие кубиты . ^[38] Стандартный метод выполнения измерений сверхпроводящих кубитов заключается в соединении кубита с резонатором таким образом, чтобы характеристическая частота резонатора смещалась в зависимости от состояния кубита, и обнаружении этого сдвига путем наблюдения за тем, как резонатор реагирует. на зондирующий сигнал. ^[60]

Интерпретации квантовой механики

Нильс Бор и Альберт Эйнштейн , изображенные здесь, в доме Пауля Эренфеста в Лейдене (декабрь 1925 года), долго вели коллегиальный спор о том, какое значение квантовая механика имеет для природы реальности.

Несмотря на согласие среди ученых о том, что квантовая физика на практике является успешной теорией, разногласия сохраняются на более философском уровне. Многие дебаты в области, известной как квантовые основы, касаются роли измерения в квантовой механике. Среди повторяющихся вопросов: какая интерпретация теории вероятностей лучше всего подходит для вероятностей, рассчитанных по правилу Борна; и является ли кажущаяся случайность результатов квантовых измерений фундаментальной или следствием более глубокого детерминированного процесса. ^{[61] [62] [63]} Мировоззрения, дающие ответы на подобные вопросы, известны как «интерпретации» квантовой механики; как однажды пошутил физик Н. Дэвид Мермин : «Новые интерпретации появляются каждый год. Ни одна из них никогда не исчезает». ^[64]

Центральной проблемой квантовых основ является « проблема квантовых измерений », хотя то, как разграничивается эта проблема и следует ли ее считать одним вопросом или несколькими отдельными проблемами, является спорной темой. ^{[54] [65]} Главный интерес представляет кажущееся несоответствие между очевидно различными типами временной эволюции. Фон Нейман заявил, что квантовая механика содержит «два фундаментально разных типа» изменения квантового состояния. ^{[66] : §V.1} Во-первых, существуют изменения, связанные с процессом измерения, и, во-вторых, существует унитарная временная эволюция в отсутствие измерения. Первое является стохастическим и прерывистым, пишет фон Нейман, а второе детерминированным и непрерывным. Эта дихотомия задала тон для многих последующих дискуссий. ^{[67] [68]} Некоторые интерпретации квантовой механики находят опору на два разных типа временной эволюции неприятной и считают двусмысленность того, когда ссылаться на тот или иной, недостатком того, как квантовая теория была исторически представлена. ^[69] Чтобы поддержать эти интерпретации, их сторонники работали над поиском способов рассматривать «измерение» как вторичное понятие и выводить кажущийся стохастический эффект процессов измерения как приближений к более фундаментальной детерминированной динамике. Однако среди сторонников правильного способа реализации этой программы и, в частности, того, как оправдать использование правила Борна для расчета вероятностей, не было достигнуто консенсуса. ^{[70] [71]} Другие интерпретации рассматривают квантовые состояния как статистическую информацию о квантовых системах, утверждая таким образом, что резкие и прерывистые изменения квантовых состояний не являются проблематичными, а просто отражают обновления доступной информации. ^{[53] [72]} По поводу этой мысли Белл спросил: « Чья информация? Информация о чем ?» ^[69] Ответы на эти вопросы различаются среди сторонников информационно-ориентированных интерпретаций. ^{[62] [72]}

Смотрите также

• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Теорема Холево
• Квантовая коррекция ошибок
• Квантовый предел
• Квантовая логика
• Квантовый эффект Зенона
• кот Шредингера
• НИЦ-ПОВМ

Примечания

1. Хеллвиг и Краус ^{[11] [12]} первоначально ввели операторы с двумя индексами, такие, что . Дополнительный индекс не влияет на вычисление вероятности результата измерения, но он играет роль в правиле обновления состояния, при этом состояние после измерения теперь пропорционально . Это можно рассматривать как грубое объединение нескольких результатов более детального POVM. ^{[13] [14] [15]} Операторы Крауса с двумя индексами встречаются также в обобщенных моделях взаимодействия системы со средой. ^{[9] : 364} ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}A_{ij}^{\dagger }=E_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}A_{ij}^{\dagger }\rho A_{ij}}$ ${\displaystyle \textstyle E_{i}}$
2. Стеклянные пластины, использованные в эксперименте Штерна-Герлаха, не темнели должным образом, пока Штерн не дунул на них, случайно подвергнув их воздействию серы из своих дешевых сигар. ^{[29] [54]}

