5-клеточный

Четырехмерный аналог тетраэдра

3D-проекция 5-клеточного элемента, выполняющего простое вращение.

Сетка из пяти тетраэдров (один скрыт)

В геометрии 5 -ячейка — это выпуклый 4-многогранник с символом Шлефли {3,3,3}. Это 5-вершинный четырехмерный объект, ограниченный пятью тетраэдрическими ячейками. ^[a] Он также известен как C ₅ , пентахорон , ^[1] пентатоп , пентаэдроид , ^[2] или тетраэдрическая пирамида . Это 4- симплекс (многогранник Кокстера ), ^[3] простейший из возможных выпуклых 4-многогранников, аналогичный тетраэдру в трех измерениях и треугольнику в двух измерениях. 5-ячеечная представляет собой 4-мерную пирамиду с четырехгранным основанием и четырьмя тетраэдрическими сторонами. ${\displaystyle \alpha _{4}}$

Правильная 5-ячейка ограничена пятью правильными тетраэдрами и является одним из шести правильных выпуклых 4-многогранников (четырехмерных аналогов Платоновых тел ). Правильную 5-ячейку можно построить из правильного тетраэдра, добавив пятую вершину, отстоящую на одно ребро от всех вершин тетраэдра. Это невозможно сделать в трехмерном пространстве. Обычная 5-ячеечная клетка — это решение проблемы: сделайте 10 равносторонних треугольников одинакового размера, используя 10 спичек, где каждая сторона каждого треугольника представляет собой ровно одну спичку, и ни один из треугольников и спичек не пересекается друг с другом. В трех измерениях решения не существует.

Альтернативные названия

• Пентахорон (5-точечный 4-многогранник)
• Гипертетраэдр (4-мерный аналог тетраэдра )
• 4-симплекс (4-мерный симплекс )
• Тетраэдрическая пирамида (4-мерная гиперпирамида с тетраэдрическим основанием)
• Пентатоп
• Пентаэдроид (Генри Паркер Мэннинг)
• Ручка (Джонатан Бауэрс: для пентахорона) ^[4]

Геометрия

5-ячейка — это 4-мерный симплекс , простейший возможный 4-многогранник . По существу, он является первым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). ^[б]

5-ячейка образована любыми пятью точками, не все из которых находятся в одной гиперплоскости (как тетраэдр образован любыми четырьмя точками, не все из которых находятся в одной плоскости, а треугольник образован любыми тремя точками, не все из которых находятся в одной плоскости). в той же строке). Любые такие пять точек составляют 5-ячейку, хотя обычно это не обычная 5-ячейка. Правильный 5-клеточный не встречается ни в одном из других правильных выпуклых 4-клеток, кроме одного: 120- клеточный с 600 вершинами представляет собой соединение 120 правильных 5-клеточных. ^[с]

Состав

Когда сеть из пяти тетраэдров складывается в 4-мерном пространстве так, что каждый тетраэдр связан гранями с четырьмя другими, в результате получается 5-ячейка, имеющая в общей сложности 5 вершин, 10 ребер и 10 граней. В каждой вершине сходятся четыре ребра, а на каждом ребре встречаются три тетраэдрические ячейки.

5-ячейка самодвойственна (как и все симплексы ), а ее вершинная фигура — тетраэдр . ^[e] Максимальное пересечение ее с трехмерным пространством — это треугольная призма . Его двугранный угол равен cos ⁻¹ (1/4), или примерно 75,52°.

Выпуклая оболочка двух 5-клеток в двойной конфигурации представляет собой дисфеноидальную 30-клетку , двойственную усеченной 5-клетке .

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-ячеечную структуру. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всей 5-клетке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного многогранника идентична его повороту на 180 градусов. ^[7] k -грани можно читать как строки слева от диагонали, а k -цифры читаются как строки после диагонали . ^[8]

Вращательно-симметричная пятикомпонентная диаграмма Венна Грюнбаума, 1975 г.

