Алгебраическая геометрия — раздел математики , который использует абстрактные алгебраические методы, в основном из коммутативной алгебры , для решения геометрических задач . Классически он изучает нули многомерных многочленов ; современный подход обобщает это в нескольких различных аспектах.
Основным объектом изучения алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия , являющиеся геометрическими проявлениями решений систем полиномиальных уравнений . Примерами наиболее изученных классов алгебраических многообразий являются прямые , окружности , параболы , эллипсы , гиперболы , кубические кривые типа эллиптических кривых и кривые четвертой степени типа лемнискат и овалов Кассини . Это плоские алгебраические кривые . Точка плоскости лежит на алгебраической кривой, если ее координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению . Основные вопросы включают изучение точек особого интереса, таких как особые точки , точки перегиба и точки на бесконечности . Более сложные вопросы связаны с топологией кривой и взаимосвязью между кривыми, определяемыми различными уравнениями.
Алгебраическая геометрия занимает центральное место в современной математике и имеет многочисленные концептуальные связи с такими разнообразными областями, как комплексный анализ , топология и теория чисел . Как изучение систем полиномиальных уравнений с несколькими переменными, предмет алгебраической геометрии начинается с поиска конкретных решений посредством решения уравнений , а затем переходит к пониманию внутренних свойств совокупности решений системы уравнений. Это понимание требует как концептуальной теории, так и вычислительной техники.
В 20 веке алгебраическая геометрия распалась на несколько подобластей.
Большая часть развития основного направления алгебраической геометрии в 20-м веке произошла в рамках абстрактной алгебраической структуры, при этом все большее внимание уделялось «внутренним» свойствам алгебраических многообразий, не зависящим от какого-либо конкретного способа встраивания многообразия в окружающее координатное пространство; это соответствует развитию топологии, дифференциальной и комплексной геометрии . Одним из ключевых достижений этой абстрактной алгебраической геометрии является теория схем Гротендика , которая позволяет использовать теорию пучков для изучения алгебраических многообразий способом, который очень похож на ее использование при изучении дифференциальных и аналитических многообразий . Это достигается путем расширения понятия точки: в классической алгебраической геометрии точка аффинного многообразия может быть отождествлена с помощью Nullstellensatz Гильберта с максимальным идеалом координатного кольца , в то время как все точки соответствующей аффинной схемы являются простыми идеалами. этого кольца. Это означает, что точка такой схемы может быть как обычной точкой, так и подмногообразием. Этот подход также позволяет унифицировать язык и инструменты классической алгебраической геометрии, в основном связанной с комплексными точками, и теории алгебраических чисел. Доказательство Уайлса давней гипотезы, называемой Великой теоремой Ферма, является примером силы этого подхода.
В классической алгебраической геометрии основными объектами интереса являются исчезающие множества наборов полиномов , то есть совокупность всех точек, которые одновременно удовлетворяют одному или нескольким полиномиальным уравнениям . Например, двумерную сферу радиуса 1 в трехмерном евклидовом пространстве R3 можно определить как набор всех точек ( x , y , z ) с
«Наклонный» круг в R3 можно определить как набор всех точек ( x , y , z ), которые удовлетворяют двум полиномиальным уравнениям
Сначала мы начнем с поля k . В классической алгебраической геометрии этим полем всегда были комплексные числа C , но многие из тех же результатов верны, если мы предположим только, что k алгебраически замкнуто . Мы рассматриваем аффинное пространство размерности n над k , обозначаемое An ( k ) (или проще An , когда k ясно из контекста). Когда кто -то фиксирует систему координат, можно отождествить An ( k ) с k n . Цель отказа от работы с k n состоит в том, чтобы подчеркнуть, что человек «забывает» структуру векторного пространства, которую несет k n .
Функция f : An → A 1 называется полиномиальной (или регулярной ), если ее можно записать в виде многочлена, то есть если существует многочлен p из k [ x 1 , ..., x n ] такой, что что f ( M ) = p ( t 1 , ..., t n ) для каждой точки M с координатами ( t 1 ,..., t n ) в An . Свойство функции быть полиномиальной (или регулярной) не зависит от выбора системы координат в An .
