Теория чисел

Математика целочисленных свойств

Распределение простых чисел является центральным пунктом изучения в теории чисел. Эта спираль Улама служит для иллюстрации этого, намекая, в частности, на условную независимость между тем, чтобы быть простым числом, и тем, чтобы быть значением определенных квадратичных многочленов.

Теория чисел (или арифметика или высшая арифметика в более старом использовании) — раздел чистой математики, посвященный в первую очередь изучению целых чисел и арифметических функций . Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) сказал: «Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики». ^[1] Специалисты по теории чисел изучают простые числа , а также свойства математических объектов, построенных из целых чисел (например, рациональных чисел ) или определенных как обобщения целых чисел (например, алгебраических целых чисел ).

Целые числа можно рассматривать как сами по себе, так и как решения уравнений ( диофантова геометрия ). Вопросы теории чисел часто лучше всего понимаются через изучение аналитических объектов (например, дзета-функции Римана ), которые кодируют свойства целых чисел, простых чисел или других числовых теоретико-числовых объектов в некотором роде ( аналитическая теория чисел ). Можно также изучать действительные числа в связи с рациональными числами, например, как приближенные последними ( диофантовы приближения ).

Более старый термин для теории чисел — арифметика . К началу двадцатого века он был заменен «теорией чисел». ^{[примечание 1]} (Слово « арифметика » используется широкой публикой для обозначения « элементарных вычислений »; оно также приобрело другие значения в математической логике , как в арифметике Пеано , и в компьютерной науке , как в арифметике с плавающей точкой .) Использование термина арифметика для теории чисел вернулось к некоторой почве во второй половине двадцатого века, возможно, отчасти из-за французского влияния. ^{[примечание 2]} В частности, арифметический обычно предпочитают как прилагательное к теоретико-числовому .

История

Происхождение

Рассвет арифметики

Планшет Plimpton 322

Самая ранняя историческая находка арифметического характера — фрагмент таблицы: сломанная глиняная табличка Plimpton 322 ( Ларса, Месопотамия , ок. 1800 г. до н. э.) содержит список « пифагорейских троек », то есть целых чисел, таких что . Троек слишком много, и они слишком велики, чтобы их можно было получить методом грубой силы . Заголовок над первым столбцом гласит: «Такилтум диагонали , который был вычтен таким образом, что ширина...» ^[2] ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Структура таблицы предполагает ^[3] , что она была создана с помощью того, что на современном языке можно назвать тождеством

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

что подразумевается в обычных древневавилонских упражнениях. ^[4] Если использовался какой-то другой метод, ^[5] тройки сначала строились, а затем переупорядочивались , предположительно для фактического использования в качестве «таблицы», например, с целью приложений. ${\displaystyle c/a}$

Неизвестно, какими могли быть эти приложения, или могли ли они быть; вавилонская астрономия , например, действительно вошла в свою собственную жизнь только позже. Вместо этого было высказано предположение, что таблица была источником числовых примеров для школьных задач. ^{[6] [примечание 3]}

В то время как вавилонская теория чисел — или то, что сохранилось от вавилонской математики , что можно так назвать — состоит из этого единственного, поразительного фрагмента, вавилонская алгебра (в школьном понимании « алгебры » ^{[ необходимо разъяснение ]} ) была исключительно хорошо развита. ^[7] Поздние неоплатонические источники ^[8] утверждают, что Пифагор научился математике у вавилонян. Гораздо более ранние источники ^[9] утверждают, что Фалес и Пифагор путешествовали и учились в Египте .

Евклид IX 21–34 ^{[ необходимо разъяснение ]} весьма вероятно, является пифагорейским; ^{[ необходимо разъяснение ] [10]} это очень простой материал («нечетное умножить на четное есть четное», «если нечетное число измеряет [= делит] четное число, то оно также измеряет [= делит] его половину»), но это все, что нужно, чтобы доказать, что оно иррационально . [ ^11] Пифагорейские мистики придавали большое значение четному и нечетному. ^[12] Открытие того, чточисло иррационально, приписывается ранним пифагорейцам (до Феодора ). ^[13] Раскрывая (говоря современным языком), что числа могут быть иррациональными, это открытие, по-видимому, спровоцировало первый основополагающий кризис в истории математики; его доказательство или его обнародование иногда приписывают Гиппасу , который был изгнан или откололся от пифагорейской секты. ^[14] Это заставило провести различие между числами (целыми и рациональными — предметами арифметики), с одной стороны, и длинами и пропорциями (которые можно отождествить с действительными числами, рациональными или нет), с другой стороны. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пифагорейская традиция также говорила о так называемых многоугольных или фигурных числах . ^[15] В то время как квадратные числа , кубические числа и т. д. сейчас считаются более естественными, чем треугольные числа , пятиугольные числа и т. д., изучение сумм треугольных и пятиугольных чисел оказалось плодотворным в ранний современный период (с XVII по начало XIX вв.).

Китайская теорема об остатках появляется как упражнение ^[16] в Sunzi Suanjing (3-й, 4-й или 5-й век н. э.). ^[17] (В решении Sunzi есть один важный шаг, опущенный: ^{[примечание 4]} это та проблема, которая была позже решена Kuṭṭaka Арьябхаты – см. ниже.) Результат был позже обобщен с полным решением, называемым Da-yan-shu (大衍術) в Mathematical Treatise in Nine Sections Цинь Цзюшао 1247 года ^[18], который был переведен на английский язык в начале 19-го века британским миссионером Александром Уайли . ^[19]

В китайской математике также присутствует некоторый числовой мистицизм ^{[примечание 5],} но, в отличие от пифагорейцев, он, похоже, ни к чему не привел.

Классическая Греция и ранний эллинистический период

За исключением нескольких фрагментов, математика классической Греции известна нам либо по сообщениям современных ей нематематиков, либо по математическим работам раннего эллинистического периода . ^[20] В случае теории чисел это, в общем и целом, означает Платона и Евклида соответственно.

Хотя азиатская математика оказала влияние на греческое и эллинистическое образование, по-видимому, греческая математика также является местной традицией.

Евсевий , PE X, глава 4 упоминает Пифагора :

«В действительности, упомянутый Пифагор, усердно изучая мудрость каждого народа, посетил Вавилон, Египет и всю Персию, обучаясь у магов и жрецов; и в дополнение к ним он, как сообщается, учился у брахманов (это индийские философы); и от одних он почерпнул астрологию, от других геометрию, арифметику и музыку от третьих, и различные вещи от разных народов, и только от мудрецов Греции он ничего не получил, поскольку они были преданы нищете и недостатку мудрости; так что, напротив, он сам стал автором наставлений для греков в учении, которое он приобрел из-за границы». ^[21]

Аристотель утверждал, что философия Платона тесно связана с учениями пифагорейцев ^[22], и Цицерон повторяет это утверждение: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia («Говорят, Платон изучил все пифагорейское»). ^[23]

Платон живо интересовался математикой и четко различал арифметику и вычисления. (Под арифметикой он подразумевал, в частности, теоретизирование о числе, а не то, что стали означать арифметика или теория чисел .) Именно из одного из диалогов Платона, а именно «Теэтет », известно, что Феодор доказал, что являются иррациональными. Теэтет был, как и Платон, учеником Феодора; он работал над различением различных видов несоизмеримых величин и, таким образом, был, возможно, пионером в изучении числовых систем . (Книга X « Начал» Евклида описывается Паппом как в значительной степени основанная на работе Теэтета.) ${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$

Евклид посвятил часть своих «Начал» простым числам и делимости — темам, которые однозначно относятся к теории чисел и являются для нее основными (книги VII–IX « Начал » Евклида ). В частности, он дал алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух чисел ( алгоритм Евклида ; «Начала» , предложение VII.2) и первое известное доказательство бесконечности простых чисел ( «Начала» , предложение IX.20).

В 1773 году Лессинг опубликовал эпиграмму, которую он нашел в рукописи во время своей работы библиотекарем; в ней утверждалось, что это письмо, отправленное Архимедом Эратосфену . ^{[24] [25]} Эпиграмма предлагала то, что стало известно как задача Архимеда о скоте ; ее решение (отсутствующее в рукописи) требует решения неопределенного квадратного уравнения (которое сводится к тому, что позже будет неправильно названо уравнением Пелля ). Насколько известно, такие уравнения впервые были успешно рассмотрены индийской школой. Неизвестно, имел ли сам Архимед метод решения.

Диофант

Титульный лист издания 1621 года «Арифметики » Диофанта Александрийского , переведенного на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком.

