Алгебра

Раздел математики

Алгебра — это раздел математики , изучающий определенные абстрактные системы , известные как алгебраические структуры , и манипуляцию утверждениями внутри этих систем. Это обобщение арифметики , которое вводит переменные и алгебраические операции, отличные от стандартных арифметических операций, таких как сложение и умножение .

Элементарная алгебра — это основная форма алгебры, преподаваемая в школе, которая изучает математические утверждения с использованием переменных для неопределенных значений. Она стремится определить, для каких значений утверждения верны. Для этого она использует различные методы преобразования уравнений для изоляции переменных. Линейная алгебра — это тесно связанная область, которая исследует линейные уравнения и их комбинации, называемые системами . Она предоставляет методы для нахождения значений, которые решают все уравнения в системе одновременно, и для изучения множества этих решений.

Абстрактная алгебра изучает алгебраические структуры, которые состоят из набора математических объектов вместе с одной или несколькими операциями, определенными на этом наборе. Это обобщение элементарной и линейной алгебры, поскольку она допускает математические объекты, отличные от чисел и неарифметических операций. Она различает различные типы алгебраических структур, такие как группы , кольца и поля , на основе количества операций, которые они используют, и законов, которым они следуют . Универсальная алгебра и теория категорий предоставляют общие рамки для исследования абстрактных моделей, которые характеризуют различные классы алгебраических структур.

Алгебраические методы впервые были изучены в античный период для решения конкретных задач в таких областях, как геометрия . Последующие математики исследовали общие методы решения уравнений независимо от их конкретных приложений. Они описывали уравнения и их решения с помощью слов и сокращений до 16-го и 17-го веков, когда был разработан строгий символический формализм. В середине 19-го века сфера алгебры расширилась за пределы теории уравнений, чтобы охватить различные типы алгебраических операций и структур. Алгебра имеет отношение ко многим разделам математики, таким как геометрия, топология , теория чисел и исчисление , а также к другим областям исследования, таким как логика и эмпирические науки .

Определение и этимология

Алгебра — это раздел математики, изучающий алгебраические структуры и операции , которые они используют. ^[1] Алгебраическая структура — это непустое множество математических объектов , таких как целые числа , вместе с алгебраическими операциями, определенными на этом множестве, такими как сложение и умножение . ^{[2] [a]} Алгебра изучает законы, общие характеристики и типы алгебраических структур. В рамках определенных алгебраических структур она изучает использование переменных в уравнениях и то, как манипулировать этими уравнениями. ^{[4] [b]}

Алгебра часто понимается как обобщение арифметики . ^[8] Арифметика изучает такие операции, как сложение, вычитание , умножение и деление , в определенной области чисел, например, действительных числах. ^[9] Элементарная алгебра составляет первый уровень абстракции. Как и арифметика, она ограничивает себя определенными типами чисел и операций. Она обобщает эти операции, допуская неопределенные количества в виде переменных в дополнение к числам. ^[10] Более высокий уровень абстракции находится в абстрактной алгебре , которая не ограничивается определенной областью и исследует алгебраические структуры, такие как группы и кольца . Она выходит за рамки типичных арифметических операций, также охватывая другие типы операций. ^[11] Универсальная алгебра еще более абстрактна в том смысле, что она не интересуется конкретными алгебраическими структурами, а исследует характеристики алгебраических структур в целом. ^[12]

Слово «алгебра» происходит от названия книги аль-Хорезми «Аль-Джабр» . ^[13]

Термин «алгебра» иногда используется в более узком смысле для обозначения только элементарной алгебры или только абстрактной алгебры. ^[14] При использовании в качестве исчисляемого существительного алгебра представляет собой определенный тип алгебраической структуры , которая включает векторное пространство , оснащенное определенным типом бинарной операции . ^[15] В зависимости от контекста, «алгебра» может также относиться к другим алгебраическим структурам, таким как алгебра Ли или ассоциативная алгебра . ^[16]

Слово алгебра происходит от арабского термина الجبر ( al-jabr ), который первоначально относился к хирургическому лечению вправления костей . В IX веке термин получил математическое значение, когда персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми использовал его для описания метода решения уравнений и использовал его в названии трактата по алгебре al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [ Книга о вычислениях путем завершения и балансировки ], которая была переведена на латынь как Liber Algebrae et Almucabola . ^[c] Слово вошло в английский язык в XVI веке из итальянского , испанского и средневековой латыни . ^[18] Первоначально его значение ограничивалось теорией уравнений , то есть искусством манипулирования полиномиальными уравнениями с целью их решения. Это изменилось в 19 веке ^[d], когда сфера алгебры расширилась, чтобы охватить изучение различных типов алгебраических операций и структур вместе с их базовыми аксиомами , законами, которым они следуют. ^[21]

Основные отрасли

Элементарная алгебра

Обозначение алгебраического выражения:
  1 – степень (экспонента)
  2 – коэффициент
  3 – член
  4 – оператор
  5 – постоянный член – константа – переменные
  ${\displaystyle c}$
  ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Элементарная алгебра, также называемая школьной алгеброй, колледжной алгеброй и классической алгеброй, ^[22] является старейшей и самой базовой формой алгебры. Это обобщение арифметики , которое опирается на переменные и изучает, как математические утверждения могут быть преобразованы. ^[23]

Арифметика — это изучение числовых операций, изучающее, как числа объединяются и преобразуются с помощью арифметических операций сложения , вычитания , умножения , деления , возведения в степень , извлечения корней и логарифма . Например, операция сложения объединяет два числа, называемые слагаемыми, в третье число, называемое суммой, как в . ^[9] ${\displaystyle 2+5=7}$

Элементарная алгебра опирается на те же операции, допуская переменные в дополнение к обычным числам. Переменные являются символами для неопределенных или неизвестных величин. Они позволяют устанавливать отношения, для которых неизвестны точные значения, и выражать общие законы, которые верны, независимо от того, какие числа используются. Например, уравнение относится к арифметике и выражает равенство только для этих конкретных чисел. Заменяя числа переменными, можно выразить общий закон, который применяется к любой возможной комбинации чисел, как коммутативное свойство умножения , которое выражается в уравнении . ^[23] ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$

Алгебраические выражения формируются с помощью арифметических операций для объединения переменных и чисел. По соглашению строчные буквы , и представляют переменные. В некоторых случаях добавляются нижние индексы для различения переменных, как в , и . Строчные буквы , и обычно используются для констант и коэффициентов . ^[e] Выражение представляет собой алгебраическое выражение, созданное путем умножения числа 5 на переменную и добавления числа 3 к результату. Другими примерами алгебраических выражений являются и . ^[25] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 5x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 32xyz}$ ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$

Некоторые алгебраические выражения принимают форму утверждений, которые связывают два выражения друг с другом. Уравнение — это утверждение, сформированное путем сравнения двух выражений, утверждающее, что они равны. Это можно выразить с помощью знака равенства ( ), как в . Неравенства подразумевают другой тип сравнения, утверждающий, что две стороны различны. Это можно выразить с помощью таких символов, как знак «меньше» ( ), знак «больше» ( ) и знак неравенства ( ). В отличие от других выражений, утверждения могут быть истинными или ложными, и их истинностное значение обычно зависит от значений переменных. Например, утверждение истинно, если равно либо 2, либо −2, и ложно в противном случае. ^[26] Уравнения с переменными можно разделить на уравнения тождества и условные уравнения. Уравнения тождества истинны для всех значений, которые могут быть присвоены переменным, например, уравнение . Условные уравнения истинны только для некоторых значений. Например, уравнение истинны, только если равно 5. ^[27] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle x^{2}=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x+5x=7x}$ ${\displaystyle x+4=9}$ ${\displaystyle x}$

Основная цель элементарной алгебры — определить значения, для которых утверждение является истинным. Этого можно достичь, преобразуя и манипулируя утверждениями в соответствии с определенными правилами. Ключевой принцип, определяющий этот процесс, заключается в том, что любая операция, применяемая к одной стороне уравнения, должна быть применена и к другой стороне. Например, если вычесть 5 из левой стороны уравнения, то нужно также вычесть 5 из правой стороны, чтобы сбалансировать обе стороны. Целью этих шагов обычно является выделение интересующей переменной с одной стороны, процесс, известный как решение уравнения для этой переменной. Например, уравнение можно решить, добавив 7 к обеим сторонам, что изолирует левую сторону и приводит к уравнению . ^[28] ${\displaystyle x-7=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=11}$

Существует много других методов, используемых для решения уравнений. Упрощение применяется для замены сложного выражения эквивалентным более простым. Например, выражение можно заменить выражением , поскольку по свойству дистрибутивности. ^[29] Для утверждений с несколькими переменными подстановка является распространенным методом замены одной переменной эквивалентным выражением, которое не использует эту переменную. Например, если известно, что , то можно упростить выражение , чтобы получить . Аналогичным образом, если известно значение одной переменной, можно использовать его для определения значений других переменных. ^[30] ${\displaystyle 7x-3x}$ ${\displaystyle 4x}$ ${\displaystyle 7x-3x=(7-3)x=4x}$ ${\displaystyle y=3x}$ ${\displaystyle 7xy}$ ${\displaystyle 21x^{2}}$

Алгебраические уравнения можно использовать для описания геометрических фигур. Все значения для и , которые решают уравнение, интерпретируются как точки. Они изображены в виде красной восходящей линии на графике выше. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Алгебраические уравнения можно интерпретировать геометрически, чтобы описать пространственные фигуры в виде графика . Для этого различные переменные в уравнении понимаются как координаты , а значения, которые решают уравнение, интерпретируются как точки графика. Например, если в уравнении установлено значение ноль , то должно быть −1, чтобы уравнение было истинным. Это означает, что -пара является частью графика уравнения. -пара , напротив, не решает уравнение и, следовательно, не является частью графика. Граф охватывает совокупность -пар, которые решают уравнение. ^[31] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=0.5x-1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,7)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Полиномы

Полином — это выражение, состоящее из одного или нескольких членов, которые складываются или вычитаются друг из друга, например . Каждый член является либо константой, либо переменной, либо произведением константы и переменных. Каждую переменную можно возвести в положительную целую степень. Одночлен — это многочлен с одним членом, в то время как двух- и трехчленные многочлены называются двучленами и трехчленами. Степень многочлена — это максимальное значение (среди его членов) суммы показателей степеней переменных (4 в приведенном выше примере). ^[32] Многочлены первой степени называются линейными многочленами . Линейная алгебра изучает системы линейных многочленов. ^[33] Многочлен называется одномерным или многомерным в зависимости от того, использует ли он одну или несколько переменных. ^[34] ${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1}$

Факторизация используется для переписывания выражения в виде произведения нескольких множителей. Этот метод обычно используется для определения значений многочлена , которые равны нулю . Например, многочлен можно разложить на множители как . Многочлен в целом равен нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю, т. е. если равен либо −2, либо 5. ^[35] До 19-го века большая часть алгебры была посвящена полиномиальным уравнениям , то есть уравнениям, полученным путем приравнивания многочлена нулю. Первыми попытками решения полиномиальных уравнений было выражение решений в терминах корней n- й степени . Решение полиномиального уравнения второй степени вида дается квадратной формулой ^[36] Решения для степеней 3 и 4 даются кубическими и четвертыми формулами. Общих решений для более высоких степеней не существует, что было доказано в 19-м веке так называемой теоремой Абеля–Руффини . ^[37] Даже когда общие решения не существуют, приближенные решения можно найти с помощью численных инструментов, таких как метод Ньютона-Рафсона . ^[38] ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$

