Амалия Эмми Нётер [a] ( США : / ˈ n ʌ t ər / , Великобритания : / ˈ n ɜː t ə / ; немецкий: [ˈnøːtɐ] ; 23 марта 1882 - 14 апреля 1935) была немецким математиком , внесшим много важных вкладов. абстрагировать алгебру . Она доказала первую и вторую теоремы Нётер , являющиеся фундаментальными в математической физике . [1] Павел Александров , Альберт Эйнштейн , Жан Дьедонне , Герман Вейль и Норберт Винер описали ее как самую важную женщину в истории математики . [2] [3] Как один из ведущих математиков своего времени, она разработала теории колец , полей и алгебр . В физике теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения . [4]
Нётер родилась в еврейской семье во франконском городе Эрланген ; ее отцом был математик Макс Нётер . Первоначально она планировала преподавать французский и английский языки после сдачи необходимых экзаменов, но вместо этого изучала математику в Эрлангенском университете , где читал лекции ее отец. После получения докторской степени в 1907 году [5] под руководством Пауля Гордана она семь лет работала в Математическом институте Эрлангена без оплаты. В то время женщины были в основном исключены из академических должностей. В 1915 году Дэвид Гильберт и Феликс Кляйн пригласили ее поступить на математический факультет Геттингенского университета , всемирно известного центра математических исследований. Однако философский факультет возражал, и она четыре года читала лекции под именем Гильберта. В 1919 году была утверждена ее хабилитация , что позволило ей получить чин приват-доцента . [5]
Нётер оставалась ведущим сотрудником математического факультета Геттингена до 1933 года; ее учеников иногда называли «мальчиками Нётер». В 1924 к ее кружку присоединился голландский математик Б. Л. ван дер Варден , который вскоре стал ведущим пропагандистом идей Нётер; ее работа легла в основу второго тома его влиятельного учебника 1931 года « Современная алгебра» . Ко времени ее пленарного выступления на Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1932 году ее алгебраическая хватка была признана во всем мире. В следующем году нацистское правительство Германии уволило евреев с университетских должностей , и Нётер переехала в Соединенные Штаты, чтобы занять должность в колледже Брин-Мор в Пенсильвании , где она преподавала докторантам и аспирантам, включая Мари Джоанну Вайс , Рут Стауффер, Грейс. Шовер Куинн и Ольга Таусски-Тодд . В то же время она читала лекции и проводила исследования в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . [5]
Математическая работа Нётер была разделена на три « эпохи ». [6] В первом (1908–1919) она внесла вклад в теории алгебраических инвариантов и числовых полей . Ее работу о дифференциальных инвариантах вариационного исчисления , теореме Нётер , назвали «одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных и направляющих развитие современной физики». [7] Во вторую эпоху (1920–1926) она начала работу, которая «изменила облик [абстрактной] алгебры». [8] В своей классической статье 1921 года Idealtheorie in Ringbereichen ( «Теория идеалов в кольцевых областях ») Нётер превратила теорию идеалов в коммутативных кольцах в инструмент с широким спектром приложений. Она элегантно использовала условие восходящей цепи , и объекты, удовлетворяющие ему, названы в ее честь нетеровскими . В третью эпоху (1927–1935) она опубликовала работы по некоммутативным алгебрам и гиперкомплексным числам , объединив теорию представлений групп с теорией модулей и идеалов . Помимо собственных публикаций, Нётер была щедра на свои идеи, и ей приписывают несколько направлений исследований, опубликованных другими математиками, даже в областях, далеких от ее основной работы, таких как алгебраическая топология .
Эмми Нётер родилась 23 марта 1882 года и была первой из четырёх детей математика Макса Нётера и Иды Амалии Кауфман, оба из еврейских купеческих семей. [9] Ее имя было «Амалия» в честь ее матери и бабушки по отцовской линии, но свое второе имя она начала использовать в молодом возрасте и неизменно использовала имя «Эмми Нётер» во взрослой жизни и в своих публикациях. [а]
В юности Нётер не выделялась в учебе, хотя была известна своим умом и дружелюбием. В детстве она была близорукой и немного шепелявила . Год спустя друг семьи рассказал историю о том, как юная Нётер быстро решила головоломку на детском празднике и проявила логическую сообразительность в раннем возрасте. [10] Ее учили готовить и убираться, как и большинство девочек того времени, и она брала уроки игры на фортепиано. Ни одним из этих занятий она не занималась со страстью, хотя любила танцевать. [11]
У нее было три младших брата. Старший, Альфред Нётер, родился в 1883 году и получил степень доктора химии в Эрлангене в 1909 году, но умер девять лет спустя. Фриц Нётер родился в 1884 году, учился в Мюнхене и внес вклад в прикладную математику . Он был казнен в Советском Союзе в 1941 году. Самый младший, Густав Роберт Нётер, родился в 1889 году. О его жизни известно очень мало; он страдал хроническим заболеванием и умер в 1928 году. [12] [13]
Нётер рано продемонстрировала знание французского и английского языков. Весной 1900 года она сдала экзамен на преподавателя этих языков и получила общую оценку sehr Gut (очень хорошо). Ее успеваемость позволила ей преподавать языки в школах, предназначенных для девочек, но вместо этого она предпочла продолжить обучение в Эрлангенском университете .
