В математике изоморфизм — это сохраняющее структуру отображение между двумя структурами одного и того же типа, которое может быть обращено обратным отображением . Две математические структуры изоморфны, если между ними существует изоморфизм. Слово изоморфизм происходит от древнегреческого : ἴσος isos «равный» и μορφή morphe «форма» или «очертание».
Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта имеют одинаковые свойства (исключая дополнительную информацию, такую как дополнительная структура или имена объектов). Таким образом, изоморфные структуры не могут быть различимы с точки зрения только структуры и могут быть идентифицированы. На математическом жаргоне говорят, что два объекта одинаковы с точностью до изоморфизма . [ требуется цитата ]
Автоморфизм — это изоморфизм структуры в себя. Изоморфизм между двумя структурами является каноническим изоморфизмом ( каноническим отображением, которое является изоморфизмом), если между двумя структурами существует только один изоморфизм (как в случае решений универсального свойства ), или если изоморфизм гораздо более естественен (в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простого числа p все поля с p элементами канонически изоморфны, с единственным изоморфизмом. Теоремы об изоморфизме предоставляют канонические изоморфизмы, которые не являются единственными.
Термин изоморфизм в основном используется для алгебраических структур . В этом случае отображения называются гомоморфизмами , а гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией .
В различных областях математики изоморфизмы получили специальные названия, в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например:
Теория категорий , которую можно рассматривать как формализацию концепции отображения между структурами, предоставляет язык, который может быть использован для унификации подхода к этим различным аспектам базовой идеи.
Пусть — мультипликативная группа положительных действительных чисел , а — аддитивная группа действительных чисел.
Логарифмическая функция удовлетворяет для всех , поэтому она является гомоморфизмом групп . Экспоненциальная функция удовлетворяет для всех , поэтому она также является гомоморфизмом.
Тождества и показывают, что и являются обратными друг другу. Поскольку — гомоморфизм, имеющий обратный, который также является гомоморфизмом, — изоморфизм групп.
Функция является изоморфизмом, который переводит умножение положительных действительных чисел в сложение действительных чисел. Эта возможность позволяет умножать действительные числа с помощью линейки и таблицы логарифмов или с помощью логарифмической линейки с логарифмической шкалой.
Рассмотрим группу целых чисел от 0 до 5 со сложением по модулю 6. Также рассмотрим группу упорядоченных пар, где координаты x могут быть 0 или 1, а координаты y могут быть 0, 1 или 2, где сложение по координате x происходит по модулю 2, а сложение по координате y происходит по модулю 3.
Эти структуры изоморфны относительно сложения по следующей схеме: или в общем случае
Например, что в другой системе переводится как
Хотя эти две группы «выглядят» по-разному, поскольку множества содержат разные элементы, они действительно изоморфны : их структуры совершенно одинаковы. В более общем смысле, прямое произведение двух циклических групп и изоморфно тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты , согласно китайской теореме об остатках .
Если один объект состоит из множества X с бинарным отношением R, а другой объект состоит из множества Y с бинарным отношением S, то изоморфизм из X в Y является биективной функцией, такой что: [1]
S является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , вполне порядком , строгим слабым порядком , полным предпорядком (слабым порядком), отношением эквивалентности или отношением с любыми другими специальными свойствами, если и только если R является таковым.
Например, R — упорядочение ≤ и S — упорядочение , тогда изоморфизм из X в Y является биективной функцией , такой что Такой изоморфизм называется изоморфизмом порядка или (реже) изотонным изоморфизмом .
Если , то это автоморфизм , сохраняющий отношение .
В алгебре изоморфизмы определены для всех алгебраических структур . Некоторые из них изучаются более конкретно, например:
Так же, как автоморфизмы алгебраической структуры образуют группу , изоморфизмы между двумя алгебрами, имеющими общую структуру, образуют кучу . Если позволить конкретному изоморфизму идентифицировать две структуры, то эта куча превратится в группу.
В математическом анализе преобразование Лапласа представляет собой изоморфизм, отображающий сложные дифференциальные уравнения в более простые алгебраические уравнения.
В теории графов изоморфизм между двумя графами G и H — это биективное отображение f из вершин G в вершины H , которое сохраняет «структуру ребер» в том смысле, что существует ребро из вершины u в вершину v в G тогда и только тогда, когда существует ребро из в в H. См. изоморфизм графов .