Основная теорема алгебры утверждает, что каждое одномерное полиномиальное уравнение положительной степени с действительными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере одно комплексное решение. Следовательно, каждый полином положительной степени может быть разложен на линейные полиномы. Эта теорема была доказана в начале 19 века, но это не закрывает проблему, поскольку теорема не дает никакого способа вычисления решений. ^[39]

Линейная алгебра

Линейная алгебра использует методы элементарной алгебры для изучения систем линейных уравнений . ^[40] Уравнение является линейным, если его можно выразить в виде, где , , ..., и являются константами. Это означает, что никакие переменные не умножаются друг на друга и никакие переменные не возводятся в степень, большую единицы. Например, уравнения и являются линейными, в то время как уравнения и являются нелинейными . Система линейных уравнений представляет собой набор линейных уравнений, для которых интересны общие решения. ^[41] Линейная алгебра интересуется манипулированием и преобразованием систем уравнений для их решения, что включает определение значений, для которых все уравнения верны одновременно. ^[42] ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ ${\displaystyle 0.25x-y=4}$ ${\displaystyle x^{2}=y}$ ${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

Системы линейных уравнений часто выражаются через таблицы чисел, известные как матрицы и векторы , ^[43] которые представляют всю систему в одном уравнении. Это можно сделать, переместив переменные в левую часть каждого уравнения и переместив постоянные члены в правую часть. Затем система выражается путем формулирования матрицы, содержащей все коэффициенты уравнений, и умножения ее на вектор-столбец, составленный из переменных. ^[44] Например, система уравнений может быть записана как $${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}$$

Два центральных вопроса в линейной алгебре: имеет ли система уравнений какие-либо решения, и если да, имеет ли она единственное решение. Система уравнений не имеет решений, если она противоречива , то есть два или более уравнений противоречат друг другу. Например, уравнения и противоречат друг другу, поскольку не существует значений и , которые решают оба уравнения одновременно. Только непротиворечивые системы уравнений имеют решения. ^[45] Имеет ли непротиворечивая система уравнений единственное решение, зависит от числа переменных и независимых уравнений . Несколько уравнений независимы друг от друга, если они не предоставляют одну и ту же информацию и не могут быть выведены друг из друга. Единственное решение существует, если число переменных совпадает с числом независимых уравнений. Недоопределенные системы , напротив, имеют больше переменных, чем независимых уравнений, и имеют бесконечное число решений, если они непротиворечивы. ^[46] ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Методы решения систем линейных уравнений варьируются от вводных, таких как подстановка ^[47] и исключение, ^[48] до более продвинутых методов, использующих алгоритмы, основанные на матричных вычислениях, таких как правило Крамера , исключение Гаусса-Жордана и LU-разложение . ^[49]

Линейные уравнения с двумя переменными можно геометрически интерпретировать как линии. Решение системы линейных уравнений находится там, где линии пересекаются.

Системы уравнений можно интерпретировать как геометрические фигуры. Для систем с двумя переменными каждое уравнение представляет собой линию в двумерном пространстве . Точка пересечения двух линий является решением всей системы, поскольку это единственная точка, которая решает как первое, так и второе уравнение. Для несовместных систем две линии идут параллельно, что означает, что решения нет, поскольку они никогда не пересекаются. Если два уравнения не являются независимыми, то они описывают одну и ту же линию, что означает, что каждое решение одного уравнения является также решением другого уравнения. Эти соотношения позволяют искать решения графически, строя уравнения и определяя, где они пересекаются. ^[50] Те же принципы применимы и к системам уравнений с большим количеством переменных, с той разницей, что уравнения описывают не линии, а фигуры более высокой размерности. Например, уравнения с тремя переменными соответствуют плоскостям в трехмерном пространстве , а точки пересечения всех плоскостей решают систему уравнений. ^[51]

Другой подход определяет линейную алгебру как изучение линейных отображений между конечномерными векторными пространствами. Линейное отображение — это функция, которая преобразует векторы из одного векторного пространства в другое, сохраняя операции сложения векторов и скалярного умножения . ^[52] С этой точки зрения матрица — это представление линейного отображения: если выбрать определенный базис для описания преобразуемых векторов, то записи в матрице дают результаты применения линейного отображения к базисным векторам. ^[53]

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра, также называемая современной алгеброй, ^[54] изучает различные типы алгебраических структур . Алгебраическая структура — это основа для понимания операций над математическими объектами , таких как сложение чисел. В то время как элементарная алгебра и линейная алгебра работают в рамках конкретных алгебраических структур, абстрактная алгебра использует более общий подход, который сравнивает, как алгебраические структуры отличаются друг от друга, и какие типы алгебраических структур существуют, такие как группы , кольца и поля . ^[55] Ключевое различие между этими типами алгебраических структур заключается в количестве операций, которые они используют, и законах, которым они подчиняются. ^[56] В математическом образовании абстрактная алгебра относится к продвинутому курсу бакалавриата , который изучают математики после завершения курсов линейной алгебры. ^[57]

Многие алгебраические структуры основаны на бинарных операциях, которые принимают два объекта в качестве входных данных и объединяют их в один объект в качестве выходных данных, как это делают сложение и умножение.

На формальном уровне алгебраическая структура представляет собой набор ^[f] математических объектов, называемых базовым набором, вместе с одной или несколькими операциями. ^[g] Абстрактная алгебра в первую очередь интересуется бинарными операциями , ^[h] которые берут любые два объекта из базового набора в качестве входных данных и отображают их в другой объект из этого набора в качестве выходных данных. ^[61] Например, алгебраическая структура имеет натуральные числа ( ) в качестве базового набора и сложение ( ) в качестве своей бинарной операции. ^[59] Базовый набор может содержать математические объекты, отличные от чисел, и операции не ограничиваются обычными арифметическими операциями. ^[62] Например, базовый набор группы симметрии геометрического объекта состоит из геометрических преобразований , таких как вращения , при которых объект остается неизменным . Его бинарная операция — это композиция функций , которая принимает два преобразования в качестве входных данных и имеет преобразование, полученное в результате применения первого преобразования, за которым следует второе, в качестве своего выходного значения. ^[63] ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle +}$

Теория групп

Абстрактная алгебра классифицирует алгебраические структуры на основе законов или аксиом , которым подчиняются ее операции, и количества операций, которые она использует. Одним из самых основных типов является группа, которая имеет одну операцию и требует, чтобы эта операция была ассоциативной и имела элемент тождества и обратные элементы . Операция ассоциативна, если порядок нескольких применений не имеет значения, т. е. если ^[i] такой же, как для всех элементов. Операция имеет элемент тождества или нейтральный элемент, если существует один элемент e , который не изменяет значение любого другого элемента, т. е. если . Операция имеет обратные элементы, если для любого элемента существует обратный элемент , который отменяет . Если элемент действует на свой обратный элемент, то результатом является нейтральный элемент e , формально выраженный как . Каждая алгебраическая структура, которая удовлетворяет этим требованиям, является группой. ^[65] Например, — это группа, образованная множеством целых чисел вместе с операцией сложения. Нейтральным элементом является 0, а обратным элементом любого числа является . ^[66] Натуральные числа со сложением, напротив, не образуют группу, поскольку они содержат только положительные целые числа и, следовательно, не имеют обратных элементов. ^[67] ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$ ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Теория групп изучает природу групп с помощью таких основных теорем, как фундаментальная теорема о конечных абелевых группах и теорема Фейта–Томпсона . ^[68] Последняя была ключевым ранним шагом в одном из важнейших математических достижений 20-го века: совместные усилия, занявшие более 10 000 журнальных страниц и в основном опубликованные между 1960 и 2004 годами, привели к полной классификации конечных простых групп . ^[69]

Теория колец и теория поля

Кольцо — это алгебраическая структура с двумя операциями ( и ), которые работают аналогично сложению и умножению. Все требования групп также применимы к первой операции: она ассоциативна и имеет единичный элемент и обратные элементы. Кроме того, она коммутативна, что означает, что это верно для всех элементов. Аксиома дистрибутивности управляет тем, как две операции взаимодействуют друг с другом. Она гласит, что и . ^[70] Кольцо целых чисел — это кольцо, обозначенное как . ^{[71] [j]} Кольцо становится полем, если обе операции следуют аксиомам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности и если обе операции имеют единичный элемент и обратные элементы. ^{[73] [k]} Кольцо целых чисел не образует поля, поскольку в нем отсутствуют мультипликативные обратные элементы. Например, мультипликативный обратный элемент — это , который не является частью целых чисел. Рациональные числа , действительные числа и комплексные числа образуют поле с операциями сложения и умножения. ^[75] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ ${\displaystyle a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)}$ ${\displaystyle (b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle }$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$

Теория колец — это изучение колец, изучение таких понятий, как подкольца , фактор-кольца , полиномиальные кольца и идеалы , а также теорем, таких как теорема Гильберта о базисе . ^[76] Теория поля занимается полями, исследуя расширения полей , алгебраические замыкания и конечные поля . ^[77] Теория Галуа исследует связь между теорией полей и теорией групп, опираясь на фундаментальную теорему теории Галуа . ^[78]

Теории взаимосвязей между структурами

Диаграмма отношений между некоторыми алгебраическими структурами. Например, ее верхняя правая часть показывает, что магма становится полугруппой , если ее операция ассоциативна.

Помимо групп, колец и полей, существует множество других алгебраических структур, изучаемых алгеброй. Они включают магмы , полугруппы , моноиды , абелевы группы , коммутативные кольца , модули , решетки , векторные пространства , алгебры над полем , а также ассоциативные и неассоциативные алгебры . Они отличаются друг от друга в отношении типов объектов, которые они описывают, и требований, которым удовлетворяют их операции. Многие связаны друг с другом тем, что базовую структуру можно превратить в более продвинутую структуру, добавив дополнительные требования. ^[56] Например, магма становится полугруппой, если ее операция ассоциативна. ^[79]

Гомоморфизмы являются инструментами для изучения структурных особенностей путем сравнения двух алгебраических структур. ^[80] Гомоморфизм — это функция из базового набора одной алгебраической структуры в базовый набор другой алгебраической структуры, которая сохраняет определенные структурные характеристики. Если две алгебраические структуры используют бинарные операции и имеют вид и тогда функция является гомоморфизмом, если она удовлетворяет следующему требованию: . Существование гомоморфизма показывает, что операция во второй алгебраической структуре играет ту же роль, что и операция в первой алгебраической структуре. ^[81] Изоморфизмы — это особый тип гомоморфизма, который указывает на высокую степень сходства между двумя алгебраическими структурами. Изоморфизм — это биективный гомоморфизм, то есть он устанавливает взаимно-однозначное отношение между элементами двух алгебраических структур. Это подразумевает, что каждый элемент первой алгебраической структуры отображается в один уникальный элемент во второй структуре без каких-либо неотображенных элементов во второй структуре. ^[82] ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Подалгебры ограничивают свои операции подмножеством базового множества исходной алгебраической структуры.

