Квантовая механика

Описание физических свойств на атомном и субатомном уровне.

Волновые функции электрона в атоме водорода на разных энергетических уровнях . Квантовая механика не может предсказать точное местоположение частицы в пространстве, а только вероятность ее обнаружения в разных местах. ^[1] Более яркие области означают более высокую вероятность обнаружения электрона.

Квантовая механика — фундаментальная теория физики , описывающая поведение природы на уровне атомов и ниже . ^{[2] : 1.1} Это основа всей квантовой физики , которая включает в себя квантовую химию , квантовую теорию поля , квантовую технологию и квантовую информатику .

Квантовая механика может описать многие системы, которые не может описать классическая физика . Классическая физика может описать многие аспекты природы в обычном ( макроскопическом ) масштабе, но ее недостаточно для описания их в малых (атомных и субатомных ) масштабах. Большинство теорий классической физики могут быть выведены из квантовой механики как приближения, действующего в большом (макроскопическом) масштабе. ^[3]

Квантовые системы имеют связанные состояния, которые квантуются до дискретных значений энергии , импульса , углового момента и других величин , в отличие от классических систем, где эти величины можно измерять непрерывно. Измерения квантовых систем показывают характеристики как частиц , так и волн ( частично-волновой дуализм ), и существуют пределы того, насколько точно значение физической величины можно предсказать до ее измерения при полном наборе начальных условий (принцип неопределенности). ).

Квантовая механика возникла постепенно из теорий, объясняющих наблюдения, которые не могли быть согласованы с классической физикой, таких как решение Максом Планком в 1900 году проблемы излучения черного тела и соответствие между энергией и частотой в статье Альберта Эйнштейна 1905 года . что объяснило фотоэлектрический эффект . Эти ранние попытки понять микроскопические явления, ныне известные как « старая квантовая теория », привели к полному развитию квантовой механики в середине 1920-х годов Нильсом Бором , Эрвином Шрёдингером , Вернером Гейзенбергом , Максом Борном , Полем Дираком и другими. Современная теория формулируется в различных специально разработанных математических формализмах . В одном из них математическая сущность, называемая волновой функцией , предоставляет информацию в виде амплитуд вероятности о том, какие результаты могут дать измерения энергии, импульса и других физических свойств частицы.

Обзор и основные понятия

Квантовая механика позволяет рассчитывать свойства и поведение физических систем. Обычно его применяют к микроскопическим системам: молекулам, атомам и субатомным частицам. Было продемонстрировано, что оно справедливо для сложных молекул с тысячами атомов, ^[4] , но его применение к людям поднимает философские проблемы, такие как друг Вигнера , а его применение ко Вселенной в целом остается спекулятивным. ^[5] Предсказания квантовой механики были проверены экспериментально с чрезвычайно высокой степенью точности . Например, было показано , что уточнение квантовой механики взаимодействия света и материи, известное как квантовая электродинамика (КЭД), согласуется с экспериментом с точностью до 1 части на 10 ⁸ для некоторых атомных свойств.

Фундаментальной особенностью теории является то, что она обычно не может с уверенностью предсказать, что произойдет, а лишь дает вероятности. Математически вероятность находится путем возведения в квадрат абсолютного значения комплексного числа , известного как амплитуда вероятности. Это известно как правило Борна , названное в честь физика Макса Борна . Например, квантовая частица, такая как электрон , может быть описана волновой функцией, которая связывает с каждой точкой пространства амплитуду вероятности. Применение правила Борна к этим амплитудам дает функцию плотности вероятности положения, которое будет обнаружено у электрона, когда будет проведен эксперимент по его измерению. Это лучшее, что может сделать теория; он не может сказать наверняка, где будет найден электрон. Уравнение Шредингера связывает набор амплитуд вероятности, относящихся к одному моменту времени, с набором амплитуд вероятностей, относящихся к другому моменту.

Одним из следствий математических правил квантовой механики является компромисс в предсказуемости между различными измеримыми величинами. Самая известная форма этого принципа неопределенности гласит, что независимо от того, как готовится квантовая частица или насколько тщательно проводятся эксперименты с ней, невозможно получить точный прогноз для измерения ее положения и в то же время для измерения. его импульса .

Другим следствием математических правил квантовой механики является явление квантовой интерференции , которое часто иллюстрируется экспериментом с двумя щелями . В базовой версии этого эксперимента источник когерентного света , например лазерный луч, освещает пластину, пронизанную двумя параллельными щелями, и свет, проходящий через щели, наблюдается на экране позади пластины. ^{[6] : 102–111  [2] : 1,1–1,8} Волновая природа света приводит к тому, что световые волны, проходящие через две щели, интерферируют , создавая яркие и темные полосы на экране – результат, которого нельзя было бы ожидать, если бы свет состоял из классических частиц. ^[6] Однако всегда обнаруживается, что свет поглощается экраном в отдельных точках, в виде отдельных частиц, а не волн; интерференционная картина проявляется за счет различной плотности попадания этих частиц на экран. Более того, версии эксперимента, включающие детекторы в щелях, показывают, что каждый обнаруженный фотон проходит через одну щель (как в случае с классической частицей), а не через обе щели (как в случае с волной). ^{[6] : 109  [7] [8]} Однако такие эксперименты показывают, что частицы не образуют интерференционную картину, если определить, через какую щель они проходят. Такое поведение известно как корпускулярно-волновой дуализм . Обнаружено , что помимо света электроны , атомы и молекулы демонстрируют одинаковое двойное поведение при попадании в двойную щель. ^[2]

Еще одно неклассическое явление, предсказанное квантовой механикой, — это квантовое туннелирование : частица, столкнувшаяся с потенциальным барьером , может его пересечь, даже если ее кинетическая энергия меньше максимума потенциала. ^[9] В классической механике эта частица была бы поймана в ловушку. Квантовое туннелирование имеет несколько важных последствий, делая возможным радиоактивный распад , ядерный синтез в звездах и такие приложения, как сканирующая туннельная микроскопия и туннельный диод . ^[10]

Когда квантовые системы взаимодействуют, результатом может стать создание квантовой запутанности : их свойства становятся настолько переплетенными, что описание целого исключительно с точки зрения отдельных частей становится невозможным. Эрвин Шредингер назвал запутанность «... характерной чертой квантовой механики, которая вызывает полный ее отход от классических направлений мысли». ^[11] Квантовая запутанность обеспечивает квантовые вычисления и является частью протоколов квантовой связи, таких как квантовое распределение ключей и сверхплотное кодирование . ^[12] Вопреки распространенному заблуждению, запутанность не позволяет посылать сигналы быстрее скорости света , как демонстрирует теорема об отсутствии связи . ^[12]

Другая возможность, открываемая запутанностью, — это проверка на « скрытые переменные », гипотетические свойства, более фундаментальные, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем может дать квантовая теория. Ряд результатов, в первую очередь теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой. Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, поддающимся количественной оценке образом. Было проведено множество тестов Белла, которые показали результаты, несовместимые с ограничениями, налагаемыми локальными скрытыми переменными. ^{[13] [14]}

Невозможно представить эти концепции более чем поверхностно, не вводя в них настоящую математику; понимание квантовой механики требует не только манипулирования комплексными числами, но и линейной алгебры , дифференциальных уравнений , теории групп и других более сложных предметов. ^{[15] [16]} Соответственно, в этой статье будет представлена ​​математическая формулировка квантовой механики и рассмотрено ее применение к некоторым полезным и часто изучаемым примерам.