О Диофанте Александрийском известно очень мало ; он, вероятно, жил в третьем веке нашей эры, то есть примерно через пятьсот лет после Евклида. Шесть из тринадцати книг « Арифметики » Диофанта сохранились в греческом оригинале, а еще четыре — в арабском переводе. « Арифметика» представляет собой сборник решенных задач, где задача неизменно состоит в нахождении рациональных решений системы полиномиальных уравнений, обычно вида или . Таким образом, в настоящее время диофантовы уравнения — это полиномиальные уравнения , для которых ищутся рациональные или целочисленные решения. ${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$ ${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

Арьябхата, Брахмагупта, Бхаскара

Хотя греческая астрономия, вероятно, оказала влияние на индийское образование , вплоть до введения тригонометрии ^[26], похоже, что индийская математика в остальном является местной традицией; ^[27] в частности, нет никаких доказательств того, что «Начала» Евклида достигли Индии до XVIII века. ^[28]

Арьябхата (476–550 гг. н. э.) показал, что пары одновременных сравнений можно решить методом, который он назвал куттака, или распылитель; [ 29 ] это ^{процедура} , близкая к (обобщению) алгоритму Евклида, который, вероятно, был открыт независимо в Индии. ^[30] Арьябхата, по-видимому, имел в виду приложения к астрономическим расчетам. ^[26] ${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$ ${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$

Брахмагупта (628 г. н. э.) начал систематическое изучение неопределенных квадратных уравнений, в частности, неправильно названного уравнения Пелля , которым, возможно, первым заинтересовался Архимед , и которое не решалось на Западе до времен Ферма и Эйлера. Позже санскритские авторы последовали его примеру, используя техническую терминологию Брахмагупты. Общая процедура (чакравала , или «циклический метод») для решения уравнения Пелля была наконец найдена Джаядевой (цитируется в одиннадцатом веке; его работа в остальном утеряна); самое раннее сохранившееся изложение появляется в «Биджа-ганите» Бхаскары II (двенадцатый век). ^[31]

Индийская математика оставалась практически неизвестной в Европе до конца восемнадцатого века; ^[32] Работа Брахмагупты и Бхаскары была переведена на английский язык в 1817 году Генри Колбруком . ^[33]

Арифметика в исламском золотом веке

Аль-Хайсам глазами Запада: на фронтисписе «Селенографии» Альхасен [ так в оригинале ] представляет знание посредством разума, а Галилей — знание посредством чувств.

В начале девятого века халиф Аль-Мамун заказал переводы многих греческих математических трудов и по крайней мере одного санскритского труда ( Синдхинд , который может ^[34] быть или не быть ^[35] Брахма -Пхутасиддхантой Брахмагупты ). Главный труд Диофанта, Арифметика , был переведен на арабский язык Кустой ибн Лукой (820–912). Часть трактата Аль-Фахри ( аль-Караджи , 953 – ок. 1029) в некоторой степени основывается на нем. По словам Рашеда Рошди, современник Аль-Караджи Ибн аль-Хайтам знал ^[36] то, что позже назовут теоремой Вильсона .

Западная Европа в Средние века

За исключением трактата о квадратах в арифметической прогрессии Фибоначчи , который путешествовал и учился в Северной Африке и Константинополе, в Западной Европе в Средние века не было никакой теории чисел, о которой стоило бы говорить. Ситуация начала меняться в Европе в конце Ренессанса , благодаря возобновленному изучению трудов греческой античности. Катализатором послужило текстовое исправление и перевод на латынь « Арифметики » Диофанта . ^[37]

Ранняя современная теория чисел

Ферма

Пьер де Ферма

Пьер де Ферма (1607–1665) никогда не публиковал свои труды; в частности, его работа по теории чисел содержится почти полностью в письмах к математикам и в частных заметках на полях. ^[38] В своих заметках и письмах он почти не приводил никаких доказательств — у него не было образцов в этой области. ^[39]

За свою жизнь Ферма внес следующий вклад в эту область:

• Одним из первых интересов Ферма были совершенные числа (которые появляются в «Началах IX» Евклида ) и дружественные числа ; ^{[примечание 6]} эти темы привели его к работе над целочисленными делителями , которые с самого начала были среди тем переписки (с 1636 года), которая позволила ему связаться с математическим сообществом того времени. ^[40]
• В 1638 году Ферма без доказательств заявил, что все целые числа можно выразить в виде суммы четырех квадратов или меньшего количества квадратов. ^[41]
• Малая теорема Ферма (1640): ^[42] если a не делится на простое число p , то ^{[примечание 7]} ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$
• Если a и b взаимно просты , то не делится ни на какое простое число, сравнимое с −1 по модулю 4; ^[43] и каждое простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, можно записать в виде . ^[44] Эти два утверждения также датируются 1640 годом; в 1659 году Ферма заявил Гюйгенсу, что он доказал последнее утверждение методом бесконечного спуска . ^[45] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$
• В 1657 году Ферма поставил задачу решения в качестве вызова английским математикам. Задача была решена за несколько месяцев Уоллисом и Браункером. ^[46] Ферма считал их решение верным, но указывал, что они предоставили алгоритм без доказательства (как и Джаядева и Бхаскара, хотя Ферма не знал об этом). Он утверждал, что доказательство может быть найдено бесконечным спуском. ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$
• Ферма заявил и доказал (бесконечным спуском) в приложении к Observations on Diophantus (Obs. XLV) ^[47] , что не имеет нетривиальных решений в целых числах. Ферма также упомянул своим корреспондентам, что не имеет нетривиальных решений, и что это также может быть доказано бесконечным спуском. ^[48] Первое известное доказательство принадлежит Эйлеру (1753; действительно бесконечным спуском). ^[49] ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
• Ферма утверждал ( Великая теорема Ферма ), что доказал, что для всех уравнений не существует решений ; это утверждение содержится в его примечаниях на полях его копии Диофанта. ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Эйлер

Леонард Эйлер

Интерес Леонарда Эйлера (1707–1783) к теории чисел впервые возник в 1729 году, когда его друг, любитель ^{[примечание 8]} Гольдбах , указал ему на некоторые работы Ферма по этой теме. ^{[50] [51]} Это было названо «возрождением» современной теории чисел, ^[52] после относительного отсутствия успеха Ферма в привлечении внимания своих современников к этой теме. ^[53] Работы Эйлера по теории чисел включают следующее: ^[54]

• Доказательства утверждений Ферма. Сюда входит малая теорема Ферма (обобщенная Эйлером на непростые модули); тот факт, что тогда и только тогда, когда ; начальная работа по доказательству того, что каждое целое число является суммой четырех квадратов (первое полное доказательство принадлежит Жозефу-Луи Лагранжу (1770), вскоре улучшенное самим Эйлером ^[55] ); отсутствие ненулевых целых решений (подразумевая случай n=4 последней теоремы Ферма, случай n=3 которой Эйлер также доказал родственным методом). ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$
• Уравнение Пелля , впервые неправильно названное Эйлером. ^[56] Он писал о связи между непрерывными дробями и уравнением Пелля. ^[57]
• Первые шаги к аналитической теории чисел. В своей работе о суммах четырех квадратов, разбиениях , пятиугольных числах и распределении простых чисел Эйлер был пионером в использовании того, что можно рассматривать как анализ (в частности, бесконечных рядов) в теории чисел. Поскольку он жил до развития комплексного анализа , большая часть его работы ограничивается формальными манипуляциями степенными рядами . Однако он сделал несколько весьма примечательных (хотя и не полностью строгих) ранних работ о том, что позже будет названо дзета-функцией Римана . ^[58]
• Квадратичные формы . Следуя примеру Ферма, Эйлер провел дальнейшие исследования по вопросу о том, какие простые числа могут быть выражены в форме , некоторые из них предвосхищали квадратичную взаимность . ^{[59] [60] [61]} ${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$
• Диофантовые уравнения . Эйлер работал над некоторыми диофантовыми уравнениями рода 0 и 1. ^{[62] [63]} В частности, он изучал труды Диофанта; он пытался систематизировать их, но время для таких усилий еще не пришло — алгебраическая геометрия была еще в зачаточном состоянии. ^[64] Он заметил, что существует связь между диофантовыми задачами и эллиптическими интегралами , ^[64] изучение которых он сам инициировал.

«Вот проблема, которую я, десятилетний ребенок, мог понять, и с того момента я знал, что никогда ее не отпущу. Я должен был ее решить». ^{[65] —} сэр Эндрю Уайлс о своем доказательстве Великой теоремы Ферма .

