Уравнения Максвелла

Уравнения, описывающие классический электромагнетизм

Уравнения Максвелла , или уравнения Максвелла-Хевисайда , представляют собой совокупность связанных уравнений в частных производных , которые вместе с законом силы Лоренца составляют основу классического электромагнетизма , классической оптики , электрических и магнитных цепей. Уравнения представляют собой математическую модель электрических, оптических и радиотехнологий, таких как производство электроэнергии, электродвигатели, беспроводная связь, линзы, радары и т. д. Они описывают, как электрические и магнитные поля генерируются зарядами , токами и изменениями поля. ^{[примечание 1]} Уравнения названы в честь физика и математика Джеймса Клерка Максвелла , который в 1861 и 1862 годах опубликовал раннюю форму уравнений, которая включала закон силы Лоренца. Максвелл впервые использовал эти уравнения, чтобы предположить, что свет — это электромагнитное явление. Современная форма уравнений в их наиболее распространенной формулировке принадлежит Оливеру Хевисайду . ^[1]

Уравнения Максвелла можно объединить, чтобы продемонстрировать, как флуктуации электромагнитных полей (волн) распространяются с постоянной скоростью в вакууме, c (299 792 458  м/с ). ^[2] Известные как электромагнитное излучение , эти волны возникают на различных длинах волн, создавая спектр излучения от радиоволн до гамма-лучей .

В дифференциальной форме и единицах СИ микроскопические уравнения Максвелла можно записать как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\rho }/{\varepsilon _{0}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-\partial _{t}\mathbf {B} \\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}\partial _{t}\mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$$

диэлектрическая проницаемость вакуумапроницаемость ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Уравнения имеют два основных варианта. Микроскопические уравнения имеют универсальную применимость , но громоздки для обычных вычислений. Они связывают электрические и магнитные поля с полным зарядом и полным током, включая сложные заряды и токи в материалах на атомном уровне . Макроскопические уравнения определяют два новых вспомогательных поля, которые описывают крупномасштабное поведение материи без необходимости учитывать заряды атомного масштаба и квантовые явления, такие как спины . Однако их использование требует экспериментально определяемых параметров для феноменологического описания электромагнитного отклика материалов. Термин «уравнения Максвелла» часто также используется для эквивалентных альтернативных формулировок. Версии уравнений Максвелла, основанные на электрическом и магнитном скалярных потенциалах, предпочтительны для явного решения уравнений как краевой задачи , аналитической механики или для использования в квантовой механике . Ковариантная формулировка (в пространстве-времени , а не в пространстве и времени по отдельности) делает очевидной совместимость уравнений Максвелла со специальной теорией относительности . Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени , обычно используемые в физике высоких энергий и гравитации , совместимы с общей теорией относительности . ^{[примечание 2]} Фактически, Альберт Эйнштейн разработал специальную и общую теорию относительности, чтобы учесть инвариантную скорость света, следствие уравнений Максвелла, с принципом, согласно которому только относительное движение имеет физические последствия.

Публикация уравнений ознаменовала объединение теории ранее отдельно описанных явлений: магнетизма, электричества, света и связанного с ними излучения. С середины 20 века стало понятно, что уравнения Максвелла не дают точного описания электромагнитных явлений, а вместо этого являются классическим пределом более точной теории квантовой электродинамики .

История уравнений

Концептуальные описания

Закон Гаусса

Электрическое поле от положительных зарядов к отрицательным

Закон Гаусса описывает взаимосвязь между электрическим полем и электрическими зарядами : электрическое поле направлено от положительных зарядов к отрицательным зарядам, а чистый отток электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален замкнутому заряду, включая связанный заряд из-за поляризация материала. Коэффициент пропорции — диэлектрическая проницаемость свободного пространства .

Закон Гаусса для магнетизма

Закон Гаусса для магнетизма : линии магнитного поля никогда не начинаются и не заканчиваются, а образуют петли или простираются до бесконечности, как показано здесь с магнитным полем, возникающим из-за кольца тока.

Закон магнетизма Гаусса гласит, что электрические заряды не имеют магнитных аналогов, называемых магнитными монополями ; ни северный, ни южный магнитные полюса не существуют изолированно. ^[3] Вместо этого магнитное поле материала приписывается диполю , а чистый отток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные диполи можно представить как петли тока или неразлучные пары равных и противоположных «магнитных зарядов». Точнее, полный магнитный поток через гауссову поверхность равен нулю, а магнитное поле представляет собой соленоидальное векторное поле . ^{[заметка 3]}

Закон Фарадея

Во время геомагнитной бури всплеск потока заряженных частиц временно изменяет магнитное поле Земли , что индуцирует электрические поля в атмосфере Земли, вызывая тем самым скачки напряжения в электросетях . (Не в масштабе.)

Версия закона индукции Фарадея Максвелла -Фарадея описывает, как изменяющееся во времени магнитное поле соответствует ротору электрического поля . ^[3] В интегральной форме он гласит, что работа на единицу заряда, необходимая для перемещения заряда по замкнутому контуру, равна скорости изменения магнитного потока через замкнутую поверхность.

Электромагнитная индукция является принципом действия многих электрических генераторов : например, вращающийся стержневой магнит создает изменяющееся магнитное поле и генерирует электрическое поле в соседнем проводе.

Закон Ампера с добавлением Максвелла.

Память на магнитном сердечнике (1954 г.) представляет собой применение закона Ампера . Каждое ядро ​​хранит один бит данных.

Оригинальный закон Ампера гласит, что магнитные поля связаны с электрическим током . В дополнении Максвелла говорится, что магнитные поля также связаны с изменяющимися электрическими полями, которые Максвелл назвал током смещения . Интегральная форма утверждает, что электрические токи и токи смещения связаны с пропорциональным магнитным полем вдоль любой охватывающей кривой.

Дополнение Максвелла к закону Ампера важно, потому что в противном случае законы Ампера и Гаусса придется адаптировать к статическим полям. ^{[4] [ необходимы разъяснения ]} Как следствие, он предсказывает, что вращающееся магнитное поле возникает с изменяющимся электрическим полем. ^{[3] [5]} Еще одним следствием является существование самоподдерживающихся электромагнитных волн , которые распространяются через пустое пространство .

Рассчитанная скорость электромагнитных волн, которую можно было предсказать на основе экспериментов с зарядами и токами, ^{[примечание 4]} соответствует скорости света ; действительно, свет является одной из форм электромагнитного излучения (как и рентгеновские лучи , радиоволны и другие). Максвелл понял связь между электромагнитными волнами и светом в 1861 году, тем самым объединив теории электромагнетизма и оптики .

Формулировка с учетом электрических и магнитных полей (микроскопическая или вакуумная версия)

В формулировке электрического и магнитного поля есть четыре уравнения, которые определяют поля для заданного распределения заряда и тока. Отдельный закон природы , закон силы Лоренца , описывает, как, наоборот, электрические и магнитные поля действуют на заряженные частицы и токи. Версия этого закона была включена в исходные уравнения Максвелла, но по соглашению больше не включена. Приведенный ниже формализм векторного исчисления , работа Оливера Хевисайда , ^{[6] [7],} стал стандартным. Оно явно инвариантно к вращению и, следовательно, математически гораздо более прозрачно, чем исходные 20 уравнений Максвелла с компонентами x, y, z. Релятивистские формулировки еще более симметричны и явно лоренц-инвариантны. О тех же уравнениях, выраженных с использованием тензорного исчисления или дифференциальных форм, см. § Альтернативные формулировки .

Дифференциальная и интегральная формулировки математически эквивалентны; оба полезны. Интегральная формулировка связывает поля внутри области пространства с полями на границе и часто может использоваться для упрощения и прямого расчета полей на основе симметричных распределений зарядов и токов. С другой стороны, дифференциальные уравнения являются чисто локальными и являются более естественной отправной точкой для расчета полей в более сложных (менее симметричных) ситуациях, например, с использованием анализа методом конечных элементов . ^[8]

Ключ к обозначениям

Символы, выделенные жирным шрифтом , представляют векторные величины, а символы, выделенные курсивом , представляют скалярные величины, если не указано иное. Уравнения вводят электрическое поле E , векторное поле , и магнитное поле B , псевдовекторное поле, каждое из которых обычно зависит от времени и местоположения. Источники:

• полная плотность электрического заряда (полный заряд на единицу объема), ρ и
• полная плотность электрического тока (полный ток на единицу площади), Дж .

Универсальные константы , фигурирующие в уравнениях (первые две явно только в формулировке единиц СИ):

• диэлектрическая проницаемость свободного пространства ε ₀ и
• проницаемость свободного пространства , µ ₀ , и
• скорость света , ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

Дифференциальные уравнения

В дифференциальных уравнениях

• символ наблы , ∇ , обозначает оператор трехмерного градиента , del ,
• символ ∇⋅ (произносится как «дель точка») обозначает оператор дивергенции ,
• символ ∇× (произносится как «дель-крест») обозначает оператор скручивания .

Интегральные уравнения

В интегральных уравнениях

• Ω — любой объем с замкнутой граничной поверхностью ∂Ω , и
• Σ — любая поверхность с замкнутой граничной кривой ∂Σ ,

Уравнения немного легче интерпретировать, если поверхности и объемы не зависят от времени. Независящие от времени поверхности и объемы «фиксированы» и не изменяются в течение заданного интервала времени. Например, поскольку поверхность не зависит от времени, мы можем поставить дифференцирование под знак интеграла в законе Фарадея:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$$

• ${\displaystyle {\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }}$представляет собой поверхностный интеграл по граничной поверхности ∂Ω с петлей, указывающей на замкнутость поверхности.
• ${\displaystyle \iiint _{\Omega }}$является объемным интегралом по объему Ω ,
• ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}$представляет собой линейный интеграл вокруг граничной кривой ∂Σ с петлей, указывающей на замкнутость кривой.
• ${\displaystyle \iint _{\Sigma }}$является поверхностным интегралом по поверхности Σ ,
• Полный электрический заряд Q , заключенный в Ω , представляет собой объемный интеграл по Ω от плотности заряда ρ (см. раздел «Макроскопическая формулировка» ниже):
  $${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}$$
  где d V – элемент объема .
• Чистый электрический ток I представляет собой поверхностный интеграл плотности электрического тока J , проходящего через неподвижную поверхность, Σ :
  $${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
  где d S обозначает элемент дифференциального вектора площади поверхности S , нормали к поверхности Σ . (Площадь вектора иногда обозначается буквой A , а не S , но это противоречит обозначению магнитного векторного потенциала ).

Формулировка в условных единицах СИ

Формулировка в гауссовых единицах измерения

Определения заряда, электрического поля и магнитного поля можно изменить, чтобы упростить теоретические расчеты, путем включения размерных коэффициентов ε ₀ и μ ₀ в единицы расчета по соглашению. С соответствующим изменением соглашения о силе Лоренца это дает ту же самую физику, то есть траектории заряженных частиц или работу, совершаемую электродвигателем. Этим определениям часто отдают предпочтение в теоретической физике и физике высоких энергий, где естественно брать электрическое и магнитное поля в одних и тех же единицах, чтобы упростить внешний вид электромагнитного тензора : ковариантный объект Лоренца, объединяющий электрическое и магнитное поле, тогда будет содержать компоненты с единая единица измерения и размер. ^{[9] : vii} Такие модифицированные определения обычно используются с гауссовскими единицами измерения ( CGS ). Используя эти определения и соглашения, в просторечии «в гауссовских единицах», ^[10] уравнения Максвелла принимают вид: ^[11]

Уравнения немного упрощаются, когда для обезразмеривания используется система величин скорости света c , так что, например, секунды и световые секунды взаимозаменяемы, и c = 1.

Дальнейшие изменения возможны за счет поглощения факторов 4 π . Этот процесс, называемый рационализацией, влияет на то, включает ли такой фактор закон Кулона или закон Гаусса (см. единицы Хевисайда-Лоренца , используемые в основном в физике элементарных частиц ).

Связь между дифференциальными и интегральными формулировками

Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок является следствием теоремы о расходимости Гаусса и теоремы Кельвина–Стокса .

Поток и дивергенция

Объем Ω и его замкнутая граница ∂Ω , содержащие (соответственно заключающие) источник (+) и сток (−) векторного поля F . Здесь F может быть полем E с исходными электрическими зарядами, но не полем B , которое, как показано, не имеет магнитных зарядов. Внешняя нормальная единица равна n .

Согласно (чисто математической) теореме о дивергенции Гаусса электрический поток через граничную поверхность ∂Ω можно переписать как

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

Таким образом, интегральную версию уравнения Гаусса можно переписать как

$${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$$

Ωтогда и только тогда, когда

Аналогичным образом переписывание магнитного потока в законе Гаусса для магнетизма в интегральной форме дает

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

которое выполняется для всех Ω тогда и только тогда, когда всюду. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

Циркуляция и скручиваемость

Поверхность Σ с замкнутой границей ∂Σ . F может быть полями E или B. Опять же, n — это нормальная единица измерения . (Завиток векторного поля не выглядит буквально как «циркуляция», это эвристическое изображение.)

По теореме Кельвина – Стокса мы можем переписать линейные интегралы полей вокруг замкнутой граничной кривой ∂Σ в интеграл «циркуляции полей» (т.е. их роторов ) по поверхности, которую она ограничивает, т.е.

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$$

Σтогда и только тогда, когда

Линейные интегралы и вихри аналогичны величинам в классической гидродинамике : циркуляция жидкости — это линейный интеграл поля скорости потока жидкости вокруг замкнутого контура, а завихренность жидкости — это вихрь поля скорости.

Сохранение заряда

Инвариантность заряда можно вывести как следствие уравнений Максвелла. Левая часть модифицированного закона Ампера имеет нулевую дивергенцию по тождеству div-curl . Разложение расхождения правой части, замена производных и применение закона Гаусса дает:

$${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

В частности, в изолированной системе сохраняется полный заряд.

Уравнения вакуума, электромагнитные волны и скорость света

На этой трехмерной диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся слева направо, определяемая формулами E = E ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ) и B = B ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ). Осциллирующие поля обнаруживаются при мигающая точка. Горизонтальная длина волны равна λ . Е ₀ ⋅ B ₀ знак равно 0 знак равно E ₀ ⋅ k знак равно B ₀ ⋅ k

В области без зарядов ( ρ = 0 ) и токов ( J = 0 ), например, в вакууме, уравнения Максвелла сводятся к:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

Взяв ротор (∇×) уравнений ротора и используя ротор равенства ротора , мы получаем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

Величина имеет размерность (время/длина) ² . Определяя , приведенные выше уравнения имеют вид стандартных волновых уравнений ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

Уже при жизни Максвелла было установлено, что известные значения и дают , уже известную тогда скорость света в свободном пространстве. Это привело его к предположению, что свет и радиоволны распространяются электромагнитными волнами, что было полностью подтверждено. В старой системе единиц СИ значения и определяются константами (что означает, что по определению ), которые определяют ампер и метр. В новой системе СИ только c сохраняет свое определенное значение, а заряд электрона получает определенное значение. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$ ${\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}$

В материалах с относительной диэлектрической проницаемостью ε _r и относительной проницаемостью µ _r фазовая скорость света становится

$${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},}$$

что обычно ^{[примечание 5]} меньше, чем c .

Кроме того, E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения волн и находятся в фазе друг с другом. Синусоидальная плоская волна является одним из особых решений этих уравнений. Уравнения Максвелла объясняют, как эти волны могут физически распространяться в пространстве. Изменяющееся магнитное поле создает изменяющееся электрическое поле согласно закону Фарадея . В свою очередь, это электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле благодаря дополнению Максвелла к закону Ампера . Этот вечный цикл позволяет этим волнам, теперь известным как электромагнитное излучение , перемещаться в пространстве со скоростью c .

Макроскопическая формулировка

Вышеупомянутые уравнения представляют собой микроскопическую версию уравнений Максвелла, выражающую электрические и магнитные поля через присутствующие заряды и токи (возможно, на атомном уровне). Иногда ее называют «общей» формой, но приведенная ниже макроскопическая версия является столь же общей, с той разницей, что она связана с бухгалтерским учетом.

Микроскопическую версию иногда называют «уравнениями Максвелла в вакууме»: это относится к тому, что материальная среда не встроена в структуру уравнений, а фигурирует только в терминах заряда и тока. Микроскопическую версию предложил Лоренц, который пытался использовать ее для получения макроскопических свойств объемного вещества на основе его микроскопических составляющих. ^{[12] : 5}

«Макроскопические уравнения Максвелла», также известные как уравнения Максвелла в веществе , больше похожи на те, которые представил сам Максвелл.

В макроскопических уравнениях влияние связанного заряда Q _b и связанного тока I _b заложено в поле смещения D и намагничивающем поле H , тогда как уравнения зависят только от свободных зарядов Q _f и свободных токов I _f . Это отражает расщепление суммарного электрического заряда Q и тока I (и их плотностей ρ и J ) на свободную и связанную части:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}$$

Цена этого расщепления состоит в том, что дополнительные поля D и H необходимо определять с помощью феноменологических составляющих уравнений, связывающих эти поля с электрическим полем E и магнитным полем B вместе со связанными зарядом и током.

Ниже приведено подробное описание различий между микроскопическими уравнениями, касающимися общего заряда и тока, включая материальные вклады, полезные в воздухе/вакууме; ^{[примечание 6]} и макроскопические уравнения, касающиеся свободного заряда и тока, практичные для использования в материалах.

Связанный заряд и ток

Слева: схематическое изображение того, как совокупность микроскопических диполей создает противоположные поверхностные заряды, как показано вверху и внизу. Справа: Как совокупность микроскопических токовых петель объединяется, образуя макроскопически циркулирующую токовую петлю. Внутри границ отдельные вклады имеют тенденцию к аннулированию, но на границах никакого аннулирования не происходит.

Когда электрическое поле прикладывается к диэлектрическому материалу, его молекулы реагируют образованием микроскопических электрических диполей — их атомные ядра перемещаются на небольшое расстояние в направлении поля, а их электроны — на небольшое расстояние в противоположном направлении. Это создает макроскопический связанный заряд в материале, хотя все задействованные заряды связаны с отдельными молекулами. Например, если все молекулы реагируют одинаково, как показано на рисунке, эти крошечные движения заряда объединяются, образуя слой положительного связанного заряда на одной стороне материала и слой отрицательного заряда на другой стороне. Связанный заряд удобнее всего описывать через поляризацию P материала , его дипольный момент в единице объема. Если P однороден, макроскопическое разделение заряда происходит только на поверхностях, где P входит в материал и выходит из него. При неоднородном P заряд также образуется в объеме. ^[13]

Примерно так же во всех материалах составляющие атомы обладают магнитными моментами , которые неразрывно связаны с угловым моментом компонентов атомов, в первую очередь их электронов . Связь с угловым моментом предполагает картину совокупности микроскопических токовых петель. Вне материала совокупность таких микроскопических токовых петель не отличается от макроскопического тока, циркулирующего вокруг поверхности материала, несмотря на то, что ни один отдельный заряд не перемещается на большое расстояние. Эти связанные токи можно описать с помощью намагниченности M. ^[14]

Поэтому очень сложные и зернистые связанные заряды и связанные токи могут быть представлены в макроскопическом масштабе в терминах P и M , которые усредняют эти заряды и токи в достаточно большом масштабе, чтобы не видеть зернистость отдельных атомов, но также достаточно малы, чтобы изменяться в зависимости от местоположения в материале. Таким образом, макроскопические уравнения Максвелла игнорируют многие детали в мелком масштабе, которые могут быть неважными для понимания вещей в грубом масштабе путем расчета полей, усредненных по некоторому подходящему объему.

Вспомогательные поля, поляризация и намагниченность

Определения вспомогательных полей :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$$

где P — поле поляризации , а M — поле намагничивания , которые определяются через микроскопические связанные заряды и связанные токи соответственно. Макроскопическая плотность связанного заряда ρ _b и плотность связанного тока J _b в терминах поляризации P и намагниченности M тогда определяются как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

Если мы определим полный, связанный и свободный заряд и плотность тока как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}}$$

DH

Учредительные отношения

Чтобы применить «макроскопические уравнения Максвелла», необходимо указать связи между полем смещения D и электрическим полем E , а также намагничивающим полем H и магнитным полем B. Эквивалентно, мы должны указать зависимость поляризации P (следовательно, связанного заряда) и намагниченности M (следовательно, связанного тока) от приложенного электрического и магнитного поля. Уравнения, определяющие этот отклик, называются определяющими соотношениями . Для реальных материалов определяющие соотношения редко бывают простыми, за исключением приближенных и обычно определяемых экспериментом. Более полное описание см. в основной статье о конститутивных отношениях. ^{[15] : 44–45}

Для материалов без поляризации и намагниченности определяющие соотношения (по определению) ^{[9] : 2}

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,}$$

ε ₀диэлектрическая проницаемостьµ ₀ — проницаемость

Альтернативная точка зрения на микроскопические уравнения состоит в том, что они представляют собой макроскопические уравнения вместе с утверждением, что вакуум ведет себя как идеальный линейный «материал» без дополнительной поляризации и намагничивания. В более общем плане для линейных материалов определяющие соотношения составляют ^{[15] : 44–45.}

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,}$$

εдиэлектрическая проницаемостьμ — проницаемостьD^Вгистерезис ${\displaystyle \mathbf {H} }$

• Для однородных материалов ε и μ постоянны по всему материалу, тогда как для неоднородных материалов они зависят от местоположения внутри материала (и, возможно, времени). ^{[16] : 463}
• Для изотропных материалов ε и μ являются скалярами, а для анизотропных материалов (например, из-за кристаллической структуры) — тензорами . ^{[15] : 421  [16] : 463}
• Материалы обычно обладают дисперсией , поэтому ε и μ зависят от частоты любых падающих электромагнитных волн. ^{[15] : 625  [16] : 397}

В более общем смысле, в случае нелинейных материалов (см., например, нелинейную оптику ) D и P не обязательно пропорциональны E , аналогично H или M не обязательно пропорциональны B. В общем, D и H зависят как от E , так и от B , от местоположения и времени и, возможно, от других физических величин.

В приложениях также необходимо описывать, как ведут себя свободные токи и плотность заряда с точки зрения E и B , возможно, связанных с другими физическими величинами, такими как давление, а также масса, плотность числа и скорость частиц, несущих заряд. Например, исходные уравнения, данные Максвеллом (см. Историю уравнений Максвелла ), включали закон Ома в форме

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .}$$

Альтернативные составы

Ниже приводится краткое изложение некоторых других многочисленных математических формализмов для написания микроскопических уравнений Максвелла со столбцами, отделяющими два однородных уравнения Максвелла от двух неоднородных, включающих заряд и ток. Каждая формулировка имеет версии непосредственно с точки зрения электрического и магнитного полей, а также косвенно с точки зрения электрического потенциала φ и векторного потенциала A . Потенциалы были введены как удобный способ решения однородных уравнений, но считалось, что вся наблюдаемая физика содержится в электрических и магнитных полях (или, релятивистски, в тензоре Фарадея). Однако потенциалы играют центральную роль в квантовой механике и действуют квантовомеханически с наблюдаемыми последствиями, даже когда электрические и магнитные поля исчезают ( эффект Ааронова-Бома ).

Каждая таблица описывает один формализм. Подробную информацию о каждом составе смотрите в основной статье . Единицы СИ используются повсюду.

Релятивистские формулировки

Уравнения Максвелла также могут быть сформулированы в пространстве-времени, подобном пространству Минковского , где пространство и время рассматриваются на равных. Формулировки прямого пространства-времени показывают, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны . Из-за этой симметрии электрические и магнитные поля рассматриваются на равных и признаются компонентами тензора Фарадея . Это сводит четыре уравнения Максвелла к двум, что упрощает уравнения, хотя мы больше не можем использовать знакомую векторную формулировку. Фактически уравнения Максвелла в формулировке пространства + времени не являются галилео-инвариантными и обладают лоренц-инвариантностью как скрытой симметрией. Это стало основным источником вдохновения для развития теории относительности. Действительно, даже формулировка, рассматривающая пространство и время отдельно, не является нерелятивистским приближением и описывает ту же самую физику, просто переименовывая переменные. По этой причине релятивистские инвариантные уравнения обычно называют также уравнениями Максвелла.

Каждая таблица ниже описывает один формализм.

• В формулировке тензорного исчисления электромагнитный тензор F _αβ представляет собой антисимметричный ковариантный тензор второго порядка; четырехпотенциал A _α является ковариантным вектором ; ток Jα ^{является} вектором; квадратные скобки [ ] обозначают антисимметризацию индексов ; ∂ _α — частная производная по координате x ^α . В пространстве Минковского координаты выбираются относительно инерциальной системы отсчета ; ( x ^α ) = ( ct ,  x ,  y ,  z ) , так что метрический тензор , используемый для повышения и понижения индексов, равен η _αβ =diag(1, −1, −1, −1) . Оператор Даламбера в пространстве Минковского равен ◻ = ∂ _α ∂ ^α , как и в векторной формулировке. В общем пространстве-времени система координат x ^α произвольна, ковариантная производная ∇ _α , тензор Риччи , R _αβ и подъем и понижение индексов определяются лоренцевой метрикой g _αβ , а оператор Даламбера определяется как ◻ = ∇ _α ∇ ^α . Топологическое ограничение состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий пространства обращается в нуль (объяснение см. в формулировке дифференциальной формы). Это нарушается для пространства Минковского с удаленной линией, которое может моделировать (плоское) пространство-время с точечным монополем в дополнении к линии.
• В формулировке дифференциальной формы в произвольном пространстве времени F =1/2F _αβ d x ^α ∧ d x ^β — электромагнитный тензор, рассматриваемый как 2-форма, A = A _α d x ^α — потенциальная 1-форма,— текущая 3-форма, d —внешняя производная и Звезда Ходжа в формах, определяемых (с точностью до ее ориентации, т.е. знака) лоренцевой метрикой пространства-времени. В частном случае 2-форм, таких как F , звезда Ходжазависит от метрического тензора только в своем локальном масштабе. Это означает, что в сформулированной формулировке уравнения поля дифференциальной формы конформно инвариантны , но калибровочное условие Лоренца нарушает конформную инвариантность. Операторпредставляет собой оператор Даламбера–Лапласа–Бельтрами на 1-формах в произвольном лоренцевом пространстве-времени . Топологическое условие снова состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий «тривиальна» (это означает, что ее форма следует из определения). В силу изоморфизма со вторыми когомологиями де Рама это условие означает, что каждая замкнутая 2-форма точна. ${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$

Другие формализмы включают формулировку геометрической алгебры и матричное представление уравнений Максвелла . Исторически использовалась кватернионная формулировка ^{[17] [18] .}

Решения

Уравнения Максвелла — это уравнения в частных производных , которые связывают электрические и магнитные поля друг с другом, а также с электрическими зарядами и токами. Часто заряды и токи сами по себе зависят от электрических и магнитных полей посредством уравнения силы Лоренца и определяющих соотношений. Все они образуют набор связанных уравнений в частных производных, которые часто очень трудно решить: решения охватывают все разнообразные явления классического электромагнетизма . Далее следуют некоторые общие замечания.

Как и для любого дифференциального уравнения, для однозначного решения необходимы граничные условия ^{[19] [20] [21]} и начальные условия ^[22] . Например, даже при отсутствии зарядов и токов где-либо в пространстве-времени существуют очевидные решения, для которых E и B равны нулю или постоянны, но есть и нетривиальные решения, соответствующие электромагнитным волнам. В некоторых случаях уравнения Максвелла решаются во всем пространстве, а граничные условия задаются как асимптотические пределы на бесконечности. ^[23] В других случаях уравнения Максвелла решаются в конечной области пространства с соответствующими условиями на границе этой области, например, искусственной поглощающей границей , представляющей остальную Вселенную, ^{[24] [25]} или периодической границей. условия или стены, которые изолируют небольшую область от внешнего мира (как в случае с волноводом или полым резонатором ). ^[26]

Уравнения Ефименко (или тесно связанные потенциалы Льенара – Вихерта ) представляют собой явное решение уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей, создаваемых любым заданным распределением зарядов и токов. Он предполагает наличие определенных начальных условий для получения так называемого «запаздывающего решения», в котором присутствуют только поля, созданные зарядами. Однако уравнения Ефименко бесполезны в ситуациях, когда на заряды и токи сами влияют создаваемые ими поля.

Численные методы для дифференциальных уравнений можно использовать для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла, когда точные решения невозможны. К ним относятся метод конечных элементов и метод конечных разностей во временной области . ^{[19] [21] [27] [28] [29]} Более подробную информацию см. в разделе «Вычислительная электромагнетика» .

Переопределение уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла кажутся переопределенными , поскольку они включают шесть неизвестных (три компонента E и B ), но восемь уравнений (по одному для каждого из двух законов Гаусса, по три векторных компонента для законов Фарадея и Ампера). (Токи и заряды не являются неизвестными, поскольку их можно свободно определить с учетом сохранения заряда .) Это связано с определенным ограниченным видом избыточности в уравнениях Максвелла: можно доказать, что любая система, удовлетворяющая закону Фарадея и закону Ампера, автоматически также удовлетворяет двум законам : Законы Гаусса, если это допускает начальное состояние системы, и при условии сохранения заряда и отсутствия магнитных монополей. ^{[30] [31]} Это объяснение было впервые предложено Джулиусом Адамсом Страттоном в 1941 году. ^[32]

Хотя в численном алгоритме можно просто игнорировать два закона Гаусса (кроме начальных условий), несовершенная точность вычислений может привести ко все большему количеству нарушений этих законов. Благодаря введению фиктивных переменных, характеризующих эти нарушения, четыре уравнения в конце концов не переопределяются. Полученная формулировка может привести к созданию более точных алгоритмов, учитывающих все четыре закона. ^[33]

Оба тождества , сводящие восемь уравнений к шести независимым, являются истинной причиной переопределенности. ^{[34] [35]} ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$

Эквивалентно, переопределение можно рассматривать как подразумевающее сохранение электрического и магнитного заряда, поскольку они требуются при выводе, описанном выше, но подразумеваются двумя законами Гаусса.

Для линейных алгебраических уравнений можно создать «хорошие» правила, позволяющие переписать уравнения и неизвестные. Уравнения могут быть линейно зависимыми. Но в дифференциальных уравнениях, и особенно в уравнениях в частных производных (ЧДУ), нужны соответствующие граничные условия, которые не столь очевидным образом зависят от уравнений. Более того, если переписать их в терминах векторного и скалярного потенциала, то уравнения станут недоопределенными из-за фиксации калибровки .

Уравнения Максвелла и квантовая механика

Уравнения Максвелла справедливы как в классической, так и в квантовой сфере. В представлении Гейзенберга квантовой механики уравнения операторов E и B являются в точности уравнениями Максвелла. Конечно, поскольку поля являются квантовыми операторами, существует множество аспектов, которые отличаются от классических полей. Например, поле E действует как импульс, сопряженный с пространственными компонентами векторного потенциала A. Это, конечно, приводит к тому, что многие аспекты квантового электромагнитного поля отличаются от них как от классических полей, но они по-прежнему подчиняются тем же уравнениям эволюции, что и поле E. классическое поле делает.

Конечно, как только кто-то исследует влияние электромагнитных полей на заряженное вещество, а затем эти эффекты изменяют электромагнитное поле, уравнения поля становятся нелинейными, и квантовое поведение нелинейного поля может сильно отличаться от классического. поведение нелинейных полей. Однако это не меняет того факта, что если оставаться в линейном режиме, поля подчиняются уравнениям Максвелла.

Вариации

Популярные вариации уравнений Максвелла как классической теории электромагнитных полей относительно немногочисленны, поскольку стандартные уравнения удивительно хорошо выдержали испытание временем.

Магнитные монополи

Уравнения Максвелла предполагают, что во Вселенной есть электрический заряд , но нет магнитного заряда (также называемого магнитными монополями ). Действительно, магнитный заряд никогда не наблюдался, несмотря на обширные поиски ^{[примечание 7]} и, возможно, не существует. Если бы они действительно существовали, и закон магнетизма Гаусса, и закон Фарадея пришлось бы модифицировать, и полученные четыре уравнения были бы полностью симметричными при обмене электрическими и магнитными полями. ^{[9] : 273–275.}

Смотрите также

• Портал электроники
• Физический портал

• Алгебра физического пространства
• Уравнения Френеля
• Гравитоэлектромагнетизм
• Условия взаимодействия электромагнитных полей
• Проблема с движущимся магнитом и проводником
• Вектор Римана – Зильберштейна
• Алгебра пространства-времени
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Заметки с пояснениями

1. Электрические и магнитные поля, согласно теории относительности , являются составляющими единого электромагнитного поля.
2. Однако в общей теории относительности они должны войти через ее тензор энергии-напряжения в уравнения поля Эйнштейна , которые включают кривизну пространства-времени.
3. Отсутствие стоков/источников поля не означает, что линии поля должны замыкаться или уходить в бесконечность. Они также могут неограниченно перемещаться без самопересечений. Более того, вокруг точек, где поле равно нулю (которые не могут пересекаться линиями поля, поскольку их направление не будет определено), может быть одновременное начало одних линий и конец других линий. Это происходит, например, посередине между двумя одинаковыми цилиндрическими магнитами, северные полюса которых обращены друг к другу. В середине между этими магнитами поле равно нулю, а осевые силовые линии, исходящие от магнитов, заканчиваются. В то же время от этой точки радиально исходит бесконечное количество расходящихся линий. Одновременное наличие линий, заканчивающихся и начинающихся вокруг точки, сохраняет бездивергентный характер поля. Подробное обсуждение незамкнутых силовых линий см. в статье Л. Зилберти «Заблуждение о замкнутых линиях магнитного потока», IEEE Magnetics Letters, vol. 8, ст. 1306005, 2017.
4. Величина, которую мы бы сейчас назвали 1/ √ ε ₀ μ ₀ в единицах скорости, была непосредственно измерена до появления уравнений Максвелла в эксперименте 1855 года Вильгельма Эдуарда Вебера и Рудольфа Кольрауша . Они зарядили лейденскую банку (разновидность конденсатора ) и измерили электростатическую силу, связанную с потенциалом; затем они разрядили его, измеряя магнитную силу по току в разрядном проводе. Их результат был3,107 × 10 ⁸  м/с , что очень близко к скорости света. См. Джозеф Ф. Кейтли, История электрических и магнитных измерений: с 500 г. до н.э. по 1940-е гг., стр. 115.
5. Бывают случаи ( аномальная дисперсия ), когда фазовая скорость может превышать c , но «скорость сигнала» все равно будет < c
6. В некоторых книгах — например, в «Основной теоретической физике» У. Крия и А. Оуэна (Springer 2007) — вместо термина « полный заряд » используется термин «эффективный заряд », тогда как свободный заряд называется просто зарядом .
7. См. «Магнитный монополь» , где обсуждаются поиски монополя. Недавно ученые обнаружили, что некоторые типы конденсированной материи, в том числе спиновый лед и топологические изоляторы , демонстрируют эмерджентное поведение, напоминающее магнитные монополи. (См. sciencemag.org и Nature.com.) Хотя в популярной прессе они были описаны как долгожданное открытие магнитных монополей, между ними существует лишь поверхностное отношение. «Истинный» магнитный монополь — это нечто такое, где ∇ ⋅ B ≠ 0 , тогда как в этих конденсированных системах ∇ ⋅ B = 0 , тогда как только ∇ ⋅ H ≠ 0 .

Рекомендации

1. Хэмпшир, Дамиан П. (29 октября 2018 г.). «Вывод уравнений Максвелла с использованием обозначений Хевисайда». Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 376 (2134). arXiv : 1510.04309 . Бибкод : 2018RSPTA.37670447H. дои : 10.1098/rsta.2017.0447. ISSN  1364-503X. ПМК  6232579 . ПМИД  30373937.
2. «Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности».
3. Джексон, Джон. «Уравнения Максвелла». Научный видеословарь . Лаборатория Беркли. Архивировано из оригинала 29 января 2019 г. Проверено 4 июня 2016 г.
4. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика , раздел 6.3.
5. Принципы физики: текст, основанный на исчислении, Р. А. Сервей, Дж. Джуэтт, стр. 809.
6. Брюс Дж. Хант (1991) Максвеллианцы , глава 5 и приложение, Cornell University Press
7. «Уравнения Максвелла». Wiki по истории техники и технологий. 29 октября 2019 г. Проверено 4 декабря 2021 г.
8. Шолин, Павел (2006). Уравнения в частных производных и метод конечных элементов. Джон Уайли и сыновья. п. 273. ИСБН 978-0-471-72070-6.
9. Джей Ди Джексон (17 октября 1975). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43132-9.
10. Литтлджон, Роберт (осень 2007 г.). «Гауссова система единиц СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории» (PDF) . Физика 221A, Конспект лекций Калифорнийского университета в Беркли . Проверено 6 мая 2008 г.
11. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Прентис Холл. стр. 559–562. ISBN 978-0-13-805326-0.
12. Кимбалл Милтон; Дж. Швингер (18 июня 2006 г.). Электромагнитное излучение: вариационные методы, волноводы и ускорители . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29306-4.
13. См. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). «4.2.2». Введение в электродинамику (третье изд.). Прентис Холл . ISBN 9780138053260.для хорошего описания того, как P соотносится со связанным зарядом .
14. См. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). «6.2.2». Введение в электродинамику (третье изд.). Прентис Холл . ISBN 9780138053260.для хорошего описания того, как M относится к связанному току .
15. Эндрю Зангвилл (2013). Современная электродинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89697-9.
16. Киттель, Чарльз (2005), Введение в физику твердого тела (8-е изд.), США: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8
17. Джек, премьер-министр (2003). «Физическое пространство как кватернионная структура I: уравнения Максвелла. Краткое примечание». arXiv : math-ph/0307038 .
18. А. Васер (2000). «Об обозначениях уравнений поля Максвелла» (PDF) . AW-Верлаг.
19. Питер Монк (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла. Оксфорд Великобритания: Издательство Оксфордского университета. п. 1 фф. ISBN 978-0-19-850888-5.
20. Томас Б.А. старший и Джон Леонидас Волакис (1 марта 1995 г.). Приближенные граничные условия в электромагнетике. Лондон, Великобритания: Институт инженеров-электриков. п. 261 и далее. ISBN 978-0-85296-849-9.
21. T Hagstrom (Бьёрн Энгквист и Грегори А. Кригсманн, ред.) (1997). Вычислительное распространение волн. Берлин: Шпрингер. п. 1 фф. ISBN 978-0-387-94874-4.
22. Хеннинг Ф. Хармут и Малек Г.М. Хуссейн (1994). Распространение электромагнитных сигналов. Сингапур: World Scientific. п. 17. ISBN 978-981-02-1689-4.
23. Дэвид М. Кук (2002). Теория электромагнитного поля. Минеола, штат Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. п. 335 и далее. ISBN 978-0-486-42567-2.
24. Жан-Мишель Луртиоз (23 мая 2005 г.). Фотонные кристаллы: на пути к наноразмерным фотонным устройствам. Берлин: Шпрингер. п. 84. ИСБН 978-3-540-24431-8.
25. С.Г. Джонсон, Заметки об идеально подобранных слоях, онлайн-конспекты курса Массачусетского технологического института (август 2007 г.).
26. СФ Махмуд (1991). Электромагнитные волноводы: теория и приложения. Лондон, Великобритания: Институт инженеров-электриков. Глава 2. ISBN 978-0-86341-232-5.
27. Джон Леонидас Волакис, Ариндам Чаттерджи и Лео К. Кемпель (1998). Метод конечных элементов для электромагнетизма: антенны, микроволновые схемы и приложения рассеяния. Нью-Йорк: Wiley IEEE. п. 79 и далее. ISBN 978-0-7803-3425-0.
28. Бернард Фридман (1990). Основы и методы прикладной математики . Минеола, штат Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66444-6.
29. Тафлав А. и Хагнесс SC (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области . Бостон, Массачусетс: Artech House . Главы 6 и 7. ISBN 978-1-58053-832-9.
30. Х. Фрейстюлер и Г. Варнеке (2001). Гиперболические задачи: теория, численные вычисления, приложения. Спрингер. п. 605. ИСБН 9783764367107.
31. Дж. Розен (1980). «Избыточность и избыточность электромагнитных полей и потенциалов». Американский журнал физики . 48 (12): 1071. Бибкод : 1980AmJPh..48.1071R. дои : 10.1119/1.12289.
32. Дж. А. Страттон (1941). Электромагнитная теория. Книжная компания МакГроу-Хилл. стр. 1–6. ISBN 9780470131534.
33. Б. Цзян, Дж. Ву и Л. А. Повинелли (1996). «Происхождение ложных решений в вычислительной электромагнетике». Журнал вычислительной физики . 125 (1): 104. Бибкод : 1996JCoPh.125..104J. дои : 10.1006/jcph.1996.0082. hdl : 2060/19950021305 .
34. Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология. Джон Уайли. стр. 161–162. ISBN 978-0-471-92567-5.
35. Курант Р. и Гильберт Д. (1962), Методы математической физики: уравнения в частных производных, том. II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, стр. 15–18, ISBN. 9783527617241

дальнейшее чтение

• Имаэда, К. (1995), «Бикватернионная формулировка уравнений Максвелла и их решений», в Абламовиче, Рафале; Лунесто, Пертти (ред.), « Алгебры Клиффорда и спинорные структуры» , Springer, стр. 265–280, doi : 10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN 978-90-481-4525-6

Исторические публикации

• О силовых линиях Фарадея – 1855/56. Первая статья Максвелла (части 1 и 2) – составлено Blaze Labs Research (PDF).
• О физических силовых линиях - 1861 г. Статья Максвелла 1861 г., описывающая магнитные силовые линии - предшественник Трактата 1873 г.
• Джеймс Клерк Максвелл , « Динамическая теория электромагнитного поля », «Философские труды Лондонского королевского общества» 155 , 459–512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла перед Королевским обществом 8 декабря 1864 года.)
  • Динамическая теория электромагнитного поля - 1865 год. Статья Максвелла 1865 года, описывающая его 20 уравнений, ссылка из Google Books .
• Дж. Клерк Максвелл (1873 г.), « Трактат об электричестве и магнетизме »:
  • Максвелл, Дж. К., «Трактат об электричестве и магнетизме» - Том 1 - 1873 г. - Мемориальная коллекция Познера - Университет Карнеги-Меллона.
  • Максвелл, Дж. К., «Трактат об электричестве и магнетизме» - Том 2 - 1873 г. - Мемориальная коллекция Познера - Университет Карнеги-Меллона.

События до теории относительности:

• Лармор Джозеф (1897). «К динамической теории электрической и светоносной среды. Часть 3. Связь с материальными средами»  . Фил. Пер. Р. Сок . 190 : 205–300.
• Лоренц Хендрик (1899). «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах»  . Учеб. акад. Наука Амстердама . Я : 427–443.
• Лоренц Хендрик (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света»  . Учеб. акад. Наука Амстердама . IV : 669–678.
• Анри Пуанкаре (1900) «Теория Лоренца и принцип реакции» (на французском языке) , Archives Néerlandaises , V , 253–278.
• Анри Пуанкаре (1902) « Наука и гипотеза » (на французском языке) .
• Анри Пуанкаре (1905) «Sur la Dynamique de l'Electron» (на французском языке) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 140 , 1504–1508.
• Кэтт, Уолтон и Дэвидсон. «История тока смещения». Архивировано 6 мая 2008 г. в Wayback Machine . Беспроводной мир , март 1979 г.

Внешние ссылки

• «Уравнения Максвелла», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — интуитивно понятное руководство по уравнениям Максвелла.
• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 18: Уравнения Максвелла
• Страница Викиверситета, посвященная уравнениям Максвелла

Современные методы лечения

• Электромагнетизм (гл. 11), Б. Кроуэлл, Фуллертон-колледж
• Серия лекций: Относительность и электромагнетизм, Р. Фитцпатрик, Техасский университет в Остине.
• Электромагнитные волны из уравнений Максвелла в проекте PHYSNET.
• Серия видеолекций MIT (36 лекций по 50 минут) (в формате .mp4) — «Электричество и магнетизм, преподаваемые профессором Уолтером Левином ».

Другой

• Силагадзе, ЗК (2002). «Вывод Фейнманом уравнений Максвелла и дополнительных измерений». Анналы Фонда Луи де Бройля . 27 : 241–256. arXiv : hep-ph/0106235 . Бибкод : 2001hep.ph....6235S.
• Вехи природы: фотоны - веха 2 (1861 г.) Уравнения Максвелла