сила Лоренца

Сила, действующая на заряженные частицы в электрических и магнитных полях

Сила Лоренца, действующая на быстро движущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере . Траектории положительных и отрицательных зарядов искривляются в противоположных направлениях.

В физике , в частности в электромагнетизме , закон силы Лоренца представляет собой комбинацию электрической и магнитной силы, действующей на точечный заряд под действием электромагнитных полей . Сила Лоренца , с другой стороны, является физическим эффектом , который возникает вблизи электрически нейтральных проводников с током, заставляя движущиеся электрические заряды испытывать магнитную силу .

Закон силы Лоренца гласит, что частица с зарядом q, движущаяся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B, испытывает силу (в единицах СИ ^{[1] [2]} ) Он гласит, что электромагнитная сила, действующая на заряд q, представляет собой комбинацию (1) силы в направлении электрического поля E (пропорциональной величине поля и количеству заряда) и (2) силы, действующей под прямым углом как к магнитному полю B , так и к скорости v заряда (пропорциональной величине поля, заряду и скорости). $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на провод с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочном контуре, движущемся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея ), и силу, действующую на движущуюся заряженную частицу. ^[3]

Историки предполагают, что этот закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла , опубликованной в 1865 году. ^[4] Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году, ^[5] определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы. ^[6]

Закон силы Лоренца как определение E и B

Заряженные частицы подвергаются действию силы Лоренца.

Во многих учебниках по классическому электромагнетизму закон силы Лоренца используется в качестве определения электрических и магнитных полей E и B. ^{[7] [8] [9]} Если говорить конкретно, то под силой Лоренца понимается следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F, действующая на пробный заряд в заданной точке и времени, является определенной функцией его заряда q и скорости v , которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в функциональной форме : $${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

Это справедливо даже для частиц, приближающихся к скорости света (то есть величина v , | v | ≈ c ) . ^[10] Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определяются везде в пространстве и времени относительно того, какую силу получит пробный заряд, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий эту силу.

Как определение E и B , сила Лоренца является лишь принципиальным определением, поскольку реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B , которые изменят электромагнитную силу, которую она испытывает. ^[11] Кроме того, если заряд испытывает ускорение, как будто его заставляют двигаться по искривленной траектории, он испускает излучение, которое заставляет его терять кинетическую энергию. См., например, тормозное излучение и синхротронный свет . Эти эффекты возникают как через прямой эффект (называемый силой реакции излучения ), так и косвенно (путем воздействия на движение соседних зарядов и токов).

Физическая интерпретация силы Лоренца

Закон Кулона действителен только для точечных зарядов, находящихся в состоянии покоя. Фактически, электромагнитная сила между двумя точечными зарядами зависит не только от расстояния, но и от относительной скорости . При малых относительных скоростях и очень малых ускорениях вместо силы Кулона можно применить силу Вебера . Сумма сил Вебера всех носителей заряда в замкнутом контуре постоянного тока на одном тестовом заряде создает — независимо от формы контура тока — силу Лоренца.

Интерпретация магнетизма посредством модифицированного закона Кулона была впервые предложена Карлом Фридрихом Гауссом . В 1835 году Гаусс предположил, что каждый сегмент контура постоянного тока содержит равное количество отрицательных и положительных точечных зарядов, которые движутся с разной скоростью. ^[12] Если бы закон Кулона был полностью верен, то между двумя короткими сегментами таких токовых контуров не должно было бы действовать никакой силы. Однако около 1825 года Андре-Мари Ампер экспериментально продемонстрировал, что это не так. Ампер также сформулировал закон силы . Основываясь на этом законе, Гаусс пришел к выводу, что электромагнитная сила между двумя точечными зарядами зависит не только от расстояния, но и от относительной скорости.

Сила Вебера является центральной силой и подчиняется третьему закону Ньютона . Это демонстрирует не только сохранение импульса , но и сохранение энергии и сохранение момента импульса . Электродинамика Вебера является лишь квазистатическим приближением , т.е. ее не следует использовать для более высоких скоростей и ускорений. Однако сила Вебера иллюстрирует, что силу Лоренца можно проследить до центральных сил между многочисленными точечными носителями заряда.

