Линия (геометрия)

Прямая фигура с нулевой шириной и глубиной

Красная линия около начала координат в двумерной декартовой системе координат

В геометрии прямая линия , обычно сокращенно line , — это бесконечно длинный объект без ширины, глубины или кривизны , идеализация таких физических объектов, как линейка , натянутая струна или луч света . Линии — это пространства размерности один , которые могут быть вложены в пространства размерности два, три или выше. Слово line может также относиться в повседневной жизни к отрезку линии , который является частью линии, ограниченной двумя точками (ее конечными точками ).

В «Началах » Евклида прямая линия определяется как «длина без ширины», которая «равномерно лежит относительно точек на себе», и вводится несколько постулатов в качестве основных недоказуемых свойств, на которых основана остальная геометрия. Евклидова прямая и евклидова геометрия — это термины, введенные для того, чтобы избежать путаницы с обобщениями, введенными с конца XIX века, такими как неевклидова , проективная и аффинная геометрия .

Характеристики

В греческой дедуктивной геометрии « Начал » Евклида общая линия (теперь называемая кривой ) определяется как «длина без ширины», а прямая линия (теперь называемая отрезком прямой ) определяется как линия, «которая равномерно лежит с точками на себе». ^{[1] : 291} Эти определения апеллируют к физическому опыту читателей, опираясь на термины, которые сами по себе не определены, и определения никогда явно не упоминаются в оставшейся части текста. В современной геометрии линия обычно либо рассматривается как примитивное понятие со свойствами, заданными аксиомами , ^{[1] : 95} , либо определяется как набор точек, подчиняющихся линейной зависимости, например, когда действительные числа принимаются за примитивные, а геометрия устанавливается аналитически в терминах числовых координат .

В аксиоматической формулировке евклидовой геометрии, например, у Гильберта (современные математики добавили к исходным аксиомам Евклида, чтобы заполнить воспринимаемые логические пробелы), ^{[1] : 108} утверждается, что линия имеет определенные свойства, которые связывают ее с другими линиями и точками . Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные линии пересекаются не более чем в одной точке. ^{[1] : 300} В двух измерениях (т. е. в евклидовой плоскости ) две непересекающиеся линии называются параллельными . В более высоких измерениях две непересекающиеся линии являются параллельными, если они содержатся в плоскости , или скрещиваются, если они не содержатся в плоскости.

На евклидовой плоскости линия может быть представлена ​​как граница между двумя областями. ^{[2] : 104} Любой набор из конечного числа линий разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); это разбиение известно как расположение линий .

В более высоких измерениях

В трехмерном пространстве уравнение первой степени относительно переменных x , y и z определяет плоскость, поэтому два таких уравнения, при условии, что плоскости, которые они порождают, не параллельны, определяют линию, которая является пересечением плоскостей. В более общем смысле, в n -мерном пространстве n −1 уравнений первой степени относительно n координатных переменных определяют линию при подходящих условиях.

В более общем евклидовом пространстве R n ⁽ и аналогично в любом другом аффинном пространстве ) прямая L, проходящая через две различные точки a и b, является подмножеством Направление прямой — от опорной точки a ( t = 0) к другой точке b ( t = 1), или, другими словами, в направлении вектора b  −  a . Различные выборы a и b могут дать одну и ту же прямую. $${\displaystyle L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.}$$

Коллинеарные точки

Три или более точек называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Если три точки не коллинеарны, то существует ровно одна плоскость , которая их содержит.

В аффинных координатах в n -мерном пространстве точки X = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), Y = ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) и Z = ( z ₁ , z ₂ , ..., z _n ) являются коллинеарными, если ранг матрицы меньше 3. В частности, для трех точек на плоскости ( n = 2) указанная выше матрица является квадратной, а точки являются коллинеарными тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{n}\end{bmatrix}}}$$

Эквивалентно для трех точек на плоскости, точки коллинеарны тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равен другим наклонам). По сути, k точек на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда любые ( k –1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В евклидовой геометрии евклидово расстояние d ( a , b ) между двумя точками a и b может быть использовано для выражения коллинеарности между тремя точками с помощью: ^{[3] [4]}

Точки a , b и c лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда d ( x , a ) = d ( c , a ) и d ( x , b ) = d ( c , b ) влечет x = c .

