Дэвид Гилберт

Немецкий математик (1862–1943)

Давид Гильберт ( / ˈhɪlbərt / ; ^[3] нем.: [ ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 января 1862 — 14 февраля 1943) — немецкий математик и философ математики , один из самых влиятельных математиков своего времени.

Гильберт открыл и развил широкий спектр фундаментальных идей , включая инвариантную теорию , вариационное исчисление , коммутативную алгебру , алгебраическую теорию чисел , основы геометрии , спектральную теорию операторов и ее применение к интегральным уравнениям , математическую физику и основы математики (в частности, теорию доказательств ). Он принял и защитил теорию множеств и трансфинитных чисел Георга Кантора . В 1900 году он представил сборник задач , которые задали курс математическим исследованиям 20-го века. ^{[4] [5]}

Гильберт и его ученики внесли вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Он был одним из основателей теории доказательств и математической логики . ^[6]

Жизнь

Ранняя жизнь и образование

Гильберт, первый из двух детей и единственный сын Отто, окружного судьи, и Марии Терезы Гильберт ( урожденной Эрдтманн), дочери торговца, родился в провинции Пруссия , королевства Пруссия , либо в Кёнигсберге (согласно собственному заявлению Гильберта), либо в Велау (известном с 1946 года как Знаменск ) недалеко от Кёнигсберга, где его отец работал во время его рождения. Его дедом по отцовской линии был Давид Гильберт, судья и тайный советник . Его мать Мария интересовалась философией, астрономией и простыми числами , в то время как его отец Отто учил его прусским добродетелям . После того, как его отец стал городским судьей, семья переехала в Кёнигсберг. Сестра Дэвида, Элиза, родилась, когда ему было шесть лет. Он начал учиться в возрасте восьми лет, на два года позже обычного возраста начала обучения. ^[7]

В конце 1872 года Гильберт поступил в гимназию Фридрихсколлег ( Collegium fridericianum , ту же школу, которую Иммануил Кант посещал 140 лет назад); но после неудачного периода он перевелся в (конец 1879 года) и окончил (в начале 1880 года) более ориентированную на науку гимназию Вильгельма . ^[8] После окончания учебы осенью 1880 года Гильберт поступил в Кенигсбергский университет , «Альбертину». В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта и также уроженец Кенигсберга, но уехавший в Берлин на три семестра) ^[9] вернулся в Кенигсберг и поступил в университет. Гильберт на всю жизнь подружился с застенчивым, одаренным Минковским. ^{[10] [11]}

Карьера

В 1884 году Адольф Гурвиц прибыл из Гёттингена в качестве экстраординарного (т. е. доцента) профессора. Интенсивный и плодотворный научный обмен между тремя начался, и Минковский и Гильберт особенно оказывали взаимное влияние друг на друга в разные периоды своей научной карьеры. Гильберт получил докторскую степень в 1885 году, защитив диссертацию, написанную под руководством Фердинанда фон Линдемана ^[2] под названием Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen («Об инвариантных свойствах специальных бинарных форм , в частности сферических гармонических функций» ).

Гильберт оставался в Кенигсбергском университете в качестве приват-доцента ( старшего преподавателя ) с 1886 по 1895 год. В 1895 году в результате вмешательства в его пользу Феликса Клейна он получил должность профессора математики в Гёттингенском университете . В годы Клейна и Гильберта Гёттинген стал выдающимся учреждением в математическом мире. ^[12] Он оставался там до конца своей жизни.

Математический институт в Гёттингене. Его новое здание, построенное на средства Фонда Рокфеллера , было открыто Гильбертом и Курантом в 1930 году.

Гёттингенская школа

Среди учеников Гильберта были Герман Вейль , чемпион по шахматам Эмануэль Ласкер , Эрнст Цермело и Карл Густав Гемпель . Его помощником был Джон фон Нейман . В Гёттингенском университете Гильберт был окружен кругом общения некоторых из самых важных математиков 20-го века, таких как Эмми Нётер и Алонзо Чёрч .

Среди его 69 аспирантов в Гёттингене было много тех, кто впоследствии стал известными математиками, в том числе (с датой диссертации): Отто Блюменталь (1898), Феликс Бернштейн (1901), Герман Вейль (1908), Рихард Курант (1910), Эрих Гекке (1910), Гуго Штейнгауз (1911) и Вильгельм Аккерман (1925). ^[13] Между 1902 и 1939 годами Гильберт был редактором Mathematische Annalen , ведущего математического журнала того времени. Он был избран международным членом Национальной академии наук США в 1907 году. ^[14]

Личная жизнь

Кете Гильберт с Константином Каратеодори , до 1932 г.

В 1892 году Гильберт женился на Кете Йерош (1864–1945), дочери кенигсбергского торговца, «молодой леди с открытым сердцем и независимостью ума, которая соответствовала [самой Гильбертовой]». ^[15] В Кенигсберге у них родился единственный ребенок, Франц Гильберт (1893–1969). Франц всю жизнь страдал от психического заболевания, и после того, как его поместили в психиатрическую клинику, Гильберт сказал: «С этого момента я должен считать себя не имеющим сына». Его отношение к Францу принесло Кете немало горя. ^[16]

Гильберт считал математика Германа Минковского своим «лучшим и самым верным другом». ^[17]