Лагранж, Лежандр и Гаусс

«Арифметические исследования» Карла Фридриха Гаусса, первое издание.

Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) был первым, кто дал полные доказательства некоторых работ и наблюдений Ферма и Эйлера, например, теоремы о четырех квадратах и ​​базовой теории ошибочно названного «уравнения Пелля» (для которого алгоритмическое решение было найдено Ферма и его современниками, а также Джаядевой и Бхаскарой II до них). Он также изучал квадратичные формы в полной общности (в отличие от ), определяя их отношение эквивалентности, показывая, как привести их к редуцированной форме и т. д. ${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$

Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) был первым, кто сформулировал закон квадратичной взаимности. Он также предположил, что равносильно теореме о простых числах и теореме Дирихле об арифметических прогрессиях . Он дал полную трактовку уравнения ^[66] и работал над квадратичными формами в соответствии с направлениями, позднее полностью развитыми Гауссом. ^[67] В старости он был первым, кто доказал Великую теорему Ферма для (завершив работу Петера Густава Лежена Дирихле и указав как его, так и Софи Жермен ). ^[68] ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ ${\displaystyle n=5}$

Карл Фридрих Гаусс

В своих Disquisitiones Arithmeticae (1798) Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал закон квадратичной взаимности и разработал теорию квадратичных форм (в частности, определив их композицию). Он также ввел некоторые основные обозначения ( сравнения ) и посвятил раздел вычислительным вопросам, включая тесты на простоту. ^[69] Последний раздел Disquisitiones установил связь между корнями из единицы и теорией чисел:

Теория деления круга..., которая рассматривается в разделе 7, сама по себе не принадлежит арифметике, но ее принципы могут быть извлечены только из высшей арифметики. ^[70]

Таким образом, Гаусс, возможно, сделал первый шаг как к работам Эвариста Галуа , так и к алгебраической теории чисел .

Зрелость и разделение на подполя

Эрнст Куммер

Питер Густав Лежен Дирихле

Начиная с начала девятнадцатого века постепенно происходили следующие события:

• Рост самосознания теории чисел (или высшей арифметики ) как области изучения. ^[71]
• Развитие значительной части современной математики, необходимой для базовой современной теории чисел: комплексного анализа , теории групп , теории Галуа , — сопровождалось большей строгостью анализа и абстракцией в алгебре.
• Грубое подразделение теории чисел на ее современные подразделы, в частности, аналитическую и алгебраическую теорию чисел.

Можно сказать, что алгебраическая теория чисел началась с изучения взаимности и циклотомии , но по-настоящему обрела себя с развитием абстрактной алгебры и ранней теории идеалов и теории оценок ; см. ниже. Общепринятой отправной точкой для аналитической теории чисел является теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (1837), ^{[72] [73],} доказательство которой ввело L-функции и включало некоторый асимптотический анализ и предельный процесс на действительной переменной. ^[74] Первое использование аналитических идей в теории чисел фактически восходит к Эйлеру (1730-е годы), ^{[75] [76],} который использовал формальные степенные ряды и нестрогие (или неявные) предельные аргументы. Использование комплексного анализа в теории чисел началось позже: работа Бернхарда Римана (1859) о дзета-функции является канонической отправной точкой; ^[77] Теорема Якоби о четырех квадратах (1839), которая предшествовала ей, принадлежит к изначально другому направлению, которое к настоящему времени заняло ведущую роль в аналитической теории чисел ( модулярные формы ). ^[78]

История каждого подполя кратко рассматривается в его собственном разделе ниже; см. основную статью каждого подполя для более полного рассмотрения. Многие из наиболее интересных вопросов в каждой области остаются открытыми и активно прорабатываются.

Основные подразделения

Элементарная теория чисел

Термин элементарный обычно обозначает метод, который не использует комплексный анализ . Например, теорема о простых числах была впервые доказана с использованием комплексного анализа в 1896 году, но элементарное доказательство было найдено только в 1949 году Эрдёшем и Сельбергом . [ ^79] Термин несколько двусмыслен: например, доказательства, основанные на комплексных тауберовых теоремах (например, Винера–Икехары ), часто рассматриваются как весьма поучительные, но не элементарные, несмотря на использование анализа Фурье , а не комплексного анализа как такового. Здесь, как и везде, элементарное доказательство может быть длиннее и сложнее для большинства читателей, чем неэлементарное.

Теоретики чисел Пол Эрдёш и Теренс Тао в 1985 году, когда Эрдёшу было 72 года, а Тао — 10 лет

Теория чисел имеет репутацию области, многие результаты которой могут быть изложены неспециалисту. В то же время доказательства этих результатов не особенно доступны, отчасти потому, что диапазон инструментов, которые они используют, если что-то и есть, необычайно широк в математике. ^[80]

Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ( s ) в комплексной плоскости . Цвет точки s дает значение ζ( s ): темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок дает аргумент значения .

Действие модулярной группы на верхней полуплоскости . Область серого цвета — стандартная фундаментальная область .

Аналитическая теория чисел может быть определена

• с точки зрения его инструментов, как изучение целых чисел с помощью инструментов действительного и комплексного анализа; ^[72] или
• с точки зрения его интересов, как изучение в рамках теории чисел оценок размера и плотности, в отличие от тождеств. ^[81]

Некоторые предметы, которые обычно считаются частью аналитической теории чисел, например, теория решета ^{[примечание 9],} лучше охватываются вторым, а не первым определением: некоторые из теорий решета, например, используют мало анализа ^{[примечание 10],} тем не менее, они относятся к аналитической теории чисел.

Ниже приведены примеры проблем в аналитической теории чисел: теорема о простых числах , гипотеза Гольдбаха (или гипотеза о простых числах-близнецах , или гипотезы Харди–Литтлвуда ), проблема Варинга и гипотеза Римана . Некоторые из наиболее важных инструментов аналитической теории чисел — это метод круга , методы решета и L-функции (или, скорее, изучение их свойств). Теория модулярных форм (и, в более общем смысле, автоморфных форм ) также занимает все более центральное место в инструментарии аналитической теории чисел. ^[82]

Можно задавать аналитические вопросы об алгебраических числах и использовать аналитические средства для ответа на такие вопросы; таким образом, алгебраическая и аналитическая теория чисел пересекаются. Например, можно определить простые идеалы (обобщения простых чисел в области алгебраических чисел) и спросить, сколько существует простых идеалов до определенного размера. На этот вопрос можно ответить с помощью исследования дзета-функций Дедекинда , которые являются обобщениями дзета-функции Римана , ключевого аналитического объекта в корнях предмета. ^[83] Это пример общей процедуры в аналитической теории чисел: вывод информации о распределении последовательности ( здесь, простых идеалов или простых чисел) из аналитического поведения соответствующим образом построенной комплекснозначной функции. ^[84]

Алгебраическая теория чисел

Алгебраическое число — это любое комплексное число , которое является решением некоторого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами; например, каждое решение ( скажем) является алгебраическим числом. Поля алгебраических чисел также называются полями алгебраических чисел или коротко числовыми полями . Алгебраическая теория чисел изучает поля алгебраических чисел. ^[85] Таким образом, аналитическая и алгебраическая теория чисел могут пересекаться и пересекаются: первая определяется своими методами, вторая — своими объектами изучения. ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

Можно утверждать, что простейший вид числовых полей (а именно, квадратичные поля) уже изучался Гауссом, поскольку обсуждение квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae можно переформулировать в терминах идеалов и норм в квадратичных полях. ( Квадратичное поле состоит из всех чисел вида , где и являются рациональными числами, а является фиксированным рациональным числом, квадратный корень которого не является рациональным.) Если на то пошло, метод чакравала 11-го века сводится — в современных терминах — к алгоритму для нахождения единиц действительного квадратичного числового поля. Однако ни Бхаскара, ни Гаусс не знали числовых полей как таковых. ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle d}$

Основы предмета были заложены в конце девятнадцатого века, когда были введены идеальные числа , теория идеалов и теория оценок ; это три взаимодополняющих способа борьбы с отсутствием однозначной факторизации в полях алгебраических чисел. (Например, в поле, порожденном рациональными числами и , число может быть факторизовано как и ; все из , , и являются неприводимыми и, таким образом, в наивном смысле, аналогичны простым числам среди целых чисел.) Первоначальный импульс к развитию идеальных чисел (Куммером ) , по-видимому, пришел из изучения высших законов взаимности, ^[86], то есть обобщений квадратичной взаимности . ${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ ${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$

Числовые поля часто изучаются как расширения меньших числовых полей: поле L называется расширением поля K , если L содержит K. (Например, комплексные числа C являются расширением действительных чисел R , а действительные числа R являются расширением рациональных чисел Q. ) Классификация возможных расширений данного числового поля является сложной и частично открытой проблемой. Абелевы расширения — то есть расширения L поля K, такие, что группа Галуа ^{[примечание 11]} Gal( L / K ) поля L над K является абелевой группой — относительно хорошо изучены. Их классификация была объектом программы теории полей классов , которая была начата в конце 19 века (частично Кронекером и Эйзенштейном ) и в основном проводилась в 1900–1950 годах.

