Топология (от греческих слов τόπος — «место, расположение» и λόγος — «учение») — раздел математики, изучающий свойства геометрического объекта , которые сохраняются при непрерывных деформациях , таких как растяжение , скручивание , смятие и изгибание, то есть без закрытия отверстий, открытия отверстий, разрыва, склеивания или прохождения через себя.
Топологическое пространство — это множество , наделенное структурой, называемой топологией , которая позволяет определять непрерывную деформацию подпространств и, в более общем смысле, все виды непрерывности . Евклидовы пространства и, в более общем смысле, метрические пространства являются примерами топологических пространств, поскольку любое расстояние или метрика определяют топологию. Деформации, которые рассматриваются в топологии, — это гомеоморфизмы и гомотопии . Свойство, которое инвариантно относительно таких деформаций, является топологическим свойством . Ниже приведены основные примеры топологических свойств: размерность , которая позволяет различать линию и поверхность ; компактность , которая позволяет различать линию и окружность; связность , которая позволяет различать окружность и две непересекающиеся окружности.
Идеи, лежащие в основе топологии, восходят к Готфриду Вильгельму Лейбницу , который в XVII веке представил geometria situs и analysis situs . Задача о семи мостах Кёнигсберга и формула многогранника Леонарда Эйлера , возможно, являются первыми теоремами в этой области. Термин топология был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в XIX веке, хотя идея топологического пространства была разработана только в первые десятилетия XX века.
Мотивирующее понимание топологии заключается в том, что некоторые геометрические проблемы зависят не от точной формы вовлеченных объектов, а от того, как они соединены. Например, квадрат и круг имеют много общих свойств: они оба являются одномерными объектами (с топологической точки зрения) и оба разделяют плоскость на две части, часть внутри и часть снаружи.
В одной из первых работ по топологии Леонард Эйлер продемонстрировал, что невозможно найти маршрут через город Кёнигсберг (ныне Калининград ), который пересекал бы каждый из его семи мостов ровно один раз. Этот результат не зависел от длины мостов или их расстояния друг от друга, а только от свойств связности: какие мосты соединяются с какими островами или берегами рек. Эта задача о семи мостах Кёнигсберга привела к разделу математики, известному как теория графов .
Аналогично, теорема о волосатом шаре алгебраической топологии гласит, что «нельзя расчесать волосы на волосатом шаре, не создав вихра ». Этот факт сразу убеждает большинство людей, даже если они не признают более формального утверждения теоремы о том, что на сфере не существует неисчезающего непрерывного касательного векторного поля . Как и в случае с мостами Кенигсберга , результат не зависит от формы сферы; он применим к любому гладкому пятну, если в нем нет дырок.
Чтобы иметь дело с этими проблемами, которые не зависят от точной формы объектов, нужно четко представлять, на каких именно свойствах эти проблемы основаны. Из этой потребности возникает понятие гомеоморфизма . Невозможность пересечь каждый мост только один раз применима к любой конфигурации мостов, гомеоморфной мостам в Кенигсберге, а теорема о волосатом шаре применима к любому пространству, гомеоморфному сфере.
Интуитивно два пространства гомеоморфны, если одно можно деформировать в другое без разрезания или склеивания. Традиционная шутка заключается в том, что тополог не может отличить кофейную кружку от пончика, поскольку достаточно гибкий пончик можно переделать в кофейную чашку, создав углубление и постепенно увеличивая его, одновременно сжимая отверстие в ручку. [1]
Гомеоморфизм можно считать самой базовой топологической эквивалентностью . Другой — гомотопическая эквивалентность . Это сложнее описать, не вдаваясь в технические подробности, но основная идея заключается в том, что два объекта гомотопически эквивалентны, если они оба являются результатом «сплющивания» некоторого большего объекта.