Гильберт был крещен и воспитан кальвинистом в Прусской евангелической церкви . ^[a] Позже он покинул церковь и стал агностиком . ^[b] Он также утверждал, что математическая истина независима от существования Бога или других априорных предположений. ^{[c] [d]} Когда Галилео Галилей подвергся критике за то, что он не смог отстоять свои убеждения в гелиоцентрической теории , Гильберт возразил: «Но [Галилей] не был идиотом. Только идиот мог верить, что научная истина нуждается в мученичестве; это может быть необходимо в религии, но научные результаты доказывают себя в свое время». ^[e]

Поздние годы

Как и Альберт Эйнштейн , Гильберт имел самые тесные контакты с Берлинской группой , ведущие основатели которой учились у Гильберта в Гёттингене ( Курт Греллинга , Ганс Райхенбах и Вальтер Дубислав ). ^[18]

Около 1925 года у Гильберта развилась злокачественная анемия , в то время неизлечимая недостаточность витаминов, основным симптомом которой является истощение; его помощник Юджин Вигнер описывал его как человека, подверженного «чрезвычайной усталости», и как он «выглядел довольно старым», и что даже после того, как в конечном итоге ему поставили диагноз и назначили лечение, он «едва ли был ученым после 1925 года и уж точно не Гильбертом». ^[19]

Гильберт был избран в Американское философское общество в 1932 году. ^[20]

Гильберт дожил до того, как нацисты вычистили многих видных преподавателей Гёттингенского университета в 1933 году. ^[21] Среди вытесненных были Герман Вейль (который занял кафедру Гильберта, когда тот вышел на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау . Один из тех, кому пришлось покинуть Германию, Пауль Бернайс , сотрудничал с Гильбертом в математической логике и был соавтором его важной книги Grundlagen der Mathematik ^[22] (которая в конечном итоге появилась в двух томах, в 1934 и 1939 годах). Это было продолжение книги Гильберта- Аккермана Principles of Mathematical Logic 1928 года. Преемником Германа Вейля стал Гельмут Хассе .

Примерно через год Гильберт посетил банкет и сидел рядом с новым министром образования Бернхардом Рустом . Руст спросил, «действительно ли Математический институт так сильно пострадал из-за отъезда евреев». Гильберт ответил: «Пострадал? Его ведь больше не существует, не так ли?» ^{[23] [24]}

Смерть

Могила Гильберта:
Wir Müssen Wissen
Wir Werden Wissen

К моменту смерти Гильберта в 1943 году нацисты почти полностью переукомплектовали университет, поскольку многие из бывших преподавателей были либо евреями, либо женатыми на евреях. На похоронах Гильберта присутствовало менее дюжины человек, только двое из которых были его коллегами-учеными, среди них Арнольд Зоммерфельд , физик-теоретик и также уроженец Кёнигсберга. ^[25] Новость о его смерти стала известна всему миру только через несколько месяцев после его смерти. ^[26]

Эпитафия на его надгробии в Геттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в заключение своего обращения к Обществу немецких ученых и врачей по случаю выхода на пенсию 8 сентября 1930 года. Эти слова были даны в ответ на латинское изречение: « Ignoramus et ignorabimus » или «Мы не знаем и не узнаем»: ^[27]

За день до того, как Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей 1930 года, Курт Гёдель — в дискуссии за круглым столом во время Конференции по эпистемологии, проведенной совместно с собраниями Общества — предварительно объявил о первом выражении своей теоремы о неполноте. ^[f] Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано, либо противоречивы, либо содержат логические предложения, которые невозможно доказать или опровергнуть в рамках этой системы.

Вклад в математику и физику

Решение проблемы Гордана

Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году его знаменитой теоремы о конечности . Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности генераторов для бинарных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными потерпели неудачу из-за огромной сложности задействованных вычислений. Чтобы решить то, что стало известно в некоторых кругах как проблема Гордана , Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта , показывающую существование конечного множества генераторов, для инвариантов квантик с любым числом переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого множества, это было не конструктивное доказательство — оно не показывало «объект», — а скорее, это было доказательство существования ^[28] и опиралось на использование закона исключенного третьего в бесконечном расширении.

Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen . Гордан, штатный эксперт по теории инвариантов Mathematische Annalen , не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отклонил статью, раскритиковав изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был следующим:

Клейн , с другой стороны, признал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Воодушевленный Клейном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора генераторов, и он снова отправил ее в Annalen . Прочитав рукопись, Клейн написал ему:

Без сомнения, это самая важная работа по общей алгебре, которую когда-либо публиковал Annalen . ^[30]

Позже, когда полезность метода Гильберта была общепризнана, сам Гордан сказал:

Я убедился, что даже теология имеет свои достоинства. ^[31]

Несмотря на все его успехи, характер его доказательства создал больше проблем, чем Гильберт мог себе представить. Хотя Кронекер признал, Гильберт позже ответил на критику других, что «многие различные конструкции подводятся под одну фундаментальную идею» — другими словами (цитируя Рида): «Благодаря доказательству существования Гильберт смог получить конструкцию»; «доказательство» (т. е. символы на странице) было «объектом». ^[31] Не все были убеждены. Хотя Кронекер вскоре умер, его конструктивистская философия продолжилась с молодым Брауэром и его развивающейся интуиционистской «школой», к большим мучениям Гильберта в его последние годы. ^[32] Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма — «Гильберт был обеспокоен увлечением своего бывшего ученика идеями Брауэра, которое пробудило в Гильберте память о Кронекере». ^[33] Брауэр-интуиционист в частности выступал против использования закона исключенного третьего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:

Взять принцип исключенного третьего у математика... то же самое, что... запретить боксёру использовать кулаки. ^[34]

Nullstellensatz

В предмете алгебры поле называется алгебраически замкнутым тогда и только тогда , когда каждый многочлен над ним имеет в нем корень. При этом условии Гильберт дал критерий того, когда набор многочленов переменных имеет общий корень: Это имеет место тогда и только тогда, когда не существует многочленов и индексов таких, что ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})}$.

