Геометрический ряд

Сумма (бесконечной) геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... показана как площади фиолетовых квадратов. Каждый из фиолетовых квадратов имеет 1/4 площади следующего большего квадрата (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16 и т. д.). Сумма площадей фиолетовых квадратов составляет одну треть площади большого квадрата.

Другая геометрическая прогрессия (коэффициент a = 4/9 и знаменатель r = 1/9) показана как площади фиолетовых квадратов. Общая фиолетовая площадь равна S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, что можно подтвердить, наблюдая, что единичный квадрат разделен на бесконечное число областей в форме буквы L, каждая из которых содержит четыре фиолетовых квадрата и четыре желтых квадрата, что составляет половину фиолетового.

В математике геометрическая прогрессия — это ряд , в котором отношение последовательных соседних членов постоянно. Другими словами, сумма последовательных членов геометрической последовательности образует геометрическую прогрессию. Таким образом, каждый член является средним геометрическим двух соседних членов, подобно тому, как члены арифметической прогрессии являются средними арифметическими двух соседних членов.

Геометрические ряды изучались в математике, по крайней мере, со времен Евклида в его работе «Начала» , в которой исследовались геометрические пропорции. ^[1] Архимед еще больше продвинул это исследование с помощью своей работы над бесконечными суммами , в частности, при вычислении площадей и объемов геометрических фигур (например, вычислении площади внутри параболы ). ^{[2] [3]} На раннем этапе развития современного исчисления они были парадигматическими примерами как сходящихся, так и расходящихся рядов и, таким образом, стали важнейшими ссылками для исследований сходимости, например, в тесте отношения и тесте корня для сходимости ^{[4] [5]} и в определениях скоростей сходимости . ^[6] Геометрические ряды также служили прототипами при изучении математических объектов, таких как ряды Тейлора , ^{[4] [5]} производящие функции , ^[7] и теории возмущений . ^[8]

Геометрические ряды применялись для моделирования самых разных природных и социальных явлений, таких как расширение Вселенной , где общее соотношение между членами определяется постоянной Хаббла , распад радиоактивных атомов углерода-14, где общее соотношение между членами определяется периодом полураспада углерода-14 , вероятности выигрыша в азартных играх , где общее соотношение может быть определено шансами на колесе рулетки , и экономическая ценность инвестиций , где общее соотношение может быть определено процентной ставкой . ^[9]

В общем случае геометрическая прогрессия записывается как , где — начальный член, а — общее отношение между соседними членами. ^{[4] [5]} Например, ряд ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

является геометрическим, поскольку каждый последующий член может быть получен путем умножения предыдущего члена на . ${\displaystyle 1/2}$

Усеченные геометрические ряды называются «конечными геометрическими рядами» в некоторых разделах математики, особенно в исчислении XIX века , а также в теории вероятностей и статистике и их приложениях. ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}}$

Стандартное выражение с заглавной сигмой ^{[10] [11]} для бесконечной геометрической прогрессии имеет вид

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}}$

и соответствующее выражение для конечной геометрической прогрессии имеет вид

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$

Любой конечный геометрический ряд имеет сумму , а когда бесконечный ряд сходится к предельному значению . ${\displaystyle a(1-r^{n+1})/(1-r)}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle a/(1-r)}$

Хотя геометрические ряды чаще всего встречаются и применяются с действительными или комплексными числами для и , существуют также важные результаты и приложения для матричнозначных геометрических рядов, функциональнозначных геометрических рядов, геометрических рядов p-адических чисел ^[12] и, в самом общем смысле, геометрических рядов элементов абстрактных алгебраических полей , колец и полуколец . ^[13] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

Параметры

Геометрический ряд — это бесконечный ряд, полученный из особого типа последовательности, называемой геометрической прогрессией , которая определяется всего двумя параметрами : начальным членом и общим отношением . Усеченные геометрические ряды имеют третий параметр — степень конечного члена ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

В приложениях с единицами измерения начальный член обеспечивает единицы ряда, а общее отношение является безразмерной величиной . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

В следующей таблице показано несколько геометрических рядов с различными начальными членами и общими соотношениями.

Первоначальный срока

Геометрическая прогрессия имеет один и тот же коэффициент в каждом члене. ^[10] Первый член геометрической прогрессии равен этому коэффициенту и является параметром этой геометрической прогрессии, давая его общепринятую интерпретацию: «начальный член». ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Этот начальный термин определяет единицы измерения ряда в целом, если таковые имеются, и в приложениях он часто будет называться в соответствии с существительным с этими единицами. Например, это может быть «начальная масса» в задаче радиоактивного распада , с единицами массы изотопа , «начальный платеж» в математических финансах , ^[9] с единицами некоторого типа валюты , или «начальная популяция» в демографии или экологии , с единицами типа, такими как национальность или вид . ${\displaystyle a}$

В нотации с заглавной сигмой этот термин технически пишется вместо голого . Это эквивалентно, поскольку для любого числа ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k},}$ ${\displaystyle ar^{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r^{0}=1}$ ${\displaystyle r.}$

Напротив, общий степенной ряд будет иметь коэффициенты , которые могут меняться от члена к члену. Другими словами, геометрический ряд является частным случаем степенного ряда. Связи между степенными рядами и геометрическими рядами обсуждаются ниже в разделе § Связи со степенными рядами. ${\displaystyle a_{0}+a_{1}r+a_{2}r^{2}+a_{3}r^{3}+\dots }$ ${\displaystyle a_{k}}$

Обычное отношениег

Параметр называется общим отношением, поскольку он представляет собой отношение любого члена к предыдущему члену ряда. ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}={\frac {ar^{k+1}}{ar^{k}}}}$

где представляет собой член геометрической прогрессии в степени -1. ${\displaystyle t_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Обыкновенное отношение можно рассматривать как множитель, используемый для вычисления каждого следующего члена ряда из предыдущего члена. Оно должно быть безразмерной величиной. ${\displaystyle r}$

Когда его часто называют темпом роста или темпом расширения, а когда его часто называют темпом спада или темпом сжатия, идея о том, что это «скорость», исходит из интерпретации как своего рода дискретной переменной времени. Когда область применения имеет специализированный словарь для определенных типов роста, расширения, сжатия и распада, этот словарь также будет часто использоваться для обозначения параметров геометрических рядов. В экономике , например, темпы роста и снижения уровней цен называются темпами инфляции и темпами дефляции , в то время как темпы роста стоимости инвестиций включают ставки прибыли и процентные ставки . ^[9] ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$

Интерпретация как переменной времени часто совершенно верна в приложениях, таких как примеры амортизированного анализа алгоритмической сложности и расчета текущей стоимости аннуитета в § Приложения ниже, где представляет собой количество лет. В таких приложениях также принято сообщать о «темпе роста» в терминах другого выражения, например , , который является процентным темпом роста, или , который является временем удвоения , противоположным периоду полураспада . Эти параметры ставки должны затем иметь единицы, обратные единицам времени , которые могут быть годами (тогда ставка «в год»), днями (тогда ставка «в день») или любыми другими количествами регулярно разнесенных событий. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r-1)/100}$ ${\displaystyle 1/\log _{2}r}$ ${\displaystyle k}$

Сложное общее отношение

Комплексная геометрическая прогрессия (коэффициент a = 1 и знаменатель r = 0,5 e ^{iω ₀ t} ), сходящаяся к окружности. В анимации каждый член геометрической прогрессии дважды нарисован как вектор : один раз в начале координат и еще раз в суммировании векторов «голова к хвосту», которое сходится к окружности. Окружность пересекает действительную ось в точке 2 (= 1/(1-1/2) при ω ₀ t = 0) и в точке 2/3 (= 1/(1-(-1/2)), когда ω ₀ t = π).