Это было нестандартное решение; двумя годами ранее Академический сенат университета заявил, что разрешение смешанного образования «ниспровергнет весь академический порядок». [14] Нётер, одной из двух женщин в университете, в котором обучалось 986 студентов, разрешалось только проверять занятия , а не участвовать в них в полной мере, и ей требовалось разрешение отдельных профессоров, лекции которых она хотела посещать. Несмотря на эти препятствия, 14 июля 1903 года она сдала выпускной экзамен в Королевской гимназии в Нюрнберге . [15] [16] [17]
В течение зимнего семестра 1903–1904 годов она училась в Гёттингенском университете , посещая лекции астронома Карла Шварцшильда и математиков Германа Минковского , Отто Блюменталя , Феликса Кляйна и Давида Гильберта . Вскоре после этого ограничения на участие женщин в этом университете были отменены.
Затем Нётер вернулась в Эрланген и официально вновь поступила в университет в октябре 1904 года, заявив о своем намерении сосредоточиться исключительно на математике. Под руководством Пола Гордана она написала диссертацию « Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form» ( О полных системах инвариантов для троичных биквадратичных форм ) в 1907 году. Гордан была членом «вычислительной» школы исследователей инвариантов, и Диссертация Нётер завершилась списком из более чем 300 явно разработанных инвариантов. Позднее этот подход к инвариантам был заменен более абстрактным и общим подходом, впервые предложенным Гильбертом. [18] [19] Хотя она была хорошо принята, Нётер позже назвала свою диссертацию и ряд последующих подобных статей «дерьмом». [19] [20] [б]
В течение следующих семи лет (с 1908 по 1915 год) она преподавала в Математическом институте Эрлангенского университета бесплатно, иногда заменяя своего отца, когда он был слишком болен, чтобы читать лекции. В 1910 и 1911 годах она опубликовала расширение своей диссертационной работы от трех переменных до n переменных.
Гордан вышел в отставку весной 1910 года, но время от времени продолжал преподавать вместе со своим преемником Эрхардом Шмидтом , который вскоре после этого уехал на работу в Бреслау . Гордан вообще отказался от преподавания в 1911 году, когда прибыл преемник Шмидта Эрнст Фишер ; он умер год спустя, в декабре 1912 года.
По словам Германа Вейля , Фишер оказал важное влияние на Нётер, в частности, познакомив ее с творчеством Давида Гильберта . С 1913 по 1916 год Нётер опубликовала несколько статей, расширяющих и применяющих методы Гильберта к математическим объектам, таким как поля рациональных функций и инварианты конечных групп . Этот этап знаменует собой начало ее занятий абстрактной алгеброй — областью математики, в которую она внесла новаторский вклад.
Нётер и Фишер живо увлекались математикой и часто обсуждали лекции даже после их окончания; Известно, что Нётер отправляла Фишеру открытки, продолжая ход своих математических мыслей. [21] [22]
Весной 1915 года Давид Гильберт и Феликс Кляйн пригласили Нётер вернуться в Гёттингенский университет . Однако их попытка завербовать ее была заблокирована филологами и историками философского факультета: женщины, настаивали они, не должны становиться приват-доцентами . Один преподаватель возразил: « Что подумают наши солдаты, когда они вернутся в университет и обнаружат, что им приходится учиться у ног женщины? » [23] [24] [25] Гильберт ответил с негодованием, заявив: « Я не вижу, чтобы пол кандидата был аргументом против приема ее на должность приват-доцента. Ведь мы университет, а не баня " . [23] [24] [25]
Нётер уехала в Геттинген в конце апреля; две недели спустя ее мать внезапно умерла в Эрлангене. Ранее ей была оказана медицинская помощь по поводу заболевания глаз, но его природа и влияние на ее смерть неизвестны. Примерно в то же время отец Нётер вышел в отставку, а ее брат присоединился к немецкой армии , чтобы участвовать в Первой мировой войне . Она вернулась в Эрланген на несколько недель, в основном для того, чтобы заботиться о своем стареющем отце. [26]
В первые годы преподавания в Геттингене у нее не было официальной должности, и ей не платили; ее семья оплачивала ее проживание и питание и поддерживала ее академическую работу. Ее лекции часто рекламировались под именем Гильберта, и Нётер оказывала «помощь».