Этот результат известен как теорема о корне Гильберта , или "Hilberts Nullstellensatz" на немецком языке. Он также доказал, что соответствие между исчезающими идеалами и их исчезающими множествами является биективным между аффинными многообразиями и радикальными идеалами в . ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Изгиб

Правила замены

В 1890 году Джузеппе Пеано опубликовал статью в Mathematische Annalen, описывающую исторически первую кривую, заполняющую пространство . В ответ Гильберт разработал собственную конструкцию такой кривой, которая теперь называется кривой Гильберта . Приближения к этой кривой строятся итеративно в соответствии с правилами замены на первой картинке этого раздела. Сама кривая затем является поточечным пределом.

Первые шесть приближений к кривой Гильберта

Аксиоматизация геометрии

Текст Grundlagen der Geometrie (пер.: Основы геометрии ), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида . Они избегают слабых мест, выявленных в аксиомах Евклида , чьи работы в то время все еще использовались в качестве учебников. Трудно указать аксиомы, используемые Гильбертом, не ссылаясь на историю публикации Grundlagen, поскольку Гильберт менял и модифицировал их несколько раз. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в котором Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторским правом в 1902 году. ^{[35] [36]} Этот перевод включал изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и несколько изданий появились на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. За 7-м последовали новые издания, но основной текст по сути не был пересмотрен. ^[g]

Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу . В этом Гильберт был предвосхищен работой Морица Паша 1882 года. Аксиомы не принимаются как самоочевидные истины. Геометрия может трактовать вещи , о которых у нас есть мощные интуиции, но не обязательно приписывать какое-либо явное значение неопределенным концепциям. Элементы, такие как точка , линия , плоскость и другие, могут быть заменены, как, как сообщается, сказал Гильберт Шенфлису и Кеттеру , столами, стульями, кружками пива и другими подобными объектами. ^[37] Обсуждаются их определенные отношения.

Гильберт сначала перечисляет неопределенные понятия: точка, прямая, плоскость, лежащий на (отношение между точками и прямыми, точками и плоскостями, а также прямыми и плоскостями), промежуточность, конгруэнтность пар точек ( отрезков) и конгруэнтность углов . Аксиомы объединяют как геометрию плоскости , так и стереометрию Евклида в единую систему.

23 проблемы

Гильберт представил весьма влиятельный список, состоящий из 23 нерешенных проблем, на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Его обычно считают наиболее успешным и глубоко продуманным сборником открытых проблем, когда-либо созданным отдельным математиком. ^{[ кем? ]}

Переработав основы классической геометрии, Гильберт мог бы экстраполировать их на остальную математику. Его подход отличался от более позднего «фундаменталиста» Рассела–Уайтхеда или «энциклопедиста» Николя Бурбаки , а также от его современника Джузеппе Пеано . Математическое сообщество в целом могло заниматься проблемами, которые он определил как важнейшие аспекты важных областей математики.

Набор задач был представлен в виде доклада «Проблемы математики», представленного в ходе Второго международного конгресса математиков, состоявшегося в Париже. Вступление к речи, произнесенной Гильбертом, гласило:

Кто из нас не был бы счастлив приподнять завесу, за которой скрыто будущее; взглянуть на грядущие достижения нашей науки и на тайны ее развития в грядущих столетиях? Каковы будут цели, к которым будет стремиться дух будущих поколений математиков? Какие методы, какие новые факты откроет новый век в обширной и богатой области математической мысли? ^[38]

Он представил на Конгрессе менее половины проблем, которые были опубликованы в актах Конгресса. В последующей публикации он расширил панораму и пришел к формулировке ныне канонических 23 проблем Гильберта. См. также двадцать четвертую проблему Гильберта . Полный текст важен, поскольку толкование вопросов все еще может быть предметом неизбежных дебатов, когда бы ни спрашивали, сколько из них было решено.

Некоторые из них были решены в течение короткого времени. Другие обсуждались на протяжении всего 20-го века, и некоторые из них теперь считаются неподходящими для закрытия. Некоторые продолжают оставаться вызовами.

Ниже приведены заголовки 23 задач Гильберта, как они были опубликованы в переводе 1902 года в « Бюллетене Американского математического общества» .

1. Проблема Кантора о кардинальном числе континуума.

2. Совместимость арифметических аксиом.

3. Равенство объемов двух тетраэдров с равными основаниями и равными высотами.

4. Задача о прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками.

5. Концепция Ли непрерывной группы преобразований без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу.

6. Математическая обработка аксиом физики.

7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.

8. Проблемы простых чисел («Гипотеза Римана»).

9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.

10. Определение разрешимости диофантова уравнения.

11. Квадратичные формы с любыми алгебраическими числовыми коэффициентами

12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на любую алгебраическую область рациональности

13. Невозможность решения общего уравнения 7-й степени с помощью функций только двух аргументов.

14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.

15. Строгое обоснование исчислительного исчисления Шуберта.

16. Задача топологии алгебраических кривых и поверхностей.

17. Выражение определенных форм квадратами.

18. Построение пространства из равных многогранников.

19. Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления обязательно являются аналитическими?

20. Общая задача граничных значений (краевые задачи в уравнениях с частными производными).

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную группу монодромии.

22. Униформизация аналитических отношений с помощью автоморфных функций.

