Комплексное число

Number with a real and an imaginary part

Комплексное число можно визуально представить в виде пары чисел ( a ,  b ), образующих вектор на диаграмме, называемой диаграммой Аргана , представляющей комплексную плоскость . Re — действительная ось, Im — мнимая ось, а i — « мнимая единица », которая удовлетворяет условию i ² = −1 .

В математике комплексное число — это элемент числовой системы , который расширяет действительные числа с помощью определенного элемента, обозначаемого i , называемого мнимой единицей и удовлетворяющего уравнению ; каждое комплексное число может быть выражено в виде , где a и b — действительные числа. Поскольку никакое действительное число не удовлетворяет приведенному выше уравнению, Рене Декарт назвал i мнимым числом . Для комплексного числа a называется ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bi}$ действительная часть , аbназываетсямнимая часть . Набор комплексных чисел обозначается либо символом, либо C . Несмотря на историческую номенклатуру, «мнимые» комплексные числа имеютматематическоесуществование, столь же прочное, как и действительные числа, и они являются фундаментальными инструментами в научном описании естественного мира.^[1][2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Комплексные числа позволяют решать все полиномиальные уравнения , даже те, которые не имеют решений в действительных числах. Точнее, основная теорема алгебры утверждает, что каждое непостоянное полиномиальное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет решение, которое является комплексным числом. Например, уравнение не имеет действительного решения, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным, но имеет два недействительных комплексных решения и . ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$ ${\displaystyle -1+3i}$ ${\displaystyle -1-3i}$

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел можно естественным образом определить, используя правило вместе с ассоциативными , коммутативными и дистрибутивными законами . Каждое ненулевое комплексное число имеет мультипликативное обратное . Это делает комплексные числа полем с действительными числами в качестве подполя. ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Комплексные числа также образуют действительное векторное пространство размерности два , с в качестве стандартного базиса . Этот стандартный базис делает комплексные числа декартовой плоскостью , называемой комплексной плоскостью . Это позволяет геометрически интерпретировать комплексные числа и их операции, и наоборот, некоторые геометрические объекты и операции могут быть выражены в терминах комплексных чисел. Например, действительные числа образуют действительную прямую , которая изображается как горизонтальная ось комплексной плоскости, в то время как действительные кратные являются вертикальной осью. Комплексное число также может быть определено его геометрическими полярными координатами : радиус называется абсолютным значением комплексного числа, в то время как угол от положительной действительной оси называется аргументом комплексного числа. Комплексные числа с абсолютным значением один образуют единичную окружность . Добавление фиксированного комплексного числа ко всем комплексным числам определяет перенос в комплексной плоскости, а умножение на фиксированное комплексное число является подобием, центрированным в начале координат (расширение на абсолютное значение и вращение на аргумент). Операция комплексного сопряжения является симметрией отражения относительно действительной оси. ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle i}$

Комплексные числа образуют богатую структуру, которая одновременно является алгебраически замкнутым полем , коммутативной алгеброй над действительными числами и евклидовым векторным пространством размерности два.

Определение и основные операции

Различные комплексные числа, изображенные на комплексной плоскости.

Комплексное число — это выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа , а i — абстрактный символ, так называемая мнимая единица , значение которой будет объяснено ниже. Например, 2 + 3 i — комплексное число. ^[3]

Для комплексного числа a + bi действительное число a называется его действительной частью , а действительное число b (не комплексное число bi ) — его мнимой частью . ^{[4] [5]} Действительная часть комплексного числа z обозначается Re( z ) , , или ; мнимая часть — Im( z ) , , или : например, , . ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (2+3i)=3}$

Комплексное число z можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел , которые можно интерпретировать как координаты точки на евклидовой плоскости со стандартными координатами, которая затем называется комплексной плоскостью или диаграммой Аргана , ^{[6] [a]} . ^[7] Горизонтальная ось обычно используется для отображения действительной части, со значениями, увеличивающимися справа, а мнимая часть отмечает вертикальную ось, со значениями, увеличивающимися вверх. ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

Комплексное число z в виде точки (черная) и ее радиус-вектора (синяя).

Действительное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i , мнимая часть которого равна 0. Чисто мнимое число bi — это комплексное число 0 + bi , действительная часть которого равна нулю. Как и в случае с многочленами, принято писать a + 0 i = a , 0 + bi = bi , и a + (− b ) i = a − bi ; например, 3 + (−4) i = 3 − 4 i .

Множество всех комплексных чисел обозначается ( жирный шрифт на доске ) или C ( жирный шрифт). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В некоторых дисциплинах, таких как электромагнетизм и электротехника , j используется вместо i , поскольку i часто представляет электрический ток , ^{[8] [9]} , а комплексные числа записываются как a + bj или a + jb .

Сложение и вычитание

Сложение двух комплексных чисел можно выполнить геометрически, построив параллелограмм.

Два комплексных числа и складываются путем отдельного сложения их действительных и мнимых частей. То есть: ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$Аналогично вычитание можно выполнить как $${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

Сложение можно геометрически визуализировать следующим образом: сумма двух комплексных чисел a и b , интерпретируемых как точки на комплексной плоскости, есть точка, полученная путем построения параллелограмма из трех вершин O и точек стрелок, обозначенных a и b (при условии, что они не лежат на одной прямой). Эквивалентно, называя эти точки A , B , соответственно, и четвертой точкой параллелограмма X , треугольники OAB и XBA являются конгруэнтными .

Умножение

Произведение двух комплексных чисел вычисляется следующим образом:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

Например, в частности, сюда входит как частный случай фундаментальная формула ${\displaystyle (3+2i)(4-i)=3\cdot 4-(2\cdot (-1))+(3\cdot (-1)+2\cdot 4)i=14+5i.}$

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

Эта формула отличает комплексное число i от любого действительного числа, поскольку квадрат любого (отрицательного или положительного) действительного числа всегда является неотрицательным действительным числом.

При таком определении умножения и сложения, знакомые правила арифметики рациональных или действительных чисел продолжают действовать для комплексных чисел. Точнее, распределительное свойство , коммутативные свойства (сложения и умножения) сохраняются. Поэтому комплексные числа образуют алгебраическую структуру, известную как поле , так же, как это делают рациональные или действительные числа. ^[10]

Комплексное сопряжение, абсолютное значение и аргумент

Геометрическое представление z и его сопряженной z в комплексной плоскости.

Комплексное сопряжение комплексного числа z = x + yi определяется как ^[11] Некоторые авторы также обозначают его как . Геометрически z является «отражением» z относительно действительной оси. Сопряжение дважды дает исходное комплексное число: Комплексное число является действительным тогда и только тогда, когда оно равно своему собственному сопряженному числу. Унарная операция взятия комплексного сопряжения комплексного числа не может быть выражена применением только их основных операций сложения, вычитания, умножения и деления. ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

Аргумент φ и модуль r определяют точку на комплексной плоскости.

