Тензор

Алгебраический объект с геометрическими приложениями

Тензор напряжений Коши второго порядка описывает напряжение, испытываемое материалом в заданной точке. Для любого единичного вектора произведение представляет собой вектор, обозначаемый , который количественно определяет силу на единицу площади вдоль плоскости, перпендикулярной . На этом изображении показаны для граней куба, перпендикулярных , соответствующие векторы напряжений вдоль этих граней. Поскольку тензор напряжений принимает один вектор в качестве входных данных и дает один вектор в качестве выходных данных, он является тензором второго порядка. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {e} _{1}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{2}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{3})}$

В математике тензор — это алгебраический объект , описывающий полилинейную связь между множествами алгебраических объектов, связанных с векторным пространством . Тензоры могут отображаться между различными объектами, такими как векторы , скаляры и даже другие тензоры. Существует много типов тензоров, включая скаляры и векторы (которые являются простейшими тензорами), дуальные векторы , полилинейные отображения между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение . Тензоры определяются независимо от какого-либо базиса , хотя их часто называют по их компонентам в базисе, связанном с определенной системой координат; эти компоненты образуют массив, который можно рассматривать как многомерную матрицу .

Тензоры стали важными в физике , поскольку они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика ( напряжение , упругость , квантовая механика , механика жидкости , момент инерции , ...), электродинамика ( электромагнитный тензор , тензор Максвелла , диэлектрическая проницаемость , магнитная восприимчивость , ...) и общая теория относительности ( тензор энергии-импульса , тензор кривизны , ...). В приложениях часто изучают ситуации, в которых в каждой точке объекта может возникать другой тензор; например, напряжение внутри объекта может меняться от одного места к другому. Это приводит к концепции тензорного поля . В некоторых областях тензорные поля настолько вездесущи, что их часто просто называют «тензорами».

Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро популяризировали тензоры в 1900 году — продолжая более ранние работы Бернхарда Римана , Элвина Бруно Кристоффеля и других — как часть абсолютного дифференциального исчисления . Эта концепция позволила альтернативную формулировку внутренней дифференциальной геометрии многообразия в форме тензора кривизны Римана . ^[1]

Определение

Несмотря на кажущуюся разницу, различные подходы к определению тензоров описывают одну и ту же геометрическую концепцию, используя разный язык и на разных уровнях абстракции.

Как многомерные массивы

Тензор может быть представлен как (потенциально многомерный) массив. Так же, как вектор в n - мерном пространстве представлен одномерным массивом с n компонентами относительно заданного базиса , любой тензор относительно базиса представлен многомерным массивом. Например, линейный оператор представлен в базисе как двумерный квадратный массив n × n . Числа в многомерном массиве известны как компоненты тензора . Они обозначаются индексами, указывающими их положение в массиве, как нижние и верхние индексы , следующие за символическим именем тензора. Например, компоненты тензора 2- го порядка T могут быть обозначены как T _ij  , где i и j — индексы, пробегающие от 1 до n , или также как T ^я
_дж. Отображение индекса в виде надстрочного или подстрочного индекса зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, в то время как T _ij и T ^я
_джобе могут быть выражены как матрицы n на n и численно связаны посредством жонглирования индексами , однако разница в их законах преобразования указывает на то, что было бы неправильно складывать их вместе.

Общее число индексов ( m ), необходимое для уникальной идентификации каждого компонента, равно размерности или числу путей массива, поэтому тензор иногда называют m -мерным массивом или m -путевым массивом. Общее число индексов также называется порядком , степенью или рангом тензора, ^{[2] [3] [4],} хотя термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.

Так же, как компоненты вектора изменяются при изменении базиса векторного пространства, компоненты тензора также изменяются при таком преобразовании. Каждый тип тензора снабжен законом преобразования , который подробно описывает, как компоненты тензора реагируют на изменение базиса . Компоненты вектора могут реагировать на изменение базиса двумя различными способами (см. Ковариация и контравариация векторов ), где новые базисные векторы выражаются через старые базисные векторы как, ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}$

Здесь R ^j _i — элементы матрицы изменения базиса, а в крайнем правом выражении знак суммы был опущен: это соглашение Эйнштейна о суммировании , которое будет использоваться на протяжении всей статьи. ^{[Примечание 1]} Компоненты v ⁱ вектора-столбца v преобразуются с помощью обратной матрицы R ,

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

где шляпа обозначает компоненты в новом базисе. Это называется контравариантным законом преобразования, поскольку компоненты вектора преобразуются путем обратного изменения базиса. Напротив, компоненты w _i ковектора (или вектора-строки), w , преобразуются с помощью самой матрицы R ,

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

Это называется ковариантным законом преобразования, потому что компоненты ковектора преобразуются той же матрицей , что и изменение базисной матрицы. Компоненты более общего тензора преобразуются некоторой комбинацией ковариантных и контравариантных преобразований, с одним законом преобразования для каждого индекса. Если матрица преобразования индекса является обратной матрицей базисного преобразования, то индекс называется контравариантным и условно обозначается верхним индексом (надстрочным индексом). Если матрица преобразования индекса является самим базисным преобразованием, то индекс называется ковариантным и обозначается нижним индексом (подстрочным индексом).

В качестве простого примера, матрица линейного оператора относительно базиса представляет собой прямоугольный массив , который преобразуется при изменении базисной матрицы на . Для отдельных элементов матрицы этот закон преобразования имеет вид так что тензор, соответствующий матрице линейного оператора, имеет один ковариантный и один контравариантный индекс: он имеет тип (1,1). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$

Комбинации ковариантных и контравариантных компонентов с одинаковым индексом позволяют нам выражать геометрические инварианты. Например, тот факт, что вектор является одним и тем же объектом в разных системах координат, может быть зафиксирован следующими уравнениями, используя формулы, определенные выше:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$,

где — дельта Кронекера , которая функционирует аналогично единичной матрице и имеет эффект переименования индексов ( в этом примере j в k ). Это показывает несколько особенностей компонентной нотации: возможность переупорядочивать термины по желанию ( коммутативность ), необходимость использования разных индексов при работе с несколькими объектами в одном выражении, возможность переименовывать индексы и способ, которым контравариантные и ковариантные тензоры объединяются таким образом, что все экземпляры матрицы преобразования и ее обратной матрицы отменяются, так что выражения, подобные , можно сразу увидеть геометрически идентичными во всех системах координат. ${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$ ${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$

Аналогично, линейный оператор, рассматриваемый как геометрический объект, на самом деле не зависит от базиса: это просто линейное отображение, которое принимает вектор в качестве аргумента и производит другой вектор. Закон преобразования того, как матрица компонентов линейного оператора изменяется с базисом, согласуется с законом преобразования для контравариантного вектора, так что действие линейного оператора на контравариантный вектор представлено в координатах как матричное произведение их соответствующих координатных представлений. То есть компоненты задаются как . Эти компоненты преобразуются контравариантно, поскольку ${\displaystyle (Tv)^{i}}$ ${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

Закон преобразования для тензора порядка p + q с p контравариантными индексами и q ковариантными индексами, таким образом, задается как,

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Здесь индексы со штрихом обозначают компоненты в новых координатах, а индексы без штриха обозначают компоненты в старых координатах. Говорят, что такой тензор имеет порядок или тип ( p , q ) . Термины «порядок», «тип», «ранг», «валентность» и «степень» иногда используются для одного и того же понятия. Здесь термин «порядок» или «общий порядок» будет использоваться для общей размерности массива (или его обобщения в других определениях), p + q в предыдущем примере, а термин «тип» для пары, дающей число контравариантных и ковариантных индексов. Тензор типа ( p , q ) также называется ( p , q ) -тензором для краткости.

Это обсуждение мотивирует следующее формальное определение: ^{[5] [6]}

Определение. Тензор типа ( p , q ) — это присвоение многомерного массива

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

к каждому базису f = ( e ₁ , ..., e _n ) n -мерного векторного пространства, такому, что если мы применим замену базиса

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

тогда многомерный массив подчиняется закону преобразования

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Определение тензора как многомерного массива, удовлетворяющего закону преобразования, восходит к работам Риччи. ^[1]

Эквивалентное определение тензора использует представления общей линейной группы . Существует действие общей линейной группы на множестве всех упорядоченных базисов n -мерного векторного пространства. Если — упорядоченный базис, а — обратимая матрица, то действие задается как ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$ ${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

Пусть F — множество всех упорядоченных базисов. Тогда F — главное однородное пространство для GL( n ). Пусть W — векторное пространство и пусть — представление GL( n ) на W (то есть гомоморфизм групп ). Тогда тензор типа — это эквивариантное отображение . Эквивариантность здесь означает, что ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T:F\to W}$

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

Когда — тензорное представление общей линейной группы, это дает обычное определение тензоров как многомерных массивов. Это определение часто используется для описания тензоров на многообразиях, ^[7] и легко обобщается на другие группы. ^[5] ${\displaystyle \rho }$

Как многолинейные карты

Недостатком определения тензора с использованием подхода многомерного массива является то, что из определения не очевидно, что определяемый объект действительно независим от базиса, как ожидается от внутренне геометрического объекта. Хотя можно показать, что законы преобразования действительно обеспечивают независимость от базиса, иногда предпочтительнее более внутреннее определение. Один из подходов, который распространен в дифференциальной геометрии, заключается в определении тензоров относительно фиксированного (конечномерного) векторного пространства V , которое обычно принимается за определенное векторное пространство некоторого геометрического значения, например, касательное пространство к многообразию. ^[8] В этом подходе тензор типа ( p , q ) T определяется как полилинейное отображение ,

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}$

где V ^∗ — соответствующее дуальное пространство ковекторов, линейное по каждому из своих аргументов. Вышеизложенное предполагает, что V — векторное пространство над действительными числами , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . В более общем случае V можно взять над любым полем F (например, комплексными числами ), заменив F ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в качестве области значений полилинейных отображений.

Применяя полилинейное отображение T типа ( p , q ) к базису { e _j } для V и каноническому кобазису { ε ⁱ } для V ^∗ ,

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

Можно получить ( p + q ) -мерный массив компонентов. Другой выбор базиса даст другие компоненты. Но поскольку T линеен по всем своим аргументам, компоненты удовлетворяют закону преобразования тензора, используемому в определении многолинейного массива. Многомерный массив компонентов T , таким образом, образует тензор согласно этому определению. Более того, такой массив может быть реализован как компоненты некоторого многолинейного отображения T. Это мотивирует рассматривать многолинейные отображения как внутренние объекты, лежащие в основе тензоров.

При рассмотрении тензора как полилинейного отображения принято отождествлять двойное дуальное V ^∗∗ векторного пространства V , т. е. пространство линейных функционалов на дуальном векторном пространстве V ^∗ , с векторным пространством V . Всегда существует естественное линейное отображение из V в его двойное дуальное, заданное вычислением линейной формы в V ^∗ по вектору в V . Это линейное отображение является изоморфизмом в конечных измерениях, и часто тогда целесообразно отождествлять V с его двойным дуальным.

Использование тензорных произведений

Для некоторых математических приложений иногда полезен более абстрактный подход. Этого можно достичь, определив тензоры в терминах элементов тензорных произведений векторных пространств, которые в свою очередь определяются через универсальное свойство, как объяснено здесь и здесь .

Тензор типа ( p , q ) определяется в этом контексте как элемент тензорного произведения векторных пространств, [ ^{9] [10]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Базис v _i для V и базис w _j для W естественным образом индуцируют базис v _i ⊗ w _j тензорного произведения V ⊗ W. Компонентами тензора T являются коэффициенты тензора относительно базиса, полученного из базиса { ei } для V и его двойственного базиса _{ ε ^j } , т.е.

