Группа диэдра

Группа симметрий правильного многоугольника

Группа симметрии снежинки — D6 _, двугранная симметрия, такая же, как у правильного шестиугольника .

В математике группа диэдра — это группа симметрий правильного многоугольника , [ 1 ^{] [2]} , которая включает вращения и отражения . Группы диэдра являются одними из простейших примеров конечных групп и играют важную роль в теории групп , геометрии и химии .

Обозначения группы диэдра различаются в геометрии и абстрактной алгебре . В геометрии D _n или Dih n относятся к симметрии n -угольника , группы _{порядка} 2 n . В абстрактной алгебре D 2 _{n относится} к той же группе диэдра. ^[3] В этой статье используется геометрическое соглашение D _n .

Определение

Элементы

Шесть осей отражения правильного шестиугольника

Правильный многоугольник со сторонами имеет разные симметрии: симметрию вращения и симметрию отражения . Обычно берем здесь. Соответствующие вращения и отражения составляют группу диэдра . Если нечетно, каждая ось симметрии соединяет середину одной стороны с противоположной вершиной. Если четно, существуют оси симметрии, соединяющие середины противоположных сторон, и оси симметрии, соединяющие противоположные вершины. В любом случае существуют оси симметрии и элементы группы симметрии. ^[4] Отражение от одной оси симметрии с последующим отражением от другой оси симметрии приводит к вращению на угол, вдвое превышающий угол между осями. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

На следующем рисунке показано влияние шестнадцати элементов на знак остановки : ${\displaystyle \mathrm {D} _{8}}$

Первая строка показывает эффект восьми вращений, а вторая строка показывает эффект восьми отражений, в каждом случае воздействующих на знак остановки с ориентацией, как показано вверху слева.

Структура группы

Как и любой геометрический объект, композиция двух симметрий правильного многоугольника снова является симметрией этого объекта. Композиция симметрий для создания другой в виде бинарной операции придает симметриям многоугольника алгебраическую структуру конечной группы . ^[6]

Линии отражения, отмеченные S ₀ , S ₁ и S ₂ , остаются фиксированными в пространстве (на странице) и сами не перемещаются, когда на треугольнике выполняется операция симметрии (вращение или отражение) (это важно при выполнении композиции симметрий). ).

Композиция этих двух отражений представляет собой вращение.

Следующая таблица Кэли показывает эффект композиции в группе D 3 (симметрии равностороннего треугольника ). r ₀ обозначает единицу; r ₁ и r ₂ обозначают поворот против часовой стрелки на 120° и 240° соответственно, а s ₀ , s ₁ и s ₂ обозначают отражения от трех линий, показанных на соседнем рисунке.

Например, s ₂ s ₁ = r ₁ , потому что отражение s ₁ , за которым следует отражение s ₂ , приводит к повороту на 120°. Порядок элементов, обозначающих композицию, — справа налево, что отражает соглашение о том, что элемент действует на выражение справа от него. Операция композиции не является коммутативной . ^[6]

В общем, группа D _n имеет элементы r ₀ , ..., r _{n −1} и s ₀ , ..., s _{n −1} , состав которых определяется следующими формулами:

${\displaystyle \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.}$

Во всех случаях сложение и вычитание индексов должно выполняться с использованием модульной арифметики с модулем n .

Матричное представление

Симметрии этого пятиугольника представляют собой линейные преобразования плоскости как векторного пространства.

Если центрировать правильный многоугольник в начале координат, то элементы группы диэдра действуют как линейные преобразования плоскости . Это позволяет нам представлять элементы D _n в виде матриц , где композиция представляет собой умножение матриц . Это пример (2-мерного) представления группы .

Например, элементы группы D 4 можно представить следующими восемью матрицами:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}$

В общем случае матрицы для элементов D _n имеют следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

r _k — матрица вращения , выражающая вращение против часовой стрелки на угол 2 πk / n . s _k — отражение через линию, составляющую угол πk / n с осью x .

Другие определения

D _n также можно определить как группу с представлением

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs^{-1}=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=(sr)^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}}$

Используя соотношение , получаем соотношение . Отсюда следует, что порождается и . Эта замена также показывает, что имеет представление ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle r=s\cdot sr}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t:=sr}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left\langle s,t\mid s^{2}=1,t^{2}=1,(st)^{n}=1\right\rangle .}$

В частности, D _n принадлежит классу групп Кокстера .