Математическая формулировка

В математически строгой формулировке квантовой механики состояние квантовомеханической системы представляет собой вектор, принадлежащий ( сепарабельному ) комплексному гильбертовому пространству . Постулируется, что этот вектор нормирован по внутреннему произведению гильбертова пространства, то есть подчиняется , и он четко определен с точностью до комплексного числа модуля 1 (глобальная фаза), то есть и представляет одну и ту же физическую систему. Другими словами, возможные состояния — это точки в проективном пространстве гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы — например, для описания положения и импульса гильбертово пространство — это пространство комплексных интегрируемых с квадратом функций , а гильбертово пространство для спина одного протона — это просто пространство двумерные комплексные векторы с обычным скалярным произведением. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }\psi }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Интересующие физические величины – положение, импульс, энергия, спин – представлены наблюдаемыми, которые представляют собой эрмитовые (точнее, самосопряженные ) линейные операторы , действующие в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние может быть собственным вектором наблюдаемой, и в этом случае оно называется собственным состоянием , а связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем смысле, квантовое состояние представляет собой линейную комбинацию собственных состояний, известную как квантовая суперпозиция . Когда измеряется наблюдаемая величина, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, определяемой правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырождено, а вероятность определяется как , где - связанный с ним собственный вектор. В более общем смысле, собственное значение вырождено, а вероятность определяется выражением , где – проектор на соответствующее ему собственное пространство. В непрерывном случае эти формулы вместо этого дают плотность вероятности . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$ ${\displaystyle \langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

После измерения, если результат был получен, постулируется, что квантовое состояние схлопывается до , в невырожденном случае, или до , в общем случае. Таким образом , вероятностная природа квантовой механики проистекает из акта измерения. Это один из самых сложных для понимания аспектов квантовых систем. Это была центральная тема знаменитых дебатов Бора и Эйнштейна , в которых два учёных пытались прояснить эти фундаментальные принципы посредством мысленных экспериментов . В течение десятилетий после создания квантовой механики вопрос о том, что представляет собой «измерение», широко изучался. Были сформулированы новые интерпретации квантовой механики, которые покончили с понятием « коллапс волновой функции » (см., например, многомировую интерпретацию ). Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным прибором, их соответствующие волновые функции запутываются, так что исходная квантовая система перестает существовать как независимая сущность. Подробности см. в статье об измерениях в квантовой механике . ^[17] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$ ${\textstyle P_{\lambda }\psi {\big /}\!{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}}$

Временная эволюция квантового состояния описывается уравнением Шрёдингера:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t).}$

Здесь обозначается гамильтониан , наблюдаемая, соответствующая полной энергии системы, а – приведенная постоянная Планка . Константа вводится для того, чтобы гамильтониан сводился к классическому гамильтониану в тех случаях, когда квантовая система может быть аппроксимирована классической системой; способность производить такое приближение в определенных пределах называется принципом соответствия . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle i\hbar }$

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle \psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).}$

Этот оператор известен как оператор временной эволюции и обладает важнейшим свойством — унитарностью . На этот раз эволюция детерминирована в том смысле, что — учитывая начальное квантовое состояние — она делает определённый прогноз того, каким будет  квантовое состояние в любой более поздний момент. ^[18] ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \psi (t)}$

Рис. 1: Плотности вероятности , соответствующие волновым функциям электрона в атоме водорода, обладающих определенными уровнями энергии (возрастающими сверху изображения вниз: n = 1, 2, 3, ...) и угловыми моментами ( увеличивается слева направо: s , p , d , ...). Более плотные области соответствуют более высокой плотности вероятности при измерении местоположения. Такие волновые функции прямо сопоставимы с фигурами акустических мод вибрации Хладни в классической физике и также являются модами колебаний, обладающими резкой энергией и, следовательно , определенной частотой . Угловой момент и энергия квантованы и принимают только дискретные значения, подобные показанным. (Как и в случае с резонансными частотами в акустике.)

Некоторые волновые функции создают распределения вероятностей, которые не зависят от времени, например собственные состояния гамильтониана . Многие системы, которые в классической механике рассматриваются динамически, описываются такими «статическими» волновыми функциями. Например, одиночный электрон в невозбужденном атоме классически изображается как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг атомного ядра , тогда как в квантовой механике он описывается статической волновой функцией, окружающей ядро. Например, волновая функция электрона невозбужденного атома водорода представляет собой сферически-симметричную функцию, известную как s- орбиталь ( рис. 1 ).

Аналитические решения уравнения Шредингера известны для очень небольшого числа относительно простых модельных гамильтонианов, включая квантовый гармонический осциллятор , частицу в ящике , диводородный катион и атом водорода . Даже атом гелия , который содержит всего два электрона, бросил вызов всем попыткам полностью аналитического подхода.

Однако существуют методы поиска приближенных решений. Один метод, называемый теорией возмущений , использует аналитический результат для простой квантово-механической модели для создания результата для родственной, но более сложной модели путем (например) добавления слабой потенциальной энергии . Другой метод называется «полуклассическим уравнением движения» и применяется к системам, для которых квантовая механика производит лишь небольшие отклонения от классического поведения. Эти отклонения затем можно вычислить на основе классического движения. Этот подход особенно важен в области квантового хаоса .

Принцип неопределенности

Одним из следствий основного квантового формализма является принцип неопределенности. В своей наиболее известной форме это означает, что никакая подготовка квантовой частицы не может подразумевать одновременно точные предсказания как для измерения ее положения, так и для измерения ее импульса. ^{[19] [20]} И положение, и импульс являются наблюдаемыми, то есть они представлены эрмитовыми операторами. Оператор положения и оператор импульса не коммутируют, а удовлетворяют каноническому соотношению коммутации : ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .}$

Учитывая квантовое состояние, правило Борна позволяет нам вычислить средние значения как для , так и для их степеней. Определив неопределенность наблюдаемой величины стандартным отклонением , мы имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},}$

и то же самое для импульса:

${\displaystyle \sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.}$

Принцип неопределенности гласит, что

${\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Любое стандартное отклонение в принципе можно сделать сколь угодно малым, но не то и другое одновременно. ^[21] Это неравенство обобщается на произвольные пары самосопряженных операторов и . Коммутатором этих двух операторов является ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

и это дает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle }[A,B]{\bigr \rangle }\right|.}$

Другое следствие канонического коммутационного соотношения состоит в том, что операторы положения и импульса являются преобразованиями Фурье друг друга, так что описание объекта согласно его импульсу является преобразованием Фурье его описания в соответствии с его положением. Тот факт, что зависимость по импульсу является преобразованием Фурье зависимости по положению, означает, что оператор импульса эквивалентен (с точностью до множителя ) взятию производной по положению, поскольку в анализе Фурье дифференцирование соответствует умножению в дуальном пространстве . Вот почему в квантовых уравнениях в пространстве позиций импульс заменяется на , и, в частности, в нерелятивистском уравнении Шредингера в пространстве позиций член , квадрат импульса, заменяется на лапласианское время . ^[19] ${\displaystyle i/\hbar }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle -\hbar ^{2}}$

Составные системы и запутанность

Когда две разные квантовые системы рассматриваются вместе, гильбертово пространство объединенной системы представляет собой тензорное произведение гильбертовых пространств двух компонентов. Например, пусть A и B — две квантовые системы с гильбертовыми пространствами и соответственно. Тогда гильбертово пространство сложной системы будет ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.}$

Если состояние первой системы — вектор , а состояние второй системы — , то состояние составной системы равно ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle \psi _{B}}$

${\displaystyle \psi _{A}\otimes \psi _{B}.}$

Однако не все состояния в совместном гильбертовом пространстве могут быть записаны в этой форме, поскольку принцип суперпозиции подразумевает, что линейные комбинации этих «разделимых» или «состояний-продуктов» также действительны. Например, если и являются возможными состояниями для системы , а также и являются возможными состояниями для системы , то ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle \phi _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)}$

является действительным совместным состоянием, которое не является отделимым. Состояния, которые не являются раздельными, называются запутанными . ^{[22] [23]}

Если состояние составной системы запутано, невозможно описать компонентную систему A или систему B вектором состояния. Вместо этого можно определить сокращенные матрицы плотности , которые описывают статистику, которую можно получить, выполняя измерения только на любой компонентной системе. Однако это неизбежно приводит к потере информации: знания приведенных матриц плотности отдельных систем недостаточно для восстановления состояния сложной системы. ^{[22] [23]} Точно так же, как матрицы плотности определяют состояние подсистемы более крупной системы, аналогично положительные операторно-значные меры (POVM) описывают влияние на подсистему измерения, выполненного в более крупной системе. POVM широко используются в квантовой теории информации. ^{[22] [24]}

Как описано выше, запутанность является ключевой особенностью моделей процессов измерения, в которых устройство запутывается в измеряемой системе. Системы, взаимодействующие со средой, в которой они находятся, обычно запутываются в этой среде — явление, известное как квантовая декогеренция . Это может объяснить, почему на практике квантовые эффекты трудно наблюдать в системах, превышающих микроскопические. ^[25]

Эквивалентность формулировок

Существует множество математически эквивалентных формулировок квантовой механики. Одной из старейших и наиболее распространенных является « теория преобразований », предложенная Полем Дираком , которая объединяет и обобщает две ранние формулировки квантовой механики — матричную механику (изобретенную Вернером Гейзенбергом ) и волновую механику (изобретенную Эрвином Шрёдингером ). ^[26] Альтернативной формулировкой квантовой механики является формулировка интеграла по путям Фейнмана , в которой квантово-механическая амплитуда рассматривается как сумма по всем возможным классическим и неклассическим путям между начальным и конечным состояниями. Это квантовомеханический аналог принципа действия в классической механике.