Все эти элементы 5-клетки перечислены в пятиточечной диаграмме Венна Бранко Грюнбаума , которая буквально является иллюстрацией правильной 5-клетки в проекции на плоскость.

Координаты

Простейший набор декартовых координат : (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (φ ,φ,φ,φ), с длиной ребра 2 √ 2 , где φ — золотое сечение . ^[9] Хотя эти координаты не центрированы по началу координат, вычитание из каждой переводит центр описанной окружности 4-многогранника в начало координат с радиусом со следующими координатами: ${\displaystyle (1,1,1,1)/(2-{\tfrac {1}{\varphi }})}$ ${\displaystyle 2(\varphi -1/(2-{\tfrac {1}{\varphi }}))={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\varphi }}-3,1,1,1\right)/({\tfrac {1}{\varphi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,{\tfrac {2}{\varphi }}-3,1,1\right)/({\tfrac {1}{\varphi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,{\tfrac {2}{\varphi }}-3,1\right)/({\tfrac {1}{\varphi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\varphi }}-3\right)/({\tfrac {1}{\varphi }}-2)}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\varphi }},{\tfrac {2}{\varphi }},{\tfrac {2}{\varphi }},{\tfrac {2}{\varphi }}\right)/({\tfrac {1}{\varphi }}-2)}$

Следующий набор координат с центром в начале координат и тем же радиусом и длиной ребра, что и выше, можно рассматривать как гиперпирамиду с правильным тетраэдрическим основанием в трехмерном пространстве:

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

Масштабирование этих или предыдущего набора координат с помощью дает регулярные 5 ячеек с единичным радиусом , центрированными в начале координат, и длинами ребер . Гиперпирамида имеет координаты: ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(0,0,0,1\right)}$

Координаты вершин другой правильной 5-ячейки с центром в начале координат с длиной ребра 2 и радиусом : ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

Масштабирование их до единичного радиуса и длины ребра дает: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left(-1,0,0,0\right)}$

Вершины 4-симплекса (с ребром √ 2 и радиусом 1) проще построить на гиперплоскости в 5-пространстве как (отдельные) перестановки (0,0,0,0,1) или (0, 1,1,1,1); в этих позициях это грань соответственно 5-ортоплекса или выпрямленного пентеракта .

Геодезические и вращения

Пятиклетка имеет только центральные плоскости двуугольников, проходящие через вершины. Он имеет 10 центральных плоскостей двуугольников, где каждая пара вершин является ребром, а не осью 5-ячейки. ^[d] Каждая двуугольная плоскость ортогональна трем другим, но полностью не ортогональна ни одной из них. ^[g] Характерное изоклиническое вращение 5-клеточной ячейки имеет в качестве пар инвариантных плоскостей эти 10 двуугольных плоскостей и их полностью ортогональные центральные плоскости, которые представляют собой 0-угольные плоскости, не пересекающие никакие 5-клеточные вершины.

Существует ровно три различных способа обойти 5 -клетку через все 5 вершин вдоль 5 ребер, ^[e] поэтому существует три дискретных расслоения Хопфа больших двуугольников 5-клетки. Каждое из трех расслоений соответствует отдельной паре изоклинических вращений влево-вправо, каждое из которых вращает все 5 вершин в контуре периода 5. 5-ячейка имеет только три различные изоклины периода 5 (эти окружности, проходящие через все 5 вершин), каждая из которых действует как единственная изоклина правого вращения и единственная изоклина левого вращения в двух разных расслоениях, а также как многоугольник Петри 5-клетки в третьем слоении. ^[ф]