Малые двугранные группы

Примеры подгрупп гексагональной диэдральной симметрии

D1 изоморфна Z2 , _{циклической} группе порядка 2 . _{_}

D ₂ изоморфна K 4 _, четырехгруппе Клейна . _

D ₁ и D ₂ являются исключительными в том смысле, что:

• D ₁ и D ₂ — единственные абелевы группы диэдра. В противном случае D _n неабелева.
• D _n — подгруппа симметрической группы S _n для n ≥ 3 . Поскольку 2 n > n ! для n = 1 или n = 2 для этих значений D _n слишком велика, чтобы быть подгруппой.
• Внутренняя группа автоморфизмов D ₂ тривиальна, тогда как для других четных значений n это D _n / Z ₂ .

Графы циклов групп диэдра состоят из n -элементного цикла и n 2-элементных циклов. Темная вершина на диаграммах циклов ниже различных групп диэдра представляет собой единичный элемент, а остальные вершины являются другими элементами группы. Цикл состоит из последовательных степеней любого из элементов, связанных с единичным элементом .

Группа диэдра как группа симметрии в 2D и группа вращения в 3D.

Примером абстрактной группы D _n и распространенным способом ее визуализации является группа изометрий евклидовой плоскости , которые сохраняют начало координат. Эти группы образуют одну из двух серий дискретных точечных групп в двух измерениях . D _n состоит из n поворотов вокруг начала координат на угол , кратный 360°/ n , и отражений от n линий, проходящих через начало координат, образующих друг с другом углы, кратные 180°/ n . Это группа симметрии правильного многоугольника с n сторонами (для n ≥ 3 ; это распространяется на случаи n = 1 и n = 2 , когда у нас есть плоскость с точкой, смещенной соответственно от «центра» «1- угольник» и «2-угольник» или отрезок линии).

D _n порождается вращением r порядка n и отражением s порядка 2 такими , что

${\displaystyle \mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,}$

В геометрическом плане: в зеркале вращение выглядит как обратное вращение.

В терминах комплексных чисел : умножение на и комплексное сопряжение . ${\displaystyle e^{2\pi i \over n}}$

В матричной форме, задав

${\displaystyle \mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

и определив и для , мы можем записать правила произведения для D _n как ${\displaystyle \mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}}$ ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}}$

(Сравните вращение и отражение координат .)

Группа диэдра D ₂ создается поворотом r на 180 градусов и отражением s поперек оси x . Тогда элементы D ₂ могут быть представлены как {e, r, s, rs}, где e — тождественное или нулевое преобразование, а rs — отражение по оси y .

Четыре элемента D ₂ (ось X здесь вертикальна)

D ₂ изоморфна четырехгруппе Клейна . _

При n > 2 операции вращения и отражения, вообще говоря, не коммутируют и D _n не абелева ; например, в D 4 поворот на 90 градусов, за которым следует отражение, дает результат, отличный от отражения, за которым следует поворот на 90 градусов.

D ₄ неабелева (ось X здесь вертикальна).

Таким образом, помимо очевидного применения к проблемам симметрии на плоскости, эти группы относятся к числу простейших примеров неабелевых групп и как таковые часто возникают в качестве простых контрпримеров к теоремам, ограничивающимся абелевыми группами.

2 n элемента D n можно записать как e , r , r ² , ... , r ^{n −1} , s , _rs , r ² s , ... , r ^{n −1} s . Первые n перечисленных элементов — это вращения, а остальные n элементов — отражения оси (все из которых имеют порядок 2). Продукт двух вращений или двух отражений — это вращение; продукт вращения и отражения является отражением.

До сих пор мы считали D _n подгруппой O (2) , т.е. группой вращений (около начала координат) и отражений (поперек осей, проходящих через начало координат) плоскости. Однако обозначение D _n также используется для подгруппы SO (3) , которая также относится к типу абстрактной группы D _n : собственная группа симметрии правильного многоугольника, встроенного в трехмерное пространство (если n ≥ 3). Такую фигуру можно рассматривать как вырожденное правильное тело, грань которого учтена дважды. Поэтому его еще называют диэдром (греч.: твердое тело с двумя гранями), что объясняет название группы диэдра (по аналогии с тетраэдрической , октаэдрической и икосаэдрической группой , относящейся к собственным группам симметрии правильного тетраэдра , октаэдра и икосаэдра соответственно ). ).