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

Используя свойства тензорного произведения, можно показать, что эти компоненты удовлетворяют закону преобразования для тензора типа ( p , q ) . Более того, универсальное свойство тензорного произведения дает взаимно-однозначное соответствие между тензорами, определенными таким образом, и тензорами, определенными как полилинейные отображения.

Это соответствие 1 к 1 может быть достигнуто следующим образом, поскольку в конечномерном случае существует канонический изоморфизм между векторным пространством и его двойным сопряженным пространством:

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

Последняя строка использует универсальное свойство тензорного произведения, а именно, что между отображениями из и существует соответствие 1 к 1. ^[11] ${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$

Тензорные произведения могут быть определены в большой общности – например, с использованием произвольных модулей над кольцом. В принципе, можно было бы определить «тензор» просто как элемент любого тензорного произведения. Однако в математической литературе термин « тензор » обычно резервируется для элемента тензорного произведения любого числа копий одного векторного пространства V и его двойственного, как указано выше.

Тензоры в бесконечных измерениях

Это обсуждение тензоров до сих пор предполагает конечную размерность вовлеченных пространств, где пространства тензоров, полученные каждой из этих конструкций, естественно изоморфны . ^{[Примечание 2]} Конструкции пространств тензоров, основанные на тензорном произведении и полилинейных отображениях, могут быть обобщены, по существу, без изменений, на векторные расслоения или когерентные пучки . ^[12] Для бесконечномерных векторных пространств неэквивалентные топологии приводят к неэквивалентным понятиям тензора, и эти различные изоморфизмы могут выполняться или не выполняться в зависимости от того, что именно подразумевается под тензором (см. топологическое тензорное произведение ). В некоторых приложениях подразумевается тензорное произведение гильбертовых пространств , свойства которого наиболее близки к конечномерному случаю. Более современная точка зрения состоит в том, что именно структура тензоров как симметричной моноидальной категории кодирует их наиболее важные свойства, а не конкретные модели этих категорий. ^[13]

Тензорные поля

Во многих приложениях, особенно в дифференциальной геометрии и физике, естественно рассматривать тензор с компонентами, которые являются функциями точки в пространстве. Это было постановкой оригинальной работы Риччи. В современной математической терминологии такой объект называется тензорным полем , часто называемым просто тензором. ^[1]

В этом контексте координатный базис часто выбирается для касательного векторного пространства . Закон преобразования может быть тогда выражен в терминах частных производных координатных функций,

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

определение преобразования координат, ^[1]

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

История

Концепции более позднего тензорного анализа возникли из работы Карла Фридриха Гаусса по дифференциальной геометрии , а формулировка во многом была под влиянием теории алгебраических форм и инвариантов, разработанной в середине девятнадцатого века. ^[14] Само слово «тензор» было введено в 1846 году Уильямом Роуэном Гамильтоном ^[15] для описания чего-то отличного от того, что сейчас подразумевается под тензором. ^{[Примечание 3]} Гиббс ввел диадическую и полиадическую алгебру , которые также являются тензорами в современном смысле. ^[16] Современное использование было введено Вольдемаром Фойгтом в 1898 году. ^[17]

Тензорное исчисление было разработано около 1890 года Грегорио Риччи-Курбастро под названием «абсолютное дифференциальное исчисление» и первоначально представлено в 1892 году. ^[18] Оно стало доступно многим математикам благодаря публикации в 1900 году классического текста Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивиты «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» (Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications). ^[19] В обозначениях Риччи он ссылается на «системы» с ковариантными и контравариантными компонентами, которые известны как тензорные поля в современном смысле. ^[16]

В 20 веке этот предмет стал известен как тензорный анализ и получил более широкое признание с введением общей теории относительности Альберта Эйнштейна около 1915 года. Общая теория относительности полностью сформулирована на языке тензоров. Эйнштейн узнал о них с большим трудом от геометра Марселя Гроссмана . ^[20] Затем Леви-Чивита инициировал переписку с Эйнштейном, чтобы исправить ошибки, которые Эйнштейн допустил в использовании тензорного анализа. Переписка продолжалась с 1915 по 1917 год и характеризовалась взаимным уважением:

Я восхищаюсь элегантностью вашего метода вычислений; должно быть, приятно скакать по этим полям на коне истинной математики, в то время как нам, таким, как я, приходится с трудом пробираться пешком.

—  Альберт Эйнштейн ^[21]

Тензоры и тензорные поля также оказались полезными в других областях, таких как механика сплошной среды . Некоторые известные примеры тензоров в дифференциальной геометрии — это квадратичные формы , такие как метрические тензоры и тензор кривизны Римана . Внешняя алгебра Германа Грассмана середины девятнадцатого века сама по себе является тензорной теорией, и в высшей степени геометрической, но прошло некоторое время, прежде чем она была замечена, с теорией дифференциальных форм , как естественно объединенная с тензорным исчислением. Работа Эли Картана сделала дифференциальные формы одним из основных видов тензоров, используемых в математике, а Хасслер Уитни популяризировал тензорное произведение . ^[16]

Начиная примерно с 1920-х годов, было осознано, что тензоры играют основную роль в алгебраической топологии (например, в теореме Кюннета ). ^[22] Соответственно, существуют типы тензоров, работающих во многих разделах абстрактной алгебры , в частности, в гомологической алгебре и теории представлений . Полилинейная алгебра может быть разработана в большей общности, чем для скаляров, происходящих из поля . Например, скаляры могут происходить из кольца . Но тогда теория менее геометрична, а вычисления более техничны и менее алгоритмичны. ^[23] Тензоры обобщаются в теории категорий с помощью концепции моноидальной категории с 1960-х годов. ^[24]

Примеры

Элементарным примером отображения, описываемого как тензор, является скалярное произведение , которое отображает два вектора в скаляр. Более сложным примером является тензор напряжений Коши T , который принимает направленный единичный вектор v в качестве входных данных и отображает его в вектор напряжения T ^{( v )} , который является силой (на единицу площади), оказываемой материалом на отрицательной стороне плоскости, ортогональной v, против материала на положительной стороне плоскости, тем самым выражая связь между этими двумя векторами, показанную на рисунке (справа). Векторные произведения , где два вектора отображаются в третий, строго говоря, не являются тензором, поскольку они меняют свой знак при тех преобразованиях, которые изменяют ориентацию системы координат. Полностью антисимметричный символ , тем не менее, позволяет удобно обрабатывать векторные произведения в одинаково ориентированных трехмерных системах координат. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

В этой таблице приведены важные примеры тензоров на векторных пространствах и тензорных полей на многообразиях. Тензоры классифицируются в соответствии с их типом ( n , m ) , где n — число контравариантных индексов, m — число ковариантных индексов, а n + m дает общий порядок тензора. Например, билинейная форма — это то же самое, что и (0, 2) -тензор; скалярное произведение — это пример (0, 2) -тензора, но не все (0, 2) -тензоры являются скалярными произведениями. В (0, M ) -записи таблицы M обозначает размерность базового векторного пространства или многообразия, поскольку для каждого измерения пространства необходим отдельный индекс для выбора этого измерения, чтобы получить максимально ковариантный антисимметричный тензор.

Повышение индекса ( n , m ) -тензора производит ( n + 1, m − 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вниз и влево по таблице. Симметрично, понижение индекса соответствует перемещению по диагонали вверх и вправо по таблице. Сокращение верхнего с нижним индексом ( n , m ) -тензора производит ( n − 1, m − 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вверх и влево по таблице.

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (ориентированный элемент плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешнее произведение n векторов можно визуализировать как любую n -мерную форму (например, n - параллелоэдр , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой на его n − 1 -мерной границе и с какой стороны находится внутренняя часть. ^{[26] [27]}

Характеристики

Предполагая базис действительного векторного пространства, например, координатную систему в окружающем пространстве, тензор может быть представлен как организованный многомерный массив числовых значений относительно этого конкретного базиса. Изменение базиса преобразует значения в массиве характерным образом, что позволяет определить тензоры как объекты, придерживающиеся этого трансформационного поведения. Например, существуют инварианты тензоров, которые должны сохраняться при любом изменении базиса, тем самым делая только определенные многомерные массивы чисел тензором. Сравните это с массивом, представляющим не являющийся тензором, для изменения знака при преобразованиях, изменяющих ориентацию. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Поскольку компоненты векторов и их дуальные элементы преобразуются по-разному при изменении их дуальных базисов, существует ковариантный и/или контравариантный закон преобразования , который связывает массивы, представляющие тензор относительно одного базиса, и массивы относительно другого. Числа, соответственно, векторов: n ( контравариантные индексы) и дуальных векторов: m ( ковариантные индексы) на входе и выходе тензора определяют тип (или валентность ) тензора, пару натуральных чисел ( n , m ) , которые определяют точную форму закона преобразования.Порядок тензора равен сумме этих двух чисел.

Порядок (также степень илиrank ) тензора, таким образом, является суммой порядков его аргументов плюс порядок результирующего тензора. Это также размерность массива чисел, необходимых для представления тензора относительно определенного базиса, или, что эквивалентно, количество индексов, необходимых для маркировки каждого компонента в этом массиве. Например, в фиксированном базисе стандартное линейное отображение, которое отображает вектор в вектор, представлено матрицей (двумерным массивом) и, следовательно, является тензором 2-го порядка. Простой вектор может быть представлен как одномерный массив и, следовательно, является тензором 1-го порядка. Скаляры являются простыми числами и, таким образом, являются тензорами 0-го порядка. Таким образом, тензор, представляющий скалярное произведение, берущий два вектора и дающий в результате скаляр, имеет порядок 2+ 0 = 2, такой же, как тензор напряжений, берущий один вектор и возвращающий другой1 + 1 = 2. Символ,отображающий два вектора в один вектор, имел бы порядок2 + 1 = 3. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Совокупность тензоров на векторном пространстве и его дуальное пространство образуют тензорную алгебру , которая допускает произведения произвольных тензоров. Простые приложения тензоров порядка 2 , которые можно представить в виде квадратной матрицы, можно решить с помощью хитрого расположения транспонированных векторов и применения правил умножения матриц, но не следует путать с этим тензорное произведение.

Обозначение

Существует несколько систем обозначений, которые используются для описания тензоров и выполнения вычислений с их участием.

исчисление Риччи

Исчисление Риччи — это современный формализм и обозначение для индексов тензора: указание внутренних и внешних произведений , ковариантности и контравариантности , суммирования компонентов тензора, симметрии и антисимметрии , а также частных и ковариантных производных .

Соглашение Эйнштейна о суммировании

Соглашение Эйнштейна о суммировании обходится без записи знаков суммирования , оставляя суммирование неявным. Любой повторяющийся символ индекса суммируется: если индекс i используется дважды в данном члене тензорного выражения, это означает, что член должен быть суммирован для всех i . Несколько различных пар индексов могут быть суммированы таким образом.

Графическая нотация Пенроуза

Графическая нотация Пенроуза — это диаграммная нотация, которая заменяет символы тензоров на формы, а их индексы — на линии и кривые. Она не зависит от базисных элементов и не требует символов для индексов.

Обозначение абстрактного индекса

Абстрактная индексная нотация — это способ записи тензоров таким образом, что индексы больше не рассматриваются как числовые, а скорее как неопределенности . Эта нотация отражает выразительность индексов и независимость от базиса безиндексной нотации.

Нотация без компонентов

Бескомпонентная трактовка тензоров использует обозначения, которые подчеркивают, что тензоры не опираются ни на какую основу, и определяются в терминах тензорного произведения векторных пространств .

Операции

Есть несколько операций над тензорами, которые снова производят тензор. Линейная природа тензора подразумевает, что два тензора одного типа могут быть сложены вместе, и что тензоры могут быть умножены на скаляр с результатами, аналогичными масштабированию вектора . Над компонентами эти операции просто выполняются покомпонентно. Эти операции не изменяют тип тензора; но есть также операции, которые производят тензор другого типа.