Топология, как четко определенная математическая дисциплина, берет свое начало в начале двадцатого века, но некоторые отдельные результаты можно проследить на несколько столетий назад. [2] Среди них есть определенные вопросы геометрии, исследованные Леонардом Эйлером . Его работа 1736 года о семи мостах Кенигсберга считается одним из первых практических приложений топологии. [2] 14 ноября 1750 года Эйлер написал другу, что он осознал важность ребер многогранника . Это привело к его формуле многогранника , V − E + F = 2 (где V , E , и F соответственно указывают число вершин, ребер и граней многогранника). Некоторые авторитеты считают этот анализ первой теоремой, знаменующей рождение топологии. [3]
Дальнейший вклад внесли Огюстен-Луи Коши , Людвиг Шлефли , Иоганн Бенедикт Листинг , Бернхард Риман и Энрико Бетти . [4] Листинг ввел термин «Topologie» в работе «Vorstudien zur Topologie» , написанной на его родном немецком языке в 1847 году, использовав это слово в течение десяти лет в переписке, прежде чем оно впервые появилось в печати. [5] Английская форма «topology» была использована в 1883 году в некрологе Листинга в журнале Nature, чтобы отличить «качественную геометрию от обычной геометрии, в которой в основном рассматриваются количественные отношения». [6]
Их работа была исправлена, консолидирована и значительно расширена Анри Пуанкаре . В 1895 году он опубликовал свою новаторскую работу по Analysis Situs , в которой были введены понятия, ныне известные как гомотопия и гомология , которые теперь считаются частью алгебраической топологии . [4]
Объединив работу над функциональными пространствами Георга Кантора , Вито Вольтерры , Чезаре Арцелы , Жака Адамара , Джулио Асколи и других, Морис Фреше ввел метрическое пространство в 1906 году. [7] Метрическое пространство теперь считается частным случаем общего топологического пространства, причем любое заданное топологическое пространство потенциально порождает множество различных метрических пространств. В 1914 году Феликс Хаусдорф ввел термин «топологическое пространство» и дал определение тому, что сейчас называется хаусдорфовым пространством . [8] В настоящее время топологическое пространство является небольшим обобщением хаусдорфовых пространств, данным в 1922 году Казимежем Куратовским . [9]
Современная топология во многом зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантором в конце 19 века. Помимо установления основных идей теории множеств, Кантор рассматривал точечные множества в евклидовом пространстве как часть своего исследования рядов Фурье . Для дальнейшего развития см. топологию точечных множеств и алгебраическую топологию.
Премия Абеля 2022 года была присуждена Деннису Салливану «за его новаторский вклад в топологию в самом широком смысле и, в частности, в ее алгебраические, геометрические и динамические аспекты» [10] .
Термин топология также относится к определенной математической идее, являющейся центральной в области математики, называемой топологией. Неформально топология описывает, как элементы множества пространственно соотносятся друг с другом. Одно и то же множество может иметь разные топологии. Например, действительную прямую , комплексную плоскость и множество Кантора можно рассматривать как одно и то же множество с разными топологиями.
Формально, пусть X — множество, а τ — семейство подмножеств X. Тогда τ называется топологией на X , если:
Если τ — топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством. Обозначение X τ может быть использовано для обозначения множества X, наделенного конкретной топологией τ . По определению, каждая топология является π -системой .
Члены τ называются открытыми множествами в X. Подмножество X называется замкнутым, если его дополнение содержится в τ (то есть его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, замкнутым, обоими (открыто -замкнутое множество ) или ни тем, ни другим. Пустое множество и само X всегда являются как замкнутыми , так и открытыми. Открытое подмножество X , содержащее точку x, называется открытой окрестностью x .
Функция или отображение из одного топологического пространства в другое называется непрерывным , если обратный образ любого открытого множества является открытым. Если функция отображает действительные числа в действительные числа (оба пространства со стандартной топологией), то это определение непрерывности эквивалентно определению непрерывности в исчислении . Если непрерывная функция является взаимно однозначной и на , и если обратная функция также непрерывна, то функция называется гомеоморфизмом, а область определения функции называется гомеоморфной диапазону. Другой способ сказать это состоит в том, что функция имеет естественное расширение топологии. Если два пространства гомеоморфны, они имеют идентичные топологические свойства и считаются топологически одинаковыми. Куб и сфера гомеоморфны, как и чашка кофе и пончик. Однако сфера не гомеоморфна пончику.
