stringtranslate.com

Тесселяция

Мозаика или мозаика — это покрытие поверхности , часто плоскости , с использованием одной или нескольких геометрических фигур , называемых плитками , без перекрытий и зазоров. В математике тесселяцию можно обобщить на более высокие измерения и различные геометрии.

Периодическая мозаика имеет повторяющийся узор. Некоторые специальные виды включают в себя регулярные плитки с правильными многоугольными плитками одинаковой формы и полуправильные плитки с правильными плитками более чем одной формы и с одинаковым расположением всех углов. Узоры, образованные периодическими плитками, можно разделить на 17 групп обоев . Мозаика, в которой отсутствует повторяющийся узор, называется «непериодической». Апериодическая мозаика использует небольшой набор фигур плитки, которые не могут образовывать повторяющийся узор ( апериодический набор прототипов ). Мозаика пространства , также известная как заполнение пространства или соты, может быть определена в геометрии более высоких измерений.

Настоящая физическая мозаика — это плитка, сделанная из таких материалов, как склеенные керамические квадраты или шестиугольники. Такая плитка может представлять собой декоративные узоры или выполнять такие функции, как создание прочного и водостойкого покрытия для тротуаров , полов или стен. Исторически мозаика использовалась в Древнем Риме и в исламском искусстве, например, в марокканской архитектуре и декоративной геометрической плитке дворца Альгамбра . В двадцатом веке работы М. К. Эшера часто использовали мозаику, как в обычной евклидовой геометрии , так и в гиперболической геометрии , для художественного эффекта. Мозаика иногда используется для декоративного эффекта при выстегивании . Тесселяции образуют класс узоров в природе , например, в массивах шестиугольных ячеек , встречающихся в сотах .

История

Храмовая мозаика из древнего шумерского города Урук IV (3400–3100 до н. э.), демонстрирующая мозаичный узор цветных плиток.

Мозаику использовали шумеры ( около 4000 г. до н. э.) при отделке стен зданий, образованных узорами глиняных плиток. [1]

Декоративные мозаичные плитки, сделанные из небольших квадратных блоков, называемых тессерами, широко использовались в классической античности [2] , иногда демонстрируя геометрические узоры. [3] [4]

В 1619 году Иоганн Кеплер провел первое документально подтвержденное исследование мозаики. Он писал о правильных и полуправильных мозаиках в своей книге « Harmonices Mundi» ; возможно, он был первым, кто исследовал и объяснил шестиугольную структуру сот и снежинок . [5] [6] [7]

Римская геометрическая мозаика

Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждое периодическое замощение плоскости содержит одну из семнадцати различных групп изометрий. [8] [9] Работа Федорова положила неофициальное начало математическому изучению мозаики. Среди других выдающихся авторов — Алексей Васильевич Шубников и Николай Белов в своей книге «Цветная симметрия» (1964), [10] и Генрих Хиш и Отто Кинцле (1963). [11]

Этимология

На латыни тесселла — это небольшой кубический кусок глины , камня или стекла, используемый для изготовления мозаики. [12] Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от tessera — квадрат, что, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα, означающего четыре ). Это соответствует повседневному термину «черепица» , который относится к применению мозаики, часто выполненной из глазурованной глины.

Обзор

Ромбитри -шестиугольная плитка : плиточный пол в Археологическом музее Севильи , Испания, с использованием квадратных, треугольных и шестиугольных прототипов.

Тесселяция в двух измерениях, также называемая плоской мозаикой, — это раздел геометрии, изучающий, как фигуры, известные как плитки , могут быть расположены так, чтобы заполнить плоскость без каких-либо зазоров, в соответствии с заданным набором правил. Эти правила могут быть разнообразными. Общие из них заключаются в том, что между плитками не должно быть зазоров и ни один угол одной плитки не может лежать на краю другой. [13] Мозаика, созданная склеенной кирпичной кладкой, не подчиняется этому правилу. Среди тех, которые это делают, правильная тесселяция имеет как одинаковые [a] правильные плитки, так и одинаковые правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между соседними краями для каждой плитки. [14] Есть только три формы, которые могут образовывать такие правильные мозаики: равносторонний треугольник , квадрат и правильный шестиугольник . Любую из этих трех фигур можно дублировать бесконечно, чтобы заполнить плоскость без пробелов. [6]

Многие другие типы тесселяции возможны при различных ограничениях. Например, существует восемь типов полуправильной мозаики, состоящей из более чем одного вида правильных многоугольников, но имеющих одинаковое расположение многоугольников в каждом углу. [15] Неправильные мозаики также могут быть составлены из других фигур, таких как пятиугольники , полимино и практически любые геометрические фигуры. Художник М. К. Эшер известен созданием мозаики из неправильно переплетенных плиток в форме животных и других природных объектов. [16] Если для плиток разной формы выбраны подходящие контрастные цвета, образуются яркие узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы. [17]

Сложные и красочные мозаики зеллиг из глазурованной плитки в Альгамбре в Испании, привлекшие внимание М. К. Эшера.