Рекомендации

1. Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Спрингер. ISBN 3-540-42082-7. ОСЛК  318268606.
2. Перес, Ашер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Академическое издательство Клювер. ISBN 0-7923-2549-4.
3. Тао, Терри (12 августа 2014 г.). «Авила, Бхаргава, Хайрер, Мирзахани». Что нового . Проверено 9 февраля 2020 г.
4. Киркпатрик, Калифорния (февраль 2006 г.). «Теорема Шрёдингера-ХЮВ». Основы физики письма . 19 (1): 95–102. arXiv : Quant-ph/0305068 . Бибкод : 2006FoPhL..19...95K. дои : 10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875. S2CID  15995449.
5. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР  0096113.
6. Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Письма о физических отзывах . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Бибкод : 2003PhRvL..91l0403B. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403. PMID  14525351. S2CID  2168715.
7. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона из правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : Quant-ph/0306179 . Бибкод : 2004FoPh...34..193C. doi :10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5. S2CID  18132256.
8. Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод :2004РвМП...76...93П. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
9. Nielsen, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-63503-5. ОСЛК  634735192.
10. Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . дои : 10.1017/9781316809976.001. ISBN 9781107176164. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
11. Хеллвиг, К.-Э.; Краус, К. (сентябрь 1969 г.). «Чистые операции и измерения». Связь в математической физике . 11 (3): 214–220. дои : 10.1007/BF01645807. ISSN  0010-3616. S2CID  123659396.
12. Краус, Карл (1983). Состояния, эффекты и операции: фундаментальные понятия квантовой теории. Лекции по математической физике в Техасском университете в Остине. Том. 190. Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-3-5401-2732-1. ОСЛК  925001331.
13. Барнум, Ховард; Нильсен, Массачусетс ; Шумахер, Бенджамин (1 июня 1998 г.). «Передача информации через шумный квантовый канал». Физический обзор А. 57 (6): 4153–4175. arXiv : Quant-ph/9702049 . Бибкод : 1998PhRvA..57.4153B. doi :10.1103/PhysRevA.57.4153. ISSN  1050-2947. S2CID  13717391.
14. Фукс, Кристофер А.; Джейкобс, Курт (16 мая 2001 г.). «Информационные компромиссные соотношения для квантовых измерений конечной силы». Физический обзор А. 63 (6): 062305. arXiv : quant-ph/0009101 . Бибкод : 2001PhRvA..63f2305F. doi : 10.1103/PhysRevA.63.062305. ISSN  1050-2947. S2CID  119476175.
15. Пулен, Дэвид (7 февраля 2005 г.). «Макроскопические наблюдаемые». Физический обзор А. 71 (2): 022102. arXiv : quant-ph/0403212 . Бибкод : 2005PhRvA..71b2102P. doi : 10.1103/PhysRevA.71.022102. ISSN  1050-2947. S2CID  119364450.
16. Людерс, Герхарт (1950). «Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß». Аннален дер Физик . 443 (5–8): 322. Бибкод : 1950АнП...443..322Л. дои : 10.1002/andp.19504430510.Перевод К. А. Киркпатрика как Людерс, Герхарт (3 апреля 2006 г.). «Относительно изменения состояния в результате процесса измерения». Аннален дер Физик . 15 (9): 663–670. arXiv : Quant-ph/0403007 . Бибкод : 2006АнП...518..663Л. дои : 10.1002/andp.200610207. S2CID  119103479.