Симметрии и законы сохранения

Гамильтониан известен как генератор временной эволюции, поскольку он определяет унитарный оператор временной эволюции для каждого значения . Из этого отношения между и следует, что любая наблюдаемая , которая коммутирует с, будет сохраняться : ее математическое ожидание не будет меняться с течением времени. Это утверждение обобщает, поскольку с математической точки зрения любой эрмитов оператор может порождать семейство унитарных операторов, параметризованных переменной . При эволюции, порождаемой , любая наблюдаемая , коммутирующая с, будет сохраняться. Более того, если сохраняется при эволюции при , то сохраняется при эволюции, порождаемой . Отсюда следует квантовая версия результата, доказанного Эмми Нётер в классической ( лагранжевой ) механике: для каждой дифференцируемой симметрии гамильтониана существует соответствующий закон сохранения . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Примеры

Свободная частица

Плотность вероятности в пространстве положения гауссовского волнового пакета , движущегося в одном измерении в свободном пространстве

Простейшим примером квантовой системы с позиционной степенью свободы является свободная частица в одном пространственном измерении. Свободная частица — это такая частица, которая не подвержена внешним воздействиям, так что ее гамильтониан состоит только из ее кинетической энергии:

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$

Общее решение уравнения Шрёдингера имеет вид

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,}$

которая является суперпозицией всех возможных плоских волн , которые являются собственными состояниями оператора импульса с импульсом . Коэффициенты суперпозиции равны , что является преобразованием Фурье исходного квантового состояния . ${\displaystyle e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)}$ ${\displaystyle \psi (x,0)}$

Решение не может быть собственным состоянием с одним импульсом или собственным состоянием с одним положением, поскольку они не являются нормируемыми квантовыми состояниями. ^{[примечание 1]} Вместо этого мы можем рассмотреть гауссов волновой пакет :

${\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$

который имеет преобразование Фурье и, следовательно, распределение импульса

${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.}$

Мы видим, что по мере того, как мы уменьшаем разброс по позициям, он становится меньше, но разброс по импульсу становится больше. И наоборот, увеличивая, мы уменьшаем разброс по импульсу, но разброс по позиции становится больше. Это иллюстрирует принцип неопределенности. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Позволяя гауссовскому волновому пакету развиваться во времени, мы видим, что его центр движется в пространстве с постоянной скоростью (как классическая частица, на которую не действуют никакие силы). Однако волновой пакет также будет распространяться с течением времени, а это означает, что положение становится все более и более неопределенным. Однако неопределенность в динамике остается постоянной. ^[27]

Частица в коробке

Одномерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)

Частица в одномерном ящике потенциальной энергии является наиболее математически простым примером, когда ограничения приводят к квантованию уровней энергии. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию повсюду внутри определенной области и, следовательно, бесконечную потенциальную энергию повсюду за пределами этой области. ^{[19] : 77–78} Для одномерного по направлению независимого от времени уравнения Шрёдингера можно записать ${\displaystyle x}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$

С дифференциальным оператором, определенным формулой

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$

предыдущее уравнение напоминает классический аналог кинетической энергии ,

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$

с состоянием в этом случае, имеющим энергию , совпадающую с кинетической энергией частицы. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике:

${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

или, по формуле Эйлера ,

${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}$

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения и при и где должны быть равны нулю. Таким образом, при , ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$

и . В , ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$

в котором не может быть нулем, так как это противоречило бы постулату, имеющему норму 1. Следовательно, поскольку , должно быть целым кратным , ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$

Это ограничение на подразумевает ограничение на уровни энергии, что дает ${\displaystyle k}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$

Конечная потенциальная яма — это обобщение проблемы бесконечной потенциальной ямы на потенциальные ямы конечной глубины. Задача о конечной потенциальной яме математически более сложна, чем задача о бесконечной частице в ящике, поскольку волновая функция не привязана к нулю на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях вне ямы. Другой связанной с этим проблемой является проблема прямоугольного потенциального барьера , который обеспечивает модель эффекта квантового туннелирования , который играет важную роль в работе современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .

Гармонический осциллятор

Некоторые траектории гармонического осциллятора (т.е. шарика, прикрепленного к пружине ) в классической механике (АВ) и квантовой механике (КГ). В квантовой механике положение шара изображается волной ( называемой волновой функцией), действительная часть которой показана синим цветом, а мнимая часть — красным. Некоторые траектории (например, C, D, E и F) представляют собой стоячие волны (или « стационарные состояния »). Каждая частота стоячей волны пропорциональна возможному уровню энергии осциллятора. Этого «квантования энергии» не происходит в классической физике, где осциллятор может иметь любую энергию.

Как и в классическом случае, потенциал квантового гармонического осциллятора определяется выражением

${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Эту проблему можно решить либо путем непосредственного решения уравнения Шредингера, что нетривиально, либо с помощью более элегантного «лестничного метода», впервые предложенного Полем Дираком. Собственные состояния задаются формулой

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

где H _n — полиномы Эрмита

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),}$

и соответствующие энергетические уровни равны

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

Это еще один пример, иллюстрирующий дискретизацию энергии для связанных состояний .

Интерферометр Маха – Цендера

Схема интерферометра Маха – Цендера

Интерферометр Маха – Цендера (MZI) иллюстрирует концепции суперпозиции и интерференции с помощью линейной алгебры в размерности 2, а не дифференциальных уравнений. Его можно рассматривать как упрощенную версию эксперимента с двумя щелями, но он представляет интерес сам по себе, например, для квантового ластика с отложенным выбором , для испытания бомбы Элицура-Вайдмана и для исследований квантовой запутанности. ^{[28] [29]}

Мы можем смоделировать фотон, проходящий через интерферометр, учитывая, что в каждой точке он может находиться в суперпозиции только двух путей: «нижний» путь, который начинается слева, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается вверху, а «верхний» путь, начинающийся снизу, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается справа. Таким образом, квантовое состояние фотона представляет собой вектор , который представляет собой суперпозицию «нижнего» пути и «верхнего» пути , то есть для комплексного . Чтобы соблюдать постулат, что мы этого требуем . ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

Оба светоделителя моделируются как унитарная матрица , что означает, что когда фотон встретит светоделитель, он либо останется на том же пути с амплитудой вероятности , либо отразится на другой путь с амплитудой вероятности . Фазовращатель на верхнем плече моделируется как унитарная матрица , что означает, что если фотон находится на «верхнем» пути, он получит относительную фазу , и останется неизменной, если он находится на нижнем пути. ${\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle i/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \Delta \Phi }$

Фотон, который входит в интерферометр слева, затем подвергается воздействию светоделителя , фазовращателя и другого светоделителя и, таким образом, оказывается в состоянии ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}$

а вероятности того, что он будет обнаружен справа или вверху, равны соответственно

${\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}$

${\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}$

Поэтому можно использовать интерферометр Маха – Цендера для оценки фазового сдвига путем оценки этих вероятностей.

Интересно подумать, что произошло бы, если бы фотон определенно находился либо на «нижнем», либо на «верхнем» пути между светоделителями. Этого можно добиться, заблокировав один из путей или, что то же самое, удалив первый светоделитель (и подавая фотон слева или снизу, по желанию). В обоих случаях интерференции между путями больше не будет, а вероятности определяются как , независимо от фазы . Из этого мы можем заключить, что фотон не выбирает тот или иной путь после первого светоделителя, а скорее находится в настоящей квантовой суперпозиции двух путей. ^[30] ${\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$ ${\displaystyle \Delta \Phi }$

Приложения

Квантовая механика добилась огромного успеха в объяснении многих особенностей нашей Вселенной, включая мелкомасштабные и дискретные величины и взаимодействия, которые не могут быть объяснены классическими методами . ^{[примечание 2]} Квантовая механика часто является единственной теорией, которая может раскрыть индивидуальное поведение субатомных частиц, составляющих все формы материи (электроны, протоны , нейтроны , фотоны и другие). Физика твердого тела и материаловедение зависят от квантовой механики. ^[31]

Во многих аспектах современные технологии работают в масштабах, где квантовые эффекты значительны. Важные приложения квантовой теории включают квантовую химию , квантовую оптику , квантовые вычисления , сверхпроводящие магниты , светоизлучающие диоды , оптический усилитель и лазер, транзисторы и полупроводники , такие как микропроцессоры , медицинские и исследовательские изображения, такие как магнитно-резонансная томография и электронная томография. микроскопия . ^[32] Объяснения многих биологических и физических явлений основаны на природе химической связи, в первую очередь на макромолекулярной ДНК .