Однако существуют и другие понятия расстояния (например, манхэттенское расстояние ), для которых это свойство неверно.

В геометриях, где концепция линии является примитивным понятием , как это может быть в некоторых синтетических геометриях , необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы

Касательная к кривой. Красная линия касается кривой в точке, отмеченной красной точкой.

В некотором смысле, ^[a] все линии в евклидовой геометрии равны, в том смысле, что без координат их невозможно отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам в геометрии и делиться на типы в соответствии с этим отношением. Например, по отношению к коническому сечению ( окружности , эллипсу , параболе или гиперболе ) линии могут быть:

• касательные линии , которые касаются конического сечения в одной точке;
• секущие линии , которые пересекают конику в двух точках и проходят через ее внутреннюю часть; ^[5]
• внешние линии, которые не пересекают конику ни в одной точке евклидовой плоскости; или
• директриса , расстояние от которой до точки помогает установить , находится ли точка на коническом сечении.
• координатная линия , линейный координатный размер

В контексте определения параллельности в евклидовой геометрии трансверсаль — это линия, пересекающая две другие линии, которые могут быть параллельны или не параллельны друг другу.

Для более общих алгебраических кривых линии также могут быть:

• i -секущие линии, пересекающие кривую в i точках, подсчитанных без кратности, или
• асимптоты , к которым кривая приближается произвольно близко, не касаясь их. ^[6]

Относительно треугольников имеем:

• линия Эйлера ,
• линии Симсона и
• центральные линии .

Для выпуклого четырехугольника с максимум двумя параллельными сторонами линия Ньютона — это линия, соединяющая середины двух диагоналей . ^[7]

Для шестиугольника с вершинами, лежащими на конике, мы имеем прямую Паскаля , а в частном случае, когда коника представляет собой пару прямых, мы имеем прямую Паппа .

Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не пересекающиеся. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Совпадающие прямые совпадают друг с другом — каждая точка, которая находится на одной из них, также находится и на другой.

Перпендикулярные линии — это линии, пересекающиеся под прямым углом . ^[8]

В трехмерном пространстве скрещивающиеся прямые — это линии, которые не лежат в одной плоскости и, следовательно, не пересекаются друг с другом.

В аксиоматических системах

Понятие линии часто рассматривается в геометрии как примитивное понятие в аксиоматических системах , ^{[1] : 95} что означает, что оно не определяется другими понятиями. ^[9] В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии , некоторые другие фундаментальные идеи принимаются как примитивные. Когда понятие линии является примитивным, свойства линий диктуются аксиомами , которым они должны удовлетворять.

В неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы с ней иметь дело. В этом случае можно предоставить описание или мысленный образ примитивного понятия, чтобы дать основу для построения понятия, на котором формально базировались бы (неуказанные) аксиомы. Описания этого типа могут упоминаться некоторыми авторами как определения в этом неформальном стиле изложения. Это не истинные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» линии в « Началах» Евклида попадает в эту категорию. ^{[1] : 95} Даже в случае, когда рассматривается конкретная геометрия (например, евклидова геометрия ), среди авторов нет общепринятого соглашения относительно того, каким должно быть неформальное описание линии, когда предмет не рассматривается формально.

Определение

Линейное уравнение

Линейные графики линейных уравнений на декартовой плоскости

Линии в декартовой плоскости или, более общо, в аффинных координатах характеризуются линейными уравнениями. Точнее, каждая линия (включая вертикальные линии) представляет собой множество всех точек, координаты ( x , y ) которых удовлетворяют линейному уравнению; то есть, где a , b и c — фиксированные действительные числа (называемые коэффициентами ), такие, что a и b не равны нулю одновременно. Используя эту форму, вертикальные линии соответствуют уравнениям с b = 0. ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$$

Далее можно предположить, что либо c = 1 , либо c = 0 , разделив все на c, если оно не равно нулю.