17. Буш, Пол ; Лахти, Пекка (2009), Гринбергер, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.), «Правило Людерса», Сборник квантовой физики , Springer Berlin Heidelberg, стр. 356–358, doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_110, ISBN 978-3-540-70622-9
18. Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (1998). «Оптимальное различие между неортогональными квантовыми состояниями». Журнал физики A: Математический и общий . 31 (34): 7105–7111. arXiv : Quant-ph/9804031 . Бибкод : 1998JPhA...31.7105P. дои : 10.1088/0305-4470/31/34/013. ISSN  0305-4470. S2CID  18961213.
19. Rieffel, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: краткое введение . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01506-6.
20. Вайнберг, Стивен (2015). Лекции по квантовой механике (Второе изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-11166-0. ОКЛК  910664598.
21. Паис, Авраам (2005). Тонок Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна (иллюстрированное издание). Издательство Оксфордского университета . п. 28. ISBN 978-0-19-280672-7.
22. тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Пергамон Пресс. стр. 206. ISBN. 978-0-08-012101-7.
23. «Полуклассическое приближение». Энциклопедия математики . Проверено 1 февраля 2020 г.
24. Сакурай, Джей Джей ; Наполитано, Дж. (2014). «Квантовая динамика». Современная квантовая механика . Пирсон. ISBN 978-1-292-02410-3. ОСЛК  929609283.
25. Герлах, В.; Стерн, О. (1922). «Der Experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld». Zeitschrift für Physik . 9 (1): 349–352. Бибкод : 1922ZPhy....9..349G. дои : 10.1007/BF01326983. S2CID  186228677.
26. Герлах, В.; Стерн, О. (1922). «Магнитный момент сильбератомов». Zeitschrift für Physik . 9 (1): 353–355. Бибкод : 1922ZPhy....9..353G. дои : 10.1007/BF01326984. S2CID  126109346.
27. Герлах, В.; Стерн, О. (1922). «Der Experimentelle Nachweis des Magneticischen Moments des Silberatoms». Zeitschrift für Physik . 8 (1): 110–111. Бибкод : 1922ZPhy....8..110G. дои : 10.1007/BF01329580. S2CID  122648402.
28. Франклин, Аллан ; Перович, Слободан. «Опыт по физике, Приложение 5». В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2016 г.) . Проверено 14 августа 2018 г.
29. Фридрих, Б.; Хершбах, Д. (2003). «Штерн и Герлах: как плохая сигара помогла переориентировать атомную физику». Физика сегодня . 56 (12): 53. Бибкод :2003ФТ....56л..53Ф. дои : 10.1063/1.1650229 . S2CID  17572089.
30. Чжу, Гуантянь; Сингх, Чандралеха (май 2011 г.). «Улучшение понимания студентами квантовой механики с помощью эксперимента Штерна – Герлаха». Американский журнал физики . 79 (5): 499–507. arXiv : 1602.06367 . Бибкод : 2011AmJPh..79..499Z. дои : 10.1119/1.3546093. ISSN  0002-9505. S2CID  55077698.
31. ван дер Варден, BL (1968). «Введение, часть II». Источники квантовой механики . Дувр. ISBN 0-486-61881-1.
32. Буш, Пол ; Лахти, Пекка; Вернер, Рейнхард Ф. (17 октября 2013 г.). «Доказательство соотношения ошибки и возмущения Гейзенберга». Письма о физических отзывах . 111 (16): 160405. arXiv : 1306.1565 . Бибкод : 2013PhRvL.111p0405B. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.160405. ISSN  0031-9007. PMID  24182239. S2CID  24507489.
33. Эпплби, Дэвид Маркус (6 мая 2016 г.). «Квантовые ошибки и возмущения: ответ Бушу, Лахти и Вернеру». Энтропия . 18 (5): 174. arXiv : 1602.09002 . Бибкод : 2016Entrp..18..174A. дои : 10.3390/e18050174 .
34. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1. ОСЛК  2284121.
35. Борн, М .; Джордан, П. (1925). «Цур Квантенмеханик». Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B. дои : 10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.
36. Белл, Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Физика Телосложение Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
37. Эйнштейн, А ; Подольский, Б ; Розен, Н. (15 мая 1935 г.). «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?». Физический обзор . 47 (10): 777–780. Бибкод : 1935PhRv...47..777E. дои : 10.1103/PhysRev.47.777 .
38. Сотрудничество по тестированию BIG Bell (9 мая 2018 г.). «Вызов местному реализму с помощью человеческого выбора». Природа . 557 (7704): 212–216. arXiv : 1805.04431 . Бибкод : 2018Natur.557..212B. дои : 10.1038/s41586-018-0085-3. PMID  29743691. S2CID  13665914.
39. Волчовер, Натали (7 февраля 2017 г.). «Эксперимент подтверждает квантовую странность». Журнал Кванта . Проверено 8 февраля 2020 г.
40. См., например:
    • Вигнер, EP (1995), «Die Messung quantenmechanischer Operatingen», в Мехре, Джагдиш (редактор), «Философские размышления и синтезы» , Springer Berlin Heidelberg, стр. 147–154, номер документа : 10.1007/978-3-642-78374- 6_10, ISBN 978-3-540-63372-3
    • Араки, Хузихиро ; Янасэ, Муцуо М. (15 октября 1960 г.). «Измерение квантово-механических операторов». Физический обзор . 120 (2): 622–626. Бибкод : 1960PhRv..120..622A. дои : 10.1103/PhysRev.120.622. ISSN  0031-899X.
    • Янасэ, Муцуо М. (15 июля 1961 г.). «Оптимальная измерительная аппаратура». Физический обзор . 123 (2): 666–668. Бибкод : 1961PhRv..123..666Y. doi : 10.1103/PhysRev.123.666. ISSN  0031-899X.
    • Ахмади, Мехди; Дженнингс, Дэвид; Рудольф, Терри (28 января 2013 г.). «Теорема Вигнера-Араки-Янасе и теория асимметрии квантовых ресурсов». Новый журнал физики . 15 (1): 013057. arXiv : 1209.0921 . Бибкод : 2013NJPh...15a3057A. дои : 10.1088/1367-2630/15/1/013057 . ISSN  1367-2630.
41. Луо, Шэньлун (2003). «Искажение информации Вигнера-Янасе и отношения неопределенности». Письма о физических отзывах . 91 (18): 180403. Бибкод : 2003PhRvL..91r0403L. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.180403. ПМИД  14611271.
42. Камиллери, К.; Шлоссхауэр, М. (2015). «Нильс Бор как философ эксперимента: бросает ли теория декогеренции вызов доктрине классических концепций Бора?». Исследования по истории и философии современной физики . 49 : 73–83. arXiv : 1502.06547 . Бибкод :2015ШПМП..49...73С. дои :10.1016/j.shpsb.2015.01.005. S2CID  27697360.
43. Шлоссхауэр, М. (2019). «Квантовая декогеренция». Отчеты по физике . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Бибкод : 2019PhR...831....1S. doi :10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
44. ДиВинченцо, Дэвид ; Терхал, Барбара (март 1998 г.). «Декогеренция: препятствие квантовым вычислениям». Мир физики . 11 (3): 53–58. дои : 10.1088/2058-7058/11/3/32. ISSN  0953-8585.
45. Терхал, Барбара М. (7 апреля 2015 г.). «Квантовая коррекция ошибок для квантовой памяти». Обзоры современной физики . 87 (2): 307–346. arXiv : 1302.3428 . Бибкод : 2013arXiv1302.3428T. doi : 10.1103/RevModPhys.87.307. ISSN  0034-6861. S2CID  118646257.