Для любого комплексного числа z = x + yi произведение

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

— неотрицательное действительное число. Это позволяет определить абсолютное значение (или модуль или величину ) z как квадратный корень ^[12] По теореме Пифагора , — расстояние от начала координат до точки, представляющей комплексное число z на комплексной плоскости. В частности, окружность радиуса один вокруг начала координат состоит именно из таких чисел z , что . Если — действительное число, то : его абсолютное значение как комплексного числа и как действительного числа равны. $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle z=x=x+0i}$ ${\displaystyle |z|=|x|}$

Используя сопряжение, можно вычислить обратную величину ненулевого комплексного числа : ${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$В более общем смысле деление произвольного комплексного числа на ненулевое комплексное число равно Этот процесс иногда называют « рационализацией » знаменателя (хотя знаменатель в конечном выражении может быть иррациональным действительным числом), поскольку он напоминает метод удаления корней из простых выражений в знаменателе. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle w=u+vi}$ ${\displaystyle z=x+yi}$ $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

Аргумент z (иногда называемый «фазой» φ ) ^[7] представляет собой угол радиуса Oz с положительной действительной осью и записывается как arg z , выраженный в радианах в этой статье. Угол определяется только с точностью до добавления целых кратных , поскольку поворот на (или 360°) вокруг начала координат оставляет все точки в комплексной плоскости неизменными. Один из возможных вариантов уникального указания аргумента — потребовать, чтобы он находился в интервале , который называется главным значением . ^[13] Аргумент можно вычислить из прямоугольной формы x + yi с помощью функции arctan (обратный тангенс). ^[14] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Полярная форма

Умножение 2 + i (синий треугольник) и 3 + i (красный треугольник). Красный треугольник поворачивается так, чтобы совпасть с вершиной синего (сложение обоих углов в терминах φ ₁ + φ ₂ в уравнении) и растягивается на длину гипотенузы синего треугольника (умножение обоих радиусов, согласно термину r ₁ r ₂ в уравнении).

Для любого комплексного числа z , имеющего абсолютное значение и аргумент , уравнение ${\displaystyle r=|z|}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

имеет место. Это тождество называется полярной формой z . Иногда его сокращают до . В электронике вектор с амплитудой r и фазой φ представляется в угловой нотации : ^[15] ${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$ $${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

Если два комплексных числа даны в полярной форме, то есть z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) и z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) , произведение и деление можно вычислить как (Это следствие тригонометрических тождеств для функции синуса и косинуса.) Другими словами, абсолютные значения умножаются , а аргументы складываются , чтобы получить полярную форму произведения. Картинка справа иллюстрирует умножение Поскольку действительная и мнимая части 5 + 5 i равны, аргумент этого числа равен 45 градусам, или π /4 (в радианах ). С другой стороны, это также сумма углов в начале координат красного и синего треугольников, равных arctan (1/3) и arctan (1/2) соответственно. Таким образом, формула верна. Поскольку функция arctan может быть аппроксимирована весьма эффективно, такие формулы, известные как формулы типа Мачина , используются для высокоточных аппроксимаций числа π . ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$ $${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$ $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$

Силы и корни

Степень комплексного числа n можно вычислить с помощью формулы Муавра , которая получается путем многократного применения приведенной выше формулы к произведению: Например, первые несколько степеней мнимой единицы i равны . $${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ ${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$

Геометрическое представление корней 2-й и 6-й степени комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  , где r = | z  | и φ = arg z . Если z действительное, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Корни n n -й степени комплексного числа z определяются как для 0 ≤ k ≤ n − 1 . (Здесь представлен обычный (положительный) корень n -й степени положительного действительного числа r .) Поскольку синус и косинус являются периодическими, другие целые значения k не дают других значений. Для любого существует, в частности , n различных комплексных корней n -й степени. Например, существует 4 корня четвертой степени из 1, а именно $${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

В общем случае не существует естественного способа выделить один конкретный комплексный корень степени n из комплексного числа. (Это контрастирует с корнями положительного действительного числа x , которое имеет единственный положительный действительный корень степени n , который поэтому обычно называют корнем степени n из x .) Эту ситуацию можно охарактеризовать, говоря, что корень степени n является функцией числа z со значениями n .

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры Карла Фридриха Гаусса и Жана Лерона Д'Аламбера гласит, что для любых комплексных чисел (называемых коэффициентами ) a ₀ , ...,  a _n уравнение имеет по крайней мере одно комплексное решение z , при условии, что по крайней мере один из старших коэффициентов a ₁ , ...,  a _n отличен от нуля. ^[16] Это свойство не выполняется для поля рациональных чисел (многочлен x ² − 2 не имеет рационального корня, потому что √2 не является рациональным числом) или действительных чисел (многочлен x ² + 4 не имеет действительного корня, потому что квадрат x положителен для любого действительного числа x ). $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Из-за этого факта называется алгебраически замкнутым полем . Это краеугольный камень различных приложений комплексных чисел, как подробно описано ниже. Существуют различные доказательства этой теоремы, либо аналитическими методами, такими как теорема Лиувилля , либо топологическими , такими как число вращения , либо доказательством, объединяющим теорию Галуа и тот факт, что любой действительный многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

История

Решение в радикалах (без тригонометрических функций ) общего кубического уравнения , когда все три его корня являются действительными числами, содержит квадратные корни отрицательных чисел , ситуация, которую нельзя исправить факторизацией с помощью проверки на рациональные корни , если кубическое уравнение неприводимо ; это так называемый casus irreducibilis («несводимый случай»). Эта головоломка привела итальянского математика Джероламо Кардано к идее комплексных чисел примерно в 1545 году в его Ars Magna , ^[17] хотя его понимание было элементарным; более того, позже он описал комплексные числа как «столь же тонкие, сколь и бесполезные». ^[18] Кардано действительно использовал мнимые числа, но описал их использование как «ментальную пытку». ^[19] Это было до использования графической комплексной плоскости. Кардано и другие итальянские математики, в частности Сципионе дель Ферро , в 1500-х годах создали алгоритм для решения кубических уравнений, которые обычно имели одно действительное решение и два решения, содержащие мнимое число. Поскольку они игнорировали ответы с мнимыми числами, Кардано счел их бесполезными. ^[20]

Работа над проблемой общих многочленов в конечном итоге привела к фундаментальной теореме алгебры , которая показывает, что с комплексными числами существует решение для каждого полиномиального уравнения степени один или выше. Таким образом, комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , где любое полиномиальное уравнение имеет корень .