В математическом анализе изоморфизм между двумя гильбертовыми пространствами — это биекция, сохраняющая сложение, скалярное умножение и скалярное произведение.
В ранних теориях логического атомизма формальные отношения между фактами и истинными предложениями были теоретически обоснованы Бертраном Расселом и Людвигом Витгенштейном как изоморфные. Пример такого хода мыслей можно найти в работе Рассела « Введение в математическую философию» .
В кибернетике хороший регулятор или теорема Конанта–Эшби формулируется так: «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от того, является ли система регулируемой или саморегулирующейся, между регулятором и обрабатывающими частями системы требуется изоморфизм.
В теории категорий , если задана категория C , изоморфизм — это морфизм , имеющий обратный морфизм , который есть и Рассмотрим отношение эквивалентности , которое рассматривает два объекта как связанные, если между ними существует изоморфизм. Классы эквивалентности этого отношения эквивалентности называются классами изоморфизма. Например, биективное линейное отображение является изоморфизмом между векторными пространствами , а биективная непрерывная функция , обратная которой также непрерывна, является изоморфизмом между топологическими пространствами , называемым гомеоморфизмом .
Две категории C и D изоморфны, если существуют функторы и , которые взаимно обратны друг другу, то есть (тождественный функтор на D ) и (тождественный функтор на C ).
В конкретной категории (грубо говоря, категории, объектами которой являются множества (возможно, с дополнительной структурой) и чьи морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), такой как категория топологических пространств или категории алгебраических объектов (например, категория групп , категория колец и категория модулей ), изоморфизм должен быть биективным на базовых множествах . В алгебраических категориях (в частности, категориях многообразий в смысле универсальной алгебры ) изоморфизм совпадает с гомоморфизмом, который биективен на базовых множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).
Класс изоморфизма — это набор математических объектов , которые изоморфны друг другу. [2] Считается, что классы изоморфизма указывают, что разница между двумя математическими объектами считается несущественной.
Примеров классов изоморфизма в математике множество.
Однако существуют обстоятельства, при которых класс изоморфизма объекта скрывает важную информацию о нем.
Хотя существуют случаи, когда изоморфные объекты можно считать равными, следует различать равенство и изоморфизм . [3] Равенство — это когда два объекта одинаковы, и поэтому все, что верно относительно одного объекта, верно и относительно другого. С другой стороны, изоморфизмы связаны с некоторой структурой, и два изоморфных объекта разделяют только те свойства, которые связаны с этой структурой.
Например, множества равны ; они просто являются различными представлениями — первое интенсиональное ( в нотации конструктора множеств ), а второе экстенсиональное (посредством явного перечисления) — одного и того же подмножества целых чисел. Напротив, множества и не равны , поскольку они не имеют одинаковых элементов. Они изоморфны как множества, но существует много вариантов (фактически 6) изоморфизма между ними: один изоморфизм —
в то время как другой -
и ни один изоморфизм не является изначально лучше другого. [примечание 1] С этой точки зрения и в этом смысле эти два множества не равны, потому что их нельзя считать идентичными : можно выбрать изоморфизм между ними, но это более слабое утверждение, чем тождество, и оно справедливо только в контексте выбранного изоморфизма.
Кроме того, целые числа и четные числа изоморфны как упорядоченные множества и абелевы группы (для сложения), но не могут считаться равными множествами, поскольку одно является собственным подмножеством другого.
С другой стороны, когда множества (или другие математические объекты ) определяются только их свойствами, без учета природы их элементов, часто их считают равными. Это обычно имеет место в случае решений универсальных свойств .
Например, рациональные числа обычно определяются как классы эквивалентности пар целых чисел, хотя никто не думает о рациональном числе как о множестве (классе эквивалентности). Универсальное свойство рациональных чисел по сути заключается в том, что они образуют поле , которое содержит целые числа и не содержит никакого собственного подполя. Это приводит к тому, что если даны два поля с этими свойствами, между ними существует уникальный изоморфизм полей. Это позволяет идентифицировать эти два поля, поскольку каждое свойство одного из них может быть передано другому посредством изоморфизма. Например, действительные числа , которые получаются путем деления двух целых чисел (внутри действительных чисел), образуют наименьшее подполе действительных чисел. Таким образом, существует уникальный изоморфизм от рациональных чисел (определяемых как классы эквивалентности пар) к частным двух действительных чисел, которые являются целыми числами. Это позволяет идентифицировать эти два вида рациональных чисел.