Уравнение

Заряженная частица

Сила Лоренца F, действующая на заряженную частицу (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E и поле B изменяются в пространстве и времени.

Сила F, действующая на частицу электрического заряда q с мгновенной скоростью v , обусловленная внешним электрическим полем E и магнитным полем B , определяется по формуле ( определение величин в системе СИ ^[1] ): ^[13]

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

где × — векторное векторное произведение (все выделенные жирным шрифтом величины являются векторами). В терминах декартовых компонент имеем: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}$$

В общем случае электрические и магнитные поля являются функциями положения и времени. Поэтому, в явном виде, сила Лоренца может быть записана как: где r — радиус-вектор заряженной частицы, t — время, а точка сверху — производная по времени. $${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$$

Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации, что и поле E , но будет искривляться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B в соответствии с правилом правой руки (подробнее, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v , а затем согнуты так, чтобы указывать в направлении B , то вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).

Термин q E называется электрической силой , в то время как термин q ( v × B ) называется магнитной силой . ^[14] Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится именно к формуле для магнитной силы, ^[15] при этом полная электромагнитная сила (включая электрическую силу) имеет какое-то другое (нестандартное) название. В этой статье не будет следовать этой номенклатуре: В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте ее также называют силой Лапласа.

Сила Лоренца — это сила, оказываемая электромагнитным полем на заряженную частицу, то есть это скорость, с которой линейный импульс передается от электромагнитного поля к частице. С ней связана мощность, которая является скоростью, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице. Эта мощность равна Обратите внимание, что магнитное поле не вносит вклад в мощность, поскольку магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы. $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$$

Непрерывное распределение заряда

Сила Лоренца (на единицу 3-объема) f, действующая на непрерывное распределение заряда ( плотность заряда ρ ) в движении. Плотность 3-тока J соответствует движению элемента заряда dq в элементе объема dV и изменяется по всему континууму.

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца становится: где — сила на небольшом участке распределения заряда с зарядом . Если обе части этого уравнения разделить на объем этого небольшого участка распределения заряда , то результат будет: где — плотность силы (сила на единицу объема), а — плотность заряда (заряд на единицу объема). Далее, плотность тока , соответствующая движению континуума заряда, равна , поэтому непрерывный аналог уравнения — ^[16] $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

Полная сила представляет собой объемный интеграл по распределению заряда: $${\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}$$

Исключая и , используя уравнения Максвелла и манипулируя с помощью теорем векторного исчисления , эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла , который, в свою очередь, можно объединить с вектором Пойнтинга для получения тензора электромагнитного напряжения-энергии T, используемого в общей теории относительности . ^[16] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

В терминах и , другой способ записать силу Лоренца (на единицу объема) - ^[16] где - скорость света и ∇ · обозначает дивергенцию тензорного поля . Вместо количества заряда и его скорости в электрических и магнитных полях, это уравнение связывает поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда. Подробнее см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма . ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$$ ${\displaystyle c}$

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна $${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$$

Если разделить полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, то получим, что плотность силы Лоренца равна $${\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .}$$

где: - плотность свободного заряда; - плотность поляризации ; - плотность свободного тока; и - плотность намагничивания . Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем. Плотность связанной мощности равна ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ $${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$$

Уравнения с гауссовыми величинами

Вышеупомянутые формулы используют соглашения для определения электрического и магнитного поля, используемые в СИ , которая является наиболее распространенной. Однако возможны и используются другие соглашения с той же физикой (т. е. силы, действующие, например, на электрон). В соглашениях, используемых со старыми единицами СГС-Гаусса , которые несколько более распространены среди некоторых физиков-теоретиков, а также экспериментаторов в области конденсированного состояния, вместо этого есть где c - скорость света . Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно эквивалентно, поскольку имеет следующие соотношения: ^[1] где ε ₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума , а μ ₀ - проницаемость вакуума . На практике нижние индексы "G" и "SI" опускаются, а используемое соглашение (и единица) должны определяться из контекста. $${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right),}$$ $${\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$$

История

Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и уравнения Максвелла для дивергенции электрического поля E (II) и магнитного поля B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892, стр. 451. V — скорость света.

