История логики

История логики занимается изучением развития науки о действительном выводе ( логики ). Формальная логика развивалась в древние времена в Индии , Китае и Греции . Греческие методы, в частности, аристотелевская логика ( или терминологическая логика), изложенная в « Органоне» , нашли широкое применение и признание в западной науке и математике на протяжении тысячелетий. ^[1] Стоики , особенно Хрисипп , начали разработку логики предикатов .

Христианские и исламские философы, такие как Боэций (умер в 524 г.), Авиценна (умер в 1037 г.), Фома Аквинский (умер в 1274 г.) и Уильям Оккам (умер в 1347 г.), продолжили развивать логику Аристотеля в Средние века , достигнув пика в середине четырнадцатого века с Жаном Буриданом . Период между четырнадцатым веком и началом девятнадцатого века в значительной степени был отмечен упадком и забвением, и по крайней мере один историк логики считает это время бесплодным. ^[2] Эмпирические методы правили днем, о чем свидетельствует «Новый Органон» сэра Фрэнсиса Бэкона 1620 года.

Логика возродилась в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда предмет развился в строгую и формальную дисциплину, которая взяла за образец точный метод доказательства, используемый в математике , возвращаясь к греческой традиции. ^[3] Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период такими людьми, как Буль , Фреге , Рассел и Пеано, является наиболее значительным в двухтысячелетней истории логики и, возможно, является одним из самых важных и замечательных событий в истории человеческого интеллекта . ^[4]

Прогресс в математической логике в первые несколько десятилетий двадцатого века, в частности, благодаря работам Гёделя и Тарского , оказал значительное влияние на аналитическую философию и философскую логику , особенно с 1950-х годов, в таких дисциплинах, как модальная логика , темпоральная логика , деонтическая логика и логика релевантности .

Логика на Востоке

Логика в Индии

Индуистская логика

Источник

Насадия - сукта Ригведы ( RV 10.129) содержит онтологические рассуждения в терминах различных логических делений, которые позднее были формально переформулированы как четыре круга чатушкоти : «А», «не А», «А и 'не А ' » и «не А и не не А».

Кто знает на самом деле?
Кто здесь провозгласит это?
Откуда это было произведено? Откуда это творение?
Боги пришли позже, с созданием этой вселенной.
Кто же тогда знает, откуда оно возникло?

-  Насадия Сукта , касается происхождения вселенной , Риг Веда , 10:129-6 ^{[5] [6] [7]}

Логика зародилась независимо в Древней Индии и продолжала развиваться до начала Нового времени без какого-либо известного влияния греческой логики. ^[8]

До Гаутамы

Хотя происхождение в Индии публичных дебатов ( pariṣad ), одной из форм рационального исследования, неясно, мы знаем, что публичные дебаты были распространены в доклассической Индии, поскольку они часто упоминаются в различных Упанишадах и в ранней буддийской литературе. Публичные дебаты — не единственная форма публичных обсуждений в доклассической Индии. Собрания ( pariṣad или sabhā ) различных видов, включавшие соответствующих экспертов, регулярно созывались для обсуждения различных вопросов, включая административные, юридические и религиозные вопросы.

Даттатрея

В Бхагавата-пуране говорится, что философ по имени Даттатрея обучил Анвикшики Аиарку, Прахладу и других. Из Маркандейя-пураны следует , что изложенная им Анвикшики-видья состояла из простого рассуждения о душе в соответствии с философией йоги. Даттатрея изложил философскую сторону Анвикшики, а не ее логический аспект. ^{[9] [10]}

Медхатитхи Гаутама

Хотя учителя, упомянутые выше, имели дело с некоторыми конкретными темами Анвикшики, заслуга основания Анвикшики в ее особом смысле как науки принадлежит Медхатитхи Гаутаме (ок. 6 в. до н. э.). Гаутама основал школу логики Анвикшики ^{. [11]} Махабхарата (12.173.45), около 5 в. до н. э., упоминает школы логики Анвикшики и Тарка .

Панини

Панини (ок. 5 в. до н. э.) разработал форму логики (с которойБулева логикаимеет некоторое сходство) для своей формулировкисанскритской грамматики. Логика описанаЧанакьей(ок. 350–283 до н. э.) в его «Артхашастре» как независимая область исследования.^[12]

Ньяя-Вайшешика

Две из шести индийских школ мысли имеют дело с логикой: ньяя и вайшешика . Ньяя-сутры Акшапады Гаутамы (ок. 2 в. н. э.) составляют основные тексты школы ньяя, одной из шести ортодоксальных школ индуистской философии. Эта реалистическая школа разработала жесткую пятичленную схему вывода, включающую начальную предпосылку, причину, пример, приложение и заключение. ^[13] Идеалистическая буддийская философия стала главным оппонентом найяиков.

Логика Джайна

Умасвати (II в. н. э.), автор первого джайнского труда на санскрите «Таттвартхасутра» , излагающего джайнскую философию в наиболее систематизированной форме, приемлемой для всех сект джайнизма.

Джайны внесли свой уникальный вклад в это основное направление развития логики, также занимаясь основными эпистемологическими вопросами, а именно теми, которые касаются природы знания, того, как оно получается и каким образом можно считать знание достоверным.

У джайнов есть доктрины относительности, используемые для логики и рассуждений:

• Анекантавада – теория относительного плюрализма или множественности;
• Сьядвада – теория обусловленной предикации и;
• Наявада – теория частичных точек зрения.

Эти джайнские философские концепции внесли важнейший вклад в древнеиндийскую философию , особенно в области скептицизма и теории относительности. [4] ^[14]

Буддийская логика

Нагарджуна

Нагарджуна (ок. 150–250 гг. н. э.), основатель Мадхьямаки ( «Срединного пути»), разработал анализ, известный как catuṣkoṭi (санскрит), «четырехугольную» систему аргументации, которая включает в себя систематическое рассмотрение и отклонение каждой из четырех возможностей предложения, P :

1. P ; то есть бытие.
2. не  P ; то есть не бытие.

3. 

   Картина Нагарджуны из « Сингон Хассодзо» , серии свитков, созданных школой буддизма Сингон . Япония, период Камакура (XIII–XIV вв.)

   P и не  P ; то есть бытие и не бытие.
4. не ( P или не  P ); то есть ни бытие, ни небытие.
   В рамках пропозициональной логики законы Де Моргана подразумевали бы, что этот случай эквивалентен третьему случаю ( P и не  P ), и поэтому были бы излишними, поскольку оставалось бы рассмотреть только три фактических случая.

Дигнага

Однако иногда говорят, что Дигнага (ок. 480–540 гг. н. э.) разработал формальный силлогизм, ^[15] и именно благодаря ему и его преемнику Дхармакирти буддийская логика достигла своей вершины; оспаривается, действительно ли их анализ представляет собой формальную силлогистическую систему. В частности, их анализ был сосредоточен на определении отношения, гарантирующего вывод, « вьяпти », также известного как неизменное сопутствие или проникновение. ^[16] С этой целью была разработана доктрина, известная как «апоха» или дифференциация. ^[17] Это включало то, что можно было бы назвать включением и исключением определяющих свойств.

Знаменитое «колесо разума» Дигнаги ( Hetucakra ) — это метод указания, когда одна вещь (например, дым) может быть принята как неизменный признак другой вещи (например, огня), но вывод часто индуктивный и основан на прошлых наблюдениях. Матилал замечает, что анализ Дигнаги во многом похож на совместный метод согласия и различия Джона Стюарта Милля, который является индуктивным. ^[18]

Логика в Китае

В Китае современнику Конфуция Моцзы , «Мастеру Мо», приписывают основание школы моистов , каноны которой касались вопросов, связанных с действительным выводом и условиями правильных заключений. В частности, одна из школ, выросших из моистов, логики , некоторыми учеными приписывается за их раннее исследование формальной логики . Из-за сурового правления легизма в последующей династии Цинь , это направление исследований исчезло в Китае до введения индийской философии буддистами .

Логика на Западе

Предыстория логики

Действительные рассуждения использовались во все периоды человеческой истории. Однако логика изучает принципы действительных рассуждений, выводов и демонстраций. Вероятно, что идея демонстрации вывода впервые возникла в связи с геометрией , которая изначально означала то же самое, что и «измерение земли». ^[19] Древние египтяне открыли геометрию , включая формулу для объема усеченной пирамиды . ^[20] Древний Вавилон также был искусен в математике. Медицинский диагностический справочник Эсагил-кин-апли в 11 веке до н. э. был основан на логическом наборе аксиом и предположений, ^[21] в то время как вавилонские астрономы в 8 и 7 веках до н. э. использовали внутреннюю логику в своих предсказательных планетарных системах, что является важным вкладом в философию науки . ^[22]

Древняя Греция до Аристотеля

В то время как древние египтяне эмпирически открыли некоторые истины геометрии, великим достижением древних греков была замена эмпирических методов наглядным доказательством . И Фалес , и Пифагор из досократических философов, по-видимому, знали геометрические методы.

Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля, ^[23] а идея дедуктивной системы, вероятно, была известна в пифагорейской школе и Платоновской академии . ^[20] Доказательства Евклида Александрийского являются парадигмой греческой геометрии. Три основных принципа геометрии следующие:

• Некоторые положения должны быть приняты как истинные без доказательств; такое положение известно как аксиома геометрии.
• Каждое предложение, которое не является аксиомой геометрии, должно быть доказано как вытекающее из аксиом геометрии; такое доказательство известно как доказательство или «вывод» предложения.
• Доказательство должно быть формальным ; то есть вывод предложения должен быть независимым от конкретного рассматриваемого предмета. ^[20]

Еще одно доказательство того, что ранние греческие мыслители интересовались принципами рассуждения, можно найти во фрагменте, называемом dissoi logoi , вероятно, написанном в начале четвертого века до нашей эры. Это часть затяжного спора об истине и лжи. ^[24] В случае классических греческих городов-государств интерес к аргументации также стимулировался деятельностью риторов или ораторов и софистов , которые использовали аргументы для защиты или атаки тезиса как в юридическом, так и в политическом контексте. ^[25]

Теорема Фалеса

Фалес

Говорят, что Фалес, которого чаще всего считают первым философом в греческой традиции , ^{[26] [27]} измерил высоту пирамид по их теням в тот момент, когда его собственная тень была равна его росту. Говорят, что Фалес совершил жертвоприношение в честь открытия теоремы Фалеса, так же как Пифагор совершил открытие теоремы Пифагора . ^[28]

Фалес — первый известный человек, использовавший дедуктивное рассуждение в применении к геометрии, выведя четыре следствия из своей теоремы, и первый известный человек, которому приписывают математическое открытие. ^[29] Индийские и вавилонские математики знали его теорему для частных случаев до того, как он ее доказал. ^[30] Считается, что Фалес узнал, что угол, вписанный в полуокружность, является прямым углом во время своих путешествий в Вавилон . ^[31]

Пифагор

Доказательство теоремы Пифагора в «Началах» Евклида

До 520 г. до н. э., во время одного из своих визитов в Египет или Грецию, Пифагор мог встретиться с Фалесом, который был примерно на 54 года старше его. ^[32] Систематическое изучение доказательств, по-видимому, началось со школы Пифагора (т. е. пифагорейцев) в конце шестого века до н. э. ^[20] Действительно, пифагорейцы, веря, что все есть число, были первыми философами, которые подчеркивали форму, а не материю . ^[33]

Гераклит и Парменид

Труд Гераклита (ок. 535 – ок. 475 до н. э.) был первым местом, где слову логос было уделено особое внимание в древнегреческой философии, ^[34] Гераклит считал, что все изменяется и все есть огонь и конфликтующие противоположности, по-видимому, объединенные только этим Логосом . Он известен своими неясными высказываниями.