Примером активной области исследований в алгебраической теории чисел является теория Ивасавы . Программа Ленглендса , один из основных текущих крупномасштабных исследовательских планов в математике, иногда описывается как попытка обобщить теорию полей классов на неабелевы расширения числовых полей.

Диофантова геометрия

Центральная проблема диофантовой геометрии — определить, когда диофантово уравнение имеет решения, и если да, то сколько. Принятый подход заключается в том, чтобы рассматривать решения уравнения как геометрический объект.

Например, уравнение с двумя переменными определяет кривую на плоскости. В более общем смысле, уравнение или система уравнений с двумя или более переменными определяет кривую , поверхность или какой-либо другой подобный объект в n -мерном пространстве. В диофантовой геометрии спрашивается, есть ли какие-либо рациональные точки (точки, все координаты которых являются рациональными числами) или целые точки (точки, все координаты которых являются целыми числами) на кривой или поверхности. Если такие точки есть, следующим шагом будет спросить, сколько их и как они распределены. Основной вопрос в этом направлении заключается в том, есть ли конечное или бесконечное число рациональных точек на данной кривой (или поверхности).

В уравнении Пифагора мы хотели бы изучить его рациональные решения, то есть такие решения, что x и y оба рациональны. Это то же самое, что запросить все целочисленные решения для ; любое решение последнего уравнения дает нам решение , для первого. Это также то же самое, что запросить все точки с рациональными координатами на кривой, описанной . (Эта кривая является окружностью радиуса 1 вокруг начала координат.) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle x=a/c}$ ${\displaystyle y=b/c}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Два примера эллиптической кривой , то есть кривой рода 1, имеющей по крайней мере одну рациональную точку. (Любой график можно рассматривать как срез тора в четырехмерном пространстве.)

Перефразирование вопросов об уравнениях в терминах точек на кривых оказывается удачным. Конечность или нет числа рациональных или целых точек на алгебраической кривой — то есть рациональных или целых решений уравнения , где — многочлен от двух переменных — оказывается решающим образом зависящим от рода кривой . Род можно определить следующим образом: ^{[примечание 12]} допускает, чтобы переменные в были комплексными числами; затем определяет 2-мерную поверхность в (проективном) 4-мерном пространстве (поскольку две комплексные переменные можно разложить на четыре действительные переменные, то есть четыре измерения). Если мы посчитаем число дырок (бублика) на поверхности; это число называется родом . Другие геометрические понятия оказываются столь же решающими . ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$

Существует также тесно связанная область диофантовых приближений : дано число , затем находим, насколько хорошо оно может быть приближено рациональными числами. (Мы ищем приближения, которые хороши относительно количества места, которое требуется для записи рационального числа: называем (с ) хорошим приближением к , если , где велико.) Этот вопрос представляет особый интерес, если является алгебраическим числом. Если не может быть хорошо приближено, то некоторые уравнения не имеют целочисленных или рациональных решений. Более того, несколько понятий (особенно понятие высоты ) оказываются критическими как в диофантовой геометрии, так и в изучении диофантовых приближений. Этот вопрос также представляет особый интерес в теории трансцендентных чисел : если число может быть приближено лучше, чем любое алгебраическое число, то оно является трансцендентным числом . Именно с помощью этого аргумента было показано , что π и e являются трансцендентными. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a/q}$ ${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Диофантову геометрию не следует путать с геометрией чисел , которая представляет собой набор графических методов для ответа на некоторые вопросы алгебраической теории чисел. Арифметическая геометрия , однако, является современным термином для обозначения почти той же области, что и та, которая охватывается термином Диофантова геометрия . Термин арифметическая геометрия, возможно, чаще всего используется, когда кто-то хочет подчеркнуть связь с современной алгебраической геометрией (как, например, в теореме Фальтингса ), а не с методами диофантовых приближений.

Другие подполя

Области, перечисленные ниже, датируются не ранее середины двадцатого века, даже если они основаны на более старом материале. Например, как объясняется ниже, вопрос алгоритмов в теории чисел очень старый, в некотором смысле старше концепции доказательства; в то же время современное изучение вычислимости датируется лишь 1930-ми и 1940-ми годами, а теория вычислительной сложности — 1970-ми годами.

Теория вероятностных чисел

Большая часть вероятностной теории чисел может рассматриваться как важный частный случай изучения переменных, которые почти, но не совсем, взаимно независимы . Например, событие, что случайное целое число от одного до миллиона делится на два, и событие, что оно делится на три, почти независимы, но не совсем.

Иногда говорят, что вероятностная комбинаторика использует тот факт, что все, что происходит с вероятностью большей, чем должно иногда происходить; можно с такой же справедливостью сказать, что многие приложения вероятностной теории чисел опираются на тот факт, что все необычное должно быть редким. Если можно показать, что определенные алгебраические объекты (скажем, рациональные или целочисленные решения определенных уравнений) находятся в хвосте определенных разумно определенных распределений, то из этого следует, что их должно быть немного; это очень конкретное невероятностное утверждение, вытекающее из вероятностного. ${\displaystyle 0}$

Иногда нестрогий, вероятностный подход приводит к ряду эвристических алгоритмов и открытых проблем, в частности к гипотезе Крамера .

Арифметическая комбинаторика

Если начать с довольно «толстого» бесконечного множества , содержит ли оно много элементов в арифметической прогрессии: , , скажем? Можно ли записать большие целые числа в виде сумм элементов ? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$ ${\displaystyle A}$

Эти вопросы характерны для арифметической комбинаторики . Это в настоящее время объединяющаяся область; она включает в себя аддитивную теорию чисел (которая занимается некоторыми весьма специфическими множествами арифметической значимости, такими как простые числа или квадраты) и, возможно, часть геометрии чисел , вместе с некоторыми быстро развивающимися новыми материалами. Ее сосредоточенность на вопросах роста и распределения частично объясняет ее развивающиеся связи с эргодической теорией , теорией конечных групп , теорией моделей и другими областями. Термин аддитивная комбинаторика также используется; однако изучаемые множества не обязательно должны быть множествами целых чисел, а скорее подмножествами некоммутативных групп , для которых традиционно используется символ умножения, а не символ сложения; они также могут быть подмножествами колец , и в этом случае рост и · можно сравнить. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Теория вычислительных чисел

Решето Лемера , примитивный цифровой компьютер, используемый для поиска простых чисел и решения простых диофантовых уравнений.

Хотя само слово «алгоритм» восходит лишь к некоторым читателям аль-Хорезми , тщательные описания методов решения старше доказательств: такие методы (то есть алгоритмы) так же стары, как и любая известная математика — древнеегипетская, вавилонская, ведическая, китайская, — тогда как доказательства появились только у греков классического периода.

Ранним случаем является то, что сейчас называется алгоритмом Евклида. В своей базовой форме (а именно, как алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя ) он появляется как Предложение 2 Книги VII в Элементах , вместе с доказательством правильности. Однако в форме, которая часто используется в теории чисел (а именно, как алгоритм для нахождения целочисленных решений уравнения , или, что то же самое, для нахождения величин, существование которых гарантируется китайской теоремой об остатках ), он впервые появляется в работах Арьябхаты (V–VI вв. н. э.) как алгоритм, называемый kuṭṭaka («распылитель»), без доказательства правильности. ${\displaystyle ax+by=c}$

Есть два основных вопроса: «Можно ли это вычислить?» и «Можно ли это вычислить быстро?» Любой может проверить, является ли число простым, или, если это не так, разложить его на простые множители; сделать это быстро — другой вопрос. Быстрые алгоритмы для проверки простоты сейчас известны, но, несмотря на большую работу (как теоретическую, так и практическую), по-настоящему быстрого алгоритма для факторизации не существует.