При выборе системы координат регулярные функции в аффинном n -пространстве можно отождествить с кольцом полиномиальных функций от n переменных над k . Следовательно, множество регулярных функций на An представляет собой кольцо, которое обозначается k [ An ] .
Мы говорим, что многочлен обращается в нуль в какой-то точке, если его вычисление в этой точке дает ноль. Пусть S — набор многочленов от k [ An ] . Исчезающее множество S (или исчезающее множество, или нулевое множество ) — это множество V ( S ) всех точек в An , где каждый многочлен из S обращается в нуль. Символически,
Подмножество An , которое является V ( S ), для некоторого S , называется алгебраическим множеством . Буква V означает разнообразие (определенный тип алгебраического множества будет определен ниже).
Можно ли по заданному подмножеству U множества An восстановить набор полиномов, которые его порождают ? Если U — любое подмножество An , определите I ( U ) как множество всех многочленов, чье исчезающее множество содержит U. I означает идеал : если два многочлена f и g обращаются в нуль на U , то f + g обращается в нуль на U , и если h — любой полином, то hf исчезает на U , поэтому I ( U ) всегда является идеалом полинома. кольцо к [ А н ].
Два естественных вопроса, которые следует задать:
Ответ на первый вопрос дает введение топологии Зарисского — топологии на An , замкнутые множества которой являются алгебраическими множествами и которая непосредственно отражает алгебраическую структуру k [ An ] . Тогда U = V ( I ( U )) тогда и только тогда, когда U — алгебраическое множество или, что то же самое, замкнутое по Зарисскому множество. Ответ на второй вопрос дает Nullstellensatz Гильберта . В одной из своих форм оно говорит, что I ( V ( S ) ) — радикал идеала, порожденного S. Говоря более абстрактным языком, существует связь Галуа , порождающая два оператора замыкания ; их можно идентифицировать, и они, естественно, играют основную роль в теории; пример развит при подключении Галуа .
По разным причинам мы не всегда можем захотеть работать со всем идеалом, соответствующим алгебраическому множеству U. Базисная теорема Гильберта подразумевает, что идеалы в k [ An ] всегда конечно порождены .
Алгебраическое множество называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух меньших алгебраических множеств. Любое алгебраическое множество представляет собой конечное объединение неприводимых алгебраических множеств, и это разложение единственно. Поэтому его элементы называются неприводимыми компонентами алгебраического множества. Неприводимое алгебраическое множество также называют многообразием . Оказывается, алгебраическое множество является многообразием тогда и только тогда, когда его можно определить как исчезающее множество простого идеала кольца многочленов.
Некоторые авторы не проводят четкого различия между алгебраическими множествами и многообразиями и при необходимости используют неприводимое разнообразие , чтобы провести различие.
Подобно тому, как непрерывные функции являются естественными отображениями на топологических пространствах , а гладкие функции — естественными отображениями на дифференцируемых многообразиях , существует естественный класс функций на алгебраическом множестве, называемый регулярными функциями или полиномиальными функциями . Регулярная функция на алгебраическом множестве V , содержащемся в An , является ограничением на V регулярной функции на An . Для алгебраического множества, определенного в поле комплексных чисел, регулярные функции гладкие и даже аналитические .
Требование, чтобы регулярная функция всегда распространялась на окружающее пространство, может показаться неестественно ограничительным, но это очень похоже на ситуацию в нормальном топологическом пространстве , где теорема о расширении Титце гарантирует, что непрерывная функция на замкнутом подмножестве всегда распространяется на окружающее топологическое пространство.
Как и регулярные функции в аффинном пространстве, регулярные функции на V образуют кольцо, которое мы обозначаем k [ V ]. Это кольцо называется координатным кольцом V.
Поскольку регулярные функции на V происходят от регулярных функций на An , между координатными кольцами существует связь. В частности, если регулярная функция на V является ограничением двух функций f и g в k [ A n ], то f - g является полиномиальной функцией, которая является нулевой на V и, следовательно, принадлежит I ( V ). Таким образом, k [ V ] можно отождествить с k [ An ]/ I ( V ).