23. Дальнейшее развитие методов вариационного исчисления.

Формализм

В изложении, которое стало стандартным к середине века, набор задач Гильберта был также своего рода манифестом, открывшим путь для развития формалистской школы , одной из трех основных школ математики 20-го века. По мнению формалиста, математика — это манипулирование символами в соответствии с согласованными формальными правилами. Следовательно, это автономная деятельность мысли.

Программа

В 1920 году Гильберт предложил исследовательский проект в области метаматематики , который стал известен как программа Гильберта. Он хотел, чтобы математика была сформулирована на прочном и полном логическом фундаменте. Он считал, что в принципе это можно сделать, показав, что:

1. вся математика следует из правильно выбранной конечной системы аксиом ; и
2. что некоторая такая система аксиом доказуемо непротиворечива с помощью некоторых средств, таких как эпсилон-исчисление .

Кажется, у него были как технические, так и философские причины для формулирования этого предложения. Оно подтверждало его неприязнь к тому, что стало известно как ignorabimus , все еще активный вопрос в его время в немецкой мысли, и восходило в этой формулировке к Эмилю дю Буа-Реймону . ^[39]

Эта программа все еще узнаваема в самой популярной философии математики , где ее обычно называют формализмом . Например, группа Бурбаки приняла ее разбавленную и выборочную версию как адекватную требованиям их двух проектов: (a) написания энциклопедических основополагающих работ и (b) поддержки аксиоматического метода как инструмента исследования. Этот подход оказался успешным и влиятельным в отношении работы Гильберта в алгебре и функциональном анализе, но не смог таким же образом задействовать его интересы в физике и логике.

Гильберт писал в 1919 году:

Мы не говорим здесь о произвольности в каком-либо смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и никак иначе. ^[40]

Гильберт опубликовал свои взгляды на основания математики в двухтомном труде « Основания математики» .

Работа Гёделя

Гильберт и математики, работавшие с ним в его предприятии, были преданы проекту. Его попытка подкрепить аксиоматизированную математику окончательными принципами, которые могли бы устранить теоретические неопределенности, закончилась неудачей.

Гёдель продемонстрировал, что любая непротиворечивая формальная система, которая была достаточно всеобъемлющей, чтобы включать по крайней мере арифметику, не может доказать свою полноту посредством своих собственных аксиом. В 1931 году его теорема о неполноте показала, что великий план Гильберта был невозможен в том виде, в котором он был сформулирован. Второй пункт не может быть каким-либо разумным образом объединен с первым пунктом, пока система аксиом действительно финитна .

Тем не менее, последующие достижения теории доказательств, по крайней мере, прояснили согласованность в отношении теорий, представляющих центральный интерес для математиков. Работа Гильберта положила начало логике на этом пути прояснения; необходимость понять работу Гёделя затем привела к развитию теории рекурсии , а затем математической логики как автономной дисциплины в 1930-х годах. Основа для более поздней теоретической информатики в работах Алонзо Чёрча и Алана Тьюринга также выросла непосредственно из этого «дебата». ^[41]

Функциональный анализ

Около 1909 года Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений ; его работа имела прямые последствия для важных частей современного функционального анализа. Для проведения этих исследований Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства , позже названного пространством Гильберта . Его работа в этой части анализа заложила основу для важных вкладов в математику физики в последующие два десятилетия, хотя и с неожиданного направления. Позднее Стефан Банах расширил эту концепцию, определив банаховы пространства . Гильбертовы пространства являются важным классом объектов в области функционального анализа , в частности спектральной теории самосопряженных линейных операторов, которая выросла вокруг нее в течение 20-го века.

Физика

До 1912 года Гильберт был почти исключительно чистым математиком . Планируя визит из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему придется провести 10 дней в карантине, прежде чем он сможет посетить Гильберта. Фактически, Минковский, по-видимому, ответственен за большинство исследований Гильберта в области физики до 1912 года, включая их совместный семинар по этой теме в 1905 году.

В 1912 году, через три года после смерти друга, Гильберт сосредоточился почти исключительно на этом предмете. Он договорился о том, чтобы у него был «репетитор по физике». ^[42] Он начал изучать кинетическую теорию газов и перешел к элементарной теории излучения и молекулярной теории материи. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал проводить семинары и занятия, на которых внимательно изучались работы Альберта Эйнштейна и других.

К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации , но затем в течение почти 8 лет боролся, чтобы придать теории окончательную форму . ^[43] К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности , и он пригласил Эйнштейна в Гёттинген, чтобы прочитать неделю лекций по этому предмету. ^[44] Эйнштейн получил восторженный прием в Гёттингене. ^[45] Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работает над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стала работа «Уравнения поля гравитации » (см. Уравнения поля Эйнштейна ). ^[h] Почти одновременно Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. Действие Эйнштейна–Гильберта ). Гильберт полностью признал Эйнштейна создателем теории, и за всю жизнь между ними не возникло никаких публичных споров о приоритете уравнений поля. ^[i] Подробнее см. в разделе «Приоритет» .

Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и помогла нескольким достижениям в математической формулировке квантовой механики . Его работа была ключевым аспектом работы Германа Вейля и Джона фон Неймана по математической эквивалентности матричной механики Вернера Гейзенберга и волнового уравнения Эрвина Шредингера , а его одноименное гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что если квантовые состояния понимать как векторы в гильбертовом пространстве, они будут соответствовать как волновой функции теории Шредингера, так и матрицам Гейзенберга. ^[j]

На протяжении всего этого погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы придать строгость математике физики. Хотя физики были сильно зависимы от высшей математики, они, как правило, были «небрежны» с ней. Для чистого математика, такого как Гильберт, это было и уродливо, и трудно для понимания. Когда он начал понимать физику и то, как физики используют математику, он разработал последовательную математическую теорию для того, что он обнаружил – что наиболее важно в области интегральных уравнений . Когда его коллега Рихард Курант написал теперь уже классические Methoden der mathematischen Physik ( Методы математической физики ), включающие некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта как автора, хотя Гильберт не принимал непосредственного участия в написании. Гильберт сказал: «Физика слишком сложна для физиков», подразумевая, что необходимая математика, как правило, была им не по плечу; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.

Теория чисел

Гильберт объединил область алгебраической теории чисел своим трактатом 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Уорингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что должны быть решения для проблемы, а не предлагал механизм для получения ответов. ^[46] Затем у него было мало публикаций по этой теме; но появление модулярных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя еще больше связано с важной областью.

Он выдвинул ряд гипотез по теории полей классов . Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад сохранился в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта локальной теории полей классов . Результаты были в основном доказаны к 1930 году после работы Тейджи Такаги . ^[k]

Гильберт не работал в центральных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта–Полиа по причинам, которые являются анекдотическими. Эрнст Хеллингер , ученик Гильберта, однажды сказал Андре Вейлю , что Гильберт объявил на своем семинаре в начале 1900-х годов, что он ожидает доказательства гипотезы Римана, что это будет следствием работы Фредгольма над интегральными уравнениями с симметричным ядром. ^[47]

Работы

Его собрание сочинений ( Gesammelte Abhandlungen ) было опубликовано несколько раз. Первоначальные версии его статей содержали «множество технических ошибок различной степени»; ^[48] когда сборник был впервые опубликован, ошибки были исправлены, и было обнаружено, что это можно сделать без серьезных изменений в формулировках теорем, за одним исключением — заявленным доказательством гипотезы континуума . ^{[49] [50]} Тем не менее, ошибки были настолько многочисленны и значительны, что Ольге Таусски-Тодд потребовалось три года, чтобы внести исправления. ^[50]

Смотрите также

• Биографический портал
• Философский портал

Концепции

• Список вещей, названных в честь Дэвида Гильберта
• Основы геометрии
• Гильберт C*-модуль
• куб Гильберта
• кривая Гильберта
• Матрица Гильберта
• метрика Гильберта
• Критерий Гильберта-Мамфорда
• Число Гильберта
• кольцо Гильберта
• Ряд Гильберта–Пуанкаре
• Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
• Гильбертово пространство
• Спектр Гильберта
• система Гильберта
• Преобразование Гильберта
• Арифметика концов Гильберта
• Парадокс Гильберта о Гранд-Отеле
• Оператор Гильберта–Шмидта
• Гипотеза Гильберта–Смита

Теоремы

• Теорема Гильберта–Берча
• Теорема Гильберта о неприводимости
• Nullstellensatz Гильберта
• Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия)
• Теорема Гильберта 90
• Теорема Гильберта о сизигиях
• Теорема Гильберта–Шпайзера

Другой

• Противоречие Брауэра–Гильберта
• Прямой метод в вариационном исчислении
• Entscheidungsproblem
• Геометрия и воображение
• Спор о приоритете общей теории относительности

Сноски

1. К этому времени Гильберты уже покинули кальвинистскую протестантскую церковь, в которой они были крещены и поженились. – Reid 1996, стр. 91
2. Дэвид Гильберт, казалось, был агностиком и не имел ничего общего с теологией как таковой или даже с религией. Констанс Рид рассказывает историю на эту тему:

   К этому времени [около 1902 года] Гильберты покинули Реформатскую протестантскую церковь, в которой они были крещены и поженились. В Геттингене рассказывали, что когда [сын Давида Гильберта] Франц пошел в школу, он не мог ответить на вопрос: «Какой религии ты придерживаешься?» (1970, стр. 91)