Этот логос всегда имеет место, но люди всегда оказываются неспособными понять его, как до того, как они услышали его, так и когда они впервые услышали его. Ибо хотя все вещи приходят в соответствии с этим логосом , люди подобны неопытным, когда они испытывают такие слова и дела, которые я изложил, различая каждое в соответствии с его природой и говоря, как оно есть. Но другие люди не замечают того, что они делают, когда бодрствуют, так же как они забывают, что они делают во сне.

—  Дильс-Кранц , 22Б1

Парменида называют первооткрывателем логики.

В отличие от Гераклита, Парменид считал, что все едино и ничто не меняется. Он мог быть диссидентом-пифагорейцем, не соглашавшимся с тем, что Единое (число) произвело множество. ^[35] «X не есть» всегда должно быть ложным или бессмысленным. То, что существует, никоим образом не может не существовать. Наши чувственные восприятия с их замечанием возникновения и разрушения находятся в тяжкой ошибке. Вместо чувственного восприятия Парменид отстаивал логос как средство к Истине. Его называли первооткрывателем логики, ^{[36] [37]}

Ибо эта точка зрения, что То, чего нет, никогда не может преобладать. Вы должны отстранить свою мысль от этого пути поиска, и не позволять обычному опыту в его разнообразии принуждать вас следовать этим путем, (а именно, позволяя) глазу, незрячему, и уху, полному звуков, и языку, управлять; но (вы должны) судить посредством Разума ( Логоса ) о столь оспариваемом доказательстве, которое изложено мной.

—  Б 7.1–8.2

Зенон Элейский , ученик Парменида, имел идею стандартной модели аргументации, найденной в методе доказательства, известном как reductio ad absurdum . Это техника вывода заведомо ложного (то есть «абсурдного») заключения из предположения, тем самым демонстрируя, что предположение ложно. ^[38] Поэтому Зенон и его учитель считаются первыми, кто применил искусство логики. ^[39] В диалоге Платона «Парменид» Зенон изображается как утверждающий, что написал книгу, защищающую монизм Парменида, демонстрируя абсурдное следствие предположения о том, что существует множественность. Зенон, как известно, использовал этот метод для разработки своих парадоксов в своих аргументах против движения. Такое диалектическое рассуждение позже стало популярным. Членов этой школы называли «диалектиками» (от греческого слова, означающего «обсуждать»).

Платон

Пусть сюда не войдет тот, кто не знаком с геометрией.

—  Надпись над входом в Академию Платона.

Мозаика «Академия Платона»

Ни одно из сохранившихся произведений великого философа четвертого века Платона (428–347 до н. э.) не содержит формальной логики, ^[40] но они включают важные вклады в область философской логики . Платон поднимает три вопроса:

• Что можно по праву назвать истинным или ложным?
• Какова природа связи между предпосылками обоснованного аргумента и его выводом?
• Какова природа определения?

Первый вопрос возникает в диалоге «Теэтет» , где Платон отождествляет мысль или мнение с разговором или дискурсом ( logos ). ^[41] Второй вопрос является результатом теории Платона о Формах . Формы не являются вещами в обычном смысле и не являются строго идеями в уме, но они соответствуют тому, что философы позже назвали универсалиями , а именно абстрактной сущностью, общей для каждого набора вещей, имеющих одно и то же имя. И в «Государстве» , и в «Софисте» Платон предполагает, что необходимая связь между предположениями действительного аргумента и его заключением соответствует необходимой связи между «формами». ^[42] Третий вопрос касается определения . Многие из диалогов Платона касаются поиска определения некоторой важной концепции (справедливости, истины, Добра), и вполне вероятно, что Платон был впечатлен важностью определения в математике. ^[43] В основе каждого определения лежит Платоновская Форма, общая природа, присутствующая в различных конкретных вещах. Таким образом, определение отражает конечный объект понимания и является основой всех действительных выводов. Это оказало большое влияние на ученика Платона Аристотеля , в частности на его представление о сущности вещи. ^[44]

Аристотель

Аристотель

Логика Аристотеля , и в частности его теория силлогизма , оказали огромное влияние на западную мысль . ^[45] Аристотель был первым логиком, который попытался провести систематический анализ логического синтаксиса , существительного (или термина ) и глагола. Он был первым формальным логиком , поскольку он продемонстрировал принципы рассуждения, используя переменные, чтобы показать лежащую в основе логическую форму аргумента. ^[46] Он искал отношения зависимости, которые характеризуют необходимый вывод, и отличал обоснованность этих отношений от истинности посылок. Он был первым, кто систематически рассматривал принципы противоречия и исключенного третьего . ^[47]

Логика Аристотеля продолжала оказывать влияние в эпоху Возрождения .

Органон

Его логические работы, называемые Органон , являются самым ранним формальным исследованием логики, дошедшим до наших дней. Хотя трудно определить даты, вероятный порядок написания логических работ Аристотеля таков:

• Категории , исследование десяти видов примитивных терминов.
• «Топики» (с приложением « О софистических опровержениях »), обсуждение диалектики.
• Об интерпретации , анализе простых категорических суждений на простые термины, отрицания и знаки количества.
• «Первая аналитика» — формальный анализ того, что составляет силлогизм ( действительный аргумент, согласно Аристотелю).
• «Вторая аналитика» — исследование научных доказательств, содержащее зрелые взгляды Аристотеля на логику.

На этой диаграмме показаны противоречивые отношения между категорическими суждениями в квадрате оппозиции аристотелевской логики .

Эти работы имеют выдающееся значение в истории логики. В « Категориях » он пытается различить все возможные вещи, к которым может относиться термин; эта идея лежит в основе его философского труда «Метафизика» , который сам по себе оказал глубокое влияние на западную мысль.

Он также разработал теорию неформальной логики ( т. е. теорию заблуждений ), которая представлена ​​в «Темах и софистических опровержениях » . ^[47]

В книге «Об интерпретации» содержится всестороннее рассмотрение понятий оппозиции и обращения; глава 7 посвящена происхождению квадрата оппозиции (или логического квадрата); глава 9 содержит начало модальной логики .

В «Первой аналитике» содержится его изложение «силлогизма», где впервые в истории применяются три важных принципа: использование переменных, чисто формальная трактовка и использование аксиоматической системы.

Стоики

Другая великая школа греческой логики — это школа стоиков . [ ^48] Стоическая логика берет свое начало в конце V века до н. э. философа Евклида из Мегары , ученика Сократа и немного старшего современника Платона, вероятно, следовавшего традиции Парменида и Зенона. Его учеников и последователей называли « мегарцами » или «эристиками», а позднее — «диалектиками». Двумя наиболее важными диалектиками мегарской школы были Диодор Крон и Филон , которые работали в конце IV века до н. э.

Хрисипп из Сол

Стоики переняли мегарскую логику и систематизировали ее. Самым важным членом школы был Хрисипп (ок. 278 – ок. 206 до н. э.), который был ее третьим главой и который формализовал большую часть стоической доктрины. Предполагается, что он написал более 700 работ, в том числе не менее 300 по логике, почти ни одна из которых не сохранилась. ^{[49] [50]} В отличие от Аристотеля, у нас нет полных работ мегарцев или ранних стоиков, и нам приходится полагаться в основном на отчеты (иногда враждебные) более поздних источников, включая, в частности, Диогена Лаэртского , Секста Эмпирика , Галена , Авла Геллия , Александра Афродисийского и Цицерона . ^[51]

Три значительных вклада стоической школы заключались в следующем: (i) их понимание модальности , (ii) их теория материального условного предложения и (iii) их понимание смысла и истины . ^[52]

• Модальность . Согласно Аристотелю, мегарцы его времени утверждали, что не существует различия между потенциальностью и действительностью . ^[53] Диодор Крон определил возможное как то, что либо есть, либо будет, невозможное как то, что не будет истинным, а случайное как то, что либо уже есть, либо будет ложным. ^[54] Диодор также известен тем, что известно как его Главный аргумент , который гласит, что каждая пара из следующих трех предложений противоречит третьему предложению:

• Все, что было в прошлом, истинно и необходимо.
• Невозможное не следует из возможного.
• То, чего нет и не будет, возможно.

Диодор использовал правдоподобность первых двух, чтобы доказать, что ничто не возможно, если оно не является и не будет истинным. ^[55] Хрисипп, напротив, отрицал вторую предпосылку и говорил, что невозможное может следовать из возможного. ^[56]

• Условные высказывания . Первыми логиками, обсуждавшими условные высказывания, были Диодор и его ученик Филон из Мегары. Секст Эмпирик трижды ссылается на спор между Диодором и Филоном. Филон считал условное высказывание истинным, если оно не имеет как истинного антецедента , так и ложного консеквента . Точнее, пусть T ₀ и T ₁ будут истинными высказываниями, а F ₀ и F ₁ — ложными высказываниями; тогда, по мнению Филона, каждое из следующих условных высказываний является истинным высказыванием, потому что не бывает так, что консеквент ложен, а антецедент истинен (не бывает так, что ложное высказывание утверждается как вытекающее из истинного высказывания):

• Если Т ₀ , то Т ₁
• Если F ₀ , то T ₀
• Если Ф ₀ , то Ф ₁

Следующее условное предложение не соответствует этому требованию и, следовательно, по мнению Филона, является ложным утверждением:

• Если Т ₀ , то Ф ₀

Действительно, Секст говорит: «Согласно [Филону], существуют три способа, которыми условное суждение может быть истинным, и один способ, которым оно может быть ложным». ^[57] Критерий истины Филона — это то, что сейчас назвали бы истинностно-функциональным определением «если... то»; это определение используется в современной логике .

Напротив, Диодор допускал действительность условных предложений только в тех случаях, когда антецедентное предложение никогда не могло привести к ложному заключению. ^{[57] [58] [59]} Спустя столетие философ- стоик Хрисипп подверг критике предположения как Филона, так и Диодора.