Другим инструментом сравнения является отношение между алгебраической структурой и ее подалгеброй . ^[83] Алгебраическая структура и ее подалгебра используют одни и те же операции, ^[l] которые следуют одним и тем же аксиомам. Единственное отличие состоит в том, что базовый набор подалгебры является подмножеством базового набора алгебраической структуры. ^[m] Все операции в подалгебре должны быть замкнуты в ее базовом наборе, что означает, что они производят только элементы, принадлежащие этому набору. ^[83] Например, набор четных целых чисел вместе со сложением является подалгеброй полного набора целых чисел вместе со сложением. Это так, потому что сумма двух четных чисел снова является четным числом. Но набор нечетных целых чисел вместе со сложением не является подалгеброй, потому что он не замкнут: сложение двух нечетных чисел дает четное число, которое не является частью выбранного подмножества. ^[84]

Универсальная алгебра — это изучение алгебраических структур в целом. В рамках своей общей перспективы она не занимается конкретными элементами, составляющими базовые множества, а рассматривает операции с более чем двумя входами, такие как тернарные операции . Она обеспечивает основу для исследования того, какие структурные особенности имеют общие черты у различных алгебраических структур. ^{[86] [n]} Одна из этих структурных особенностей касается тождеств , которые истинны в различных алгебраических структурах. В этом контексте тождество — это универсальное уравнение или уравнение, которое истинно для всех элементов базового множества. Например, коммутативность — это универсальное уравнение, которое утверждает, что идентично для всех элементов. ^[88] Многообразие — это класс всех алгебраических структур, которые удовлетворяют определенным тождествам. Например, если две алгебраические структуры удовлетворяют коммутативности, то они обе являются частью соответствующего многообразия. ^{[89] [o] [p]} ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle b\circ a}$

Теория категорий изучает, как математические объекты связаны друг с другом с помощью концепции категорий . Категория — это совокупность объектов вместе с совокупностью так называемых морфизмов или «стрелок» между этими объектами. Эти две совокупности должны удовлетворять определенным условиям. Например, морфизмы могут быть объединены или составлены : если существует морфизм от объекта к объекту и другой морфизм от объекта к объекту , то должен также существовать морфизм от объекта к объекту . Композиция морфизмов должна быть ассоциативной, и для каждого объекта должен быть «тождественный морфизм». ^[93] Категории широко используются в современной математике, поскольку они обеспечивают объединяющую структуру для описания и анализа многих фундаментальных математических понятий. Например, множества можно описать с помощью категории множеств , и любую группу можно рассматривать как морфизмы категории с одним объектом. ^[94] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$

История

Математический папирус Ринда из Древнего Египта , датируемый примерно  1650 годом до н. э. , является одним из самых ранних документов, в которых обсуждаются алгебраические проблемы.

Происхождение алгебры лежит в попытках решить математические задачи, включающие арифметические вычисления и неизвестные величины. Эти разработки произошли в древний период в Вавилонии , Египте , Греции , Китае и Индии . Одним из самых ранних документов по алгебраическим проблемам является математический папирус Ринда из Древнего Египта, который был написан около 1650 г. до н. э. ^[q] В нем обсуждаются решения линейных уравнений , как выражено в задачах типа «Количество; к нему прибавляется четвертая часть. Получается пятнадцать. Каково количество?» Вавилонские глиняные таблички примерно того же времени объясняют методы решения линейных и квадратных полиномиальных уравнений , такие как метод завершения квадрата . ^[96]

Многие из этих идей нашли свой путь к древним грекам. Начиная с 6-го века до н. э. их главным интересом была геометрия, а не алгебра, но они использовали алгебраические методы для решения геометрических задач. Например, они изучали геометрические фигуры, принимая их длины и площади в качестве неизвестных величин для определения, как это показано в формулировке Пифагора метода разности двух квадратов и позднее в « Началах » Евклида . ^[97] В 3-м веке н. э. Диофант подробно изложил, как решать алгебраические уравнения, в серии книг под названием «Арифметика» . Он был первым, кто экспериментировал с символической записью для выражения многочленов. ^[98] В Древнем Китае «Девять глав о математическом искусстве» , книга, составленная в период с 10-го века до н. э. по 2-й век н. э., ^[99] исследовала различные методы решения алгебраических уравнений, включая использование матрично-подобных конструкций. ^[100]

Нет единого мнения относительно того, являются ли эти ранние разработки частью алгебры или только предшественниками. Они предлагали решения алгебраических проблем, но не рассматривали их в абстрактной и общей манере, сосредоточившись вместо этого на конкретных случаях и приложениях. ^[101] Это изменилось с персидским математиком аль-Хорезми , ^[r], который опубликовал свою «Сводную книгу об исчислении путем завершения и уравновешивания » в 825 году н. э. В ней представлено первое подробное рассмотрение общих методов, которые можно использовать для манипулирования линейными и квадратными уравнениями путем «уменьшения» и «уравновешивания» обеих сторон. ^[103] Другие влиятельные вклады в алгебру внесли арабский математик Табит ибн Курра также в 9 веке и персидский математик Омар Хайям в 11 и 12 веках. ^[104]

В Индии Брахмагупта исследовал, как решать квадратные уравнения и системы уравнений с несколькими переменными в 7 веке н. э. Среди его нововведений было использование нуля и отрицательных чисел в алгебраических уравнениях. ^[105] Индийские математики Махавира в 9 веке и Бхаскара II в 12 веке еще больше усовершенствовали методы и концепции Брахмагупты. ^[106] В 1247 году китайский математик Цинь Цзюшао написал « Математический трактат в девяти разделах» , который включает алгоритм для численной оценки многочленов , включая многочлены более высоких степеней. ^[107]

Франсуа Виет (слева) и Рене Декарт изобрели символическую запись для выражения уравнений в абстрактной и краткой форме.

Итальянский математик Фибоначчи привёз идеи и методы аль-Хорезми в Европу в книгах, включая его Liber Abaci . ^[108] В 1545 году итальянский полимат Джероламо Кардано опубликовал свою книгу Ars Magna , которая охватывала многие темы алгебры, обсуждала мнимые числа и была первой, кто представил общие методы решения кубических и четвертых уравнений . ^[109] В XVI и XVII веках французские математики Франсуа Виет и Рене Декарт ввели буквы и символы для обозначения переменных и операций, что позволило выражать уравнения абстрактно и кратко. Их предшественники полагались на словесные описания задач и решений. ^[110] Некоторые историки рассматривают это развитие как ключевой поворотный момент в истории алгебры и считают то, что было до этого, предысторией алгебры, поскольку ей не хватало абстрактной природы, основанной на символических манипуляциях. ^[111]

Гаррет Биркгоф разработал многие из основополагающих концепций универсальной алгебры.

В 17 и 18 веках было предпринято много попыток найти общие решения для многочленов пятой степени и выше. Все они потерпели неудачу. ^[37] В конце 18 века немецкий математик Карл Фридрих Гаусс доказал основную теорему алгебры , которая описывает существование нулей многочленов любой степени, не предоставляя общего решения. ^[19] В начале 19 века итальянский математик Паоло Руффини и норвежский математик Нильс Хенрик Абель смогли показать , что общего решения для многочленов пятой степени и выше не существует. ^[37] В ответ на их открытия и вскоре после них французский математик Эварист Галуа разработал то, что позже стало известно как теория Галуа , которая предложила более глубокий анализ решений многочленов, а также заложила основу теории групп . ^[20] Математики вскоре осознали значимость теории групп для других областей и применили ее к таким дисциплинам, как геометрия и теория чисел. ^[112]

Начиная с середины 19 века интерес к алгебре сместился от изучения многочленов, связанных с элементарной алгеброй, к более общему исследованию алгебраических структур, что ознаменовало возникновение абстрактной алгебры . Этот подход исследовал аксиоматическую основу произвольных алгебраических операций. ^[113] Изобретение новых алгебраических систем, основанных на различных операциях и элементах, сопровождало это развитие, например, булева алгебра , векторная алгебра и матричная алгебра . ^[114] Влиятельные ранние разработки в абстрактной алгебре были сделаны немецкими математиками Давидом Гильбертом , Эрнстом Штайницем и Эмми Нётер , а также австрийским математиком Эмилем Артином . Они исследовали различные формы алгебраических структур и классифицировали их на основе их базовых аксиом по типам, таким как группы, кольца и поля. ^[115]

Идея еще более общего подхода, связанного с универсальной алгеброй, была задумана английским математиком Альфредом Нортом Уайтхедом в его книге 1898 года «Трактат об универсальной алгебре» . Начиная с 1930-х годов американский математик Гаррет Биркгоф расширил эти идеи и разработал многие из основополагающих концепций этой области. ^[116] Изобретение универсальной алгебры привело к появлению различных новых областей, сосредоточенных на алгебраизации математики, то есть на применении алгебраических методов к другим разделам математики. Топологическая алгебра возникла в начале 20-го века, изучая алгебраические структуры, такие как топологические группы и группы Ли . ^[117] В 1940-х и 50-х годах появилась гомологическая алгебра , использующая алгебраические методы для изучения гомологии . ^[118] Примерно в то же время была разработана теория категорий , которая с тех пор играет ключевую роль в основаниях математики . ^[119] Другими достижениями стали формулировка теории моделей и изучение свободных алгебр . ^[120]

Приложения

Влияние алгебры широко распространено как в математике, так и в ее приложениях к другим областям. ^[121] Алгебраизация математики — это процесс применения алгебраических методов и принципов к другим разделам математики , таким как геометрия , топология , теория чисел и исчисление . Это происходит путем использования символов в форме переменных для выражения математических идей на более общем уровне, что позволяет математикам разрабатывать формальные модели, описывающие, как объекты взаимодействуют и соотносятся друг с другом. ^[122]

Алгебраическое уравнение описывает сферу в начале координат с радиусом 1. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Одно из приложений, найденное в геометрии, — это использование алгебраических утверждений для описания геометрических фигур. Например, уравнение описывает линию в двумерном пространстве, в то время как уравнение соответствует сфере в трехмерном пространстве. Особый интерес для алгебраической геометрии представляют алгебраические многообразия , ^[s], которые являются решениями систем полиномиальных уравнений , которые могут использоваться для описания более сложных геометрических фигур. ^[124] Алгебраические рассуждения также могут решать геометрические задачи. Например, можно определить, пересекается ли и где линия, описанная с окружностью, описанной с помощью, решая систему уравнений, составленную из этих двух уравнений. ^[125] Топология изучает свойства геометрических фигур или топологических пространств , которые сохраняются при операциях непрерывной деформации . Алгебраическая топология опирается на алгебраические теории, такие как теория групп, для классификации топологических пространств. Например, гомотопические группы классифицируют топологические пространства на основе существования в них петель или дырок . ^[126] ${\displaystyle y=3x-7}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$

Теория чисел занимается свойствами и отношениями между целыми числами. Алгебраическая теория чисел применяет алгебраические методы и принципы к этой области исследования. Примерами являются использование алгебраических выражений для описания общих законов, таких как Великая теорема Ферма , и алгебраических структур для анализа поведения чисел, таких как кольцо целых чисел . ^[127] Связанная с этим область комбинаторики использует алгебраические методы для решения задач, связанных с подсчетом, расположением и комбинированием дискретных объектов. Примером в алгебраической комбинаторике является применение теории групп для анализа графов и симметрий. ^[128] Понимание алгебры также актуально для исчисления, которое использует математические выражения для изучения скоростей изменения и накопления . Например, она опирается на алгебру, чтобы понять, как эти выражения могут быть преобразованы и какую роль в них играют переменные. ^[129] Алгебраическая логика использует методы алгебры для описания и анализа структур и моделей, лежащих в основе логических рассуждений , ^[130] исследуя как сами соответствующие математические структуры, так и их применение к конкретным проблемам логики. ^[131] Она включает в себя изучение булевой алгебры для описания пропозициональной логики ^[132] , а также формулировку и анализ алгебраических структур, соответствующих более сложным системам логики . ^[133]

Грани кубика Рубика можно вращать, чтобы изменить расположение цветных пятен. Полученные перестановки образуют группу, называемую группой кубика Рубика . ^[134]