Спираль Бурдейка – Кокстера

5-ячейку можно построить как спираль Бурдейка – Кокстера из пяти цепных тетраэдров, свернутых в 4-мерное кольцо. ^[10] 10 граней треугольников можно увидеть в двумерной сети внутри треугольной мозаики с 6 треугольниками вокруг каждой вершины, хотя сворачивание в 4 измерения приводит к совпадению ребер. Пурпурные края образуют правильный пятиугольник , который является многоугольником Петри 5-клеточного элемента. Синие края соединяют каждую вторую вершину, образуя пентаграмму , которая представляет собой многоугольник Клиффорда из 5 ячеек. Синие края пентаграммы — это хорды изоклины 5-клеток , круговой путь вращения ее вершин во время изоклинического вращения , также известного как смещение Клиффорда . ^[час]

Прогнозы

Плоскость Кокстера А ₄ проецирует 5-клеточную структуру в правильный пятиугольник и пентаграмму . Проекция 5-клетки на плоскость А _{3 Кокстера представляет собой проекцию} квадратной пирамиды . Проекция правильной пятиклеточной ячейки на плоскость А _{2 Кокстера представляет собой проекцию} треугольной бипирамиды (два тетраэдра, соединенных лицом к лицу) с двумя противоположными вершинами, расположенными по центру.

Каркас стереографической проекции (край проецируется на трехмерную сферу )

Неправильные 5-клеточные

В случае симплексов , таких как 5-клеточный, некоторые неправильные формы в некотором смысле более фундаментальны, чем правильная форма. Хотя обычные 5-клетки не могут заполнить 4-мерное пространство или правильные 4-многогранники, существуют неправильные 5-клетки, которые это делают. Эти характеристические 5-ячейки являются фундаментальными областями различных групп симметрии , которые порождают различные 4-многогранники.

Ортосхемы

4-ортосхема — это 5-ячеечная структура, все 10 граней которой представляют собой прямоугольные треугольники . ^[а] Ортосхема — это неправильный симплекс , который представляет собой выпуклую оболочку дерева , в котором все ребра взаимно перпендикулярны. ^[i] В 4-мерной ортосхеме дерево состоит из четырех перпендикулярных ребер, соединяющих все пять вершин линейного пути, который делает три поворота под прямым углом. Элементы ортосхемы также являются ортосхемами (так же, как элементы правильного симплекса также являются правильными симплексами). Каждая тетраэдрическая ячейка 4-ортосхемы является 3-ортосхемой , а каждая треугольная грань — 2-ортосхемой (прямоугольный треугольник).

Ортосхемы являются характеристическими симплексами правильных многогранников, поскольку каждый правильный многогранник порождается отражениями в ограничивающих гранях его конкретной характеристической ортосхемы. ^[11] Например, частным случаем 4-ортосхемы с перпендикулярными ребрами одинаковой длины является характеристическая ортосхема 4-куба (также называемая тессерактом или 8-клеткой ), 4-мерный аналог 3-мерного куба. куб. Если три перпендикулярных ребра 4-ортосхемы имеют единичную длину, то все ее ребра имеют длину √ 1 , √ 2 , √ 3 или √ 4 , что в точности соответствует длине хорды единичного 4-куба (длины Ребра 4-куба и его различные диагонали). Следовательно, эта 4-ортосхема вписывается в 4-куб, и 4-куб (как и любой правильный выпуклый многогранник) можно разобрать на экземпляры его характеристической ортосхемы .

3-куб, разбитый на шесть 3-ортосхем . Трое левши и трое правши. На каждой квадратной грани встречаются левая и правая стороны.