Более формально, мозаика или тайлинг — это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых наборов, называемых тайлами , таких, что тайлы пересекаются только на своих границах . Эти плитки могут быть многоугольниками или любой другой формой. [b] Многие мозаики формируются из конечного числа прототипов , в которых все плитки в тесселяции конгруэнтны заданным прототипам. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототипа для создания мозаики, говорят, что форма мозаизирует или мозаику плоскости . Критерий Конвея — это достаточный, но не обязательный набор правил для определения того, закрывает ли данная фигура плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не соответствуют критерию, но все же закрывают плоскость. [19] Не найдено общего правила для определения того, может ли данная фигура замостить плоскость или нет, а это означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся мозаики. [18]

Математически мозаику можно распространить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. [6] Швейцарский геометр Людвиг Шлефли первым сделал это , определив многосхемы , которые математики сегодня называют многогранниками . Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах большего размера. Он далее определил обозначение символов Шлефли, чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника — {3}, а для квадрата — {4}. [20] Обозначение Шлефли позволяет компактно описывать мозаики. Например, мозаика из правильных шестиугольников имеет три шестисторонних многоугольника в каждой вершине, поэтому ее символ Шлефли — {6,3}. [21]

Существуют и другие методы описания многоугольных мозаик. Когда мозаика состоит из правильных многоугольников, наиболее распространенным обозначением является конфигурация вершин , которая представляет собой просто список количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 4 4 . Замощение правильных шестиугольников отмечено 6.6.6 или 6 3 . [18]

По математике

Введение в тесселяции

При обсуждении мозаик математики используют некоторые технические термины. Край — это пересечение двух граничащих плиток; часто это прямая линия. Вершина — это точка пересечения трех или более граничащих плиток. Используя эти термины, изогональная или вершинно-транзитивная мозаика — это мозаика, в которой каждая вершинная точка идентична; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. [18] Фундаментальная область представляет собой форму, например прямоугольник, которая повторяется, образуя мозаику. [22] Например, при регулярном замощении плоскости квадратами в каждой вершине встречаются четыре квадрата . [18]

Стороны многоугольников не обязательно совпадают с краями плиток. Мозаика от края до края — это любая многоугольная мозаика, в которой соседние плитки имеют только одну полную сторону, т. е. ни одна плитка не разделяет частичную сторону или более одной стороны с любой другой плиткой. В мозаике от края до края стороны многоугольников и края плиток одинаковы. Знакомая плитка «кирпичная стена» не имеет стыковки от края до края, поскольку длинная сторона каждого прямоугольного кирпича является общей с двумя соседними кирпичами. [18]

Нормальный тайлинг — это мозаика, для которой каждый тайл топологически эквивалентен диску , пересечение любых двух тайлов представляет собой связное множество или пустое множество , а все тайлы равномерно ограничены . Это означает, что один окружной радиус и один радиус вписывания могут использоваться для всех плиток во всей мозаике; условие не позволяет использовать плитки, которые патологически длинные или тонкие. [23]

Пример мозаики без края в край: 15-я выпуклая моноэдральная пятиугольная мозаика , открытая в 2015 году.

Моноэдральная мозаика — это мозаика, в которой все плитки конгруэнтны ; у него есть только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; мозаика Водерберга имеет единичную плитку, которая представляет собой невыпуклый восьмиугольник . [1] Плитка Хиршхорна , опубликованная Майклом Д. Хиршхорном и Д.С. Хантом в 1985 году, представляет собой мозаику пятиугольников с использованием неправильных пятиугольников: правильные пятиугольники не могут замостить евклидову плоскость как внутренний угол правильного пятиугольника, ⁠3 π/5⁠ не является делителем 2 π . [24] [25]

Изоэдральная мозаика — это особый вариант моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одной и той же протоплитки относительно группы симметрии мозаики. [23] Если прототайл допускает мозаику, но ни одна такая мозаика не является изоэдральной, то прототайл называется анизоэдральным и образует анизоэдральные мозаики .

Правильная мозаика — это высокосимметричная мозаика от края до края, состоящая из правильных многоугольников одинаковой формы. Существует только три правильных мозаики: состоящие из равносторонних треугольников , квадратов или правильных шестиугольников . Все три этих мозаики изогональны и моноэдральны. [26]

Плитка Пифагора не является мозаикой от края до края.

Полуправильная (или архимедова) мозаика использует более одного типа правильного многоугольника в изогональном расположении. Имеется восемь полуправильных мозаик (или девять, если пара зеркальных изображений считается за две). [27] Их можно описать конфигурацией их вершин ; например, полуправильная мозаика с использованием квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4,8 2 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). [28] Возможны многие мозаики евклидовой плоскости без ребра, включая семейство мозаик Пифагора , мозаики, в которых используются квадраты двух (параметризованных) размеров, каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. [29] Краевая тесселяция — это такая мозаика, при которой каждая плитка может отражаться от края, занимая позицию соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников. [30]

Группы обоев

В этом мозаичном одногранном уличном тротуаре используются изогнутые формы вместо многоугольников. Он принадлежит к группе обоев p3.