46. Рауссендорф, Р.; Браун, Делавэр; Бригель, HJ (2003). «Квантовые вычисления на основе измерений состояний кластера». Физический обзор А. 68 (2): 022312. arXiv : quant-ph/0301052 . Бибкод : 2003PhRvA..68b2312R. doi : 10.1103/PhysRevA.68.022312. S2CID  6197709.
47. Чайлдс, Эндрю М .; Люнг, Дебби В .; Нильсен, Майкл А. (17 марта 2005 г.). «Унифицированные выводы схем квантовых вычислений, основанных на измерениях». Физический обзор А. 71 (3): 032318. arXiv : quant-ph/0404132 . Бибкод : 2005PhRvA..71c2318C. doi :10.1103/PhysRevA.71.032318. ISSN  1050-2947. S2CID  27097365.
48. Гранад, Кристофер; Комбс, Джошуа; Кори, генеральный директор (1 января 2016 г.). «Практическая байесовская томография». Новый журнал физики . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Бибкод : 2016NJPh...18c3024G. дои : 10.1088/1367-2630/18/3/033024. ISSN  1367-2630. S2CID  88521187.
49. Ландин, Дж. С.; Фейто, А.; Кольденстродт-Ронге, Х.; Прегнелл, КЛ; Силберхорн, Ч; Ральф, TC; Эйсерт, Дж.; Пленио, МБ; Уолмсли, Айова (2009). «Томография квантовых детекторов». Физика природы . 5 (1): 27–30. arXiv : 0807.2444 . Бибкод : 2009NatPh...5...27L. дои : 10.1038/nphys1133. ISSN  1745-2481. S2CID  119247440.
50. Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Письма о физических отзывах . 72 (22): 3439–3443. Бибкод : 1994PhRvL..72.3439B. doi : 10.1103/physrevlett.72.3439. ПМИД  10056200.
51. Коберлейн, Брайан (5 декабря 2019 г.). «LIGO будет использовать свет, чтобы преодолеть квантовый шум пустого пространства». Вселенная сегодня . Проверено 2 февраля 2020 г.
52. Болл, Филип (5 декабря 2019 г.). «Фокус: выжать больше из детекторов гравитационных волн». Физика . 12 . дои :10.1103/Физика.12.139. S2CID  216538409.
53. Пайерлс, Рудольф (1991). «В защиту «измерения»". Мир физики . 4 (1): 19–21. doi : 10.1088/2058-7058/4/1/19. ISSN  2058-7058.
54. Барад, Карен (2007). Встреча со Вселенной на полпути: квантовая физика и запутанность материи и смысла . Издательство Университета Дьюка. ISBN 978-0-8223-3917-5. ОСЛК  1055296186.
55. Энглерт, Бертольд-Георг (22 ноября 2013 г.). «О квантовой теории». Европейский физический журнал Д. 67 (11): 238. arXiv : 1308.5290 . Бибкод : 2013EPJD...67..238E. doi : 10.1140/epjd/e2013-40486-5. ISSN  1434-6079. S2CID  119293245.
56. Тейлор, Дж.И. (1909). «Интерференционные полосы слабого света». Труды Кембриджского философского общества . 15 : 114–115.
57. Гбур, Грег (25 августа 2018 г.). «Тейлор видит (слабый) свет (1909)». Черепа в звездах . Проверено 24 октября 2020 г.
58. Мерли, PG; Миссироли, Г.Ф.; Поцци, Дж. (1976). «О статистическом аспекте явлений электронной интерференции». Американский журнал физики . 44 (3): 306–307. Бибкод : 1976AmJPh..44..306M. дои : 10.1119/1.10184.
59. Арндт, Маркус; Наирз, Олаф; Вос-Андреа, Джулиан; Келлер, Клаудия; Ван Дер Зув, Гербранд; Цайлингер, Антон (1999). «Волново-частичный дуализм молекул C60». Природа . 401 (6754): 680–682. Бибкод : 1999Natur.401..680A. дои : 10.1038/44348. PMID  18494170. S2CID  4424892.
60. Кранц, Филип; Бенгтссон, Андреас; Симоен, Микаэль; Густавссон, Саймон; Шумейко, Виталий; Оливер, штат Вашингтон; Уилсон, CM; Дельсинг, Пер; Байландер, Йонас (9 мая 2016 г.). «Однократное считывание сверхпроводящего кубита с использованием параметрического генератора Джозефсона». Природные коммуникации . 7 (1): 11417. arXiv : 1508.02886 . Бибкод : 2016NatCo...711417K. дои : 10.1038/ncomms11417 . ISSN  2041-1723. ПМЦ 4865746 . ПМИД  27156732. 