Алгебраические методы также широко используются в других областях, таких как естественные науки. Например, они используются для выражения научных законов и решения уравнений в физике , химии и биологии . ^[135] Аналогичные приложения встречаются в таких областях, как экономика , география , инженерия (включая электронику и робототехнику ) и компьютерные науки для выражения отношений, решения проблем и моделирования систем. ^[136] Линейная алгебра играет центральную роль в искусственном интеллекте и машинном обучении , например, обеспечивая эффективную обработку и анализ больших наборов данных . ^[137] Различные области опираются на алгебраические структуры, исследуемые абстрактной алгеброй. Например, такие физические науки, как кристаллография и квантовая механика, широко используют теорию групп, ^[138] которая также применяется для изучения головоломок, таких как судоку и кубик Рубика , ^[139] и оригами . ^[140] И теория кодирования , и криптология опираются на абстрактную алгебру для решения проблем, связанных с передачей данных , таких как избежание эффектов шума и обеспечение безопасности данных . ^[141]

Образование

Весы используются в преподавании алгебры, чтобы помочь учащимся понять, как можно преобразовать уравнения для определения неизвестных значений. ^[142]

Алгебраическое образование в основном фокусируется на элементарной алгебре, что является одной из причин, по которой элементарную алгебру также называют школьной алгеброй. Обычно ее не вводят до среднего образования , поскольку она требует овладения основами арифметики, одновременно ставя новые когнитивные задачи, связанные с абстрактными рассуждениями и обобщениями. ^[143] Она направлена ​​на то, чтобы познакомить учащихся с формальной стороной математики, помогая им понять математическую символику, например, как переменные могут использоваться для представления неизвестных величин. Дополнительная трудность для учащихся заключается в том, что, в отличие от арифметических вычислений, алгебраические выражения часто трудно решить напрямую. Вместо этого учащимся необходимо научиться преобразовывать их в соответствии с определенными законами, часто с целью определения неизвестной величины. ^[144]

Некоторые инструменты для знакомства студентов с абстрактной стороной алгебры основаны на конкретных моделях и визуализациях уравнений, включая геометрические аналогии, манипулятивы, включая палочки или чашки, и «функциональные машины», представляющие уравнения в виде диаграмм потоков . Один метод использует весы в качестве наглядного подхода, чтобы помочь студентам понять основные проблемы алгебры. Масса некоторых объектов на весах неизвестна и представляет собой переменные. Решение уравнения соответствует добавлению и удалению объектов с обеих сторон таким образом, чтобы стороны оставались в равновесии до тех пор, пока единственным объектом, оставшимся с одной стороны, не станет объект неизвестной массы. ^[145] Текстовые задачи являются еще одним инструментом, показывающим, как алгебра применяется к реальным жизненным ситуациям. Например, студентам может быть представлена ​​ситуация, в которой у брата Наоми в два раза больше яблок, чем у Наоми. Учитывая, что у обоих вместе есть двенадцать яблок, затем студентов просят найти алгебраическое уравнение, которое описывает эту ситуацию ( ), и определить, сколько яблок у Наоми ( ). ^[146] ${\displaystyle 2x+x=12}$ ${\displaystyle x=4}$

На университетском уровне студенты-математики сталкиваются с продвинутыми темами алгебры из линейной и абстрактной алгебры. Начальные курсы бакалавриата по линейной алгебре фокусируются на матрицах, векторных пространствах и линейных картах. После их завершения студенты обычно знакомятся с абстрактной алгеброй, где они узнают об алгебраических структурах, таких как группы, кольца и поля, а также об отношениях между ними. Учебная программа обычно также охватывает конкретные примеры алгебраических структур, таких как системы рациональных чисел, действительных чисел и многочленов. ^[147]

Смотрите также

• Алгебра над множеством
• Плитка алгебры
• Алгебраическая комбинаторика
• Теорема Безу
• C*-алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Коммутативная алгебра
• Композиционная алгебра
• Компьютерная алгебра
• Циклотомический полином
• Диофантово уравнение
• Дискретное преобразование Фурье
• Дискретная группа
• Двойное пространство
• Собственные значения и собственные векторы
• Класс эквивалентности
• Отношение эквивалентности
• Внешняя алгебра
• F-алгебра
• F-коалгебра
• Конечное поле
• Основная теорема о конечно порождённых абелевых группах
• Гауссово исключение
• Геометрическая алгебра
• основа Грёбнера
• алгебра Гейтинга
• Гильбертово пространство
• Nullstellensatz Гильберта
• Теорема Гильберта о сизигиях
• алгебра Хопфа
• Решетка (группа)
• Группа Ли
• Линейная форма
• Линейное подпространство
• Матричное разложение
• Многолинейная карта
• Неассоциативная алгебра
• Очерк алгебры
• Кватернион
• Рациональная функция
• Реляционная алгебра
• Теория представления
• Корень единства
• Теория схем
• Сигма-алгебра
• Разложение по сингулярным значениям
• Спектральная теория
• Симметричная алгебра
• Т-алгебра
• Тензор
• Тензорная алгебра
• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Ссылки

Примечания

1. При самом широком понимании алгебраическая операция — это функция от декартовой степени множества в это множество , формально выражаемая как . Сложение действительных чисел — пример алгебраической операции: она принимает два числа в качестве входных данных и производит одно число в качестве выходных данных. Она имеет форму . ^[3] ${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$
2. Алгебра охватывается разделом 512 в Десятичной классификации Дьюи ^[5] и подклассом QA 150-272.5 в Классификации Библиотеки Конгресса . ^[6] Она охватывает несколько областей в Классификации предметов математики . ^[7]
3. Точное значение термина аль-джабр в работе аль-Хорезми оспаривается. В некоторых отрывках он выражает, что количество, уменьшенное вычитанием, восстанавливается до своего первоначального значения, подобно тому, как костоправ восстанавливает сломанные кости, приводя их в правильное положение. ^[17]
4. Эти изменения были частично вызваны открытиями, которые решили многие старые проблемы алгебры. Например, доказательство фундаментальной теоремы алгебры продемонстрировало существование комплексных решений полиномов ^[19] , а введение теории Галуа охарактеризовало полиномы, имеющие общие решения . ^[20]
5. Константы представляют собой фиксированные числа, которые не изменяются в ходе изучения конкретной проблемы. ^[24]
6. Множество — это неупорядоченная коллекция отдельных элементов, таких как числа, векторы или другие множества. Теория множеств описывает законы и свойства множеств. ^[58]
7. Согласно некоторым определениям, алгебраические структуры включают в себя выделенный элемент как дополнительный компонент, такой как элемент тождества в случае умножения. ^[59]
8. Некоторые из алгебраических структур, изучаемых абстрактной алгеброй, включают унарные операции в дополнение к бинарным операциям. Например, нормированные векторные пространства имеют норму , которая является унарной операцией, часто используемой для связывания вектора с его длиной. ^[60]
9. Символы и используются в этой статье для обозначения любой операции, которая может напоминать или не напоминать арифметические операции. ^[64] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$
10. Некоторые определения дополнительно требуют, чтобы вторая операция была ассоциативной. ^[72]
11. Для второй операции обычно имеется один элемент, соответствующий 0, который не требует обратного элемента. ^[74]
12. Согласно некоторым определениям, подалгебра также может иметь меньше операций. ^[84]
13. Это означает, что все элементы первого набора являются также элементами второго набора, но второй набор может содержать элементы, не найденные в первом наборе. ^[85]
14. Несколько иной подход понимает универсальную алгебру как изучение одного типа алгебраических структур, известных как универсальные алгебры. Универсальные алгебры определяются в общем виде, чтобы включать большинство других алгебраических структур. Например, группы и кольца являются особыми типами универсальных алгебр. ^[87]
15. Не каждый тип алгебраической структуры образует многообразие. Например, и группы, и кольца образуют многообразия, но поля — нет. ^[90]
16. Помимо тождеств, универсальная алгебра также интересуется структурными особенностями, связанными с квазитождествами . Квазитождество — это тождество, которое должно присутствовать только при определенных условиях (которые принимают форму предложения Хорна ^[91] ). Это обобщение тождества в том смысле, что каждое тождество является квазитождеством, но не каждое квазитождество является тождеством. Квазимногообразие — это класс всех алгебраических структур, которые удовлетворяют определенным квазитождествам. ^[92]
17. Точная дата оспаривается, и некоторые историки предполагают более позднюю дату около 1550 г. до н.э. ^[95]
18. Некоторые историки считают его «отцом алгебры», в то время как другие оставляют этот титул за Диофантом. ^[102]
19. Алгебраические многообразия, изучаемые в геометрии, отличаются от более общих многообразий, изучаемых в универсальной алгебре. ^[123]