Плитки с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно разделить на группы обоев , которых существует 17. [31] Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде , Испания . Хотя это оспаривается, [32] разнообразие и сложность мозаик Альгамбры заинтересовали современных исследователей. [33] Из трех обычных плиток два находятся в группе обоев p6m , а один — в группе p4m . Двумерные плитки с трансляционной симметрией только в одном направлении можно разделить на семь групп фризов, описывающих возможные узоры фризов . [34] Обозначение орбифолда можно использовать для описания групп обоев евклидовой плоскости. [35]

Апериодические мозаики

Мозаика Пенроуза с несколькими симметриями, но без периодических повторений.

Плитки Пенроуза , в которых используются два разных четырехугольных прототипа, являются самым известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодических мозаик , в которых используются плитки, которые не могут периодически замощяться. Рекурсивный процесс замощения замен - это метод создания апериодических замощений. Одним из классов, который можно создать таким способом, является Rep-tiles ; эти мозаики обладают неожиданными самовоспроизводящимися свойствами. [36] Мозаики-вертушки непериодичны и используют конструкцию повторяющихся плиток; плитки появляются в бесконечном количестве направлений. [37] Можно было бы подумать, что непериодическая модель будет совершенно лишена симметрии, но это не так. Апериодические мозаики, хотя и лишены трансляционной симметрии , обладают симметрией других типов благодаря бесконечному повторению любого ограниченного участка мозаики и в некоторых конечных группах вращений или отражений этих участков. [38] Правило замены, например, которое можно использовать для создания шаблонов Пенроуза с использованием наборов плиток, называемых ромбами, иллюстрирует масштабную симметрию. [39] Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодической мозаики и для изучения квазикристаллов , которые представляют собой структуры с апериодическим порядком. [40]

Набор из 13 плиток Ванга , которые закрашивают плоскость только апериодически.

Плитки Вана представляют собой квадраты, окрашенные по каждому краю и расположенные так, чтобы примыкающие края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Ванга . Подходящий набор домино Ванга может замостить плоскость, но только апериодически. Это известно, потому что любую машину Тьюринга можно представить как набор домино Ванга, которые замостили плоскость тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не остановилась. Поскольку проблема остановки неразрешима, проблема определения того, сможет ли набор домино Ванга замостить плоскость, также неразрешима. [41] [42] [43] [44] [45]

Случайная мозаика Труше

Плитки Труше представляют собой квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому они не имеют вращательной симметрии ; в 1704 году Себастьен Трюше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут закрывать плоскость плиткой периодически или случайным образом. [46] [47]

Плитка Эйнштейна — это единственная форма, которая обеспечивает апериодическую мозаику. Первую такую ​​плитку, получившую название «шляпа», обнаружил в 2023 году Дэвид Смит, математик-любитель. [48] ​​[49] Открытие находится на профессиональной экспертизе и после подтверждения будет считаться решением давней математической проблемы . [50]

Тесселяции и цвет

Требуется по крайней мере семь цветов, если цвета этой мозаики должны сформировать узор, повторяя этот прямоугольник в качестве основной области ; в более общем плане необходимо как минимум четыре цвета .

Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях произвольные цвета могут быть применены позже. При обсуждении мозаики, отображаемой в цветах, во избежание двусмысленности необходимо указать, являются ли цвета частью мозаики или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, будут ли плитки одинаковой формы, но разных цветов считаться идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Теорема о четырех цветах утверждает, что для каждой мозаики нормальной евклидовой плоскости с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет так, что никакие плитки одинакового цвета не встречаются на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не учитывает симметрию мозаики. Чтобы создать такую ​​раскраску, необходимо рассматривать цвета как часть тесселяции. Здесь может потребоваться до семи цветов, как показано на изображении слева. [51]

Мозаика с полигонами

Помимо различных замощений правильными многоугольниками изучались также замощения другими многоугольниками.

Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый ) можно использовать в качестве прототипа для формирования моноэдральной мозаики, часто несколькими способами. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в середине всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта мозаика принадлежит группе обоев p2 . В качестве фундаментальной области у нас есть четырехугольник. Эквивалентно, мы можем построить параллелограмм , опирающийся на минимальный набор векторов перемещения, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет ту же площадь, что и четырёхугольник, и его можно построить путём вырезания и склеивания. [52]

Тесселяция с использованием невыпуклых 12-сторонних многоугольников в форме Техаса.

Если разрешена только одна форма плитки, существуют плитки с выпуклыми N -угольниками для N, равных 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см . Пятиугольная плитка , для N = 6 см . Шестиугольная плитка , для N = 7 , см. семиугольную мозаику , а для N = 8 см. восьмиугольную мозаику .

У невыпуклых многоугольников гораздо меньше ограничений на количество сторон, даже если разрешена только одна форма.

Полимино — это примеры плиток, которые являются либо выпуклыми, либо невыпуклыми, для которых можно использовать различные комбинации, повороты и отражения для мозаики плоскости. Результаты по мозаике плоскости полимино см . в разделе Полимино § Использование полимино .

Разбиения Вороного

Плитка Вороного , в которой ячейки всегда представляют собой выпуклые многоугольники.