Используя регулярные функции из аффинного многообразия в A 1 , мы можем определить регулярные отображения одного аффинного многообразия в другое. Сначала мы определим регулярное отображение многообразия в аффинное пространство: пусть V — многообразие, содержащееся в An . Выберите m регулярных функций на V и назовите их f 1 , ..., f m . Мы определяем регулярное отображение f из V в Am , полагая f = ( f 1 , ..., f m ) . Другими словами, каждый f i определяет одну координату диапазона f .
Если V ′ — многообразие, содержащееся в Am , мы говорим, что f – регулярное отображение из V в V ′, если диапазон f содержится в V ′.
Определение регулярных отображений применимо и к алгебраическим множествам. Регулярные карты также называются морфизмами , поскольку они превращают совокупность всех аффинных алгебраических множеств в категорию , где объектами являются аффинные алгебраические множества, а морфизмы — регулярные карты. Аффинные многообразия — это подкатегория категории алгебраических множеств.
Учитывая регулярное отображение g из V в V ′ и регулярную функцию f от k [ V ′ ], то f ∘ g ∈ k [ V ] . Отображение f → f ∘ g является кольцевым гомоморфизмом из k [ V ′] в k [ V ]. И наоборот, каждый гомоморфизм колец из k [ V ′] в k [ V ] определяет регулярное отображение из V в V ′. Это определяет эквивалентность категорий между категорией алгебраических множеств и противоположной категорией конечно порожденных приведенных k -алгебр . Эта эквивалентность является одной из отправных точек теории схем .
В отличие от предыдущих разделов, этот раздел касается только многообразий, а не алгебраических множеств. С другой стороны, определения естественным образом распространяются на проективные многообразия (следующий раздел), поскольку аффинное многообразие и его проективное пополнение имеют одно и то же поле функций.
Если V — аффинное многообразие, его координатное кольцо является областью целостности и, таким образом, имеет поле частных , которое обозначается k ( V ) и называется полем рациональных функций на V или, короче, функциональным полем V. Его элементами являются ограничения на V рациональных функций в аффинном пространстве, содержащем V . Областью определения рациональной функции f является не V , а дополнение подмногообразия (гиперповерхности), где знаменатель f обращается в нуль.
Как и в случае с обычными картами, можно определить рациональное отображение многообразия V в многообразие V '. Как и в случае с регулярными отображениями, рациональные отображения из V в V ' можно отождествить с гомоморфизмами полей из k ( V ') в k ( V ).
Два аффинных многообразия бирационально эквивалентны, если между ними существуют две рациональные функции, обратные друг другу в областях, где обе определены. Эквивалентно, они бирационально эквивалентны, если их функциональные поля изоморфны.
Аффинное многообразие называется рациональным многообразием , если оно бирационально эквивалентно аффинному пространству. Это означает, что многообразие допускает рациональную параметризацию , т. е. параметризацию рациональными функциями . Например, круг уравнения представляет собой рациональную кривую, так как имеет параметрическое уравнение
которую также можно рассматривать как рациональное отображение линии в круг.
Проблема разрешения особенностей состоит в том, чтобы узнать, каждое ли алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, проективное пополнение которого неособо (см. также гладкое пополнение ). Она была положительно решена в характеристике 0 Хейсуке Хиронакой в 1964 году и до сих пор не решена в конечной характеристике.
Точно так же, как формулы для корней многочленов второй, третьей и четвертой степени предполагают расширение действительных чисел до более алгебраически полного набора комплексных чисел, многие свойства алгебраических многообразий предполагают расширение аффинного пространства до более геометрически полного проективного пространства. В то время как комплексные числа получаются путем сложения числа i , корня многочлена x 2 + 1 , проективное пространство получается путем добавления в соответствующие точки «на бесконечности», точки, где могут пересекаться параллельные линии.
Чтобы увидеть, как это может произойти, рассмотрим многообразие V ( y − x 2 ) . Если мы нарисуем ее, то получим параболу . Когда x стремится к положительной бесконечности, наклон линии от начала координат до точки ( x , x 2 ) также стремится к положительной бесконечности. Когда x стремится к отрицательной бесконечности, наклон той же линии стремится к отрицательной бесконечности.