Цитаты

1. • Мерзляков и Ширшов 2020, Ведущая секция
   • Гилберт и Николсон 2004, стр. 4
2. • Фиш и Эбютерн 2013, с. 326
   • Мерзляков и Ширшов 2020, § Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.
   • Гилберт и Николсон 2004, стр. 4
3. Баранович 2023, Ведущий раздел
4. • Pratt 2022, Lead section, § 1. Элементарная алгебра, § 2. Абстрактная алгебра, § 3. Универсальная алгебра
   • Мерзляков и Ширшов 2020, § Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.
5. Хайэм 2019, стр. 296
6. Библиотека Конгресса, стр. 3.
7. zbMATH Open 2024
8. • Мэддокс 2008, стр. 129
   • Бургин 2022, стр. 45
9. • Романовский 2008, стр. 302–303.
   • Персонал HC 2022
   • Персонал MW 2023
   • Бухштаб и Печаев 2020
10. • Мэддокс 2008, стр. 129–130
    • Pratt 2022, Ведущий раздел, § 1. Элементарная алгебра
    • Вагнер и Киран 2018, стр. 225
11. • Мэддокс 2008, стр. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Абстрактная алгебра
    • Вагнер и Киран 2018, стр. 225
12. • Пратт 2022, § 3. Универсальная алгебра
    • Грийе 2007, стр. 559
    • Денеке и Висмат 2018, стр. v
    • Кон 2012, стр. xiii
13. • Крессвелл 2010, стр. 11
    • Персонал ОУП
    • Менини и Ойстайен, 2017, стр. 722
14. • Вайсштейн 2003, стр. 46
    • Вальц 2016, Алгебра
15. • Вайсштейн 2003, стр. 46
    • Брешар 2014, стр. xxxiii
    • Голан 1995, стр. 219–227
16. Сотрудники EoM 2017
17. • Оукс и Алхатиб 2007, стр. 45–46, 58
    • Гандз 1926, стр. 437
18. • Крессвелл 2010, стр. 11
    • Персонал ОУП
    • Менини и Ойстайен, 2017, стр. 722
    • Хоад 1993, стр. 10
19. • Тантон 2005, стр. 10
    • Квас 2006, стр. 308
    • Корри 2024, § Основная теорема алгебры
20. • Квас 2006, стр. 314–345
    • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
    • Corry 2024, § Теория Галуа, § Приложения теории групп
21. • Тантон 2005, стр. 10
    • Корри 2024, § Структурная алгебра
    • Хазевинкель 1994, стр. 73–74
22. • Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016, с. 2
    • Бенсон 2003, стр. 111–112
23. • Мэддокс 2008, стр. 129
    • Берггрен 2015, Ведущая секция
    • Пратт 2022, § 1. Элементарная алгебра
    • Мерзляков и Ширшов 2020, § 1. Исторический обзор.
24. Соболев 2015
25. • Мэддокс 2008, стр. 129–130
    • Янг 2010, стр. 999
    • Маевский 2004, стр. 347
    • Пратт 2022, § 1. Элементарная алгебра
    • Сорелл 2000, стр. 19
26. • Мэддокс 2008, стр. 129–130
    • Цокос и Вутен 2015, стр. 451
    • Мишра 2016, стр. 1.2
27. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 16
    • Гудман 2001, стр. 5
    • Уильямс 2022
28. • Мэддокс 2008, стр. 130
    • Маккиг 1986, стр. 51–54
    • Пратт 2022, § 1. Элементарная алгебра
    • Мерзляков и Ширшов 2020, § 1. Исторический обзор.
29. • Тан, Стиб и Харди 2012, стр. 306
    • Ламанья 2019, стр. 150
30. • Берггрен 2015, § Решение систем алгебраических уравнений
    • МакКег 2014, стр. 386
    • МакКиг 1986, стр. 148
31. • Мэддокс 2008, стр. 130–131
    • Роде и др. 2012, стр. 89
    • Вальц 2016, Алгебра
32. • Брэкен и Миллер 2014, стр. 386–387
    • Кауфманн и Швиттерс 2011, с. 220
    • Маркушевич 2015
33. • Сахаи и Бист 2002, стр. 21
    • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Баррера-Мора 2023, стр. ix, 1–2.
34. Геддес, Цапор и Лабан 2007, стр. 46
35. • Лукас 2022, стр. 47–49
    • Берггрен 2015, § Алгебраические выражения, § Решение алгебраических уравнений
36. • Берггрен 2015, § Решение алгебраических уравнений
    • Корри 2024, § Классическая алгебра
37. • Тантон 2005, стр. 10
    • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
    • Корри 2024, § Тупик с радикальными методами
38. Игараси и др. 2014, с. 103
39. • Берггрен 2015, § Решение алгебраических уравнений
    • Тантон 2005, стр. 10
    • Квас 2006, стр. 308
    • Корри 2024, § Основная теорема алгебры
40. • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Баррера-Мора 2023, стр. ix, 1–2,
41. • Антон и Роррес, 2013 г., стр. 2–3.
    • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Войцеховский 2011
42. • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Андрилли и Хекер, 2022, стр. 57–58.
43. • Саикия 2008, стр. 1
    • Лал 2017, стр. 31
    • Мирахор и Кричене 2014, с. 107
44. • Баррера-Мора 2023, стр. ix, 1, 12–13.
    • Янг 2010, стр. 726–727
    • Антон и Роррес, 2013, стр. 32–34.
45. • Антон и Роррес, 2013 г., стр. 3–7.
    • Мортенсен 2013, стр. 73–74
    • Янг 2023, стр. 714–715
46. • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Харрисон и Уолдрон 2011, стр. 464
    • Антон 2013, стр. 255
47. • Янг 2010, стр. 697–698
    • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Салливан 2010, стр. 53–54
48. • Антон и Роррес, 2013, стр. 7–8.
    • Салливан 2010, стр. 55–56
    • Атанасиу и Микусински 2019, с. 75
49. • Мэддокс 2008, стр. 131
    • Антон и Роррес 2013, стр. 7–8, 11, 491.
50. • Антон и Роррес, 2013 г., стр. 3–5.
    • Янг 2010, стр. 696–697
    • Снейд, Фьюстер и Макгилливрей 2022, стр. 211
51. • Антон и Роррес, 2013 г., стр. 3–5.
    • Янг 2010, стр. 713
    • Снейд, Фьюстер и Макгилливрей 2022, стр. 211
52. • Валенца 2012, стр. vii
    • Чахал 2018, § 1.1 Что такое линейная алгебра?
    • Соломон 2014, стр. 57–58, 61–62
    • Рикардо 2009, стр. 389
53. • Соломон 2014, стр. 57
    • Рикардо 2009, стр. 395–396
54. • Гилберт и Николсон 2004, стр. 1
    • Доминич 2008, стр. 19
55. • Мэддокс 2008, стр. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Абстрактная алгебра
    • Гилберт и Николсон 2004, стр. 1–3
    • Доминич 2008, стр. 19
56. • Pratt 2022, Lead section, § 2. Абстрактная алгебра
    • Мерзляков и Ширшов 2020, Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.
    • Бурбаки 1998, стр. 428–430, 446
57. Хаусбергер 2020, Преподавание и изучение абстрактной алгебры
58. • Тантон 2005, стр. 460
    • Мурти 2012, стр. 1.3
59. Овчинников 2015, стр. 27
60. Гриле 2007, стр. 247
61. • Уайтлоу 1995, стр. 61
    • Николсон 2012, стр. 70
    • Фиш и Эбютерн 2013, с. 326
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Абстрактная алгебра
62. • Мэддокс 2008, стр. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Абстрактная алгебра
63. • Олвер 1999, стр. 55–56
    • Абас и Салман 1994, стр. 58–59
    • Häberle 2009, стр. 640
64. Гилберт и Николсон 2004, стр. 4
65. • Каргаполов и Мерзляков 2016, § Определение
    • Кхаттар и Агравал 2023, стр. 4–6
    • Мэддокс 2008, стр. 131–132
    • Pratt 2022, Lead section, § 2. Абстрактная алгебра
    • Нери 2019, стр. 258
66. • Кхаттар и Агравал 2023, стр. 6–7
    • Мэддокс 2008, стр. 131–132
    • Адхикари и Адхикари 2013, с. 72
67. • МакВини 2002, стр. 6
    • Крамер и Пиппих 2017, стр. 49
68. • Тантон 2005, стр. 242
    • Бхаттачарья, Джайн и Нагпол 1994, с. 141
    • Вайсштейн 2003, стр. 1020
69. • Элвис 2006
    • Уилсон 2009, стр. 2
70. • Вайсштейн 2003, стр. 2579
    • Иванова 2016
    • Максвелл 2009, стр. 73–74
    • Пратт 2022, § 2.3 Кольца
71. Смит 2015, стр. 161
72. Вайсштейн 2003, стр. 2579
73. • Вайсштейн 2003, стр. 1047, 2579.
    • Пратт 2022, § 2.4 Поля
74. Вайсштейн 2003, стр. 1047
75. • Ирвинг 2004, стр. 77, 236
    • Вайсштейн 2003, стр. 1047, 2579.
    • Хон 2013, стр. 83–84
76. • Серовайский 2020, § Зал 4Б.5 Ринги
    • Кляйнер 2007, стр. 63
    • Клайн 1990, стр. 1153
77. • Варден, Артин и Нётер, 2003, стр. 110–114, 231, 246.
    • Карпиловский 1989, стр. 45
    • Кляйнер 2007, стр. 63
78. • Ланг 2005, стр. 261–262
    • Кокс 2012, стр. 161–162
79. Купер 2011, стр. 60
80. • Роуэн 2006, стр. 12
    • Пратт 2022, § 3.3 Теорема Биркгофа
    • Гретцер 2008, стр. 34
81. • Пратт 2022, § 3.3 Теорема Биркгофа
    • Роуэн 2006, стр. 12
    • Гауэрс, Барроу-Грин и Лидер 2010, стр. 27–28
    • Адхикари 2016, стр. 5–6
82. • Нери 2019, стр. 278–279
    • Иванова и Смирнов 2012
    • Део 2018, стр. 295
    • Оно 2019, стр. 84
83. • Индуркхья 2013, стр. 217–218
    • Пратт 2022, § 3.3 Теорема Биркгофа
    • Гретцер 2008, стр. 34
84. Индурхья 2013, стр. 217–218.
85. Ефимов 2014
86. • Пратт 2022, § 3. Универсальная алгебра
    • Кон 2012, стр. xiii
87. • Смирнов 2020
    • Гретцер 2008, стр. 7–8
    • Бахтурин 2013, стр. 346
88. • Пратт 2022, § 3.2 Эквациональная логика
    • Мальцев 1973, стр. 210–211
89. • Мальцев 1973, стр. 210–211
    • Кон 2012, стр. 162
    • Розен 2012, стр. 779
    • Хазевинкель 1994, стр. 406
90. Кон 1995, стр. 8
91. Мальцев 1973, стр. 211
92. • Мальцев 1973, стр. 210–211
    • Пратт 2022, § 3. Универсальная алгебра
    • Артамонов 2003, стр. 873
93. • Вайсштейн 2003, стр. 347–348
    • Гауэрс, Барроу-Грин и Лидер 2010, стр. 6, 165
    • Чэн 2023, стр. 102
94. • Гауэрс, Барроу-Грин и Лидер 2010, стр. 6, 165
    • Борсо 1994, стр. 20
    • Лаос 1998, стр. 100
    • Чэн 2023, стр. 128–131
95. • Corry 2024, § Решение проблем в Египте и Вавилоне
    • Брезински, Меран и Редиво-Залья, 2022, с. 34
96. • Тантон 2005, стр. 9
    • Квас 2006, стр. 290
    • Corry 2024, § Решение проблем в Египте и Вавилоне
97. • Тантон 2005, стр. 9
    • Квас 2006, стр. 290
    • Корри 2024, § Пифагорейцы и Евклид
98. • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
    • Сиаларос 2018, стр. 55
    • Корри 2024, § Диофант
99. Бургин 2022, стр. 10
100. Хиггинс 2015, стр. 89
101. • Квас 2006, стр. 290–291
     • Сиаларос 2018, стр. 55
     • Бойер и Мерцбах 2011, стр. 161
     • Дербишир 2006, стр. 31
102. • Бойер и Мерцбах 2011, стр. 161
     • Дербишир 2006, стр. 31
103. • Тантон 2005, стр. 10
     • Квас 2006, стр. 291–293
     • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
104. • Варден 2013, стр. 3, 15–16, 24–25.
     • Дженкинс 2010, стр. 82
     • Пиковер 2009, стр. 90
105. • Тантон 2005, стр. 9–10
     • Корри 2024, § Уравнение в Индии и Китае
106. • Шешадри 2010, стр. 156
     • Эмч, Шридхаран и Шринивас 2005, стр. 20
107. • Сморинский 2007, стр. 137
     • Цвиллингер 2002, стр. 812
108. • Вэрден 2013, стр. 32–35
     • Тантон 2005, стр. 10
     • Квас 2006, стр. 293
109. • Тантон 2005, стр. 10
     • Квас 2006, стр. 293
     • Корри 2024, § Кардано и решение кубических и четвертых уравнений
     • Мияке 2002, стр. 268
110. • Тантон 2005, стр. 10
     • Квас 2006, стр. 291–292, 297–298, 302
     • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
     • Corry 2024, § Виет и формальное уравнение, § Аналитическая геометрия
111. • Хазевинкель 1994, стр. 73
     • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
112. • Корри 2024, § Приложения теории групп
     • Буэно и Френч 2018, стр. 73–75
113. • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
     • Тантон 2005, стр. 10
     • Корри 2024, § Структурная алгебра
     • Хазевинкель 1994, стр. 73–74
114. • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
     • Тантон 2005, стр. 10
     • Corry 2024, § Матрицы, § Кватернионы и векторы
115. • Мерзляков и Ширшов 2020, § Исторический обзор
     • Corry 2024, § Гильберт и Стейниц, § Нётер и Артин
     • Хазевинкель 1994, стр. 73–74
116. • Гретцер 2008, стр. vii
     • Чанг и Кейслер 1990, стр. 603
     • Кнобель 2011, стр. 5
     • Хазевинкель 1994, стр. 74–75
117. • Хазевинкель 1994, стр. 74–75
     • Кляйнер 2007, стр. 100
     • Карлсон 2024, § История топологии
118. • Хазевинкель 1994, стр. 74–75
     • Вайбель 1995, стр. xi, 4
119. • Крёмер 2007, стр. 61
     • Лаос 1998, стр. 100
120. • Хазевинкель 1994, стр. 74–75
     • Пратт 2022, § 6. Свободные алгебры
121. • Хьюстон 2004, стр. 319
     • Нери 2019, стр. xii
     • Lidl & Pilz 1997, стр. vii–viii.
122. • Кляйнер 2007, стр. 100
     • Пратт 2022, § 5. Алгебраизация математики
     • Мэддокс 2008, стр. 130
     • Пратт 2022, § 5. Алгебраизация математики
     • Манкосу 1999, стр. 84–85
123. • Пратт 2022, § 1.4 Декартова геометрия, § 3. Универсальная алгебра
     • Данилов 2006, стр. 174
124. • Пратт 2022, § 5.1 Алгебраическая геометрия
     • Данилов 2006, стр. 172, 174
125. Винс 2007, стр. 133
126. • Пратт 2022, § 5.3 Алгебраическая топология
     • Рабадан и Блумберг 2019, стр. 49–50
     • Накахара 2018, стр. 121
     • Вайсштейн 2003, стр. 52–53
127. • Пратт 2022, § 5.2 Алгебраическая теория чисел
     • Джарвис 2014, стр. 1
     • Витербо и Хонг 2011, стр. 127
128. • Гауэрс, Барроу-Грин и Лидер 2010, стр. 550, 561
     • Годсил 2017, стр. viii
     • Беттен и др. 2013, стр. ix
129. • Килти и МакАллистер 2018, стр. x, 347, 589
     • Брессо 2021, стр. 64
130. • Халмош 1956, стр. 363
     • Burris & Legris 2021, § 1. Введение
131. Андрека, Немети и Сайн, 2001, стр. 133–134.
132. • Андрека, Мадарас и Немети 2020, § Конкретная алгебраическая логика
     • Пратт 2022, § 5.4 Алгебраическая логика
     • Плоткин 2012, стр. 155–156
     • Jansana 2022, Ведущая секция
133. • Андрека, Мадарас и Немети 2020, § Абстрактная алгебраическая логика
     • Джансана 2022, § 4. Алгебры
134. Джойнер 2008, стр. 92
135. • Хьюстон 2004, стр. 319
     • Нери 2019, стр. xii
     • Антон и Роррес 2010, стр. 327
136. • Нери 2019, стр. xii
     • Алескеров, Эрсель и Пионтковский 2011, стр. 1–9.
     • Страффин 1980, стр. 269
     • Menini & Oystaeyen 2017, стр. v
     • Ловетт 2015, стр. ix
     • Lidl & Pilz 1997, стр. vii–viii.
137. • Уилер 2023, стр. 29, 36–37
     • Gallier & Quaintance 2020, стр. 1–2
138. • Климов 2014, стр. ix
     • Бенгтссон и Жичковски, 2017, стр. 313–353.
139. Террас 2019, стр. 63–64, 142.
140. Халл 2021, стр. 180
141. • Lidl & Pilz 1997, стр. 183–184, 239–240.
     • Карстенсен, Файн и Розенбергер 2011, стр. 326–327
142. • Киран 2006, стр. 15
     • Капут 2018, стр. 186
     • Гарделла и ДеЛюсия 2020, стр. 19–22.
143. • Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016, с. xiii
     • Деккер и Долк 2011, стр. 69
144. • Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 г., стр. 2–5.
     • Драйверс, Годдейн и Киндт, 2011 г., стр. 8–10, 16–18.
145. • Киран 2006, стр. 15
     • Капут 2018, стр. 186
     • Гарделла и ДеЛюсия 2020, стр. 19–22.
     • Стар и др. 2015, стр. 16–17
146. • Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 г., стр. 58–59.
     • Дрейверс, Годдейн и Киндт, 2011, с. 13
147. Хаусбергер, Занди и Флейшманн, 2021, стр. 147–148.