Существует много вариантов записи уравнения прямой, которые все могут быть преобразованы из одного в другой с помощью алгебраических манипуляций. Вышеуказанная форма иногда называется стандартной формой . Если постоянный член поместить слева, уравнение становится и это иногда называют общей формой уравнения. Однако эта терминология не является общепринятой, и многие авторы не различают эти две формы. $${\displaystyle ax+by-c=0,}$$

Эти формы обычно называются по типу информации (данных) о линии, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии — это ее наклон, x-пересечение , известные точки на линии и y-пересечение.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки , можно записать как Если x ₀ ≠ x ₁ , это уравнение можно переписать как или В двух измерениях уравнение для невертикальных прямых часто задается в форме наклона-пересечения : ${\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$ $${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).}$$ $${\displaystyle y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}}$$ $${\displaystyle y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.}$$

$${\displaystyle y=mx+b}$$где:

• m — наклон или градиент линии.
• b — точка пересечения прямой с осью Y.
• x — независимая переменная функции y = f ( x ) .

Наклон прямой, проходящей через точки и , когда , определяется выражением и уравнение этой прямой можно записать . ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$ ${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$ ${\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$ ${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}}$

В качестве примечания, линии в трех измерениях также могут быть описаны как одновременные решения двух линейных уравнений, таких что и не пропорциональны (соотношения подразумевают ). Это следует из того, что в трех измерениях одно линейное уравнение обычно описывает плоскость , а линия — это то, что является общим для двух различных пересекающихся плоскостей. $${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$$ $${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$$ ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$ ${\displaystyle t=0}$

Параметрическое уравнение

Параметрические уравнения также используются для описания линий, особенно в трехмерном и более пространстве, поскольку в более чем двух измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением.

В трехмерном пространстве линии часто описываются параметрическими уравнениями: где: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

• x , y и z являются функциями независимой переменной t, которая принимает значения в диапазоне действительных чисел.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — любая точка на прямой.
• a , b и c связаны с наклоном линии таким образом, что вектор направления ( a , b , c ) параллелен линии.

Параметрические уравнения для линий в более высоких измерениях аналогичны тем, что они основаны на задании одной точки на линии и вектора направления.

Нормальная форма Гессе

Расстояние от начала координат O до прямой E, вычисленное с помощью нормальной формы Гессе. Вектор нормали обозначен красным, прямая обозначена зеленым, точка O обозначена синим.

Нормальная форма (также называемая нормальной формой Гессе [ ^10] в честь немецкого математика Людвига Отто Гессе ) основана на нормальном сегменте для данной линии, который определяется как отрезок прямой, проведенный из начала координат перпендикулярно к линии. Этот отрезок соединяет начало координат с ближайшей к началу координат точкой на линии. Нормальная форма уравнения прямой линии на плоскости задается следующим образом: где — угол наклона нормального сегмента (ориентированный угол между единичным вектором оси x и этим сегментом), а p — (положительная) длина нормального сегмента. Нормальная форма может быть получена из стандартной формы путем деления всех коэффициентов на $${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ax+by=c}$ $${\displaystyle {\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$$

В отличие от форм наклон-пересечение и пересечение, эта форма может представлять любую линию, но также требует указания только двух конечных параметров и p . Если p > 0 , то однозначно определяется по модулю 2 π . С другой стороны, если линия проходит через начало координат ( c = p = 0 ), то для вычисления и опускаем член c /| c | , и отсюда следует, что определяется только по модулю π . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sin \varphi }$ ${\displaystyle \cos \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Другие представления

Векторы

Вектор уравнения прямой, проходящей через точки A и B, задается выражением (где λ — скаляр ). ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$

Если a — вектор OA , а b — вектор OB , то уравнение прямой можно записать: . ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$

Луч, исходящий из точки A, описывается ограничением λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч исходит из λ ≤ 0.