Сравните это с многообразием V ( y − x 3 ). Это кубическая кривая . Когда x стремится к положительной бесконечности, наклон линии от начала координат до точки ( x , x 3 ) стремится к положительной бесконечности, как и раньше. Но в отличие от предыдущего случая, когда x стремится к отрицательной бесконечности, наклон той же линии также стремится к положительной бесконечности; полная противоположность параболе. Таким образом, поведение V ( y − x 3 ) «на бесконечности» отличается от поведения V ( y − x 2 ) «на бесконечности».
Учет проективного завершения двух кривых, представляющий собой их продолжение «на бесконечности» в проективной плоскости , позволяет количественно оценить это различие: точка на бесконечности параболы является правильной точкой , касательной к которой является линия, находящаяся на бесконечности. , а точка на бесконечности кубической кривой является точкой возврата . Кроме того, обе кривые рациональны, поскольку они параметризованы x , а из теоремы Римана-Роха следует, что кубическая кривая должна иметь особенность, которая должна находиться на бесконечности, поскольку все ее точки в аффинном пространстве регулярны.
Таким образом, многие свойства алгебраических многообразий, включая бирациональную эквивалентность и все топологические свойства, зависят от поведения «на бесконечности», и поэтому естественно изучать многообразия в проективном пространстве. Более того, введение проективных методов сделало многие теоремы алгебраической геометрии проще и точнее: например, теорема Безу о количестве точек пересечения двух многообразий может быть сформулирована в наиболее точной форме только в проективном пространстве. По этим причинам проективное пространство играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии.
В настоящее время проективное пространство P n размерности n обычно определяется как набор линий, проходящих через точку, считающуюся началом координат, в аффинном пространстве размерности n + 1 или, что то же самое, как набор векторных линий в векторное пространство размерности n + 1 . Когда система координат выбрана в пространстве размерности n + 1 , все точки линии имеют одинаковый набор координат с точностью до умножения на элемент k . Это определяет однородные координаты точки P n как последовательность из n + 1 элементов основного поля k , определенную с точностью до умножения на ненулевой элемент k (то же самое для всей последовательности).
Многочлен от n + 1 переменных обращается в нуль во всех точках прямой, проходящей через начало координат, тогда и только тогда, когда он однороден . В этом случае говорят, что полином обращается в нуль в соответствующей точке Pn . Это позволяет нам определить проективное алгебраическое множество в P n как множество V ( f 1 , ..., f k ) , где конечное множество однородных многочленов { f 1 , ..., f k } обращается в нуль. Как и в случае с аффинными алгебраическими множествами, существует биекция между проективными алгебраическими множествами и определяющими их приведенными однородными идеалами . Проективные многообразия — это проективные алгебраические множества, определяющий идеал которых является простым. Другими словами, проективное многообразие — это проективное алгебраическое множество, однородное координатное кольцо которого является областью целостности , причем кольцо проективных координат определяется как частное градуированного кольца или многочленов от n + 1 переменных по однородному (приведенному) идеалу. определение сорта. Каждое проективное алгебраическое множество однозначно разлагается в конечное объединение проективных многообразий.
Единственные регулярные функции, которые могут быть правильно определены на проективном многообразии, — это постоянные функции. Таким образом, это понятие не используется в проективных ситуациях. С другой стороны, полезным понятием является поле рациональных функций или функциональное поле , которое, как и в аффинном случае, определяется как множество частных двух однородных элементов одной степени в однородном координатном кольце.
Настоящая алгебраическая геометрия - это изучение действительных алгебраических многообразий.
В таком исследовании нельзя игнорировать тот факт, что поле действительных чисел является упорядоченным полем . Например, кривая уравнения представляет собой круг, если , но не имеет действительных точек, если . Реальная алгебраическая геометрия также исследует, в более широком смысле, полуалгебраические множества , которые являются решениями систем полиномиальных неравенств. Например, ни одна из ветвей гиперболы уравнения не является действительным алгебраическим многообразием. Однако ветвь в первом квадранте представляет собой полуалгебраическое множество, определяемое и .
Одной из открытых проблем реальной алгебраической геометрии является следующая часть шестнадцатой проблемы Гильберта : решить, какие соответствующие положения возможны для овалов неособой плоской кривой степени 8.