В то время как топологические пространства могут быть чрезвычайно разнообразными и экзотическими, многие области топологии сосредоточены на более знакомом классе пространств, известных как многообразия. Многообразие — это топологическое пространство, которое напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки. Точнее, каждая точка n -мерного многообразия имеет окрестность , гомеоморфную евклидову пространству размерности n . Прямые и окружности , но не восьмерки , являются одномерными многообразиями. Двумерные многообразия также называются поверхностями , хотя не все поверхности являются многообразиями. Примерами являются плоскость , сфера и тор , которые все могут быть реализованы без самопересечения в трех измерениях, а также бутылка Клейна и действительная проективная плоскость , которые не могут (то есть все их реализации являются поверхностями, которые не являются многообразиями).
Общая топология — раздел топологии, занимающийся основными теоретико-множественными определениями и конструкциями, используемыми в топологии. [11] [12] Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Другое название общей топологии — точечно-множественная топология.
Основным объектом изучения являются топологические пространства , которые являются множествами, снабженными топологией , то есть семейством подмножеств , называемых открытыми множествами , которые замкнуты относительно конечных пересечений и (конечных или бесконечных) объединений . Фундаментальные понятия топологии, такие как непрерывность , компактность и связность , могут быть определены в терминах открытых множеств. Интуитивно непрерывные функции переводят близлежащие точки в близлежащие точки. Компактные множества — это те, которые могут быть покрыты конечным числом множеств произвольно малого размера. Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга. Слова рядом , произвольно мало и далеко друг от друга можно сделать точными, используя открытые множества. На данном пространстве можно определить несколько топологий. Изменение топологии состоит в изменении набора открытых множеств. Это меняет то, какие функции являются непрерывными, а какие подмножества являются компактными или связными.
Метрические пространства — важный класс топологических пространств, в котором расстояние между любыми двумя точками определяется функцией, называемой метрикой . В метрическом пространстве открытое множество — это объединение открытых дисков, где открытый диск радиуса r с центром в точке x — это множество всех точек, расстояние до которых до x меньше r . Многие общие пространства — это топологические пространства, топология которых может быть определена метрикой. Это касается действительной прямой , комплексной плоскости , действительных и комплексных векторных пространств и евклидовых пространств . Наличие метрики упрощает многие доказательства.
Алгебраическая топология — раздел математики, который использует инструменты алгебры для изучения топологических пространств. [13] Основная цель — найти алгебраические инварианты, которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма, хотя обычно большинство классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности.
Наиболее важными из этих инвариантов являются гомотопические группы , гомологии и когомологии .
Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, использование топологии для решения алгебраических проблем иногда также возможно. Например, алгебраическая топология позволяет получить удобное доказательство того, что любая подгруппа свободной группы снова является свободной группой.
Дифференциальная топология — это область, изучающая дифференцируемые функции на дифференцируемых многообразиях . [14] Она тесно связана с дифференциальной геометрией , и вместе они составляют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий.
Более конкретно, дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, которые требуют только гладкой структуры на многообразии для определения. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут выступать в качестве препятствий для определенных типов эквивалентностей и деформаций , которые существуют в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии – то есть, можно плавно «выровнять» определенные многообразия, но это может потребовать искажения пространства и воздействия на кривизну или объем.
Геометрическая топология — это раздел топологии, который в первую очередь фокусируется на многообразиях низкой размерности (то есть пространствах размерности 2, 3 и 4) и их взаимодействии с геометрией, но также включает в себя некоторую топологию более высокой размерности. [15] Некоторые примеры тем в геометрической топологии: ориентируемость , разложение на ручки , локальная плоскость , смятие, а также плоская и многомерная теорема Шёнфлиса .
В многомерной топологии характеристические классы являются базовым инвариантом, а теория хирургии — ключевой теорией.
Низкоразмерная топология является строго геометрической, что отражено в теореме об униформизации в 2 измерениях — каждая поверхность допускает постоянную метрику кривизны; геометрически она имеет одну из 3 возможных геометрий: положительную кривизну /сферическую, нулевую кривизну/плоскую и отрицательную кривизну/гиперболическую — и в гипотезе геометризации (теперь теореме) в 3 измерениях — каждое 3-многообразие можно разрезать на части, каждая из которых имеет одну из восьми возможных геометрий.