Источники

• Абас, Сайед Джан; Салман, Амер Шакер (1994). Симметрии исламских геометрических узоров. World Scientific. ISBN 978-981-4502-21-4. Получено 12 марта 2024 г. .
• Адхикари, Махима Ранджан (2016). Базовая алгебраическая топология и ее приложения. Springer. ISBN 978-81-322-2843-1. Получено 5 августа 2024 г. .
• Адхикари, Махима Ранджан; Адхикари, Авишек (2013). Основная современная алгебра с приложениями. Спрингер. ISBN 978-81-322-1599-8. Получено 5 августа 2024 г. .
• Алескеров, Фуад; Эрсель, Хасан; Пионтковский, Дмитрий (2011). Линейная алгебра для экономистов. Springer. ISBN 978-3-642-20570-5. Получено 11 марта 2024 г. .
• Andréka, H.; Madarász, JX; Németi, I. (2020). "Алгебраическая логика". Encyclopedia of Mathematics . Springer. Архивировано из оригинала 24 января 2024 г. . Получено 23 октября 2023 г. .
• Андрека, Х.; Немети, И.; Сайн, И. (2001). «Алгебраическая логика». Справочник по философской логике . Springer. doi :10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6. Архивировано из оригинала 24 января 2024 г. . Получено 24 января 2024 г. .
• Андрилли, Стивен; Хеккер, Дэвид (2022). Элементарная линейная алгебра. Academic Press. ISBN 978-0-323-98426-3. Получено 18 января 2024 г. .
• Антон, Говард (2013). Элементарная линейная алгебра. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-67730-8. Получено 18 января 2024 г. .
• Антон, Говард; Роррес, Крис (2010). Элементарная линейная алгебра: версия приложений. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.
• Антон, Говард; Роррес, Крис (2013). Элементарная линейная алгебра: версия приложений. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-47422-8. Получено 18 января 2024 г. .
• Аркави, Абрахам; Дрейверс, Пол; Стейси, Кей (2016). Изучение и преподавание алгебры: идеи, идеи и действия. Routledge. ISBN 978-1-134-82077-1. Получено 24 января 2024 г. .
• Артамонов, В.А. (2003). «Квазимногообразия». В Хазевинкеле, М. (ред.). Справочник по алгебре . Эльзевир. ISBN 978-0-08-053297-4. Получено 21 января 2024 г. .
• Атанасиу, Драгу; Микусинский, Петр (2019). Мост к линейной алгебре. Всемирная научная. ISBN 978-981-12-0024-3. Получено 12 марта 2024 г. .
• Бахтурин, Ю. (2013). Основные структуры современной алгебры. Springer. ISBN 978-94-017-0839-5. Получено 30 августа 2024 г. .
• Баранович, ТМ (2023). "Алгебраическая операция". Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 23 августа 2023 г. Получено 11 января 2023 г.
• Баррера-Мора, Фернандо (2023). Линейная алгебра: минимально-полиномиальный подход к теории собственных значений. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-113591-5. Получено 18 января 2024 г. .
• Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: Введение в квантовую запутанность (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4.
• Бенсон, Дональд К. (2003). Более гладкий камешек: математические исследования. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514436-9. Получено 16 января 2024 г. .
• Берггрен, Джон Л. (2015). «Элементарная алгебра». Encyclopaedia Britannica . Архивировано из оригинала 14 января 2024 г. . Получено 14 января 2024 г. .
• Беттен, Антон; Конерт, Аксель; Лауэ, Рейнхард; Вассерманн, Альфред, ред. (2013). Алгебраическая комбинаторика и ее приложения. Спрингер. ISBN 978-3-642-59448-9.
• Бхаттачарья, П. Б.; Джейн, С. К.; Нагпол, С. Р. (1994). Основы абстрактной алгебры. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46629-5.
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре: Основы теории категорий. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44178-0.
• Бурбаки, Н. (1998). Алгебра I: Главы 1-3. Springer. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011). История математики. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3. Получено 27 января 2024 г. .
• Брэкен, Лора Дж.; Миллер, Эдвард С. (2014). Элементарная алгебра . Cengage Learning. ISBN 978-0-618-95134-5.
• Брессо, Дэвид М. (2021). Переупорядоченное исчисление: история больших идей. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-21878-6. Получено 4 сентября 2024 г. .
• Брезински, Клод; Меран, Жерар; Редиво-Залья, Микела (2022). Путешествие по истории числовой линейной алгебры. СИАМ. ISBN 978-1-61197-723-3. Получено 12 августа 2024 г. .
• Брешар, Матей (2014). Введение в некоммутативную алгебру. Springer. ISBN 978-3-319-08693-4. Получено 14 июня 2024 г. .
• Буэно, Отавио; Френч, Стивен (2018). Применение математики: погружение, вывод, интерпретация. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-881504-4. Получено 28 июля 2024 г. .
• Бухштаб, АА; Печаев, ВИ (2020). «Арифметика». Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 4 октября 2009 г. Получено 23 октября 2023 г.
• Бергин, Марк (2022). Трилогия чисел и арифметики - Книга 1: История чисел и арифметики: информационная перспектива. World Scientific. ISBN 978-981-12-3685-3. Получено 13 января 2024 г. .
• Burris, Stanley; Legris, Javier (2021). «Алгебра логической традиции». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет. Архивировано из оригинала 29 января 2024 г. . Получено 22 января 2024 г. .
• Карлсон, Стефан К. (2024). «Топология — Гомологии, Когомологии, Многообразия». Encyclopaedia Britannica . Получено 2 октября 2024 г. .
• Карстенсен, Селин; Файн, Бенджамин; Розенбергер, Герхард (2011). Абстрактная алгебра: приложения к теории Галуа, алгебраической геометрии и криптографии. Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-025008-4.
• Чахал, Дж. С. (2018). Основы линейной алгебры. CRC Press. ISBN 978-0-429-75810-2. Получено 29 августа 2024 г. .
• Чанг, CC; Кейслер, HJ (1990). Теория моделей. Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5. Получено 27 января 2024 г. .
• Ченг, Евгения (2023). Радость абстракции . Cambridge University Press. doi : 10.1017/978110876938. ISBN 978-1-108-47722-2.
• Кон, П. М. (1995). Сквозные поля: теория общих разделительных колец. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43217-7.
• Кон, П. М. (2012). Универсальная алгебра. Springer. ISBN 978-94-009-8399-1. Получено 14 июня 2024 г. .
• Купер, Эллис Д. (2011). Математическая механика: от частицы к мышце. World Scientific. ISBN 978-981-4289-70-2. Получено 20 января 2024 г. .
• Corry, Leo (2024). "Алгебра". Encyclopaedia Britannica . Архивировано из оригинала 19 января 2024 г. . Получено 25 января 2024 г. .
• Кокс, Дэвид А. (2012). Теория Галуа. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-21842-6.
• Крессвелл, Джулия (2010). Оксфордский словарь происхождения слов. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954793-7. Получено 27 января 2024 г. .
• Данилов, VI (2006). "II. Алгебраические многообразия и схемы". Алгебраическая геометрия I: Алгебраические кривые, алгебраические многообразия и схемы . Springer. ISBN 978-3-540-51995-9. Получено 24 января 2024 г. .
• Деккер, Труус; Долк, Мартен (2011). «3. От арифметики к алгебре». В Дрейверс, Пол (ред.). Среднее алгебраическое образование: возвращение к темам и темам и исследование неизведанного . Спрингер. ISBN 978-94-6091-334-1. Получено 24 января 2024 г. .
• Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2018). Универсальная алгебра и приложения в теоретической информатике. CRC Press. ISBN 978-1-4822-8583-3. Получено 30 августа 2024 г. .
• Део, Сатья (2018). Алгебраическая топология: Учебник. Springer. ISBN 978-981-10-8734-9. Получено 5 августа 2024 г. .
• Дербишир, Джон (2006). "2. Отец алгебры". Неизвестная величина: реальная и мнимая история алгебры . National Academies Press. ISBN 978-0-309-09657-7. Получено 27 января 2024 г. .
• Доминич, Шандор (2008). Современная алгебра информационного поиска. Springer. ISBN 978-3-540-77659-8. Получено 20 января 2024 г. .
• Drijvers, Paul; Goddijn, Aad; Kindt, Martin (2011). "1. Алгебраическое образование: изучение тем и направлений". В Drijvers, Paul (ред.). Среднее алгебраическое образование: пересмотр тем и направлений и изучение неизвестного . Springer. ISBN 978-94-6091-334-1. Получено 24 января 2024 г. .
• Ефимов, БА (2014). "Теория множеств". Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 29 ноября 2022 г. Получено 11 января 2023 г.
• Элвес, Ричард (декабрь 2006 г.). "Огромная теорема: классификация конечных простых групп". Plus Magazine . Архивировано из оригинала 2 февраля 2009 г. . Получено 20 декабря 2011 г. .
• Эмч, Джерард Г.; Шридхаран, Р.; Шринивас, М.Д. (2005). Вклад в историю индийской математики. Springer. ISBN 978-93-86279-25-5. Получено 27 января 2024 г. .
• EoM Staff (2017). "Алгебра". Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 29 ноября 2022 г. Получено 11 января 2023 г.
• Фиш, Жорж; Эбютерн, Жерар (2013). Математика для инженеров. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62333-6. Получено 13 января 2024 г. .
• Галлье, Жан Х.; Куантанс, Джоселин (2020). Линейная алгебра и оптимизация с приложениями к машинному обучению - Том II: Основы теории оптимизации с приложениями к машинному обучению. World Scientific. ISBN 978-981-12-1658-9.
• Гандз, Соломон (1926). «Происхождение термина «Алгебра»". Американский математический ежемесячник . 33 (9): 437–440. doi :10.2307/2299605. JSTOR  2299605.
• Гарделла, Фрэнсис; ДеЛюсия, Мария (2020). Алгебра для средних классов. ИАП. ISBN 978-1-64113-847-5. Получено 24 января 2024 г. .
• Геддес, Кит О.; Цапор, Стивен Р.; Лабан, Джордж (2007). Алгоритмы компьютерной алгебры. Springer. ISBN 978-0-585-33247-5.
• Гилберт, Уильям Дж.; Николсон, У. Кит (2004). Современная алгебра с приложениями. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-46989-6. Получено 13 января 2024 г. .
• Годсил, Крис (2017). Алгебраическая комбинаторика. Routledge. ISBN 978-1-351-46750-6.