Примеры двумерной двугранной симметрии

• 
  Симметрия 2D D ₁₆ — Императорская печать Японии, изображающая восьмилепестковую хризантему с шестнадцатью лепестками .
• 
  Симметрия 2D D ₆ – Красная Звезда Давида
• 
  2D симметрия D ₁₂ — Морской Джек Китайской Республики (Белое Солнце)
• 
  Симметрия 2D D ₂₄ — Ашока Чакра , изображенная на Национальном флаге Республики Индия .

Характеристики

Свойства групп диэдра D _n с n ≥ 3 зависят от того, четно или нечетно n . Например, центр D _n состоит только из единицы, если n нечетно, но если n четно, центр имеет два элемента, а именно единицу и элемент r ⁿ / ² (при этом D _n является подгруппой O(2 ), это инверсия ; поскольку это скалярное умножение на −1, то ясно, что оно коммутирует с любым линейным преобразованием).

В случае 2D-изометрий это соответствует добавлению инверсии, дающей повороты и зеркала между существующими.

Для n, дважды нечетного числа, абстрактная группа D _n изоморфна прямому произведению D n _{/ 2} и Z ₂ . Обычно, если _m делит n , то Dn имеет n / m подгрупп типа Dm и одну _{подгруппу m} . Следовательно , общее количество подгрупп D _n ( n  ≥ 1) равно d ( n ) + σ( n ), где d ( n ) — количество положительных делителей n , а σ ( n ) — сумма положительных делителей  n . См. список малых групп для случаев  n  ≤ 8. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Группа диэдра порядка 8 (D ₄ ) — наименьший пример группы, не являющейся Т-группой . Любая из ее двух четырехгрупповых подгрупп Клейна (нормальных в D ₄ ) имеет в качестве нормальной подгруппы подгруппы порядка 2, порожденные отражением (флипом) в D ₄ , но эти подгруппы не являются нормальными в D ₄ .

Классы сопряженности отражений

Все отражения сопряжены друг с другом, если n нечетно, но делятся на два класса сопряженности, если n четно. Если мы подумаем об изометриях правильного n -угольника: при нечетном n существуют повороты в группе между каждой парой зеркал, а при четном n этими поворотами из одного можно добраться только до половины зеркал. Геометрически в нечетном многоугольнике каждая ось симметрии проходит через вершину и сторону, а в четном многоугольнике имеется два набора осей, каждый из которых соответствует классу сопряженности: те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две стороны. .

Алгебраически это является примером сопряженной теоремы Силова (для нечетного n ): для нечетного n каждое отражение вместе с единицей образует подгруппу порядка 2, которая является силовской 2-подгруппой ( 2 = 2 ¹ — это максимальная степень 2, делящая 2 n = 2[2 k + 1] ), в то время как для четного n эти подгруппы порядка 2 не являются силовскими подгруппами, поскольку 4 (высшая степень 2) делит порядок группы.

Вместо этого для четного n существует внешний автоморфизм , меняющий местами два типа отражений (собственно, класс внешних автоморфизмов, все из которых сопряжены внутренним автоморфизмом).

Группа автоморфизмов

Группа автоморфизмов D n _{изоморфна} голоморфу / n , т . е. Hol( / n ) = { ax + b | ( a , n ) = 1} и имеет порядок nφ ( n ), где φ — функция тотента Эйлера , число k в 1, ..., n − 1 взаимно простое с n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Его можно понять с точки зрения генераторов отражения и элементарного вращения (вращение на k (2 π / n ), для k взаимно простого с n ); какие автоморфизмы являются внутренними и внешними, зависит от четности n .

• При n нечетном группа диэдра бесцентрна, поэтому любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм; для четного n поворот на 180° (отражение от начала координат) является нетривиальным элементом центра.
• Таким образом, для нечетного n внутренняя группа автоморфизмов имеет порядок 2 n , а для четного n (кроме n = 2 ) внутренняя группа автоморфизмов имеет порядок n .
• При n нечетном все отражения сопряжены; для четного n они делятся на два класса (через две вершины и через две грани), связанные внешним автоморфизмом, который можно представить вращением на π / n (половина минимального вращения).
• Ротации — это нормальная подгруппа; сопряжение отражением меняет знак (направление) вращения, но в остальном оставляет их неизменными. Таким образом, автоморфизмы, которые умножают углы на k (взаимно простые с n ), являются внешними, если только k = ±1 .

Примеры групп автоморфизмов

D9 имеет 18 внутренних автоморфизмов _. В качестве группы 2D-изометрии D ₉ группа имеет зеркала с интервалом 20°. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают поворот зеркал на угол, кратный 20°, и отражения. Как группа изометрий, все это автоморфизмы. В качестве абстрактной группы помимо них имеется 36 внешних автоморфизмов ; например, умножив углы поворота на 2.