Связь с другими научными теориями

Классическая механика

Правила квантовой механики утверждают, что пространство состояний системы является гильбертовым пространством и что наблюдаемые системы являются эрмитовыми операторами , действующими на векторы в этом пространстве, хотя они не говорят нам, какое гильбертово пространство или какие операторы. Их можно выбрать соответствующим образом, чтобы получить количественное описание квантовой системы, что является необходимым шагом в физических предсказаниях. Важным руководством для принятия такого выбора является принцип соответствия , эвристика, которая утверждает, что предсказания квантовой механики сводятся к предсказаниям классической механики в режиме больших квантовых чисел . ^[33] Можно также начать с устоявшейся классической модели конкретной системы, а затем попытаться угадать лежащую в основе квантовую модель, которая приведет к появлению классической модели в пределе соответствия. Этот подход известен как квантование .

Когда квантовая механика была первоначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была нерелятивистская классическая механика. Например, хорошо известная модель квантового гармонического осциллятора использует явно нерелятивистское выражение для кинетической энергии осциллятора и, таким образом, является квантовой версией классического гармонического осциллятора .

Сложности возникают с хаотическими системами , которые не имеют хороших квантовых чисел, и квантовый хаос изучает взаимосвязь между классическими и квантовыми описаниями в этих системах.

Квантовая декогеренция — это механизм, посредством которого квантовые системы теряют когерентность и, таким образом, становятся неспособными проявлять многие типично квантовые эффекты: квантовые суперпозиции становятся просто вероятностными смесями, а квантовая запутанность становится просто классическими корреляциями. Квантовая когерентность обычно не очевидна на макроскопических масштабах, за исключением, возможно, температур, приближающихся к абсолютному нулю , при которых квантовое поведение может проявляться макроскопически. ^{[заметка 3]}

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения ее частей. Например, стабильность объемного вещества (состоящего из атомов и молекул , которые быстро разрушались бы под действием одних только электрических сил), жесткость твердых тел, а также механические, термические, химические, оптические и магнитные свойства вещества — все это результаты взаимодействия электрические заряды по правилам квантовой механики. ^[34]

Специальная теория относительности и электродинамика

Ранние попытки объединить квантовую механику со специальной теорией относительности включали замену уравнения Шредингера ковариантным уравнением, таким как уравнение Клейна-Гордона или уравнение Дирака . Хотя эти теории успешно объяснили многие экспериментальные результаты, у них были определенные неудовлетворительные качества, проистекающие из пренебрежения релятивистским процессом рождения и уничтожения частиц. Полностью релятивистская квантовая теория потребовала развития квантовой теории поля, которая применяет квантование к полю (а не к фиксированному набору частиц). Первая полная квантовая теория поля, квантовая электродинамика , обеспечивает полностью квантовое описание электромагнитного взаимодействия . Квантовая электродинамика, наряду с общей теорией относительности , является одной из самых точных физических теорий, когда-либо созданных. ^{[35] [36]}

Полный аппарат квантовой теории поля часто не нужен для описания электродинамических систем. Более простой подход, который использовался с момента зарождения квантовой механики, состоит в том, чтобы рассматривать заряженные частицы как квантово-механические объекты, на которые действует классическое электромагнитное поле . Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электрическое поле атома водорода с помощью классического кулоновского потенциала . Этот «полуклассический» подход терпит неудачу, если квантовые флуктуации в электромагнитном поле играют важную роль, например, при излучении фотонов заряженными частицами . ${\displaystyle \textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)}$

Также были разработаны квантовые теории поля для сильного и слабого ядерного взаимодействия . Квантовая теория поля сильного ядерного взаимодействия называется квантовой хромодинамикой и описывает взаимодействия субъядерных частиц, таких как кварки и глюоны . Слабое ядерное взаимодействие и электромагнитное взаимодействие были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известную как электрослабая теория ) физиками Абдусом Саламом , Шелдоном Глэшоу и Стивеном Вайнбергом . ^[37]

Связь с общей теорией относительности

Несмотря на то, что предсказания как квантовой теории, так и общей теории относительности были подтверждены строгими и повторяющимися эмпирическими данными , их абстрактные формализмы противоречат друг другу, и их оказалось чрезвычайно трудно объединить в одну последовательную, связную модель. Гравитацией во многих областях физики элементарных частиц можно пренебречь, так что объединение общей теории относительности и квантовой механики не является актуальной проблемой в этих конкретных приложениях. Однако отсутствие правильной теории квантовой гравитации является важной проблемой физической космологии и поиска физиками элегантной « Теории Всего » (ТОВ). Следовательно, разрешение несоответствий между обеими теориями было главной целью физики 20-го и 21-го веков. Этот ОО объединит не только модели субатомной физики, но и выведет четыре фундаментальные силы природы из одной силы или явления. ^[38]

Одним из предложений по этому поводу является теория струн , которая утверждает, что точечные частицы физики элементарных частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струнами . Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, чья масса , заряд и другие свойства определяются колебательным состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует гравитону — квантовомеханической частице, несущей гравитационную силу. ^{[39] [40]}

Другая популярная теория — петлевая квантовая гравитация (ПКГ), которая описывает квантовые свойства гравитации и, таким образом, является теорией квантового пространства-времени . LQG — это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Эта теория описывает пространство как чрезвычайно тонкую ткань, «сотканную» из конечных петель, называемых спиновыми сетями . Эволюция спиновой сети с течением времени называется спиновой пеной . Характерным масштабом длины спиновой пены является планковская длина , примерно 1,616×10 ^-35 м, поэтому длины, короче планковской длины, не имеют физического смысла в LQG. ^[41]

Философские последствия

Нерешенная задача по физике :

Существует ли предпочтительная интерпретация квантовой механики? Как квантовое описание реальности, включающее такие элементы, как « суперпозиция состояний» и « коллапс волновой функции », порождает реальность, которую мы воспринимаем?

(еще нерешенные задачи по физике)

С момента своего создания многие противоречивые аспекты и результаты квантовой механики вызвали сильные философские дебаты и множество интерпретаций . Аргументы сосредоточены на вероятностной природе квантовой механики, трудностях с коллапсом волновой функции и связанной с этим проблемой измерения , а также квантовой нелокальности . Возможно, единственный консенсус, который существует по этим вопросам, заключается в том, что консенсуса нет. Ричард Фейнман однажды сказал: «Думаю, я могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику». ^[42] По словам Стивена Вайнберга , «по моему мнению, сейчас не существует полностью удовлетворительной интерпретации квантовой механики». ^[43]

Взгляды Нильса Бора , Вернера Гейзенберга и других физиков часто объединяют в « копенгагенскую интерпретацию ». ^{[44] [45]} Согласно этим взглядам, вероятностная природа квантовой механики не является временной особенностью, которая в конечном итоге будет заменена детерминистской теорией, а представляет собой окончательный отказ от классической идеи «причинности». Бор, в частности, подчеркивал, что любое четко определенное применение квантовомеханического формализма всегда должно ссылаться на экспериментальную схему из-за взаимодополняющего характера доказательств, полученных в различных экспериментальных ситуациях. Интерпретации копенгагенского типа были приняты нобелевскими лауреатами по квантовой физике, в том числе Бором, ^[46] Гейзенбергом, ^[47] Шредингером, ^[48] Фейнманом, ^[2] и Цайлингером ^[49] , а также исследователями квантовых основ 21-го века. ^[50]