Многие математики внесли свой вклад в развитие комплексных чисел. Правила сложения, вычитания, умножения и извлечения корня из комплексных чисел были разработаны итальянским математиком Рафаэлем Бомбелли . ^[21] Более абстрактный формализм для комплексных чисел был далее разработан ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который распространил эту абстракцию на теорию кватернионов . ^[22]

Можно сказать, что самое раннее мимолетное упоминание квадратных корней из отрицательных чисел встречается в работе греческого математика Герона Александрийского в I веке н. э. , где в своей «Стереометрике» он, по-видимому, ошибочно, рассматривал объем невозможной усеченной пирамиды, чтобы получить термин в своих вычислениях, который сегодня упростился бы до . ^[b] Отрицательные величины не были поняты в эллинистической математике , и Герон просто заменил их положительными ^[24] ${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

Импульс к изучению комплексных чисел как самостоятельной темы впервые возник в XVI веке, когда итальянские математики ( Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано ) открыли алгебраические решения для корней кубических и четвертых полиномов . Вскоре было осознано (но доказано гораздо позже) ^[25] , что эти формулы, даже если интересуются только действительными решениями, иногда требуют манипуляции квадратными корнями отрицательных чисел. Фактически, позже было доказано, что использование комплексных чисел неизбежно, когда все три корня действительны и различны. ^[c] Однако общая формула все еще может быть использована в этом случае, с некоторой осторожностью, чтобы справиться с неоднозначностью, возникающей из-за существования трех кубических корней для ненулевых комплексных чисел. Рафаэль Бомбелли был первым, кто явно обратился к этим, казалось бы, парадоксальным решениям кубических уравнений и разработал правила для комплексной арифметики, пытаясь разрешить эти проблемы.

Термин «мнимые» для этих величин был введен Рене Декартом в 1637 году, который старался подчеркнуть их нереальную природу: ^[26]

... иногда только воображаемые, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, соответствующего тому, которое мы воображаем.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en Imagineer autant que j'ai dit en chaque équation, но больше, чем qu'il n'y a quelquefois aucune quantité quantité qui соответствует à celle qu'on представлять себе. ]

Еще одним источником путаницы было то, что уравнение, казалось, было капризно несовместимо с алгебраическим тождеством , которое справедливо для неотрицательных действительных чисел a и b , и которое также использовалось в вычислениях комплексных чисел, когда одно из a , b было положительным, а другое отрицательным. Неправильное использование этого тождества в случае, когда и a , и b были отрицательными, и связанного с ним тождества даже сбивало с толку Леонарда Эйлера . Эта трудность в конечном итоге привела к соглашению об использовании специального символа i вместо , чтобы защититься от этой ошибки. ^{[ необходима цитата ]} Тем не менее, Эйлер считал естественным познакомить студентов с комплексными числами гораздо раньше, чем мы это делаем сегодня. В своем учебнике элементарной алгебры Elements of Algebra он вводит эти числа почти сразу, а затем использует их естественным образом на протяжении всего текста. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В XVIII веке комплексные числа получили более широкое применение, поскольку было замечено, что формальная манипуляция комплексными выражениями может быть использована для упрощения вычислений, включающих тригонометрические функции. Например, в 1730 году Абрахам де Муавр заметил, что тождества, связывающие тригонометрические функции целого кратного угла со степенями тригонометрических функций этого угла, могут быть перевыражены следующей формулой Муавра :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

Формула Эйлера связывает сложную показательную функцию мнимого аргумента, которую можно рассматривать как описание равномерного кругового движения в комплексной плоскости, с функциями косинуса и синуса, геометрически являющимися ее проекциями на действительную и мнимую оси соответственно.

В 1748 году Эйлер пошел дальше и получил формулу Эйлера комплексного анализа : ^[27]

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

путем формального манипулирования сложными степенными рядами и заметил, что эту формулу можно использовать для сведения любого тригонометрического тождества к гораздо более простым экспоненциальным тождествам.

Идея комплексного числа как точки на комплексной плоскости (выше) была впервые описана датско - норвежским математиком Каспаром Весселем в 1799 году ^[28] , хотя она была предвосхищена еще в 1685 году в «Трактате об алгебре» Уоллиса . ^[29]

Мемуары Весселя появились в Трудах Копенгагенской академии , но остались в значительной степени незамеченными. В 1806 году Жан-Робер Арган независимо выпустил брошюру о комплексных числах и предоставил строгое доказательство основной теоремы алгебры . ^[30] Карл Фридрих Гаусс ранее опубликовал по существу топологическое доказательство теоремы в 1797 году, но в то время выразил свои сомнения относительно «истинной метафизики квадратного корня из −1». ^[31] Только в 1831 году он преодолел эти сомнения и опубликовал свой трактат о комплексных числах как точках на плоскости, ^[32] в значительной степени установив современную нотацию и терминологию: ^[33]

Если кто-то раньше рассматривал этот предмет с ложной точки зрения и поэтому находил таинственную темноту, то это во многом объясняется неуклюжей терминологией. Если бы кто-то не называл +1, −1 положительными, отрицательными или мнимыми (или даже невозможными) единицами, а вместо этого, скажем, прямыми, обратными или боковыми единицами, то едва ли можно было бы говорить о такой темноте. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В начале 19 века другие математики независимо друг от друга открыли геометрическое представление комплексных чисел: Бюэ, ^{[34] [35]} Мурей , ^[36] Уоррен, ^{[37] [38] [39]} Франсе и его брат Беллавитис . ^{[40] [41]}

Английский математик Г. Х. Харди заметил, что Гаусс был первым математиком, который использовал комплексные числа «действительно уверенно и научно», хотя такие математики, как норвежец Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоб Якоби, обязательно использовали их повседневно до того, как Гаусс опубликовал свой трактат 1831 года. ^[42]

Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман совместно довели основные идеи комплексного анализа до высокой степени завершенности, начиная с 1825 года в случае Коши.

Общие термины, используемые в теории, в основном принадлежат основателям. Арган называл cos φ + i sin φ фактором направления , а модуль — модулем ; ^{[d] [43]} Коши (1821) называл cos φ + i sin φ приведенной формой (l'expression réduite) ^[44] и, по-видимому, ввел термин аргумент ; Гаусс использовал i для , ^[e] ввел термин комплексное число для a + bi , ^[f] и назвал a ² + b ² нормой . ^[g] Выражение коэффициент направления , часто используемое для cos φ + i sin φ , принадлежит Ганкелю (1867), ^[48] а абсолютное значение для модуля — Вейерштрассу. ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Более поздние классические авторы общей теории включают Рихарда Дедекинда , Отто Гёльдера , Феликса Клейна , Анри Пуанкаре , Германа Шварца , Карла Вейерштрасса и многих других. Важная работа (включая систематизацию) в области комплексного многомерного исчисления была начата в начале 20-го века. Важные результаты были достигнуты Вильгельмом Виртингером в 1927 году.

Абстрактные алгебраические аспекты

Хотя приведенные выше определения низкого уровня, включая сложение и умножение, точно описывают комплексные числа, существуют и другие эквивалентные подходы, которые более непосредственно раскрывают абстрактную алгебраическую структуру комплексных чисел.