Тензорное произведение

Тензорное произведение берет два тензора, S и T , и производит новый тензор, S ⊗ T , порядок которого является суммой порядков исходных тензоров. При описании как полилинейных отображений тензорное произведение просто умножает два тензора, т. е., что снова производит отображение, линейное по всем своим аргументам. На компонентах эффект заключается в том, чтобы умножить компоненты двух входных тензоров попарно, т. е., Если S имеет тип ( l , k ) , а T имеет тип ( n , m ) , то тензорное произведение S ⊗ T имеет тип ( l + n , k + m ) . $${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$ $${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$

Сокращение

Свертка тензора — это операция, которая сводит тензор типа ( n , m ) к тензору типа ( n − 1, m − 1) , частным случаем которого является след . Тем самым она уменьшает общий порядок тензора на два. Операция достигается путем суммирования компонентов, для которых один указанный контравариантный индекс совпадает с одним указанным ковариантным индексом, для получения нового компонента. Компоненты, для которых эти два индекса различны, отбрасываются. Например, (1, 1) -тензор можно свернуть в скаляр с помощью , где суммирование снова подразумевается. Когда (1, 1) -тензор интерпретируется как линейное отображение, эта операция известна как след . ${\displaystyle T_{i}^{j}}$ ${\displaystyle T_{i}^{i}}$

Свертка часто используется совместно с тензорным произведением для свертки индекса из каждого тензора.

Свертку можно также понять, используя определение тензора как элемента тензорного произведения копий пространства V с пространством V ^∗ , сначала разложив тензор в линейную комбинацию простых тензоров, а затем применив множитель из V ^∗ к множителю из V . Например, тензор можно записать в виде линейной комбинации ${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

Сокращение T на первом и последнем слотах тогда является вектором

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

В векторном пространстве со скалярным произведением (также известным как метрика ) g термин контракция используется для удаления двух контравариантных или двух ковариантных индексов путем формирования следа с метрическим тензором или его обратным. Например, (2, 0) -тензор может быть свернут до скаляра посредством (опять же предполагая соглашение о суммировании). ${\displaystyle T^{ij}}$ ${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$

Повышение или понижение индекса

Когда векторное пространство снабжено невырожденной билинейной формой (или метрическим тензором , как его часто называют в этом контексте), можно определить операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Метрический тензор является (симметричным) ( 0, 2) -тензором; таким образом, возможно свернуть верхний индекс тензора с одним из нижних индексов метрического тензора в произведении. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий тензор, но с нижним индексом, обычно показанным в той же позиции свернутого верхнего индекса. Эта операция довольно наглядно известна как понижение индекса .

Наоборот, обратная операция может быть определена и называется повышением индекса . Это эквивалентно аналогичному сжатию на произведении с (2, 0) -тензором. Этот обратный метрический тензор имеет компоненты, которые являются матрицей, обратной компонентам метрического тензора.

Приложения

Механика сплошной среды

Важные примеры дает механика сплошной среды . Напряжения внутри твердого тела или жидкости ^[28] описываются тензорным полем. Тензор напряжений и тензор деформаций являются тензорными полями второго порядка и связаны в общем линейном упругом материале тензорным полем упругости четвертого порядка . Подробно, тензор, количественно определяющий напряжение в трехмерном твердом объекте, имеет компоненты, которые можно удобно представить в виде массива 3 × 3. Три грани кубического бесконечно малого сегмента объема твердого тела подвергаются воздействию некоторой заданной силы. Векторных компонентов силы также три. Таким образом, для описания напряжения в этом кубическом бесконечно малом сегменте требуется 3 × 3, или 9 компонентов. В пределах этого твердого тела находится целая масса различных величин напряжения, каждая из которых требует 9 величин для описания. Таким образом, необходим тензор второго порядка.

Если выделить определенный элемент поверхности внутри материала, то материал с одной стороны поверхности будет прикладывать силу с другой стороны. В общем случае эта сила не будет ортогональна поверхности, но будет зависеть от ориентации поверхности линейно. Это описывается тензором типа ( 2, 0) в линейной упругости или, точнее, тензорным полем типа (2, 0) , поскольку напряжения могут меняться от точки к точке.

Другие примеры из физики

Распространенные области применения включают в себя:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизме
• Тензоры конечных деформаций для описания деформаций и тензоры деформаций для деформаций в механике сплошной среды
• Диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость являются тензорами в анизотропных средах.
• Четырехтензорный тензор в общей теории относительности (например, тензор энергии-импульса ), используемый для представления потоков импульса
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантового оператора углового момента в сферических координатах.
• Тензоры диффузии, основа визуализации тензора диффузии , представляют скорости диффузии в биологических средах.
• Квантовая механика и квантовые вычисления используют тензорные произведения для комбинирования квантовых состояний.

Компьютерное зрение и оптика

Понятие тензора второго порядка часто смешивают с понятием матрицы. Тензоры более высокого порядка, однако, охватывают идеи, важные в науке и технике, как было последовательно показано в многочисленных областях по мере их развития. Это происходит, например, в области компьютерного зрения , где трифокальный тензор обобщает фундаментальную матрицу .

Область нелинейной оптики изучает изменения плотности поляризации материала под действием экстремальных электрических полей. Генерируемые волны поляризации связаны с генерирующими электрическими полями через тензор нелинейной восприимчивости. Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среда называется нелинейной . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, предполагая, что постоянные дипольные моменты отсутствуют) P задается рядом Тейлора по E, коэффициенты которого являются нелинейными восприимчивостями:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

Здесь линейная восприимчивость, дает эффект Поккельса и генерацию второй гармоники , и дает эффект Керра . Это расширение показывает, как тензоры более высокого порядка естественным образом возникают в предмете. ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

Машинное обучение

Свойства тензоров , особенно тензорное разложение , позволили использовать их в машинном обучении для встраивания многомерных данных в искусственные нейронные сети . Это понятие тензора существенно отличается от такового в других областях математики и физики в том смысле, что тензор обычно рассматривается как числовая величина в фиксированном базисе, а размерность пространств вдоль различных осей тензора не обязательно должна быть одинаковой.

Обобщения

Тензорные произведения векторных пространств

Векторные пространства тензорного произведения не обязательно должны быть одинаковыми, и иногда элементы такого более общего тензорного произведения называются «тензорами». Например, элемент пространства тензорного произведения V ⊗ W является «тензором» второго порядка в этом более общем смысле, ^[29] и тензор порядка d может быть также определен как элемент тензорного произведения d различных векторных пространств. ^[30] Тензор типа ( n , m ) в смысле, определенном ранее, также является тензором порядка n + m в этом более общем смысле. Понятие тензорного произведения может быть распространено на произвольные модули над кольцом .

Тензоры в бесконечных измерениях

Понятие тензора может быть обобщено различными способами до бесконечных измерений . Например, один из них — через тензорное произведение гильбертовых пространств . ^[31] Другой способ обобщения идеи тензора, распространенный в нелинейном анализе , — через определение полилинейных отображений, где вместо использования конечномерных векторных пространств и их алгебраических сопряженных пространств используются бесконечномерные банаховы пространства и их непрерывные сопряженные пространства . ^[32] Таким образом, тензоры естественным образом существуют на банаховых многообразиях ^[33] и многообразиях Фреше .

Тензорные плотности

Предположим, что однородная среда заполняет R ³ , так что плотность среды описывается одним скалярным значением ρ в кг⋅м ⁻³ . Масса в кг области Ω получается путем умножения ρ на объем области Ω , или, что эквивалентно, интегрирования постоянной ρ по области:

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

где декартовы координаты x , y , z измеряются в м . Если единицы длины изменить на см , то числовые значения функций координат должны быть перемасштабированы с коэффициентом 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

Численное значение плотности ρ должно затем также преобразоваться на 100−3 м3 /см3 ^{для компенсации} , так что численное значение массы в кг по-прежнему будет даваться интегралом от . Таким образом ⁽ в единицах кг⋅см ⁻³ ). ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$ ${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$

В более общем случае, если декартовы координаты x , y , z подвергаются линейному преобразованию, то численное значение плотности ρ должно измениться на множитель, обратный абсолютному значению определителя преобразования координат, так что интеграл останется инвариантным, по формуле замены переменных для интегрирования. Такая величина, которая масштабируется на обратную величину абсолютного значения определителя карты перехода координат, называется скалярной плотностью . Для моделирования непостоянной плотности ρ является функцией переменных x , y , z ( скалярное поле ), и при криволинейном изменении координат она преобразуется на обратную величину якобиана изменения координат. Для получения дополнительной информации о внутреннем смысле см. Плотность на многообразии .

Плотность тензора преобразуется подобно тензору при изменении координат, за исключением того, что она дополнительно приобретает множитель абсолютного значения определителя перехода координат: ^[34]

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Здесь w называется весом. В общем случае любой тензор, умноженный на степень этой функции или ее абсолютное значение, называется плотностью тензора или взвешенным тензором. [ ^{35] [36]} Примером плотности тензора является плотность тока электромагнетизма .

При аффинном преобразовании координат тензор преобразуется линейной частью самого преобразования (или его обратным) по каждому индексу. Они происходят из рациональных представлений общей линейной группы. Но это не совсем самый общий закон линейного преобразования, который может иметь такой объект: тензорные плотности являются нерациональными, но все еще являются полупростыми представлениями. Еще один класс преобразований происходит из логарифмического представления общей линейной группы, приводимого, но не полупростого представления, ^[37], состоящего из ( x , y ) ∈ R ² с законом преобразования

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

Геометрические объекты

Закон преобразования для тензора ведет себя как функтор в категории допустимых систем координат при общих линейных преобразованиях (или других преобразованиях внутри некоторого класса, таких как локальные диффеоморфизмы ). Это делает тензор особым случаем геометрического объекта в техническом смысле, что он является функцией системы координат, преобразующейся функториально при изменении координат. ^[38] Примерами объектов, подчиняющихся более общим видам законов преобразования, являются струи и, еще более обще, натуральные расслоения . ^{[39] [40]}

Спиноры

При переходе от одного ортонормированного базиса (называемого фреймом ) к другому путем поворота компоненты тензора преобразуются тем же самым поворотом. Это преобразование не зависит от пути, пройденного через пространство фреймов. Однако пространство фреймов не является просто связным (см. запутывание ориентации и трюк с пластиной ): в пространстве фреймов существуют непрерывные пути с одинаковыми начальными и конечными конфигурациями, которые не деформируются друг в друга. Можно присоединить дополнительный дискретный инвариант к каждому фрейму, который включает эту зависимость от пути и который оказывается (локально) имеющим значения ±1. ^[41] Спинор — это объект, который преобразуется подобно тензору при поворотах в фрейме, за исключением возможного знака, который определяется значением этого дискретного инварианта. ^{[42] [43]}

Спиноры являются элементами спинового представления группы вращения, тогда как тензоры являются элементами ее тензорных представлений . Другие классические группы имеют тензорные представления, а также тензоры, совместимые с группой, но все некомпактные классические группы также имеют бесконечномерные унитарные представления.

Смотрите также

• Словарное определение термина тензор в Викисловаре
• Тип данных массива для хранения и обработки тензоров

Основополагающий

• Декартов тензор
• Волоконный жгут
• Глоссарий теории тензоров
• Многолинейная проекция
• Одна форма
• Тензорное произведение модулей

Приложения

• Применение теории тензоров в технике
• Механика сплошной среды
• Ковариантная производная
• Кривизна
• Диффузионно-тензорная МРТ
• Уравнения поля Эйнштейна
• Механика жидкости
• Гравитация
• Мультилинейное подпространственное обучение
• Риманова геометрия
• Структурный тензор
• Двигатель сокращения тензора
• Разложение тензора
• Производная тензора
• Тензорное программное обеспечение

Пояснительные записки

1. Соглашение Эйнштейна о суммировании, вкратце, требует, чтобы сумма была взята по всем значениям индекса всякий раз, когда один и тот же символ появляется как нижний и верхний индекс в одном и том же члене. Например, в соответствии с этим соглашением ${\displaystyle B_{i}C^{i}=B_{1}C^{1}+B_{2}C^{2}+\cdots +B_{n}C^{n}}$
2. Двойной изоморфизм двойственности , например, используется для идентификации V с двойным двойственным пространством V ^∗∗ , которое состоит из полилинейных форм степени один на V ^∗ . В линейной алгебре типично идентифицировать пространства, которые являются естественно изоморфными, рассматривая их как одно и то же пространство.
3. А именно, нормировочная операция в векторном пространстве.

Ссылки

Специфический

1. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древних времен до наших дней. Том 3. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506137-6.
2. Де Латаувер, Ливен; Де Мур, Барт; Вандевалле, Йоос (2000). «Мультилинейное разложение сингулярных значений» (PDF) . СИАМ Дж. Матричный анал. Прил. 21 (4): 1253–1278. дои : 10.1137/S0895479896305696. S2CID  14344372.
3. Василеску, МАО; Терзопулос, Д. (2002). "Мультилинейный анализ ансамблей изображений: TensorFaces" (PDF) . Компьютерное зрение — ECCV 2002 . Конспект лекций по информатике. Том 2350. С. 447–460. doi :10.1007/3-540-47969-4_30. ISBN 978-3-540-43745-1. S2CID  12793247. Архивировано из оригинала (PDF) 2022-12-29 . Получено 2022-12-29 .
4. Колда, Тамара; Бадер, Бретт (2009). «Тензорные разложения и приложения» (PDF) . Обзор SIAM . 51 (3): 455–500. Bibcode : 2009SIAMR..51..455K. doi : 10.1137/07070111X. S2CID  16074195.
5. Sharpe, RW (2000). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна. Springer. стр. 194. ISBN 978-0-387-94732-7.
6. Схоутен, Ян Арнольдус (1954), «Глава II», Тензорный анализ для физиков, Courier Corporation, ISBN 978-0-486-65582-6
7. Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (новое издание), Wiley Interscience , ISBN 978-0-471-15733-5
8. Ли, Джон (2000), Введение в гладкие многообразия, Springer, стр. 173, ISBN 978-0-387-95495-0
9. Dodson, CTJ; Poston, T. (2013) [1991]. Тензорная геометрия: геометрическая точка зрения и ее применение . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 130 (2nd ed.). Springer. p. 105. ISBN 9783642105142.
10. "Аффинный тензор", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
11. "Почему тензоры (векторы вида a⊗b...⊗z) являются мультилинейными отображениями?". Математика Stackexchange . 5 июня 2021 г.
12. Бурбаки, Н. (1998). "3". Алгебра I: Главы 1-3 . Springer. ISBN 978-3-540-64243-5.где рассматривается случай конечно порожденных проективных модулей. Глобальные сечения сечений векторного расслоения над компактным пространством образуют проективный модуль над кольцом гладких функций. Все утверждения для когерентных пучков верны локально.
13. Джойал, Андре; Стрит, Росс (1993), «Сплетенные тензорные категории», Advances in Mathematics , 102 : 20–78, doi : 10.1006/aima.1993.1055
14. Райх, Карин (1994). Die Entwicklung des Tensorkalküls. Научные сети исторических исследований. Том. 11. Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-2814-6. OCLC  31468174.
15. Гамильтон, Уильям Роуэн (1854–1855). Уилкинс, Дэвид Р. (ред.). «О некоторых расширениях кватернионов» (PDF) . Philosophical Magazine (7–9): 492–9, 125–137, 261–9, 46–51, 280–290. ISSN  0302-7597. Со стр. 498: «И если мы условимся называть квадратный корень (взятый с подходящим знаком) этого скалярного произведения двух сопряженных полиномов, P и KP, общим ТЕНЗОРОМ каждого из них, ...»
16. Guo, Hongyu (2021-06-16). Что такое тензоры?. World Scientific. ISBN 978-981-12-4103-1.
17. Фойгт, Вольдемар (1898). Die фундаментальные физические свойства кристаллов в элементарном изложении . Фон Файт. стр. 20–. Мы хотим, чтобы ваше искусство было безопасным и свободным от напряжения, и оно не должно быть напряженным, а также физическими особенностями. [Поэтому мы хотим, чтобы [наше изложение] основывалось только на [предположении, что] условия описанного типа возникают при напряжениях и деформациях нежестких тел, и поэтому называем их «тензорными», а характерные физические величины для них — « тензоры".]
18. Риччи Курбастро, Г. (1892). «Резюме некоторых операций по системным переменным функций, связанных с квадратичной дифференциальной формой». Бюллетень математических наук . 2 (16): 167–189.
19. Риччи и Леви-Чивита 1900.
20. Паис, Авраам (2005). Тонкий Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-280672-7.
21. Гудштейн, Джудит Р. (1982). «Итальянские математики теории относительности». Центавр . 26 (3): 241–261. Бибкод : 1982Cent...26..241G. doi :10.1111/j.1600-0498.1982.tb00665.x.
22. Спаниер, Эдвин Х. (2012). Алгебраическая топология. Springer. стр. 227. ISBN 978-1-4684-9322-1. формула Кюннета, выражающая гомологию тензорного произведения...
23. Хангерфорд, Томас В. (2003). Алгебра. Springer. стр. 168. ISBN 978-0-387-90518-1... классификация (с точностью до изоморфизма) модулей над произвольным кольцом весьма сложна...
24. MacLane, Saunders (2013). Категории для работающего математика. Springer. стр. 4. ISBN 978-1-4612-9839-7. ...например, моноид M ... в категории абелевых групп × заменяется обычным тензорным произведением...
25. Бамберг, Пол; Стернберг, Шломо (1991). Курс математики для студентов-физиков . Том 2. Cambridge University Press. С. 669. ISBN 978-0-521-40650-5.
26. Пенроуз, Р. (2007). Дорога к реальности . Винтаж. ISBN 978-0-679-77631-4.
27. Уилер, JA; Мизнер, C.; Торн, KS (1973). Гравитация. WH Freeman. стр. 83. ISBN 978-0-7167-0344-0.
28. Шобейри, Мейнхард Т. (2021). «Векторный и тензорный анализ, приложения к механике жидкости». Механика жидкости для инженеров . Springer. С. 11–29.
29. Майя, МД (2011). Геометрия фундаментальных взаимодействий: о наследии Римана в физике высоких энергий и космологии. Springer. стр. 48. ISBN 978-1-4419-8273-5.
30. Hogben, Leslie , ред. (2013). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). CRC Press. стр. 15–7. ISBN 978-1-4665-0729-6.
31. Segal, IE (январь 1956). «Тензорные алгебры над гильбертовыми пространствами. I». Труды Американского математического общества . 81 (1): 106–134. doi : 10.2307/1992855 . JSTOR  1992855.
32. Абрахам, Ральф; Марсден, Джерролд Э.; Ратиу, Тюдор С. (февраль 1988 г.). "5. Тензоры". Многообразия, тензорный анализ и приложения . Прикладные математические науки. Т. 75 (2-е изд.). Springer. стр. 338–9. ISBN 978-0-387-96790-5OCLC 18562688. Элементы T ^r _s называются тензорами на E, [...]  .
33. Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия. Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-04166-8.
34. Схоутен, Ян Арнольдус , "§II.8: Плотности", Тензорный анализ для физиков
35. Макконнелл, А. Дж. (2014) [1957]. Приложения тензорного анализа. Довер. стр. 28. ISBN 9780486145020.
36. Кей 1988, стр. 27.
37. Олвер, Питер (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия, Cambridge University Press, стр. 77, ISBN 9780521478113
38. Хантьес, Дж.; Ламан, Г. (1953). «Об определении геометрических объектов. I». Труды Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen: Серия A: Математические науки . 56 (3): 208–215.
39. Нийенхейс, Альберт (1960), «Геометрические аспекты формальных дифференциальных операций над тензорными полями» (PDF) , Proc. Internat. Congress Math. (Эдинбург, 1958) , Cambridge University Press, стр. 463–9, архивировано из оригинала (PDF) 27.10.2017 , извлечено 26.10.2017.
40. Сальвиори, Сара (1972), «О теории геометрических объектов», Журнал дифференциальной геометрии , 7 (1–2): 257–278, doi : 10.4310/jdg/1214430830.
41. Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: полное руководство по законам нашей вселенной. Кнопф. С. 203–206.
42. Мейнренкен, Э. (2013). «Спиновое представление». Алгебры Клиффорда и теория лжи . Ergebnisse der Mathematik undihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике. Том. 58. Спрингер. стр. 49–85. дои : 10.1007/978-3-642-36216-3_3. ISBN 978-3-642-36215-6.
43. Донг, СХ (2011), «2. Специальная ортогональная группа SO( N )», Волновые уравнения в высших измерениях , Springer, стр. 13–38