Первые попытки количественно описать электромагнитную силу были сделаны в середине 18 века. Было высказано предположение, что сила на магнитных полюсах, Иоганном Тобиасом Майером и другими в 1760 году, ^[17] и электрически заряженных объектах, Генри Кавендишем в 1762 году, ^[18] подчиняется закону обратных квадратов . Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон , используя крутильные весы , смог окончательно показать с помощью эксперимента, что это правда. ^[19] Вскоре после открытия в 1820 году Гансом Христианом Эрстедом того, что на магнитную стрелку действует гальванический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог разработать с помощью эксперимента формулу для угловой зависимости силы между двумя элементами тока. ^{[20] [21]} Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вовлеченной материи и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей. ^[22]

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея , в частности, в его идее силовых линий , которые позднее были полностью математически описаны лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом . ^[23] С современной точки зрения можно выделить в формулировке Максвеллом 1865 года его уравнений поля форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам, ^[4] хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами, действующими на движущиеся заряженные объекты. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений поля Максвелла электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, с точки зрения свойств объекта и внешних полей. Заинтересовавшись определением электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах , Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал силу, действующую на частицы из-за внешнего магнитного поля, как ^{[6] [24]} Томсон вывел правильную базовую форму формулы, но из-за некоторых просчетов и неполного описания тока смещения включил неправильный масштабный множитель половины перед формулой. Оливер Хевисайд изобрел современную векторную нотацию и применил ее к уравнениям поля Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильной форме магнитной силы, действующей на движущийся заряженный объект. ^{[6] [25] [26]} Наконец, в 1895 году ^{[5] [27]} Хендрик Лоренц вывел современную форму формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады в общую силу как от электрического, так и от магнитного полей. Лоренц начал с отказа от максвелловских описаний эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц провел различие между материей и светоносным эфиром и попытался применить уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию уравнений Максвелла Хевисайда для стационарного эфира и применяя механику Лагранжа (см. ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона силы, которая теперь носит его имя. ^{[28] [29]} $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Траектории частиц, обусловленные силой Лоренца

Заряженная частица дрейфует в однородном магнитном поле. (A) Без возмущающей силы. (B) С электрическим полем, E. (C) С независимой силой, F (например, гравитация). (D) В неоднородном магнитном поле, grad H.

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме ) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой направляющим центром , и относительно медленного дрейфа этой точки. Скорости дрейфа могут различаться для различных видов в зависимости от их зарядовых состояний, масс или температур, что может приводить к электрическим токам или химическому разделению.

Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы порождают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей. ^{[13] [30]} Закон силы Лоренца описывает воздействие E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются полной картиной. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, в частности, с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца — это один аспект; генерация E и B токами и зарядами — другой.

В реальных материалах сила Лоренца недостаточна для описания коллективного поведения заряженных частиц, как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B , но и генерируют эти поля. Для определения временного и пространственного отклика зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана или уравнение Фоккера–Планка или уравнения Навье–Стокса . Например, см. магнитогидродинамика , динамика жидкости , электрогидродинамика , сверхпроводимость , эволюция звезд . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. Например, см. соотношения Грина–Кубо и функция Грина (теория многих тел) .

Сила, действующая на провод с током

Правило правой руки для провода с током в магнитном поле B

Когда провод, несущий электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, которые составляют ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создать макроскопическую силу на проводе (иногда называемую силой Лапласа ). Объединив закон силы Лоренца выше с определением электрического тока, получаем следующее уравнение в случае прямого неподвижного провода в однородном поле: ^[31] где ℓ — вектор, величина которого равна длине провода, а направление — вдоль провода, выровненное с направлением обычного тока I. $${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$

Если провод не прямой, силу на нем можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому сегменту провода , а затем сложив все эти силы путем интегрирования . Это приводит к тому же формальному выражению, но ℓ теперь следует понимать как вектор, соединяющий конечные точки изогнутого провода с направлением от начальной до конечной точки обычного тока. Обычно также будет чистый крутящий момент . ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

Если, кроме того, магнитное поле неоднородно, то результирующая сила, действующая на неподвижный жесткий провод, по которому течет постоянный ток I, определяется путем интегрирования вдоль провода: $${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} .}$$

Одним из приложений этого является закон силы Ампера , который описывает, как два провода с током могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца со стороны магнитного поля другого.