Сложность вычисления может быть полезной: современные протоколы шифрования сообщений (например, RSA ) зависят от функций, которые известны всем, но чьи обратные известны лишь избранным, и потребовалось бы слишком много времени, чтобы разобраться в них самостоятельно. Например, эти функции могут быть такими, что их обратные можно вычислить только при факторизации определенных больших целых чисел. Хотя известно множество сложных вычислительных задач за пределами теории чисел, большинство работающих протоколов шифрования в настоящее время основаны на сложности нескольких задач теории чисел.

Некоторые вещи могут быть вообще невычислимы; на самом деле, это может быть доказано в некоторых случаях. Например, в 1970 году было доказано, как решение десятой проблемы Гильберта , что не существует машины Тьюринга , которая может решить все диофантовы уравнения. ^[87] В частности, это означает, что при заданном вычислимо перечислимом наборе аксиом существуют диофантовы уравнения, для которых нет доказательства, начиная с аксиом, того, имеет ли набор уравнений целочисленные решения или нет. (Мы обязательно говорили бы о диофантовых уравнениях, для которых нет целочисленных решений, поскольку при заданном диофантовом уравнении с по крайней мере одним решением само решение обеспечивает доказательство того факта, что решение существует. Невозможно доказать, что конкретное диофантово уравнение относится к этому виду, поскольку это означало бы, что у него нет решений.)

Приложения

Теоретик чисел Леонард Диксон (1874–1954) сказал: «Слава богу, что теория чисел не запятнана никакими приложениями». Такой взгляд больше не применим к теории чисел. ^[88] В 1974 году Дональд Кнут сказал: «практически каждая теорема в элементарной теории чисел возникает естественным, мотивированным образом в связи с проблемой создания компьютеров, выполняющих высокоскоростные числовые вычисления». ^[89] Элементарная теория чисел преподается на курсах дискретной математики для компьютерных специалистов ; с другой стороны, теория чисел также имеет приложения к непрерывному в численном анализе . ^[90]

Теория чисел в настоящее время имеет несколько современных приложений, охватывающих различные области, такие как:

• Криптография : схемы шифрования с открытым ключом, такие как RSA, основаны на трудности разложения больших составных чисел на их простые множители. ^[91]
• Информатика : Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который используется для эффективного вычисления дискретного преобразования Фурье, имеет важные приложения в обработке сигналов и анализе данных. ^[92]
• Физика : Гипотеза Римана связана с распределением простых чисел и изучалась на предмет ее потенциальных последствий в физике. ^[93]
• Коды исправления ошибок : Теория конечных полей и алгебраическая геометрия были использованы для построения эффективных кодов исправления ошибок. ^[94]
• Коммуникации: Проектирование сетей сотовой связи требует знания теории модульных форм , которая является частью аналитической теории чисел. ^[95]
• Изучение музыкальных гамм: концепция « равномерной темперации », которая является основой для большей части современной западной музыки, подразумевает деление октавы на 12 равных частей. ^[96] Это было изучено с помощью теории чисел и, в частности, свойств корня 12-й степени из 2.

Призы

Американское математическое общество присуждает премию Коула по теории чисел . Более того, теория чисел является одной из трех математических дисциплин, награждаемых премией Ферма .

Смотрите также

• Математический портал

• Поле алгебраических функций
• Конечное поле
• p-адическое число
• Список алгоритмов теории чисел

Примечания

1. Уже в 1921 году Т. Л. Хиту пришлось объяснить: «Под арифметикой Платон подразумевал не арифметику в нашем смысле, а науку, которая рассматривает числа сами по себе, другими словами, то, что мы подразумеваем под теорией чисел» (Хит 1921, стр. 13).
2. Возьмем, к примеру, Serre 1996. В 1952 году Дэвенпорту все еще пришлось уточнить, что он имел в виду «Высшую арифметику» . Харди и Райт писали во введении к «Введению в теорию чисел» (1938): «Мы предлагали в свое время изменить [название] на «Введение в арифметику» , более новое и в некотором смысле более подходящее название; но было указано, что это может привести к недопониманию содержания книги». (Харди и Райт 2008)
3. Robson 2001, стр. 201. Это спорно. См. Plimpton 322. Статья Робсона написана полемически (Robson 2001, стр. 202) с целью «возможно [...] сбросить [Plimpton 322] с пьедестала» (Robson 2001, стр. 167); в то же время она приходит к выводу, что

   [...] вопрос «как была рассчитана табличка?» не обязательно должен иметь тот же ответ, что и вопрос «какие задачи решает табличка?» На первый вопрос можно ответить наиболее удовлетворительно с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на второй — с помощью неких задач на прямоугольные треугольники (Робсон 2001, стр. 202).

   Робсон не согласен с мнением, что писец, создавший Plimpton 322 (который должен был «работать, чтобы прокормиться», и не принадлежал к «праздному среднему классу»), мог быть мотивирован собственным «праздным любопытством» в отсутствие «рынка для новой математики» (Робсон 2001, стр. 199–200).

4. Суньцзы Суаньцзин , гл. 3, Задача 26, в Lam & Ang 2004, стр. 219–220:

   [26] Теперь есть неизвестное количество вещей. Если мы считаем по три, то остаток 2; если мы считаем по пять, то остаток 3; если мы считаем по семь, то остаток 2. Найдите количество вещей. Ответ : 23.
   

   Метод : Если мы считаем тройками и есть остаток 2, запишите 140. Если мы считаем пятерками и есть остаток 3, запишите 63. Если мы считаем семерками и есть остаток 2, запишите 30. Сложите их, чтобы получить 233, и вычтите 210, чтобы получить ответ. Если мы считаем тройками и есть остаток 1, запишите 70. Если мы считаем пятерками и есть остаток 1, запишите 21. Если мы считаем семерками и есть остаток 1, запишите 15. Когда [число] превышает 106, результат получается путем вычитания 105.

5. См., например, Sunzi Suanjing , Ch. 3, Problem 36, в Lam & Ang 2004, стр. 223–224:

   [36] Беременная женщина, возраст которой 29 лет. Если срок беременности 9 месяцев, определите пол будущего ребенка. Ответ : мужской.
   

   Метод : Запишите 49, добавьте период беременности и вычтите возраст. Из остатка вычтите 1, представляющий небо, 2 — землю, 3 — человека, 4 — четыре времени года, 5 — пять фаз, 6 — шесть камертонов, 7 — семь звезд [Ковша], 8 — восемь ветров и 9 — девять частей [Китая при Юе Великом]. Если остаток нечетный, [пол] мужской, а если остаток четный, [пол] женский.

   Это последняя проблема в трактате Суньцзы, в остальном довольно сухом.