3-ортосхему легко проиллюстрировать, а вот 4-ортосхему визуализировать труднее. 4-ортосхема – это тетраэдрическая пирамида , в основании которой находится 3-ортосхема. У нее на четыре ребра больше, чем у 3-ортосхемы, соединяющей четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 5-клетки). Выберите любую из трех ортосхем из шести, показанных на иллюстрации трех кубов. Обратите внимание, что он касается четырех из восьми вершин куба, и эти четыре вершины соединены трехреберным путем, который делает два поворота под прямым углом. Представьте себе, что эта 3-ортосхема является основанием 4-ортосхемы, так что из каждой из этих четырех вершин невидимое ребро 4-ортосхемы соединяется с пятой вершиной вершины (которая находится вне 3-куба и не появляется в кубе). иллюстрация вообще). Хотя все четыре дополнительных ребра достигают одной и той же вершины, все они будут иметь разную длину. Первый из них, на одном конце ортогонального пути с 3 ребрами, расширяет этот путь четвертым ортогональным √ 1 ребром, делая третий поворот на 90 градусов и достигая перпендикулярно четвертому измерению к вершине. Второе из четырех дополнительных ребер представляет собой диагональ √ 2 грани куба (не иллюстрированного 3-куба, а другого из восьми 3-кубов тессеракта). ^[j] Третье дополнительное ребро представляет собой диагональ √ 3 3-куба (опять же, не исходного иллюстрированного 3-куба). Четвертое дополнительное ребро (на другом конце ортогонального пути) представляет собой длинный диаметр самого тессеракта длиной √ 4 . Он проходит через точный центр тессеракта к антиподальной вершине (вершине противоположного трехмерного куба), которая является вершиной. Таким образом, характеристическая 5-ячейка 4-куба имеет четыре √ 1 ребра, три √ 2 ребра, два √ 3 ребра и одно √ 4 ребра.

4-кубможно разбить на 24 таких 4-ортосхемы. восемью различными способами, с шестью 4-ортосхемами, окружающими каждый из четырех ортогональных √ 4 диаметров тессеракта. 4-куб также можно разделить на 384 меньших экземпляра той же самой характеристической 4-ортосхемы, только в одну сторону, с помощью всех его гиперплоскостей симметрии одновременно, которые делят его на 384 4-ортосхемы, которые все встречаются в центре 4-ортосхемы. -куб. ^[к]

В более общем смысле любой правильный многогранник можно разбить на g экземпляров его характеристической ортосхемы, которые все встречаются в центре правильного многогранника. ^[12] Число g — это порядок многогранника, количество отраженных экземпляров его характерной ортосхемы, составляющих многогранник, когда один экземпляр ортосхемы с зеркальной поверхностью отражается в своих собственных гранях. ^[1] В более общем смысле характеристические симплексы способны заполнять однородные многогранники, поскольку они обладают всеми необходимыми элементами многогранника. Они также обладают всеми необходимыми углами между элементами (от 90 градусов и ниже). Характерные симплексы представляют собой генетические коды многогранников: подобно швейцарскому армейскому ножу , они содержат все необходимое для построения многогранника путем репликации.

Каждый правильный многогранник, в том числе правильный 5-клеточный, имеет свою характерную ортосхему. ^[m] Существует 4-ортосхема, которая является характерной 5-клеточной схемой обычной 5-клеточной . Это тетраэдрическая пирамида , основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Обычный 5-клеточныйможно разделить на 120 экземпляров этой характерной 4-ортосхемы.только одним способом, всеми гиперплоскостями симметрии одновременно, которые делят его на 120 4-ортосхем, которые все встречаются в центре обычной 5-клетки. ^[н]

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) правильной 5-клетки имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), которые соединяют четыре вершины основания с его вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы). ортосхема, в центре правильной 5-клеточной). ^[p] Если правильная 5-ячейка имеет единичный радиус и длину ребра 𝒍 = , то десять ребер ее характерной 5-клетки имеют длины , , вокруг ее внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[o] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характеристический тетраэдр, являющиеся характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс , , , (ребра, являющиеся характеристическими радиусами правильного 5-клеточного ). Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , , , сначала от правильной 5-клеточной вершины до центра регулярного 5-клеточного ребра, затем поворот на 90° к центру регулярной 5-клеточной грани, затем поворот на 90° к правильному 5-клеточному тетраэдрическому клеточному центру, затем поворачиваясь на 90 ° к обычному 5-клеточному центру. ^[д] ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{25}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{50}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{43}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{100}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{100}}}}$

Изометрии

Существует множество форм более низкой симметрии 5-клеточной ячейки, в том числе те, которые встречаются в виде однородных вершинных фигур многогранника :

Тетраэдральная пирамида — это частный случай 5-клеточной многогранной пирамиды , построенной как основание правильного тетраэдра в гиперплоскости трехмерного пространства и вершина над гиперплоскостью. Четыре стороны пирамиды состоят из треугольных пирамидальных ячеек.