• Значение и истина . Самое важное и поразительное различие между мегарианско-стоической логикой и аристотелевской логикой заключается в том, что мегарианско-стоическая логика касается предложений, а не терминов, и, таким образом, ближе к современной пропозициональной логике . ^[60] Стоики различали высказывание ( phone ), которое может быть шумом, речь ( lexis ), которая является членораздельной, но может быть бессмысленной, и дискурс ( logos ), который является осмысленным высказыванием. Самой оригинальной частью их теории является идея о том, что то, что выражается предложением, называемым lekton , является чем-то реальным; это соответствует тому, что сейчас называется предложением . Секст говорит, что, согласно стоикам, три вещи связаны друг с другом: то, что означает, то, что обозначается, и объект; например, то, что обозначает, есть слово Дион , а то, что обозначается, есть то, что понимают греки, но не понимают варвары, а объектом является сам Дион. ^[61]

Средневековая логика

Логика на Ближнем Востоке

Текст Авиценны , основателя авиценновской логики

Труды Аль-Кинди , Аль-Фараби , Авиценны , Аль-Газали , Аверроэса и других мусульманских логиков основывались на аристотелевской логике и сыграли важную роль в передаче идей античного мира средневековому Западу. ^[62] Аль-Фараби (Альфараби) (873–950) был логиком-аристотелевцем, который обсуждал темы будущих контингентов , числа и отношения категорий, отношения между логикой и грамматикой и неаристотелевскими формами вывода . ^[63] Аль-Фараби также рассматривал теории условных силлогизмов и аналогового вывода , которые были частью стоической традиции логики, а не аристотелевской. ^[64]

Маймонид (1138-1204) написал « Трактат о логике» (араб. Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq ), называя Аль-Фараби «вторым учителем» (первым был Аристотель).

Ибн Сина (Авиценна) (980–1037) был основателем авиценновской логики , которая заменила аристотелевскую логику в качестве доминирующей системы логики в исламском мире, ^[65] а также оказала важное влияние на западных средневековых писателей, таких как Альберт Великий . ^[66] Авиценна писал о гипотетическом силлогизме ^[67] и об исчислении высказываний , которые оба были частью стоической логической традиции. ^[68] Он разработал оригинальную «временно-модализованную» силлогистическую теорию, включающую временную логику и модальную логику . ^[63] Он также использовал индуктивную логику , такую ​​как методы согласия, различия и сопутствующей вариации , которые имеют решающее значение для научного метода . ^[67] Одна из идей Авиценны оказала особенно важное влияние на западных логиков, таких как Уильям Оккам : слово Авиценны для обозначения смысла или понятия ( ma'na ) было переведено схоластическими логиками как латинское intentionio ; в средневековой логике и эпистемологии это знак в уме, который естественным образом представляет вещь. ^{[69] Это имело решающее значение для развития} концептуализма Оккама : универсальный термин ( например, «человек») не обозначает вещь, существующую в реальности, а скорее знак в уме ( intentio in intellectu ), который представляет множество вещей в реальности; Оккам цитирует комментарий Авиценны к «Метафизике V» в поддержку этой точки зрения. ^[70]

Фахр ад-Дин ар-Рази (р. 1149) критиковал « первую фигуру » Аристотеля и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхитив систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем (1806–1873). ^[71] Работа ар-Рази рассматривалась поздними исламскими учеными как обозначение нового направления исламской логики, в сторону поставиценновской логики . Это было далее разработано его учеником Афдаладдином аль-Хунаджи (ум. 1249), который разработал форму логики, вращающуюся вокруг предмета концепций и согласий . В ответ на эту традицию Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) положил начало традиции неоавиценновской логики, которая оставалась верной работам Авиценны и существовала как альтернатива более доминирующей поставиценновской школе на протяжении последующих столетий. ^[72]

Школа иллюминатов была основана Шахаб ад-Дином Сухраварди (1155–1191), который развил идею «решительной необходимости», которая относится к сведению всех модальностей (необходимости, возможности , случайности и невозможности ) к единому модусу необходимости. ^[73] Ибн ан-Нафис (1213–1288) написал книгу по авиценновской логике, которая была комментарием к трудам Авиценны «Аль-Ишарат» ( «Знаки ») и «Аль-Хидайя» ( «Руководство» ). ^[74] Ибн Таймия (1263–1328) написал « Ар-Радд 'ала аль-Мантикийин» , где он выступал против полезности, хотя и не против действительности силлогизма [ ^75] и в пользу индуктивного рассуждения . ^[71] Ибн Таймия также выступал против определенности силлогистических аргументов и в пользу аналогии ; его аргумент заключается в том, что концепции, основанные на индукции, сами по себе не являются определенными, а только вероятными, и, таким образом, силлогизм, основанный на таких концепциях, не более определен, чем аргумент, основанный на аналогии. Он также утверждал, что сама индукция основана на процессе аналогии. Его модель аналогического рассуждения была основана на модели юридических аргументов. ^{[76] [77]} Эта модель аналогии была использована в недавней работе Джона Ф. Совы . ^[77]

«Шарх ат-такмил фи'л-мантик», написанный Мухаммадом ибн Файд Аллахом ибн Мухаммадом Амином аш-Шарвани в XV веке, является последним крупным арабским трудом по логике, который был изучен. ^[78] Однако «тысячи и тысячи страниц» по логике были написаны между XIV и XIX веками, хотя историками была изучена лишь часть текстов, написанных в этот период, поэтому мало что известно об оригинальном труде по исламской логике, созданном в этот более поздний период. ^[72]

Логика в средневековой Европе

Вопросы Брито о Старой Логике

«Средневековая логика» (также известная как «схоластическая логика») обычно означает форму аристотелевской логики, разработанную в средневековой Европе примерно в период 1200–1600 гг. ^[1] В течение столетий после того, как была сформулирована стоическая логика, она была доминирующей системой логики в классическом мире. Когда изучение логики возобновилось после Темных веков , основным источником были работы христианского философа Боэция , который был знаком с некоторыми из логики Аристотеля, но почти ни с какими работами стоиков. ^[79] До двенадцатого века единственными работами Аристотеля, доступными на Западе, были «Категории » , «Об толковании» и перевод Боэция « Исагоги» Порфирия ( комментария к «Категориям»). Эти работы были известны как «Старая логика» ( Logica Vetus или Ars Vetus ). Важной работой в этой традиции была Logica Ingredientibus Петра Абеляра (1079–1142). Его прямое влияние было небольшим, ^[80] но его влияние через учеников, таких как Иоанн Солсберийский, было огромным, и его метод применения строгого логического анализа к теологии сформировал способ, которым теологическая критика развивалась в последующий период. ^[81] Доказательство принципа взрыва , также известного как принцип Псевдо-Скота, закона, согласно которому любое предложение может быть доказано из противоречия (включая его отрицание), было впервые дано французским логиком XII века Вильгельмом Суассонским .

К началу тринадцатого века оставшиеся работы «Органона» Аристотеля , включая « Первую аналитику» , «Вторую аналитику» и «Софистические опровержения» (совместно известные как Logica Nova или «Новая логика»), были восстановлены на Западе. ^[82] Логические работы до этого времени в основном представляли собой парафраз или комментарии к работам Аристотеля. ^[83] Период с середины тринадцатого до середины четырнадцатого века был периодом значительных разработок в логике, особенно в трех областях, которые были оригинальными, с небольшой основой в аристотелевской традиции, которая существовала ранее. Это были: ^[84]

• Теория предположения . Теория предположения имеет дело с тем, как предикаты ( например, «человек») охватывают область индивидов ( например, всех людей). ^[85] В предложении «каждый человек — животное» термин «человек» охватывает или «предполагает» людей, существующих только в настоящем, или диапазон включает прошлых и будущих людей? Может ли термин предполагать несуществующего человека? Некоторые медиевисты утверждали, что эта идея является предшественником современной логики первого порядка . ^[86] «Теория предположения с сопутствующими теориями copulatio (знаковой емкости прилагательных терминов), ampliatio (расширения референтной области) и distributio составляет одно из самых оригинальных достижений западной средневековой логики». ^[87]
• Теория синкатегорем . Синкатегоремы — это термины, необходимые для логики, но которые, в отличие от категорематических терминов, не обозначают сами по себе, а «со-обозначают» с другими словами. Примерами синкатегорем являются «и», «не», «каждый», «если» и т. д.
• Теория последствий . Следствие — это гипотетическое, условное суждение: два суждения, соединенные терминами «если ... то». Например, «если человек бежит, то Бог существует» ( Si homo currit, Deus est ). ^[88] Полностью разработанная теория последствий дана в Книге III работы Уильяма Оккама «Summa Logicae» . Там Оккам различает «материальные» и «формальные» последствия, которые примерно эквивалентны современным материальному и логическому импликациям соответственно. Похожие описания даны Жаном Буриданом и Альбертом Саксонским .

Последними великими произведениями в этой традиции являются « Логика» Джона Пуансо (1589–1644, известного как Иоанн Фоминский ), «Метафизические рассуждения» Франсиско Суареса (1548–1617) и « Демонстративная логика» Джованни Джироламо Саккери (1667–1733).

Традиционная логика

Традиция учебника

Искусство логики Дадли Феннера ( 1584)

Традиционная логика обычно означает традицию учебников, которая начинается с «Логики, или искусства мышления» Антуана Арно и Пьера Николя , более известной как « Логика Пор-Рояля» . ^[89] Опубликованная в 1662 году, она была самой влиятельной работой по логике после Аристотеля вплоть до девятнадцатого века. ^[90] Книга представляет собой свободно картезианскую доктрину (например, что предложение является объединением идей, а не терминов) в рамках, которые в целом вытекают из аристотелевской и средневековой терминологической логики . Между 1664 и 1700 годами было восемь изданий, и после этого книга имела значительное влияние. ^[90] «Пор-Рояль» вводит понятия экстенсионала и интенсионала . Описание предложений , которое Локк дает в своем «Опыте» , по сути, совпадает с описанием Пор-Рояля: «Глагольные предложения, которые являются словами, [являются] знаками наших идей, соединенными или разделенными в утвердительных или отрицательных предложениях. Таким образом, это предложение состоит в соединении или разделении этих знаков в зависимости от того, согласуются или не согласуются вещи, которые они обозначают» ^{[91] .}

Дадли Феннер помог популяризировать логику Рамиста , реакцию против Аристотеля. Другой влиятельной работой был Novum Organum Фрэнсиса Бэкона , опубликованный в 1620 году. Название переводится как «новый инструмент». Это ссылка на работу Аристотеля , известную как Organon . В этой работе Бэкон отвергает силлогистический метод Аристотеля в пользу альтернативной процедуры, «которая медленным и верным трудом собирает информацию о вещах и приводит ее к пониманию». ^[92] Этот метод известен как индуктивное рассуждение , метод, который начинается с эмпирического наблюдения и переходит к более низким аксиомам или предложениям; из этих более низких аксиом могут быть выведены более общие. Например, при поиске причины феноменальной природы, такой как тепло, следует составить три списка:

• Список присутствия: список всех ситуаций, в которых обнаруживается тепло.
• Список отсутствий: список всех ситуаций, которые похожи хотя бы на одну из ситуаций из списка присутствия, за исключением отсутствия тепла.
• Список изменчивости: список всех ситуаций, в которых тепло может меняться.