Зарождение вычислительной алгебраической геометрии можно датировать встречей EUROSAM'79 (Международным симпозиумом по символическим и алгебраическим манипуляциям), состоявшейся в Марселе , Франция, в июне 1979 года. На этой встрече
С тех пор большинство результатов в этой области связаны с одним или несколькими из этих пунктов либо путем использования или улучшения одного из этих алгоритмов, либо путем поиска алгоритмов, сложность которых просто экспоненциально зависит от числа переменных.
За последние несколько десятилетий был разработан корпус математической теории, дополняющий символические методы, называемый численной алгебраической геометрией . Основным методом вычислений является продолжение гомотопии . Это поддерживает, например, модель вычислений с плавающей запятой для решения задач алгебраической геометрии.
Базис Грёбнера — это система генераторов полиномиального идеала , вычисление которой позволяет вывести многие свойства аффинного алгебраического многообразия, определяемого идеалом.
Учитывая идеал I, определяющий алгебраическое множество V :
Вычисления на основе Грёбнера не позволяют напрямую вычислить первичное разложение I или простые идеалы, определяющие неприводимые компоненты V , но большинство алгоритмов для этого включают вычисление на основе Грёбнера. Алгоритмы, не основанные на базисах Грёбнера, используют регулярные цепочки , но в некоторых исключительных ситуациях могут нуждаться в базисах Грёбнера.
Базисы Грёбнера считаются трудными для вычисления. Фактически они могут содержать, в худшем случае, многочлены, степень которых является дважды экспоненциальной по числу переменных, и число многочленов, которое также является дважды экспоненциальным. Однако это лишь наихудший случай сложности, и часто может применяться оценка сложности алгоритма Лазарда 1979 года. Алгоритм Фожера F5 реализует эту сложность, поскольку его можно рассматривать как улучшение алгоритма Лазара 1979 года. Отсюда следует, что лучшие реализации позволяют почти рутинно выполнять вычисления с алгебраическими наборами степени более 100. Это означает, что в настоящее время сложность вычисления базиса Грёбнера сильно связана с внутренней сложностью проблемы.
CAD — это алгоритм, предложенный в 1973 году Дж. Коллинзом для реализации с приемлемой сложностью теоремы Тарского–Зейденберга об исключении кванторов над действительными числами.
Эта теорема касается формул логики первого порядка , атомарные формулы которых представляют собой полиномиальные равенства или неравенства между многочленами с действительными коэффициентами. Таким образом, эти формулы являются формулами, которые могут быть составлены из атомарных формул с помощью логических операторов и (∧), или (∨), а не (¬), для всех (∀) и существования (∃). Теорема Тарского утверждает, что по такой формуле можно вычислить эквивалентную формулу без квантора (∀, ∃).
Сложность САПР вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это означает, что САПР теоретически позволяет решить любую проблему реальной алгебраической геометрии, которая может быть выражена такой формулой, то есть почти любую проблему, касающуюся явно заданных многообразий и полуалгебраических множеств.
В то время как вычисления на основе Грёбнера имеют двойную экспоненциальную сложность лишь в редких случаях, CAD почти всегда имеет такую высокую сложность. Это означает, что, если большинство полиномов, появляющихся во входных данных, не являются линейными, он не может решить проблемы с более чем четырьмя переменными.
С 1973 года большая часть исследований по этой теме посвящена либо совершенствованию САПР, либо поиску альтернативных алгоритмов в частных случаях, представляющих общий интерес.
В качестве примера современного уровня техники можно привести эффективные алгоритмы, позволяющие найти хотя бы точку в каждом связном компоненте полуалгебраического набора и, таким образом, проверить, пусто ли полуалгебраическое множество. С другой стороны, САПР на практике пока остается лучшим алгоритмом для подсчета количества связанных компонентов.
Основные общие алгоритмы вычислительной геометрии имеют двойную экспоненциальную сложность в худшем случае . Точнее, если d — максимальная степень входных полиномов, а n — количество переменных, их сложность не превышает некоторой константы c , а для некоторых входных данных сложность не превышает другой константы c ′.