• Golan, Jonathan S. (1995). "Алгебры над полем". Основы линейной алгебры . Тексты Клувера по математическим наукам. Том 11. Springer. С. 219–227. doi :10.1007/978-94-015-8502-6_18. ISBN 978-94-015-8502-6. Архивировано из оригинала 12 января 2024 г. . Получено 13 января 2024 г. .
• Гудман, AW (2001). Алгебра от А до Я. Том 1. World Scientific. ISBN 978-981-310-266-8. Получено 11 марта 2024 г. .
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ред. (2010). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8.
• Гретцер, Джордж (2008). Универсальная алгебра (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-77487-9. Получено 27 января 2024 г. .
• Grillet, Pierre Antoine (2007). "Универсальная алгебра". Абстрактная алгебра . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 242. Springer. pp. 559–580. doi :10.1007/978-0-387-71568-1_15. ISBN 978-0-387-71568-1. Архивировано из оригинала 12 января 2024 г. . Получено 13 января 2024 г. .
• Häberle, L. (2009). «О классификации молекул и видов колец представления». В Fink, Andreas; Lausen, Berthold; Seidel, Wilfried; Ultsch, Alfred (ред.). Достижения в области анализа данных, обработки данных и бизнес-аналитики . Springer. ISBN 978-3-642-01044-6. Получено 12 марта 2024 г. .
• Халмош, Пол Р. (1956). «Основные понятия алгебраической логики». The American Mathematical Monthly . 63 (6): 363–387. doi :10.2307/2309396. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309396.
• Харрисон, Майкл; Уолдрон, Патрик (2011). Математика для экономики и финансов. Routledge. ISBN 978-1-136-81921-6. Получено 18 января 2024 г. .
• Хаусбергер, Томас (2020). «Преподавание и изучение абстрактной алгебры». В Лерман, Стивен (ред.). Энциклопедия математического образования (2-е изд.). Springer. ISBN 9783030157883.
• Хаусбергер, Томас; Занди, Мишель; Флейшманн, Яэль (2021). «Абстрактная и линейная алгебра». В Дюран-Герье, Вивиан; Хохмут, Рейнхард; Нарди, Елена; Винслёв, Карл (ред.). Исследования и разработки в области университетского математического образования: обзор, подготовленный Международной сетью дидактических исследований в области университетской математики . Routledge. ISBN 978-1-000-36924-3.
• Хазевинкель, Мишель (1994). Энциклопедия математики (набор). Спрингер. ISBN 978-1-55608-010-4. Получено 27 января 2024 г. .
• HC Staff (2022). "Арифметика". American Heritage Dictionary . HarperCollins. Архивировано из оригинала 8 ноября 2023 г. Получено 19 октября 2023 г.
• Хиггинс, Питер М. (2015). Алгебра: Очень краткое введение. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-104746-6. Получено 27 января 2024 г. .
• Хайэм, Николас Дж. (2019). Справочник по написанию математических наук (3-е изд.). SIAM. ISBN 978-1-61197-610-6. Получено 17 марта 2024 г. .
• Hoad, TF (1993). Краткий Оксфордский словарь английской этимологии . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-283098-2.
• Hohn, Franz E. (2013). Элементарная матричная алгебра. Dover Publications. ISBN 978-0-486-14372-9.
• Хьюстон, Стивен Д. (2004). Первое письмо: изобретение сценария как история и процесс. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83861-0.
• Халл, Томас С. (2021). Оригамитрия: математические методы складывания бумаги. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47872-4. Получено 7 августа 2024 г. .
• Игараси, Ёсихидэ; Альтман, Том; Фунада, Марико; Камияма, Барбара (2014). Вычисления: историческая и техническая перспектива. CRC Press. ISBN 978-1-4822-2741-3. Получено 29 января 2024 г. .
• Индуркхья, Бипин (2013). "6.5 Алгебры и структуры". Метафора и познание: Интеракционистский подход . Springer. ISBN 978-94-017-2252-0. Получено 21 января 2024 г. .
• Ирвинг, Рональд С. (2004). Целые числа, многочлены и кольца: курс алгебры. Springer. ISBN 978-0-387-40397-7. Получено 20 января 2024 г. .
• Иванова, О.А. (2016). «Кольцо». Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 1 января 2023 г. Получено 11 января 2023 г.
• Иванова, ОА; Смирнов, ДМ (2012). «Изоморфизм». Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 6 августа 2024 г. Получено 11 марта 2024 г.
• Джансана, Рамон (2022). «Алгебраическая пропозициональная логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет. Архивировано из оригинала 20 декабря 2016 г. Получено 22 января 2024 г.
• Джарвис, Фрейзер (2014). Алгебраическая теория чисел. Springer. ISBN 978-3-319-07545-7. Получено 24 января 2024 г. .
• Дженкинс, Эверетт (2010). Мусульманская диаспора (том 1, 570-1500): всеобъемлющая хронология распространения ислама в Азии, Африке, Европе и Америке. Макфарланд. ISBN 978-0-7864-4713-8. Получено 28 января 2024 г. .
• Джойнер, Дэвид (2008). Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е изд.). Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-9012-3.
• Капут, Джеймс Дж. (2018). «Связывание представлений в системах символов алгебры». В Вагнер, Сигрид; Киран, Кэролин (ред.). Исследовательские вопросы в изучении и преподавании алгебры: исследовательская программа для математического образования, том 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43414-4. Получено 8 августа 2024 г. .
• Каргаполов, МИ; Мерзляков, Ю. И. (2016). "Группа". Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 5 декабря 2022 г. Получено 11 января 2023 г.
• Карпиловский, Г. (1989). Темы теории поля. Elsevier. ISBN 978-0-08-087266-7.
• Кауфманн, Джером Э.; Швиттерс, Карен Л. (2011). Элементарная алгебра . Cengage Обучение. ISBN 978-1-4390-4917-4.
• Кхаттар, Динеш; Агравал, Неха (2023). Теория групп. Springer and Ane Books Pvt. Ltd. ISBN 978-3-031-21307-6. Получено 20 января 2024 г. .
• Киран, Кэролин (2006). «Исследования по изучению и преподаванию алгебры». В Гутьеррес, Анхель; Боэро, Паоло (ред.). Справочник по исследованиям психологии математического образования: прошлое, настоящее и будущее . Sense Publishers. ISBN 978-90-77874-19-6. Получено 8 августа 2024 г. .
• Килти, Джоэл; МакАллистер, Алекс (2018). Математическое моделирование и прикладное исчисление. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255813-8. Получено 24 января 2024 г. .
• Кляйнер, Израиль (2007). История абстрактной алгебры. Springer. ISBN 978-0-8176-4685-1.
• Климов, ДМ (2014). Теоретико-групповые методы в механике и прикладной математике. CRC Press. ISBN 978-1-4822-6522-4.
• Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древних времен до наших дней: Том 3. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506137-6.
• Кнобель, Артур (2011). Пучки алгебр над булевыми пространствами. Springer. ISBN 978-0-8176-4218-1. Получено 27 января 2024 г. .
• Крамер, Юрг; Пиппич, Анна-Мария фон (2017). От натуральных чисел к кватернионам. Спрингер. ISBN 978-3-319-69429-0. Получено 20 января 2024 г. .
• Кремер, Ральф (2007). Инструмент и объект: история и философия теории категорий. Springer. ISBN 978-3-7643-7524-9.
• Квас, Л. (2006). «История алгебры и развитие формы ее языка». Philosophia Mathematica . 14 (3): 287–317. doi : 10.1093/philmat/nkj017 . ISSN  1744-6406.
• Lal, Ramji (2017). Алгебра 2: Линейная алгебра, теория Галуа, теория представлений, расширения групп и множитель Шура. Springer. ISBN 978-981-10-4256-0.
• Lamagna, Edmund A. (2019). Компьютерная алгебра: концепции и методы. CRC Press. ISBN 978-1-351-60583-0. Получено 16 января 2024 г. .
• Ланг, Серж (2005). Алгебра. Спрингер. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Лаос, Николас К. (1998). Темы математического анализа и дифференциальной геометрии. World Scientific. ISBN 978-981-02-3180-4.
• Библиотека Конгресса. Классификация Библиотеки Конгресса: Класс Q — Наука (PDF) . Библиотека Конгресса. Архивировано (PDF) из оригинала 5 апреля 2024 г. . Получено 17 марта 2024 г. .
• Лидл, Рудольф; Пильц, Гюнтер (1997). Прикладная абстрактная алгебра. Спрингер. ISBN 978-0-387-98290-8.
• Ловетт, Стивен (2015). Абстрактная алгебра: структуры и приложения. CRC Press. ISBN 978-1-4822-4891-3. Получено 27 июля 2024 г. .
• Лукас, Андре (2022). Оксфордская линейная алгебра для ученых. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-258347-5.
• Maddocks, JR (2008). "Алгебра". В Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (ред.). The Gale Encyclopedia of Science (4-е изд.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2. Архивировано из оригинала 12 января 2024 г. . Получено 13 января 2024 г. .
• Маевский, Мирослав (2004). MuPAD Pro Computing Essentials (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-21943-9.
• Мальцев, А.И. (1973). «Квазимногообразия». Алгебраические системы . Springer. С. 210–266. doi :10.1007/978-3-642-65374-2_5. ISBN 978-3-642-65374-2. Архивировано из оригинала 18 июня 2018 г. . Получено 21 января 2024 г. .
• Манкосу, Паоло (1999). Философия математики и математическая практика в семнадцатом веке. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513244-1. Получено 24 января 2024 г. .
• Маркушевич, А.И. (2015). «Многочлен». Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 6 августа 2024 г. Получено 11 января 2023 г.
• Максвелл, Э. А. (2009). Алгебраическая структура и матрицы, книга 2. Syracuse University Press. ISBN 978-0-521-10905-5. Получено 20 января 2024 г. .
• Маккиг, Чарльз П. (1986). Элементарная алгебра. Academic Press. ISBN 978-1-4832-6384-7.
• Маккиг, Чарльз П. (2014). Промежуточная алгебра: учебник/рабочая тетрадь. Academic Press. ISBN 978-1-4832-1417-7. Получено 16 января 2024 г. .
• МакВини, Р. (2002). Симметрия: Введение в теорию групп и ее приложения. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-42182-7. Получено 20 января 2024 г. .
• Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Абстрактная алгебра: всестороннее лечение. CRC Press . ISBN 978-1-4822-5817-2. Получено 27 января 2024 г. .
• Мерзляков, Ю. И.; Ширшов, А. И. (2020). "Алгебра(2)". Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 7 апреля 2023 г. . Получено 11 января 2023 г. .