   В своем обращении в Гамбурге в 1927 году Гильберт заявил: «Математика — это наука без предпосылок (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)» и «чтобы ее основать, мне не нужен добрый Бог ([z]u ihrer Begründung brauche ich weder denlieben Gott )» (1928, с. 85; ван Хейеноорт, 1967, с. 479). Однако от «Математических проблем» (1900) до «Природы и логики» (1930) он связал свою квазирелигиозную веру в человеческий дух и силу чистой мысли с ее любимым детищем – математикой. Он был глубоко убежден, что каждая математическая проблема может быть решена чистым разумом: как в математике, так и в любой части естествознания (через математику) не существует «ignorabimus» (Гильберт, 1900, S. 262; 1930, S. 963; Эвальд , 1996, стр. 1102, 1165). Вот почему поиск внутреннего абсолютного обоснования математики стал для Гильберта делом всей жизни. Он никогда не отказывался от этой позиции, и символично, что его слова "wir müssen wissen, wir werden wissen" ("мы должны знать, мы узнаем") из его выступления в Кёнигсберге в 1930 году были выгравированы на его надгробии. Здесь мы встречаем призрак ушедшей теологии (перефразируя слова Джорджа Беркли), поскольку абсолютизировать человеческое познание означает молчаливо отождествить его с божественный. — Шапошников, Владислав (2016). «Теологические основы современной философии математики. Часть II: Поиски автономных оснований». Исследования по логике, грамматике и риторике . 44 (1): 147–168. doi : 10.1515/slgr -2016-0009 .
3. «Математика — наука без предпосылок. Чтобы основать ее, мне не нужен Бог, как Кронекер, или предположение об особой способности нашего понимания, настроенной на принцип математической индукции, как Пуанкаре, или первичная интуиция Брауэра, или, наконец, как Рассел и Уайтхед, аксиомы бесконечности, сводимости или полноты, которые на самом деле являются фактическими, содержательными предположениями, которые не могут быть компенсированы доказательствами непротиворечивости». Дэвид Гильберт, Die Grundlagen der Mathematik , программа Гильберта, 22C:096, Университет Айовы.
4. Майкл Р. Мэтьюз (2009). Наука, мировоззрение и образование . Springer. стр. 129. ISBN 978-90-481-2779-5. Как известно, Гильберт отверг Бога Леопольда Кронекера для решения проблемы оснований математики.
5. Констанс Рид; Герман Вейль (1970). Гильберт . Springer-Verlag. стр. 92. ISBN 978-0-387-04999-1. Возможно, гости обсуждали суд над Галилеем, и кто-то обвинял Галилея в том, что он не смог отстоять свои убеждения. «Но он не был идиотом», — возражал Гильберт. «Только идиот мог поверить, что научная истина нуждается в мученичестве; это может быть необходимо в религии, но научные результаты доказывают себя в свое время».
6. «Конференция по эпистемологии точных наук проходила в течение трех дней, с 5 по 7 сентября» (Доусон 1997:68). «Она... проводилась одновременно с девяносто первым ежегодным собранием Общества немецких ученых и врачей... и шестой Ассамблеей немецких физиков и математиков... Доклад Гёделя состоялся в субботу, 6 сентября [1930 г.], с 3 до 3:20 дня, а в воскресенье собрание завершилось обсуждением за круглым столом выступлений первого дня. Во время последнего мероприятия, без предупреждения и почти небрежно, Гёдель тихо объявил, что «можно даже привести примеры предложений (и фактически предложений типа Гольдбаха или Ферма ), которые, будучи по содержанию истинными, недоказуемы в формальной системе классической математики [153]» (Доусон:69) «... Так уж получилось, что сам Гильберт присутствовал в Кенигсберге, хотя, по-видимому, и не на конференции по эпистемологии. На следующий день после круглого стола он выступил с вступительной речью перед Обществом немецких ученых и врачей — своей знаменитой лекцией Naturerkennen und Logik (Логика и познание природы), в конце которой заявил: «Для математика не существует Ignorabimus, и, по моему мнению, для естествознания тоже. ... Истинная причина, по которой [никому] не удалось найти неразрешимую проблему, заключается, по моему мнению, в том, что неразрешимых проблем не существует». В отличие от глупого Ignorabimus, наше кредо гласит: Мы должны знать, Мы узнаем [159]'"(Dawson:71). Статья Гёделя была получена 17 ноября 1930 года (ср. Reid, стр. 197, van Heijenoort 1976:592) и опубликована 25 марта 1931 года (Dawson 1997:74). Но Гёдель заранее выступил с докладом об этом... "В октябре 1930 года Ганс Хан представил реферат Венской академии наук " (van Heijenoort:592); этот реферат и полная статья появляются в van Heijenoort:583ff.
7. Независимо и одновременно, 19-летний американский студент по имени Роберт Ли Мур опубликовал эквивалентный набор аксиом. Некоторые из аксиом совпадают, в то время как некоторые из аксиом в системе Мура являются теоремами в Гильберте и наоборот. ^{[ необходима цитата ]}
8. Со временем ассоциирование уравнений гравитационного поля с именем Гильберта становилось все менее и менее распространенным. Заметным исключением является П. Джордан (Schwerkraft und Weltall, Braunschweig, Vieweg, 1952), который назвал уравнения гравитации в вакууме уравнениями Эйнштейна–Гильберта. ( Лео Корри, Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики , стр. 437)
9. С 1971 года ведутся оживленные и научные дискуссии о том, кто из этих двоих первым представил ныне принятую форму уравнений поля. «Гильберт открыто признавал и часто заявлял в своих лекциях, что великая идея принадлежала Эйнштейну: «Каждый мальчишка на улицах Геттингена понимает в четырехмерной геометрии больше, чем Эйнштейн», — заметил он однажды. «И все же, несмотря на это, работу выполнил Эйнштейн, а не математики». (Рид 1996, стр. 141–142, также Айзексон 2007:222, цитируя Торна, стр. 119).
10. В 1926 году, через год после формулировки квантовой теории в виде матричной механики Максом Борном и Вернером Гейзенбергом , математик Джон фон Нейман стал помощником Гильберта в Гёттингене. Когда фон Нейман уехал в 1932 году, книга фон Неймана о математических основах квантовой механики, основанная на математике Гильберта, была опубликована под названием Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . См.: Norman Macrae (1999) John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More (переиздано Американским математическим обществом) и Reid (1996).
11. Эта работа сделала Такаги первым японским математиком международного уровня.