Конструкция как поле частного

Один из подходов к — через многочлены , т. е. выражения вида , где коэффициенты a ₀ , ...,  a _n являются действительными числами. Множество всех таких многочленов обозначается как . Поскольку суммы и произведения многочленов снова являются многочленами, это множество образует коммутативное кольцо , называемое кольцом многочленов (над действительными числами). Каждому такому многочлену p можно присвоить комплексное число , т. е. значение, полученное путем установки . Это определяет функцию ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$ ${\displaystyle X=i}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

Эта функция сюръективна , поскольку каждое комплексное число может быть получено таким образом: оценка линейного многочлена в точке равна . Однако оценка многочлена в точке i равна 0, поскольку Этот многочлен неприводим , т. е. не может быть записан в виде произведения двух линейных многочленов. Из основных фактов абстрактной алгебры следует, что ядро ​​приведенного выше отображения является идеалом, порожденным этим многочленом, и что частное по этому идеалу является полем, и что существует изоморфизм ${\displaystyle a+bX}$ ${\displaystyle X=i}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

между фактор-кольцом и . Некоторые авторы принимают это как определение . ^[49] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Принятие того, что алгебраически замкнуто, поскольку это алгебраическое расширение в этом подходе, следовательно, является алгебраическим замыканием ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Матричное представление комплексных чисел

Комплексные числа a + bi также могут быть представлены матрицами 2 × 2 , имеющими вид Здесь элементы a и b являются действительными числами. Поскольку сумма и произведение двух таких матриц снова имеют этот вид, эти матрицы образуют подкольцо кольца матриц 2 × 2 . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

Простое вычисление показывает, что отображение является кольцевым изоморфизмом из поля комплексных чисел в кольцо этих матриц, доказывая, что эти матрицы образуют поле. Этот изоморфизм связывает квадрат абсолютной величины комплексного числа с определителем соответствующей матрицы, а сопряженное комплексное число — с транспонированной матрицей. $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

Геометрическое описание умножения комплексных чисел также может быть выражено в терминах матриц вращения , используя это соответствие между комплексными числами и такими матрицами. Действие матрицы на вектор ( x , y ) соответствует умножению x + iy на a + ib . В частности, если определитель равен 1 , существует действительное число t такое, что матрица имеет вид

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.}$$В этом случае действие матрицы на векторы и умножение на комплексное число являются поворотом на угол t . ${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Комплексный анализ

Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ и имеет огромное практическое применение в прикладной математике , а также в других областях математики. Часто наиболее естественные доказательства утверждений в вещественном анализе или даже теории чисел используют методы из комплексного анализа (см. теорему о простых числах для примера).

Граф раскраски области функции ⁠( z ² − 1)( z − 2 − i ) ²/я ² + 2 + 2 я⁠ . Более темные пятна отмечают модули вблизи нуля, более яркие пятна находятся дальше от начала координат. Цвет кодирует аргумент. Функция имеет нули для ±1, (2 + i ) и полюса при ${\displaystyle \pm {\sqrt {-2-2i}}.}$

В отличие от действительных функций, которые обычно представляются в виде двумерных графиков, сложные функции имеют четырехмерные графики и могут быть проиллюстрированы с помощью цветовой кодировки трехмерного графика , чтобы обозначить четыре измерения, или с помощью анимации динамического преобразования комплексной плоскости сложной функцией.

Конвергенция

Иллюстрация поведения последовательности для трех различных значений z (все имеют один и тот же аргумент): при последовательность сходится к 0 (внутренняя спираль), тогда как при (внешняя спираль) она расходится. ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle |z|>1}$

Понятия сходящихся рядов и непрерывных функций в (реальном) анализе имеют естественные аналоги в комплексном анализе. Говорят, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся ее действительная и мнимая части. Это эквивалентно (ε, δ)-определению пределов , где абсолютное значение действительных чисел заменяется на абсолютное значение комплексных чисел. С более абстрактной точки зрения, , наделенное метрикой , является полным метрическим пространством , которое, в частности, включает неравенство треугольника для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$ $${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

Комплексный показатель

Иллюстрация комплексной экспоненциальной функции, отображающей комплексную плоскость, w = exp ⁡( z ). Левая плоскость показывает квадратную сетку с размером сетки 1, с тремя выделенными комплексными числами 0, 1 и i . Два прямоугольника (пурпурного и зеленого цвета) отображаются в круговые сегменты, в то время как линии, параллельные оси x , отображаются в лучи, исходящие из начала координат, но не содержащие его. Линии, параллельные оси y , отображаются в окружности.

Как и в реальном анализе, это понятие сходимости используется для построения ряда элементарных функций : показательная функция exp z , также обозначаемая e ^z , определяется как бесконечный ряд , который, как можно показать, сходится для любого z : Например, — это число Эйлера . Формула Эйлера гласит: для любого действительного числа φ . Эта формула является быстрым следствием общих основных фактов о сходящихся степенных рядах и определениях вовлеченных функций как степенных рядов. В качестве особого случая это включает тождество Эйлера $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle \exp(1)}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$ $${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

Комплексный логарифм

Экспоненциальная функция отображает комплексные числа z, отличающиеся на величину, кратную , в одно и то же комплексное число w . ${\displaystyle 2\pi i}$

Для любого положительного действительного числа t существует единственное действительное число x такое, что . Это приводит к определению натурального логарифма как обратной экспоненциальной функции. Для комплексных чисел ситуация иная, поскольку ${\displaystyle \exp(x)=t}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

по функциональному уравнению и тождеству Эйлера. Например, e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 , поэтому и iπ и 3 iπ являются возможными значениями для комплексного логарифма −1 .

В общем случае, если задано любое ненулевое комплексное число w , любое число z, решающее уравнение

${\displaystyle \exp z=w}$

называется комплексным логарифмом w , обозначается . Можно показать, что эти числа удовлетворяют , где arg — аргумент, определенный выше, а ln — (действительный) натуральный логарифм . Поскольку arg — многозначная функция , уникальная только до кратного 2 π , log также многозначен. Главное значение log часто берется путем ограничения мнимой части интервалом ( − π , π ] . Это приводит к тому, что комплексный логарифм является биективной функцией, принимающей значения в полосе (которая обозначена на иллюстрации выше) ${\displaystyle \log w}$ $${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$ ${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

Если не является неположительным действительным числом (положительным или недействительным числом), то результирующее главное значение комплексного логарифма получается при − π < φ < π . Это аналитическая функция вне отрицательных действительных чисел, но ее нельзя продолжить до функции, которая непрерывна при любом отрицательном действительном числе , где главное значение равно ln z = ln(− z ) + iπ . ^[h] ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$ ${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