ЭМП

Магнитная сила ( q v × B ) компонента силы Лоренца отвечает за электродвижущую силу (или ЭДС движения ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник движется через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. Термин «ЭДС движения» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода .

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники нет. В этом случае ЭДС возникает из-за электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, что приводит к индуцированной ЭДС, как описано уравнением Максвелла-Фарадея (одним из четырех современных уравнений Максвелла ). ^[32]

Оба эти ЭДС, несмотря на их, по-видимому, различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно, ЭДС представляет собой скорость изменения магнитного потока через провод. (Это закон индукции Фарадея, см. ниже.) Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. ^[32] Фактически, электрические и магнитные поля являются различными гранями одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой соленоидальная векторная часть поля E может полностью или частично измениться на поле B или наоборот . ^[33]

Сила Лоренца и закон индукции Фарадея

Сила Лоренца - изображение на стене в Лейдене

Если взять контур провода в магнитном поле , закон индукции Фарадея гласит, что индуцированная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна: где - магнитный поток через контур, B - магнитное поле, Σ( t ) - поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ( t ) , в момент времени t , d A - бесконечно малый векторный элемент площади Σ( t ) (величина - площадь бесконечно малого участка поверхности, направление ортогонально этому участку поверхности). $${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$ $${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$$

Знак ЭДС определяется законом Ленца . Обратите внимание , что это справедливо не только для неподвижного провода, но и для движущегося провода.

Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Обратное также верно, сила Лоренца и уравнения Максвелла могут быть использованы для вывода закона Фарадея .

Пусть Σ( t ) — движущийся провод, движущийся вместе без вращения и с постоянной скоростью v , а Σ( t ) — внутренняя поверхность провода. ЭДС вокруг замкнутого контура ∂Σ( t ) определяется как: ^[34] где — электрическое поле, а d ℓ — бесконечно малый векторный элемент контура ∂Σ( t ) . $${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$$

Примечание: Оба знака d ℓ и d A имеют неоднозначность; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки , как объясняется в статье Теорема Кельвина–Стокса .

Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемых здесь уравнением Максвелла–Фарадея : $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.}$$

Уравнение Максвелла–Фарадея также можно записать в интегральной форме с использованием теоремы Кельвина–Стокса . ^[35]

Итак, у нас есть уравнение Максвелла Фарадея: и закон Фарадея, $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\mathrm {d} t}}}$$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$$

Эти два уравнения эквивалентны, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и то, что div B = 0 , получаем, а используя уравнение Максвелла Фарадея, поскольку оно справедливо для любого положения провода, оно подразумевает, что, $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$ $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t).}$$

Закон индукции Фарадея справедлив независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, или находится в движении или в процессе деформации, и справедлив независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако существуют случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применение базового закона силы Лоренца. См. неприменимость закона Фарадея .

Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящий контур движется через поле, магнитный поток Φ _{B ,} связывающий контур, может изменяться несколькими способами. Например, если поле B изменяется в зависимости от положения, и контур перемещается в место с другим полем B , Φ _B изменится. В качестве альтернативы, если контур меняет ориентацию относительно поля B , дифференциальный элемент B ⋅ d A изменится из-за различного угла между B и d A , также изменяя Φ _B . В качестве третьего примера, если часть контура проносится через однородное, независимое от времени поле B , а другая часть контура остается неподвижной, поток, связывающий весь замкнутый контур, может измениться из-за сдвига относительного положения составных частей контура со временем (поверхность ∂Σ( t ) зависит от времени). Во всех трех случаях закон индукции Фарадея затем предсказывает ЭДС, генерируемую изменением Φ _B .

Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E не является консервативным, когда магнитное поле B изменяется во времени, и не может быть выражено как градиент скалярного поля , а также не подчиняется теореме о градиенте , поскольку его ротор не равен нулю. ^{[34] [36]}

Сила Лоренца в терминах потенциалов

Поля E и B можно заменить магнитным векторным потенциалом A и ( скалярным ) электростатическим потенциалом ϕ , где ∇ — градиент, ∇⋅ — дивергенция, а ∇× — ротор . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Сила становится $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

Используя тождество для тройного произведения, это можно переписать как: $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$$

(Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на , а не на ; таким образом, нет необходимости использовать индексную нотацию Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя цепное правило, полная производная равна : так что приведенное выше выражение становится: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

При v = ẋ мы можем привести уравнение к удобной форме Эйлера–Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]}$

где и $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$ $${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

Сила Лоренца и аналитическая механика

Лагранжиан для заряженной частицы с массой m и зарядом q в электромагнитном поле эквивалентно описывает динамику частицы в терминах ее энергии , а не силы, действующей на нее. Классическое выражение имеет вид: ^[37] где A и ϕ — потенциальные поля, как указано выше. Величину можно рассматривать как потенциальную функцию, зависящую от скорости. ^[38] Используя уравнения Лагранжа , можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведенное выше. $${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$ ${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

Вывод силы Лоренца из классического Лагранжиана (единицы СИ)

Для поля A частица, движущаяся со скоростью v = ṙ , имеет потенциальный импульс , поэтому ее потенциальная энергия равна . Для поля ϕ потенциальная энергия частицы равна . ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }$ ${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$

Тогда полная потенциальная энергия равна: а кинетическая энергия равна: отсюда и лагранжиан: $${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$ $${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$ $${\displaystyle L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$ $${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+q\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)-q\phi }$$

Уравнения Лагранжа (одинаковые для y и z ). Итак, вычисляем частные производные: приравниваем и упрощаем: и аналогично для направлений y и z . Следовательно, уравнение силы: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right]\\[1ex]&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right]\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\[1ex]&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\[1ex]&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\[1ex]&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}$$

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, поэтому она не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан — это $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

Действие представляет собой релятивистскую длину дуги пути частицы в пространстве-времени за вычетом вклада потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который с точки зрения квантовой механики является дополнительной фазой, которую заряженная частица получает при движении вдоль векторного потенциала.

Вывод силы Лоренца из релятивистского Лагранжиана (единицы СИ)

Уравнения движения, полученные путем экстремального действия (обозначения см . в матричном исчислении): совпадают с уравнениями движения Гамильтона : оба эквивалентны неканонической форме: Эта формула представляет собой силу Лоренца, представляющую скорость, с которой электромагнитное поле добавляет релятивистский импульс к частице. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).}$$

Релятивистская форма силы Лоренца

Ковариантная форма силы Лоренца

Тензор поля

Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1) , силу Лоренца для заряда q можно записать в ^[39] ковариантной форме :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }}$

где p ^α — 4-импульс , определяемый как τ — собственное время частицы, F ^{αβ —} контравариантный электромагнитный тензор , а U — ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как: где — фактор Лоренца . $${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$$ $${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),}$$ $${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

Поля преобразуются в систему отсчета, движущуюся с постоянной относительной скоростью, по формуле: где Λ ^μ _α — тензор преобразования Лоренца . $${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$$

Перевод в векторную нотацию

Компонента α = 1 ( x -компонента) силы равна $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$$

Подстановка компонентов ковариантного электромагнитного тензора F дает $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$$

Используя компоненты ковариантной четырехскоростной функции, получаем $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.}$$

Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает схожие результаты, поэтому объединяем 3 уравнения в одно: и поскольку дифференциалы по координатному времени dt и собственному времени dτ связаны фактором Лоренца, то приходим к $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$ $${\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

Это именно закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p — релятивистское выражение, $${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$$

Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)

Электрические и магнитные поля зависят от скорости наблюдателя , поэтому релятивистскую форму закона силы Лоренца можно наилучшим образом продемонстрировать, начиная с выражения, не зависящего от координат, для электромагнитного и магнитного полей и произвольного направления времени, . Это можно урегулировать с помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда, определенной на псевдоевклидовом пространстве , ^[40] как и является бивектором пространства-времени (ориентированным сегментом плоскости, точно так же, как вектор является ориентированным сегментом прямой ), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих усилениям (вращениям в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-пространства). Скалярное произведение с вектором вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как клиновидное произведение создает тривектор (в пространственной алгебре), который является дуальным вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость задается (подобными времени) изменениями вектора положения во времени , где (что показывает наш выбор метрики), а скорость равна ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$ $${\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle v={\dot {x}}}$ $${\displaystyle v^{2}=1,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$$