Альберт Эйнштейн , один из основателей квантовой теории , был обеспокоен очевидным несоблюдением в ней некоторых заветных метафизических принципов, таких как детерминизм и локальность . Длительные дискуссии Эйнштейна с Бором о значении и статусе квантовой механики теперь известны как дебаты Бора-Эйнштейна . Эйнштейн считал, что в основе квантовой механики должна лежать теория, которая явно запрещает действие на расстоянии . Он утверждал, что квантовая механика была неполной, что это теория, которая действительна, но не фундаментальна, аналогично тому, как действительна термодинамика , но фундаментальной теорией, лежащей в ее основе, является статистическая механика . В 1935 году Эйнштейн и его сотрудники Борис Подольский и Натан Розен опубликовали аргумент, согласно которому принцип локальности подразумевает неполноту квантовой механики, мысленный эксперимент , позже названный парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена . ^{[примечание 4]} В 1964 году Джон Белл показал, что принцип локальности ЭПР вместе с детерминизмом фактически несовместим с квантовой механикой: они подразумевали ограничения на корреляции, создаваемые системами расстояний, теперь известные как неравенства Белла , которые могут быть нарушены запутанными частицы. ^[55] С тех пор было проведено несколько экспериментов для получения этих корреляций, в результате чего они действительно нарушают неравенства Белла и, таким образом, фальсифицируют соединение локальности с детерминизмом. ^{[13] [14]}

Механика Бома показывает, что можно переформулировать квантовую механику, сделав ее детерминированной, ценой того, что она станет явно нелокальной. Он приписывает физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое детерминировано развивается под действием нелокального ведущего уравнения. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с ведущим уравнением; коллапса волновой функции никогда не происходит. Это решает проблему измерения. ^[56]

Многомировая интерпретация Эверетта , сформулированная в 1956 году, утверждает, что все возможности, описанные квантовой теорией, одновременно возникают в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. ^[57] Это следствие устранения аксиомы коллапса волнового пакета. Все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции. Хотя мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы наблюдаем не мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную в каждый момент времени. То, как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Было предпринято несколько попыток разобраться в этом и вывести правило Борна ^{[58] [59]} без единого мнения о том, были ли они успешными. ^{[60] [61] [62]}

Реляционная квантовая механика появилась в конце 1990-х годов как современная производная от идей копенгагенского типа ^[63] , а несколько лет спустя был развит кбизм . ^[64]

История

Макс Планк считается отцом квантовой теории.

Квантовая механика была разработана в первые десятилетия 20-го века, вызванная необходимостью объяснить явления, которые в некоторых случаях наблюдались и раньше. Научное исследование волновой природы света началось в 17 и 18 веках, когда такие ученые, как Роберт Гук , Христиан Гюйгенс и Леонард Эйлер, предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях. ^[65] В 1803 году английский эрудит Томас Янг описал знаменитый эксперимент с двумя щелями . ^[66] Этот эксперимент сыграл важную роль в общем принятии волновой теории света .

В начале 19-го века химические исследования Джона Дальтона и Амедео Авогадро придали вес атомной теории материи, идее, которую Джеймс Клерк Максвелл , Людвиг Больцман и другие развили, чтобы создать кинетическую теорию газов . Успехи кинетической теории еще больше подтвердили идею о том, что материя состоит из атомов, однако у этой теории были и недостатки, которые могли быть устранены только с развитием квантовой механики. ^[67] Хотя ранняя концепция атомов в греческой философии заключалась в том, что они были неделимыми единицами (слово «атом» происходит от греческого слова «неразрезаемый»), в 19 веке были сформулированы гипотезы о субатомной структуре. Одним из важных открытий в этом отношении стало наблюдение Майклом Фарадеем в 1838 году свечения, вызванного электрическим разрядом внутри стеклянной трубки, содержащей газ под низким давлением. Юлиус Плюкер , Иоганн Вильгельм Хитторф и Ойген Гольдштейн продолжили и усовершенствовали работу Фарадея, что привело к идентификации катодных лучей , которые, как обнаружил Дж. Дж. Томсон , состоят из субатомных частиц, которые будут называться электронами. ^{[68] [69]}

Проблема излучения черного тела была открыта Густавом Кирхгофом в 1859 году. В 1900 году Макс Планк предложил гипотезу о том, что энергия излучается и поглощается дискретными «квантами» (или пакетами энергии), что дало расчет, который точно соответствовал наблюдаемым закономерностям черного тела. -облучение тела. ^[70] Слово «квант» происходит от латинского слова «насколько велик» или «насколько». ^[71] Согласно Планку, количества энергии можно рассматривать как разделенные на «элементы», размер которых ( E ) будет пропорционален их частоте ( ν ):

${\displaystyle E=h\nu \ }$,

где h — постоянная Планка . Планк осторожно настаивал на том, что это лишь аспект процессов поглощения и испускания излучения, а не физическая реальность излучения. ^[72] Фактически, он считал свою квантовую гипотезу математическим трюком, позволяющим получить правильный ответ, а не значительным открытием. ^{[73] Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн} реалистично интерпретировал квантовую гипотезу Планка и использовал ее для объяснения фотоэлектрического эффекта , при котором свет, попадающий на определенные материалы, может выбрасывать электроны из материала. Затем Нильс Бор развил идеи Планка об излучении в модель атома водорода , которая успешно предсказала спектральные линии водорода. ^[74] Эйнштейн развил эту идею, чтобы показать, что электромагнитную волну , такую ​​как свет, можно также описать как частицу (позже названную фотоном) с дискретным количеством энергии, которое зависит от ее частоты. ^[75] В своей статье «О квантовой теории излучения» Эйнштейн подробно остановился на взаимодействии энергии и материи, чтобы объяснить поглощение и излучение энергии атомами. Хотя в то время эта статья была омрачена его общей теорией относительности, она сформулировала механизм, лежащий в основе вынужденного излучения ^[76] , которое стало основой лазера.

Сольвеевская конференция 1927 года в Брюсселе стала пятой Всемирной физической конференцией.

Эта фаза известна как старая квантовая теория . Никогда не будучи полной и самосогласованной, старая квантовая теория представляла собой скорее набор эвристических поправок к классической механике. ^[77] В настоящее время эта теория понимается как полуклассическое приближение ^[78] к современной квантовой механике. ^[79] Среди примечательных результатов этого периода, помимо упомянутых выше работ Планка, Эйнштейна и Бора, работы Эйнштейна и Питера Дебая по удельной теплоемкости твердых тел, доказательство Бора и Хендрики Йоханны ван Леувен, что классическая физика не может объяснить диамагнетизм , а Арнольд Зоммерфельд расширил модель Бора, включив в нее специальные релятивистские эффекты.

В середине 1920-х годов была разработана квантовая механика, которая стала стандартной формулировкой атомной физики. В 1923 году французский физик Луи де Бройль выдвинул свою теорию волн материи, заявив, что частицы могут проявлять волновые характеристики и наоборот. Основываясь на подходе де Бройля, современная квантовая механика родилась в 1925 году, когда немецкие физики Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Йордан ^{[80] [81]} разработали матричную механику , а австрийский физик Эрвин Шредингер изобрел волновую механику . Борн представил вероятностную интерпретацию волновой функции Шредингера в июле 1926 года. ^[82] Таким образом, возникла целая область квантовой физики, что привело к ее более широкому признанию на Пятой Сольвеевской конференции в 1927 году. ^[83]

К 1930 году квантовая механика была дополнительно унифицирована и формализована Дэвидом Гильбертом , Полем Дираком и Джоном фон Нейманом ^[84] с большим упором на измерение , статистическую природу нашего знания о реальности и философские рассуждения о «наблюдателе» . С тех пор оно проникло во многие дисциплины, включая квантовую химию, квантовую электронику , квантовую оптику и квантовую информатику . Он также обеспечивает полезную основу для многих особенностей современной периодической таблицы элементов и описывает поведение атомов во время химической связи и потока электронов в компьютерных полупроводниках и, следовательно, играет решающую роль во многих современных технологиях. Хотя квантовая механика была создана для описания мира очень малого, она также необходима для объяснения некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводники ^[85] и сверхтекучие жидкости . ^[86]

Смотрите также

• Обозначение Бра-кета
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Список учебников по классической и квантовой механике
• Макроскопические квантовые явления
• Формулировка в фазовом пространстве
• Регуляризация (физика)
• Квантовая система с двумя состояниями