Комплексное возведение в степень z ^ω определяется как и является многозначным, за исключением случая, когда ω является целым числом. Для ω = 1 / n , для некоторого натурального числа n , это восстанавливает неединственность n -ных корней, упомянутую выше. Если z > 0 является действительным (и ω является произвольным комплексным числом), то есть предпочтительный выбор , действительный логарифм, который может быть использован для определения предпочтительной экспоненциальной функции. $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$ ${\displaystyle \ln x}$

Комплексные числа, в отличие от действительных чисел, в общем случае не удовлетворяют немодифицированным степенным и логарифмическим тождествам, особенно когда наивно рассматриваются как однозначные функции; см. несостоятельность степенных и логарифмических тождеств . Например, они не удовлетворяют Обе стороны уравнения являются многозначными по определению комплексного возведения в степень, данному здесь, и значения слева являются подмножеством тех, что справа. $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

Комплексный синус и косинус

Ряды, определяющие действительные тригонометрические функции синус и косинус , а также гиперболические функции sinh и cosh, также переносятся на комплексные аргументы без изменений. Для других тригонометрических и гиперболических функций, таких как тангенс , все немного сложнее, так как определяющие ряды не сходятся для всех комплексных значений. Поэтому их нужно определить либо в терминах синуса, косинуса и экспоненты, либо, что эквивалентно, с помощью метода аналитического продолжения .

Голоморфные функции

Цветовой круг графика функции sin(1/ z ), которая является голоморфной, за исключением z = 0, что является существенной особенностью этой функции. Белые части внутри относятся к числам, имеющим большие абсолютные значения.

Функция → называется голоморфной или комплексно дифференцируемой в точке, если предел ${\displaystyle f:\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

существует (в этом случае он обозначается как ). Это имитирует определение для действительных дифференцируемых функций, за исключением того, что все величины являются комплексными числами. Грубо говоря, свобода приближения в разных направлениях налагает гораздо более сильное условие, чем (действительная) дифференцируемость. Например, функция ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

дифференцируема как функция , но не является комплексно дифференцируемой. Действительная дифференцируемая функция является комплексно дифференцируемой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши–Римана , которые иногда сокращаются до ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

Комплексный анализ показывает некоторые особенности, не очевидные в реальном анализе. Например, теорема о тождестве утверждает, что две голоморфные функции f и g совпадают, если они совпадают на произвольно малом открытом подмножестве . Мероморфные функции , функции, которые можно локально записать как f ( z )/( z − z ₀ ) ⁿ с голоморфной функцией f , по-прежнему разделяют некоторые особенности голоморфных функций. Другие функции имеют существенные особенности , такие как sin(1/ z ) при z = 0 . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Приложения

Комплексные числа имеют приложения во многих научных областях, включая обработку сигналов , теорию управления , электромагнетизм , гидродинамику , квантовую механику , картографию и анализ вибрации . Некоторые из этих приложений описаны ниже.

Комплексное сопряжение также используется в инверсной геометрии , разделе геометрии, изучающем отражения более общие, чем отражения относительно прямой. В сетевом анализе электрических цепей комплексное сопряжение используется для нахождения эквивалентного импеданса, когда ищется теорема о передаче максимальной мощности .

Геометрия

Формы

Три неколлинеарные точки на плоскости определяют форму треугольника . Располагая точки на комплексной плоскости, эта форма треугольника может быть выражена комплексной арифметикой как Форма треугольника останется той же, когда комплексная плоскость преобразуется переносом или расширением (аффинным преобразованием ), что соответствует интуитивному понятию формы и описывает подобие . Таким образом, каждый треугольник находится в классе подобия треугольников с той же формой. ^[50] ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$ $${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{u,v,w\}}$

Фрактальная геометрия

Множество Мандельброта с обозначенными действительными и мнимыми осями.

Множество Мандельброта — популярный пример фрактала, образованного на комплексной плоскости. Оно определяется путем построения графика каждого местоположения , где итерация последовательности не расходится при бесконечной итерации . Аналогично, множества Жюлиа имеют те же правила, за исключением того, где остается постоянным. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Треугольники

Каждый треугольник имеет уникальный инэллипс Штейнера – эллипс внутри треугольника и касательный к серединам трех сторон треугольника. Фокусы инэллипса Штейнера треугольника можно найти следующим образом, согласно теореме Мардена : ^{[51] [52]} Обозначим вершины треугольника на комплексной плоскости как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , и c = x _C + y _C i . Запишем кубическое уравнение , возьмем его производную и приравняем (квадратичную) производную к нулю. Теорема Мардена гласит, что решениями этого уравнения являются комплексные числа, обозначающие положения двух фокусов инэллипса Штейнера. ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Алгебраическая теория чисел

Построение правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля .

Как упоминалось выше, любое непостоянное полиномиальное уравнение (с комплексными коэффициентами) имеет решение в . Тем более , то же самое верно, если уравнение имеет рациональные коэффициенты. Корни таких уравнений называются алгебраическими числами — они являются основным объектом изучения в алгебраической теории чисел . По сравнению с , алгебраическое замыкание , которое также содержит все алгебраические числа, имеет то преимущество, что его легко понять в геометрических терминах. Таким образом, алгебраические методы могут использоваться для изучения геометрических вопросов и наоборот. С помощью алгебраических методов, а точнее, применяя аппарат теории поля к числовому полю, содержащему корни из единицы , можно показать, что невозможно построить правильный девятиугольник, используя только циркуль и линейку — чисто геометрическая задача. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Другим примером являются гауссовы целые числа , то есть числа вида x + iy , где x и y — целые числа, которые можно использовать для классификации сумм квадратов .

Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел изучает числа, часто целые или рациональные, используя тот факт, что их можно рассматривать как комплексные числа, в которых можно использовать аналитические методы. Это делается путем кодирования числовой теоретико-числовой информации в комплекснозначных функциях. Например, дзета- функция Римана ζ( s ) связана с распределением простых чисел .

Несобственные интегралы

В прикладных областях комплексные числа часто используются для вычисления некоторых вещественных несобственных интегралов с помощью комплексных функций. Существует несколько методов для этого; см. методы контурной интеграции .

Динамические уравнения

В дифференциальных уравнениях обычно сначала находят все комплексные корни r характеристического уравнения линейного дифференциального уравнения или системы уравнений, а затем пытаются решить систему в терминах базисных функций вида f ( t ) = e ^rt . Аналогично, в разностных уравнениях используются комплексные корни r характеристического уравнения системы разностных уравнений, чтобы попытаться решить систему в терминах базисных функций вида f ( t ) = r ^t .

Линейная алгебра

Так как алгебраически замкнута, любая непустая комплексная квадратная матрица имеет по крайней мере одно (комплексное) собственное значение . Для сравнения, действительные матрицы не всегда имеют действительные собственные значения, например, матрицы вращения (для поворотов плоскости на углы, отличные от 0° или 180°) не оставляют направления фиксированными, и, следовательно, не имеют никаких действительных собственных значений. Существование (комплексных) собственных значений и, как следствие, существование собственного разложения является полезным инструментом для вычисления степеней матриц и матричных экспонент . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Комплексные числа часто обобщают концепции, изначально задуманные в действительных числах. Например, сопряженное транспонирование обобщает транспонирование , эрмитовы матрицы обобщают симметричные матрицы , а унитарные матрицы обобщают ортогональные матрицы .