6. Совершенные и особенно дружественные числа в наши дни не представляют большого интереса. В средние века — будь то на Западе или в арабоязычном мире — это было не так, отчасти из-за значения, которое им придавал неопифагорейский (и, следовательно, мистический) Никомах (ок. 100 г. н. э.), написавший примитивное, но влиятельное « Введение в арифметику ». См. van der Waerden 1961, Ch. IV.
7. Здесь, как обычно, даны два целых числа a и b и ненулевое целое число m , мы пишем (читается « a сравнимо с b по модулю m »), что означает, что m делит a  −  b , или, что то же самое, a и b оставляют одинаковый остаток при делении на m . Эта нотация на самом деле намного позже, чем у Ферма; она впервые появляется в разделе 1 Disquisitiones Arithmeticae Гаусса . Малая теорема Ферма является следствием того факта , что порядок элемента группы делит порядок группы. Современное доказательство было бы по силам Ферма (и действительно было дано позже Эйлером), хотя современное понятие группы появилось задолго до Ферма или Эйлера. (Полезно знать, что существуют обратные числа по модулю p , то есть, если a не делится на простое число p , то существует целое число x такое, что ); этот факт (который, на современном языке, превращает остатки mod p в группу и который был уже известен Арьябхате; см. выше) был знаком Ферма благодаря его повторному открытию Баше (Weil 1984, p. 7). Вайль продолжает говорить, что Ферма понял бы, что аргумент Баше по сути является алгоритмом Евклида. ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle xa\equiv 1{\bmod {p}}}$
8. До второй половины семнадцатого века академические должности были очень редки, и большинство математиков и ученых зарабатывали на жизнь каким-то другим способом (Weil 1984, стр. 159, 161). (Уже существовали некоторые узнаваемые черты профессиональной практики , а именно, поиск корреспондентов, посещение иностранных коллег, создание частных библиотек (Weil 1984, стр. 160–161). Ситуация начала меняться в конце 17-го века (Weil 1984, стр. 161); научные академии были основаны в Англии ( Королевское общество , 1662), Франции ( Академия наук , 1666) и России (1724). Эйлеру предложили должность в этой последней в 1726 году; он принял ее, прибыв в Санкт-Петербург в 1727 году (Weil 1984, стр. 163 и Varadarajan 2006, стр. 7). В этом контексте термин « любитель», обычно применяемый к Гольдбаху, хорошо определен и имеет некоторый смысл: его описывали как литератора, зарабатывавшего на жизнь шпионажем (Truesdell 1984, стр. стр. xv); цитируется в Varadarajan 2006, стр. 9). Обратите внимание, однако, что Гольдбах опубликовал несколько работ по математике и иногда занимал академические должности.
9. Теория решета фигурирует как один из основных подразделов аналитической теории чисел во многих стандартных работах; см., например, Iwaniec & Kowalski 2004 или Montgomery & Vaughan 2007
10. Это касается скорее малых сит (в частности, некоторых комбинаторных сит, таких как решето Бруна ), чем больших сит ; изучение последних теперь включает идеи гармонического и функционального анализа .
11. Группа Галуа расширения L/K состоит из операций ( изоморфизмов ), которые отправляют элементы L в другие элементы L, оставляя все элементы K неподвижными. Так, например, Gal(C/R) состоит из двух элементов: единичного элемента (переводящего каждый элемент x  +  iy из C в себя) и комплексного сопряжения (отображения, переводящего каждый элемент x  +  iy в x  −  iy ). Группа Галуа расширения сообщает нам многие из ее важнейших свойств. Изучение групп Галуа началось с Эвариста Галуа ; на современном языке основным результатом его работы является то, что уравнение f ( x ) = 0 может быть решено с помощью радикалов (то есть x может быть выражено в терминах четырех основных операций вместе с квадратными корнями, кубическими корнями и т. д.) тогда и только тогда, когда расширение рациональных чисел корнями уравнения f ( x ) = 0 имеет группу Галуа, разрешимую в смысле теории групп. («Разрешимость» в смысле теории групп — это простое свойство, которое можно легко проверить для конечных групп.)
12. Если мы хотим изучить кривую . Мы позволяем x и y быть комплексными числами: . Это, по сути, набор из двух уравнений с четырьмя переменными, поскольку и действительная, и мнимая часть с каждой стороны должны совпадать. В результате мы получаем поверхность (двумерную) в четырехмерном пространстве. После того, как мы выберем удобную гиперплоскость, на которую будем проецировать поверхность (имея в виду, что, скажем, мы решили игнорировать координату a ), мы можем построить полученную проекцию, которая является поверхностью в обычном трехмерном пространстве. Тогда становится ясно, что результатом является тор , грубо говоря, поверхность бублика (несколько растянутого). Бублик имеет одну дырку; следовательно, род равен 1. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+7}$ ${\displaystyle (a+bi)^{2}=(c+di)^{3}+7}$