Многие однородные 5-многогранники имеют вершинные фигуры тетраэдрических пирамид с символами Шлефли ( )∨{3,3}.

Другие однородные 5-многогранники имеют неправильные 5-клеточные вершинные фигуры. Симметрия вершинной фигуры однородного многогранника выражается удалением окольцованных узлов диаграммы Коксетера.

Сложный

Соединение двух 5-ячеек в двойной конфигурации можно увидеть на этой проекции плоскости Кокстера A5 с красными и синими 5-ячеечными вершинами и краями. Это соединение имеет симметрию [[3,3,3]] порядка 240. Пересечение этих двух 5-ячеек представляет собой однородную усеченную 5-ячейку ."="∩.

Это соединение можно рассматривать как четырехмерный аналог двумерной гексаграммы {6/2} и 3D соединение двух тетраэдров .

Связанные многогранники и соты

Пентахорон (5-клеточный) — простейшая из 9 однородных полихор, построенных из группы [3,3,3] Кокстера .

Это последовательность {p,3,3} правильной полихоры с тетраэдрической вершинной фигурой : тессеракт {4,3,3} и 120 ячеек {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства и гексагональное замощение сот {6,3,3} гиперболического пространства. ^[э]

Это один из трех правильных 4-многогранников {3,3,p} с тетраэдрическими ячейками, а также 16-ячеечный {3,3,4} и 600-ячеечный {3,3,5}. Тетраэдрические соты 6-го порядка { 3,3,6} гиперболического пространства также имеют тетраэдрические ячейки.

Он самодуален, как и 24-клеточный {3,4,3}, имеющий палиндромный символ Шлефли {3,p,3} .