D ₁₀ имеет 10 внутренних автоморфизмов. _{В качестве группы D 10} двумерной изометрии группа имеет зеркала с интервалом 18°. 10 внутренних автоморфизмов обеспечивают поворот зеркал на угол, кратный 36°, и отражения. В качестве группы изометрий имеется еще 10 автоморфизмов; они сопряжены изометриями вне группы, поворачивая зеркала на 18° относительно внутренних автоморфизмов. В качестве абстрактной группы помимо этих 10 внутренних и 10 внешних автоморфизмов существуют еще 20 внешних автоморфизмов; например, умножив обороты на 3.

Сравните значения 6 и 4 для функции Эйлера , мультипликативной группы целых чисел по модулю n для n = 9 и 10 соответственно. Это утраивает и удваивает количество автоморфизмов по сравнению с двумя автоморфизмами как изометриями (с сохранением порядка вращений или изменением порядка).

Единственными значениями n , для которых φ ( n ) = 2, являются 3, 4 и 6, и, следовательно, существует только три группы диэдра, которые изоморфны своим собственным группам автоморфизмов, а именно D ₃ (порядок 6), D ₄ ( порядок 8) и D ₆ (порядок 12). ^{[7] [8] [9]}

Группа внутренних автоморфизмов

Группа внутренних автоморфизмов Dn изоморфна: _[ ^10]

• D _n, если n нечетно;
• D _n /Z _2, если n четное (для n = 2 , D ₂ / Z ₂ = 1 ).

Обобщения

Есть несколько важных обобщений групп диэдра:

• Бесконечная группа диэдра — это бесконечная группа с алгебраической структурой, аналогичной конечным группам диэдра. Его можно рассматривать как группу симметрий целых чисел .
• Ортогональная группа O(2), т. е. группа симметрии окружности , также обладает свойствами, подобными группам диэдра.
• Семейство обобщенных групп диэдра включает в себя оба приведенных выше примера, а также многие другие группы.
• Квазидиэдральные группы представляют собой семейство конечных групп со свойствами, подобными группам диэдра.

Смотрите также

• Координатные вращения и отражения
• Индекс цикла группы диэдра
• Дициклическая группа
• Группа диэдра 6-го порядка
• Группа диэдра 8-го порядка
• Группы диэдральной симметрии в 3D
• Диэдральная симметрия в трех измерениях

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Двугранная группа». Математический мир .
2. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
3. «Группы диэдра: обозначения». Проект математических изображений . Архивировано из оригинала 20 марта 2016 г. Проверено 11 июня 2016 г.
4. Кэмерон, Питер Джефсон (1998), Введение в алгебру, Oxford University Press, стр. 95, ISBN 9780198501954
5. Тот, Габор (2006), Проблески алгебры и геометрии, Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, стр. 98, ISBN 9780387224558
6. Ловетт, Стивен (2015), Абстрактная алгебра: структуры и приложения, CRC Press, стр. 71, ISBN 9781482248913
7. Хамфрис, Джон Ф. (1996). Курс теории групп. Издательство Оксфордского университета. п. 195. ИСБН 9780198534594.
8. Педерсен, Джон. «Группы малого заказа». Кафедра математики Университета Южной Флориды.
9. Соммер-Симпсон, Яша (2 ноября 2013 г.). «Группы автоморфизмов полупрямых произведений циклических групп» (PDF) . п. 13. Архивировано (PDF) из оригинала 6 августа 2016 г. Следствие 7.3. Aut(D _n ) = D _n тогда и только тогда, когда φ ( n ) = 2
10. Миллер, Джорджия (сентябрь 1942 г.). «Автоморфизмы групп диэдра». Proc Natl Acad Sci США . 28 (9): 368–71. Бибкод : 1942ПНАС...28..368М. дои : 10.1073/pnas.28.9.368 . ПМЦ 1078492 . ПМИД  16588559. 

Внешние ссылки

• Группа диэдра n порядка 2n, Шон Дудзик, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Группа диэдра в Groupprops
• Вайсштейн, Эрик В. «Двугранная группа». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа диэдра D3». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа диэдра D4». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа диэдра D5». Математический мир .
• Дэвис, Деклан. «Двугранная группа D6». Математический мир .
• Диэдральные группы в GroupNames