Ссылки

1. Лонг 1972, стр. 1.
2. Neugebauer & Sachs 1945, стр. 40. Термин takiltum проблематичен. Робсон предпочитает перевод "Квадрат, удерживающий диагональ, из которой вырвана 1, так что короткая сторона выходит...". Робсон 2001, стр. 192
3. Robson 2001, стр. 189. Другие источники дают современную формулу . Van der Waerden дает как современную формулу, так и то, что составляет форму, предпочитаемую Robson. (van der Waerden 1961, стр. 79) ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$
4. ван дер Варден 1961, с. 184.
5. Нойгебауэр (Neugebauer 1969, стр. 36–40) подробно обсуждает таблицу и упоминает при передаче метод Евклида в современных обозначениях (Neugebauer 1969, стр. 39).
6. Фриберг 1981, стр. 302.
7. ван дер Варден 1961, с. 43.
8. Ямвлих , Жизнь Пифагора (перевод, например, Guthrie 1987), цитируется в van der Waerden 1961, стр. 108. См. также Порфирий , Жизнь Пифагора , параграф 6, в Guthrie 1987. Ван дер Варден (van der Waerden 1961, стр. 87–90) поддерживает точку зрения, что Фалес знал вавилонскую математику.
9. Геродот (II. 81) и Исократ ( Busiris 28), цитируется в: Huffman 2011. О Фалесе см. Eudemus ap. Proclus, 65.7, (например, Morrow 1992, p. 52) цитируется в: O'Grady 2004, p. 1. Прокл использовал работу Евдема Родосского (ныне утерянную), Catalogue of Geometers . См. также введение, Morrow 1992, p. xxx о надежности Прокла.
10. Беккер 1936, с. 533, цитируется по: van der Waerden 1961, p. 108.
11. Беккер 1936.
12. ван дер Варден 1961, с. 109.
13. Платон, Теэтет , стр. 147 B, (например, Jowett 1871), цитируется в von Fritz 2004, стр. 212: «Феодор писал нам что-то о корнях, таких как корни из трех или пяти, показывая, что они несоизмеримы с единицей;...» См. также Спираль Феодора .
14. фон Фриц 2004.
15. Хит 1921, стр. 76.
16. Sunzi Suanjing , Глава 3, Задача 26. Это можно найти в Lam & Ang 2004, стр. 219–220, где содержится полный перевод Suan Ching (на основе Qian 1963). См. также обсуждение в Lam & Ang 2004, стр. 138–140.
17. Дата текста была сужена до 220–420 гг. н. э. (Янь Дуньцзе) или 280–473 гг. н. э. (Ван Лин) с помощью внутренних доказательств (=систем налогообложения, предполагаемых в тексте). См. Lam & Ang 2004, стр. 27–28.
18. Даубен 2007, стр. 310
19. Либбрехт 1973
20. Бойер и Мерцбах 1991, стр. 82.
21. "Евсевий Кесарийский: Praeparatio Evangelica (Подготовка к Евангелию). Tr. EH Gifford (1903) – Book 10". Архивировано из оригинала 2016-12-11 . Получено 2017-02-20 .
22. Метафизика, 1.6.1 (987a)
23. Tusc. Disput. 1.17.39.
24. Варди 1998, стр. 305–319.
25. Вайль 1984, стр. 17–24.
26. Plofker 2008, стр. 119.
27. Любой ранний контакт между вавилонской и индийской математикой остается предположительным (Plofker 2008, стр. 42).
28. Мамфорд 2010, стр. 387.
29. Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Глава 2, стихи 32–33, цитируется в: Plofker 2008, стр. 134–140. См. также Clark 1930, стр. 42–50. Чуть более подробное описание kuṭṭaka было позже дано в Brahmagupta , Brāhmasphuṭasiddhānta , XVIII, 3–5 (в Colebrooke 1817, стр. 325, цитируется в Clark 1930, стр. 42).
30. Мамфорд 2010, стр. 388.
31. Плофкер 2008, стр. 194.
32. Плофкер 2008, стр. 283.
33. Кольбрук 1817.
34. Colebrooke 1817, стр. lxv, цитируется в Hopkins 1990, стр. 302. См. также предисловие в Sachau & Bīrūni 1888, цитируется в Smith 1958, стр. 168.
35. Pingree 1968, стр. 97–125 и Pingree 1970, стр. 103–123, цитируется в Plofker 2008, стр. 256.
36. Рашед 1980, стр. 305–321.
37. Баше , 1621, после первой попытки Ксиландера , 1575
38. Вайль 1984, стр. 45–46.
39. Weil 1984, стр. 118. Это было более актуально в теории чисел, чем в других областях (замечание в Mahoney 1994, стр. 284). Собственные доказательства Баше были «смехотворно неуклюжими» (Weil 1984, стр. 33).
40. Mahoney 1994, стр. 48, 53–54. Первоначальные темы переписки Ферма включали делители («аликвотные части») и многие темы за пределами теории чисел; см. список в письме Ферма Робервалю от 22.IX.1636, Tannery & Henry 1891, Vol. II, стр. 72, 74, цитируется в Mahoney 1994, стр. 54.
41. Фолкнер, Николас; Хош, Уильям Л. (2017). Числа и измерения. Encyclopaedia Britannica. ISBN 978-1538300428. Архивировано из оригинала 2023-03-01 . Получено 2019-08-06 .
42. Tannery & Henry 1891, Vol. II, стр. 209, Письмо XLVI от Ферма к Френиклу, 1640, цитируется в Weil 1984, стр. 56
43. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 204, цитируется в Weil 1984, p. 63. Все следующие цитаты из Varia Opera Ферма взяты из Weil 1984, Chap. II. Стандартная работа Tannery & Henry включает в себя пересмотр посмертной Varia Opera Mathematica Ферма, первоначально подготовленной его сыном (Fermat 1679).
44. Таннери и Генри 1891, т. II, стр. 213.
45. Таннери и Генри 1891, т. II, стр. 423.
46. Вайль 1984, стр. 92.
47. Таннери и Генри 1891, т. I, стр. 340–341.
48. Вайль 1984, стр. 115.
49. Вайль 1984, стр. 115–116.
50. Вайль 1984, стр. 2, 172.
51. Варадараджан 2006, стр. 9.
52. Вайль 1984, стр. 1–2.
53. Вейль 1984, с. 2 и Варадараджан 2006, с. 37
54. Варадараджан 2006, с. 39 и Вейль 1984, стр. 176–189.
55. Вайль 1984, стр. 178–179.
56. Weil 1984, стр. 174. Эйлер был щедр, отдавая должное другим (Varadarajan 2006, стр. 14), но не всегда справедливо.
57. Вайль 1984, стр. 183.
58. Варадараджан 2006, стр. 45–55; см. также главу III.
59. Варадараджан 2006, стр. 44–47.
60. Вайль 1984, стр. 177–179.
61. Эдвардс 1983, стр. 285–291.
62. Варадараджан 2006, стр. 55–56.
63. Вайль 1984, стр. 179–181.
64. Weil 1984, стр. 181.
65. "Andrew Wiles on Solving Fermat". WGBH . Ноябрь 2000. Архивировано из оригинала 17 марта 2016. Получено 16 марта 2016 .
66. Вайль 1984, стр. 327–328.
67. Вайль 1984, стр. 332–334.
68. Вайль 1984, стр. 337–338.
69. Голдштейн и Шаппахер 2007, стр. 14.
70. Из предисловия к Disquisitiones Arithmeticae ; перевод взят из Goldstein & Schappacher 2007, стр. 16
71. См. обсуждение в разделе 5 Goldstein & Schappacher 2007. Ранние признаки самосознания присутствуют уже в письмах Ферма: таковы его замечания о том, что такое теория чисел, и о том, что «работа Диофанта [...] на самом деле не принадлежит [к ней]» (цитируется в Weil 1984, стр. 25).
72. Apostol 1976, стр. 7.
73. Дэвенпорт и Монтгомери 2000, стр. 1.
74. См. доказательство в Davenport & Montgomery 2000, раздел 1.
75. Иванец и Ковальски 2004, с. 1.
76. Варадараджан 2006, разделы 2.5, 3.1 и 6.1.
77. Гранвиль 2008, стр. 322–348.
78. См. комментарий о важности модульности в Iwaniec & Kowalski 2004, стр. 1.
79. Голдфельд 2003.
80. См., например, первоначальный комментарий в Iwaniec & Kowalski 2004, стр. 1.
81. Granville 2008, раздел 1: «Главное отличие состоит в том, что в алгебраической теории чисел [...] обычно рассматриваются вопросы с ответами, которые даются точными формулами, тогда как в аналитической теории чисел [...] ищутся хорошие приближения ».
82. См. замечания во введении к Iwaniec & Kowalski 2004, стр. 1: «Однако гораздо сильнее...».
83. Granville 2008, раздел 3: «[Риман] определил то, что мы теперь называем дзета-функцией Римана [...] Глубокая работа Римана дала начало нашему предмету [...]»
84. См., например, Montgomery & Vaughan 2007, стр. 1.
85. Милн 2017, стр. 2.
86. Эдвардс 2000, стр. 79.
87. Дэвис, Мартин ; Матиясевич, Юрий ; Робинсон, Джулия (1976). «Десятая проблема Гильберта: Диофантовы уравнения: Положительные аспекты отрицательного решения». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том XXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 323–378. ISBN 978-0-8218-1428-4. Збл  0346.02026.Перепечатано в «Собрании сочинений Джулии Робинсон» , редактор Соломон Феферман , стр. 269–378, Американское математическое общество, 1996.
88. Необоснованная эффективность теории чисел , Стефан Андрус Берр, Джордж Э. Эндрюс, Американское математическое общество, 1992, ISBN 978-0-8218-5501-0 
89. «Информатика и ее связь с математикой» DE Knuth – The American Mathematical Monthly, 1974
90. «Применение теории чисел к численному анализу», Ло-кэн Хуа, Луоген Хуа, Юань Ван, Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-10382-0 
91. Введение в теорию чисел с криптографией (2-е изд.). Chapman and Hall/CRC. 2018. doi :10.1201/9781351664110. ISBN 978-1-351-66411-0. Архивировано из оригинала 2023-03-01 . Получено 2023-02-22 .
92. Кришна, Хари (2017). Алгоритмы цифровой обработки сигналов: теория чисел, свертка, быстрые преобразования Фурье и приложения. Лондон. ISBN 978-1-351-45497-1. OCLC  1004350753. Архивировано из оригинала 2023-03-01 . Получено 2023-02-22 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
93. Шумайер, Дэниел; Хатчинсон, Дэвид AW (2011). «Физика гипотезы Римана». Reviews of Modern Physics . 83 (2): 307–330. arXiv : 1101.3116 . Bibcode :2011RvMP...83..307S. doi :10.1103/RevModPhys.83.307. S2CID  119290777.
94. Бейлис, Джон (2018). Коды исправления ошибок: математическое введение. Routledge. doi : 10.1201/9780203756676. ISBN 978-0-203-75667-6. Архивировано из оригинала 2023-03-01 . Получено 2023-02-22 .
95. Livné, R. (2001), Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina (ред.), "Сети связи и модулярные формы Гильберта", Applications of Algebraic Geometry to Coding Theory, Physics and Computation , Dordrecht: Springer Netherlands, стр. 255–270, doi :10.1007/978-94-010-1011-5_13, ISBN 978-1-4020-0005-8, заархивировано из оригинала 2023-03-01 , извлечено 2023-02-22
96. Картрайт, Хулиан Х. Э.; Гонсалес, Диего Л.; Пиро, Оресте; Станциаль, Доменико (2002-03-01). «Эстетика, динамика и музыкальные шкалы: золотая связь». Журнал новых музыкальных исследований . 31 (1): 51–58. doi : 10.1076/jnmr.31.1.51.8099. hdl : 10261/18003 . ISSN  0929-8215. S2CID  12232457.