Заметки с пояснениями

1. Собственное состояние импульса будет совершенно монохроматической волной бесконечной протяженности, которая не интегрируется с квадратом. Аналогично, собственное состояние положения будет дельта-распределением Дирака , не интегрируемым с квадратом и технически вообще не являющимся функцией. Следовательно, ни один из них не может принадлежать гильбертовому пространству частицы. Физики иногда вводят фиктивные «основания» гильбертова пространства, состоящие из элементов вне этого пространства. Они изобретены для удобства вычислений и не представляют физические состояния. ^{[19] : 100–105}
2. См., например, «Фейнмановские лекции по физике» , где описаны некоторые технологические приложения, использующие квантовую механику, например, транзисторы (том III , стр. 14–11 и далее), интегральные схемы , которые являются последующими технологиями в области твердотельных устройств. физика (том II , стр. 8–6) и лазеры (том III , стр. 9–13).
3. см. макроскопические квантовые явления , конденсат Бозе – Эйнштейна и квантовую машину.
4. Опубликованная форма аргумента ЭПР принадлежит Подольскому, и самого Эйнштейна она не удовлетворила. В своих публикациях и переписке Эйнштейн использовал другой аргумент, настаивая на том, что квантовая механика является неполной теорией. ^{[51] [52] [53] [54]}