• Мирахор, Аббас; Кричене, Нуреддин (2014). Вводная математика и статистика для исламских финансов. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-77972-9. Получено 7 августа 2024 г. .
• Мишра, Санджай (2016). Основы математики: Алгебра . Pearson India. ISBN 978-93-325-5891-5.
• Мияке, Кацуя (2002). «Некоторые аспекты взаимодействия между алгебраической теорией чисел и аналитической теорией чисел». В Канемицу, Шигеру; Цзя, Чаохуа (ред.). Методы теории чисел: будущие тенденции . Springer. ISBN 978-1-4419-5239-4. Получено 7 августа 2024 г. .
• Мортенсен, CE (2013). Непоследовательная математика. Springer. ISBN 978-94-015-8453-1. Получено 18 января 2024 г. .
• Murthy, Swamy и (2012). Алгебра: абстрактная и современная. Pearson Education India. ISBN 978-93-325-0993-1. Получено 5 августа 2024 г. .
• Массер, Гэри Л.; Петерсон, Блейк Э.; Бергер, Уильям Ф. (2013). Математика для учителей начальной школы: современный подход. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6. Получено 11 марта 2024 г. .
• MW Staff (2023). «Определение арифметики». Merriam-Webster . Архивировано из оригинала 14 ноября 2023 г. Получено 19 октября 2023 г.
• Накахара, Микио (2018). Геометрия, топология и физика. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-4200-5694-5. Получено 24 января 2024 г. .
• Нери, Ферранте (2019). Линейная алгебра для вычислительных наук и техники. Springer. ISBN 978-3-030-21321-3. Получено 24 января 2024 г. .
• Николсон, В. Кит (2012). Введение в абстрактную алгебру. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-13535-8. Получено 30 августа 2024 г. .
• Оукс, Джеффри А.; Альхатиб, Хайтам М. (2007). «Упрощение уравнений в арабской алгебре». Historia Mathematica . 34 (1): 45–61. doi :10.1016/j.hm.2006.02.006.
• Olver, Peter J. (1999). Классическая инвариантная теория. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55821-1. Получено 12 марта 2024 г. .
• Оно, Хироакира (2019). Теория доказательств и алгебра в логике. Springer. ISBN 978-981-13-7997-0.
• Сотрудники OUP. "Алгебра". Лексика . Oxford University Press . Архивировано из оригинала 20 ноября 2013 г.
• Овчинников, Сергей (2015). Системы чисел. Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-2018-5. Получено 20 января 2024 г. .
• Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in History of Mathematics. Sterling Publishing Company, Inc. ISBN 978-1-4027-5796-9. Получено 28 января 2024 г. .
• Плоткин, Б. (2012). Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. Springer. ISBN 978-94-011-0820-1. Получено 24 января 2024 г. .
• Pratt, Vaughan (2022). «Алгебра». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет. Архивировано из оригинала 29 января 2024 г. . Получено 11 января 2024 г. .
• Рабадан, Рауль; Блумберг, Эндрю Дж. (2019). Топологический анализ данных для геномики и эволюции: топология в биологии. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15954-9. Получено 24 января 2024 г. .
• Рикардо, Генри (2009). Современное введение в линейную алгебру. CRC Press. ISBN 978-1-4398-9461-3. Получено 29 августа 2024 г. .
• Роде, Ульрих Л.; Джейн, Г. К.; Поддар, Аджай К.; Гош, А. К. (2012). Введение в дифференциальное исчисление: систематические исследования с инженерными приложениями для начинающих. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-13014-8. Получено 16 января 2024 г. .
• Романовски, Перри (2008). «Арифметика». В Лернер, Бренда Уилмот; Лернер, К. Ли (ред.). Энциклопедия науки Гейла (4-е изд.). Томпсон Гейл. ISBN 978-1-4144-2877-2. Архивировано из оригинала 1 ноября 2023 г. . Получено 13 января 2024 г. .
• Розен, Кеннет (2012). Дискретная математика и ее приложения Глобальное издание 7e. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-715151-5.
• Роуэн, Луис Халле (2006). Graduate Algebra: Commutative View: Commutative View. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0570-1. Получено 14 июня 2024 г. .
• Сахай, Вивек; Бист, Викас (2002). Линейная алгебра. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-2426-0.
• Saikia, Promode Kumar (2008). Линейная алгебра. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-4276-1. Получено 5 августа 2024 г. .
• Серовайский, Саймон (2020). Архитектура математики. CRC Press. ISBN 978-0-429-89353-7.
• Seshadri, CS (2010). Исследования по истории индийской математики. Springer. ISBN 978-93-86279-49-1. Получено 27 января 2024 г. .
• Сиаларос, Михалис (2018). Революции и непрерывность в греческой математике. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-056527-0. Получено 27 января 2024 г. .
• Смирнов, ДМ (2020). «Универсальная алгебра». Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 1 марта 2024 г. Получено 30 августа 2024 г.
• Смит, Джонатан Д. Х. (2015). Введение в абстрактную алгебру. CRC Press. ISBN 978-1-4987-3162-1. Получено 14 июня 2024 г. .
• Сморински, Крейг (2007). История математики: Дополнение. Springer. ISBN 978-0-387-75481-9. Получено 27 января 2024 г. .
• Снейд, Джеймс; Фьюстер, Рэйчел М.; Макгилливрей, Дункан (2022). Математика и статистика для науки. Springer. ISBN 978-3-031-05318-4.
• Соболев, СК (2015). «Константа». Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 24 января 2024 г. Получено 23 октября 2023 г.
• Соломон, Брюс (2014). Линейная алгебра, геометрия и преобразования. CRC Press. ISBN 978-1-4822-9930-4. Получено 29 августа 2024 г. .
• Сорелл, Том (2000). Декарт: Очень краткое введение. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4. Получено 11 марта 2024 г. .
• Стар, Джон Р.; Фёген, Энн; Ларсон, Мэтью Р.; МакКаллум, Уильям Г.; Порат, Джейн; Збиек, Роуз Мэри (2015). Стратегии обучения для улучшения знаний по алгебре у учащихся средних и старших классов . Министерство образования США / Институт педагогических наук. OCLC  5867417164.
• Страффин, Филип Д. (1980). «Линейная алгебра в географии: собственные векторы сетей». Mathematics Magazine . 53 (5): 269–276. doi :10.2307/2689388. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689388.
• Салливан, Майкл (2010). Конечная математика: прикладной подход. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-87639-8. Получено 18 января 2024 г. .
• Tan, Kiat Shi; Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2012). SymbolicC++: Введение в компьютерную алгебру с использованием объектно-ориентированного программирования: Введение в компьютерную алгебру с использованием объектно-ориентированного программирования. Springer. ISBN 978-1-4471-0405-6. Получено 16 января 2024 г. .
• Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Факты в архиве. ISBN 978-0-8160-5124-3.
• Террас, Одри (2019). Абстрактная алгебра с приложениями . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-16407-9.
• Цокос, Крис П.; Вутен, Ребекка Д. (2015). Радость конечной математики: язык и искусство математики. Academic Press. ISBN 978-0-12-802985-5.
• Валенца, Роберт Дж. (2012). Линейная алгебра: введение в абстрактную математику. Springer. ISBN 978-1-4612-0901-0. Получено 29 августа 2024 г. .
• Винс, Джон (2007). Векторный анализ для компьютерной графики. Springer. ISBN 978-1-84628-803-6. Получено 5 августа 2024 г. .
• Витербо, Эмануэле; Хонг, Йи (2011). "3.4 Алгебраическая теория чисел". В Hlawatsch, Franz; Matz, Gerald (ред.). Беспроводная связь по быстро меняющимся во времени каналам . Academic Press. ISBN 978-0-08-092272-0. Получено 24 января 2024 г. .
• Войцеховский, МИ (2011). "Линейное уравнение". Энциклопедия математики . Springer. Архивировано из оригинала 23 ноября 2023 г. Получено 10 января 2024 г.
• Waerden, Bartel L. van der (2013). История алгебры: от аль-Хорезми до Эмми Нётер. Springer. ISBN 978-3-642-51599-6. Получено 27 января 2024 г. .
• Варден, Бартель Л. ван дер; Артин, Эмиль; Нётер, Эмми (2003). Алгебра . Том. 1. Спрингер. ISBN 0-387-40624-7.
• Вагнер, Сигрид; Киран, Кэролин (2018). Исследовательские вопросы в изучении и преподавании алгебры: исследовательская программа для математического образования. Том 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43421-2. Получено 13 января 2024 г. .
• Вальц, Гвидо (2016). "Алгебра". Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif [ Математическая энциклопедия: Том 1: от A до Eif ] (на немецком языке). Спрингер. ISBN 978-3-662-53498-4. Архивировано из оригинала 12 января 2024 г. . Получено 13 января 2024 г. .
• Вайбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64307-8.
• Weisstein, Eric W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (2-е изд.). Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-347-0.
• Уилер, Джеффри Пол (2023). Введение в оптимизацию с приложениями в машинном обучении и аналитике данных. CRC Press. ISBN 978-1-003-80359-1.
• Уайтлоу, TA (1995). Введение в абстрактную алгебру, третье издание. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0147-9.
• Уильямс, Г. Арнелл (2022). Прекрасная алгебра: ода наименее любимому предмету математики. Базовые книги. ISBN 978-1-5416-0070-6. Получено 11 марта 2024 г. .
• Wilson, Robert A. (2009). Конечные простые группы . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 251. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. Збл  1203.20012.
• Янг, Синтия И. (2010). Precalculus. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-75684-2. Получено 16 января 2024 г. .
• Янг, Синтия Y. (2023). Precalculus. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-86940-5. Получено 18 января 2024 г. .
• zbMATH Open (2024). "Классификация". zbMATH Open . Математические обзоры и zbMATH Open. Архивировано из оригинала 19 июля 2020 г. Получено 17 марта 2024 г.
• Цвиллингер, Дэниел (2002). Стандартные математические таблицы и формулы CRC. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3534-6. Получено 27 января 2024 г. .

Внешние ссылки