В прикладной математике

Теория управления

В теории управления системы часто преобразуются из временной области в комплексную частотную область с помощью преобразования Лапласа . Нули и полюса системы затем анализируются в комплексной плоскости . Методы корневого годографа , диаграммы Найквиста и диаграммы Николса используют комплексную плоскость.

В методе корневого годографа важно, находятся ли нули и полюса в левой или правой полуплоскости, то есть имеют ли действительную часть больше или меньше нуля. Если линейная, инвариантная во времени (LTI) система имеет полюса, которые

• в правой полуплоскости он будет неустойчивым ,
• все в левой полуплоскости, будет устойчиво ,
• на мнимой оси он будет иметь предельную устойчивость .

Если система имеет нули в правой полуплоскости, то это неминимально-фазовая система.

Анализ сигнала

Комплексные числа используются в анализе сигналов и других областях для удобного описания периодически изменяющихся сигналов. Для заданных действительных функций, представляющих реальные физические величины, часто в терминах синусов и косинусов, рассматриваются соответствующие комплексные функции, действительные части которых являются исходными величинами. Для синусоиды заданной частоты абсолютное значение | z | соответствующего z является амплитудой , а аргумент arg z является фазой .

Если анализ Фурье применяется для записи заданного действительного сигнала в виде суммы периодических функций, то эти периодические функции часто записываются как комплекснозначные функции вида

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

и

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

где ω представляет угловую частоту , а комплексное число A кодирует фазу и амплитуду, как объяснено выше.

Это применение также распространяется на цифровую обработку сигналов и цифровую обработку изображений , которые используют цифровые версии анализа Фурье (и вейвлет -анализа) для передачи, сжатия , восстановления и иной обработки цифровых аудиосигналов , неподвижных изображений и видеосигналов .

Другой пример, относящийся к двум боковым полосам амплитудной модуляции AM-радио:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

В физике

Электромагнетизм и электротехника

В электротехнике преобразование Фурье используется для анализа изменяющихся напряжений и токов . Обработка резисторов , конденсаторов и катушек индуктивности может быть затем унифицирована путем введения мнимых, зависящих от частоты сопротивлений для последних двух и объединения всех трех в одно комплексное число, называемое импедансом . Этот подход называется исчислением векторов .

В электротехнике мнимая единица обозначается как j , чтобы избежать путаницы с I , которая обычно используется для обозначения электрического тока , или, более конкретно, i , которая обычно используется для обозначения мгновенного электрического тока.

Поскольку напряжение в цепи переменного тока колеблется, его можно представить как

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

Для получения измеряемой величины берется действительная часть:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

Комплексный сигнал V ( t ) называется аналитическим представлением действительного измеримого сигнала v ( t ) . ^[53]

Динамика жидкости

В гидродинамике комплексные функции используются для описания потенциального потока в двух измерениях .

Квантовая механика

Поле комплексных чисел является неотъемлемой частью математических формулировок квантовой механики , где комплексные гильбертовы пространства предоставляют контекст для одной такой формулировки, которая удобна и, возможно, является наиболее стандартной. Первоначальные формулы фундамента квантовой механики – уравнение Шредингера и матричная механика Гейзенберга – используют комплексные числа.

Относительность

В специальной и общей теории относительности некоторые формулы для метрики пространства-времени упрощаются, если принять временную составляющую пространственно-временного континуума мнимой. (Этот подход больше не является стандартным в классической теории относительности, но используется существенным образом в квантовой теории поля .) Комплексные числа существенны для спиноров , которые являются обобщением тензоров , используемых в теории относительности.

Характеристики, обобщения и связанные с ними понятия

Алгебраическая характеристика

Поле имеет следующие три свойства: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Во-первых, его характеристика равна 0. Это означает, что 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 для любого числа слагаемых (все из которых равны единице).
• Во-вторых, его степень трансцендентности над , простое поле — это мощность континуума . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• В-третьих, он алгебраически замкнут (см. выше).

Можно показать, что любое поле, обладающее этими свойствами, изоморфно (как поле) Например, алгебраическое замыкание поля p -адического числа также удовлетворяет этим трем свойствам, поэтому эти два поля изоморфны (как поля, но не как топологические поля). ^[54] Кроме того, изоморфно полю комплексных рядов Пюизо . Однако для указания изоморфизма требуется аксиома выбора . Другим следствием этой алгебраической характеризации является то, что содержит много собственных подполей, которые изоморфны . ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Характеристика как топологическое поле

Предыдущая характеристика описывает только алгебраические аспекты То есть, свойства близости и непрерывности , которые имеют значение в таких областях, как анализ и топология , не рассматриваются. Следующее описание как топологического поля (то есть поля, снабженного топологией , которая допускает понятие сходимости) учитывает топологические свойства. содержит подмножество P (а именно множество положительных действительных чисел) ненулевых элементов, удовлетворяющих следующим трем условиям: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• P замкнуто относительно сложения, умножения и взятия обратных чисел.
• Если x и y являются различными элементами P , то либо x − y , либо y − x принадлежит P.
• Если S — любое непустое подмножество P , то S + P = x + P для некоторого x из ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Более того, имеет нетривиальный инволютивный автоморфизм x ↦ x * (а именно комплексное сопряжение), такой что x x * принадлежит P для любого ненулевого x из ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Любое поле F с этими свойствами можно наделить топологией, взяв в качестве базы множества B ( x ,  p ) = {  y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P  }  , где x пробегает поле, а p пробегает P . С этой топологией F изоморфно как топологическое поле ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Единственными связными локально компактными топологическими полями являются и Это дает еще одну характеристику как топологического поля, поскольку может быть отличимо от , поскольку ненулевые комплексные числа связаны , в то время как ненулевые действительные числа — нет. ^[55] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другие системы счисления