Примечания

1. 5 вершин 5-ячейки образуют 5 тетраэдрических ячеек, соединенных гранями друг с другом, всего с 10 ребрами и 10 треугольными гранями.
2. Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше контента ^[5] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 5-ячеечный является 4-точечным многогранником с 5 точками: сначала в возрастающей последовательности, ведущей к 4-точечному многограннику с 600 точками.
3. Правильная 120-ячеечная имеет изогнутую трехмерную граничную поверхность, состоящую из 120 правильных ячеек додекаэдра. В него также вписано 120 непересекающихся правильных 5-клеток. ^[6] Это не трехмерные ячейки, а четырехмерные объекты, которые имеют общую центральную точку из 120 ячеек и в совокупности охватывают все 600 ее вершин.
4. В многограннике с тетраэдрической вершинной фигурой ^[e] геодезический путь вдоль ребер не лежит на обычном большом круге в одной центральной плоскости: каждое последующее ребро лежит в другой центральной плоскости, чем предыдущее ребро. Тем не менее, многоугольник Клиффорда с реберной траекторией представляет собой набор косых хорд истинного геодезического большого круга, проходящего через четыре измерения, а не только через два измерения: но это не обычный «плоский» большой круг окружности 2𝝅𝑟, это изоклина . ^[ф]
5. Диаграмма Шлегеля 5-клетки (вверху этой статьи) иллюстрирует ее тетраэдрическую вершинную фигуру . Шесть из 10 ребер 5-клетки являются ограничивающими рёбрами правильного тетраэдра Шлегеля. Остальные четыре ребра сходятся в пятой вершине, в центре объема тетраэдра. Рассмотрим любой круговой геодезический (кратчайший) путь вдоль ребер. Достигнув этой пятой «центральной» вершины по ребру, путь должен согнуть, чтобы следовать за другим ребром, исходящим из вершины, и есть выбор из трех таких исходящих ребер (три «направления», в которых нужно сгибаться). В 5-клетке есть ровно три различных пятиугольных геодезических круга, каждый из которых соответствует одинаковому выбору во всех 5 вершинах круга. Эти три геодезических косых пятиугольника представляют собой три отдельных многоугольника Петри из 5 ячеек . Каждый из них представляет собой отдельную последовательность из 5 из 10 ребер, и таких различных последовательностей только три. ^[д]
6. 5-клеточный (4-симплекс) уникален среди правильных 4-многогранников тем, что его хорды изоклины ^[h] являются его собственными ребрами. В других правильных 4-многогранниках хорда изоклины представляет собой более длинное ребро другого вписанного правильного многогранника. Другой аспект этой уникальности заключается в том, что изоклинальный многоугольник Клиффорда из 5 ячеек (косая пентаграмма) и ее зигзагообразный многоугольник Петри (косой пятиугольник) представляют собой один и тот же объект; в остальных правильных 4-многогранниках они совсем другие.
7. Каждое ребро пересекает 6 других (по 3 на каждом конце) и не пересекается с 3 другими, которым оно ортогонально, как ребро тетраэдра его противоположному ребру.
8. Каждая хорда изоклины (синий край пентаграммы) проходит от одной из 5 вершин через внутренний объем одной из 5 тетраэдрических ячеек, через треугольную грань ячейки, противоположную вершине, а затем прямо через объем соседней ячейки. который разделяет грань, до вершины, противоположной грани. Хорда изоклины — это прямая линия между двумя вершинами, проходящая через объем двух ячеек. Как вы можете видеть на иллюстрации, синяя хорда изоклины проходит не через точный центр общей грани, а через точку, расположенную ближе к вершине одной грани. На самом деле в 5-ячейке есть три разные пентаграммы изоклин, одна из которых на иллюстрации изображена как синяя пентаграмма. Каждая из этих трех пентаграмм Клиффорда представляет собой различную круговую последовательность 5 из 10 ребер 5-клетки. ^[e] Все 10 ребер присутствуют в каждой из 5 ячеек тетраэдра: каждая ячейка ограничена 6 из 10 ребер, а остальные 4 из 10 ребер проходят через ее объем как хорды изоклины, от ее 4 вершин и через их 4 противоположных лица. ^[ф]
9. Прямоугольный треугольник — это двумерная ортосхема; ортосхемы — это обобщение прямоугольных треугольников на n измерений. Трехмерная ортосхема представляет собой тетраэдр с четырьмя прямоугольными гранями (не обязательно одинаковыми).
10. 4-куб (тессеракт) содержит восемь 3-кубов (поэтому его еще называют 8-клеточным). Каждый 3-куб связан гранями с шестью другими (которые полностью окружают его), но полностью отделен от другого 3-куба, который лежит напротив и параллельно ему на другой стороне 8-клетки.
11. Расчленение 4-куба на 384 4-ортосхемы представляет собой 16 расчленений на 24 4-ортосхемы. Сначала каждое ребро 4-куба делится на 2 меньших ребра, поэтому каждая квадратная грань делится на 4 меньших квадрата, каждая кубическая ячейка делится на 8 меньших кубиков, а весь 4-куб делится на 16 меньших 4-кубов. Затем каждый меньший 4-куб делится на 24 4-ортосхемы, которые встречаются в центре исходного 4-куба.
12. Для правильного k -многогранника диаграмма Кокстера-Дынкина характеристической k- ортосхемы представляет собой диаграмму k -многогранника без кольца образующих точек . Правильный k- многогранник подразделяется по его ( k -1)-элементам симметрии на g экземпляров его характеристической k -ортосхемы, окружающей его центр, где g — порядок группы симметрии k -многогранника . ^[13]
13. Правильный многогранник размерности k имеет характеристическую k -ортосхему, а также характеристическую ( k -1)-ортосхему. Правильный 4-многогранник имеет характерную 5-ячейку (4-ортосхему), на которую он подразделяется своими (3-мерными) гиперплоскостями симметрии, а также характерный тетраэдр (3-ортосхема), на который подразделяется его поверхность (2-мерные) плоскости симметрии ячеек. После разделения его (3-мерной) поверхности на характеристические тетраэдры, окружающие центр каждой ячейки, его (4-мерную) внутреннюю часть можно разделить на характерные 5-ячейки путем добавления радиусов, соединяющих вершины характеристических тетраэдров поверхности с центром 4-мерного многогранника. ^[14] Образованные таким образом внутренние тетраэдры и треугольники также будут ортосхемами.
14. 120 конгруэнтных ^[15] 4-ортосхем правильной 5-клетки встречаются в двух зеркальных формах, по 60 в каждой. Каждая 4-ортосхема связана с 4 другими клетками противоположной хиральности (4 из 5 тетраэдрических ячеек, лежащих внутри правильной 5-клетки). Если 60 левых 4-ортосхем окрашены в красный цвет, а 60 правых 4-ортосхем окрашены в черный цвет, то каждая красная 5-клетка окружена 4 черными 5-клетками, и наоборот, в четырехмерном узоре, аналогичном шахматная доска (если вместо квадратов на шахматной доске были треугольники).
15. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
16. Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, грань радиус центра и радиус центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну вершину правильного 4-многогранника, один центр ребра правильного 4-многогранника, один центр грани правильного 4-многогранника, один центр ячейки правильного 4-многогранника и центр правильного 4-многогранника. Эти пять вершин (именно в таком порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (что делает три поворота под прямым углом), что является характерной особенностью 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять различных граней 3-ортосхемы.
17. Если радиус и длина ребра обычной 5-клетки 𝒍 = 1, то десять ребер ее характеристической 5-клетки имеют длины , , (внешняя грань прямоугольного треугольника, характеристический треугольник ), плюс , , (остальные три ребра внешнего треугольника 3-ортосхема ограняет характеристический тетраэдр ), плюс , , , (ребра, являющиеся характерными радиусами правильной 5-ячейки). ^[16] Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{5}}}\approx 0.632}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}{=}0.5}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}\approx 0.612}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{8}}}\approx 0.354}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{24}}}\approx 0.204}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{10}}}\approx 0.632}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}\approx 0.387}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{8.6}}}\approx 0.341}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{40}}}\approx 0.158}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{24}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{40}}}}$