Рекомендации

1. Борн, М. (1926). «Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge» [К квантовой механике процессов столкновений]. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863–867. Бибкод : 1926ZPhy...37..863B. дои : 10.1007/BF01397477. S2CID  119896026.
2. Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Сэндс, Мэтью (1964). Фейнмановские лекции по физике. Том. 3. Калифорнийский технологический институт. ISBN 978-0201500646. Проверено 19 декабря 2020 г.
3. Джагер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире является макроскопическим?». Американский журнал физики . 82 (9): 896–905. Бибкод : 2014AmJPh..82..896J. дои : 10.1119/1.4878358.
4. Яаков Ю. Фейн; Филипп Гейер; Патрик Цвик; Филип Кялка; Себастьян Педалино; Марсель Майор; Стефан Герлих; Маркус Арндт (сентябрь 2019 г.). «Квантовая суперпозиция молекул за пределами 25 кДа». Физика природы . 15 (12): 1242–1245. Бибкод : 2019NatPh..15.1242F. дои : 10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID  203638258.
5. Бойовальд, Мартин (2015). «Квантовая космология: обзор». Отчеты о прогрессе в физике . 78 (2): 023901. arXiv : 1501.04899 . Бибкод : 2015RPPH...78b3901B. дои : 10.1088/0034-4885/78/2/023901. PMID  25582917. S2CID  18463042.
6. Ледерман, Леон М.; Хилл, Кристофер Т. (2011). Квантовая физика для поэтов. США: Книги Прометея. ISBN 978-1616142810.
7. Мюллер-Кирстен, HJW (2006). Введение в квантовую механику: уравнение Шрёдингера и интеграл по траекториям. США: World Scientific. п. 14. ISBN 978-981-2566911.
8. Плотницкий, Аркадий (2012). Нильс Бор и дополнительность: введение. США: Спрингер. стр. 75–76. ISBN 978-1461445173.
9. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл. ISBN 0-13-124405-1.
10. Трикслер, Ф. (2013). «Квантовое туннелирование к происхождению и эволюции жизни». Современная органическая химия . 17 (16): 1758–1770. дои : 10.2174/13852728113179990083. ПМЦ 3768233 . ПМИД  24039543. 
11. Баб, Джеффри (2019). «Квантовая запутанность». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
12. Caves, Карлтон М. (2015). «Квантовая информатика: больше не появляется». В Келли, Пол; Агравал, Говинд; Басс, Майк; Хехт, Джефф; Страуд, Карлос (ред.). ОСА Век оптики . Оптическое общество . стр. 320–323. arXiv : 1302.1864 . Бибкод : 2013arXiv1302.1864C. ISBN 978-1-943580-04-0.
13. Уайзман, Ховард (октябрь 2015 г.). «Смерть от эксперимента для локального реализма». Природа . 526 (7575): 649–650. дои : 10.1038/nature15631 . ISSN  0028-0836. ПМИД  26503054.
14. Wolchover, Натали (7 февраля 2017 г.). «Эксперимент подтверждает квантовую странность». Журнал Кванта . Проверено 8 февраля 2020 г.
15. Баэз, Джон К. (20 марта 2020 г.). «Как выучить математику и физику». Калифорнийский университет, Риверсайд . Проверено 19 декабря 2020 г. невозможно понять интерпретацию квантовой механики, не умея при этом решать проблемы квантовой механики  – чтобы понять теорию, вам нужно уметь ее использовать (и наоборот)
16. Саган, Карл (1996). Мир, населенный демонами: наука как свеча во тьме . Книги Баллантайна. п. 249. ИСБН 0-345-40946-9.«Для большинства студентов-физиков («математическая основа» квантовой механики) может потребоваться, скажем, от третьего класса до начала аспирантуры – примерно 15 лет. [...] Работа популяризатора науки, пытающегося получить Действительно, на мой взгляд, успешных популяризаций квантовой механики не существует – отчасти по этой причине.
17. Гринштейн, Джордж; Зайонц, Артур (2006). Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики (2-е изд.). Jones and Bartlett Publishers, Inc. с. 215. ИСБН 978-0-7637-2470-2., глава 8, с. 215. Архивировано 2 января 2023 г. в Wayback Machine.
18. Вайнберг, Стивен (2010). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы. Случайный дом. п. 82. ИСБН 978-1-4070-6396-6.
19. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2005). Квантовая механика . Перевод Хемли, Сьюзен Рид; Островский, Николь; Островский, Дэн. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-16433-Х.
20. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1. ОСЛК  2284121.
21. Раздел 3.2 Баллентина, Лесли Э. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Бибкод : 1970RvMP...42..358B, doi : 10.1103 /RevModPhys.42.358, S2CID  120024263. Этот факт экспериментально хорошо известен, например, в квантовой оптике; см., например, гл. 2 и рис. 2.1 Леонхардт, Ульф (1997), Измерение квантового состояния света, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-49730-2
22. Nielsen, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00217-3. ОКЛК  844974180.
23. Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (2011). Квантовые вычисления: краткое введение . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01506-6.
24. Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . дои : 10.1017/9781316809976.001. ISBN 9781107176164. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
25. Шлоссауэр, Максимилиан (октябрь 2019 г.). «Квантовая декогеренция». Отчеты по физике . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Бибкод : 2019PhR...831....1S. doi :10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
26. Рехенберг, Гельмут (1987). «Эрвин Шредингер и создание волновой механики» (PDF) . Акта Физика Полоника Б. 19 (8): 683–695 . Проверено 13 июня 2016 г.
27. Мэтьюз, Пиравону Мэтьюз; Венкатесан, К. (1976). «Уравнение Шредингера и стационарные состояния». Учебник квантовой механики . Тата МакГроу-Хилл. п. 36. ISBN 978-0-07-096510-2.
28. Париж, MGA (1999). «Запутывание и видимость на выходе интерферометра Маха – Цендера». Физический обзор А. 59 (2): 1615–1621. arXiv : Quant-ph/9811078 . Бибкод : 1999PhRvA..59.1615P. doi :10.1103/PhysRevA.59.1615. S2CID  13963928.
29. Хаак, GR; Фёрстер, Х.; Бюттикер, М. (2010). «Обнаружение четности и запутанность с помощью интерферометра Маха-Цендера». Физический обзор B . 82 (15): 155303. arXiv : 1005.3976 . Бибкод : 2010PhRvB..82o5303H. doi : 10.1103/PhysRevB.82.155303. S2CID  119261326.
30. Ведрал, Влатко (2006). Введение в квантовую информатику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199215706. ОСЛК  442351498.
31. Коэн, Марвин Л. (2008). «Очерк: пятьдесят лет физики конденсированного состояния». Письма о физических отзывах . 101 (25): 250001. Бибкод : 2008PhRvL.101y0001C. doi :10.1103/PhysRevLett.101.250001. ПМИД  19113681 . Проверено 31 марта 2012 г.
32. Мэтсон, Джон. «Чем хороша квантовая механика?». Научный американец . Проверено 18 мая 2016 г.
33. Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2008). Современная физика (5-е изд.). WH Фриман и компания. стр. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.
34. «Атомные свойства». Academic.brooklyn.cuny.edu . Проверено 18 августа 2012 г.
35. Хокинг, Стивен; Пенроуз, Роджер (2010). Природа пространства и времени. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1400834747.
36. Тацуми Аояма; Масаси Хаякава; Тоитиро Киносита; Макико Нио (2012). «Вклад КЭД десятого порядка в электрон g-2 и улучшенное значение постоянной тонкой структуры». Письма о физических отзывах . 109 (11): 111807. arXiv : 1205.5368 . Бибкод : 2012PhRvL.109k1807A. doi : 10.1103/PhysRevLett.109.111807. PMID  23005618. S2CID  14712017.
37. «Нобелевская премия по физике 1979 года». Нобелевский фонд . Проверено 16 декабря 2020 г.
38. Прощай, Деннис (10 октября 2022 г.). «Черные дыры могут скрывать невероятную тайну нашей Вселенной. Возьмите гравитацию, добавьте квантовую механику, перемешайте. Что вы получите? Может быть, голографический космос». Нью-Йорк Таймс . Проверено 10 октября 2022 г.
39. Беккер, Катрин; Беккер, Мелани ; Шварц, Джон (2007). Теория струн и М-теория: современное введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86069-7.
40. Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88032-9.
41. Ровелли, Карло; Видотто, Франческа (13 ноября 2014 г.). Ковариантная петлевая квантовая гравитация: элементарное введение в квантовую гравитацию и теорию спинфоама. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-316-14811-2.
42. Фейнман, Ричард (1967). Характер физического закона . МТИ Пресс. п. 129. ИСБН 0-262-56003-8.
43. Вайнберг, Стивен (2012). «Коллапс вектора государства». Физический обзор А. 85 (6): 062116. arXiv : 1109.6462 . Бибкод : 2012PhRvA..85f2116W. doi :10.1103/PhysRevA.85.062116. S2CID  119273840.
44. Ховард, Дон (декабрь 2004 г.). «Кто изобрел« Копенгагенскую интерпретацию »? Исследование мифологии». Философия науки . 71 (5): 669–682. дои : 10.1086/425941. ISSN  0031-8248. S2CID  9454552.
45. Камиллери, Кристиан (май 2009 г.). «Построение мифа Копенгагенской интерпретации». Перспективы науки . 17 (1): 26–57. дои : 10.1162/posc.2009.17.1.26. ISSN  1063-6145. S2CID  57559199.
46. Бор, Н. (1928). «Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории». Природа . 121 (3050): 580–590. Бибкод : 1928Natur.121..580B. дои : 10.1038/121580a0 .
47. Гейзенберг, Вернер (1971). Физика и философия: революция в современной науке . Мировые перспективы (3-е изд.). Лондон: Аллен и Анвин. ISBN 978-0-04-530016-7. ОСЛК  743037461.
48. Шрёдингер, Эрвин (1980) [1935]. Триммер, Джон (ред.). "«Важная ситуация в квантовой механике».«[Современная ситуация в квантовой механике]. Naturwissenschaften . 23 (50): 844–849. doi : 10.1007/BF01491987. JSTOR  986572. S2CID  22433857.
49. Ма, Сяо-сун; Кофлер, Йоханнес; Цайлингер, Антон (3 марта 2016 г.). «Мысленные эксперименты с отложенным выбором и их реализации». Обзоры современной физики . 88 (1): 015005. arXiv : 1407.2930 . Бибкод : 2016RvMP...88a5005M. doi : 10.1103/RevModPhys.88.015005. ISSN  0034-6861. S2CID  34901303.
50. Шлоссхауэр, Максимилиан; Кофлер, Йоханнес; Цайлингер, Антон (1 августа 2013 г.). «Снимок основополагающих взглядов на квантовую механику». Исследования по истории и философии науки. Часть B. 44 (3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Бибкод : 2013ШПМП..44..222С. дои :10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
51. Харриган, Николас; Спеккенс, Роберт В. (2010). «Эйнштейн, неполнота и эпистемический взгляд на квантовые состояния». Основы физики . 40 (2): 125. arXiv : 0706.2661 . Бибкод : 2010FoPh...40..125H. дои : 10.1007/s10701-009-9347-0. S2CID  32755624.
52. Ховард, Д. (1985). «Эйнштейн о локальности и сепарабельности». Исследования по истории и философии науки. Часть А. 16 (3): 171–201. Бибкод : 1985SHPSA..16..171H. дои : 10.1016/0039-3681(85)90001-9.
53. Зауэр, Тилман (1 декабря 2007 г.). «Рукопись Эйнштейна о парадоксе ЭПР для наблюдаемых спина». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 38 (4): 879–887. Бибкод : 2007ШПМП..38..879С. CiteSeerX 10.1.1.571.6089 . doi :10.1016/j.shpsb.2007.03.002. ISSN  1355-2198. 
54. Эйнштейн, Альберт (1949). «Автобиографические заметки». В Шилппе, Пол Артур (ред.). Альберт Эйнштейн: философ-ученый . Издательство «Открытый суд».
55. Белл, Дж. С. (1 ноября 1964 г.). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена». Физика Телосложение Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
56. Гольдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
57. Барретт, Джеффри (2018). «Формулировка квантовой механики Эверетта в относительном состоянии». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
58. Эверетт, Хью ; Уилер, Дж.А. ; ДеВитт, бакалавр наук ; Купер, Луизиана ; Ван Вехтен, Д.; Грэм, Н. (1973). ДеВитт, Брайс ; Грэм, Р. Нил (ред.). Многомировая интерпретация квантовой механики . Принстонская серия по физике. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . п. против ISBN 0-691-08131-Х.
59. Уоллес, Дэвид (2003). «Эвереттовская рациональность: защита подхода Дойча к вероятности в интерпретации Эверетта». Стад. Хист. Фил. Мод. Физ . 34 (3): 415–438. arXiv : Quant-ph/0303050 . Бибкод : 2003SHPMP..34..415W. дои : 10.1016/S1355-2198(03)00036-4. S2CID  1921913.
60. Баллентайн, Ле (1973). «Можно ли вывести статистический постулат квантовой теории? - Критика интерпретации многих вселенных». Основы физики . 3 (2): 229–240. Бибкод : 1973FoPh....3..229B. дои : 10.1007/BF00708440. S2CID  121747282.
61. Ландсман, НП (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Вайнерт, Ф.; Хентшель, К.; Гринбергер, Д.; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. ISBN 978-3-540-70622-9. Вывод, по-видимому, состоит в том, что общепринятого вывода правила Борна до сих пор не дано, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.
62. Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттовских объяснений эволюции, вероятности и научного подтверждения». В С. Сондерсе; Дж. Барретт; А. Кент; Д. Уоллес (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета. arXiv : 0905.0624 . Бибкод : 2009arXiv0905.0624K.
63. Ван Фраассен, Бас К. (апрель 2010 г.). «Мир Ровелли». Основы физики . 40 (4): 390–417. Бибкод : 2010FoPh...40..390В. doi : 10.1007/s10701-009-9326-5. ISSN  0015-9018. S2CID  17217776.
64. Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовский и прагматический взгляд на квантовую теорию». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
65. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-64222-1. ОСЛК  1151058062.
66. Шайдер, Уолтер (апрель 1986 г.). «Привнесение в класс одного из величайших моментов науки». Учитель физики . 24 (4): 217–219. Бибкод : 1986PhTea..24..217S. дои : 10.1119/1.2341987. ISSN  0031-921X.
67. Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Сэндс, Мэтью (1964). Фейнмановские лекции по физике. Том. 1. Калифорнийский технологический институт. ISBN 978-0201500646. Проверено 30 сентября 2021 г.
68. Мартин, Андре (1986), «Электронно-лучевые трубки для промышленного и военного применения», в Хоукс, Питер (ред.), « Достижения в электронике и электронной физике», том 67 , Academic Press, стр. 183, ISBN 978-0080577333, Доказательства существования «катодных лучей» впервые были найдены Плюкером и Хитторфом...
69. Даль, Пер Ф. (1997). Вспышка катодных лучей: история электрона Дж. Дж. Томсона. ЦРК Пресс. стр. 47–57. ISBN 978-0-7503-0453-5.
70. Мехра, Дж .; Рехенберг, Х. (1982). Историческое развитие квантовой теории, Vol. 1: Квантовая теория Планка, Эйнштейна, Бора и Зоммерфельда. Его основание и рост трудностей (1900–1925) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387906423.
71. «Квант - определение и многое другое» . Словарь Мерриама-Вебстера. Архивировано из оригинала 26 октября 2012 года . Проверено 18 августа 2012 г.
72. Кун, Т.С. (1978). Теория черного тела и квантовый разрыв 1894–1912 гг . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0195023831.
73. Краг, Хельге (1 декабря 2000 г.). «Макс Планк: сопротивляющийся революционер». Мир физики . Проверено 12 декабря 2020 г.
74. Стэйчел, Джон (2009). «Бор и фотон». Квантовая реальность, релятивистская причинность и замыкание эпистемического круга . Серия Западного Онтарио по философии науки. Том. 73. Дордрехт: Спрингер. стр. 69–83. дои : 10.1007/978-1-4020-9107-0_5. ISBN 978-1-4020-9106-3.
75. Эйнштейн, А. (1905). «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt» [Об эвристической точке зрения на производство и преобразование света]. Аннален дер Физик . 17 (6): 132–148. Бибкод : 1905АнП...322..132Е. дои : 10.1002/andp.19053220607 .Перепечатано в Stachel, John , изд. (1989). Сборник статей Альберта Эйнштейна (на немецком языке). Том. 2. Издательство Принстонского университета. стр. 149–166.См. также «Ранние работы Эйнштейна по квантовой гипотезе», там же. стр. 134–148.
76. Эйнштейн, Альберт (1917). «Zur Quantentheorie der Strahlung» [К квантовой теории излучения]. Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 18 : 121–128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E.Переведено Эйнштейном А. (1967). «К квантовой теории излучения». Старая квантовая теория . Эльзевир. стр. 167–183. дои : 10.1016/b978-0-08-012102-4.50018-8. ISBN 978-0080121024.
77. тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Пергамон Пресс. стр. 206. ISBN. 978-0-08-012101-7.
78. «Полуклассическое приближение». Энциклопедия математики . Проверено 1 февраля 2020 г.
79. Сакурай, Джей Джей ; Наполитано, Дж. (2014). «Квантовая динамика». Современная квантовая механика . Пирсон. ISBN 978-1-292-02410-3. ОСЛК  929609283.
80. Дэвид Эдвардс, «Математические основы квантовой механики», Synthese , том 42, номер 1/сентябрь 1979 г., стр. 1–70.
81. Д. Эдвардс, «Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, Часть I: теории решетчатого поля», International J. of Theor. Физ. , Том. 20, № 7 (1981).
82. Бернштейн, Джереми (ноябрь 2005 г.). «Макс Борн и квантовая теория». Американский журнал физики . 73 (11): 999–1008. Бибкод : 2005AmJPh..73..999B. дои : 10.1119/1.2060717 . ISSN  0002-9505.
83. Паис, Авраам (1997). Повесть о двух континентах: жизнь физика в неспокойном мире . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01243-1.
84. Ван Хов, Леон (1958). «Вклад фон Неймана в квантовую механику» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 64 (3): Часть 2: 95–99. дои : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 . Архивировано (PDF) из оригинала 20 января 2024 г.
85. Фейнман, Ричард . «Лекции Фейнмана по физике, том III, глава 21: Уравнение Шредингера в классическом контексте: семинар по сверхпроводимости, 21-4». Калифорнийский технологический институт . Архивировано из оригинала 15 декабря 2016 года . Проверено 24 ноября 2015 г. ... долгое время считалось, что волновая функция уравнения Шредингера никогда не будет иметь макроскопического представления, аналогичного макроскопическому представлению амплитуды фотонов. С другой стороны, сейчас стало понятно, что явления сверхпроводимости представляют нам именно такую ​​ситуацию.
86. Паккард, Ричард (2006). «Эксперименты Беркли по сверхтекучим макроскопическим квантовым эффектам» (PDF) . Физический факультет Калифорнийского университета в Беркли. Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2015 года . Проверено 24 ноября 2015 г.