Мозаики Вороного или Дирихле представляют собой мозаику, в которой каждая плитка определяется как набор точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.) [53] [54] Ячейка Вороного для каждой определяющей точки представляет собой выпуклый многоугольник. Триангуляция Делоне — это мозаика, которая является двойственным графом мозаики Вороного. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании, отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных краями. [55] Разбиения Вороного со случайно расположенными точками можно использовать для построения случайных разбиений плоскости. [56]

Тесселяции в более высоких измерениях

Мозаичное трехмерное (3-D) пространство: ромбический додекаэдр — это одно из твердых тел, которые можно складывать друг на друга, чтобы точно заполнить пространство .

Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Определенные многогранники могут быть сложены в обычный кристаллический узор, чтобы заполнить (или выложить плиткой) трехмерное пространство, включая куб ( единственный платоновский многогранник , который может это сделать), ромбдодекаэдр , усеченный октаэдр , а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы. , среди других. [57] Любой многогранник, соответствующий этому критерию, известен как плезиоэдр и может иметь от 4 до 38 граней. [58] Встречающиеся в природе ромбические додекаэдры встречаются в виде кристаллов андрадита ( разновидность граната ) и флюорита . [59] [60]

Иллюстрация бипризмы Шмитта-Конвея, также называемой плиткой Шмитта-Конвея-Данцера.

Тесселяции в трех и более измерениях называются сотами . В трех измерениях существует только одна правильная сотовая структура, в каждой вершине многогранника имеется по восемь кубов. Точно так же в трех измерениях существует только одна квазиправильная сотовая структура [c] , имеющая восемь тетраэдров и шесть октаэдров в каждой вершине многогранника. Однако существует множество возможных полуправильных сот в трех измерениях. [61] Однородные соты можно построить с помощью конструкции Витхоффа . [62]

Бипризма Шмитта -Конвея представляет собой выпуклый многогранник, обладающий свойством замощения пространства только апериодически. [63]

Треугольник Шварца — это сферический треугольник , который можно использовать для создания мозаики сферы . [64]

Тесселяции в неевклидовой геометрии

Ромбитригептагональная мозаика в гиперболической плоскости, вид в проекции модели диска Пуанкаре
Правильные {3,5,3} икосаэдрические соты , одна из четырех правильных компактных сот в гиперболическом трехмерном пространстве.

Можно выполнить мозаику в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия . Равномерное замощение на гиперболической плоскости (которое может быть правильным, квазиправильным или полуправильным) представляет собой заполнение гиперболической плоскости от края до края с правильными многоугольниками в качестве граней ; они вершинно-транзитивны ( транзитивны по своим вершинам ) и изогональны (существует изометрия , отображающая любую вершину на любую другую). [65] [66]

Однородные соты в гиперболическом пространстве — это равномерная мозаика однородных многогранных ячеек . В трехмерном (3-D) гиперболическом пространстве существует девять групповых семейств Кокстера компактных выпуклых однородных сот , порожденных как конструкции Витхоффа и представленных перестановками колец диаграмм Кокстера для каждого семейства. [67]

В искусстве

Римская мозаичная напольная панель из камня, плитки и стекла из виллы недалеко от Антиохии в римской Сирии. второй век нашей эры

В архитектуре тесселяции использовались для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаика часто имела геометрический узор. [4] Более поздние цивилизации также использовали более крупные плитки, простые или индивидуально украшенные. Одними из самых декоративных были мавританские настенные плитки исламской архитектуры с использованием плиток Гириха и Зеллиге в таких зданиях, как Альгамбра [68] и Ла-Мескита . [69]

Тесселяции часто появлялись в графике М.К. Эшера ; его вдохновило мавританское использование симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испанию в 1936 году. [70] Эшер сделал четыре рисунка « Предел круга » мозаики, в которой используется гиперболическая геометрия. [71] [72] Для своей гравюры на дереве «Предел круга IV» (1960) Эшер подготовил исследование карандашом и тушью, показывающее требуемую геометрию. [73] Эшер объяснил, что «ни один компонент всей серии, которые из бесконечно далекого расстояния поднимаются, как ракеты, перпендикулярно от предела и, наконец, теряются в нем, никогда не достигают пограничной линии». [74]

Одеяло с регулярным узором мозаики.

Мозаичные узоры часто появляются на тканях, будь то тканые, вышитые или напечатанные. Узоры тесселяции использовались для создания переплетающихся мотивов лоскутных одеял . [75] [76]

Тесселяция также является основным жанром оригами (складывания бумаги), где складки используются для повторяющегося соединения молекул, таких как складки, вместе. [77]

В производстве

Тесселяция используется в обрабатывающей промышленности для уменьшения потерь материала (потери производительности), например листового металла, при вырезании форм таких объектов, как автомобильные двери или банки для напитков . [78]

Тесселяция проявляется в растрескивании тонких пленок, напоминающем грязевые трещины [79] [80] – при этом наблюдается определенная степень самоорганизации с использованием микро- и нанотехнологий . [81]

В природе

Соты представляют собой естественную мозаичную структуру.

Соты — хорошо известный пример мозаики в природе с ее шестиугольными ячейками . [82]

В ботанике термин «мозаика» описывает клетчатый узор, например, на лепестке цветка, коре дерева или фрукте. Цветы , в том числе рябчик [83] и некоторые виды безвременника , имеют характерную мозаичную форму. [84]

Многие узоры в природе образуются из-за трещин в листах материалов. Эти шаблоны могут быть описаны мозаиками Гилберта [85] , также известными как сети случайных трещин. [86] Тесселяция Гилберта — это математическая модель образования грязевых трещин , игольчатых кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта , позволяет трещинам образовываться, начиная с хаотического разброса по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии, проходящей через точку зарождения, ее наклон выбирается случайным образом, создавая мозаику неправильных выпуклых многоугольников. [87] Потоки базальтовой лавы часто демонстрируют столбчатую трещиноватость в результате сил сжатия , вызывающих трещины по мере остывания лавы. Развивающиеся обширные сети трещин часто образуют шестиугольные столбы лавы. Одним из примеров такого массива колонн является Дорога гигантов в Северной Ирландии. [88] Мозаичное покрытие , характерный пример которого находится в районе Иглхок-Нек на полуострове Тасман в Тасмании , представляет собой редкое образование осадочных пород, в котором порода раскололась на прямоугольные блоки. [89]

Мозаичный узор в цветке безвременника

В пенопластах встречаются и другие естественные узоры ; они упакованы в соответствии с законами Плато , которые требуют минимальных поверхностей . Такие пенопласты представляют собой проблему, связанную с максимально плотной упаковкой ячеек: в 1887 году лорд Кельвин предложил упаковку, использующую только одно твердое вещество - кубические соты с усеченными кусочками и очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Вейре и Роберт Фелан предложили структуру Вейра-Фелана , которая использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина. [90]

В головоломках и развлекательной математике

Традиционная головоломка для вскрытия танграма

Тесселяции породили множество типов мозаичных головоломок : от традиционных головоломок (с кусочками дерева или картона неправильной формы) [91] и танграма [92] до более современных головоломок , которые часто имеют математическую основу. Например, полиромбы и полимино — это фигуры правильных треугольников и квадратов, часто используемые в мозаике. [93] [94] Такие авторы, как Генри Дюдени и Мартин Гарднер, неоднократно использовали тесселяцию в развлекательной математике . Например, Дьюдени изобрел шарнирное рассечение [95] , а Гарднер написал о « рептилии », форме, которую можно расчленить на более мелкие копии той же формы. [96] [97] Вдохновленная статьями Гарднера в Scientific American , математик-любитель Марджори Райс обнаружила четыре новых мозаики с пятиугольниками. [98] [99] Возведение квадрата в квадрат — это задача замощения целого квадрата (того, стороны которого имеют целую длину) с использованием только других целых квадратов. [100] [101] Расширение — это возведение плоскости в квадрат, замощение ее квадратами, размеры которых представляют собой все натуральные числа без повторений; Джеймс и Фредерик Хенле доказали, что это возможно. [102]

Примеры

Смотрите также

Пояснительные сноски

  1. ^ Математический термин для обозначения одинаковых фигур — «конгруэнтный» — в математике «идентичный» означает, что это одна и та же плитка.
  2. ^ Плитки обычно должны быть гомеоморфны (топологически эквивалентны) замкнутому диску , что означает, что причудливые формы с отверстиями, висячие отрезки линий или бесконечные области исключаются. [18]
  3. ^ В данном контексте квазирегулярность означает, что ячейки являются правильными (сплошными), а фигуры вершин полуправильными.

Рекомендации

  1. ^ аб Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Стерлинг . п. 372. ИСБН 978-1-4027-5796-9.
  2. ^ Данбабин, Кэтрин, доктор медицины (2006). Мозаики греческого и римского мира . Издательство Кембриджского университета. п. 280.
  3. ^ "Геометрическая мозаика Брантингема". Городской совет Халла. 2008 год . Проверено 26 мая 2015 г.
  4. ^ аб Филд, Роберт (1988). Геометрические узоры римской мозаики . Тарквиний. ISBN 978-0-906-21263-9.
  5. ^ Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi (« Гармония миров »).
  6. ^ abc Gullberg 1997, с. 395.
  7. ^ Стюарт 2001, с. 13.
  8. ^ Джиджев, Христо; Потконьяк, Миодраг (2012). «Проблемы динамического покрытия в сенсорных сетях» (PDF) . Лос-Аламосская национальная лаборатория . п. 2 . Проверено 6 апреля 2013 г.
  9. ^ Федоров, Ю. (1891). «Симметрия на плоскости». Записки Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества . 2 (на русском языке). 28 : 245–291.
  10. ^ Шубников, Алексей Васильевич; Белов, Николай Васильевич (1964). Цветная симметрия. Макмиллан .
  11. ^ Хиш, Х.; Кинцле, О. (1963). Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (на немецком языке). Спрингер .
  12. ^ "Тесселат". Мерриам-Вебстер Онлайн . Проверено 26 мая 2015 г.
  13. ^ Конвей, Р.; Бургель, Х.; Гудман-Штраус, Г. (2008). Симметрии вещей . Питерс.
  14. ^ Коксетер 1973.
  15. ^ Канди и Роллетт (1961). Математические модели (2-е изд.). Оксфорд. стр. 61–62.
  16. ^ Эшер 1974, стр. 11–12, 15–16.
  17. ^ "Базилика Сан-Марко". Раздел: Мозаичный пол . Базилика Сан-Марко . Проверено 26 апреля 2013 г.
  18. ^ abcdef Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 59.
  19. ^ Шатшнайдер, Дорис (сентябрь 1980 г.). «Будет ли это плитка? Попробуйте критерий Конвея!». Журнал «Математика» . Том. 53, нет. 4. С. 224–233. дои : 10.2307/2689617. JSTOR  2689617.
  20. ^ Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники. Метуэн . стр. 14, 69, 149. ISBN. 978-0-486-61480-9.
  21. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция». Математический мир .
  22. ^ Эммер, Мишель; Шатшнайдер, Дорис (8 мая 2007 г.). Наследие MC Эшера: празднование столетия. Берлин Гейдельберг: Springer. п. 325. ИСБН 978-3-540-28849-7.
  23. ^ аб Хорн, Клэр Э. (2000). Геометрическая симметрия в узорах и плитках . Издательство Вудхед. стр. 172, 175. ISBN. 978-1-85573-492-0.
  24. ↑ Датч, Стивен (29 июля 1999 г.). «Некоторые специальные радиальные и спиральные мозаики». Университет Висконсина. Архивировано из оригинала 4 апреля 2013 года . Проверено 6 апреля 2013 г.
  25. ^ Хиршхорн, доктор медицины; Хант, округ Колумбия (1985). «Равносторонние выпуклые пятиугольники, покрывающие плоскость». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 39 (1): 1–18. дои : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .
  26. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Регулярные тесселяции». Математический мир .
  27. ^ Стюарт 2001, с. 75.
  28. ^ NRICH (Математический проект тысячелетия) (1997–2012). «Тесселяции Шлефли». Кембриджский университет . Проверено 26 апреля 2013 г.
  29. ^ Уэллс, Дэвид (1991). «мозаика двумя квадратами». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 260–261. ISBN 978-0-14-011813-1.
  30. ^ Кирби, Мэтью; Амбл, Рональд (2011). «Мозаика по краям и головоломки с марками». Журнал «Математика» . 84 (4): 283–89. дои : 10.4169/math.mag.84.4.283. S2CID  123579388.
  31. ^ Армстронг, Массачусетс (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-96675-3.
  32. ^ Грюнбаум, Бранко (июнь – июль 2006 г.). «Какие группы симметрии присутствуют в Альгамбре?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 670–673.
  33. ^ Лу, Питер Дж.; Стейнхардт (23 февраля 2007 г.). «Декагональные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре». Наука . 315 (5815): 1106–10. Бибкод : 2007Sci...315.1106L. дои : 10.1126/science.1135491. PMID  17322056. S2CID  10374218.
  34. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Frieze Group». Математический мир .
  35. ^ Хьюсон, Дэниел Х. (1991). «Мутация двумерной симметрии». Университет Принстон. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – через CiteSeerX. 
  36. ^ Гарднер 1989, стр. 1–18.
  37. ^ Радин, К. (май 1994 г.). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . дои : 10.2307/2118575. JSTOR  2118575. 
  38. ^ Остин, Дэвид. «Плитки Пенроуза говорят на многие мили». Американское математическое общество . Проверено 29 мая 2015 г.
  39. ^ Харрисс, Э.О. «Апериодическая мозаика» (PDF) . Лондонский университет и EPSRC. Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 года . Проверено 29 мая 2015 г.
  40. ^ Дхарма-вардана, MWC; Макдональд, АХ; Локвуд, диджей; Барибо, Ж.-М.; Хоутон, округ Колумбия (1987). «Комбинационное рассеяние света в сверхрешетках Фибоначчи». Письма о физических отзывах . 58 (17): 1761–1765. Бибкод : 1987PhRvL..58.1761D. doi : 10.1103/physrevlett.58.1761. ПМИД  10034529.
  41. ^ Ван, Хао (1961). «Доказательство теорем путем распознавания образов — II». Технический журнал Bell System . 40 (1): 1–41. doi :10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x.
  42. ^ Ван, Хао (ноябрь 1965 г.). «Игры, логика и компьютеры». Научный американец . стр. 98–106.
  43. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества . 66 (66): 72. дои : 10.1090/memo/0066.
  44. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность разбиений плоскости». Математические изобретения . 12 (3): 177–209. Бибкод : 1971InMat..12..177R. дои : 10.1007/bf01418780. MR  0297572. S2CID  14259496.
  45. ^ Чулик, Карел II (1996). «Апериодический набор из 13 плиток Ванга». Дискретная математика . 160 (1–3): 245–251. дои : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . МР  1417576.
  46. ^ Браун, Кэмерон (2008). «Кривые и поверхности Трюше». Компьютеры и графика . 32 (2): 268–281. дои : 10.1016/j.cag.2007.10.001.
  47. ^ Смит, Сирил Стэнли (1987). «Мозаичные узоры Себастьяна Труше и топология структурной иерархии». Леонардо . 20 (4): 373–385. дои : 10.2307/1578535. JSTOR  1578535. S2CID  192944820.
  48. ↑ Коновер, Эмили (24 марта 2023 г.). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку Эйнштейна». Новости науки . Проверено 25 марта 2023 г.с изображением узора
  49. ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.). «Апериодический монотиль». arXiv:2303.10798
  50. ↑ Робертс, Сойбхан, Неуловимый «Эйнштейн» решает давнюю математическую задачу , New York Times, 28 марта 2023 г., с изображением закономерности.
  51. ^ «Задача четырех цветов», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
  52. ^ Джонс, Оуэн (1910) [1856]. Грамматика орнамента (изд. фолио). Бернард Куоритч .
  53. ^ Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (3): 345–405. дои : 10.1145/116873.116880. S2CID  4613674.
  54. ^ Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0-471-98635-5.
  55. ^ Джордж, Пол Луи; Боручаки, Хоуман (1998). Триангуляция Делоне и создание сеток: применение к конечным элементам . Гермес . стр. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0.
  56. ^ Моллер, Джеспер (1994). Лекции по случайным мозаикам Вороного. Спрингер. ISBN 978-1-4612-2652-9.
  57. ^ Грюнбаум, Бранко (1994). «Равномерные замощения трехмерного пространства». Геомбинаторика . 4 (2): 49–56.
  58. ^ Энгель, Питер (1981). «Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie». Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometry, Kristallphysik, Kristallchemie . 154 (3–4): 199–215. Бибкод : 1981ZK....154..199E. дои : 10.1524/zkri.1981.154.3-4.199. МР  0598811..
  59. ^ Олдершоу, Кэлли (2003). Путеводитель Firefly по драгоценным камням . Книги Светлячка. п. 107. ИСБН 978-1-55297-814-6.
  60. ^ Киркалди, Дж. Ф. (1968). Минералы и камни в цвете (2-е изд.). Блэндфорд. стр. 138–139.
  61. ^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Шерк, Ф. Артур; Канадское математическое общество (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Джон Уайли и сыновья. п. 3 и пассим. ISBN 978-0-471-01003-6.
  62. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Строительство Витхоффа». Математический мир .
  63. ↑ Сенешаль, Марджори (26 сентября 1996 г.). Квазикристаллы и геометрия . Архив Кубка. п. 209. ИСБН 978-0-521-57541-6.
  64. ^ Шварц, HA (1873). «Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen Hypergeometrische Reihe eine алгебраической функции ihres vierten Elementes darstellt». Журнал для королевы и математики . 1873 (75): 292–335. дои : 10.1515/crll.1873.75.292 . ISSN  0075-4102. S2CID  121698536.
  65. ↑ Маргенштерн, Морис (4 января 2011 г.). «Координаты нового треугольного замощения гиперболической плоскости». arXiv : 1101.0530 [cs.FL].
  66. ^ Задник, Гашпер. «Замощение гиперболической плоскости правильными многоугольниками». Вольфрам . Проверено 27 мая 2015 г.
  67. ^ Коксетер, HSM (1999). «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации . стр. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1.
  68. ^ «Математика в искусстве и архитектуре». Национальный университет Сингапура . Проверено 17 мая 2015 г.
  69. ^ Уиттакер, Эндрю (2008). Говори культуру: Испания. Издательство Торогуд. п. 153. ИСБН 978-1-85418-605-8.
  70. ^ Эшер 1974, стр. 5, 17.
  71. ^ Герстен, С.М. «Введение в гиперболические и автоматические группы» (PDF) . Университет Юты . Проверено 27 мая 2015 г. Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем продолжающейся во всех направлениях, а Рисунок 2 [Ограничение круга IV] представляет собой красивую мозаику модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, изображающими ангелов и черных. плитки, изображающие дьяволов. Важная особенность второго метода заключается в том, что все белые плитки, как и все черные плитки, конгруэнтны друг другу; конечно, это неверно для евклидовой метрики, но справедливо для метрики Пуанкаре
  72. ^ Лейс, Джос (2015). «Гиперболический Эшер» . Проверено 27 мая 2015 г.
  73. ^ Эшер 1974, стр. 142–143.
  74. ^ Эшер 1974, с. 16.
  75. ^ Портер, Кристина (2006). Одеяла с тесселяцией: сенсационные дизайны на основе переплетающихся узоров . Ф+В Медиа. стр. 4–8. ISBN 978-0-7153-1941-3.
  76. ^ Бейер, Джинни (1999). Проектирование тесселяций: секреты переплетения узоров . Современная книга. пп. гл. 7. ISBN 978-0-8092-2866-9.
  77. ^ Гьерде, Эрик (2008). Тесселяции оригами . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-1-568-81451-3.
  78. ^ «Сокращение потерь урожая: использование меньшего количества металла для производства того же самого» . Университет ИТ Кембриджа. Архивировано из оригинала 29 мая 2015 года . Проверено 29 мая 2015 г.
  79. ^ Таулесс, доктор медицины (1990). «Расстояние между трещинами в хрупких пленках на эластичных подложках». Варенье. хим. Соц . 73 (7): 2144–2146. doi :10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x.
  80. ^ Ся, ZC; Хатчинсон, JW (2000). «Трещины в тонких пленках». Дж. Мех. Физ. Твердые тела . 48 (6–7): 1107–1131. Бибкод : 2000JMPSo..48.1107X. дои : 10.1016/S0022-5096(99)00081-2.
  81. ^ Сегир, Р.; Арскотт, С. (2015). «Контролируемое образование грязевых трещин и самоорганизованное растрескивание поверхностей полидиметилсилоксанового эластомера». наук. Представитель . 5 : 14787. Бибкод : 2015NatSR...514787S. дои : 10.1038/srep14787. ПМК 4594096 . ПМИД  26437880. 
  82. ^ Болл, Филип (2013). «Как соты могут строиться сами». Природа . дои : 10.1038/nature.2013.13398. S2CID  138195687 . Проверено 7 ноября 2014 г.
  83. ^ Краткий Оксфордский словарь английского языка (6-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. 2007. с. 3804. ИСБН 978-0-19-920687-2.
  84. ^ Перди, Кэти (2007). «Безвременники: самый сокровенный секрет осени». Американский садовник (сентябрь/октябрь): 18–22.
  85. ^ Шрайбер, Томаш; Соя, Наталья (2010). «Теория пределов для плоских мозаик Гилберта». arXiv : 1005.0023 [мат.PR].
  86. ^ Грей, Нью-Хэмпшир; Андерсон, Дж. Б.; Дивайн, Джей Ди; Квасник, Дж. М. (1976). «Топологические свойства случайных сетей трещин». Математическая геология . 8 (6): 617–626. дои : 10.1007/BF01031092. S2CID  119949515.
  87. ^ Гилберт, EN (1967). «Случайные плоские сети и игольчатые кристаллы». В Нобл, Б. (ред.). Применение бакалавриата по математике в инженерном деле . Нью-Йорк: Макмиллан.
  88. ^ Вейре, Д .; Ривье, Н. (1984). «Мыло, клетки и статистика: случайные закономерности в двух измерениях». Современная физика . 25 (1): 59–99. Бибкод : 1984ConPh..25...59W. дои : 10.1080/00107518408210979.
  89. ^ Бранаган, Д.Ф. (1983). Янг, RW; Нансон, GC (ред.). Мозаичные тротуары . Особенности ландшафтов австралийского песчаника. Специальная публикация № 1, Геоморфология Австралии и Новой Зеландии. Вуллонгонг, Новый Южный Уэльс: Университет Вуллонгонга . стр. 11–20. ISBN 978-0-864-18001-8. ОСЛК  12650092.
  90. ^ Болл, Филип (2009). Формы . Издательство Оксфордского университета . стр. 73–76. ISBN 978-0-199-60486-9.
  91. ^ Макадам, Дэниел. «История пазлов». Американское общество головоломок. Архивировано из оригинала 11 февраля 2014 года . Проверено 28 мая 2015 г.
  92. ^ Слокам, Джерри (2001). Дао Танграма . Барнс и Ноубл. п. 9. ISBN 978-1-4351-0156-2.
  93. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-02444-8.
  94. ^ Мартин, Джордж Э. (1991). Полимино: Путеводитель по головоломкам и задачам по мозаике . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-501-0.
  95. ^ Фредериксон, Грег Н. (2002). Шарнирное рассечение: качание и скручивание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-81192-7.
  96. ^ Гарднер, Мартин (май 1963 г.). «О «рептилиях» - полигонах, которые могут создавать большие и меньшие копии самих себя». Научный американец . Том. 208, нет. Может. стр. 154–164.
  97. ↑ Гарднер, Мартин (14 декабря 2006 г.). Ага! Двухтомный сборник: Ага! Попался Ага! Понимание. МАА. п. 48. ИСБН 978-0-88385-551-5.
  98. ↑ Сури, Мани (12 октября 2015 г.). «Важность развлекательной математики». Газета "Нью-Йорк Таймс .
  99. ^ Шатшнайдер, Дорис (1978). «Облицовка плоскости равными пятиугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . 51 (1). МАА: 29–44. дои : 10.2307/2689644. JSTOR  2689644.
  100. ^ Тутте, WT «Квадрат квадрата». Квадрат.нет . Проверено 29 мая 2015 г.
  101. ^ Гарднер, Мартин; Тутт, Уильям Т. (ноябрь 1958 г.). «Математические игры». Научный американец .
  102. ^ Хенле, Фредерик В.; Хенле, Джеймс М. (2008). «Квадрат плоскости» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 115 (1): 3–12. дои : 10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR  27642387. S2CID  26663945. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июня 2006 г.

Источники

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с плиткой.