Цитаты

1. Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр.249
2. Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
3. Коксетер 1973, с. 120, §7.2. см . рисунок Рис. 7.2 A.
4. Категория 1: Обычная полихора.
5. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
6. Коксетер 1973, с. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
7. Коксетер 1973, с. 12, §1.8. Конфигурации.
8. «Пучка».
9. Коксетер 1991, с. 30, §4.2. Кристаллографические правильные многогранники.
10. Банчофф 2013.
11. Coxeter 1973, стр. 198–202, §11.7 Правильные фигуры и их усечения.
12. Kim & Rote 2016, стр. 17–20, §10 Классификация Кокстера четырехмерных точечных групп.
13. Coxeter 1973, стр. 130–133, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника.
14. Коксетер 1973, с. 130, §7.6; «симплициальное подразделение».
15. Коксетер 1973, §3.1 Конгруэнтные преобразования.
16. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); «5-клеточный, 𝛼 ₄ ».
17. Коксетер 1973, с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.
18. Коксетер 1973, с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».

Рекомендации

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
• ХСМ Коксетер :
  • Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
    • п. 120, §7.2. см. рисунок Рис. 7.2 A
    • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 ) 
• Равномерные многогранники Нормана Джонсона , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентатоп». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o3o3o - перо».
• Der 5-Zeller (5-клеточные) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• Джонатан Бауэрс, Регулярная полихора
• Java3D-апплеты
• пирохорон