дальнейшее чтение

Следующие книги, написанные работающими физиками, представляют собой попытку донести квантовую теорию до непрофессионалов, используя минимум технического оборудования.

• Честер, Марвин (1987). Букварь квантовой механики . Джон Уайли. ISBN 0-486-42878-8 
• Кокс, Брайан ; Форшоу, Джефф (2011). Квантовая Вселенная: все, что может случиться, случается . Аллен Лейн. ISBN 978-1-84614-432-5.
• Ричард Фейнман , 1985. QED: Странная теория света и материи , Princeton University Press. ISBN 0-691-08388-6 . Четыре элементарные лекции по квантовой электродинамике и квантовой теории поля , содержащие множество идей для специалиста. 
• Жирарди, ДжанКарло , 2004. Взглянув украдкой на карты Бога , Джеральд Малсбари, пер. Принстонский университет. Нажимать. Самая техническая из цитируемых здесь работ. Отрывки, в которых используются алгебра , тригонометрия и обозначения скобок, можно пропустить при первом чтении.
• Н. Дэвид Мермин , 1990, «Жуткие действия на расстоянии: тайны QT» в его книге « Boojums All the Way Through ». Издательство Кембриджского университета: 110–76.
• Виктор Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Буффало, Нью-Йорк: Книги Прометея. Глава. 5–8. Включает космологические и философские соображения.

Более технический:

• Бернштейн, Джереми (2009). Квантовые скачки. Кембридж, Массачусетс: Belknap Press издательства Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03541-6.
• Бом, Дэвид (1989). Квантовая теория . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-65969-5.
• Бинни, Джеймс ; Скиннер, Дэвид (2008). Физика квантовой механики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-968857-9.
• Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-87373-0.
• Брайс ДеВитт , Р. Нил Грэм, редакторы, 1973. Многомировая интерпретация квантовой механики , Принстонская серия по физике, Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08131-X 
• Эверетт, Хью (1957). «Формулировка относительного состояния квантовой механики». Обзоры современной физики . 29 (3): 454–462. Бибкод : 1957RvMP...29..454E. doi : 10.1103/RevModPhys.29.454. S2CID  17178479.
• Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1965). Фейнмановские лекции по физике . Том. 1–3. Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-7382-0008-8.
• Д. Гринбергер , К. Хентшель , Ф. Вайнерт, ред., 2009. Сборник квантовой физики, Концепции, эксперименты, история и философия , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-111892-8. ОСЛК  40251748.Стандартный студенческий текст.
• Макс Джаммер , 1966. Концептуальное развитие квантовой механики . МакГроу Хилл.
• Хаген Кляйнерт , 2004. Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 3-е изд. Сингапур: World Scientific. Черновик 4-го издания. Архивировано 15 июня 2008 г. в Wayback Machine.
• Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1.Онлайн-копия
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Гюнтер Людвиг, 1968. Волновая механика . Лондон: Пергамон Пресс. ISBN 0-08-203204-1 
• Джордж Макки (2004). Математические основы квантовой механики . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43517-2 . 
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика . ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 978-0-471-88702-7.
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. См. глава IV, раздел III. В сети
• Омнес, Роланд (1999). Понимание квантовой механики. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00435-8. ОСЛК  39849482.
• Скерри, Эрик Р. , 2006. Периодическая таблица : ее история и значение . Издательство Оксфордского университета. Рассматривает степень, в которой химия и периодическая система сведены к квантовой механике. ISBN 0-19-530573-6 
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики . Спрингер. ISBN 978-0-306-44790-7.
• Стоун, А. Дуглас (2013). Эйнштейн и квант . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13968-5.
• Транснациональный колледж Лекса (1996). Что такое квантовая механика? Физическое приключение . Фонд языковых исследований, Бостон. ISBN 978-0-9643504-1-0. ОСЛК  34661512.
• Велтман, Мартинус Дж. Г. (2003), Факты и загадки физики элементарных частиц .

В Викибуках

• Этот квантовый мир

Внешние ссылки

• Дж. О'Коннор и Э.Ф. Робертсон: История квантовой механики.
• Введение в квантовую теорию в Quantiki.
• Квантовая физика стала относительно простой: три видеолекции Ганса Бете

Материал курса

• Квантовая кулинарная книга и PHYS 201: Основы физики II, Рамамурти Шанкар , Йельский университет OpenCourseware
• Современная физика: с волнами, термодинамикой и оптикой – онлайн-учебник.
• MIT OpenCourseWare : химия и физика. См. 8.04, 8.05 и 8.06.
• 5½ примеров из квантовой механики
• Курс квантовой механики Имперского колледжа.

Философия

• Исмаэль, Дженанн. "Квантовая механика". В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Крипс, Генри. «Измерение в квантовой теории». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .