Законы движения Ньютона

Laws in physics about force and motion

Законы движения Ньютона — это три физических закона , описывающих связь между движением объекта и силами, действующими на него. Эти законы, составляющие основу ньютоновской механики , можно перефразировать следующим образом:

1. Тело остается в покое или движется с постоянной скоростью по прямой линии, за исключением случаев, когда на него действует сила.
2. В любой момент времени результирующая сила, действующая на тело, равна ускорению тела, умноженному на его массу, или, что то же самое, скорости изменения импульса тела со временем.
3. Если два тела оказывают друг на друга силы, эти силы имеют одинаковую величину, но противоположные направления. ^{[1] [2]}

Три закона движения были впервые сформулированы Исааком Ньютоном в его Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Математические начала натуральной философии ), первоначально опубликованном в 1687 году. ^[3] Ньютон использовал их для исследования и объяснения движения многих физических объектов и систем. Со времени Ньютона новые идеи, особенно вокруг концепции энергии, построили область классической механики на его основе. Также были обнаружены ограничения законов Ньютона; новые теории необходимы, когда объекты движутся с очень высокой скоростью ( специальная теория относительности ), очень массивны ( общая теория относительности ) или очень малы ( квантовая механика ).

Предпосылки

Законы Ньютона часто формулируются в терминах точечных или частицевых масс, то есть тел, объем которых пренебрежимо мал. Это разумное приближение для реальных тел, когда движением внутренних частей можно пренебречь, и когда расстояние между телами намного больше размера каждого из них. Например, Землю и Солнце можно аппроксимировать как точечные, рассматривая орбиту первой вокруг второго, но Земля не является точечной, если рассматривать деятельность на ее поверхности. ^{[примечание 1]}

Математическое описание движения, или кинематика , основано на идее указания положений с помощью числовых координат. Движение представлено этими числами, изменяющимися со временем: траектория тела представлена ​​функцией, которая присваивает каждому значению временной переменной значения всех координат положения. Простейший случай — одномерный, то есть когда тело ограничено движением только по прямой линии. Тогда его положение может быть задано одним числом, указывающим, где оно находится относительно некоторой выбранной точки отсчета. Например, тело может свободно скользить по траектории, которая идет слева направо, и поэтому его местоположение может быть указано его расстоянием от удобной нулевой точки или начала координат , причем отрицательные числа указывают положения слева, а положительные — положения справа. Если местоположение тела как функция времени равно , то его средняя скорость за временной интервал от до равна ^[6] Здесь греческая буква ( дельта ) используется, по традиции, для обозначения «изменения в». Положительная средняя скорость означает, что координата положения увеличивается в течение рассматриваемого интервала, отрицательная средняя скорость указывает на чистое уменьшение в течение этого интервала, а средняя скорость, равная нулю, означает, что тело заканчивает временной интервал в том же месте, в котором оно началось. Исчисление дает средства для определения мгновенной скорости, меры скорости и направления движения тела в отдельный момент времени, а не в течение интервала. Одним из обозначений мгновенной скорости является замена на символ , например, Это означает, что мгновенная скорость является производной положения по времени. Ее можно грубо рассматривать как отношение между бесконечно малым изменением положения к бесконечно малому интервалу времени, в течение которого оно происходит. ^[7] Более точно, скорость и все другие производные можно определить с помощью концепции предела . [ ^6] Функция имеет предел при заданном входном значении , если разность между и может быть сделана произвольно малой, выбрав входное значение достаточно близко к . Один пишет: Мгновенная скорость может быть определена как предел средней скорости, когда временной интервал сокращается до нуля: Ускорение относится к скорости так же, как скорость относится к положению: это производная скорости по времени. ^{[примечание 2]} Ускорение также может быть определено как предел: Следовательно, ускорение является ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$ $${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$ $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$вторая производная позиции, ^[7] часто пишется . ${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$

Положение, рассматриваемое как смещение от исходной точки, является вектором : величиной, имеющей как величину, так и направление. ^{[9] : 1} Скорость и ускорение также являются векторными величинами. Математические инструменты векторной алгебры предоставляют средства для описания движения в двух, трех или более измерениях. Векторы часто обозначаются стрелкой, как в , или жирным шрифтом, например . Часто векторы представляются визуально в виде стрелок, причем направление вектора является направлением стрелки, а величина вектора указывается длиной стрелки. Численно вектор может быть представлен в виде списка; например, вектор скорости тела может быть , указывая, что оно движется со скоростью 3 метра в секунду вдоль горизонтальной оси и 4 метра в секунду вдоль вертикальной оси. То же самое движение, описанное в другой системе координат, будет представлено другими числами, и векторная алгебра может использоваться для перевода между этими альтернативами. ^{[9] : 4} ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

Изучение механики осложняется тем, что такие общеупотребительные слова, как энергия, используются в техническом значении. ^[10] Более того, слова, которые являются синонимами в повседневной речи, не являются таковыми в физике: сила — это не то же самое, что мощность или давление , например, а масса имеет иное значение, чем вес . ^{[11] [12] : 150} Физическое понятие силы делает количественной повседневную идею толчка или тяги. Силы в ньютоновской механике часто возникают из-за струн и веревок, трения, мышечных усилий, гравитации и т. д. Подобно смещению, скорости и ускорению, сила является векторной величиной.

Законы

Первый закон

Искусственные спутники движутся по искривленным орбитам , а не по прямым линиям из-за силы притяжения Земли .

В переводе с латыни первый закон Ньютона звучит так:

Каждый объект сохраняет свое состояние покоя или равномерного движения по прямой линии, за исключением случаев, когда он вынужден изменить это состояние под действием приложенных к нему сил. ^{[примечание 3]}

Первый закон Ньютона выражает принцип инерции : естественное поведение тела — двигаться по прямой с постоянной скоростью. Движение тела сохраняет статус-кво, но внешние силы могут его нарушить.

Современное понимание первого закона Ньютона заключается в том, что ни один инерциальный наблюдатель не имеет привилегий перед любым другим. Концепция инерциального наблюдателя делает количественной повседневную идею отсутствия ощущения эффектов движения. Например, человек, стоящий на земле и наблюдающий за проходящим поездом, является инерциальным наблюдателем. Если наблюдатель на земле видит, что поезд движется плавно по прямой линии с постоянной скоростью, то пассажир, сидящий в поезде, также будет инерциальным наблюдателем: пассажир поезда не чувствует движения. Принцип, выраженный первым законом Ньютона, заключается в том, что нет способа сказать, какой инерциальный наблюдатель «действительно» движется, а какой «действительно» стоит на месте. Состояние покоя одного наблюдателя является состоянием равномерного движения другого наблюдателя по прямой линии, и никакой эксперимент не может считать ни одну из точек зрения правильной или неправильной. Не существует абсолютного стандарта покоя. ^{[17] [14] : 62–63  [18] : 7–9} Сам Ньютон считал, что абсолютное пространство и время существуют, но что единственные меры пространства или времени, доступные эксперименту, являются относительными. ^[19]

Второй закон

Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой линии, по которой приложена сила. ^{[14] : 114}

Под «движением» Ньютон подразумевал величину, которая теперь называется импульсом , которая зависит от количества материи, содержащейся в теле, скорости, с которой движется это тело, и направления, в котором оно движется. ^[20] В современных обозначениях импульс тела является произведением его массы и скорости: где все три величины могут изменяться со временем. Второй закон Ньютона в современной форме гласит, что производная импульса по времени является силой: Если масса не изменяется со временем, то производная действует только на скорость, и поэтому сила равна произведению массы на производную скорости по времени, которая является ускорением: ^[21] Поскольку ускорение является второй производной положения по времени, это также можно записать $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} \,.}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}.}$$

Диаграмма свободного тела для бруска на наклонной плоскости, иллюстрирующая нормальную силу, перпендикулярную плоскости ( N ), направленную вниз силу тяжести ( mg ) и силу f вдоль направления плоскости, которая может быть приложена, например, посредством трения или струны.

Силы, действующие на тело, складываются как векторы , и поэтому общая сила, действующая на тело, зависит как от величины, так и от направления отдельных сил. Когда результирующая сила, действующая на тело, равна нулю, то по второму закону Ньютона тело не ускоряется, и говорят, что оно находится в механическом равновесии . Состояние механического равновесия устойчиво , если при небольшом изменении положения тела тело остается вблизи этого равновесия. В противном случае равновесие неустойчиво.

Распространенным визуальным представлением сил, действующих совместно, является диаграмма свободного тела , которая схематически изображает интересующее тело и силы, приложенные к нему внешними воздействиями. ^[22] Например, диаграмма свободного тела блока, лежащего на наклонной плоскости, может иллюстрировать комбинацию силы тяжести, «нормальной» силы , трения и натяжения струны. ^{[примечание 4]}

Второй закон Ньютона иногда представляется как определение силы, т. е. сила — это то, что существует, когда инерциальный наблюдатель видит ускоряющееся тело. Для того, чтобы это было больше, чем тавтология — ускорение подразумевает силу, сила подразумевает ускорение — должно быть сделано иное утверждение о силе. Например, может быть указано уравнение, описывающее силу, как закон всемирного тяготения Ньютона . Вставляя такое выражение для во второй закон Ньютона, можно записать уравнение с предсказательной силой. ^{[примечание 5]} Второй закон Ньютона также рассматривался как изложение исследовательской программы для физики, устанавливающей, что важными целями предмета являются идентификация сил, присутствующих в природе, и каталогизация составных частей материи. ^{[14] : 134  [25] : 12-2} ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Третий закон

Каждому действию всегда противостоит равное противодействие; или взаимные действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны. ^{[14] : 116}

Ракеты работают, создавая мощную реактивную силу, направленную вниз с помощью ракетных двигателей . Это толкает ракету вверх, независимо от земли или атмосферы .

Слишком краткие пересказы третьего закона, вроде «действие равно противодействию », могли бы вызвать путаницу среди поколений студентов: «действие» и «реакция» применяются к разным телам. Например, представьте себе книгу, покоящуюся на столе. Гравитация Земли тянет книгу вниз. «Реакция» на это «действие» — это не сила поддержки стола, удерживающая книгу, а гравитационное притяжение книги, действующее на Землю. ^{[примечание 6]}

Третий закон Ньютона относится к более фундаментальному принципу, сохранению импульса . Последний остается верным даже в случаях, когда утверждение Ньютона не выполняется, например, когда силовые поля , а также материальные тела несут импульс, и когда импульс правильно определен, в квантовой механике также. ^{[примечание 7]} В ньютоновской механике, если два тела имеют импульсы и соответственно, то полный импульс пары равен , а скорость изменения равна Согласно второму закону Ньютона, первый член является полной силой, действующей на первое тело, а второй член является полной силой, действующей на второе тело. Если два тела изолированы от внешних воздействий, единственной силой, действующей на первое тело, может быть сила со стороны второго, и наоборот. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы имеют одинаковую величину, но противоположное направление, поэтому они сокращаются при сложении, и является постоянным. С другой стороны, если известно, что является постоянным, то следует, что силы имеют одинаковую величину и противоположное направление. ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {p} _{2}}{dt}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Кандидаты на дополнительные законы

Различные источники предлагали возвести другие идеи, используемые в классической механике, в статус законов Ньютона. Например, в ньютоновской механике общая масса тела, полученного путем объединения двух меньших тел, является суммой их индивидуальных масс. Фрэнк Вильчек предложил привлечь внимание к этому предположению, назвав его «Нулевым законом Ньютона». ^[33] Другим кандидатом на «нулевой закон» является тот факт, что в любой момент тело реагирует на силы, приложенные к нему в этот момент. ^[34] Аналогично, идея о том, что силы складываются подобными векторами (или, другими словами, подчиняются принципу суперпозиции ), и идея о том, что силы изменяют энергию тела, были описаны как «четвертый закон». ^{[примечание 8]}

Примеры

Изучение поведения массивных тел с использованием законов Ньютона известно как ньютоновская механика. Некоторые примеры задач в ньютоновской механике особенно примечательны по концептуальным или историческим причинам.

Равномерно ускоренное движение

Прыгающий мяч, сфотографированный со скоростью 25 кадров в секунду с использованием стробоскопической вспышки . Между отскоками высота мяча как функция времени близка к параболе , отклоняясь от параболической дуги из-за сопротивления воздуха, вращения и деформации в несферическую форму при ударе.

Если тело падает из состояния покоя вблизи поверхности Земли, то при отсутствии сопротивления воздуха оно будет ускоряться с постоянной скоростью. Это известно как свободное падение . Скорость, достигаемая при свободном падении, пропорциональна прошедшему времени, а пройденное расстояние пропорционально квадрату прошедшего времени. ^[39] Важно отметить, что ускорение одинаково для всех тел, независимо от их массы. Это следует из объединения второго закона движения Ньютона с его законом всемирного тяготения . Последний гласит, что величина силы тяготения со стороны Земли на тело равна где - масса падающего тела, - масса Земли, - постоянная Ньютона, а - расстояние от центра Земли до местоположения тела, которое очень близко к радиусу Земли. Приравнивая это к , масса тела сокращается с обеих сторон уравнения, оставляя ускорение, которое зависит от , и , и может быть принято постоянным. Это конкретное значение ускорения обычно обозначается : $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ma}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

Если тело не высвобождается из состояния покоя, а вместо этого запускается вверх и/или горизонтально с ненулевой скоростью, то свободное падение становится движением снаряда . ^[40] Когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, снаряды следуют по параболообразным траекториям, поскольку гравитация влияет на вертикальное движение тела, а не на горизонтальное. На пике траектории снаряда его вертикальная скорость равна нулю, но его ускорение направлено вниз, как и всегда. Установка неправильного вектора, равного нулю, является распространенной путаницей среди студентов-физиков. ^[41] ${\displaystyle g}$

Равномерное круговое движение

Два объекта, равномерно движущиеся по окружности и вращающиеся вокруг барицентра (центра масс обоих объектов)

Когда тело находится в равномерном круговом движении, действующая на него сила изменяет направление его движения, но не его скорость. Для тела, движущегося по окружности радиусом с постоянной скоростью , его ускорение имеет величину и направлено к центру окружности. ^{[примечание 9]} Сила, необходимая для поддержания этого ускорения, называемая центростремительной силой , поэтому также направлена ​​к центру окружности и имеет величину . Многие орбиты , такие как орбита Луны вокруг Земли, могут быть аппроксимированы равномерным круговым движением. В таких случаях центростремительная сила является силой тяжести и по закону всемирного тяготения Ньютона имеет величину , где - масса большего тела, вращающегося по орбите. Следовательно, массу тела можно вычислить из наблюдений за другим телом, вращающимся вокруг него. ^{[43] : 130} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$ ${\displaystyle mv^{2}/r}$ ${\displaystyle GMm/r^{2}}$ ${\displaystyle M}$

Пушечное ядро ​​Ньютона — это мысленный эксперимент , который интерполирует между движением снаряда и равномерным круговым движением. Пушечное ядро, которое слабо брошено с края высокой скалы, упадет на землю за то же время, как если бы оно было сброшено из состояния покоя, потому что сила тяжести влияет только на импульс пушечного ядра в направлении вниз, и ее эффект не уменьшается горизонтальным движением. Если пушечное ядро ​​запущено с большей начальной горизонтальной скоростью, то оно пролетит большее расстояние, прежде чем ударится о землю, но все равно упадет на землю за то же время. Однако, если пушечное ядро ​​запущено с еще большей начальной скоростью, то кривизна Земли становится значительной: сама земля будет изгибаться в сторону от падающего пушечного ядра. Очень быстрое пушечное ядро ​​будет падать с инерциальной прямолинейной траектории с той же скоростью, с которой Земля изгибается под ним; другими словами, оно будет находиться на орбите (представляя, что его не замедляют сопротивление воздуха или препятствия). ^[44]

Гармоническое движение

Недемпфированная система пружина-масса совершает простое гармоническое движение.

Рассмотрим тело массы, способное двигаться вдоль оси, и предположим, что точка равновесия существует в положении . То есть, при , результирующая сила, действующая на тело, является нулевым вектором, и по второму закону Ньютона тело не будет ускоряться. Если сила, действующая на тело, пропорциональна смещению от точки равновесия и направлена ​​к точке равновесия, то тело будет совершать простое гармоническое движение . Записав силу как , второй закон Ньютона становится Это дифференциальное уравнение имеет решение , где частота равна , а константы и можно вычислить, зная, например, положение и скорость тела в данный момент времени, например . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle F=-kx}$ $${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.}$$ $${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t=0}$

Одна из причин, по которой гармонический осциллятор является концептуально важным примером, заключается в том, что он является хорошим приближением для многих систем вблизи устойчивого механического равновесия. ^{[примечание 10]} Например, маятник имеет устойчивое равновесие в вертикальном положении: если он неподвижен, он останется там, а если его слегка подтолкнуть, он будет качаться вперед и назад. Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в точке опоры, сила, действующая на маятник, — это гравитация, и второй закон Ньютона становится таким: где — длина маятника, — его угол от вертикали. Когда угол мал, синус почти равен ( см. ряд Тейлора ), и поэтому это выражение упрощается до уравнения для простого гармонического осциллятора с частотой . $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

Гармонический осциллятор может быть демпфирован, часто трением или вязким сопротивлением, в этом случае энергия вытекает из осциллятора, и амплитуда колебаний уменьшается со временем. Также гармонический осциллятор может приводиться в движение приложенной силой, что может привести к явлению резонанса . ^[46]

Объекты с переменной массой

Ракеты, такие как шаттл Atlantis , толкают материю в одном направлении, чтобы толкать корабль в другом. Это означает, что толкаемая масса, ракета и ее оставшийся на борту запас топлива, постоянно меняется.

Ньютоновская физика рассматривает материю как нечто, не созданное и не уничтоженное, хотя она может быть перестроена. Может быть так, что интересующий объект приобретает или теряет массу, потому что к нему добавляется или удаляется материя. В такой ситуации законы Ньютона можно применять к отдельным частям материи, отслеживая, какие части принадлежат интересующему объекту с течением времени. Например, если ракета массой , движущаяся со скоростью , выбрасывает материю со скоростью относительно ракеты, то где находится чистая внешняя сила (например, гравитационное притяжение планеты). ^{[23] : 139} ${\displaystyle M(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}-\mathbf {u} {\frac {dM}{dt}}\,}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Работа и энергия

Физики разработали концепцию энергии после времен Ньютона, но она стала неотъемлемой частью того, что считается «ньютоновской» физикой. Энергию можно в целом разделить на кинетическую , обусловленную движением тела, и потенциальную , обусловленную положением тела относительно других. Тепловая энергия , энергия, переносимая тепловым потоком, является типом кинетической энергии, не связанной с макроскопическим движением объектов, а вместо этого с движениями атомов и молекул, из которых они состоят. Согласно теореме о работе-энергии , когда сила действует на тело, пока это тело движется вдоль линии действия силы, сила совершает работу над телом, и количество выполненной работы равно изменению кинетической энергии тела. ^{[примечание 11]} Во многих представляющих интерес случаях чистая работа, выполненная силой, когда тело движется по замкнутому контуру — начиная с точки, двигаясь по некоторой траектории и возвращаясь в исходную точку — равна нулю. Если это так, то силу можно записать в терминах градиента функции , называемой скалярным потенциалом : ^{[42] : 303} Это верно для многих сил, включая силу тяжести, но не для трения; действительно, почти любая задача в учебнике по механике, не включающая трение, может быть выражена таким образом. ^{[45] : 19} Тот факт, что силу можно записать таким образом, можно понять из закона сохранения энергии . Без трения, рассеивающего энергию тела в тепло, энергия тела будет обмениваться между потенциальной и (нетепловой) кинетической формами, в то время как общее количество останется постоянным. Любое увеличение кинетической энергии, которое происходит, когда чистая сила, действующая на тело, ускоряет его до более высокой скорости, должно сопровождаться потерей потенциальной энергии. Таким образом, чистая сила, действующая на тело, определяется тем, каким образом уменьшается потенциальная энергия. $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

Движение и вращение твердого тела

Твердое тело — это объект, размер которого слишком велик, чтобы им пренебречь, и который сохраняет ту же форму с течением времени. В ньютоновской механике движение твердого тела часто понимается путем разделения его на движение центра масс тела и движение вокруг центра масс.

Центр масс

Общий центр масс вилок , пробки и зубочистки находится на кончике ручки.

Значимые аспекты движения протяженного тела можно понять, представив массу этого тела, сосредоточенную в одной точке, известной как центр масс. Расположение центра масс тела зависит от того, как распределен материал этого тела. Для набора точечных объектов с массами в положениях центр масс находится в точке , где — общая масса набора. При отсутствии чистой внешней силы центр масс движется с постоянной скоростью по прямой линии. Это применимо, например, к столкновению двух тел. ^[49] Если общая внешняя сила не равна нулю, то центр масс изменяет скорость, как если бы он был точечным телом массы . Это следует из того факта, что внутренние силы внутри набора, силы, которые объекты оказывают друг на друга, возникают в сбалансированных парах по третьему закону Ньютона. В системе из двух тел, одно из которых намного массивнее другого, центр масс будет приблизительно совпадать с местоположением более массивного тела. ^{[18] : 22–24} ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Вращательные аналоги законов Ньютона

Когда законы Ньютона применяются к вращающимся протяженным телам, они приводят к новым величинам, которые аналогичны тем, которые использовались в исходных законах. Аналогом массы является момент инерции , аналогом импульса является угловой момент , а аналогом силы является крутящий момент .

Угловой момент вычисляется относительно опорной точки. ^[50] Если вектор смещения от опорной точки до тела равен и тело имеет импульс , то угловой момент тела относительно этой точки равен, используя векторное векторное произведение , Взятие производной по времени от углового момента дает Первый член обращается в нуль, поскольку и направлены в одном направлении. Оставшийся член — это крутящий момент, Когда крутящий момент равен нулю, угловой момент постоянен, так же как когда сила равна нулю, импульс постоянен. ^{[18] : 14–15} Крутящий момент может исчезнуть, даже если сила не равна нулю, если тело расположено в опорной точке ( ) или если сила и вектор смещения направлены вдоль одной линии. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m\mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Угловой момент совокупности точечных масс и, таким образом, протяженного тела находится путем сложения вкладов каждой из точек. Это дает возможность охарактеризовать вращение тела вокруг оси путем сложения угловых моментов его отдельных частей. Результат зависит от выбранной оси, формы тела и скорости вращения. ^{[18] : 28}

Многочастичная гравитационная система

Анимация трех точек или тел, притягивающихся друг к другу

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что любое тело притягивает любое другое тело вдоль прямой линии, соединяющей их. Величина силы притяжения пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Нахождение формы орбит, которые даст закон силы обратных квадратов, известно как задача Кеплера . Задача Кеплера может быть решена несколькими способами, в том числе путем демонстрации того, что вектор Лапласа–Рунге–Ленца постоянен, ^[51] или путем применения преобразования дуальности к двумерному гармоническому осциллятору. ^[52] Как бы она ни решалась, результатом является то, что орбиты будут коническими сечениями , то есть эллипсами (включая окружности), параболами или гиперболами . Эксцентриситет орбиты и, следовательно, тип конического сечения определяются энергией и угловым моментом вращающегося тела. Планеты не обладают достаточной энергией, чтобы покинуть Солнце, поэтому их орбиты представляют собой эллипсы (в хорошем приближении); поскольку планеты притягивают друг друга, фактические орбиты не являются в точности коническими сечениями.

Если добавляется третья масса, задача Кеплера становится задачей трех тел, которая в общем случае не имеет точного решения в замкнутой форме . То есть, нет способа начать с дифференциальных уравнений, подразумеваемых законами Ньютона, и после конечной последовательности стандартных математических операций получить уравнения, которые выражают движения трех тел с течением времени. ^{[53] [54]} Численные методы могут быть применены для получения полезных, хотя и приблизительных, результатов для задачи трех тел. ^[55] Положения и скорости тел могут быть сохранены в переменных в памяти компьютера; законы Ньютона используются для расчета того, как скорости будут изменяться в течение короткого интервала времени, и, зная скорости, можно вычислить изменения положения в течение этого интервала времени. Этот процесс зацикливается для приблизительного расчета траекторий тел. Вообще говоря, чем короче временной интервал, тем точнее приближение. ^[56]

Хаос и непредсказуемость

Нелинейная динамика

Три двойных маятника, инициализированные при почти одинаковых начальных условиях, со временем расходятся.

Законы движения Ньютона допускают возможность хаоса . ^{[57] [58]} То есть, качественно говоря, физические системы, подчиняющиеся законам Ньютона, могут проявлять чувствительную зависимость от своих начальных условий: небольшое изменение положения или скорости одной части системы может привести к тому, что вся система будет вести себя радикально иным образом в течение короткого времени. Примечательными примерами являются задача трех тел, двойной маятник , динамические бильярды и задача Ферми–Паста–Улама–Цингоу .

Законы Ньютона можно применить к жидкостям , рассматривая жидкость как состоящую из бесконечно малых частей, каждая из которых оказывает силы на соседние части. Уравнение импульса Эйлера является выражением второго закона Ньютона, адаптированным к динамике жидкости. ^{[59] [60]} Жидкость описывается полем скорости, т. е. функцией , которая назначает вектор скорости каждой точке в пространстве и времени. Небольшой объект, переносимый потоком жидкости, может менять скорость по двум причинам: во-первых, потому что поле скорости в его положении меняется со временем, а во-вторых, потому что он перемещается в новое место, где поле скорости имеет другое значение. Следовательно, когда второй закон Ньютона применяется к бесконечно малой части жидкости, ускорение имеет два члена, комбинацию, известную как полная или материальная производная . Масса бесконечно малой части зависит от плотности жидкости , и на нее действует чистая сила, если давление жидкости изменяется с одной ее стороны на другую. Соответственно, становится где - плотность, - давление, и обозначает внешнее воздействие, такое как гравитационное притяжение. Включение эффекта вязкости превращает уравнение Эйлера в уравнение Навье-Стокса : где — кинематическая вязкость . ^[59] ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$ ${\displaystyle \nu }$

Сингулярности

Математически возможно, что совокупность точечных масс, движущихся в соответствии с законами Ньютона, может выбросить некоторые из них с такой силой, что они улетят в бесконечность за конечное время. ^[61] Это нефизическое поведение, известное как «нестолкновительная сингулярность», ^[54] зависит от того, что массы являются точечными и способны приближаться друг к другу сколь угодно близко, а также от отсутствия релятивистского предела скорости в ньютоновской физике. ^[62]

Пока неизвестно, демонстрируют ли уравнения Эйлера и Навье–Стокса аналогичное поведение изначально гладких решений, «взрывающихся» за конечное время. Вопрос о существовании и гладкости решений Навье–Стокса является одной из проблем премии тысячелетия . ^[63]

Связь с другими формулировками классической физики

Классическая механика может быть математически сформулирована несколькими различными способами, помимо «ньютоновского» описания (которое само по себе, конечно, включает в себя вклады других как до, так и после Ньютона). Физическое содержание этих различных формулировок такое же, как и у Ньютона, но они дают разные идеи и облегчают разные типы вычислений. Например, механика Лагранжа помогает сделать очевидной связь между симметриями и законами сохранения, и она полезна при расчете движения ограниченных тел, таких как масса, ограниченная для движения по криволинейной траектории или по поверхности сферы. ^{[18] : 48} Гамильтонова механика удобна для статистической физики , ^{[64] [65] : 57} приводит к дальнейшему пониманию симметрии, ^{[18] : 251} и может быть развита в сложные методы для теории возмущений . ^{[18] : 284} Из-за широты этих тем обсуждение здесь будет ограничено кратким рассмотрением того, как они переформулируют законы движения Ньютона.

Лагранжиан

Лагранжева механика отличается от ньютоновской формулировки тем, что рассматривает целые траектории сразу, а не предсказывает движение тела в один момент времени. ^{[18] : 109} В лагранжевой механике принято обозначать положение с помощью , а скорость с помощью . Простейшим примером является массивная точечная частица, лагранжиан для которой можно записать как разность между ее кинетической и потенциальной энергиями: где кинетическая энергия равна , а потенциальная энергия — некоторая функция положения, . Физический путь, который частица пройдет между начальной и конечной точками , — это путь, для которого интеграл лагранжиана «стационарен». То есть физический путь обладает тем свойством, что его малые возмущения в первом приближении не изменят интеграл лагранжиана. Вариационное исчисление предоставляет математические инструменты для нахождения этого пути. ^{[42] : 485} Применение вариационного исчисления к задаче нахождения пути приводит к уравнению Эйлера-Лагранжа для частицы, Оценка частных производных лагранжиана дает что является переформулировкой второго закона Ньютона. Левая часть — производная импульса по времени, а правая часть — сила, представленная через потенциальную энергию. ^{[9] : 737} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ $${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$ ${\displaystyle V(q)}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{f}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {q}})=-{\frac {dV}{dq}},}$$

Ландау и Лифшиц утверждают, что формулировка Лагранжа делает концептуальное содержание классической механики более ясным, чем если начинать с законов Ньютона. ^[26] Механика Лагранжа предоставляет удобную основу для доказательства теоремы Нётер , которая связывает симметрии и законы сохранения. ^[66] Сохранение импульса можно вывести, применив теорему Нётер к лагранжиану для многочастичной системы, и, таким образом, третий закон Ньютона является теоремой, а не предположением. ^{[18] : 124}

Гамильтониан

Эмми Нётер , чьё доказательство знаменитой теоремы 1915 года, связывающей симметрии и законы сохранения, стало ключевым событием в современной физике и может быть удобно изложено на языке лагранжевой или гамильтоновой механики.

В гамильтоновой механике динамика системы представлена ​​функцией, называемой гамильтонианом, которая во многих представляющих интерес случаях равна полной энергии системы. ^{[9] : 742} Гамильтониан является функцией положений и импульсов всех тел, составляющих систему, и он также может явно зависеть от времени. Производные по времени переменных положения и импульса задаются частными производными гамильтониана с помощью уравнений Гамильтона . ^{[18] : 203} Простейшим примером является точечная масса, вынужденная двигаться по прямой линии под действием потенциала. Записывая для координаты положения и для импульса тела, гамильтониан имеет вид В этом примере уравнения Гамильтона имеют вид и Оценивая эти частные производные, первое уравнение становится которое воспроизводит знакомое утверждение о том, что импульс тела является произведением его массы и скорости. Производная по времени импульса равна что, после отождествления отрицательной производной потенциала с силой, снова является вторым законом Ньютона. ^{[57] [9] : 742} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$ $${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {p}{m}},}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {dV}{dq}},}$$

Как и в формулировке Лагранжа, в гамильтоновой механике сохранение импульса можно вывести с помощью теоремы Нётер, что делает третий закон Ньютона идеей, которая выводится, а не предполагается. ^{[18] : 251}

Среди предложений по реформированию стандартной вводной программы по физике есть одно, в котором сначала изучают концепцию энергии, а затем концепцию силы, по сути, «вводная гамильтонова механика». ^{[67] [68]}

Гамильтон–Якоби

Уравнение Гамильтона–Якоби дает еще одну формулировку классической механики, которая делает ее математически аналогичной волновой оптике . ^{[18] : 284  [69]} Эта формулировка также использует гамильтоновы функции, но иным способом, чем описанная выше. Пути, проходимы телами или совокупностями тел, выводятся из функции положений и времени . Гамильтониан включен в уравнение Гамильтона–Якоби, дифференциальное уравнение для . Тела движутся с течением времени таким образом, что их траектории перпендикулярны поверхностям константы , аналогично тому, как световой луч распространяется в направлении, перпендикулярном его волновому фронту. Это проще всего выразить для случая единственной точечной массы, в которой есть функция , и точечная масса движется в направлении, вдоль которого изменяется наиболее круто. Другими словами, импульс точечной массы равен градиенту : Уравнение Гамильтона -Якоби для точечной массы равно Связь с законами Ньютона можно увидеть, рассмотрев точечную массу, движущуюся в независимом от времени потенциале , в этом случае уравнение Гамильтона-Якоби становится Взяв градиент обеих сторон, это становится Меняя порядок частных производных в левой части и используя правила степенной функции и цепочки для первого члена в правой части, Собирая вместе члены, которые зависят от градиента , Это еще одно перевыражение второго закона Ньютона. ^[70] Выражение в скобках является полной или материальной производной , как упоминалось выше, ^[71] в которой первый член указывает, как дифференцируемая функция изменяется со временем в фиксированном месте, а второй член фиксирует, как движущаяся частица будет видеть различные значения этой функции по мере перемещения с места на место: ${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$ ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$ $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$ $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {d}{dt}}.}$$

Связь с другими физическими теориями

Термодинамика и статистическая физика

Моделирование более крупной, но все еще микроскопической частицы (желтого цвета), окруженной газом из более мелких частиц, иллюстрирующее броуновское движение.

В статистической физике кинетическая теория газов применяет законы движения Ньютона к большому числу (обычно порядка числа Авогадро ) частиц. Кинетическая теория может объяснить, например, давление , которое газ оказывает на контейнер, содержащий его, как совокупность многих ударов атомов, каждый из которых передает крошечное количество импульса. ^{[65] : 62}

Уравнение Ланжевена является частным случаем второго закона Ньютона, адаптированным для случая описания небольшого объекта, бомбардируемого стохастически еще меньшими объектами. ^{[72] : 235} Его можно записать , где — коэффициент сопротивления , а — сила, которая изменяется случайным образом от момента к моменту, представляя собой чистый эффект столкновений с окружающими частицами. Это используется для моделирования броуновского движения . ^[73] $${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

Электромагнетизм

Три закона Ньютона можно применять к явлениям, связанным с электричеством и магнетизмом , хотя существуют тонкости и оговорки.

Закон Кулона для электрической силы между двумя неподвижными, электрически заряженными телами имеет во многом ту же математическую форму, что и закон всемирного тяготения Ньютона: сила пропорциональна произведению зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена ​​вдоль прямой линии между ними. Сила Кулона, которую заряд оказывает на заряд, равна по величине силе, которая оказывает на , и она указывает в совершенно противоположном направлении. Таким образом, закон Кулона согласуется с третьим законом Ньютона. ^[74] ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$

Электромагнетизм рассматривает силы как создаваемые полями, действующими на заряды. Закон силы Лоренца дает выражение для силы, действующей на заряженное тело, которое можно включить во второй закон Ньютона, чтобы вычислить его ускорение. ^{[75] : 85} Согласно закону силы Лоренца, заряженное тело в электрическом поле испытывает силу в направлении этого поля, силу, пропорциональную его заряду и напряженности электрического поля. Кроме того, движущееся заряженное тело в магнитном поле испытывает силу, которая также пропорциональна его заряду, в направлении, перпендикулярном как полю, так и направлению движения тела. Используя векторное векторное произведение , ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Действует закон силы Лоренца: электроны изгибаются по круговой траектории под действием магнитного поля.

Если электрическое поле исчезает ( ), то сила будет перпендикулярна движению заряда, как и в случае равномерного кругового движения, изученного выше, и заряд будет вращаться (или, в более общем смысле, двигаться по спирали ) вокруг линий магнитного поля с циклотронной частотой . ^{[72] : 222} Масс-спектрометрия работает путем приложения электрических и/или магнитных полей к движущимся зарядам и измерения результирующего ускорения, которое по закону силы Лоренца дает отношение массы к заряду . ^[76] ${\displaystyle \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \omega =qB/m}$

Совокупности заряженных тел не всегда подчиняются третьему закону Ньютона: может быть изменение импульса одного тела без компенсирующего изменения импульса другого. Расхождение объясняется импульсом, переносимым самим электромагнитным полем. Импульс на единицу объема электромагнитного поля пропорционален вектору Пойнтинга . ^{[77] : 184  [78]}

Существует тонкий концептуальный конфликт между электромагнетизмом и первым законом Ньютона: теория электромагнетизма Максвелла предсказывает, что электромагнитные волны будут распространяться через пустое пространство с постоянной, определенной скоростью. Таким образом, некоторые инерциальные наблюдатели, по-видимому, имеют привилегированный статус по сравнению с другими, а именно теми, кто измеряет скорость света и находит ее значение, предсказанное уравнениями Максвелла. Другими словами, свет обеспечивает абсолютный стандарт скорости, однако принцип инерции утверждает, что такого стандарта быть не должно. Это напряжение разрешается в теории специальной теории относительности, которая пересматривает понятия пространства и времени таким образом, что все инерциальные наблюдатели согласятся относительно скорости света в вакууме. ^{[примечание 12]}

Специальная теория относительности

В специальной теории относительности правило, которое Вильчек назвал «нулевым законом Ньютона», нарушается: масса составного объекта — это не просто сумма масс отдельных частей. ^{[81] : 33} Первый закон Ньютона, инерционное движение, остается верным. Форма второго закона Ньютона, согласно которой сила — это скорость изменения импульса, также верна, как и закон сохранения импульса. Однако определение импульса изменено. Одним из следствий этого является тот факт, что чем быстрее движется тело, тем сложнее его ускорить, и поэтому, независимо от того, какая сила приложена, тело не может быть ускорено до скорости света. В зависимости от решаемой задачи импульс в специальной теории относительности можно представить в виде трехмерного вектора, , где — масса покоя тела , а — фактор Лоренца , который зависит от скорости тела. В качестве альтернативы импульс и сила могут быть представлены в виде четырехвекторов . ^{[82] : 107} ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma }$

Третий закон Ньютона должен быть изменен в специальной теории относительности. Третий закон относится к силам между двумя телами в один и тот же момент времени, и ключевой особенностью специальной теории относительности является то, что одновременность относительна. События, которые происходят в одно и то же время относительно одного наблюдателя, могут происходить в разное время относительно другого. Таким образом, в системе отсчета данного наблюдателя действие и реакция могут не быть точно противоположными, и общий импульс взаимодействующих тел может не сохраняться. Сохранение импульса восстанавливается путем включения импульса, сохраненного в поле, которое описывает взаимодействие тел. ^{[83] [84]}

Ньютоновская механика является хорошим приближением к специальной теории относительности, когда рассматриваемые скорости малы по сравнению со скоростью света. ^{[85] : 131}

Общая теория относительности

Общая теория относительности — это теория гравитации, которая превосходит теорию Ньютона. В общей теории относительности гравитационная сила ньютоновской механики переосмысливается как кривизна пространства-времени . Изогнутый путь, подобный орбите, приписываемый гравитационной силе в ньютоновской механике, является не результатом силы, отклоняющей тело от идеального прямолинейного пути, а скорее попыткой тела свободно падать через фон, который сам по себе искривлен присутствием других масс. Замечание Джона Арчибальда Уиллера , ставшее поговоркой среди физиков, резюмирует теорию: «Пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться». ^{[86] [87]} Сам Уилер считал это взаимное отношение современной обобщенной формой третьего закона Ньютона. ^[86] Связь между распределением материи и кривизной пространства-времени задается уравнениями поля Эйнштейна , для выражения которых требуется тензорное исчисление . ^{[81] : 43  [88]}

Ньютоновская теория гравитации является хорошим приближением к предсказаниям общей теории относительности, когда гравитационные эффекты слабы и объекты движутся медленно по сравнению со скоростью света. ^{[79] : 327  [89]}

Квантовая механика

Квантовая механика — это теория физики, изначально разработанная для понимания микроскопических явлений: поведения в масштабах молекул, атомов или субатомных частиц. В общем и целом, чем меньше система, тем больше адекватная математическая модель потребует понимания квантовых эффектов. Концептуальная основа квантовой физики сильно отличается от классической физики . Вместо того чтобы думать о таких величинах, как положение, импульс и энергия, как о свойствах, которыми обладает объект , мы рассматриваем, какой результат может появиться при выполнении измерения выбранного типа. Квантовая механика позволяет физику вычислить вероятность того, что выбранное измерение вызовет определенный результат. ^{[90] [91]} Ожидаемое значение для измерения — это среднее значение возможных результатов, которые оно может дать, взвешенное по их вероятностям появления. ^[92]

Теорема Эренфеста устанавливает связь между квантовыми ожидаемыми значениями и вторым законом Ньютона, связь, которая обязательно неточна, поскольку квантовая физика принципиально отличается от классической. В квантовой физике положение и импульс представлены математическими сущностями, известными как эрмитовы операторы , а правило Борна используется для вычисления ожидаемых значений измерения положения или измерения импульса. Эти ожидаемые значения, как правило, будут меняться со временем; то есть, в зависимости от времени, в которое (например) выполняется измерение положения, вероятности его различных возможных результатов будут меняться. Теорема Эренфеста, грубо говоря, гласит, что уравнения, описывающие, как эти ожидаемые значения изменяются со временем, имеют форму, напоминающую второй закон Ньютона. Однако, чем более выражены квантовые эффекты в данной ситуации, тем сложнее вывести осмысленные выводы из этого сходства. ^{[примечание 13]}

История

• 
  Исаак Ньютон (1643–1727) на портрете кисти Годфри Кнеллера , написанном в 1689 году.
• 
  Собственный экземпляр «Начал» Ньютона с рукописными исправлениями для второго издания в библиотеке Рена в Тринити-колледже, Кембридж.
• 
  Первый и второй законы Ньютона на латыни из оригинального труда 1687 года Principia Mathematica

Концепции, используемые в законах движения Ньютона — масса, скорость, импульс, сила — имеют предшественников в более ранних работах, и содержание ньютоновской физики получило дальнейшее развитие после времени Ньютона. Ньютон объединил знание небесных движений с изучением событий на Земле и показал, что одна теория механики может охватывать и то, и другое. ^{[примечание 14]}

Античность и средневековье

Аристотель и «бурное» движение

Аристотель
(384–322 до н.э. )

Предмет физики часто прослеживается до Аристотеля , но история вовлеченных концепций затемнена множеством факторов. Точное соответствие между аристотелевскими и современными концепциями установить непросто: Аристотель не различал четко то, что мы называем скоростью и силой, использовал один и тот же термин для плотности и вязкости и представлял себе движение как всегда через среду, а не через пространство. Кроме того, некоторые концепции, часто называемые «аристотелевскими», лучше приписать его последователям и комментаторам. ^[97] Эти комментаторы обнаружили, что аристотелевская физика испытывала трудности с объяснением движения снаряда. ^{[примечание 15]} Аристотель разделил движение на два типа: «естественное» и «насильственное». «Естественное» движение земной твердой материи должно было падать вниз, тогда как «насильственное» движение могло толкать тело вбок. Более того, в аристотелевской физике «насильственное» движение требует непосредственной причины; отделенное от причины своего «бурного» движения, тело вернулось бы к своему «естественному» поведению. Однако копье продолжает двигаться после того, как покидает руку метателя. Аристотель пришел к выводу, что воздух вокруг копья должен быть наделен способностью двигать копье вперед.

Филопон и импульс

Иоанн Филопон , византийский греческий мыслитель, действовавший в шестом веке, считал это абсурдным: одна и та же среда, воздух, каким-то образом отвечала как за поддержание движения, так и за его препятствие. Если бы идея Аристотеля была верна, сказал Филопон, армии запускали бы оружие, дуя в него с помощью мехов. Филопон утверждал, что приведение тела в движение придает ему качество, импульс , которое будет содержаться в самом теле. Пока его импульс поддерживался, тело будет продолжать двигаться. ^{[99] : 47} В последующие столетия версии теории импульса были выдвинуты такими людьми, как Нур ад-Дин аль-Битруджи , Авиценна , Абу-ль-Баракат аль-Багдади , Иоанн Буридан и Альберт Саксонский . Оглядываясь назад, идею импульса можно рассматривать как предшественницу современной концепции импульса. ^{[примечание 16]} Интуиция, что объекты движутся в соответствии с каким-то импульсом, сохраняется у многих студентов, изучающих вводный курс физики. ^[101]

Инерция и первый закон

Французский философ Рене Декарт ввел понятие инерции посредством своих «законов природы» в «Мире » ( Traité du monde et de la lumière ), написанном в 1629–1633 годах. Однако «Мир» подразумевал гелиоцентрическое мировоззрение, и в 1633 году это представление породило большой конфликт между Галилео Галилеем и римско-католической инквизицией . Декарт знал об этом споре и не хотел вмешиваться. «Мир» был опубликован только в 1664 году, через десять лет после его смерти. ^[102]

Галилео Галилей
(1564–1642)

Современная концепция инерции приписывается Галилею. На основе своих экспериментов Галилей пришел к выводу, что «естественное» поведение движущегося тела — продолжать движение, пока что-то другое не помешает ему. В «Двух новых науках» (1638) Галилей писал: ^{[103] [104]}

Представьте себе любую частицу, спроецированную вдоль горизонтальной плоскости без трения; тогда мы знаем из того, что было более подробно объяснено на предыдущих страницах, что эта частица будет двигаться вдоль этой же плоскости равномерным и непрерывным движением, при условии, что плоскость не имеет границ.

Рене Декарт
(1596–1650)

Галилей осознал, что при движении снаряда гравитация Земли влияет на вертикальное, но не горизонтальное движение. ^[105] Однако идея Галилея об инерции была не совсем той, которая была бы кодифицирована в первом законе Ньютона. Галилей считал, что тело, движущееся на большое расстояние по инерции, будет следовать кривой Земли. Эта идея была исправлена ​​Исааком Бекманом , Декартом и Пьером Гассенди , которые признали, что инерциальное движение должно быть движением по прямой линии. ^[106] Декарт опубликовал свои законы природы (законы движения) с этим исправлением в «Началах философии» ( Principia Philosophiae ) в 1644 году, смягчив гелиоцентрическую часть. ^{[107] [102]}

Мяч при круговом движении перерезает нить и отлетает по касательной.

Первый закон природы: каждая вещь, предоставленная самой себе, продолжает оставаться в том же состоянии; так и любое движущееся тело продолжает двигаться до тех пор, пока что-то его не остановит.

Второй закон природы: каждое движущееся тело, предоставленное самому себе, движется по прямой линии; так и любое тело, движущееся по кругу, всегда стремится удалиться от центра круга.

По словам американского философа Ричарда Дж. Блэквелла , голландский ученый Христиан Гюйгенс разработал свою собственную, краткую версию закона в 1656 году. ^[108] Она была опубликована только в 1703 году, через восемь лет после его смерти, в первом абзаце его труда « De Motu Corporum ex Percussione» .

Гипотеза I: Любое тело, уже находящееся в движении, будет продолжать двигаться вечно с той же скоростью и по прямой линии, если ему не будет препятствовать.

По мнению Гюйгенса, этот закон был известен уже Галилею и Декарту среди других. ^[108]

Сила и второй закон

Христиан Гюйгенс
(1629–1695)

Христиан Гюйгенс в своей работе Horologium Oscillatorium (1673) выдвинул гипотезу, что «под действием силы тяжести, каковы бы ни были ее источники, происходит так, что тела движутся движением, состоящим как из равномерного движения в одном или другом направлении, так и из движения вниз под действием силы тяжести». Второй закон Ньютона обобщил эту гипотезу с силы тяжести на все силы. ^[109]

Одной из важных характеристик ньютоновской физики является то, что силы могут действовать на расстоянии , не требуя физического контакта. ^{[примечание 17]} Например, Солнце и Земля притягивают друг друга гравитационно, несмотря на то, что они разделены миллионами километров. Это контрастирует с идеей, отстаиваемой Декартом и другими, о том, что гравитация Солнца удерживает планеты на орбите, закручивая их в вихре прозрачной материи, эфира . ^[116] Ньютон рассматривал эфирные объяснения силы, но в конечном итоге отверг их. ^[114] Изучение магнетизма Уильямом Гилбертом и другими создало прецедент для размышлений о нематериальных силах, ^[114] и неспособный найти количественно удовлетворительное объяснение своего закона тяготения в терминах эфирной модели, Ньютон в конце концов заявил: « Я не выдвигаю никаких гипотез »: независимо от того, может ли модель, подобная вихрям Декарта, лежать в основе теорий движения и гравитации « Начал », первым основанием для их суждения должны быть успешные предсказания, которые они сделали. ^[117] И действительно, со времен Ньютона каждая попытка такой модели терпела неудачу .

Сохранение импульса и третий закон

Иоганн Кеплер
(1571–1630)

Иоганн Кеплер предположил, что гравитационное притяжение взаимно — например, Луна притягивает Землю, в то время как Земля притягивает Луну, — но он не утверждал, что такие пары равны и противоположны. ^[118] В своих «Принципах философии» (1644) Декарт ввел идею о том, что во время столкновения тел «количество движения» остается неизменным. Декарт определил это количество несколько неточно, сложив произведения скорости и «размера» каждого тела, где «размер» для него включал как объем, так и площадь поверхности. ^[119] Более того, Декарт думал о Вселенной как о пленуме , то есть заполненном материей, поэтому любое движение требовало, чтобы тело вытесняло среду при своем движении.

В 1650-х годах Гюйгенс изучал столкновения твердых сфер и вывел принцип, который сейчас определяется как сохранение импульса. ^{[120] [121]} Кристофер Рен позже вывел те же правила для упругих столкновений , что и Гюйгенс, а Джон Уоллис применил сохранение импульса для изучения неупругих столкновений . Ньютон ссылался на работы Гюйгенса, Рена и Уоллиса, чтобы подтвердить справедливость своего третьего закона. ^[122]

Ньютон пришел к своему набору из трех законов постепенно. В рукописи 1684 года, написанной Гюйгенсу , он перечислил четыре закона: принцип инерции, изменение движения силой, утверждение об относительном движении, которое сегодня назвали бы галилеевской инвариантностью , и правило, согласно которому взаимодействия между телами не изменяют движение их центра масс. В более поздней рукописи Ньютон добавил закон действия и противодействия, сказав, что этот закон и закон относительно центра масс подразумевают друг друга. Ньютон, вероятно, остановился на представлении в Principia с тремя основными законами, а затем другими утверждениями, сведенными к следствиям, в течение 1685 года. ^[123]

После того какПринципы

Страница 157 из «Механизма небес» (1831), расширенной версии первых двух томов «Трактата о небесной механике» Лапласа, написанной Мэри Сомервиль . ^[124] Здесь Сомервиль выводит закон обратных квадратов силы тяжести из законов Кеплера о движении планет .

Ньютон выразил свой второй закон, сказав, что сила, действующая на тело, пропорциональна изменению его движения или импульсу. К тому времени, как он написал « Начала», он уже разработал исчисление (которое он назвал « наукой флюксий »), но в « Началах» он не использовал его явно, возможно, потому, что считал геометрические аргументы в традиции Евклида более строгими. ^{[125] : 15  [126]} Следовательно, «Начала» не выражают ускорение как вторую производную положения, и поэтому не дают второй закон как . Эта форма второго закона была написана (для особого случая постоянной силы) по крайней мере еще в 1716 году Якобом Германом ; Леонард Эйлер использовал ее в качестве основной предпосылки в 1740-х годах. ^[127] Эйлер был пионером в изучении твердых тел ^[128] и создал основную теорию динамики жидкости. [ ^129] В пятитомном труде Пьера-Симона Лапласа «Traité de mécanique céleste» (1798–1825) он отказался от геометрии и разработал механику исключительно с помощью алгебраических выражений, одновременно решая вопросы, которые «Principia» оставили открытыми, например, полную теорию приливов и отливов . ^[130] ${\displaystyle F=ma}$

Концепция энергии стала ключевой частью ньютоновской механики в постньютоновский период. Решение Гюйгенса столкновения твердых сфер показало, что в этом случае сохраняется не только импульс, но и кинетическая энергия (или, скорее, величина, которую в ретроспективе мы можем определить как половину полной кинетической энергии). Вопрос о том, что сохраняется во всех других процессах, таких как неупругие столкновения и движение, замедленное трением, не был решен до 19 века. Дебаты на эту тему пересекались с философскими спорами между метафизическими взглядами Ньютона и Лейбница, и варианты термина «сила» иногда использовались для обозначения того, что мы бы назвали типами энергии. Например, в 1742 году Эмили дю Шатле писала: «Мертвая сила состоит из простой тенденции к движению: такова тенденция пружины, готовой расслабиться; живая сила — это та, которой обладает тело, когда оно находится в реальном движении». В современной терминологии «мертвая сила» и «живая сила» соответствуют потенциальной энергии и кинетической энергии соответственно. ^[131] Закон сохранения энергии не был установлен как универсальный принцип, пока не стало понятно, что энергия механической работы может рассеиваться в тепло. ^{[132] [133]} При наличии прочного обоснования концепции энергии законы Ньютона можно было вывести в рамках формулировок классической механики, которые ставят энергию на первое место, как в лагранжевых и гамильтоновых формулировках, описанных выше.

Современные представления законов Ньютона используют математику векторов, тему, которая не была разработана до конца 19-го и начала 20-го веков. Векторная алгебра, разработанная Джозайей Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом , произошла от более ранней системы кватернионов, изобретенной Уильямом Роуэном Гамильтоном , и в значительной степени вытеснила ее . ^{[134] [135]}

Смотрите также

• Законы движения Эйлера
• История классической механики
• Список одноименных законов
• Список уравнений классической механики
• Список научных законов, названных в честь людей
• Список учебников по классической механике и квантовой механике
• Купол Нортона

Примечания

1. См., например, Zain. ^{[4] : 1-2} Дэвид Тонг замечает: «Частица определяется как объект незначительного размера: например, электрон, теннисный мяч или планета. Очевидно, что справедливость этого утверждения зависит от контекста...» ^[5]
2. Отрицательное ускорение включает в себя как замедление (когда текущая скорость положительна), так и ускорение (когда текущая скорость отрицательна). Об этом и других моментах, которые часто вызывали затруднения у студентов, см. McDermott et al. ^[8]
3. Per Cohen and Whitman.^[2] For other phrasings, see Eddington^[13] and Frautschi et al.^[14]: 114 Andrew Motte's 1729 translation rendered Newton's "nisi quatenus" as unless instead of except insofar, which Hoek argues was erroneous.^[15][16]
4. One textbook observes that a block sliding down an inclined plane is what "some cynics view as the dullest problem in all of physics".^[23]: 70 Another quips, "Nobody will ever know how many minds, eager to learn the secrets of the universe, found themselves studying inclined planes and pulleys instead, and decided to switch to some more interesting profession."^[14]: 173
5. For example, José and Saletan (following Mach and Eisenbud^[24]) take the conservation of momentum as a fundamental physical principle and treat ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ as a definition of "force".^[18]: 9 See also Frautschi et al.,^[14]: 134 as well as Feynman, Leighton and Sands,^[25]: 12-1 who argue that the second law is incomplete without a specification of a force by another law, like the law of gravity. Kleppner and Kolenkow argue that the second law is incomplete without the third law: an observer who sees one body accelerate without a matching acceleration of some other body to compensate would conclude, not that a force is acting, but that they are not an inertial observer.^[23]: 60 Landau and Lifshitz bypass the question by starting with the Lagrangian formalism rather than the Newtonian.^[26]
6. See, for instance, Moebs et al.,^[27] Gonick and Huffman,^[28] Low and Wilson,^[29] Stocklmayer et al.,^[30] Hellingman,^[31] and Hodanbosi.^[32]
7. See, for example, Frautschi et al.^[14]: 356
8. For the former, see Greiner,^[35] or Wachter and Hoeber.^[36] For the latter, see Tait^[37] and Heaviside.^[38]
9. Among the many textbook explanations of this are Frautschi et al.^[14]: 104 and Boas.^[42]: 287
10. Among the many textbook treatments of this point are Hand and Finch^[45]: 81 and also Kleppner and Kolenkow.^[23]: 103
11. Treatments can be found in, e.g., Chabay et al.^[47] and McCallum et al.^[48]: 449
12. Discussions can be found in, for example, Frautschi et al.,^[14]: 215 Panofsky and Phillips,^[77]: 272 Goldstein, Poole and Safko,^[79]: 277 and Werner.^[80]
13. Details can be found in the textbooks by, e.g., Cohen-Tannoudji et al.^[93]: 242 and Peres.^[94]: 302
14. As one physicist writes, "Physical theory is possible because we are immersed and included in the whole process – because we can act on objects around us. Our ability to intervene in nature clarifies even the motion of the planets around the sun – masses so great and distances so vast that our roles as participants seem insignificant. Newton was able to transform Kepler's kinematical description of the solar system into a far more powerful dynamical theory because he added concepts from Galileo's experimental methods – force, mass, momentum, and gravitation. The truly external observer will only get as far as Kepler. Dynamical concepts are formulated on the basis of what we can set up, control, and measure."^[95] See, for example, Caspar and Hellman.^[96]
15. Aristotelian physics also had difficulty explaining buoyancy, a point that Galileo tried to resolve without complete success.^[98]
16. Anneliese Maier cautions, "Impetus is neither a force, nor a form of energy, nor momentum in the modern sense; it shares something with all these other concepts, but it is identical with none of them."^[100]: 79
17. Newton himself was an enthusiastic alchemist. John Maynard Keynes called him "the last of the magicians" to describe his place in the transition between protoscience and modern science.^[110][111] The suggestion has been made that alchemy inspired Newton's notion of "action at a distance", i.e., one body exerting a force upon another without being in direct contact.^[112] This suggestion enjoyed considerable support among historians of science^[113] until a more extensive study of Newton's papers became possible, after which it fell out of favor. However, it does appear that Newton's alchemy influenced his optics, in particular, how he thought about the combination of colors.^[114][115]

References

1. Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooke Cole. p. 49. ISBN 0-534-40896-6.
2. Newton, I. (1999). The Principia, The Mathematical Principles of Natural Philosophy. Translated by Cohen, I.B.; Whitman, A. Los Angeles: University of California Press.
3. Newton, Isaac; Chittenden, N. W.; Motte, Andrew; Hill, Theodore Preston (1846). Newton's Principia: The Mathematical Principles of Natural Philosophy. University of California Libraries. Daniel Adee.
4. Zain, Samya (2019). Techniques of Classical Mechanics: from Lagrangian to Newtonian mechanics. Institute of Physics. ISBN 978-0-750-32076-4. OCLC 1084752471.
5. Tong, David (January 2015). "Classical Dynamics: University of Cambridge Part II Mathematical Tripos" (PDF). University of Cambridge. Retrieved 12 February 2022.
6. Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M.; et al. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. pp. 76–78. ISBN 978-0-470-88861-2. OCLC 794034942.
7. Thompson, Silvanus P.; Gardner, Martin (1998). Calculus Made Easy. Macmillan. pp. 84–85. ISBN 978-0-312-18548-0. OCLC 799163595.
8. McDermott, Lillian C.; Rosenquist, Mark L.; van Zee, Emily H. (June 1987). "Student difficulties in connecting graphs and physics: Examples from kinematics". American Journal of Physics. 55 (6): 503–513. Bibcode:1987AmJPh..55..503M. doi:10.1119/1.15104. ISSN 0002-9505.
9. Gbur, Greg (2011). Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-91510-9. OCLC 704518582.
10. Driver, Rosalind; Warrington, Lynda (1 July 1985). "Students' use of the principle of energy conservation in problem situations". Physics Education. 20 (4): 171–176. Bibcode:1985PhyEd..20..171D. doi:10.1088/0031-9120/20/4/308. S2CID 250781921.
11. Brookes, David T.; Etkina, Eugenia (25 June 2009). ""Force," ontology, and language". Physical Review Special Topics - Physics Education Research. 5 (1): 010110. Bibcode:2009PRPER...5a0110B. doi:10.1103/PhysRevSTPER.5.010110. ISSN 1554-9178.
12. Urone, Paul Peter; Hinrichs, Roger; Dirks, Kim; Sharma, Manjula (2021). College Physics. OpenStax. ISBN 978-1-947172-01-2. OCLC 895896190.
13. Eddington, Arthur (1929). The Nature of the Physical World. New York: Macmillan. pp. 123–125.
14. Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2007). The Mechanical Universe: Mechanics and Heat (Advanced ed.). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC 227002144.
15. Hoek, D. (2023). "Forced Changes Only: A New Take on Inertia". Philosophy of Science. 90 (1): 60–73. arXiv:2112.02339. doi:10.1017/psa.2021.38.
16. Pappas, Stephanie (5 September 2023). "Mistranslation of Newton's First Law Discovered after Nearly Nearly 300 Years". Scientific American.
17. Resnick, Robert (1968). Introduction to Special Relativity. Wiley. pp. 8–16. OCLC 1120819093.
18. José, Jorge V.; Saletan, Eugene J. (1998). Classical dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64890-5. OCLC 857769535.
19. Brading, Katherine (August 2019). "A note on rods and clocks in Newton's Principia". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 67: 160–166. Bibcode:2019SHPMP..67..160B. doi:10.1016/j.shpsb.2017.07.004. S2CID 125131430.
20. Feather, Norman (1959). An Introduction to the Physics of Mass, Length, and Time. United Kingdom: University Press. pp. 126–128.
21. Resnick, Robert; Halliday, David (1966). "Section 5-4: Mass; Newton's Second Law". Physics. John Wiley & Sons. LCCN 66-11527.
22. Rosengrant, David; Van Heuvelen, Alan; Etkina, Eugenia (1 June 2009). "Do students use and understand free-body diagrams?". Physical Review Special Topics - Physics Education Research. 5 (1): 010108. Bibcode:2009PRPER...5a0108R. doi:10.1103/PhysRevSTPER.5.010108. ISSN 1554-9178.
23. Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert J. (2014). An introduction to mechanics (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19811-0. OCLC 854617117.
24. Eisenbud, Leonard (1958). "On the Classical Laws of Motion". American Journal of Physics. 26: 144–159. doi:10.1119/1.1934608.
25. Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew L. (1989) [1965]. The Feynman Lectures on Physics, Volume 1. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02010-6. OCLC 531535.
26. Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M. (1969). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1. Translated by Sykes, J. B.; Bell, J. S. (2nd ed.). Pergamon Press. p. vii. ISBN 978-0-080-06466-6. OCLC 898931862. Only with this approach, indeed, can the exposition form a logical whole and avoid tautological definitions of the fundamental mechanical quantities. It is, moreover, essentially simpler, and leads to the most complete and direct means of solving problems in mechanics.
27. Moebs, William; et al. (2023). "5.5 Newton's Third Law". University Physics, Volume 1. OpenStax. p. 220. ISBN 978-1-947172-20-3.
28. Gonick, Larry; Huffman, Art (1991). The Cartoon Guide to Physics. HarperPerennial. p. 50. ISBN 0-06-273100-9.
29. Low, David J.; Wilson, Kate F. (January 2017). "The role of competing knowledge structures in undermining learning: Newton's second and third laws". American Journal of Physics. 85 (1): 54–65. Bibcode:2017AmJPh..85...54L. doi:10.1119/1.4972041. ISSN 0002-9505.
30. Stocklmayer, Sue; Rayner, John P.; Gore, Michael M. (October 2012). "Changing the Order of Newton's Laws—Why & How the Third Law Should be First". The Physics Teacher. 50 (7): 406–409. Bibcode:2012PhTea..50..406S. doi:10.1119/1.4752043. ISSN 0031-921X.
31. Hellingman, C. (March 1992). "Newton's third law revisited". Physics Education. 27 (2): 112–115. Bibcode:1992PhyEd..27..112H. doi:10.1088/0031-9120/27/2/011. ISSN 0031-9120. S2CID 250891975.
32. Hodanbosi, Carol (August 1996). Fairman, Jonathan G. (ed.). "Third Law of Motion". www.grc.nasa.gov.
33. Wilczek, Frank (2003). "The Origin of Mass" (PDF). MIT Physics Annual 2003. Retrieved 13 January 2022.
34. Scherr, Rachel E.; Redish, Edward F. (1 January 2005). "Newton's Zeroth Law: Learning from Listening to Our Students". The Physics Teacher. 43 (1): 41–45. Bibcode:2005PhTea..43...41S. doi:10.1119/1.1845990. ISSN 0031-921X.
35. Greiner, Walter (2003). Classical Mechanics: Point Particles and Relativity. New York: Springer. p. 135. ISBN 978-0-387-21851-9.
36. Wachter, Armin; Hoeber, Henning (2006). Compendium of theoretical physics. New York: Springer. p. 6. ISBN 978-0-387-25799-0.
37. Tait, Peter Guthrie (1889). "Mechanics". Encyclopædia Britannica. Vol. 15 (9th ed.). pp. 715–716.
38. Heaviside, Oliver (August 1905). "The Transverse Momentum of an Electron". Nature. 72 (1870): 429. Bibcode:1905Natur..72Q.429H. doi:10.1038/072429a0. ISSN 0028-0836. S2CID 4016382.
39. Nicodemi, Olympia (1 February 2010). "Galileo and Oresme: Who Is Modern? Who Is Medieval?". Mathematics Magazine. 83 (1): 24–32. doi:10.4169/002557010X479965. ISSN 0025-570X. S2CID 122113958.
40. Scholberg, Kate (2020). "Frequently Asked Questions: Projectile Motion". Physics 361. Retrieved 16 January 2022.
41. Carli, Marta; Lippiello, Stefania; Pantano, Ornella; Perona, Mario; Tormen, Giuseppe (19 March 2020). "Testing students ability to use derivatives, integrals, and vectors in a purely mathematical context and in a physical context". Physical Review Physics Education Research. 16 (1): 010111. Bibcode:2020PRPER..16a0111C. doi:10.1103/PhysRevPhysEducRes.16.010111. hdl:11577/3340932. ISSN 2469-9896. S2CID 215832738.
42. Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-19826-0. OCLC 61332593.
43. Brown, Mike (2010). How I Killed Pluto and Why It Had It Coming (1st ed.). New York: Spiegel & Grau. ISBN 978-0-385-53108-5. OCLC 495271396.
44. Topper, D.; Vincent, D. E. (1 January 1999). "An analysis of Newton's projectile diagram". European Journal of Physics. 20 (1): 59–66. Bibcode:1999EJPh...20...59T. doi:10.1088/0143-0807/20/1/018. ISSN 0143-0807. S2CID 250883796.
45. Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Analytical Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-57327-0. OCLC 37903527.
46. Billah, K. Yusuf; Scanlan, Robert H. (1 February 1991). "Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks" (PDF). American Journal of Physics. 59 (2): 118–124. Bibcode:1991AmJPh..59..118B. doi:10.1119/1.16590. ISSN 0002-9505.
47. Chabay, Ruth; Sherwood, Bruce; Titus, Aaron (July 2019). "A unified, contemporary approach to teaching energy in introductory physics". American Journal of Physics. 87 (7): 504–509. Bibcode:2019AmJPh..87..504C. doi:10.1119/1.5109519. ISSN 0002-9505. S2CID 197512796.
48. Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M.; et al. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-470-88861-2. OCLC 794034942.
49. Lyublinskaya, Irina E. (January 1998). "Central collisions—The general case". The Physics Teacher. 36 (1): 18–19. Bibcode:1998PhTea..36...18L. doi:10.1119/1.879949. ISSN 0031-921X.
50. Close, Hunter G.; Heron, Paula R. L. (October 2011). "Student understanding of the angular momentum of classical particles". American Journal of Physics. 79 (10): 1068–1078. Bibcode:2011AmJPh..79.1068C. doi:10.1119/1.3579141. ISSN 0002-9505.
51. Mungan, Carl E. (1 March 2005). "Another comment on "Eccentricity as a vector"". European Journal of Physics. 26 (2): L7–L9. doi:10.1088/0143-0807/26/2/L01. ISSN 0143-0807. S2CID 121740340.
52. Saggio, Maria Luisa (1 January 2013). "Bohlin transformation: the hidden symmetry that connects Hooke to Newton". European Journal of Physics. 34 (1): 129–137. Bibcode:2013EJPh...34..129S. doi:10.1088/0143-0807/34/1/129. ISSN 0143-0807. S2CID 119949261.
53. Barrow-Green, June (1997). Poincaré and the Three Body Problem. American Mathematical Society. pp. 8–12. Bibcode:1997ptbp.book.....B. ISBN 978-0-8218-0367-7.
54. Barrow-Green, June (2008). "The Three-Body Problem". In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. pp. 726–728. ISBN 978-0-691-11880-2. OCLC 682200048.
55. Breen, Barbara J.; Weidert, Christine E.; Lindner, John F.; Walker, Lisa May; Kelly, Kasey; Heidtmann, Evan (April 2008). "Invitation to embarrassingly parallel computing". American Journal of Physics. 76 (4): 347–352. Bibcode:2008AmJPh..76..347B. doi:10.1119/1.2834738. ISSN 0002-9505.
56. McCandlish, David (July 1973). Shirer, Donald L. (ed.). "Solutions to the Three-Body Problem by Computer". American Journal of Physics. 41 (7): 928–929. doi:10.1119/1.1987423. ISSN 0002-9505.
57. Masoliver, Jaume; Ros, Ana (1 March 2011). "Integrability and chaos: the classical uncertainty". European Journal of Physics. 32 (2): 431–458. arXiv:1012.4384. Bibcode:2011EJPh...32..431M. doi:10.1088/0143-0807/32/2/016. ISSN 0143-0807. S2CID 58892714.
58. Laws, Priscilla W. (April 2004). "A unit on oscillations, determinism and chaos for introductory physics students". American Journal of Physics. 72 (4): 446–452. Bibcode:2004AmJPh..72..446L. doi:10.1119/1.1649964. ISSN 0002-9505.
59. Zee, Anthony (2020). Fly by Night Physics. Princeton University Press. pp. 363–364. ISBN 978-0-691-18254-4. OCLC 1288147292.
60. Han-Kwan, Daniel; Iacobelli, Mikaela (7 April 2021). "From Newton's second law to Euler's equations of perfect fluids". Proceedings of the American Mathematical Society. 149 (7): 3045–3061. arXiv:2006.14924. doi:10.1090/proc/15349. ISSN 0002-9939. S2CID 220127889.
61. Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (May 1995). "Off to infinity in finite time" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 42: 538–546.
62. Baez, John C. (2021). "Struggles with the Continuum". In Anel, Mathieu; Catren, Gabriel (eds.). New Spaces in Physics: Formal and Conceptual Reflections. Cambridge University Press. pp. 281–326. arXiv:1609.01421. ISBN 978-1-108-49062-7. OCLC 1195899886.
63. Fefferman, Charles L. (2006). "Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation". In Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew (eds.). The Millennium Prize Problems (PDF). Providence, RI: American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute. pp. 57–67. ISBN 978-0-821-83679-8. OCLC 466500872.
64. Ehrenfest, Paul; Ehrenfest, Tatiana (1990) [1959]. The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics. New York: Dover Publications. p. 18. ISBN 0-486-66250-0. OCLC 20934820.
65. Kardar, Mehran (2007). Statistical Physics of Particles. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC 860391091.
66. Byers, Nina (2006). "Emmy Noether". In Byers, Nina; Williams, Gary (eds.). Out of the Shadows: Contributions of 20th Century Women to Physics. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 83–96. ISBN 978-0-521-82197-1. OCLC 1150964892.
67. LeGresley, Sarah E.; Delgado, Jennifer A.; Bruner, Christopher R.; Murray, Michael J.; Fischer, Christopher J. (13 September 2019). "Calculus-enhanced energy-first curriculum for introductory physics improves student performance locally and in downstream courses". Physical Review Physics Education Research. 15 (2): 020126. Bibcode:2019PRPER..15b0126L. doi:10.1103/PhysRevPhysEducRes.15.020126. hdl:1808/29610. ISSN 2469-9896. S2CID 203484310.
68. Ball, Philip (13 September 2019). "Teaching Energy Before Forces". Physics. 12: 100. Bibcode:2019PhyOJ..12..100B. doi:10.1103/Physics.12.100. S2CID 204188746.
69. Houchmandzadeh, Bahram (May 2020). "The Hamilton–Jacobi equation: An alternative approach". American Journal of Physics. 88 (5): 353–359. arXiv:1910.09414. Bibcode:2020AmJPh..88..353H. doi:10.1119/10.0000781. ISSN 0002-9505. S2CID 204800598.
70. Rosen, Nathan (February 1965). "Mixed States in Classical Mechanics". American Journal of Physics. 33 (2): 146–150. Bibcode:1965AmJPh..33..146R. doi:10.1119/1.1971282. ISSN 0002-9505.
71. Weiner, J. H. (November 1974). "Hydrodynamic Analogy to the Hamilton–Jacobi Equation". American Journal of Physics. 42 (11): 1026–1028. Bibcode:1974AmJPh..42.1026W. doi:10.1119/1.1987920. ISSN 0002-9505.
72. Reichl, Linda E. (2016). A Modern Course in Statistical Physics (4th ed.). Weinheim, Germany: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-69048-0. OCLC 966177746.
73. Mermin, N. David (August 1961). "Two Models of Brownian Motion". American Journal of Physics. 29 (8): 510–517. Bibcode:1961AmJPh..29..510M. doi:10.1119/1.1937823. ISSN 0002-9505.
74. Kneubil, Fabiana B. (1 November 2016). "Breaking Newton's third law: electromagnetic instances". European Journal of Physics. 37 (6): 065201. Bibcode:2016EJPh...37f5201K. doi:10.1088/0143-0807/37/6/065201. ISSN 0143-0807. S2CID 126380404.
75. Tonnelat, Marie-Antoinette (1966). The principles of electromagnetic theory and of relativity. Dordrecht: D. Reidel. ISBN 90-277-0107-5. OCLC 844001.
76. Chu, Caroline S.; Lebrilla, Carlito B. (2010). "Introduction to Modern Techniques in Mass Spectrometry". In Jue, Thomas (ed.). Biomedical Applications of Biophysics. Totowa, NJ: Humana Press. pp. 137–154. doi:10.1007/978-1-60327-233-9_6. ISBN 978-1-60327-233-9. Retrieved 24 March 2022.
77. Panofsky, Wolfgang K. H.; Phillips, Melba (2005) [1962]. Classical Electricity and Magnetism (2nd ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-43924-0. OCLC 56526974.
78. Bonga, Béatrice; Poisson, Eric; Yang, Huan (November 2018). "Self-torque and angular momentum balance for a spinning charged sphere". American Journal of Physics. 86 (11): 839–848. arXiv:1805.01372. Bibcode:2018AmJPh..86..839B. doi:10.1119/1.5054590. ISSN 0002-9505. S2CID 53625857.
79. Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311.
80. Werner, Reinhard F. (9 October 2014). "Comment on "What Bell did"". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 47 (42): 424011. Bibcode:2014JPhA...47P4011W. doi:10.1088/1751-8113/47/42/424011. ISSN 1751-8113. S2CID 122180759.
81. Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). General Relativity and the Einstein Equations. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-155226-7. OCLC 317496332.
82. Ellis, George F. R.; Williams, Ruth M. (2000). Flat and Curved Space-times (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850657-0. OCLC 44694623.
83. French, A. P. (1968). Special Relativity. W. W. Norton and Company. p. 224. ISBN 0-393-09804-4.
84. Havas, Peter (1 October 1964). "Four-Dimensional Formulations of Newtonian Mechanics and Their Relation to the Special and the General Theory of Relativity". Reviews of Modern Physics. 36 (4): 938–965. Bibcode:1964RvMP...36..938H. doi:10.1103/RevModPhys.36.938. ISSN 0034-6861. ...the usual assumption of Newtonian mechanics is that the forces are determined by the simultaneous positions (and possibly their derivatives) of the particles, and that they are related by Newton's third law. No such assumption is possible in special relativity since simultaneity is not an invariant concept in that theory.
85. Stavrov, Iva (2020). Curvature of Space and Time, with an Introduction to Geometric Analysis. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-6313-7. OCLC 1202475208.
86. Wheeler, John Archibald (18 June 2010). Geons, Black Holes, and Quantum Foam: A Life in Physics. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-07948-7.
87. Kersting, Magdalena (May 2019). "Free fall in curved spacetime—how to visualise gravity in general relativity". Physics Education. 54 (3): 035008. Bibcode:2019PhyEd..54c5008K. doi:10.1088/1361-6552/ab08f5. hdl:10852/74677. ISSN 0031-9120. S2CID 127471222.
88. Prescod-Weinstein, Chanda (2021). The Disordered Cosmos: A Journey into Dark Matter, Spacetime, and Dreams Deferred. New York, NY: Bold Type Books. ISBN 978-1-5417-2470-9. OCLC 1164503847.
89. Goodstein, Judith R. (2018). Einstein's Italian Mathematicians: Ricci, Levi-Civita, and the Birth of General Relativity. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 143. ISBN 978-1-4704-2846-4. OCLC 1020305599.
90. Mermin, N. David (1993). "Hidden variables and the two theorems of John Bell". Reviews of Modern Physics. 65 (3): 803–815. arXiv:1802.10119. Bibcode:1993RvMP...65..803M. doi:10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID 119546199. It is a fundamental quantum doctrine that a measurement does not, in general, reveal a pre-existing value of the measured property.
91. Schaffer, Kathryn; Barreto Lemos, Gabriela (24 May 2019). "Obliterating Thingness: An Introduction to the "What" and the "So What" of Quantum Physics". Foundations of Science. 26: 7–26. arXiv:1908.07936. doi:10.1007/s10699-019-09608-5. ISSN 1233-1821. S2CID 182656563.
92. Marshman, Emily; Singh, Chandralekha (1 March 2017). "Investigating and improving student understanding of the probability distributions for measuring physical observables in quantum mechanics". European Journal of Physics. 38 (2): 025705. Bibcode:2017EJPh...38b5705M. doi:10.1088/1361-6404/aa57d1. ISSN 0143-0807. S2CID 126311599.
93. Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2005). Quantum Mechanics. Translated by Hemley, Susan Reid; Ostrowsky, Nicole; Ostrowsky, Dan. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-16433-X.
94. Peres, Asher (1993). Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer. ISBN 0-7923-2549-4. OCLC 28854083.
95. D. Bilodeau, quoted in Fuchs, Christopher A. (6 January 2011). Coming of Age with Quantum Information. Cambridge University Press. pp. 310–311. ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC 759812415.
96. Caspar, Max (2012) [1959]. Kepler. Translated by Hellman, C. Doris. Dover. p. 178. ISBN 978-0-486-15175-5. OCLC 874097920.
97. Ugaglia, Monica (2015). "Aristotle's Hydrostatical Physics". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Lettere e Filosofia. 7 (1): 169–199. ISSN 0392-095X. JSTOR 43915795.
98. Straulino, S.; Gambi, C. M. C.; Righini, A. (January 2011). "Experiments on buoyancy and surface tension following Galileo Galilei". American Journal of Physics. 79 (1): 32–36. Bibcode:2011AmJPh..79...32S. doi:10.1119/1.3492721. hdl:2158/530056. ISSN 0002-9505. Aristotle in his Physics affirmed that solid water should have a greater weight than liquid water for the same volume. We know that this statement is incorrect because the density of ice is lower than that of water (hydrogen bonds create an open crystal structure in the solid phase), and for this reason ice can float. [...] The Aristotelian theory of buoyancy affirms that bodies in a fluid are supported by the resistance of the fluid to being divided by the penetrating object, just as a large piece of wood supports an axe striking it or honey supports a spoon. According to this theory, a boat should sink in shallow water more than in high seas, just as an axe can easily penetrate and even break a small piece of wood, but cannot penetrate a large piece.
99. Sorabji, Richard (2010). "John Philoponus". Philoponus and the Rejection of Aristotelian Science (2nd ed.). Institute of Classical Studies, University of London. ISBN 978-1-905-67018-5. JSTOR 44216227. OCLC 878730683.
100. Maier, Anneliese (1982). Sargent, Steven D. (ed.). On the Threshold of Exact Science. University of Pennsylvania Press. ISBN 978-0-812-27831-6. OCLC 495305340.
101. See, for example:
     • Eaton, Philip; Vavruska, Kinsey; Willoughby, Shannon (25 April 2019). "Exploring the preinstruction and postinstruction non-Newtonian world views as measured by the Force Concept Inventory". Physical Review Physics Education Research. 15 (1): 010123. Bibcode:2019PRPER..15a0123E. doi:10.1103/PhysRevPhysEducRes.15.010123. ISSN 2469-9896. S2CID 149482566.
     • Robertson, Amy D.; Goodhew, Lisa M.; Scherr, Rachel E.; Heron, Paula R. L. (March 2021). "Impetus-Like Reasoning as Continuous with Newtonian Physics". The Physics Teacher. 59 (3): 185–188. doi:10.1119/10.0003660. ISSN 0031-921X. S2CID 233803836.
     • Robertson, Amy D.; Goodhew, Lisa M.; Scherr, Rachel E.; Heron, Paula R. L. (30 March 2021). "University student conceptual resources for understanding forces". Physical Review Physics Education Research. 17 (1): 010121. Bibcode:2021PRPER..17a0121R. doi:10.1103/PhysRevPhysEducRes.17.010121. ISSN 2469-9896. S2CID 243143427.
102. Blackwell, Richard J. (1966). "Descartes' Laws of Motion". Isis. 57 (2): 220–234. doi:10.1086/350115. JSTOR 227961. S2CID 144278075.
103. Galilei, G. (1954) [1638, 1914]. Crew, H.; De Salvio, A. (eds.). Dialogues Concerning Two New Sciences. Dover Publications Inc. p. 268.
104. Galilei, G. (1974) [1638]. Two new sciences, including centers of gravity & force of percussion. Translated by Drake, S. University of Wisconsin Press. pp. 217 [268].
105. Hellman, C. Doris (1955). "Science in the Renaissance: A Survey". Renaissance News. 8 (4): 186–200. doi:10.2307/2858681. ISSN 0277-903X. JSTOR 2858681.
106. LoLordo, Antonia (2007). Pierre Gassendi and the Birth of Early Modern Philosophy. New York: Cambridge University Press. pp. 175–180. ISBN 978-0-511-34982-9. OCLC 182818133.
107. Descartes, R. (2008) [1644]. Bennett, J. (ed.). Principles of philosophy (PDF). Part II, § 37, 39.
108. Blackwell, Richard J.; Huygens, Christiaan (1977). "Christiaan Huygens' The Motion of Colliding Bodies". Isis. 68 (4): 574–597. doi:10.1086/351876. JSTOR 230011. S2CID 144406041.
109. Pourciau, Bruce (October 2011). "Is Newton's second law really Newton's?". American Journal of Physics. 79 (10): 1015–1022. Bibcode:2011AmJPh..79.1015P. doi:10.1119/1.3607433. ISSN 0002-9505.
110. Fara, Patricia (15 August 2003). "Was Newton a Newtonian?". Science. 301 (5635): 920. doi:10.1126/science.1088786. ISSN 0036-8075. S2CID 170120455.
111. Higgitt, Rebekah (2015). Science and Culture in the Nineteenth Century: Recreating Newton. New York: Taylor & Francis. p. 147. ISBN 978-1-317-31495-0. OCLC 934741893.
112. Dobbs, Betty Jo Teeter (1975). The Foundations of Newton's Alchemy: Or, "the Hunting of the Greene Lyon". Cambridge University Press. pp. 211–212. ISBN 9780521273817. OCLC 1058581988.
113. West, Richard (1980). Never at Rest. Cambridge University Press. p. 390. ISBN 9780521231435. OCLC 5677169.
114. Newman, William R. (2016). "A preliminary reassessment of Newton's alchemy". The Cambridge Companion to Newton (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 454–484. ISBN 978-1-107-01546-3. OCLC 953450997.
115. Nummedal, Tara (1 June 2020). "William R. Newman. Newton the Alchemist: Science, Enigma, and the Quest for Nature's "Secret Fire"". Isis. 111 (2): 395–396. doi:10.1086/709344. ISSN 0021-1753. S2CID 243203703.
116. Aldersey-Williams, Hugh (2020). Dutch Light: Christiaan Huygens and the Making of Science in Europe. London: Picador. ISBN 978-1-5098-9333-1. OCLC 1144105192.
117. Cohen, I. Bernard (1962). "The First English Version of Newton's Hypotheses non fingo". Isis. 53 (3): 379–388. doi:10.1086/349598. ISSN 0021-1753. JSTOR 227788. S2CID 144575106.
118. Jammer, Max (1999) [1962]. Concepts of Force: A Study in the Foundations of Dynamics. Mineola, N.Y.: Dover Publications. pp. 91, 127. ISBN 978-0-486-40689-3. OCLC 40964671.
119. Slowik, Edward (15 October 2021). "Descartes' Physics". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 6 March 2022.
120. Erlichson, Herman (February 1997). "The young Huygens solves the problem of elastic collisions". American Journal of Physics. 65 (2): 149–154. Bibcode:1997AmJPh..65..149E. doi:10.1119/1.18659. ISSN 0002-9505.
121. Smith, George E. (October 2006). "The vis viva dispute: A controversy at the dawn of dynamics". Physics Today. 59 (10): 31–36. Bibcode:2006PhT....59j..31S. doi:10.1063/1.2387086. ISSN 0031-9228.
122. Davies, E. B. (2009). "Some Reflections on Newton's "Principia"". The British Journal for the History of Science. 42 (2): 211–224. doi:10.1017/S000708740800188X. ISSN 0007-0874. JSTOR 25592244. S2CID 145120248.
123. Smith, George E. (December 2020). "Newton's Laws of Motion". In Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (eds.). The Oxford Handbook of Newton. Oxford University Press. Online before print. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.35. ISBN 978-0-199-93041-8. OCLC 972369868.
124. Patterson, Elizabeth C. (December 1969). "Mary Somerville". The British Journal for the History of Science. 4 (4): 311–339. doi:10.1017/S0007087400010232. ISSN 0007-0874. S2CID 246612625. In no sense was it a mere translation of Laplace's work. Instead it endeavoured to explain his method ". . . by which these results were deduced from one general equation of the motion of matter" and to bring the reader's mathematical skill to the point where the exposition of Laplace's mathematics and ideas would be meaningful—then to give a digest in English of his great work. Diagrams were added when necessary to the original text and proofs of various problems in physical mechanics and astronomy included. ... [F]or almost a hundred years after its appearance the book continued to serve as a textbook for higher mathematics and astronomy in English schools.
125. Baron, Margaret E. (1969). The Origins of Infinitesimal Calculus (1st ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 978-1-483-28092-9. OCLC 892067655.
126. Dunlop, Katherine (May 2012). "The mathematical form of measurement and the argument for Proposition I in Newton's Principia". Synthese. 186 (1): 191–229. doi:10.1007/s11229-011-9983-8. ISSN 0039-7857. S2CID 11794836.
127. Smith, George (20 December 2007). "Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 6 March 2022.
128. Marquina, J. E.; Marquina, M. L.; Marquina, V.; Hernández-Gómez, J. J. (1 January 2017). "Leonhard Euler and the mechanics of rigid bodies". European Journal of Physics. 38 (1): 015001. Bibcode:2017EJPh...38a5001M. doi:10.1088/0143-0807/38/1/015001. ISSN 0143-0807. S2CID 125948408.
129. Hesse, Mary B. (2005) [1961]. Forces and Fields: The Concept of Action at a Distance in the History of Physics (Dover reprint ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 189. ISBN 978-0-486-44240-2. OCLC 57579169.
130. Smith, George (19 December 2007). "Isaac Newton". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 6 March 2022. These advances in our understanding of planetary motion led Laplace to produce the four principal volumes of his Traité de mécanique céleste from 1799 to 1805, a work collecting in one place all the theoretical and empirical results of the research predicated on Newton's Principia. From that time forward, Newtonian science sprang from Laplace's work, not Newton's.
131. Reichenberger, Andrea (June 2018). "Émilie Du Châtelet's interpretation of the laws of motion in the light of 18th century mechanics". Studies in History and Philosophy of Science Part A. 69: 1–11. Bibcode:2018SHPSA..69....1R. doi:10.1016/j.shpsa.2018.01.006. PMID 29857796. S2CID 46923474.
132. Frontali, Clara (September 2014). "History of physical terms: "energy"". Physics Education. 49 (5): 564–573. Bibcode:2014PhyEd..49..564F. doi:10.1088/0031-9120/49/5/564. ISSN 0031-9120. S2CID 122097990.
133. Gbur, Greg (10 December 2018). "History of the Conservation of Energy: Booms, Blood, and Beer (Part 1)". Skulls in the Stars. Retrieved 7 March 2022. "History of the Conservation of Energy: Booms, Blood, and Beer (Part 2)". 29 December 2018. Retrieved 7 March 2022. "History of the Conservation of Energy: Booms, Blood, and Beer (Part 3)". 25 August 2019. Retrieved 7 March 2022.
134. Silva, Cibelle Celestino; de Andrade Martins, Roberto (September 2002). "Polar and axial vectors versus quaternions". American Journal of Physics. 70 (9): 958–963. Bibcode:2002AmJPh..70..958S. doi:10.1119/1.1475326. ISSN 0002-9505.
135. Reich, Karin (1996). "The Emergence of Vector Calculus in Physics: The Early Decades". In Schubring, Gert (ed.). Hermann Günther Graßmann (1809–1877): Visionary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar. Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol. 187. Kluwer. pp. 197–210. ISBN 978-9-048-14758-8. OCLC 799299609.

Further reading

• Newton’s Laws of Dynamics - The Feynman Lectures on Physics
• Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; Frebel, Anna; Vuletic, Vladan (2016). "Classical Mechanics". MIT OpenCourseWare. Retrieved 17 January 2022.