Тогда форма природы (или причина) тепла может быть определена как то, что является общим для каждой ситуации из списка присутствия, и чего не хватает в каждой ситуации из списка отсутствия, и что варьируется по степени в каждой ситуации из списка изменчивости.

Другие работы в традиции учебников включают «Логику: Или, правильное использование разума» Айзека Уоттса ( 1725), «Логику » Ричарда Уотли (1826) и «Систему логики» Джона Стюарта Милля ( 1843). Хотя последняя была одной из последних великих работ в традиции, взгляд Милля на то, что основы логики лежат в интроспекции ^[93], повлиял на точку зрения, что логику лучше всего понимать как раздел психологии, точку зрения, которая доминировала в течение следующих пятидесяти лет ее развития, особенно в Германии. ^[94]

Логика в философии Гегеля

Георг Вильгельм Фридрих Гегель

Гегель указал на важность логики для своей философской системы, когда он сжал свою обширную «Науку логики» в более короткую работу, опубликованную в 1817 году в качестве первого тома его «Энциклопедии философских наук». «Краткая» или «Энциклопедия» логики , как ее часто называют, излагает ряд переходов, которые ведут от самой пустой и абстрактной из категорий — Гегель начинает с «Чистого Бытия» и «Чистого Ничто» — к « Абсолюту », категории, которая содержит и разрешает все категории, которые ей предшествовали. Несмотря на название, « Логика» Гегеля на самом деле не является вкладом в науку обоснованного вывода. Вместо того чтобы выводить выводы о понятиях посредством обоснованного вывода из посылок, Гегель стремится показать, что размышление об одном понятии заставляет размышлять о другом понятии (он утверждает, что нельзя обладать понятием «Качество» без понятия «Количество»); это принуждение, предположительно, не является вопросом индивидуальной психологии, поскольку оно возникает почти органически из содержания самих понятий. Его цель — показать рациональную структуру «Абсолюта» — по сути, самой рациональности. Метод, посредством которого мысль движется от одного понятия к его противоположности, а затем к другим понятиям, известен как гегелевская диалектика .

Хотя «Логика» Гегеля оказала незначительное влияние на основные логические исследования, ее влияние можно увидеть в других областях:

• «История логики в Абендланде» Карла фон Прантля ( 1855–1867). ^[95]
• Работы британских идеалистов , такие как «Принципы логики» Ф. Г. Брэдли (1883).
• Экономические, политические и философские исследования Карла Маркса и различных школ марксизма .

Логика и психология

Между работами Милля и Фреге прошло полвека, в течение которых логика широко трактовалась как описательная наука, эмпирическое изучение структуры рассуждений и, таким образом, по сути, как раздел психологии . ^[96] Немецкий психолог Вильгельм Вундт , например, обсуждал вывод «логического из психологических законов мышления», подчеркивая, что «психологическое мышление всегда является более всеобъемлющей формой мышления». ^[97] Эта точка зрения была широко распространена среди немецких философов того периода:

• Теодор Липпс описал логику как «особую дисциплину психологии». ^[98]
• Кристоф фон Зигварт понимал логическую необходимость как основанную на принуждении индивида мыслить определенным образом. ^[99]
• Бенно Эрдманн утверждал, что «логические законы действуют только в пределах нашего мышления». ^[100]

Таков был доминирующий взгляд на логику в годы, последовавшие за работой Милля. ^[101] Этот психологический подход к логике был отвергнут Готтлобом Фреге . Он также подвергся развернутой и разрушительной критике Эдмунда Гуссерля в первом томе его «Логических исследований» (1900), нападкам, которые были описаны как «подавляющие». ^[102] Гуссерль убедительно доказывал, что обоснование логики психологическими наблюдениями подразумевает, что все логические истины остаются недоказанными, и что скептицизм и релятивизм являются неизбежными следствиями.

Такая критика не сразу искоренила то, что называется « психологизмом ». Например, американский философ Джозайя Ройс , признавая силу критики Гуссерля, оставался «неспособным сомневаться», что прогресс в психологии будет сопровождаться прогрессом в логике, и наоборот. ^[103]

Расцвет современной логики

Период между четырнадцатым и началом девятнадцатого века был в значительной степени периодом упадка и забвения, и историки логики обычно считают его бесплодным. ^[2] Возрождение логики произошло в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда предмет развился в строгую и формалистическую дисциплину, образцом которой был точный метод доказательства, используемый в математике . Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период является наиболее значительным в 2000-летней истории логики и, возможно, является одним из самых важных и замечательных событий в истории человеческого интеллекта. ^[4]

Ряд особенностей отличают современную логику от старой аристотелевской или традиционной логики, наиболее важными из которых являются следующие: ^[104] Современная логика по сути является исчислением , правила работы которого определяются только формой , а не значением символов , которые она использует, как в математике. Многие логики были впечатлены «успехом» математики, поскольку не было никаких длительных споров о каком-либо истинно математическом результате. К. С. Пирс отметил ^[105] , что даже несмотря на то, что ошибка в оценке определенного интеграла Лапласом привела к ошибке относительно орбиты Луны, которая сохранялась почти 50 лет, ошибка, однажды обнаруженная, была исправлена ​​без каких-либо серьезных споров. Пирс противопоставил это спорам и неопределенности, окружающим традиционную логику, и особенно рассуждения в метафизике . Он утверждал, что по-настоящему «точная» логика будет зависеть от математического, т. е. «схематического» или «иконического» мышления. «Те, кто следует таким методам, ... избегут всех ошибок, за исключением тех, которые будут быстро исправлены после того, как они будут однажды заподозрены». Современная логика также является «конструктивной», а не «абстрактной»; то есть, вместо того, чтобы абстрагировать и формализовать теоремы, полученные из обычного языка (или из психологических интуиций о действительности), она конструирует теоремы формальными методами, а затем ищет интерпретацию на обычном языке. Она полностью символична, что означает, что даже логические константы (которые средневековые логики называли « syncategoremata ») и категориальные термины выражаются в символах.

Современная логика

Развитие современной логики можно условно разделить на пять периодов: ^[106]

• Эмбриональный период от Лейбница до 1847 года, когда обсуждалось и развивалось понятие логического исчисления, в частности Лейбницем, но никаких школ не было сформировано, а отдельные периодические попытки были заброшены или остались незамеченными.
• Алгебраический период от Булевского анализа до Vorlesungen Шредера . В этот период было больше практиков и большая преемственность развития.
• Период логицизма от Begriffsschrift Фреге до Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда . Целью «школы логицизма» было объединить логику всего математического и научного дискурса в единую унифицированную систему, которая, принимая в качестве фундаментального принципа, что все математические истины являются логическими, не принимала никакой нелогической терминологии. Главными логиками были Фреге , Рассел и ранний Витгенштейн . [ 107 ^] Он достигает кульминации в Principia , важной работе, которая включает в себя тщательное исследование и попытку решения антиномий , которые были препятствием для более раннего прогресса.
• Метаматематический период с 1910 по 1930-е годы, в течение которого развивалась металогика в финитистской системе Гильберта и нефинитистской системе Лёвенгейма и Скулема , сочетание логики и металогики в работах Гёделя и Тарского . Теорема Гёделя о неполноте 1931 года была одним из величайших достижений в истории логики. Позднее, в 1930-х годах, Гёдель разработал понятие теоретико -множественной конструктивности .
• Период после Второй мировой войны , когда математическая логика разделилась на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теорию моделей , теорию доказательств , теорию вычислимости и теорию множеств , а ее идеи и методы начали оказывать влияние на философию .

Эмбриональный период

Лейбниц

Идея о том, что вывод может быть представлен чисто механическим процессом, встречается еще у Раймунда Луллия , который предложил (несколько эксцентричный) метод вывода заключений с помощью системы концентрических колец. Работа таких логиков, как Оксфордские калькуляторы ^[108], привела к методу использования букв вместо записи логических вычислений ( calculations ) словами, метод, используемый, например, в Logica magna Павла Венецианского . Спустя триста лет после Луллия английский философ и логик Томас Гоббс предположил, что вся логика и рассуждения могут быть сведены к математическим операциям сложения и вычитания. ^[109] Та же идея встречается в работе Лейбница , который читал и Луллия, и Гоббса и утверждал, что логику можно представить с помощью комбинаторного процесса или исчисления. Но, как и Луллий и Гоббс, он не смог разработать подробную или всеобъемлющую систему, и его работа на эту тему была опубликована лишь спустя долгое время после его смерти. Лейбниц говорит, что обычные языки подвержены «бесчисленным двусмысленностям» и не подходят для исчисления, задача которого — выявлять ошибки в выводах, возникающие из форм и структур слов; ^[110] поэтому он предложил определить алфавит человеческой мысли, включающий фундаментальные понятия, которые можно было бы составить для выражения сложных идей, ^[111] и создать исчисление-рационализатор , которое сделало бы все аргументы «такими же осязаемыми, как аргументы математиков, так что мы могли бы сразу найти нашу ошибку, и когда между людьми возникают споры, мы могли бы просто сказать: давайте посчитаем». ^[112]

Жергонн (1816) сказал, что рассуждения не обязательно должны касаться объектов, о которых у человека есть совершенно ясные представления, поскольку алгебраические операции могут выполняться без какого-либо представления о значении используемых символов. ^[113] Больцано предвосхитил фундаментальную идею современной теории доказательств, когда определил логическое следствие или «выводимость» в терминах переменных: ^[114]

Поэтому я говорю, что предложения , , ,... выводимы из предложений , , , ,... относительно переменных частей , ,..., если каждый класс идей, замена которых на , ,... делает все из , , , ,... истинными, также делает все из , , ,... истинными. Иногда, поскольку это принято, я буду говорить, что предложения , , ,... следуют или могут быть выведены или получены , из , , , ,.... Предложения , , , ,... Я буду называть посылки , , , ,... заключениями. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O}$

Теперь это известно как семантическая валидность .

Алгебраический период

Джордж Буль

Современная логика начинается с так называемой «алгебраической школы», берущей начало от Буля и включающей Пирса , Джевонса , Шредера и Венна . ^[115] Их целью было разработать исчисление для формализации рассуждений в области классов, предложений и вероятностей. Школа начинается с основополагающей работы Буля «Математический анализ логики» , которая появилась в 1847 году, хотя Де Морган (1847) является ее непосредственным предшественником. ^[116] Основная идея системы Буля заключается в том, что алгебраические формулы могут использоваться для выражения логических отношений. Эта идея пришла Булю в голову в подростковом возрасте, когда он работал швейцаром в частной школе в Линкольне, Линкольншир . ^[117] Например, пусть x и y обозначают классы, пусть символ = означает, что классы имеют одних и тех же членов, xy обозначает класс, содержащий все и только члены x и y и так далее. Буль называет эти символы выборными , т.е. символами, которые выбирают определенные объекты для рассмотрения. ^[118] Выражение, в котором используются выборные символы, называется выборной функцией , а уравнение, членами которого являются выборные функции, является выборным уравнением . ^[119] Теория выборных функций и их «развитие» по сути является современной идеей истинностных функций и их выражения в дизъюнктивной нормальной форме . ^[118]

Система Буля допускает две интерпретации: в логике классов и в пропозициональной логике. Буль различал «первичные суждения», которые являются предметом силлогистической теории, и «вторичные суждения», которые являются предметом пропозициональной логики, и показал, как при различных «интерпретациях» одна и та же алгебраическая система может представлять и то, и другое. Примером первичного суждения является «Все жители являются либо европейцами, либо азиатами». Примером вторичного суждения является «Либо все жители являются европейцами, либо все они азиаты». ^[120] Их легко различить в современной логике предикатов, где также можно показать, что первое следует из второго, но существенным недостатком является то, что нет способа представить это в булевой системе. ^[121]

В своей «Символической логике» (1881) Джон Венн использовал диаграммы перекрывающихся областей для выражения булевых отношений между классами или истинностными условиями предложений. В 1869 году Джевонс понял, что методы Буля можно механизировать, и построил «логическую машину», которую он показал Королевскому обществу в следующем году. ^[118] В 1885 году Аллан Маркванд предложил электрическую версию машины, которая сохранилась до сих пор (изображение в библиотеке Файрстоуна).

Чарльз Сандерс Пирс

Все недостатки в системе Буля (такие как использование буквы v для экзистенциальных предложений) были исправлены его последователями. Джевонс опубликовал « Чистую логику, или логику качества отдельно от количества» в 1864 году, где он предложил символ для обозначения исключающего или , что позволило значительно упростить систему Буля. ^[122] Это было полезно использовано Шредером, когда он изложил теоремы в параллельных столбцах в своих Vorlesungen (1890–1905). Пирс (1880) показал, как все булевы выборные функции могут быть выражены с помощью одной примитивной бинарной операции « ни ... ни ... » и в равной степени « ни оба ... и ... » ^[123] однако, как и многие из нововведений Пирса, это оставалось неизвестным или незамеченным, пока Шеффер не открыл его заново в 1913 году. ^[124] В ранних работах Буля также отсутствует идея логической суммы , которая берет свое начало у Пирса (1867), Шредера (1877) и Джевонса (1890), ^[125] и концепция включения , впервые предложенная Жергонном (1816) и четко сформулированная Пирсом (1870).

Булевы множители

Успех алгебраической системы Буля предполагал, что вся логика должна быть допускающей алгебраическое представление, и были попытки выразить логику отношений в такой форме, из которых наиболее амбициозной была монументальная работа Шредера « Vorlesungen über die Algebra der Logik» («Лекции по алгебре логики», т. III, 1895), хотя первоначальная идея была снова предвосхищена Пирсом. ^[126]

Непоколебимое принятие Булем логики Аристотеля подчеркивается историком логики Джоном Коркораном в доступном введении к «Законам мысли». ^[127] Коркоран также написал пошаговое сравнение « Предшествующей аналитики» и «Законов мысли» . ^[128] По словам Коркорана, Буль полностью принимал и одобрял логику Аристотеля. Целями Буля были «идти ниже, выше и дальше» логики Аристотеля путем 1) предоставления ей математических основ, включающих уравнения, 2) расширения класса проблем, которые она могла бы решать — от оценки действительности до решения уравнений — и 3) расширения диапазона приложений, с которыми она могла бы работать — например, от предложений, имеющих только два термина, до предложений, имеющих произвольное количество.

Точнее, Буль согласился с тем, что сказал Аристотель ; «разногласия» Буля, если их можно так назвать, касаются того, чего Аристотель не сказал. Во-первых, в области оснований Буль свел четыре пропозициональные формы аристотелевской логики к формулам в форме уравнений — сама по себе революционная идея. Во-вторых, в области логических проблем добавление Булем решения уравнений к логике — еще одна революционная идея — включало в себя доктрину Буля о том, что правила вывода Аристотеля («совершенные силлогизмы») должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многочленные предложения и аргументы, тогда как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные предложения и аргументы субъект-предикат. Например, система Аристотеля не могла вывести «Никакой четырехугольник, являющийся квадратом, не является прямоугольником, являющимся ромбом» из «Никакой квадрат, являющийся четырехугольником, не является ромбом, являющимся прямоугольником» или из «Никакой ромб, являющийся прямоугольником, не является квадратом, являющимся четырехугольником».

Период логицизма

Готтлоб Фреге.

После Буля, следующие большие успехи были достигнуты немецким математиком Готтлобом Фреге . Целью Фреге была программа логицизма , т.е. демонстрация того, что арифметика тождественна логике. ^[129] Фреге пошел гораздо дальше, чем любой из его предшественников, в своем строгом и формальном подходе к логике, и его исчисление или Begriffsschrift имеет важное значение. ^[129] Фреге также пытался показать, что понятие числа может быть определено чисто логическими средствами, так что (если он был прав) логика включает арифметику и все разделы математики, которые сводимы к арифметике. Он был не первым писателем, который это предположил. В своей новаторской работе « Основы арифметики » (разделы 15–17) он признает заслуги Лейбница, Дж. С. Милля , а также Джевонса, ссылаясь на утверждение последнего о том, что «алгебра — это высокоразвитая логика, а число — логическое различение». ^[130]

Первая работа Фреге, Begriffsschrift («концептуальный сценарий»), представляет собой строго аксиоматизированную систему пропозициональной логики, опирающуюся всего на две связки (отрицательную и условную), два правила вывода ( modus ponens и подстановку) и шесть аксиом. Фреге ссылался на «полноту» этой системы, но не смог этого доказать. ^[131] Однако наиболее значительным нововведением было его объяснение квантификатора в терминах математических функций. Традиционная логика рассматривает предложение «Цезарь — человек» как имеющее в основе ту же форму, что и «все люди смертны». Предложения с подлежащим в виде имени собственного считались универсальными по характеру, интерпретируемыми как «каждый Цезарь — человек». ^[132] Вначале Фреге отказывается от традиционных «понятий субъекта и предиката », заменяя их аргументом и функцией соответственно, которые, как он считает, «выдержат испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формированию понятий. Кроме того, заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов if, and, not, or, there is, some, all и т. д.» ^[133] Фреге утверждал, что кванторное выражение «все люди» не имеет той же логической или семантической формы, что и «все люди», и что универсальное суждение «всякий А есть В» является сложным суждением, включающим две функции , а именно «– есть А» и «– есть В», таким образом, что все, что удовлетворяет первой, также удовлетворяет второй. В современной нотации это будет выражено как

${\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

В английском языке «for all x, if Ax then Bx». Таким образом, только единичные предложения имеют форму субъекта-предиката, и они неприводимо единичны, т. е. не сводимы к общему предложению. Универсальные и частные предложения, напротив, вообще не имеют простой формы субъекта-предиката. Если бы «все млекопитающие» были логическим субъектом предложения «все млекопитающие являются наземными жителями», то для отрицания всего предложения нам пришлось бы отрицать предикат, чтобы получить «все млекопитающие не наземные жители». Но это не так. ^[134] Этот функциональный анализ предложений обычного языка позже оказал большое влияние на философию и лингвистику .

Это означает, что в исчислении Фреге «первичные» предложения Буля могут быть представлены иначе, чем «вторичные» предложения. «Все жители — либо мужчины, либо женщины» — это

«Концептуальный сценарий» Фреге

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

тогда как «Все жители — мужчины или все жители — женщины» —

${\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

Как заметил Фреге, критикуя исчисление Буля:

«Настоящая разница в том, что я избегаю [булева] деления на две части... и даю однородное представление партии. В булевом языке две части идут рядом друг с другом, так что одна из них подобна зеркальному отображению другой, но именно по этой причине не находится с ней в органической связи». ^[135]

Помимо предоставления единой и всеобъемлющей системы логики, исчисление Фреге также решило древнюю проблему множественной общности . Двусмысленность «каждая девочка поцеловала мальчика» трудно выразить в традиционной логике, но логика Фреге решает ее посредством различной сферы действия квантификаторов. Таким образом

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

Пеано

означает, что каждой девушке соответствует какой-то парень (подойдет любой), которого девушка поцеловала. Но

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

означает, что есть некий конкретный мальчик, которого целовала каждая девочка. Без этого устройства проект логицизма был бы сомнительным или невозможным. Используя его, Фреге дал определение родового отношения , отношения «многие-к-одному » и математической индукции . ^[136]

Эрнст Цермело

Этот период совпадает с работой так называемой «математической школы», в которую входили Дедекинд , Паш , Пеано , Гильберт , Цермело , Хантингтон , Веблен и Гейтинг . Их целью была аксиоматизация таких разделов математики, как геометрия, арифметика, анализ и теория множеств. Наиболее заметной была Программа Гильберта , которая стремилась обосновать всю математику конечным набором аксиом, доказав ее непротиворечивость «финитными» средствами и предоставив процедуру, которая бы определяла истинность или ложность любого математического утверждения. Стандартная аксиоматизация натуральных чисел названа аксиомами Пеано в честь его имени. Пеано поддерживал четкое различие между математическими и логическими символами. Не зная о работе Фреге, он независимо воссоздал свой логический аппарат на основе работы Буля и Шредера. ^[137]

Проект логицистов получил почти фатальную неудачу с открытием парадокса в 1901 году Бертраном Расселом . Это доказало, что наивная теория множеств Фреге привела к противоречию. Теория Фреге содержала аксиому, что для любого формального критерия существует множество всех объектов, которые удовлетворяют критерию. Рассел показал, что множество, содержащее в точности множества, которые не являются членами самих себя, противоречило бы своему собственному определению (если оно не является членом самого себя, то оно является членом самого себя, а если оно является членом самого себя, то оно не является таковым). ^[138] Это противоречие теперь известно как парадокс Рассела . Один важный метод разрешения этого парадокса был предложен Эрнстом Цермело . ^[139] Теория множеств Цермело была первой аксиоматической теорией множеств . Она была развита в ныне каноническую теорию множеств Цермело–Френкеля (ZF). Парадокс Рассела символически выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

Монументальный труд Principia Mathematica , трёхтомный труд об основаниях математики , написанный Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом и опубликованный в 1910–1913 годах, также включал попытку разрешить парадокс с помощью сложной системы типов : множество элементов относится к другому типу, чем каждый из его элементов (множество не является элементом; один элемент не является множеством), и нельзя говорить о « множестве всех множеств ». Principia были попыткой вывести все математические истины из чётко определённого набора аксиом и правил вывода в символической логике .

Метаматематический период

Курт Гёдель

Имена Гёделя и Тарского доминируют в 1930-х годах ^[140] , решающем периоде в развитии метаматематики — изучении математики с использованием математических методов для создания метатеорий , или математических теорий о других математических теориях. Ранние исследования метаматематики были обусловлены программой Гильберта. Работа над метаматематикой достигла кульминации в работе Гёделя, который в 1929 году показал, что данное предложение первого порядка выводимо тогда и только тогда, когда оно логически допустимо — т. е. оно истинно в любой структуре для своего языка. Это известно как теорема о полноте Гёделя . Год спустя он доказал две важные теоремы, которые показали, что программа Гиберта недостижима в ее первоначальной форме. Первая заключается в том, что никакая непротиворечивая система аксиом, теоремы которой могут быть перечислены эффективной процедурой, такой как алгоритм или компьютерная программа, не способна доказать все факты о натуральных числах . Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые истинны, но которые недоказуемы внутри системы. Второе заключается в том, что если такая система также способна доказать некоторые основные факты о натуральных числах, то система не может доказать непротиворечивость самой системы. Эти два результата известны как теоремы Гёделя о неполноте или просто теорема Гёделя . Позже в этом десятилетии Гёдель разработал концепцию теоретико-множественной конструктивности как часть своего доказательства того, что аксиома выбора и континуум-гипотеза согласуются с теорией множеств Цермело–Френкеля . В теории доказательств Герхард Генцен разработал естественную дедукцию и секвенциальное исчисление . Первая пытается моделировать логические рассуждения, как они «естественно» происходят на практике и наиболее легко применяются к интуиционистской логике , в то время как последняя была разработана для прояснения вывода логических доказательств в любой формальной системе. Со времен работы Генцена естественная дедукция и секвенциальные исчисления широко применялись в областях теории доказательств, математической логики и компьютерных наук. Генцен также доказал теоремы нормализации и устранения сечений для интуиционистской и классической логики, которые можно было использовать для приведения логических доказательств к нормальной форме. ^[141]

Альфред Тарский

Альфред Тарский , ученик Лукасевича , наиболее известен своим определением истины и логического следствия , а также семантической концепцией логического удовлетворения . В 1933 году он опубликовал (на польском языке) работу «Концепция истины в формализованных языках » , в которой предложил свою семантическую теорию истины : предложение, такое как «снег белый», истинно тогда и только тогда, когда снег белый. Теория Тарского отделила метаязык , который делает утверждение об истине, от объектного языка, который содержит предложение, истинность которого утверждается, и дала соответствие ( Т-схему ) между фразами в объектном языке и элементами интерпретации . Подход Тарского к сложной идее объяснения истины оказал устойчивое влияние на логику и философию, особенно на развитие теории моделей . ^[142] Тарский также выполнил важную работу по методологии дедуктивных систем и по таким фундаментальным принципам, как полнота , разрешимость , непротиворечивость и определимость . По словам Аниты Феферман, Тарский «изменил облик логики в двадцатом веке» ^{[143] .}

Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг предложили формальные модели вычислимости, дав независимые отрицательные решения Entscheidungsproblem Гильберта в 1936 и 1937 годах соответственно. Entscheidungsproblem требовала процедуры, которая, учитывая любое формальное математическое утверждение, алгоритмически определяла бы, является ли утверждение истинным. Чёрч и Тьюринг доказали, что такой процедуры не существует; статья Тьюринга представила проблему остановки как ключевой пример математической проблемы без алгоритмического решения.

Система Чёрча для вычислений развилась в современное λ-исчисление , в то время как машина Тьюринга стала стандартной моделью для универсального вычислительного устройства. Вскоре было показано, что многие другие предложенные модели вычислений были эквивалентны по мощности тем, которые были предложены Чёрчем и Тьюрингом. Эти результаты привели к тезису Чёрча–Тьюринга о том, что любой детерминированный алгоритм , который может быть выполнен человеком, может быть выполнен машиной Тьюринга. Чёрч доказал дополнительные результаты неразрешимости, показав, что и арифметика Пеано , и логика первого порядка неразрешимы . Более поздние работы Эмиля Поста и Стивена Коула Клини в 1940-х годах расширили область действия теории вычислимости и ввели понятие степеней неразрешимости .

Результаты первых десятилетий двадцатого века также оказали влияние на аналитическую философию и философскую логику , особенно с 1950-х годов, в таких дисциплинах, как модальная логика , темпоральная логика , деонтическая логика и логика релевантности .

Логика после Второй мировой войны

Сол Крипке

После Второй мировой войны математическая логика разделилась на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теорию моделей , теорию доказательств , теорию вычислимости и теорию множеств . ^[144]

В теории множеств метод принуждения произвел революцию в этой области, предоставив надежный метод построения моделей и получения результатов независимости. Пол Коэн представил этот метод в 1963 году для доказательства независимости гипотезы континуума и аксиомы выбора из теории множеств Цермело–Френкеля . ^[145] Его метод, который был упрощен и расширен вскоре после его введения, с тех пор применялся ко многим другим проблемам во всех областях математической логики.

Теория вычислимости берет свое начало в работах Тьюринга, Чёрча, Клини и Поста в 1930-х и 40-х годах. Она переросла в изучение абстрактной вычислимости, которая стала известна как теория рекурсии . ^[146] Метод приоритета , открытый независимо Альбертом Мучником и Ричардом Фридбергом в 1950-х годах, привел к значительным достижениям в понимании степеней неразрешимости и связанных с ними структур. Исследования теории вычислимости более высокого порядка продемонстрировали ее связи с теорией множеств. Области конструктивного анализа и вычислимого анализа были разработаны для изучения эффективного содержания классических математических теорем; они, в свою очередь, вдохновили программу обратной математики . Отдельная ветвь теории вычислимости, теория вычислительной сложности , также была охарактеризована в логических терминах в результате исследований дескриптивной сложности .

Теория моделей применяет методы математической логики для изучения моделей конкретных математических теорий. Альфред Тарский опубликовал много новаторских работ в этой области, которая названа в честь серии статей, опубликованных им под названием « Вклад в теорию моделей» . В 1960-х годах Абрахам Робинсон использовал методы теории моделей для разработки исчисления и анализа на основе бесконечно малых , проблемы, которая впервые была предложена Лейбницем.

В теории доказательств связь между классической математикой и интуиционистской математикой была прояснена с помощью таких инструментов, как метод реализуемости , изобретенный Георгом Крайзелем , и интерпретация Диалектики Гёделя . Эта работа вдохновила современную область добычи доказательств . Соответствие Карри–Ховарда возникло как глубокая аналогия между логикой и вычислениями, включая соответствие между системами естественного вывода и типизированными лямбда-исчислениями, используемыми в информатике. В результате исследования этого класса формальных систем начали затрагивать как логические, так и вычислительные аспекты; эта область исследований стала известна как современная теория типов. Также были достигнуты успехи в порядковом анализе , а изучение независимости результатов в арифметике, таких как теорема Пэриса–Харрингтона .

Это был также период, особенно в 1950-х годах и позже, когда идеи математической логики начали влиять на философское мышление. Например, временная логика — это формализованная система для представления и рассуждения о предложениях, квалифицированных в терминах времени. Философ Артур Прайор сыграл значительную роль в ее развитии в 1960-х годах. Модальные логики расширяют сферу формальной логики, включая элементы модальности (например, возможность и необходимость ). Идеи Сола Крипке , особенно о возможных мирах , и формальная система, теперь называемая семантикой Крипке, оказали глубокое влияние на аналитическую философию . ^[147] Его самая известная и наиболее влиятельная работа — «Именование и необходимость» (1980). ^[148] Деонтические логики тесно связаны с модальными логиками: они пытаются охватить логические особенности обязательства , разрешения и связанных с ними понятий. Хотя некоторые основные новшества, синкретизирующие математическую и философскую логику, были продемонстрированы Больцано в начале 1800-х годов, именно Эрнст Малли , ученик Алексиуса Мейнонга , предложил первую формальную деонтическую систему в своем Grundgesetze des Sollens , основанную на синтаксисе исчисления высказываний Уайтхеда и Рассела .

Еще одной логической системой, созданной после Второй мировой войны, была нечеткая логика, созданная азербайджанским математиком Лютфи Аскер-заде в 1965 году.

Смотрите также

• Философский портал

• История дедуктивного мышления
• История индуктивного рассуждения
• История абдуктивного мышления
• История концепции функции
• История математики
• История философии
• борода Платона
• Хронология математической логики

Примечания

1. Boehner стр. xiv
2. Oxford Companion стр. 498; Боченски, Часть I Введение, passim
3. Фреге, Готтлоб. Основы арифметики (PDF) . стр. 1. Архивировано из оригинала (PDF) 20-09-2018 . Получено 03-02-2016 .
4. Oxford Companion стр. 500
5. Крамер, Кеннет (январь 1986). World Scriptures: An Introduction to Comparative Religions. Paulist Press. стр. 34–. ISBN 978-0-8091-2781-8.
6. Кристиан, Дэвид (2011-09-01). Карты времени: Введение в большую историю. Издательство Калифорнийского университета. С. 18–. ISBN 978-0-520-95067-2.
7. Сингх, Апиндер (2008). История древней и ранней средневековой Индии: от каменного века до XII века. Pearson Education India. стр. 206–. ISBN 978-81-317-1120-0.
8. Боченски стр. 446
9. Видьябхусана, SC (1921). История индийской логики. стр. 11.
10. Бхусана, Сатис Чандра Видья (1921). История индийской логики.
11. SC Vidyabhusana (1971). История индийской логики: древние, средневековые и современные школы , стр. 17–21.
12. Р.П. Кангл (1986). Каутилия Арташастра (1.2.11). Мотилал Банарсидасс.
13. Боченски стр. 417 и далее
14. Ганери, Джонардон (2002). «Джайнская логика и философская основа плюрализма». История и философия логики . 23 (4): 267–281. doi :10.1080/0144534021000051505. ISSN  0144-5340. S2CID  170089234.
15. Боченски стр. 431–437
16. Матилал, Бимал Кришна (1998). Характер логики в Индии . Олбани, Нью-Йорк, США: State University of New York Press. С. 12, 18. ISBN 9780791437407.
17. Боченски стр. 441
18. Матилал, 17
19. Книл, стр. 2
20. Книл стр. 3
21. HFJ Horstmanshoff, Marten Stol, Cornelis Tilburg (2004), Магия и рациональность в древней ближневосточной и греко-римской медицине , стр. 99, Brill Publishers , ISBN 90-04-13666-5 . 
22. Д. Браун (2000), Месопотамская планетарная астрономия-астрология , Styx Publications, ISBN 90-5693-036-2 . 
23. Хит, Математика у Аристотеля , цитируется в Книле, стр. 5
24. Книл, стр. 16
25. "История логики". britannica.com . Получено 2018-04-02 .
26. Аристотель , Метафизика Альфа, 983b18.
27. Смит, Уильям (1870). Словарь греческой и римской биографии и мифологии. Бостон, Литтл. С. 1016.
28. T. Patronis & D. Patsopoulos Теорема Фалеса: исследование наименования теорем в школьных учебниках геометрии. Университет Патраса . Архивировано из оригинала 2016-03-03 . Получено 2012-02-12 .
29. (Бойер 1991, «Иония и пифагорейцы», стр. 43)
30. de Laet, Siegfried J. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , том 3, стр. 14. ISBN 92-3-102812-X 
31. Бойер, Карл Б. и Мерцбах, Ута К. (2010). История математики . John Wiley and Sons, Глава IV. ISBN 0-470-63056-6 
32. CB Boyer (1968)
33. Сэмюэл Энох Штумпф. Сократ Сартру . С. 11.
34. Ф. Э. Питерс, Греческие философские термины , Издательство Нью-Йоркского университета, 1967.
35. Корнфорд, Фрэнсис Макдональд (1957) [1939]. Платон и Парменид: Путь истины Парменида и «Парменид» Платона, переведенный с введением и текущим комментарием (PDF) . Liberal Arts Press.
36. RJ Hollingdale (1974). Западная философия: введение . стр. 73.
37. Корнфорд, Фрэнсис Макдональд (1912). От религии к философии: исследование истоков западной спекуляции (PDF) . Longmans, Green and Co.
38. Книл стр. 15
39. "The Numismatic Circular". 2018-04-02 . Получено 2018-04-02 – через Google Books.
40. Книл стр. 17
41. «формирование мнения — это разговор, а мнение — это речь, которая высказывается не вслух или с кем-то другим, а в тишине с самим собой» Теэтет 189E–190A
42. Книл, стр. 20. Например, доказательство, данное в «Меноне» о том, что квадрат на диагонали вдвое больше площади исходного квадрата, предположительно включает в себя формы квадрата и треугольника, а также необходимую связь между ними.
43. Книл стр. 21
44. Zalta, Edward N. "Aristotle's Logic". Стэнфордский университет , 18 марта 2000 г. Получено 13 марта 2010 г.
45. См., например, логику Аристотеля, Стэнфордская энциклопедия философии.
46. Сова, Джон Ф. (2000). Представление знаний: логические, философские и вычислительные основы . Pacific Grove: Brooks/Cole. стр. 2. ISBN 0-534-94965-7. OCLC  38239202.
47. Bochenski стр. 63
48. «В поздней античности различались две великие школы логики: перипатетическая, которая произошла от Аристотеля, и стоическая, которая была развита Хрисиппом из учений мегарцев» – Книл, стр. 113
49. Oxford Companion , статья «Хрисипп», стр. 134.
50. [1] Стэнфордская энциклопедия философии: Сюзанна Бобзиен , Древняя логика
51. К. Хюльсер, Die Fragmente zur Dialektik der Stoiker, 4 тома, Штутгарт, 1986–1987 гг.
52. Книл 117–158
53. Метафизика Эта 3, 1046b 29
54. Боэций , Комментарий к «Перигермениям» , Мейзер, стр. 234.
55. Эпиктет , Dissertationes под ред. Шенкель II. 19. И.
56. Александр стр. 177
57. Секст Эмпирик, Adv. Математика. viii, раздел 113
58. Секст Эмпирик, Гипотип. ii. 110, комп.
59. Цицерон, Академика , ii. 47, де Фато , 6.
60. См., например, Лукасевич, стр. 21.
61. Секст, книга VIII, разделы 11, 12
62. См., например, Routledge Encyclopedia of Philosophy Online Version 2.0, архив 2022-06-06 на Wayback Machine , статья «Исламская философия».
63. История логики: Арабская логика, Encyclopaedia Britannica .
64. Фельдман, Сеймур (1964-11-26). «Решер об арабской логике». The Journal of Philosophy . 61 (22). Journal of Philosophy, Inc.: 724–734. doi :10.2307/2023632. ISSN  0022-362X. JSTOR  2023632.[726]. Лонг, А.А.; Седли, Д.Н. (1987). Эллинистические философы. Том 1: Переводы основных источников с философскими комментариями . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27556-3.
65. Хассе, Даг Николаус (2008-09-19). «Влияние арабской и исламской философии на латинский Запад». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 2009-10-13 .
66. Ричард Ф. Уошелл (1973), «Логика, язык и Альберт Великий», Журнал истории идей 34 (3), стр. 445–450 [445].
67. Goodman, Lenn Evan (2003), Исламский гуманизм , стр. 155, Oxford University Press , ISBN 0-19-513580-6 . 
68. Гудман, Ленн Эван (1992); Авиценна , стр. 188, Routledge , ISBN 0-415-01929-X . 
69. Книл стр. 229
70. Колено: с. 266; Оккам: Сумма логики I. 14; Авиценна: Авиценна Опера Венеция 1508 f87rb
71. Мухаммад Икбал , Реконструкция религиозной мысли в исламе , «Дух мусульманской культуры» ( ср. [2] и [3])
72. Tony Street (2008-07-23). ​​"Арабская и исламская философия языка и логики". Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 2008-12-05 .
73. Лотфолла Набави, Теория решающей необходимости Сохреварди и система QSS Крипке. Архивировано 26 января 2008 г. в Wayback Machine , журнале факультета литературы и гуманитарных наук .
74. Абу Шади Аль-Руби (1982), «Ибн ан-Нафис как философ», Симпозиум по Ибн ан-Нафису , Вторая международная конференция по исламской медицине: Исламская медицинская организация, Кувейт ( ср. Ибн ан-Нафис как философ. Архивировано 06.02.2008 в Wayback Machine , Энциклопедия исламского мира ).
75. См. стр. 253–254 Street, Tony (2005). «Логика». В Peter Adamson; Richard C. Taylor (ред.). The Cambridge Companion to Arabic Philosophy . Cambridge University Press. стр. 247–265. ISBN 978-0-521-52069-0.
76. Рут Мас (1998). «Кийас: исследование исламской логики» (PDF) . Folia Orientalia . 34 : 113–128. ISSN  0015-5675.
77. Джон Ф. Сова ; Арун К. Маджумдар (2003). «Аналогическое рассуждение». Концептуальные структуры для создания и коммуникации знаний, Труды ICCS 2003. Берлин: Springer-Verlag., стр. 16–36
78. Николас Решер и Арнольд Вандер Нат, «Арабская теория временной модальной силлогистики», в книге Джорджа Фадло Хурани (1975), Эссе об исламской философии и науке , стр. 189–221, Издательство государственного университета Нью-Йорка , ISBN 0-87395-224-3 . 
79. Книл стр. 198
80. Стивен Дюмон, статья «Питер Абеляр» в Gracia and Noone, стр. 492.
81. Книл, стр. 202–203.
82. См., например, Книл, стр. 225.
83. Бёнер стр. 1
84. Бёнер, стр. 19–76.
85. Бёнер стр. 29
86. Бёнер стр. 30
87. Эббесен 1981
88. Бёнер стр. 54–55
89. Oxford Companion , стр. 504, статья «Традиционная логика».
90. Buroker xxiii
91. (Локк, Опыт о человеческом разумении , IV. 5. 6)
92. Фаррингтон, 1964, 89
93. Н. Аббаньяно, «Психологизм» в P. Edwards (ред.) The Encyclopaedia of Philosophy , MacMillan, 1967
94. О немецкой литературе этого периода Роберт Адамсон писал: « Логики роятся, как пчелы весной...»; Роберт Адамсон, Краткая история логики , Wm. Blackwood & Sons, 1911, стр. 242
95. Карл фон Прантль (1855–1867), Geschichte von Logik в Абендланде , Лейпциг: С. Хирцль, анастатически переиздано в 1997 году, Хильдесхайм: Георг Олдс.
96. См., например, Психологизм, Стэнфордская энциклопедия философии.
97. Вильгельм Вундт, Logik (1880–1883); цитируется в Edmund Husserl, Logical Investigations, перевод JN Findlay, Routledge, 2008, том 1, стр. 115–116.
98. Теодор Липпс, Grundzüge der Logik (1893); цитируется в Edmund Husserl, Logical Investigations, перевод JN Findlay, Routledge, 2008, том 1, стр. 40
99. Кристоф фон Зигварт, Logik (1873–1878); цитируется в Edmund Husserl, Logical Investigations, перевод JN Findlay, Routledge, 2008, том 1, стр. 51
100. Бенно Эрдман, Logik (1892); цитируется в Edmund Husserl, Logical Investigations, перевод JN Findlay, Routledge, 2008, том 1, стр. 96
101. Дермот Моран, «Введение»; Эдмунд Гуссерль, Логические исследования, перевод JN Findlay, Routledge, 2008, том 1, стр. xxi
102. Майкл Дамметт, «Предисловие»; Эдмунд Гуссерль, Логические исследования, перевод JN Findlay, Routledge, 2008, том 1, стр. xvii
103. Джозайя Ройс, «Современные логические исследования и их психологические аспекты» (1902) в книге Джона Дж. Макдермотта (ред.) « Основные сочинения Джозайи Ройса» , том 2, Fordham University Press, 2005, стр. 661.
104. Боченски, стр. 266
105. Пирс 1896
106. См. Боченски, стр. 269.
107. Oxford Companion, стр. 499.
108. Эдит Силла (1999), «Оксфордские калькуляторы», в Кембриджском философском словаре , Кембридж, Кембриджшир: Кембридж.
109. Эл. филос. секта. I de corp 1.1.2.
110. Боченски стр. 274
111. Резерфорд, Дональд, 1995, «Философия и язык» в книге Джолли, Н., ред., «Кембриджский спутник Лейбница» . Издательство Кембриджского университета.
112. Винер, Филипп, 1951. Лейбниц: Избранное . Scribner.
113. Essai de dialectique rationelle , 211n, цитируется по Боченски, с. 277.
114. Больцано, Бернар (1972). Джордж, Рольф (ред.). Теория науки: Die Wissenschaftslehre oder Versuch einer Neuen Darstellung der Logik. Перевод Рольфа, Джорджа. Издательство Калифорнийского университета . п. 209. ИСБН 978-0-52001787-0.
115. См., например, Bochenski, стр. 296 и далее.
116. Перед публикацией он написал Де Моргану , который как раз заканчивал свою работу «Формальная логика» . Де Морган предложил опубликовать их первыми, и таким образом обе книги появились в одно и то же время, возможно, даже попали в книжные магазины в один и тот же день. ср. Книл, стр. 404
117. Книл стр. 404
118. Kneale стр. 407
119. Буль (1847) стр. 16
120. Буль 1847 стр. 58–59
121. Бини стр. 11
122. Книл стр. 422
123. Пирс, «Булева алгебра с одной константой», 1880 MS, Сборник статей, т. 4, параграфы 12–20, перепечатано Writings , т. 4, стр. 218–221. Google Preview.
124. Trans. Amer. Math. Soc., xiv (1913) , стр. 481–488. Теперь это известно как ход Шеффера
125. Боченски 296
126. См. CP III.
127. Джордж Буль . 1854/2003. Законы мысли, факсимиле издания 1854 года, с введением Дж. Коркорана. Буффало: Prometheus Books (2003). Рецензировано Джеймсом ван Эвра в Philosophy in Review. 24 (2004) 167–169.
128. ДЖОН КОРКОРАН, «Априорная аналитика Аристотеля и законы мышления Буля», История и философия логики, т. 24 (2003), стр. 261–288.
129. Kneale стр. 435
130. Джевонс, «Принципы науки» , Лондон, 1879, стр. 156, цитируется в Grundlagen 15
131. Бини, стр. 10 – полнота системы Фреге была окончательно доказана Яном Лукасевичем в 1934 году.
132. См., например, аргумент средневекового логика Уильяма Оккама о том, что единичные предложения универсальны, в Summa Logicae III. 8 (??)
133. Фреге 1879 г. в ван Хейеноорте 1967 г., с. 7
134. "О понятии и объекте" стр. 198; Гич стр. 48
135. BLC стр. 14, цитируется в Beaney стр. 12
136. См., например, Интернет-энциклопедию философии, статью «Фреге».
137. Ван Хейеноорт 1967, стр. 83
138. См. например, Поттер 2004
139. Цермело 1908
140. Феферман 1999 стр. 1
141. Жирар, Жан-Ив ; Тейлор, Пол; Лафон, Ив (1990) [1989]. Доказательства и типы . Cambridge University Press (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 7). ISBN 0-521-37181-3.
142. Феферман и Феферман 2004, стр. 122, обсуждают «Влияние теории истины Тарского».
143. Феферман 1999, стр. 1
144. См., например, Barwise, Handbook of Mathematical Logic.
145. Коэн, Пол Дж. (1964). «Независимость гипотезы континуума, II». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . JSTOR  72252. PMC 300611 . PMID  16591132. 
146. Многие из основополагающих статей собраны в книге «Неразрешимое» (1965) под редакцией Мартина Дэвиса.
147. Джерри Фодор, «Вода повсюду вода», London Review of Books , 21 октября 2004 г.
148. См . Philosophical Analysis in the Twentieth Century: Volume 2: The Age of Meaning , Scott Soames: « Именование и необходимость — одна из важнейших работ, стоящая в одном ряду с классическими работами Фреге конца девятнадцатого века и Рассела, Тарского и Витгенштейна первой половины двадцатого века». Цитируется в Byrne, Alex и Hall, Ned. 2004. «Необходимые истины». Boston Review октябрь/ноябрь 2004 г.