Полярные координаты

Линия в полярных координатах, не проходящая через начало координат, с общим параметрическим уравнением, записанным выше

В декартовой плоскости полярные координаты ( r , θ ) связаны с декартовыми координатами параметрическими уравнениями: ^[11] $${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

В полярных координатах уравнение прямой, не проходящей через начало координат — точку с координатами (0, 0), — можно записать при r > 0 и Здесь p — (положительная) длина отрезка прямой, перпендикулярного прямой и ограниченного началом координат и прямой, а — (ориентированный) угол между осью x и этим отрезком. $${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$$ ${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$ ${\displaystyle \varphi }$

Может быть полезно выразить уравнение через угол между осью x и прямой. В этом случае уравнение становится с r > 0 и ${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$$ ${\displaystyle 0<\theta <\alpha +\pi .}$

Эти уравнения можно вывести из нормальной формы уравнения линии, установив и , а затем применив тождество разности углов для синуса или косинуса. ${\displaystyle x=r\cos \theta ,}$ ${\displaystyle y=r\sin \theta ,}$

Эти уравнения можно доказать и геометрически, применив определения синуса и косинуса для прямоугольного треугольника к прямоугольному треугольнику , вершинами которого являются прямая и начало координат, а сторонами — прямая и ее перпендикуляр, проходящий через начало координат.

Предыдущие формы не применимы для прямой, проходящей через начало координат, но можно записать более простую формулу: полярные координаты точек прямой, проходящей через начало координат и составляющей угол с осью x , представляют собой пары, такие что ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$$

Обобщения евклидовой прямой

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , но в более абстрактной обстановке, такой как геометрия инцидентности , линия может быть независимым объектом, отличным от множества точек, которые лежат на ней.

Когда геометрия описывается набором аксиом , понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Свойства линий затем определяются аксиомами, которые ссылаются на них. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линия может интерпретироваться как геодезическая (кратчайший путь между точками), в то время как в некоторых проективных геометриях линия является двумерным векторным пространством (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость также выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам думать о пути светового луча как о линии.

Проективная геометрия

Большой круг делит сферу на две равные полусферы, удовлетворяя при этом свойству «отсутствия кривизны».

Во многих моделях проективной геометрии представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как оно визуализируется в евклидовой геометрии. В эллиптической геометрии мы видим типичный пример этого. ^{[1] : 108} В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большими окружностями сферы с диаметрально противоположными точками, отождествленными. В другой модели эллиптической геометрии линии представлены евклидовыми плоскостями, проходящими через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различимы, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

«Короткость» и «прямолинейность» линии, интерпретируемые как свойство, при котором расстояние вдоль линии между любыми двумя ее точками минимизируется (см. неравенство треугольника ), могут быть обобщены и приводят к концепции геодезических в метрических пространствах .

Расширения

Рэй

Луч с концом в точке А, с двумя точками В и С справа

Если задана прямая и любая точка A на ней, мы можем рассматривать A как разложение этой прямой на две части. Каждая такая часть называется лучом , а точка A называется его начальной точкой . Она также известна как полупрямая , одномерное полупространство . Точка A считается членом луча. ^[b] Интуитивно, луч состоит из тех точек на прямой, которые проходят через A и продолжаются бесконечно, начиная с A , только в одном направлении вдоль прямой. Однако для того, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

При наличии различных точек A и B они определяют уникальный луч с начальной точкой A. Поскольку две точки определяют уникальную прямую, этот луч состоит из всех точек между A и B (включая A и B ) и всех точек C на прямой, проходящей через A и B, таких , что B находится между A и C. ^[12] Иногда это также выражается как множество всех точек C на прямой, определяемой A и B, таких, что A не находится между B и C. ^[13] Точка D на прямой, определяемой A и B, но не на луче с начальной точкой A, определяемой B , определит другой луч с начальной точкой A. По отношению к лучу AB луч AD называется противоположным лучом .

Таким образом, мы бы сказали, что две различные точки, A и B , определяют прямую и разложение этой прямой в несвязное объединение открытого отрезка ( A ,  B ) и двух лучей, BC и AD (точка D не изображена на схеме, но находится слева от A на прямой AB ). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общей конечной точкой образуют угол . ^[14]

Определение луча зависит от понятия промежуточности для точек на прямой. Из этого следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых это понятие существует, обычно евклидова геометрия или аффинная геометрия над упорядоченным полем . С другой стороны, лучи не существуют ни в проективной геометрии , ни в геометрии над неупорядоченным полем, таким как комплексные числа или любое конечное поле .