Цитаты

1. Weyl, H. (1944). «Дэвид Гильберт. 1862–1943». Некрологи членов Королевского общества . 4 (13): 547–553. doi :10.1098/rsbm.1944.0006. S2CID  161435959.
2. Дэвид Гильберт в проекте «Генеалогия математики»
3. "Гильберт". Полный словарь Уэбстера издательства Random House .
4. Джойс, Дэвид. «Математические проблемы Дэвида Гильберта». Университет Кларка . Получено 15 января 2021 г.
5. Гильберт, Дэвид. "Математические проблемы" . Получено 15 января 2021 г.
6. Зак, Ричард (31 июля 2003 г.). «Программа Гильберта». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 23 марта 2009 г.
7. Reid 1996, стр. 1–3; также на стр. 8, Reid отмечает, что существует некоторая двусмысленность относительно того, где именно родился Гильберт. Сам Гильберт утверждал, что родился в Кёнигсберге.
8. Рид 1996, стр. 4–7.
9. Рид 1996, стр. 11.
10. Рид 1996, стр. 12.
11. Вейль, Герман (2012), «Дэвид Гильберт и его математические работы», в Питере Песиче (ред.), Уровни бесконечности/Избранные труды по математике и философии , Довер, стр. 94, ISBN 978-0-486-48903-2
12. Судзуки, Джефф (2009), Математика в историческом контексте, Математическая ассоциация Америки, стр. 342, ISBN 978-0-88385-570-6
13. "Проект генеалогии математики – Дэвид Гильберт" . Получено 7 июля 2007 г.
14. "David Hilbert". www.nasonline.org . Получено 30 июня 2023 г. .
15. Рид 1996, стр. 36.
16. Рид 1996, стр. 139.
17. Рид 1996, стр. 121.
18. Милков, Николай; Пекхаус, Фолькер (1 января 2013 г.). «Берлинская группа и Венский кружок: сходства и расхождения». Берлинская группа и философия логического эмпиризма (PDF) . Boston Studies un the Philosophy and History of Science. Vol. 273. p. 20. doi :10.1007/978-94-007-5485-0_1. ISBN 978-94-007-5485-0. OCLC  7325392474. Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2014 г. Получено 19 мая 2021 г.
19. 1992 (как рассказано Эндрю Сантону). Воспоминания Юджина П. Вигнера . Пленум. ISBN 0-306-44326-0 
20. "История члена APS". search.amphilsoc.org . Получено 30 июня 2023 г. .
21. ""Shame" at Göttingen". Архивировано из оригинала 5 ноября 2013 года . Получено 5 июня 2013 года .(Коллеги Гильберта в изгнании)
22. Milne-Thomson, L (1935). "abstract for Grundlagen der Mathematik". Nature . 136 (3430): 126–127. doi :10.1038/136126a0. S2CID  4122792 . Получено 15 декабря 2023 г. Это , вероятно, самая важная книга по математическим основам, которая появилась после "Principia Mathematical" Уайтхеда и Рассела.
23. Эккарт Менцлер-Тротт: Проблема Генценса. Математическая логика в национал-социалистической Германии. , Биркхойзер, 2001, ISBN 3-764-36574-9 , Биркхойзер; Ауфлаж: 2001 с. 142. 
24. Хаджо Г. Мейер: Tragisches Schicksal. Das deutsche Judentum und die Wirkung historischer Kräfte: Eine Übung in angewandter Geschichtsphilosophie , Frank & Timme, 2008, ISBN 3-865-96174-6 , стр. 202. 
25. Рид 1996, стр. 213.
26. Рид 1996, стр. 214.
27. Рид 1996, стр. 192.
28. Рид 1996, стр. 36–37.
29. Рид 1996, стр. 34.
30. Рид 1996, стр. 195.
31. Reid 1996, стр. 37.
32. см. Reid 1996, стр. 148–149.
33. Рид 1996, стр. 148.
34. Рид 1996, стр. 150.
35. Гильберт 1950
36. GB Mathews (1909) Основы геометрии из природы 80:394,5 (#2066)
37. Отто Блюменталь (1935). Дэвид Гилберт (ред.). Lebensgeschichte. Gesammelte Abhandlungen. Том. 3. Юлиус Спрингер. стр. 388–429. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 6 сентября 2018 года .Здесь: стр.402-403
38. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала 30 мая 2009 . Получено 11 сентября 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка ) CS1 maint: бот: исходный статус URL неизвестен ( ссылка ), архивировано с [www.seas.harvard.edu/courses/cs121/handouts/Hilbert.pdf]
39. Финкельштейн, Габриэль (2013). Эмиль дю Буа-Реймон: Нейронаука, личность и общество в Германии девятнадцатого века . Кембридж; Лондон: The MIT Press. стр. 265–289. ISBN 978-0262019507.
40. Гильберт, Д. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 в Готтингене. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (под редакцией и с английским введением Дэвида Э. Роу), Базель, Биркхаузер (1992).
41. Райхенбергер, Андреа (31 января 2019 г.). «От разрешимости к формальной разрешимости: пересмотр «Неигнорабимуса» Гильберта». Журнал гуманистической математики . 9 (1): 49–80. doi : 10.5642/jhummath.201901.05 . ISSN  2159-8118. S2CID  127398451.
42. Рид 1996, стр. 129.
43. Айзексон 2007:218
44. Sauer 1999; Fölsing 1998 ^{[ нужна страница ]} ; Isaacson 2007:212
45. Айзексон 2007:213
46. Рид 1996, стр. 114.
47. Эндрес, С.; Штайнер, Ф. (2009), «Оператор Берри–Китинга на компактных квантовых графах с общими самосопряженными реализациями», Журнал физики A: Математические и теоретические , 43 (9): 37, arXiv : 0912.3183v5 , doi : 10.1088/1751-8113/43/9/095204, S2CID  115162684 ${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{>},{\rm {d}}x)}$
48. Рейд 1996, гл. 13.
49. Зиг 2013, стр. 284-285.
50. Rota G.-C. (1997), «Десять уроков, которым я хотел бы научиться», Notices of the AMS , 44: 22–25.