За последние 20 лет 20-го века были введены различные алгоритмы для решения конкретных подзадач большей сложности. Большинство из этих алгоритмов имеют сложность . [1]
Среди этих алгоритмов, которые решают подзадачу задач, решаемых базисами Грёбнера, можно упомянуть проверку пустости аффинного многообразия и решение неоднородных полиномиальных систем, которые имеют конечное число решений. Такие алгоритмы редко реализуются, поскольку для большинства записей алгоритмы Фожера F4 и F5 имеют более высокую практическую эффективность и, вероятно, аналогичную или лучшую сложность ( вероятно, потому, что оценка сложности алгоритмов на основе Грёбнера для определенного класса записей является сложной задачей, которую делалось лишь в нескольких особых случаях).
Основные алгоритмы реальной алгебраической геометрии, решающие задачи, решаемые САПР, связаны с топологией полуалгебраических множеств. Можно сослаться на подсчет количества связных компонентов , проверку того, находятся ли две точки в одних и тех же компонентах , или вычисление стратификации Уитни реального алгебраического множества . Их сложность равна , но константа, включаемая в обозначение O , настолько велика, что их использование для решения любой нетривиальной задачи, эффективно решаемой САПР, невозможно, даже если бы можно было использовать всю существующую в мире вычислительную мощность. Следовательно, эти алгоритмы никогда не были реализованы, и это активная область исследований для поиска алгоритмов, обладающих хорошей асимптотической сложностью и хорошей практической эффективностью.
Современные подходы к алгебраической геометрии переопределяют и эффективно расширяют круг базовых объектов на различных уровнях общности до схем, формальных схем , инд-схем , алгебраических пространств , алгебраических стеков и так далее. Необходимость в этом возникает уже из полезных идей теории многообразий, например, формальные функции Зарисского могут быть реализованы путем введения нильпотентных элементов в структурные кольца; рассмотрение пространств петель и дуг, построение факторов по групповым действиям и разработка формальных основ естественной теории пересечений и теории деформации приводят к некоторым дальнейшим расширениям.
Самое примечательное, что в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в концепцию схемы Александра Гротендика . Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые представляют собой локально окольцованные пространства, образующие категорию, антиэквивалентную категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категорией конечно порожденных колец. редуцированные k -алгебры. Склейка осуществляется по топологии Зарисского; можно склеить внутри категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зарисского в теоретико-множественном смысле заменяется тогда топологией Гротендика . Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зарисского, а именно этальная топология , и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc; в настоящее время стали известны некоторые другие примеры, включая топологию Нисневича . Кроме того, пучки могут быть обобщены на стопки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, приводящими к стопкам Артина и, что еще лучше, стопкам Делиня-Мамфорда , которые часто называют алгебраическими стопками.
Иногда категорию аффинных схем заменяют другие алгебраические узлы. Например, Николай Дуров ввел коммутативные алгебраические монады как обобщение локальных объектов в обобщенной алгебраической геометрии. В этой установке были реализованы варианты тропической геометрии , абсолютной геометрии над одноэлементным полем и алгебраический аналог геометрии Аракелова .
Другое формальное обобщение возможно на универсальную алгебраическую геометрию , в которой каждое многообразие алгебр имеет свою собственную алгебраическую геометрию. Термин «многообразие алгебр» не следует путать с алгебраическим многообразием .
Язык схем, стеков и обобщений оказался ценным способом работы с геометрическими концепциями и стал краеугольным камнем современной алгебраической геометрии.