Двумерную топологию можно изучать как комплексную геометрию с одной переменной ( римановы поверхности являются комплексными кривыми) – по теореме об униформизации каждый конформный класс метрик эквивалентен единственному комплексному, а четырехмерную топологию можно изучать с точки зрения комплексной геометрии с двумя переменными (комплексные поверхности), хотя не каждое четырехмерное многообразие допускает сложную структуру.
Иногда нужно использовать инструменты топологии, но «множество точек» недоступно. В топологии без точек вместо этого рассматривается решетка открытых множеств как основное понятие теории, [16] в то время как топологии Гротендика являются структурами, определенными на произвольных категориях , которые позволяют определять пучки на этих категориях, а вместе с этим и определять общие теории когомологий. [17]
Топология использовалась для изучения различных биологических систем, включая молекулы и наноструктуры (например, мембранные объекты). В частности, топология цепей и теория узлов широко применялись для классификации и сравнения топологии свернутых белков и нуклеиновых кислот. Топология цепей классифицирует свернутых молекулярных цепей на основе парного расположения их внутрицепочечных контактов и пересечений цепей. Теория узлов , раздел топологии, используется в биологии для изучения эффектов определенных ферментов на ДНК. Эти ферменты разрезают, скручивают и повторно соединяют ДНК, вызывая образование узлов с наблюдаемыми эффектами, такими как более медленный электрофорез . [18]
Топологический анализ данных использует методы алгебраической топологии для определения крупномасштабной структуры множества (например, определение того, является ли облако точек сферическим или тороидальным ). Основной метод, используемый топологическим анализом данных, заключается в следующем:
Несколько ветвей семантики языков программирования , таких как теория доменов , формализуются с использованием топологии. В этом контексте Стив Викерс , основываясь на работах Сэмсона Абрамски и Майкла Б. Смита, характеризует топологические пространства как булевы или гейтинговские алгебры над открытыми множествами, которые характеризуются как полуразрешимые (эквивалентно, конечно наблюдаемые) свойства. [20]
Топология имеет отношение к физике в таких областях, как физика конденсированного состояния , [21] квантовая теория поля и физическая космология .
Топологическая зависимость механических свойств в твердых телах представляет интерес для дисциплин машиностроения и материаловедения . Электрические и механические свойства зависят от расположения и сетевых структур молекул и элементарных единиц в материалах. [22] Прочность на сжатие смятых топологий изучается в попытках понять высокую прочность на вес таких структур, которые в основном представляют собой пустое пространство. [23] Топология имеет еще большее значение в контактной механике , где зависимость жесткости и трения от размерности поверхностных структур является предметом интереса с приложениями в физике многих тел.
Топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля, или TQFT) — это квантовая теория поля, которая вычисляет топологические инварианты .
Хотя TQFT были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, будучи связанными, среди прочего, с теорией узлов , теорией четырехмерных многообразий в алгебраической топологии и теорией модульных пространств в алгебраической геометрии. Дональдсон , Джонс , Виттен и Концевич получили медали Филдса за работы, связанные с топологической теорией поля.
Топологическая классификация многообразий Калаби-Яу имеет важные последствия в теории струн , поскольку различные многообразия могут поддерживать различные виды струн. [24]
В космологии топология может использоваться для описания общей формы Вселенной . [25] Эта область исследований обычно известна как топология пространства-времени .
В конденсированном веществе соответствующее приложение к топологической физике возникает из возможности получения одностороннего тока, который является током, защищенным от обратного рассеяния. Впервые он был обнаружен в электронике с помощью известного квантового эффекта Холла , а затем обобщен в других областях физики, например, в фотонике [26] ФДМ Холдейном .
Возможные положения робота можно описать многообразием, называемым конфигурационным пространством . [27] В области планирования движения находятся пути между двумя точками в конфигурационном пространстве. Эти пути представляют собой движение суставов и других частей робота в желаемую позу. [28]
Головоломки на распутывание основаны на топологических аспектах форм и компонентов головоломки. [29] [30] [31]
Для того, чтобы создать непрерывное соединение частей в модульной конструкции, необходимо создать непрерывный путь в порядке, который окружает каждую часть и пересекает каждое ребро только один раз. Этот процесс является применением эйлерова пути . [32]