Источники

Основная литература в переводе на английский язык

• Эвальд, Уильям Б., ред. (1996). От Канта до Гильберта: Учебник по основам математики . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press.
  • 1918. «Аксиоматическая мысль», 1114–1115.
  • 1922. «Новое обоснование математики: Первый доклад», 1115–1133.
  • 1923. «Логические основы математики», 1134–1147.
  • 1930. «Логика и познание природы», 1157–1165.
  • 1931. «Обоснование элементарной теории чисел», 1148–1156.
  • 1904. «Об основаниях логики и арифметики», 129–138.
  • 1925. «О бесконечном», 367–392.
  • 1927. «Основания математики», с комментариями Вейля и приложением Бернайса , 464–489.
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: Учебник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета.
• Гильберт, Дэвид (1950) [1902]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Перевод Таунсенда, Э. Дж. (2-е изд.). Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing. Архивировано (PDF) из оригинала 28 декабря 2005 г.
• Гильберт, Дэвид (1990) [1971]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] . Перевод Унгера, Лео (2-е англ. изд.). Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7. перевод с 10-го немецкого издания
• Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, Стефан (1999). Геометрия и воображение . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1998-2. Доступный набор лекций, изначально предназначенный для жителей Геттингена.
• Гильберт, Дэвид (2004). Халлетт, Михаэль; Майер, Ульрих (ред.). Лекции Дэвида Гильберта по основам математики и физики, 1891–1933 . Берлин и Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Вторичная литература

• Бертран, Габриэль (20 декабря 1943b), «Аллокация», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 217 , Париж: 625–640, доступно в Gallica . «Речь» Габриэля Бертрана от 20 декабря 1943 года во Французской академии: он дает биографические очерки жизни недавно умерших членов, среди которых Питер Зееман , Давид Гильберт и Жорж Жиро .
• Боттаццини Умберто, 2003. Il flauto di Hilbert. Математическая история . ЮТЕТ, ISBN 88-7750-852-3 
• Корри, Л., Ренн, Дж. и Стэйчел, Дж., 1997, «Запоздалое решение в споре о приоритете Гильберта-Эйнштейна», Science 278 : nn-nn.
• Корри, Лео (2004). Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики (1898–1918): от Grundlagen der Geometry до Grundlagen der Physik . Спрингер. ISBN 90-481-6719-1.
• Доусон, Джон В. младший 1997. Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters. ISBN 1-56881-256-6 . 
• Фёльсинг, Альбрехт (1998). Альберт Эйнштейн . Пингвин.
• Грэттан-Гиннесс, Айвор , 2000. Поиск математических корней 1870–1940 . Princeton Univ. Press.
• Грей, Джереми , 2000. Вызов Гильберта . ISBN 0-19-850651-1 
• Манкосу, Паоло (1998). От Брауэра до Гильберта, Дебаты об основаниях математики в 1920-х годах . Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-509631-6.
• Мехра, Джагдиш , 1974. Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации . Рейдель.
• Пьерджорджио Одифредди , 2003. Геометрическое дивертисмент. Геометрическое происхождение логики Евклида и Гильберта . Боллати Борингьери, ISBN 88-339-5714-4 . Ясное изложение «ошибок» Евклида и решений, представленных в « Основах геометрии» , со ссылкой на неевклидову геометрию . 
• Рид, Констанс. (1996). Гильберт. Нью-Йорк: Springer . ISBN 0-387-94674-8.Полная биография Гильберта на английском языке.
• Роу, Д. Э. (1989). «Клейн, Гильберт и Гёттингенская математическая традиция». Osiris . 5 : 186–213. doi :10.1086/368687. S2CID  121068952.
• Sauer, Tilman (1999). «Относительность открытия: первая заметка Гильберта об основаниях физики». Arch. Hist. Exact Sci . 53 : 529–75. arXiv : physics/9811050 . Bibcode :1998physics..11050S.
• Зиг, Вильфрид (2013). Программы Гильберта и не только. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-537222-9.
• Зиг, Вильфрид и Равалья, Марк, 2005, «Grundlagen der Mathematik» в Grattan-Guinness, I. , изд., « Веховые сочинения в западной математике» . Эльзевир : 981–99. (по-английски)
• Торн, Кип , 1995. Черные дыры и искривления времени: возмутительное наследие Эйнштейна , WW Norton & Company; Переиздание. ISBN 0-393-31276-3 . 
• Георг фон Вальвиц: Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt. Wie ein Mathematik das 20. Jahrhundert veränderte. Беренберг Верлаг, Берлин, 2017 г., ISBN 978-3-946334-24-8. Полная биография Гильберта на немецком языке.

Внешние ссылки

• Проект Гильберта Бернайса
• Обращение к 23 проблемам Гильберта
• ICMM 2014 посвящен памяти Д.Гильберта
• Работы Дэвида Гильберта в Project Gutenberg
• Работы Дэвида Гильберта или о нем в Архиве Интернета
• Работы Дэвида Гильберта в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• Радиоречь Гильберта, записанная в Кёнигсберге в 1930 году (на немецком языке) Архивировано 14 февраля 2006 года в Wayback Machine , с английским переводом Архивировано 12 ноября 2020 года в Wayback Machine
• Wolfram MathWorld – Константа Гильберта
• Дэвид Гильберт в проекте «Генеалогия математики»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Дэвид Гильберт», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• «От проблем Гильберта к будущему», лекция профессора Робина Уилсона, колледж Грешем , 27 февраля 2008 г. (доступно в текстовом, аудио- и видеоформатах).
• Газетные вырезки о Дэвиде Гильберте в 20 веке Пресс - архивы ZBW