Источники

• Добен, Джозеф В. (2007), «Глава 3: Китайская математика», в Katz, Victor J. (ред.), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник , Princeton University Press, стр. 187–384, ISBN 978-0-691-11485-9
• Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Бакалаврские тексты по математике . Springer . ISBN 978-0-387-90163-3. Получено 28.02.2016 .
• Либбрехт, Ульрих (1973), Китайская математика в тринадцатом веке: «Шу-шу Цзю-чан» Цинь Цзю-шао , Dover Publications Inc, ISBN 978-0-486-44619-6
• Апостол, Том М. (1981). "Введение в теорию чисел (Обзор Харди и Райта)". Mathematical Reviews (MathSciNet) . Американское математическое общество . MR  0568909.(Требуется подписка)
• Беккер, Оскар (1936). «Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik . Abteilung B:Studien (на немецком языке). 3 : 533–553.
• Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С. (1991) [1968]. История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley . ISBN 978-0-471-54397-8.Издание 1968 года на archive.org
• Кларк, Уолтер Юджин (перевод) (1930). Арьябхатийа Арьябхаты: Древний индийский труд по математике и астрономии. Издательство Чикагского университета . Получено 28.02.2016 .
• Кольбрук, Генри Томас (1817). Алгебра с арифметикой и измерением из санскрита Брахмегупты и Бхаскары. Лондон: J. Murray . Получено 28.02.2016 .
• Дэвенпорт, Гарольд ; Монтгомери, Хью Л. (2000). Мультипликативная теория чисел . Graduate Texts in Mathematics. Том 74 (пересмотренное 3-е изд.). Springer . ISBN 978-0-387-95097-6.
• Эдвардс, Гарольд М. (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и квадратичная взаимность». Mathematics Magazine . 56 (5): 285–291. doi :10.2307/2690368. JSTOR  2690368.
• Эдвардс, Гарольд М. (2000) [1977]. Великая теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Graduate Texts in Mathematics. Том 50 (переиздание издания 1977 года). Springer Verlag . ISBN 978-0-387-95002-0.
• Ферма, Пьер де (1679). Varia Opera Mathematica (на французском и латинском языках). Тулуза: Joannis Pech . Получено 28.02.2016 .
• Фриберг, Йоран (август 1981 г.). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, Пифагоровые тройки и уравнения параметров вавилонского треугольника». Historia Mathematica . 8 (3): 277–318. doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
• фон Фриц, Курт (2004). «Открытие несоизмеримости Гиппасом из Метапонта». В Christianidis, J. (ред.). Классика в истории греческой математики . Берлин: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Гаусс, Карл Фридрих ; Уотерхаус, Уильям К. (пер.) (1966) [1801]. Арифметические исследования. Спрингер. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Goldfeld, Dorian M. (2003). "Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-03-03 . Получено 2016-02-28 .
• Гольдштейн, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт (2007). «Книга в поисках дисциплины». В Гольдштейне, К.; Шаппахер, Н.; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин и Гейдельберг: Springer. стр. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Получено 28.02.2016 .
• Грэнвилл, Эндрю (2008). «Аналитическая теория чисел». В Gowers, Тимоти ; Barrow-Green, Джун; Leader, Имре (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11880-2. Получено 28.02.2016 .
• Порфирий ; Гатри, К. С. (перевод) (1920). Жизнь Пифагора. Alpine, Нью-Джерси: Platonist Press. Архивировано из оригинала 29-02-2020 . Получено 10-04-2012 .
• Гатри, Кеннет Сильван (1987). Пифагорейский справочник и библиотека . Гранд-Рапидс, Мичиган: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Э. М. (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (6-е изд.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. МР  2445243.
• Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики, том 1: От Фалеса до Евклида. Оксфорд: Clarendon Press . Получено 28.02.2016 .
• Hopkins, JFP (1990). "Географическая и навигационная литература". В Young, MJL; Latham, JD; Serjeant, RB (ред.). Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period . Кембриджская история арабской литературы. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-32763-3.
• Хаффман, Карл А. (8 августа 2011 г.). «Пифагор». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (ред. осень 2011 г.). Архивировано из оригинала 2 декабря 2013 г. . Получено 7 февраля 2012 г. .
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Платон ; Джоветт, Бенджамин (перевод) (1871). Теэтет. Архивировано из оригинала 2011-07-09 . Получено 2012-04-10 .
• Лам, Лэй Йонг ; Анг, Тянь Се (2004). Мимолетные шаги: отслеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае (пересмотренное издание). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Получено 28.02.2016 .
• Лонг, Кэлвин Т. (1972). Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.). Лексингтон, Вирджиния: DC Heath and Company . LCCN  77171950.
• Махони, М. С. (1994). Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601–1665 (переиздание, 2-е изд.). Princeton University Press . ISBN 978-0-691-03666-3. Получено 28.02.2016 .
• Milne, JS (18 марта 2017 г.). "Алгебраическая теория чисел" . Получено 7 апреля 2020 г.
• Монтгомери, Хью Л.; Воган , Роберт К. (2007). Мультипликативная теория чисел: I, Классическая теория. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Получено 28.02.2016 .
• Морроу, Гленн Рэймонд (перевод, ред.); Прокл (1992). Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Mumford, David (март 2010 г.). "Mathematics in India: reviewed by David Mumford" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 57 (3): 387. ISSN  1088-9477. Архивировано (PDF) из оригинала 2021-05-06 . Получено 2021-04-28 .
• Нойгебауэр, Отто Э. (1969). Точные науки в древности . Том. 9. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.
• Нойгебауэр, Отто Э .; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945). Математические клинописные тексты . Американский восточный сериал. Том. 29. Американское восточное общество и т. д.
• О'Грейди, Патриция (сентябрь 2004 г.). «Фалес Милетский». Интернет-энциклопедия философии. Архивировано из оригинала 6 января 2016 г. Получено 7 февраля 2012 г.
• Пингри, Дэвид ; Якуб, ибн Тарик (1968). «Фрагменты трудов Якуба ибн Тарика». Журнал ближневосточных исследований . 26 .
• Пингри, Д .; аль-Фазари (1970). «Фрагменты трудов аль-Фазари». Журнал ближневосточных исследований . 28 .
• Плофкер, Ким (2008). Математика в Индии . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Qian, Baocong, ed. (1963). Suanjing shi shu (Десять математических классических произведений) (на китайском языке). Пекин: Zhonghua shuju. Архивировано из оригинала 2013-11-02 . Получено 2016-02-28 .
• Рашед, Рошди (1980). «Ибн аль-Хайтам и теория Вильсона». Архив истории точных наук . 22 (4): 305–321. doi :10.1007/BF00717654. S2CID  120885025.
• Робсон, Элеанор (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» (PDF) . Historia Mathematica . 28 (3): 167–206. doi :10.1006/hmat.2001.2317. Архивировано из оригинала (PDF) 21 октября 2014 г.
• Сахау, Эдуард ; Бируни, Мухаммад ибн Ахмад (1888). Индия Аль-Беруни: отчет о религии, философии, литературе, географии, хронологии, астрономии и астрологии Индии, т. 1. Лондон: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Архивировано из оригинала 03.03.2016 . Получено 28.02.2016 .
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики. Graduate Texts in Mathematics. Том 7. Springer . ISBN 978-0-387-90040-7.
• Смит, Д. Э. (1958). История математики, т. I. Нью-Йорк: Dover Publications.
• Таннери, Пол ; Ферма, Пьер де (1891). Чарльз Генри (ред.). Творения Ферма. (4 тома) (на французском и латыни). Париж: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils.Том 1 Том 2 Том 3 Том 4 (1912)
• Ямвлих ; Тейлор, Томас (перевод) (1818). Жизнь Пифагора или пифагорическая жизнь. Лондон: JM Watkins. Архивировано из оригинала 21-07-2011.{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Для других изданий см. Ямвлих#Список изданий и переводов
• Truesdell, CA (1984). "Leonard Euler, Supreme Geometer". В Hewlett, John (перевод) (ред.). Leonard Euler, Elements of Algebra (переиздание 1840 г., 5-е изд.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96014-2.В этом предварительном просмотре « Элементов алгебры» в Google Books отсутствует введение Труэсделла, которое перепечатано (с небольшими сокращениями) в следующей книге:
• Truesdell, CA (2007). "Leonard Euler, Supreme Geometer". В Dunham, William (ред.). The Genius of Euler: reflections on his life and works . Volume 2 of MAA 300-летний юбилей Эйлера. New York: Mathematical Association of America . ISBN 978-0-88385-558-4. Получено 28.02.2016 .
• Варадараджан, ВС (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7. Получено 28.02.2016 .
• Варди, Илан (апрель 1998 г.). "Archimedes' Cattle Problem" (PDF) . American Mathematical Monthly . 105 (4): 305–319. CiteSeerX  10.1.1.383.545 . doi :10.2307/2589706. JSTOR  2589706. Архивировано (PDF) из оригинала 2012-07-15 . Получено 2012-04-08 .
• ван дер Варден, Бартель Л.; Дрезден, Арнольд (перевод) (1961). Пробуждение науки . Том 1 или 2. Нью-Йорк: Oxford University Press .
• Вайль, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю – от Хаммурапи до Лежандра. Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Получено 28.02.2016 .

• В данной статье использованы материалы статьи Citizendium «Теория чисел», которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не по лицензии GFDL .

Дальнейшее чтение

Два самых популярных введения в эту тему:

• GH Hardy ; EM Wright (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (перераб. DR Heath-Brown и JH Silverman, 6-е изд.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. Получено 2016-03-02 .
• Виноградов, ИМ (2003) [1954]. Элементы теории чисел (переиздание издания 1954 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications.

Книга Харди и Райта является всеобъемлющей классикой, хотя ее ясность иногда страдает из-за настойчивости авторов на элементарных методах (Apostol 1981). Главная привлекательность Виноградова заключается в его наборе проблем, которые быстро приводят к собственным исследовательским интересам Виноградова; сам текст очень базовый и близок к минимальному. Другие популярные первые введения:

• Иван М. Нивен ; Герберт С. Цукерман; Хью Л. Монтгомери (2008) [1960]. Введение в теорию чисел (переиздание 5-го издания 1991 г.). John Wiley & Sons . ISBN 978-81-265-1811-1. Получено 28.02.2016 .
• Кеннет Х. Розен (2010). Элементарная теория чисел (6-е изд.). Pearson Education . ISBN 978-0-321-71775-7. Получено 28.02.2016 .

Популярные варианты второго учебника включают в себя:

• Боревич, А.И .; Шафаревич, Игорь Р. (1966). Теория чисел. Чистая и прикладная математика. Т. 20. Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-117850-5. МР  0195803.
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики. Graduate Texts in Mathematics . Том 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

Внешние ссылки

• Статья по теории чисел в энциклопедии математики
• Теория чисел Веб