Обыкновенное отношение может также быть комплексным числом, заданным как , где — величина числа как вектора в комплексной плоскости , — угол или аргумент этого вектора, — число Эйлера , и . В этом случае развернутая форма геометрической прогрессии имеет вид ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \vert r\vert e^{i\theta }}$ ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle a+a\vert r\vert e^{i\theta }+a\vert r\vert ^{2}e^{2i\theta }+a\vert r\vert ^{3}e^{3i\theta }+\dots }$

Пример того, как это ведет себя для значений, которые линейно увеличиваются со временем с постоянной угловой частотой , такой, что показан в соседнем видео. Для геометрической прогрессии становится ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \theta =\omega _{0}t,}$ ${\displaystyle \theta =\omega _{0}t,}$

${\displaystyle a+a\vert r\vert e^{i\omega _{0}t}+a\vert r\vert ^{2}e^{2i\omega _{0}t}+a\vert r\vert ^{3}e^{3i\omega _{0}t}+\dots }$

где первый член — вектор длины , не меняющий ориентацию, а все последующие члены — векторы пропорциональных длин, вращающиеся в комплексной плоскости с целыми кратными основной угловой частоты , также известные как гармоники . Как показано на видео, эти суммы описывают окружность. Период вращения по окружности равен . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle 2\pi /\omega _{0}}$

Сумма

Для удобства в этом разделе сумма геометрической прогрессии будет обозначаться как , а ее частичные суммы (суммы ряда, доходящие только до члена n- й степени) будут обозначаться как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{n}.}$

Поведение конвергенции

Сходимость геометрической прогрессии при r =1/2 и a =1/2

Сходимость геометрической прогрессии при r =1/2 и a =1

Увеличенный вид частичных сумм геометрической прогрессии в диапазоне -1 < r < -0,5, когда первые 11 членов геометрической прогрессии 1 + r + r ² + r ³ + ... складываются, демонстрируя знакопеременную сходимость. Предел сходимости частичных сумм 1 / (1 - r ) показан красной пунктирной линией.

Сходимость бесконечной последовательности частичных сумм бесконечной геометрической прогрессии зависит только от величины знаменателя : ${\displaystyle r}$

• Если , то члены ряда стремятся к нулю (становясь все меньше и меньше по величине) и последовательность частичных сумм сходится к предельному значению, доказательство которого приведено ниже. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \vert r\vert <1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{1-r}};}$
• Если , то члены ряда становятся все больше и больше по величине, а частичные суммы членов также становятся все больше и больше по величине, поэтому ряд расходится . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \vert r\vert >1}$
• Если , члены ряда не становятся больше или меньше по величине и последовательность частичных сумм ряда не сходится. Когда , все члены ряда одинаковы и растут до бесконечности. Когда , члены принимают два значения и попеременно и поэтому последовательность частичных сумм членов колеблется между двумя значениями и 0. Рассмотрим, например, ряд Гранди : . Частичные суммы членов колеблются между 1 и 0; последовательность частичных сумм не сходится. Когда и , частичные суммы периодически циркулируют между значениями , никогда не сходясь к пределу. В общем случае, когда для любого целого числа и с любым , частичные суммы ряда будут циркулировать бесконечно с периодом , никогда не сходясь к пределу. ^[14] ${\displaystyle \vert r\vert =1}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle |S_{n}|}$ ${\displaystyle r=-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-1+1-1+1+...}$ ${\displaystyle r=i}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle 1,1+i,i,0,1,1+i,i,0,\ldots }$ ${\displaystyle r=e^{2\pi i/\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \tau }$

Когда ряд сходится, скорость сходимости замедляется по мере приближения к ; см. § Скорость сходимости. ^{[4] [5] [6]} Характер сходимости также зависит от знака или комплексного аргумента общего отношения. Если и то все члены имеют одинаковый знак, и частичные суммы членов монотонно приближаются к своему конечному пределу . Если и , соседние члены в геометрической прогрессии чередуются между положительными и отрицательными, и частичные суммы членов колеблются выше и ниже своего конечного предела . Для комплексных и сходятся по спирали. ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle |r|<1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|<1,}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Вывод формул сумм

Частичная сумма первых членов геометрической прогрессии до члена включительно, ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle r^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},\end{aligned}}}$$

дается замкнутой формой

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

где r — это общее отношение. ^{[4] [5]} Случай — это простое сложение, случай арифметической серии . Формула для частичных сумм с может быть выведена следующим образом: ^{[4] [5] [15] [16]} ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle r\neq 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),{\text{ for }}r\neq 1.\end{aligned}}}$$

При приближении к 1 полиномиальное деление или правило Лопиталя восстанавливают случай . ^[17] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$

Доказательство без слов формулы для суммы геометрической прогрессии – если | r | < 1 и n → ∞, член r ⁿ исчезает, оставляя S _∞ = ⁠а/1 − р⁠ . На этом рисунке используется несколько иное обозначение S _n, чем в основном тексте, смещенное на один термин.

При приближении к бесконечности абсолютное значение r должно быть меньше единицы, чтобы эта последовательность частичных сумм сходилась к пределу. Когда это происходит, ряд сходится абсолютно . ^{[4] [5]} Тогда бесконечный ряд становится ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}}{\text{ for }}|r|<1.\end{aligned}}}$$

Формула верна как для действительных, так и для комплексных чисел , и ее также можно обобщить на матрицы или p-адические числа , но для последних обобщений и технических условий их сходимости см. § Обобщения за пределами действительных и комплексных значений. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Этот результат о сходимости широко применяется для доказательства сходимости других рядов, когда члены этих рядов могут быть ограничены сверху подходящей геометрической прогрессией; эта стратегия доказательства является основой для проверки отношения и проверки корня для сходимости бесконечных рядов. ^{[4] [5]}

Скорость сходимости

Для любой последовательности скорость ее сходимости к предельному значению определяется параметрами и такими, что ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{L}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|x_{n+1}-x_{L}\right|}{\left|x_{n}-x_{L}\right|^{q}}}=\mu .}$^[6]

${\displaystyle q}$называется порядком сходимости, а называется скоростью сходимости, где меньшее соответствует более быстрой сходимости: когда асимптотическое число дальнейших десятичных знаков точности совпадения с предельным значением на член ряда является примерами и особенно просты в использовании для подтверждения этой формулы и интуиции. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle -\log _{10}\mu ;}$ ${\displaystyle \mu =1/10}$ ${\displaystyle \mu =1/100}$

В случае последовательности частичных сумм геометрической прогрессии соответствующая последовательность есть и ее предел есть . Таким образом, скорость и порядок находятся через ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}}=\mu .}$

Использование и настройка дает ${\displaystyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$ ${\displaystyle q=1}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|=\mu ,}$

поэтому порядок сходимости геометрической прогрессии равен 1, ее скорость сходимости равна , а число дополнительных десятичных знаков точности на член при приближении к пределу равно ^[6] ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle -\log _{10}r.}$

В зависимости от контекста сходимость первого порядка часто называют линейной сходимостью, поскольку количество знаков после запятой точности линейно увеличивается с числом членов, или экспоненциальной сходимостью, поскольку величина отличия от предела уменьшается экспоненциально с «Линейная сходимость» особенно распространена там, где естественным фокусом анализа является количество знаков точности, как в численном анализе , а «экспоненциальная сходимость» особенно распространена там, где естественным фокусом анализа является абсолютное отклонение, как в обычных случаях в физике, экономике и биологии. ${\displaystyle n+1,}$ ${\displaystyle n.}$

Геометрические доказательства сходимости

Геометрический вывод формулы суммы геометрической прогрессии для | r | < 1. ^[18] (ВЕРХ) Представьте первые n+1 членов S для a = 1, r = 1/2 как площади перекрывающихся подобных треугольников. Площадь самого большого (красного) треугольника является первым членом ряда. Площадь второго по величине перекрывающегося треугольника является вторым членом. Каждый следующий меньший треугольник имеет свое основание и высоту, уменьшенные еще на один коэффициент r ^1/2 , для последовательности площадей треугольников 1, r , r ² , r ³ , геометрической прогрессии. (СРЕДНИЙ) В порядке от наибольшего к наименьшему удалите перекрывающуюся площадь каждого треугольника, чтобы сформировать трапецию, всегда дробь r ее площади, а затем масштабируйте высоту неперекрывающейся площади на 1/(1− r ); таким образом, площадь каждого треугольника теперь является площадью каждой трапеции. (ВНИЗУ) Объедините полученные n+1 неперекрывающихся трапеций в одну неперекрывающуюся трапецию и вычислите ее площадь, чтобы найти соответствующую частичную сумму. Эта площадь равна самому внешнему треугольнику за вычетом пустого треугольника вершины: S _n = (1− r ⁿ⁺¹ ) / (1− r ), что приближается к пределу S / a = 1/(1− r ), когда n стремится к бесконечности.

Альтернативно, геометрическая интерпретация сходимости для показана на соседней диаграмме. Площадь белого треугольника — это остаток ряда ${\displaystyle 0<r<1}$

${\displaystyle S-S_{n}={\frac {ar^{n+1}}{1-r}}.}$

Каждый дополнительный член в частичном ряду уменьшает площадь этого белого треугольного остатка на площадь трапеции, представляющей добавленный член. Формы трапеций постепенно становятся тоньше, короче и ближе к началу координат, что соответствует уменьшению площадей трапеций (т. е. значений членов). По мере того, как число трапеций стремится к бесконечности, белый треугольный остаток будет исчезать и, следовательно, будет сходиться к . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S}$

Напротив, последовательности треугольников и трапеций, представляющие члены ряда, вместо этого будут становиться все шире, выше и дальше от начала координат, не сходясь к началу координат как члены и также не сходясь в сумме как ряд. ${\displaystyle r>1}$

Сходящиеся знакопеременные геометрические ряды с знаменателем r = -1/2 и коэффициентом a = 1. (ВВЕРХУ) Чередующиеся положительные и отрицательные области. (В СРЕДНЕМ) Пробелы, образованные добавлением смежных областей. (ВНИЗУ) Пробелы, заполненные расширением и уменьшением высот разделенных трапеций.

Следующая соседняя диаграмма дает геометрическую интерпретацию сходящейся чередующейся геометрической последовательности, где области, соответствующие отрицательным членам, показаны ниже оси x. Когда каждая положительная область спаривается с ее соседней меньшей отрицательной областью, результатом является ряд неперекрывающихся трапеций, разделенных пробелами. ${\displaystyle -1<r\leq 0,}$

Чтобы устранить эти пробелы, расширьте каждую трапецию так, чтобы она охватывала самую правую часть исходной треугольной области, а не только самую правую. В то же время, чтобы гарантировать, что площади трапеций остаются согласованными во время этого преобразования, необходимо перемасштабирование. Требуемый коэффициент масштабирования можно вывести из уравнения: ${\displaystyle 1-r^{2}}$ ${\displaystyle 1-|r|=1+r.}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lambda (1-r^{2})=1+r.}$$

Упрощение дает

${\displaystyle \lambda ={\frac {1+r}{1-r^{2}}}={\frac {1}{1-r}}}$

где Поскольку этот коэффициент масштабирования уменьшает высоту трапеций, чтобы заполнить пробелы. ${\displaystyle -1<r\leq 0.}$ ${\displaystyle r<0,}$

После удаления пробелов пары членов сходящейся знакопеременной геометрической серии образуют новую сходящуюся геометрическую серию с общим отношением, отражающим спаривание членов. Перемасштабированный коэффициент компенсирует заполнение пробелов. ${\displaystyle r^{2},}$ ${\displaystyle a=1/(1-r)}$

История

Зенон Элейский (ок. 495 – ок. 430 до н.э.)

2500 лет назад греческие математики считали ^[19] , что бесконечно длинный список положительных чисел должен в сумме давать бесконечность. Поэтому Зенон Элейский создал парадокс, когда продемонстрировал, что для того, чтобы дойти из одного места в другое, нужно сначала пройти половину расстояния, затем половину оставшегося расстояния, и половину этого оставшегося расстояния, и так далее, покрывая бесконечно много интервалов, прежде чем прибыть. При этом он разбил фиксированное расстояние на бесконечно длинный список половинных оставшихся расстояний, каждое из которых имеет длину больше нуля. Парадокс Зенона показал грекам, что их предположение о том, что бесконечно длинный список положительных чисел должен в сумме давать бесконечность, было неверным.

Евклид Александрийский (ок. 300 г. до н.э.)

Элементы геометрии, книга IX, предложение 35. «Если имеется какое-либо множество непрерывно пропорциональных чисел, и из второго и последнего вычесть первое, то как избыток второго будет относиться к первому, так избыток последнего будет относиться ко всем предшествующим ему числам».

«Элементы геометрии» Евклида « имеют честь быть старейшим в мире непрерывно используемым математическим учебником » ^[20] и включают демонстрацию суммы конечных геометрических рядов в Книге IX, Предложение 35, проиллюстрированную на соседнем рисунке. Ниже приводится краткое доказательство Евклида Предложения 35: ^[21]

Пусть AA', BC, DD', EF будут любым множеством непрерывно пропорциональных чисел, начиная с наименьшего AA'. И пусть BG и FH, каждое из которых равно AA', были вычтены из BC и EF. Я говорю, что как GC относится к AA', так EH относится к AA', BC, DD'.

Ибо пусть FK будет равен BC, а FL — DD'. И так как FK равен BC, из которых FH равен BG, то остаток HK, таким образом, равен остатку GC. И так как EF соответствует DD', то DD' соответствует BC, а BC соответствует AA' [Предложение 7.13], а DD' соответствует FL, а BC соответствует FK, а AA' соответствует FH, то так как EF соответствует FL, то LF соответствует FK, а FK соответствует FH. Разделением, как EL соответствует LF, так LK соответствует FK, а KH соответствует FH [Предложения 7.11, 7.13]. И таким образом, как один из ведущих соответствует одному из следующих, так и (сумма) всех ведущих соответствует (сумме) всех следующих [Предложение 7.12]. Таким образом, как KH относится к FH, так и EL, LK, KH относится к LF, FK, HF. И KH равно CG, а FH к AA', а LF, FK, HF к DD', BC, AA'. Таким образом, как CG относится к AA', так и EH к DD', BC, AA'. Таким образом, как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем тем, что были до него. Именно это и требовалось показать.

Краткость утверждений и доказательств Евклида, возможно, была необходимостью. « Элементы геометрии» — это более 500 страниц утверждений и доказательств в стандартных форматах, и копирование учебника требовало изготовления трудоемких рукописных копий в течение многих столетий, пока в 1440 году не был изобретен печатный станок. Краткость сокращала работу по копированию.

В предисловии к цитируемому изданию редактор комментирует: ^[20]

Большинство теорем, содержащихся в «Началах», не были открыты самим Евклидом, а были работой более ранних греческих математиков, таких как Пифагор (и его школа), Гиппократ Хиосский, Теэтет Афинский и Евдокс Книдский. Однако Евклиду обычно приписывают организацию этих теорем в логической манере, чтобы продемонстрировать (правда, не всегда с той строгостью, которую требует современная математика), что они обязательно следуют из пяти простых аксиом. Евклиду также приписывают разработку ряда особенно изобретательных доказательств ранее открытых теорем (например, теоремы 48 в книге I).

Чтобы помочь перевести предложение и доказательство в форму, которая использует текущую нотацию, в соседнем рисунке присутствует несколько изменений. Во-первых, четыре горизонтальные линии, представляющие значения первых четырех членов геометрической прогрессии, теперь обозначены как a, ar, ar ² , ar ³ на левом поле диаграммы. Во-вторых, новые метки A' и D' теперь находятся на первой и третьей линиях, так что все названия сегментов линии диаграммы последовательно указывают начальную и конечную точки сегмента.

Вот пофразовая перефразировка предложения 35 Книги IX:

Аналогично, вот предложение за предложением, перефразирующее доказательство предложения:

Архимед из Сиракуз (ок. 287 – ок. 212 до н.э.)

Архимедово разбиение параболического сегмента на бесконечное множество треугольников

Архимед использовал сумму геометрической прогрессии для вычисления площади, ограниченной параболой и прямой линией. Теорема Архимеда гласит, что общая площадь под параболой составляет 4/3 площади синего треугольника. Его метод состоял в том, чтобы разбить площадь на бесконечное число треугольников, как показано на соседнем рисунке. ^{[2] [3]}

Архимед определил, что каждый зеленый треугольник имеет 1/8 площади синего треугольника, каждый желтый треугольник имеет 1/8 площади зеленого треугольника и т. д. Если предположить, что синий треугольник имеет площадь 1, то общая площадь является суммой бесконечного ряда

${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и т. д. Упрощение дробей дает

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots .}$

Это геометрическая прогрессия с знаменателем , и ее сумма равна ^{[2] [3]} ${\displaystyle r=1/4}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$

Это вычисление является примером метода исчерпывания , ранней версии интегрирования . Используя исчисление , ту же площадь можно найти с помощью определенного интеграла .

Николь Орем (ок. 1323–1382)

Двумерная геометрическая диаграмма, которую Николь Орем использовала для определения того, что бесконечный ряд 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ... сходится к 2.

В дополнение к своему элегантно простому доказательству расходимости гармонического ряда , Николь Орем ^[22] доказал, что арифметико-геометрический ряд, известный как лестница Гавриила, ^[23]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\dots =2.}$

Его схема геометрического доказательства, похожая на соседнюю схему, показывает двумерную геометрическую последовательность.

Первое измерение — горизонтальное, в нижнем ряду, представляющее геометрическую прогрессию с начальным значением и знаменателем. ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\dots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1\end{aligned}}}$$

Второе измерение — вертикальное, где нижняя строка представляет собой новый начальный член , а каждая последующая строка над ней сжимается в соответствии с тем же общим отношением , создавая еще одну геометрическую прогрессию с суммой , ${\displaystyle a=S}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&=S\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots \right)\\&={\frac {S}{1-r}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.\end{aligned}}}$$

Этот подход можно с пользой обобщить на более высокие измерения, и это обобщение описано ниже в разделе «Связь со степенными рядами».

Примеры

• Ряд Гранди  – Бесконечный ряд, суммирующий чередующиеся 1- и -1-члены: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯  – Бесконечный ряд, который расходится
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯  – Бесконечный ряд, который расходится
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯  – Бесконечный ряд, суммируемый до 1
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯  – Бесконечный ряд, суммируемый до 1/3
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯  – Бесконечный ряд, суммируемый до 1/3
• Геометрическая прогрессия является единичным рядом, то есть сумма ряда сходится к единице тогда и только тогда, когда | r | < 1 и a + r = 1.
• Члены геометрической прогрессии также являются элементами обобщенной последовательности Фибоначчи (рекурсивно определенной последовательности с F _n = F _n-1 + F _n-2 ), когда общее отношение ряда r удовлетворяет ограничению 1 + r = r ² , то есть когда r равно золотому сечению или его сопряженному числу (т. е. r = (1 ± √5)/2).
• Единственная геометрическая последовательность, которая является единичной последовательностью и также имеет члены обобщенной последовательности Фибоначчи, имеет золотое сечение в качестве своего начального члена и сопряженное золотое сечение в качестве своего общего отношения. Это единичная последовательность, потому что a + r = 1 и | r | < 1, это обобщенная последовательность Фибоначчи, потому что 1 + r = r ² , и это знакопеременный ряд, потому что r < 0.

Повторяющиеся десятичные и двоичные числа

Десятичные числа, которые имеют повторяющиеся шаблоны, которые продолжаются вечно, например , или могут быть интерпретированы как геометрические ряды и, таким образом, преобразованы в выражения отношения двух целых чисел . ^[24] Например, повторяющаяся десятичная дробь может быть записана как геометрическая прогрессия ${\displaystyle 0.7777\ldots ,}$ ${\displaystyle 0.9999\ldots ,}$ ${\displaystyle 0.123412341234\ldots ,}$ ${\displaystyle 0.7777\ldots }$

${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10^{3}}}+\cdots }$

где начальный член равен , а общее отношение равно . Формула геометрической прогрессии дает целочисленное отношение, которое соответствует периодической десятичной дроби: ${\displaystyle a=7/10}$ ${\displaystyle r=1/10}$

${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {a}{1-r}}={\frac {7/10}{1-1/10}}={\frac {7}{9}}.}$

Примером, который имеет четыре цифры, является повторяющаяся десятичная последовательность. Ее можно записать в виде геометрической прогрессии ${\displaystyle 0.123412341234....}$

${\displaystyle 0.123412341234\ldots ={\frac {1234}{10000}}+{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000}}+{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000^{2}}}\,+\,{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000^{3}}}+\cdots }$

с начальным членом и знаменателем. Формула геометрической прогрессии дает целочисленное отношение, которое соответствует периодической десятичной дроби: ${\displaystyle a=1234/10000}$ ${\displaystyle r=1/10000.}$

${\displaystyle 0.123412341234\ldots ={\frac {a}{1-r}}={\frac {1234/10000}{1-1/10000}}={\frac {1234}{9999}}.}$

Этот подход выходит за рамки повторяющихся десятичных дробей, то есть десятичной, и распространяется на повторяющиеся шаблоны в других базах, таких как двоичная , то есть двухосновная. Например, двоичное представление числа — это то, где двоичный шаблон 110001 повторяется бесконечно. Это двоичное представление можно записать в виде геометрической последовательности двоичных членов, ${\displaystyle 0.7777\ldots _{10}}$ ${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots _{2}}$

${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots _{2}\;=\;{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}\,+\,{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}{\frac {1}{1000000_{2}}}\,+\,{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}{\frac {1}{1000000_{2}^{2}}}\,+\,{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}{\frac {1}{1000000_{2}^{3}}}\,+\,\cdots ,}$

где начальный член выражен в основании два в основании десять, а общее отношение в основании два в основании десять. Используя формулу геометрической прогрессии, как и прежде, ${\displaystyle a=110001_{2}/1000000_{2}}$ ${\displaystyle =49_{10}/64_{10}}$ ${\displaystyle r=1/1000000_{2}}$ ${\displaystyle =1/64_{10}}$

${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots _{2}={\frac {a}{1-r}}={\frac {49_{10}/64_{10}}{1-1/64_{10}}}={\frac {49_{10}}{63_{10}}}={\frac {7_{10}}{9_{10}}}.}$

Приложения

Экономика

В экономике , в частности в финансовой математике , геометрические ряды используются для представления текущей стоимости вечных рент (сумм денег, которые будут выплачиваться каждый год в течение неопределенного периода в будущем). ^[9]

Например, предположим, что владельцу бессрочной ренты будет производиться выплата в размере 100 долларов США один раз в год в конце года. В одной простой модели текущей стоимости будущих денег получение 100 долларов США через год стоит меньше, чем немедленные 100 долларов США, если бы можно было инвестировать деньги сейчас по выгодной процентной ставке . В частности, в этом случае, учитывая положительную годовую процентную ставку , стоимость инвестиции, которая производит 100 долларов США в будущем, существует только сегодня, поэтому текущая стоимость 100 долларов США через год в будущем существует сегодня. ^[9] Более сложные модели текущей стоимости могут учитывать относительную покупательную способность денег сегодня и в будущем или учитывать изменение личной полезности наличия денег сейчас и в будущем. ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \$100/(1+I)}$ ${\textstyle \$100/(1+I)}$

Продолжая простую модель и предполагая постоянную процентную ставку, платеж в размере 100 долларов через два года в будущем будет иметь текущую стоимость (квадратную, поскольку двухлетняя стоимость процентов теряется, если не получить деньги прямо сейчас). Продолжая эту линию рассуждений, текущая стоимость получения 100 долларов в год на постоянной основе будет равна ${\displaystyle \$100/(1+I)^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}},}$

что является бесконечным рядом:

${\displaystyle {\frac {\$100}{(1+I)}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .}$

Это геометрическая прогрессия с знаменателем. Сумма равна первому члену, деленному на (единица минус знаменатель): ${\displaystyle 1/(1+I).}$

${\displaystyle {\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}.}$

Например, если годовая процентная ставка составляет 10% , то вся рента имеет предполагаемую текущую стоимость ${\textstyle (I=0.10),}$ ${\textstyle \$100/0.10=\$1000.}$

Этот вид расчета используется для вычисления годовой процентной ставки по кредиту (например, ипотечному кредиту ). Его также можно использовать для оценки текущей стоимости ожидаемых дивидендов по акциям или конечной стоимости финансового актива , предполагая стабильный темп роста. Однако предположение о том, что процентные ставки постоянны, как правило, неверно, и платежи вряд ли будут продолжаться вечно, поскольку эмитент бессрочной ренты может потерять способность или прекратить свое обязательство производить непрерывные платежи, поэтому такие оценки являются лишь эвристическими рекомендациями для принятия решений, а не научными прогнозами фактических текущих значений. ^[9]

Информатика

• Анализ алгоритма:
  • Геометрические ряды используются для анализа временной сложности рекурсивных алгоритмов (например, «разделяй и властвуй»), а также в амортизационном анализе для операций с переменными затратами, таких как динамическое изменение размера массива .
• Структуры данных:
  • Геометрические ряды помогают анализировать пространственную и временную сложность операций в таких структурах данных, как сбалансированные двоичные деревья поиска и кучи .
• Компьютерная графика:
  • Геометрические ряды имеют решающее значение в алгоритмах рендеринга для сглаживания , MIP-текстурирования и генерации фракталов , где масштаб деталей изменяется геометрически.
• Сетевое взаимодействие и коммуникация:
  • Геометрические ряды моделируют задержки повторной передачи в алгоритмах экспоненциальной задержки и используются в кодах сжатия данных и исправления ошибок для эффективной связи.
• Вероятностные и рандомизированные алгоритмы:
  • Геометрические ряды используются при анализе случайных блужданий , цепей Маркова и геометрических распределений , которые играют важную роль в вероятностных и рандомизированных алгоритмах .

Фрактальная геометрия

Площадь внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников (см. рисунок). Каждая сторона зеленого треугольника составляет ровно 1/3 размера стороны большого синего треугольника, и, следовательно, имеет ровно 1/9 площади. Аналогично, каждый желтый треугольник имеет 1/9 площади зеленого треугольника и так далее. Принимая синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки равна

${\displaystyle 1\,+\,3\left({\frac {1}{9}}\right)\,+\,12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}\,+\,48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}\,+\,\cdots .}$

Первый член этого ряда представляет площадь синего треугольника, второй член — общую площадь трех зеленых треугольников, третий член — общую площадь двенадцати желтых треугольников и т. д. За исключением начальной 1, этот ряд является геометрическим с постоянным отношением r  = 4/9. Первый член геометрического ряда равен a  = 3(1/9) = 1/3, поэтому сумма равна

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}\;=\;{\frac {8}{5}}.}$

Таким образом, снежинка Коха имеет площадь, равную 8/5 площади треугольника основания.

Тригонометрический степенной ряд

Разложение функции арктангенса в ряд Тейлора около нуля, называемое рядом арктангенса , было важным средством для выполнения приблизительных вычислений в астрономии и оптике на протяжении сотен лет. Его традиционно называют рядом Грегори в Европе в честь шотландского астронома и математика Джеймса Грегори (1638 – 1675), хотя сегодня его чаще приписывают кераланскому астроному и математику Мадхаве из Сангамаграма (ок. 1340 – ок. 1425). Его можно вывести с помощью дифференцирования, интегрирования и суммы геометрической прогрессии.

Известно, что производная равна . Это стандартный результат, полученный следующим образом. Пусть и представляют и , ^[25] ${\displaystyle f(x)=\arctan(u(x))}$ ${\displaystyle f'(x)={\frac {u'(x)}{(1+[u(x)]^{2})}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\arctan(u)\\\implies u&=\tan(y)&&\quad {\text{ in the range }}-\pi /2<y<\pi /2{\text{ and }}\\\implies u'&=\sec ^{2}y\cdot y'&&\quad {\text{ by applying the quotient rule to }}\tan(y)=\sin(y)/\cos(y),\\\implies y'&={\frac {u'}{\sec ^{2}y}}&&\quad {\text{ by dividing both sides by }}\sec ^{2}y,\\&={\frac {u'}{(1+\tan ^{2}y)}}&&\quad {\text{ by using the trigonometric identity derived by dividing }}\sin ^{2}y+\cos ^{2}y=1{\text{ by }}\cos ^{2}y,\\&={\frac {u'}{(1+u^{2})}}\end{aligned}}}$$

Следовательно, приравняв функцию арктангенса к интегралу , получим разложение функции арктангенса в степенной ряд. $${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan(x)&=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad &&{\text{in the range }}-\pi /2<\arctan(x)<\pi /2,\\&=\int {\frac {dx}{1-(-x^{2})}}\quad &&{\text{by writing integrand as closed form of geometric series with }}r=-x^{2},\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\quad &&{\text{by writing geometric series in expanded form}},\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)dx\quad &&{\text{by calculating the sign and power of each term in integrand}},\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \quad &&{\text{by integrating each term}},\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad &&{\text{by writing series in generator form}}.\end{aligned}}}$$

Подключения к силовым рядам

Анимация, демонстрирующая сходимость последовательности частичных сумм геометрической прогрессии как функции x (анимированные красные линии) к их предельной функции в области определения ( фиксированная синяя линия), случай разложения в степенной ряд вокруг нуля, который сходится только в пределах конечного радиуса сходимости . ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}}$ ${\displaystyle |x|<1}$ ${\displaystyle {1 \over 1-x}}$ ${\displaystyle |x|<1}$

Подобно геометрическому ряду,  степенной ряд   имеет один параметр для общей переменной, возведенной в последовательные степени, обозначенные   здесь, соответствующие  r геометрического ряда , но он имеет дополнительные параметры,  по одному для каждого члена ряда, для различных коэффициентов каждого  , а не просто один дополнительный параметр   для всех членов, общий коэффициент   в каждом члене геометрического ряда. ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r^{k}}$

Геометрический ряд, таким образом, можно рассматривать как класс степенных рядов, в котором последовательность коэффициентов удовлетворяет   для всех   и  . ^{[4] [5]} Этот специальный класс степенных рядов играет важную роль в математике, например, для изучения  обычных производящих функций  в комбинаторике ^[7] и  суммирования  расходящихся  рядов  в анализе. ^[8] Многие другие степенные ряды можно записать как преобразования и комбинации геометрических рядов, что делает формулу геометрического ряда удобным инструментом для вычисления формул и для этих степенных рядов. ^[7] ${\displaystyle a_{k}=a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=r}$

Как степенной ряд, геометрический ряд имеет радиус сходимости 1. ^{[4] [5]} Это можно рассматривать как следствие теоремы Коши–Адамара и того факта, что для любого или как следствие теста отношения на сходимость бесконечного ряда, с подразумеваемой сходимостью только для Однако и тест отношения, и теорема Коши–Адамара доказываются с использованием формулы геометрического ряда в качестве логически предшествующего результата, поэтому такое рассуждение будет слегка цикличным. ^{[4] [5]} ${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }|ar^{n+1}|/|ar^{n}|=|r|}$ ${\displaystyle |r|<1.}$

Выводы других формул степенных рядов

Формулы бесконечных рядов

Можно использовать простые замены переменных для вычисления некоторых полезных формул бесконечных рядов замкнутой формы. Для бесконечного ряда, содержащего только четные степени , например, ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}=\sum _{k=0}^{\infty }a(r^{2})^{k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$$

и только для нечетных степеней,

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar)(r^{2})^{k}={\frac {ar}{1-r^{2}}}.}$$

В случаях, когда сумма не начинается с k = 0, можно использовать сдвиг индекса суммирования вместе с заменой переменной,

$${\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{m})r^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}.}$$

Приведенные выше формулы строго справедливы только для ${\textstyle |r|<1.}$

Можно также дифференцировать, чтобы вычислить формулы для связанных сумм. Например,

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}.}$$

Эта формула строго верна только для также. Из аналогичных выводов следует, что для ${\textstyle |r|<1}$ ${\textstyle |r|<1:}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}};\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}};{\text{ and }}\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}.}$$

Также возможно использовать комплексные геометрические ряды для вычисления сумм некоторых тригонометрических рядов с использованием комплексных экспонент и формулы Эйлера . Например, рассмотрим предложение

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}.}$$

Это можно доказать тем фактом, что

$${\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}}.}$$

Подстановка этого в исходный ряд дает

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right].}$$

Это разность двух геометрических рядов с начальными членами, равными 1, и знаменателями, равными и , поэтому доказательство исходного предложения следует из двух простых применений формулы для бесконечного геометрического ряда и последующей перестановки результата с использованием и для завершения доказательства. ${\displaystyle e^{ix}/r}$ ${\displaystyle e^{-ix}/r}$ ${\textstyle {\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}=\sin(x)}$ ${\textstyle {\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos(x)}$

Хотя его трудно визуализировать за пределами трех измерений, понимание Орезма в § Николь Орезм (ок. 1323 – 1382) обобщается на любое измерение . Обозначая сумму -мерного ряда , а затем используя предел -мерного геометрического ряда в качестве начального члена геометрического ряда с тем же общим отношением в следующем измерении, получаем рекурсивную формулу для с базовым случаем, заданным обычной формулой суммы с начальным членом , так что: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S(d)}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle S(d-1),}$ ${\displaystyle S(d)}$ ${\displaystyle S(1)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle S(d)={\frac {S(d-1)}{(1-r)}}={\frac {a}{(1-r)^{d}}}}$

в пределах , с и в конкретном примере Орема. ${\displaystyle \vert r\vert <1}$ ${\displaystyle a=1/2}$ ${\displaystyle r=1/2}$

Треугольник Паскаля отображает коэффициенты этих многомерных геометрических рядов,

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\end{matrix}}}$

где, как обычно, ряды сходятся к этим замкнутым формам только при . ${\displaystyle \vert r\vert <1}$

Формулы конечных рядов

Как и для бесконечного ряда, можно использовать подстановки переменных и изменения индекса суммирования, чтобы вывести другие формулы конечных степенных рядов из формул конечных геометрических рядов. Если бы нужно было начать сумму не с , а с другого значения, скажем ⁠ ⁠ , то Для геометрического ряда, содержащего только четные степени , возьмите в качестве общего отношения и используйте стандартную формулу для нахождения ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}ar^{k}&={\begin{cases}{\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}&{\text{if }}r\neq 1\\a(n-m+1)&{\text{if }}r=1\end{cases}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}&={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}\end{aligned}}}$$

или, что то же самое,

Для ряда, содержащего только нечетные степени ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ , возьмем для и для в стандартной форме: ${\displaystyle ar}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}&={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}\end{aligned}}}$$

Дифференцируя такие формулы по ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ можно получить формулы

$${\displaystyle G_{s}(n,r):=\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.}$$

Например:

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.}$$

Точная формула для любой из обобщенных сумм, когда есть ${\displaystyle G_{s}(n,r)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle G_{s}(n,r)=\sum _{k=0}^{s}\left\lbrace {s \atop k}\right\rbrace x^{k}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\left[{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right]}$$

где обозначает число Стирлинга второго рода . ^{[26] [27]} ${\displaystyle \left\lbrace {s \atop k}\right\rbrace }$

Обобщения за пределами действительных и комплексных значений

В то время как геометрические ряды с действительными и комплексными числовыми параметрами и являются наиболее распространенными, геометрические ряды более общих терминов, таких как функции , матрицы и p-адические числа ^[12], также находят применение. Математические операции, используемые для выражения геометрического ряда с учетом его параметров, — это просто сложение и повторное умножение, и поэтому естественно, в контексте современной алгебры , определять геометрический ряд с параметрами из любого кольца или поля . ^[13] Дальнейшее обобщение до геометрического ряда с параметрами из полуколец более необычно, но также имеет приложения, например, при изучении итерации с фиксированной точкой функций преобразования , например, преобразований автоматов через рациональные ряды . ^[28] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

Для анализа сходимости этих общих геометрических рядов, то в дополнение к сложению и умножению, необходимо также иметь некоторую метрику расстояния между частичными суммами ряда. Это может ввести новые тонкости в вопросы сходимости, такие как различия между равномерной сходимостью и поточечной сходимостью в рядах функций, и может привести к сильным контрастам с интуицией из действительных чисел, такой как сходимость ряда 1 + 2 + 4 + 8 + ... с и в 2 -адических числах, использующих 2-адическое абсолютное значение в качестве метрики сходимости. В этом случае 2-адическое абсолютное значение общего коэффициента равно , и хотя это противоречит интуиции с точки зрения действительного числа абсолютного значения (где естественно), тем не менее, это хорошо обосновано в контексте p-адического анализа . ^[12] ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle r=2}$ ${\textstyle a/(1-r)=-1}$ ${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}=1/2}$ ${\displaystyle |2|=2,}$

Когда умножение параметров не является коммутативным , как это часто бывает для матриц или общих физических операторов , особенно в квантовой механике , то стандартный способ записи геометрической прогрессии, умножение справа, может потребоваться отличать от альтернативы , умножение слева, а также симметричного , умножение половины с каждой стороны. Эти выборы могут соответствовать важным альтернативам с различными сильными и слабыми сторонами в приложениях, как в случае упорядочения взаимных помех дрейфа и диффузии по-разному в бесконечно малых временных масштабах в интегрировании Ито и интегрировании Стратоновича в стохастическом исчислении . ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$ ${\displaystyle a+ra+r^{2}a+r^{3}a+...}$ ${\displaystyle a+r^{1/2}ar^{1/2}+rar+r^{3/2}ar^{3/2}+...}$

Смотрите также

• 0,999...  – Альтернативное десятичное представление числа 1
• Арифметический ряд  – последовательность чисел, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Арифметико-геометрическая последовательность  – Математическая последовательность, удовлетворяющая определенному шаблону.
• Асимптота  – предел касательной в точке, стремящейся к бесконечности
• Расходящиеся геометрические ряды
• Обобщенная гипергеометрическая функция  – Семейство степенных рядов в математике
• Геометрическая прогрессия  – Математическая последовательность чисел
• Ряд Неймана  – Математический ряд
• Тест отношения  – Критерий сходимости ряда
• Тест корня  – Критерий сходимости бесконечного ряда
• Ряд (математика)  – Бесконечная сумма

Примечания

1. Евклид; JL Heiberg (2007). Элементы геометрии Евклида (PDF) . Перевод Ричарда Фицпатрика. Ричард Фицпатрик. стр. 4, 277. ISBN 978-0615179841. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
2. Свейн, Гордон; Денс, Томас (1998). «Повторный взгляд на квадратуру параболы Архимеда». Mathematics Magazine . 71 (2): 123–130. doi :10.2307/2691014. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691014.
3. Russo, Lucio (2004). Забытая революция . Перевод Levy, Silvio. Германия: Springer-Verlag. С. 49–52. ISBN 978-3-540-20396-4.
4. Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас, США: Publish or Perish, Inc. стр. 473–478. ISBN 978-0-914098-91-1.
5. Апостол, Том М. (1967). Calculus . Т. 1 (2-е изд.). США: John Wiley & Sons. С. 388–390, 399–401. ISBN 0-471-00005-1.
6. Нокедаль, Хорхе; Райт, Стивен Дж. (1999). Численная оптимизация (1-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. С. 28–29. ISBN 978-0-387-98793-4.
7. Wilf, Herbert S. (1990). Generatingfunctionology . Сан-Диего, Калифорния, США: Academic Press. С. 27–28, 32, 45, 49. ISBN 978-1-48-324857-8.
8. Бендер, Карл М.; Орсзаг, Стивен А. (1999). Продвинутые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений . Springer Science+Business Media. стр. 368–371. ISBN 978-0-387-98931-0.
9. Cvitanic, Jaksa; Zapatero, Fernando (2004). Введение в экономику и математику финансовых рынков . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 35–38. ISBN 978-0-262-03320-6.
10. Riddle, Douglas F. Calculus and Analytic Geometry, Второе издание , Белмонт, Калифорния, Wadsworth Publishing, стр. 566, 1970.
11. Апостол, Том М. (1967). Calculus . Т. 1 (2-е изд.). США: John Wiley & Sons. стр. 37. ISBN 0-471-00005-1.
12. Роберт, Ален М. (2000). Курс p-адического анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 198. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Springer-Verlag. стр. 3–4, 12–17. ISBN 978-0387-98669-2.
13. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley and Sons. стр. 238. ISBN 978-0-471-43334-7.
14. Апостол, Том М. (1967). Calculus . Т. 1 (2-е изд.). США: John Wiley & Sons. стр. 408. ISBN 0-471-00005-1.
15. Абрамовиц и Стиган (1972, стр. 10)
16. Проттер и Морри (1970, стр. 639–640)
17. Апостол, Том М. (1967). Calculus . Т. 1 (2-е изд.). США: John Wiley & Sons. С. 292–295. ISBN 0-471-00005-1.
18. Хайрер Э.; Ваннер Г. (1996). Анализ по его истории . Springer. стр. 188.Раздел III.2, Рисунок 2.1
19. Риддл, Дуглас Э. (1974). Исчисление и аналитическая геометрия (2-е изд.). Wadsworth Publishing. стр. 556. ISBN 053400301-X.
20. Euclid; JL Heiberg (2007). Элементы геометрии Евклида (PDF) . Перевод Ричарда Фицпатрика. Ричард Фицпатрик. стр. 4. ISBN 978-0615179841. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
21. Евклид; JL Heiberg (2007). Элементы геометрии Евклида (PDF) . Перевод Ричарда Фицпатрика. Ричард Фицпатрик. стр. 277. ISBN 978-0615179841. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-08-11.
22. Бабб, Дж. (2003). «Математические концепции и доказательства от Николь Орем: использование истории исчисления для обучения математике» (PDF) . Виннипег: Седьмая международная конференция по преподаванию истории, философии и естественных наук. стр. 11–12, 21. Архивировано (PDF) из оригинала 27.05.2021.
23. Суэйн, Стюарт Г. (2018). «Доказательство без слов: Лестница Гавриила». Mathematics Magazine . 67 (3): 209. doi :10.1080/0025570X.1994.11996214. ISSN  0025-570X.
24. Апостол, Том М. (1967). Calculus . Т. 1 (2-е изд.). США: John Wiley & Sons. стр. 393. ISBN 0-471-00005-1.
25. Риддл, Дуглас (1974). Исчисление и аналитическая геометрия (второе изд.). Калифорния: Wadsworth Publishing. стр. 310. ISBN 0-534--00301-X.
26. Кнут, Дональд Э. (1992). «Две заметки о нотации». American Mathematical Monthly . 99 (5): 403–422. doi :10.2307/2325085. JSTOR  2325085 – через JSTOR.
27. "Разбиение множеств: числа Стирлинга". Цифровая библиотека математических функций . Получено 24 мая 2018 г.
28. Kuich, W. (1997). "9. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов". В Rozenberg, G.; Salomaa, A. (ред.). Handbook of Formal Languages . Vol. 1. Berlin: Springer. pp. 609–677. ISBN 978-3642638633.

Ссылки

• Абрамовиц, М.; Стиган, И.А., ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9-е печатное изд.). Нью-Йорк: Довер.
• Эндрюс, Джордж Э. (1998). «Геометрический ряд в исчислении». The American Mathematical Monthly . 105 (1). Математическая ассоциация Америки: 36–40. doi :10.2307/2589524. JSTOR  2589524.
• Арфкен, Г. Математические методы для физиков, 3-е изд. Орландо, Флорида: Academic Press, стр. 278–279, 1985.
• Бейер, WH CRC Стандартные математические таблицы, 28-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 8, 1987.
• Курант, Р. и Роббинс, Х. «Геометрическая прогрессия». §1.2.3 в книге «Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам», 2-е изд. Оксфорд, Англия: Oxford University Press, стр. 13–14, 1996.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6..
• Джеймс Стюарт (2002). Исчисление , 5-е изд., Брукс Коул. ISBN 978-0-534-39339-7 
• Larson, Hostetler и Edwards (2005). Исчисление с аналитической геометрией , 8-е изд., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-50298-1 
• Паппас, Т. «Периметр, площадь и бесконечный ряд». Радость математики. Сан-Карлос, Калифорния: Wide World Publ./Tetra, стр. 134–135, 1989.
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Роджер Б. Нельсен (1997). Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению , Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-700-7 

История и философия

• CH Edwards Jr. (1994). Историческое развитие исчисления , 3-е изд., Springer. ISBN 978-0-387-94313-8 . 
• Свейн, Гордон и Томас Денс (апрель 1998 г.). «Повторный взгляд на квадратуру параболы Архимеда». Mathematics Magazine . 71 (2): 123–30. doi :10.2307/2691014. JSTOR  2691014.
• Эли Маор (1991). К бесконечности и далее: Культурная история бесконечности , Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7 
• Морр Лазеровиц (2000). Структура метафизики (Международная библиотека философии) , Routledge. ISBN 978-0-415-22526-7 

Экономика

• Карл П. Саймон и Лоуренс Блюм (1994). Математика для экономистов , WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-95733-4 
• Майк Россер (2003). Основы математики для экономистов , 2-е изд., Routledge. ISBN 978-0-415-26784-7 

Биология

• Эдвард Батшелет (1992). Введение в математику для ученых-биологов , 3-е изд., Springer. ISBN 978-0-387-09648-3 
• Ричард Ф. Бертон (1998). Биология в числах: поощрение количественного мышления , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57698-7 

Информатика

• Джон Раст Хаббард (2000). Очерк теории и проблем структур данных с Java Шаума , McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-137870-3 

Внешние ссылки

• «Геометрическая прогрессия», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Геометрический ряд". MathWorld .
• Геометрические ряды на PlanetMath .
• Пеппард, Ким. «Учебник алгебры для колледжей по геометрическим последовательностям и рядам». Университет A&M Западного Техаса.
• Кассельман, Билл. "Геометрическая интерпретация геометрического ряда". Архивировано из оригинала (Applet) 29-09-2007.
• «Геометрический ряд» Михаэля Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project , 2007.