Общий

• Бишоп, Ричард Л.; Сэмюэл И. Голдберг (1980) [1968]. Тензорный анализ многообразий. Дувр. ISBN 978-0-486-64039-6.
• Дэниелсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в инженерии и физике (2-е изд.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Springer. ISBN 978-1-4020-1015-6.
• Дживанджи, Надир (2011). Введение в тензоры и теорию групп для физиков. Биркхаузер. ISBN 978-0-8176-4714-8.
• Лоуден, ДФ (2003). Введение в тензорное исчисление, теорию относительности и космологию (3-е изд.). Довер. ISBN 978-0-486-42540-5.
• Лебедев, Леонид П.; Клауд, Майкл Дж. (2003). Тензорный анализ . World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
• Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. Дувр. ISBN 978-0-486-65840-7.
• Манкрес, Джеймс Р. (1997). Анализ многообразий. Avalon. ISBN 978-0-8133-4548-2.В шестой главе дается введение в ковариантные тензоры «с нуля».
• Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.). «Методы расчета различных абсолютных значений и приложений». Математические Аннален . 54 (1–2): 125–201. дои : 10.1007/BF01454201. S2CID  120009332.
• Кей, Дэвид С. (1988-04-01). Очерк тензорного исчисления Шаума. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-033484-7.
• Шютц, Бернард Ф. (28 января 1980 г.). Геометрические методы математической физики. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29887-2.
• Синг, Джон Лайтон; Шильд, Альфред (1969). Тензорное исчисление. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-63612-2.

• В данной статье использованы материалы из тензора на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Тензор». MathWorld .
• Боуэн, Рэй М.; Ванг, К.К. (1976). Линейная и полилинейная алгебра . Введение в векторы и тензоры. Том 1. Plenum Press. hdl :1969.1/2502. ISBN 9780306375088.
• Боуэн, Рэй М.; Ванг, К.К. (2006). Векторный и тензорный анализ . Введение в векторы и тензоры. Том 2. hdl :1969.1/3609. ISBN 9780306375095.
• Колецки, Джозеф К. (2002). «Введение в тензоры для студентов физики и инженерии». Кливленд, Огайо: Исследовательский центр NASA Glenn. 20020083040.
• Колецки, Джозеф К. (2005). «Основы тензорного анализа для студентов физики и инженерии с введением в теорию относительности» (PDF) . Кливленд, Огайо: NASA Glenn Research Center. 20050175884.
• Обсуждение различных подходов к преподаванию тензоров и рекомендации учебников
• Шарипов, Руслан (2004). "Краткое введение в тензорный анализ". arXiv : math.HO/0403252 .
• Фейнман, Ричард (1964–2013). «31. Тензоры». Лекции Фейнмана . Калифорнийский технологический институт.