Правильная (инвариант — неподходящий термин, поскольку не определено преобразование) форма закона силы Лоренца просто

${\displaystyle F=q{\mathcal {F}}\cdot v}$

Обратите внимание, что порядок важен, поскольку между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично. При расщеплении пространства-времени, как и выше, можно получить скорость и поля, что даёт обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой и зарядом , движущейся в пространстве с метрическим тензором и электромагнитным полем , задается как где ( берется вдоль траектории) , и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ $${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$ ${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$ ${\displaystyle dx^{a}}$ ${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

Уравнение можно также записать в виде , где — символ Кристоффеля (метрической связности без кручения в общей теории относительности), или в виде , где — ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения). $${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$ ${\displaystyle \Gamma _{abc}}$ $${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}$$ ${\displaystyle D}$

Приложения

Сила Лоренца возникает во многих устройствах, в том числе:

• Циклотроны и другие ускорители частиц с круговой траекторией
• Масс-спектрометры
• Фильтры скорости
• Магнетроны
• Измерение скорости силы Лоренца

В своем проявлении в виде силы Лапласа, действующей на электрический ток в проводнике, эта сила возникает во многих устройствах, включая:

• Электродвигатели
• Рельсотроны
• Линейные двигатели
• Громкоговорители
• Магнитоплазмодинамические двигатели
• Электрогенераторы
• Униполярные генераторы
• Линейные генераторы переменного тока

Смотрите также

• эффект Холла
• Электромагнетизм
• Гравитомагнетизм
• Закон силы Ампера
• Хендрик Лоренц
• Уравнения Максвелла
• Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
• Проблема движущегося магнита и проводника
• Сила Абрахама–Лоренца
• формула Лармора
• Циклотронное излучение
• Магнитосопротивление
• Скалярный потенциал
• Разложение Гельмгольца
• Руководящий центр
• Линия поля
• Закон Кулона
• Электромагнитная плавучесть