Алгебраические стеки можно дополнительно обобщить, и для многих практических вопросов, таких как теория деформаций и теория пересечений, это часто является наиболее естественным подходом. Можно расширить узел Гротендика аффинных схем до более высокого категориального узла производных аффинных схем , заменив коммутативные кольца бесконечной категорией дифференциально-градуированных коммутативных алгебр или симплициальных коммутативных колец или аналогичной категории подходящим вариантом узла Гротендика. топология. Можно также заменить предпучки множеств предпучками симплициальных множеств (или бесконечных группоидов). Тогда, при наличии соответствующего гомотопического механизма, можно разработать понятие производного стека как такого предпучка в категории бесконечности производных аффинных схем, который удовлетворяет некоторой бесконечной категориальной версии аксиомы пучка (и, если быть алгебраическим, индуктивно, последовательностью условий представимости). Категории модели Квиллена , категории Сигала и квазикатегории являются одними из наиболее часто используемых инструментов для формализации этого получения производной алгебраической геометрии , представленной школой Карлоса Симпсона , включая Андре Хиршовица, Бертрана Тоена , Габриэль Веццози, Мишеля Вакье и других; и развитый далее Якобом Лурье , Бертраном Тёном и Габриэле Веццози . Другая (некоммутативная) версия производной алгебраической геометрии, использующая категории A-бесконечности, была разработана в начале 1990-х годов Максимом Концевичем и его последователями.
Некоторые корни алгебраической геометрии восходят к работам эллинистических греков V века до нашей эры. Задача Делоса , например, заключалась в том, чтобы построить такую длину x , чтобы куб со стороной x содержал тот же объем, что и прямоугольный ящик a 2 b для заданных сторон a и b . Менехм ( ок. 350 г. до н. э. ) рассмотрел задачу геометрически, пересекая пару плоских коник ay = x 2 и xy = ab . [2] В 3 веке до нашей эры Архимед и Аполлоний систематически изучали дополнительные проблемы конических сечений с использованием координат. [2] [3] Аполлоний в «Кониках» развил метод, который настолько похож на аналитическую геометрию, что его работа, как иногда думают, опередила работу Декарта примерно на 1800 лет. [4] Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу ничем не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, представляют собой абсциссы, а отрезки, параллельные касательной. между осью и кривой пересекаются ординаты. Далее он развил отношения между абсциссами и соответствующими координатами, используя геометрические методы, такие как использование парабол и кривых. [5] [6] [7] Средневековые математики, в том числе Омар Хайям , Леонардо Пизанский , Герсонид и Николь Орем в средневековый период , [8] решали некоторые кубические и квадратные уравнения чисто алгебраическими средствами, а затем интерпретировали результаты геометрически. Персидский математик Омар Хайям (родился в 1048 году нашей эры) считал, что существует связь между арифметикой , алгеброй и геометрией . [9] [10] [11] Это подверглось критике со стороны Джеффри Оукса, который утверждает, что изучение кривых с помощью уравнений началось с Декарта в семнадцатом веке. [12]
Такие методы применения геометрических конструкций к алгебраическим задачам были также приняты рядом математиков эпохи Возрождения , таких как Джероламо Кардано и Никколо Фонтана «Тарталья» при изучении кубического уравнения. Геометрический подход к решению задач построения, а не алгебраический, отдавал предпочтение большинству математиков 16 и 17 веков, особенно Блезу Паскалю , который выступал против использования алгебраических и аналитических методов в геометрии. [13] Французские математики Франциск Вьета, а затем Рене Декарт и Пьер де Ферма произвели революцию в традиционном подходе к решению задач строительства, введя координатную геометрию . Их интересовали прежде всего свойства алгебраических кривых , например, определяемых диофантовыми уравнениями (в случае Ферма), и алгебраическая переформулировка классических греческих работ по коникам и кубикам (в случае Декарта).
В тот же период Блез Паскаль и Жерар Дезарг подошли к геометрии с другой точки зрения, разработав синтетические понятия проективной геометрии . Паскаль и Дезарг также изучали кривые, но с чисто геометрической точки зрения: аналог греческой линейки и конструкции циркуля . В конечном итоге аналитическая геометрия Декарта и Ферма победила, поскольку она снабдила математиков XVIII века конкретными количественными инструментами, необходимыми для изучения физических проблем с использованием нового исчисления Ньютона и Лейбница . Однако к концу XVIII века большая часть алгебраического характера координатной геометрии была поглощена исчислением бесконечно малых Лагранжа и Эйлера .