Сегмент линии

Рисование отрезка «АВ» на прямой «а»

Сегмент линии — это часть линии, которая ограничена двумя различными конечными точками и содержит каждую точку на линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен сегмент линии, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью сегмента линии. Два или более сегментов линии могут иметь некоторые из тех же отношений, что и линии, например, быть параллельными, пересекающимися или скошенными, но в отличие от линий они могут не быть ни одним из этих отношений, если они копланарны и либо не пересекаются, либо являются коллинеарными .

Числовая прямая

Числовая прямая, с переменной x слева и y справа. Следовательно, x меньше, чем y.

Точка на числовой прямой соответствует действительному числу и наоборот. ^[15] Обычно целые числа равномерно распределены на прямой, причем положительные числа находятся справа, отрицательные — слева. В качестве расширения концепции воображаемая прямая , представляющая мнимые числа, может быть проведена перпендикулярно числовой прямой в нуле. ^[16] Две прямые образуют комплексную плоскость , геометрическое представление множества комплексных чисел .

Смотрите также

• Аффинное преобразование
• Координатная ось
• Изгиб
• Расстояние между двумя параллельными прямыми
• Расстояние от точки до линии
• Плоский (геометрия)
• Инцидентность (геометрия)
• Сегмент линии
• Обобщенный круг
• Локус
• Плоскость (геометрия)
• Полилиния

Примечания

1. Технически группа коллинеаций действует транзитивно на множестве прямых.
2. Иногда мы можем рассматривать луч без его начальной точки. Такие лучи называются открытыми лучами, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрытым .

Ссылки

1. Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
2. Фостер, Колин (2010), Ресурсы для преподавания математики, 14–16, Нью-Йорк: Continuum International Pub. Group, ISBN 978-1-4411-3724-1, OCLC  747274805
3. Падоа, Алессандро (1900), Новая система определений для евклидийской геометрии (на французском языке), Международный конгресс математиков
4. Рассел, Бертран , Принципы математики , стр. 410
5. Проттер, Мюррей Х.; Проттер, Филип Э. (1988), Исчисление с аналитической геометрией, Jones & Bartlett Learning, стр. 62, ISBN 9780867200935
6. Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Mathematics Magazine , 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72 , doi :10.2307/2690881, JSTOR  2690881 
7. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , MAA, стр. 108–109, ISBN 9780883853481( электронная копия , стр. 108, в Google Books )
8. Кей, Дэвид С. (1969), College Geometry , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , стр. 114, ISBN 978-0030731006, LCCN  69-12075, OCLC  47870
9. Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, стр. 4, ISBN 0-471-18283-4
10. Бохер, Максим (1915), Аналитическая геометрия плоскости: с вводными главами по дифференциальному исчислению, Х. Холт, стр. 44, архивировано из оригинала 2016-05-13
11. Торренс, Брюс Ф.; Торренс, Ив А. (29 января 2009 г.), Введение в MATHEMATICA для студентов: Справочник по предвычислениям, исчислению и линейной алгебре , Cambridge University Press , стр. 314, ISBN 9781139473736
12. Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 59, определение 3, ISBN 0-07-072191-2
13. Педоу, Дэн (1988), Геометрия: всеобъемлющий курс , Минеола, Нью-Йорк: Довер, стр. 2, ISBN 0-486-65812-0
14. Сидоров, Л.А. (2001) [1994], «Угол», Энциклопедия математики , EMS Press
15. Стюарт, Джеймс Б .; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008), College Algebra (5-е изд.), Brooks Cole , стр. 13–19, ISBN 978-0-495-56521-5
16. Паттерсон, BC (1941), «Инверсионная плоскость», The American Mathematical Monthly , 48 (9): 589–599, doi :10.2307/2303867, JSTOR  2303867, MR  0006034

Внешние ссылки

• «Линия (кривая)», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения прямой линии в Cut-the-Knot