Сноски

1. В единицах СИ B измеряется в теслах (символ: T). В гауссовых единицах СГС B измеряется в гауссах (символ: G). См., например, «Часто задаваемые вопросы о геомагнетизме». Национальный центр геофизических данных . Получено 21 октября 2013 г.)
2. H - поле измеряется в амперах на метр (А/м) в единицах СИ и в эрстедах (Э) в единицах СГС. "Международная система единиц (СИ)". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . Национальный институт стандартов и технологий. 12 апреля 2010 г. Получено 9 мая 2012 г.
3. Huray, Paul G. (2009-11-16). Уравнения Максвелла. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-54276-7.
4. Huray, Paul G. (2010). Уравнения Максвелла. Wiley-IEEE. стр. 22. ISBN 978-0-470-54276-7.
5. Dahl, Per F. (1997). Вспышка катодных лучей: история электронов Дж. Дж. Томсона . CRC Press. стр. 10.
6. Пол Дж. Нахин, Оливер Хевисайд, JHU Press, 2002.
7. См., например, Джексон, стр. 777–78.
8. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 72–73. ISBN 0-7167-0344-0.Эти авторы используют силу Лоренца в тензорной форме как определитель электромагнитного тензора F , в свою очередь полей E и B.
9. IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 122. ISBN 978-0-471-92712-9.
10. IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 123. ISBN 978-0-471-92712-9.
11. "Лекции Фейнмана по физике. Том II. Гл. 1: Электромагнетизм". www.feynmanlectures.caltech.edu . Получено 06.07.2022 .
12. Гаусс, Карл Фридрих (1867). Карл Фридрих Гаусс Верке. Группа Фюнфтер . Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. п. 617.
13. См. Джексона, стр. 2. В книге перечислены четыре современных уравнения Максвелла, а затем говорится: «Также важным для рассмотрения движения заряженных частиц является уравнение силы Лоренца, F = q ( E + v × B ) , которое определяет силу, действующую на точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей».
14. См. Гриффитс, стр. 204.
15. Например, см. сайт Института Лоренца или Гриффитса.
16. Griffiths, David J. (1999). Введение в электродинамику. переиздание. с исправлениями (3-е изд.). Upper Saddle River, New Jersey [ua]: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
17. Делон, Мишель (2001). Энциклопедия Просвещения . Чикаго, Иллинойс: Fitzroy Dearborn Publishers. стр. 538. ISBN 157958246X.
18. Гудвин, Эллиот Х. (1965). Новая Кембриджская современная история, том 8: Американская и Французская революции, 1763–93 . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 130. ISBN 9780521045469.
19. Мейер, Герберт В. (1972). История электричества и магнетизма. Норволк, Коннектикут: Библиотека Бернди. С. 30–31. ISBN 0-262-13070-X.
20. Вершуур, Геррит Л. (1993). Скрытое притяжение: история и тайна магнетизма. Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 78–79. ISBN 0-19-506488-7.
21. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Oxford University Press. стр. 9, 25. ISBN 0-19-850593-0.
22. Вершуур, Геррит Л. (1993). Скрытое притяжение: история и тайна магнетизма. Нью-Йорк: Oxford University Press. стр. 76. ISBN 0-19-506488-7.
23. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Oxford University Press. стр. 126–131, 139–144. ISBN 0-19-850593-0.
24. MA, JJ Thomson (1881-04-01). "XXXIII. Об электрических и магнитных эффектах, производимых движением электрифицированных тел". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 11 (68): 229–249. doi :10.1080/14786448108627008. ISSN  1941-5982.
25. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Oxford University Press. стр. 200, 429–430. ISBN 0-19-850593-0.
26. Хевисайд, Оливер (апрель 1889 г.). «Об электромагнитных эффектах, вызванных движением электризации через диэлектрик». Philosophical Magazine . 27 : 324.
27. Лоренц, Хендрик Антун, Versuch einer Theorie der electricschen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
28. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Oxford University Press. стр. 327. ISBN 0-19-850593-0.
29. Уиттекер, ET (1910). История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века . Longmans, Green and Co. стр. 420–423. ISBN 1-143-01208-9.
30. См. Гриффитс, стр. 326, где говорится, что уравнения Максвелла «вместе с законом силы [Лоренца]... обобщают все теоретическое содержание классической электродинамики».
31. "Physics Experiments". www.physicsexperiment.co.uk . Архивировано из оригинала 2018-07-08 . Получено 2018-08-14 .
32. См. Гриффитс, страницы 301–3.
33. Тай Л. Чоу (2006). Электромагнитная теория. Садбери, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. стр. 395. ISBN 0-7637-3827-1.
34. Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М.; Питаевский, Л. П. (1984). Электродинамика сплошных сред; Том 8 Курс теоретической физики (Второе изд.). Оксфорд: Butterworth-Heinemann. стр. §63 (§49 стр. 205–207 в издании 1960 г.). ISBN 0-7506-2634-8.
35. Роджер Ф. Харрингтон (2003). Введение в электромагнитную инженерию. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 56. ISBN 0-486-43241-6.
36. MNO Sadiku (2007). Элементы электромагнетизма (Четвертое изд.). NY/Oxford: Oxford University Press. стр. 391. ISBN 978-0-19-530048-2.
37. Kibble, TWB (1973). Классическая механика . Европейская серия физики (2-е изд.). McGraw Hill. Великобритания. ISBN 0-07-084018-0.
38. Ланцош, Корнелиус (январь 1986). Вариационные принципы механики (четвертое издание). Нью-Йорк. ISBN 0-486-65067-7. OCLC  12949728.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
39. Джексон, Дж. Д. Глава 11
40. Хестенес, Дэвид . «Пространственно-временное исчисление».

Ссылки

Пронумерованные ссылки частично относятся к списку, приведенному ниже.

• Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью Л. (2006). Лекции Фейнмана по физике (3 тома) . Pearson / Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9047-2.: том 2.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Upper Saddle River, [Нью-Джерси]: Prentice-Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк, [NY.]: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Jr. (2004). Физика для ученых и инженеров, с современной физикой . Belmont, [CA.]: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-40846-X.
• Средницки, Марк А. (2007). Квантовая теория поля. Кембридж, [Англия]; Нью-Йорк [NY.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7.

Внешние ссылки

• Сила Лоренца (демонстрация)
• Интерактивный Java-апплет по магнитному отклонению пучка частиц в однородном магнитном поле. Архивировано 13 августа 2011 г. на Wayback Machine Вольфгангом Бауэром.