Ссылки

Первичные источники

• Александр Афродисийский , У Аристотеля Ан. Пр. Либ. Я Комментарий , изд. Уоллис, Берлин, CIAG vol. II/1, 1882 г.
• Авиценна, Авиценна Опера Венеция 1508.
• Комментарий Боэция к перигермениям , Secunda Editio, изд. Мейзер, Лейпциг, Тойбнер, 1880 г.
• Больцано, Бернард Науковедение , (1837) 4 Bde, Neudr., hrsg. W. Schultz, Лейпциг I–II 1929, III 1930, IV 1931 ( Теория науки , четыре тома, перевод Рольфа Джорджа и Пола Руснока, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2014).
• Больцано, Бернард Теория науки (Под редакцией Яна Берга с введением. Перевод с немецкого Бернхэма Террелла – D. Reidel Publishing Company , Дордрехт и Бостон, 1973).
• Буль, Джордж (1847) Математический анализ логики (Кембридж и Лондон); переиздание в «Исследованиях по логике и вероятности» , под ред. Р. Риза (Лондон, 1952).
• Буль, Джордж (1854) Законы мышления (Лондон и Кембридж); переиздано как Собрание логических трудов . Т. 2, (Чикаго и Лондон: Open Court , 1940).
• Эпиктет , Epicteti Dissertationes ab Arriano Digestae , под редакцией Генриха Шенкля, Лейпциг, Тойбнера. 1894.
• Фреге, Г., Логическое исчисление Буля и концептуальный сценарий , 1882, в Посмертных сочинениях, перевод П. Лонга и Р. Уайта, 1969, стр. 9–46.
• Жергонн, Жозеф Диас , (1816) Essai de dialectique rationelle , в Annales de mathématiques pures et appliquées 7, 1816/1817, 189–228.
• Джевонс, У. С. Принципы науки , Лондон, 1879.
• Теория терминов Оккама : Часть I Summa Logicae , переведенная и представленная Майклом Дж. Лю (Нотр-Дам, Индиана: Издательство Университета Нотр-Дам, 1974). Переиздано: Саут-Бенд, Индиана: Издательство Св. Августина, 1998.
• Теория предложений Оккама : Часть II Summa Logicae, переведенная Альфредом Дж. Фреддозо и Генри Шурманом и представленная Альфредом Дж. Фреддозо (Нотр-Дам, Индиана: Издательство Университета Нотр-Дам, 1980). Перепечатано: Саут-Бенд, Индиана: Издательство Св. Августина, 1998.
• Peirce, CS , (1896), "The Regenerated Logic", The Monist , т. VII, № 1, стр. 19–40, The Open Court Publishing Co., Чикаго, Иллинойс, 1896, для Института Гегеля. Перепечатано (CP 3.425–455). Интернет-архив The Monist 7.
• Секст Эмпирик , Против логиков . (Adversus Mathematicos VII и VIII). Ричард Бетт (пер.) Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2005. ISBN 0-521-53195-0 . 
• Цермело, Эрнст (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I». Математические Аннален . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999. S2CID  120085563. Архивировано из оригинала 8 сентября 2017 г. Проверено 30 сентября 2013 г.Перевод на английский язык в van Heijenoort, Jean (1967). "Исследования по основам теории множеств". From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 . Source Books in the History of the Sciences. Harvard Univ. Press. pp. 199–215. ISBN 978-0-674-32449-7..
• Фреге, Готтлоб (1879). Begriffsschrift, язык формул, созданный по образцу арифметического языка, для чистой мысли .переведено ван Хейеноортом в 1967 году.

Вторичные источники

• Барвайз, Джон (ред.), Справочник по математической логике , Исследования по логике и основаниям математики, Амстердам, Северная Голландия, 1982 ISBN 978-0-444-86388-1 . 
• Бини, Майкл, The Frege Reader , Лондон: Blackwell 1997.
• Боченски , И.М., История формальной логики , Индиана, Notre Dame University Press, 1961.
• Бёнер, Филофей , Средневековая логика , Манчестер, 1950.
• Бойер, К. Б. (1991) [1989], История математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
• Бурокер, Джилл Вэнс (перевод и введение), А. Арно, П. Николь Логика или искусство мышления , Cambridge University Press , 1996, ISBN 0-521-48249-6 . 
• Чёрч, Алонзо , 1936–1938. «Библиография символической логики». Журнал символической логики 1 : 121–218; 3 :178–212.
• де Йонг, Эверард (1989), «Логические трактаты» Галилео Галилея и «Opera Logica» Джакомо Забареллы : сравнение , докторская диссертация, Вашингтон, округ Колумбия: Католический университет Америки.
• Эббесен, Стен «Ранняя теория предположений (12–13 века)» Histoire, Épistémologie, Langage 3/1: 35–48 (1981).
• Фаррингтон, Б., Философия Фрэнсиса Бэкона , Ливерпуль, 1964.
• Феферман, Анита Б. (1999). «Альфред Тарский». Американская национальная биография . 21. Oxford University Press . стр. 330–332. ISBN 978-0-19-512800-0 . 
• Феферман, Анита Б.; Феферман, Соломон (2004). Альфред Тарский: Жизнь и логика . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-80240-6. OCLC  54691904.
• Габбай, Дов и Джон Вудс , ред. Справочник по истории логики 2004 г. 1. Греческая, индийская и арабская логика; 2. Средневековая и ренессансная логика; 3. Становление современной логики: от Лейбница до Фреге; 4. Британская логика в девятнадцатом веке; 5. Логика от Рассела до Черча; 6. Множества и расширения в двадцатом веке; 7. Логика и модальности в двадцатом веке; 8. Многозначный и немонотонный поворот в логике; 9. Вычислительная логика; 10. Индуктивная логика; 11. Логика: история ее центральных понятий; Elsevier , ISBN 0-444-51611-5 . 
• Гич, ПТ Логика имеет значение , Блэквелл, 1972.
• Гудман, Ленн Эван (2003). Исламский гуманизм . Oxford University Press, ISBN 0-19-513580-6 . 
• Гудман, Ленн Эван (1992). Авиценна . Routledge, ISBN 0-415-01929-X . 
• Грэттан-Гиннесс, Айвор , 2000. Поиск математических корней 1870–1940 . Princeton University Press .
• Грасиа, Дж. Г. и Нун, Т. Б., Спутник философии в Средние века , Лондон, 2003.
• Хаапаранта, Лейла (ред.) 2009. Развитие современной логики Oxford University Press.
• Хит, Т.Л. , 1949. Математика у Аристотеля , Oxford University Press.
• Хит, Т.Л., 1931, Руководство по греческой математике , Оксфорд ( Кларендон Пресс ).
• Хондерих, Тед (ред.). Оксфордский компаньон философии (Нью-Йорк: Oxford University Press, 1995) ISBN 0-19-866132-0 . 
• Нил, Уильям и Марта, 1962. Развитие логики . Oxford University Press, ISBN 0-19-824773-7 . 
• Лукасевич , Силлогистика Аристотеля , Oxford University Press, 1951.
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия , Oxford University Press.

Внешние ссылки

• История логики от Аристотеля до Гёделя с аннотированными библиографиями по истории логики
• Бобзиен, Сюзанна. «Древняя логика». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Чатти, Салоуа. «Авиценна (Ибн Сина): Логика». Интернет-энциклопедия философии .
• Spruyt, Joke. «Питер Испанский». В Zalta, Edward N. (ред.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• «Мысли, слова и вещи» Пола Спейда – Введение в позднесредневековую логику и семантическую теорию (PDF)
• Открытый доступ к загрузке PDF-файла; идеи, изображения, биографии и ссылки для 178 логиков Дэвида Маранса