Процесс расширения поля действительных чисел до является примером конструкции Кэли–Диксона . Применение этой конструкции итеративно к затем дает кватернионы , октонионы и седенионы . ^[56] Оказывается, эта конструкция уменьшает структурные свойства задействованных числовых систем. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В отличие от вещественных чисел, не является упорядоченным полем , то есть невозможно определить отношение z ₁ < z ₂ , совместимое со сложением и умножением. Фактически, в любом упорядоченном поле квадрат любого элемента обязательно положителен, поэтому i ² = −1 исключает существование упорядочения на [ ^57] Переход от к кватернионам теряет коммутативность, в то время как октонионы (в дополнение к тому, что не являются коммутативными) перестают быть ассоциативными. Вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются нормированными алгебрами с делением над . По теореме Гурвица они единственные; седенионы , следующий шаг в конструкции Кэли–Диксона, не имеют этой структуры. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Конструкция Кэли–Диксона тесно связана с регулярным представлением мысли как -алгебры ( -векторного пространства с умножением) относительно базиса (1,  i ) . Это означает следующее: -линейное отображение для некоторого фиксированного комплексного числа w может быть представлено матрицей 2 × 2 ( после выбора базиса). Относительно базиса (1,  i ) эта матрица есть та, которая упомянута в разделе о матричном представлении комплексных чисел выше. Хотя это линейное представление в действительных матрицах 2 × 2, оно не единственное. Любая матрица обладает тем свойством, что ее квадрат является отрицательным значением единичной матрицы: J ² = − I . Тогда также изоморфно полю и дает альтернативную комплексную структуру на Это обобщается понятием линейной комплексной структуры . ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$ $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Гиперкомплексные числа также обобщают и Например, это понятие содержит расщепленно-комплексные числа , которые являются элементами кольца (в отличие от для комплексных чисел). В этом кольце уравнение a ² = 1 имеет четыре решения. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

Поле является пополнением поля рациональных чисел относительно обычной метрики абсолютного значения . Другие выборы метрик на приводят к полям p -адических чисел ( для любого простого числа p ), которые, таким образом, аналогичны . Нет других нетривиальных способов пополнения , кроме и по теореме Островского . Алгебраические замыкания по- прежнему несут норму, но (в отличие от ) не являются полными относительно нее. Пополнение оказывается алгебраически замкнутым. По аналогии поле называется p -адическими комплексными числами. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

Поля и их конечные расширения полей, включая их, называются локальными полями . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Смотрите также

• Аналитическое продолжение
• Круговое движение с использованием комплексных чисел
• Комплексно-базовая система
• Комплексное координатное пространство
• Сложная геометрия
• Геометрия чисел
• Двойственно-комплексное число
• Целое число Эйзенштейна
• Геометрическая алгебра (включающая комплексную плоскость как двумерное спинорное подпространство ) ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Единичное комплексное число

Примечания

1. Соломенцев 2001: «Плоскость , точки которой отождествляются с элементами, называется комплексной плоскостью... Полная геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций над ними впервые появилась в работе К. Весселя (1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в употребление после публикации в 1806 и 1814 годах статей Дж. Р. Аргана, который заново открыл, в значительной степени независимо, открытия Весселя». ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
2. В литературе мнимая единица часто предшествует знаку радикала, даже если перед ней стоит целое число. ^[23]
3. It has been proved that imaginary numbers necessarily appear in the cubic formula when the equation has three real, different roots by Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891, and Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini also provided an incomplete proof in 1799.——S. Confalonieri (2015)^[25]
4. Argand 1814, p. 204 defines the modulus of a complex number but he doesn't name it:
   "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu'ils affectent; ainsi, si ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$, ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ étant réels, on devra entendre que ${\displaystyle a_{'}}$ ou ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$."
   [In what follows, accent marks, wherever they're placed, will be used to indicate the absolute size of the quantities to which they're assigned; thus if ${\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}$, ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$ being real, one should understand that ${\displaystyle a_{'}}$ or ${\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$.]
   Argand 1814, p. 208 defines and names the module and the direction factor of a complex number: "...  ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ pourrait être appelé le module de ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$, et représenterait la grandeur absolue de la ligne ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$, tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction."
   [...  ${\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$ could be called the module of ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ and would represent the absolute size of the line ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,}$ (Argand represented complex numbers as vectors.) whereas the other factor [namely, ${\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}$], whose module is unity [1], would represent its direction.]
5. Gauss writes:^[45]"Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi, denotantibus i, pro more quantitatem imaginariam ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$, atque a, b indefinite omnes numeros reales integros inter - ${\displaystyle \infty }$ et + ${\displaystyle \infty }$." [Of course just as the higher arithmetic has been investigated so far in problems only among real integer numbers, so theorems regarding biquadratic residues then shine in greatest simplicity and genuine beauty, when the field of arithmetic is extended to imaginary quantities, so that, without restrictions on it, numbers of the form a + bi — i denoting by convention the imaginary quantity ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$, and the variables a, b [denoting] all real integer numbers between ${\displaystyle -\infty }$ and ${\displaystyle +\infty }$ — constitute an object.]
6. Gauss:^[46]"Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur." [We will call such numbers [namely, numbers of the form a + bi ] "complex integer numbers", so that real [numbers] are regarded not as the opposite of complex [numbers] but [as] a type [of number that] is, so to speak, contained within them.]
7. Gauss:^[47] "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est." [We call a "norm" the product of a complex number [for example, a + ib ] with its conjugate [a - ib ]. Therefore the square of a real number should be regarded as its norm.]
8. However for another inverse function of the complex exponential function (and not the above defined principal value), the branch cut could be taken at any other ray thru the origin.