61. Шлоссхауэр, Максимилиан; Кофлер, Йоханнес; Цайлингер, Антон (6 января 2013 г.). «Снимок фундаментального отношения к квантовой механике». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 44 (3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Бибкод : 2013ШПМП..44..222С. дои :10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
62. Кабельо, Адан (2017). «Интерпретации квантовой теории: карта безумия». В Ломбарди, Олимпия ; Фортин, Себастьян; Холик, Федерико; Лопес, Кристиан (ред.). Что такое квантовая информация? . Издательство Кембриджского университета . стр. 138–143. arXiv : 1509.04711 . Бибкод : 2015arXiv150904711C. дои : 10.1017/9781316494233.009. ISBN 9781107142114. S2CID  118419619.
63. Шаффер, Кэтрин; Баррето Лемос, Габриэла (24 мая 2019 г.). «Уничтожение вещи: введение в «Что» и «И что» в квантовой физике». Основы науки . 26 :7–26. arXiv : 1908.07936 . дои : 10.1007/s10699-019-09608-5. ISSN  1233-1821. S2CID  182656563.
64. Мермин, Н. Дэвид (1 июля 2012 г.). «Комментарий: Квантовая механика: исправление ошибочного раскола». Физика сегодня . 65 (7): 8–10. Бибкод :2012ФТ....65г...8М. дои : 10.1063/PT.3.1618 . ISSN  0031-9228.
65. Баб, Джеффри ; Питовский, Итамар (2010). «Две догмы о квантовой механике». Много миров? . Издательство Оксфордского университета . стр. 433–459. arXiv : 0712.4258 . ISBN 9780199560561. ОСЛК  696602007.
66. фон Нейман, Джон (2018). Уилер, Николас А. (ред.). Математические основы квантовой механики. Новый выпуск . Перевод Роберта Т. Бейера. Издательство Принстонского университета . ISBN 9-781-40088-992-1. ОСЛК  1021172445.
67. Вигнер, Е.П. (1995), «Обзор проблемы квантово-механического измерения», в Мехре, Джагдиш (редактор), «Философские размышления и синтезы» , Springer Berlin Heidelberg, стр. 225–244, doi : 10.1007/978-3 -642-78374-6_19, ISBN 978-3-540-63372-3
68. Фэй, Январь (2019). «Копенгагенская интерпретация квантовой механики». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
69. Белл, Джон (1990). «Против «измерения»". Мир физики . 3 (8): 33–41. doi : 10.1088/2058-7058/3/8/26. ISSN  2058-7058.
70. Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттовских объяснений эволюции, вероятности и научного подтверждения». Много миров? . Издательство Оксфордского университета . стр. 307–354. arXiv : 0905.0624 . ISBN 9780199560561. ОСЛК  696602007.
71. Барретт, Джеффри (2018). «Формулировка квантовой механики Эверетта в относительном состоянии». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
72. Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовский и прагматический взгляд на квантовую теорию». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

дальнейшее чтение

• Уилер, Джон А .; Журек, Войцех Х. , ред. (1983). Квантовая теория и измерения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08316-2.
• Брагинский Владимир Борисович ; Халили, Фарид Я. (1992). Квантовые измерения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-41928-4.
• Гринштейн, Джордж С.; Зайонц, Артур Г. (2006). Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики (2-е изд.). ISBN 978-0763724702.
• Альтер, Орли; Ямамото, Ёсихиса (2001). Квантовые измерения одиночной системы . Нью-Йорк: Уайли. дои : 10.1002/9783527617128. ISBN 9780471283089.