Потребовалось одновременное развитие неевклидовой геометрии и абелевых интегралов в XIX веке , чтобы вернуть старые алгебраические идеи обратно в геометрическую сферу. Первое из этих новых разработок было подхвачено Эдмоном Лагерром и Артуром Кэли , которые попытались установить обобщенные метрические свойства проективного пространства. Кэли представил идею однородных полиномиальных форм , а точнее квадратичных форм , в проективном пространстве. Впоследствии Феликс Клейн изучал проективную геометрию (наряду с другими видами геометрии) с точки зрения того, что геометрия пространства кодируется в определенном классе преобразований пространства. К концу XIX века проективные геометры изучали более общие виды преобразований фигур в проективном пространстве. Вместо проективных линейных преобразований, которые обычно считались дающими фундаментальную клейновскую геометрию в проективном пространстве, они занимались также бирациональными преобразованиями более высокой степени . Это более слабое понятие конгруэнтности позже привело членов итальянской школы алгебраической геометрии 20-го века к классификации алгебраических поверхностей с точностью до бирационального изоморфизма .
Второе развитие в начале 19-го века, развитие абелевых интегралов, привело Бернхарда Римана к развитию римановых поверхностей .
В этот же период началась алгебраизация алгебраической геометрии посредством коммутативной алгебры . Выдающимися результатами в этом направлении являются базисная теорема Гильберта и Nullstellensatz Гильберта , которые являются основой связи между алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй, а также многомерный результант Маколея , который является основой теории исключения . Вероятно, из-за размера вычислений, подразумеваемых многомерными результирующими, теория исключения была забыта в середине 20-го века, пока она не была обновлена теорией особенностей и вычислительной алгебраической геометрией. [а]
Б. Л. ван дер Варден , Оскар Зариски и Андре Вейль разработали основы алгебраической геометрии, основанные на современной коммутативной алгебре , включая теорию нормирования и теорию идеалов . Одной из целей было дать строгую основу для доказательства результатов итальянской школы алгебраической геометрии . В частности, эта школа систематически использовала понятие родовой точки без какого-либо точного определения, которое впервые было дано этими авторами в 1930-е годы.
В 1950-х и 1960-х годах Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик переработали основы, используя теорию снопов . Позже, примерно с 1960 года, во многом под руководством Гротендика, была разработана идея схем в сочетании с очень усовершенствованным аппаратом гомологических методов . После десятилетия быстрого развития эта область стабилизировалась в 1970-х годах, и были сделаны новые приложения как к теории чисел , так и к более классическим геометрическим вопросам об алгебраических многообразиях, особенностях , модулях и формальных модулях .
Важным классом многообразий, который нелегко понять непосредственно из их определяющих уравнений, являются абелевы многообразия , которые представляют собой проективные многообразия, точки которых образуют абелеву группу . Прототипическими примерами являются эллиптические кривые , имеющие богатую теорию. Они сыграли важную роль в доказательстве Великой теоремы Ферма , а также используются в криптографии с эллиптическими кривыми .
Параллельно с абстрактным направлением алгебраической геометрии, занимающимся общими утверждениями о многообразиях, развивались и методы эффективных вычислений с конкретно заданными многообразиями, которые привели к новой области вычислительной алгебраической геометрии. Одним из основополагающих методов этой области является теория базисов Грёбнера , представленная Бруно Бухбергером в 1965 году. Другой основополагающий метод, более специально посвященный реальной алгебраической геометрии, - это цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное Джорджем Э. Коллинзом в 1973 году.
См. также: производная алгебраическая геометрия .
An analytic variety is defined locally as the set of common solutions of several equations involving analytic functions. It is analogous to the included concept of real or complex algebraic variety. Any complex manifold is an analytic variety. Since analytic varieties may have singular points, not all analytic varieties are manifolds.
Modern analytic geometry is essentially equivalent to real and complex algebraic geometry, as has been shown by Jean-Pierre Serre in his paper GAGA, the name of which is French for Algebraic geometry and analytic geometry. Nevertheless, the two fields remain distinct, as the methods of proof are quite different and algebraic geometry includes also geometry in finite characteristic.
Algebraic geometry now finds applications in statistics,[14] control theory,[15][16] robotics,[17] error-correcting codes,[18] phylogenetics[19] and geometric modelling.[20] There are also connections to string theory,[21] game theory,[22] graph matchings,[23] solitons[24] and integer programming.[25]
Похоже, сам Хайям был первым, кто разработал общую теорию кубических уравнений.