References

1. For an extensive account of the history of "imaginary" numbers, from initial skepticism to ultimate acceptance, see Bourbaki, Nicolas (1998). "Foundations of Mathematics § Logic: Set theory". Elements of the History of Mathematics. Springer. pp. 18–24.
2. "Complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales.", Penrose 2005, pp.72–73.
3. Axler, Sheldon (2010). College algebra. Wiley. p. 262. ISBN 9780470470770.
4. Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Schiller, J.J.; Spellman, D. (14 April 2009). Complex Variables. Schaum's Outline Series (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.
5. Aufmann, Barker & Nation 2007, p. 66, Chapter P
6. Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
7. Weisstein, Eric W. "Complex Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 12 August 2020.
8. Campbell, George Ashley (April 1911). "Cisoidal oscillations" (PDF). Proceedings of the American Institute of Electrical Engineers. XXX (1–6). American Institute of Electrical Engineers: 789–824 [Fig. 13 on p. 810]. doi:10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID 51647814. Retrieved 24 June 2023. p. 789: The use of i (or Greek ı) for the imaginary symbol is nearly universal in mathematical work, which is a very strong reason for retaining it in the applications of mathematics in electrical engineering. Aside, however, from the matter of established conventions and facility of reference to mathematical literature, the substitution of the symbol j is objectionable because of the vector terminology with which it has become associated in engineering literature, and also because of the confusion resulting from the divided practice of engineering writers, some using j for +i and others using j for −i.
9. Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (6 ed.). New York, USA: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. p. 2: In electrical engineering, the letter j is used instead of i.
10. Apostol 1981, pp. 15–16.
11. Apostol 1981, pp. 15–16
12. Apostol 1981, p. 18.
13. Other authors, including Ebbinghaus et al. 1991, §6.1, chose the argument to be in the interval ${\displaystyle [0,2\pi )}$.
14. Kasana, H.S. (2005). "Chapter 1". Complex Variables: Theory And Applications (2nd ed.). PHI Learning Pvt. Ltd. p. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
15. Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). "Chapter 9". Electric circuits (8th ed.). Prentice Hall. p. 338. ISBN 978-0-13-198925-2.
16. Bourbaki 1998, §VIII.1
17. Kline, Morris. A history of mathematical thought, volume 1. p. 253.
18. Jurij., Kovič. Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press Inc., New York, 1998, 592 strani. OCLC 1080410598.
19. O'Connor and Robertson (2016), "Girolamo Cardano."
20. Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton: Princeton University Press, 1998.
21. Katz, Victor J. (2004). "9.1.4". A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.
22. Hamilton, Wm. (1844). "On a new species of imaginary quantities connected with a theory of quaternions". Proceedings of the Royal Irish Academy. 2: 424–434.
23. Cynthia Y. Young (2017). Trigonometry (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 406. ISBN 978-1-119-44520-3. Extract of page 406
24. Nahin, Paul J. (2007). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12798-9. Archived from the original on 12 October 2012. Retrieved 20 April 2011.
25. Confalonieri, Sara (2015). The Unattainable Attempt to Avoid the Casus Irreducibilis for Cubic Equations: Gerolamo Cardano's De Regula Aliza. Springer. pp. 15–16 (note 26). ISBN 978-3658092757.
26. Descartes, René (1954) [1637]. La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60068-0. Retrieved 20 April 2011.
27. Euler, Leonard (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [Introduction to the Analysis of the Infinite] (in Latin). Vol. 1. Lucerne, Switzerland: Marc Michel Bosquet & Co. p. 104.
28. Wessel, Caspar (1799). "Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning" [On the analytic representation of direction, an effort applied in particular to the determination of plane and spherical polygons]. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [New Collection of the Writings of the Royal Danish Science Society] (in Danish). 5: 469–518.
29. Wallis, John (1685). A Treatise of Algebra, Both Historical and Practical ... London, England: printed by John Playford, for Richard Davis. pp. 264–273.
30. Argand (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques [Essay on a way to represent complex quantities by geometric constructions] (in French). Paris, France: Madame Veuve Blanc.
31. Gauss, Carl Friedrich (1799) "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse." [New proof of the theorem that any rational integral algebraic function of a single variable can be resolved into real factors of the first or second degree.] Ph.D. thesis, University of Helmstedt, (Germany). (in Latin)
32. Ewald, William B. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Vol. 1. Oxford University Press. p. 313. ISBN 9780198505358. Retrieved 18 March 2020.
33. Gauss 1831.
34. "Adrien Quentin Buée (1745–1845): MacTutor".
35. Buée (1806). "Mémoire sur les quantités imaginaires" [Memoir on imaginary quantities]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (in French). 96: 23–88. doi:10.1098/rstl.1806.0003. S2CID 110394048.
36. Mourey, C.V. (1861). La vraies théore des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires [The true theory of negative quantities and of alleged imaginary quantities] (in French). Paris, France: Mallet-Bachelier. 1861 reprint of 1828 original.
37. Warren, John (1828). A Treatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities. Cambridge, England: Cambridge University Press.
38. Warren, John (1829). "Consideration of the objections raised against the geometrical representation of the square roots of negative quantities". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 119: 241–254. doi:10.1098/rstl.1829.0022. S2CID 186211638.
39. Warren, John (1829). "On the geometrical representation of the powers of quantities, whose indices involve the square roots of negative numbers". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 119: 339–359. doi:10.1098/rstl.1829.0031. S2CID 125699726.
40. Français, J.F. (1813). "Nouveaux principes de géométrie de position, et interprétation géométrique des symboles imaginaires" [New principles of the geometry of position, and geometric interpretation of complex [number] symbols]. Annales des mathématiques pures et appliquées (in French). 4: 61–71.
41. Caparrini, Sandro (2000). "On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers". In Kim Williams (ed.). Two Cultures. Birkhäuser. p. 139. ISBN 978-3-7643-7186-9.
42. Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2000) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. OUP Oxford. p. 189 (fourth edition). ISBN 978-0-19-921986-5.
43. Jeff Miller (21 September 1999). "MODULUS". Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M). Archived from the original on 3 October 1999.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
44. Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique (in French). Vol. 1. Paris, France: L'Imprimerie Royale. p. 183.
45. Gauss 1831, p. 96
46. Gauss 1831, p. 96
47. Gauss 1831, p. 98
48. Hankel, Hermann (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [Lectures About the Complex Numbers and Their Functions] (in German). Vol. 1. Leipzig, [Germany]: Leopold Voss. p. 71. From p. 71: "Wir werden den Factor (cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoefficienten nennen." (We will often call the factor (cos φ + i sin φ) the "coefficient of direction".)
49. Bourbaki 1998, §VIII.1
50. Lester, J.A. (1994). "Triangles I: Shapes". Aequationes Mathematicae. 52: 30–54. doi:10.1007/BF01818325. S2CID 121095307.
51. Kalman, Dan (2008a). "An Elementary Proof of Marden's Theorem". American Mathematical Monthly. 115 (4): 330–38. doi:10.1080/00029890.2008.11920532. ISSN 0002-9890. S2CID 13222698. Archived from the original on 8 March 2012. Retrieved 1 January 2012.
52. Kalman, Dan (2008b). "The Most Marvelous Theorem in Mathematics". Journal of Online Mathematics and Its Applications. Archived from the original on 8 February 2012. Retrieved 1 January 2012.
53. Grant, I.S.; Phillips, W.R. (2008). Electromagnetism (2 ed.). Manchester Physics Series. ISBN 978-0-471-92712-9.
54. Marker, David (1996). "Introduction to the Model Theory of Fields". In Marker, D.; Messmer, M.; Pillay, A. (eds.). Model theory of fields. Lecture Notes in Logic. Vol. 5. Berlin: Springer-Verlag. pp. 1–37. ISBN 978-3-540-60741-0. MR 1477154.
55. Bourbaki 1998, §VIII.4.
56. McCrimmon, Kevin (2004). A Taste of Jordan Algebras. Universitext. Springer. p. 64. ISBN 0-387-95447-3. MR2014924
57. Apostol 1981, p. 25.

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), Complex Numbers from A to ... Z (Second ed.), New York: Springer, doi:10.1007/978-0-8176-8415-0, ISBN 978-0-8176-8414-3
• Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley.
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). College Algebra and Trigonometry (6 ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0-618-82515-8.
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6.
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). "Section 5.5 Complex Arithmetic". Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Archived from the original on 13 March 2020. Retrieved 9 August 2011.
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Complex number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Historical references

• Argand (1814). "Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise" [Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis]. Annales de mathématiques pures et appliquées (in French). 5: 197–209.
• Bourbaki, Nicolas (1998). "Foundations of mathematics § logic: set theory". Elements of the history of mathematics. Springer.
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9.
• Gauss, C. F. (1831). "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda" [Theory of biquadratic residues. Second memoir.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (in Latin). 7: 89–148.
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-1}}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.