Однако вскоре после прибытия в Геттинген она продемонстрировала свои способности, доказав теорему, ныне известную как теорема Нётер , которая показывает, что закон сохранения связан с любой дифференцируемой симметрией физической системы . [25] Статья была представлена коллегой Ф. Кляйном 26 июля 1918 года на заседании Королевского общества наук в Геттингене. [27] Нётер, по-видимому, не представила его сама, поскольку не была членом общества. [28] Американские физики Леон М. Ледерман и Кристофер Т. Хилл в своей книге « Симметрия и прекрасная Вселенная » утверждают , что теорема Нётер «определенно является одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в направлении развития современной физики , возможно, наравне с ней». с теоремой Пифагора ». [7]
Когда Первая мировая война закончилась, немецкая революция 1918–1919 годов привела к значительным изменениям в социальных отношениях, включая расширение прав женщин. В 1919 году Геттингенский университет разрешил Нётер получить абилитацию (право на должность). Ее устный экзамен был проведен в конце мая, а в июне 1919 года она успешно прочитала аспирантическую лекцию.
Три года спустя она получила письмо от Отто Белица , министра науки, искусства и народного образования Пруссии , в котором он присвоил ей звание nicht beamteter ausserordentlicher Professor (нештатный профессор с ограниченными внутренними административными правами и функции [29] ). Это была неоплачиваемая «экстраординарная» профессура , а не высшая «ординарная» профессура, которая представляла собой должность государственной службы. Хотя там признавалась важность ее работы, эта должность по-прежнему не приносила зарплаты. Нётер не платили за лекции до тех пор, пока год спустя она не была назначена на специальную должность в Lehrbeauftragte für Algebra . [30] [31]
Хотя теорема Нётер оказала значительное влияние на классическую и квантовую механику, среди математиков ее больше всего помнят за ее вклад в абстрактную алгебру . Во введении к «Сборнику сочинений Нётер» Натан Джейкобсон писал , что
Развитие абстрактной алгебры, которая является одним из наиболее выдающихся нововведений математики двадцатого века, во многом обязано ей – в опубликованных статьях, лекциях и личном влиянии на ее современников. [32]
Иногда она позволяла своим коллегам и ученикам получать признание за ее идеи, помогая им развивать карьеру за счет своей собственной. [33]
Работы Нётер по алгебре начались в 1920 году. Затем в сотрудничестве с В. Шмейдлером она опубликовала статью о теории идеалов , в которой определили левый и правый идеалы в кольце .
В следующем году она опубликовала статью под названием Idealtheorie в Ringbereichen , [34] анализируя условия восходящей цепи относительно (математических) идеалов . Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; [35] публикация породила термин « нётерово кольцо » и наименование ряда других математических объектов нётеровыми . [35] [36]
В 1924 году в Геттингенский университет прибыл молодой голландский математик Б. Л. ван дер Варден . Он сразу же начал работать с Нётер, которая предоставила бесценные методы абстрактной концептуализации. Позже Ван дер Варден сказал, что ее оригинальность была «абсолютно вне всякого сравнения». [37] В 1931 году он опубликовал «Современную алгебру» , центральный текст в этой области; его второй том во многом заимствован из работ Нётер. Хотя Нётер не искал признания, он включил в седьмое издание примечание, «частично основанное на лекциях Э. Артина и Э. Нётер». [38] [39] [33]
Визит Ван дер Вардена был частью встречи математиков со всего мира в Геттингене, который стал крупным центром математических и физических исследований. С 1926 по 1930 год русский тополог Павел Александров читал лекции в университете, и они с Нётер быстро стали хорошими друзьями. Он начал называть ее дер Нётер , используя немецкий артикль мужского рода как ласковый термин, чтобы выразить свое уважение. Она пыталась организовать для него место в Геттингене в качестве обычного профессора, но смогла лишь помочь ему получить стипендию от Фонда Рокфеллера . [40] [41] Они регулярно встречались и наслаждались дискуссиями о пересечении алгебры и топологии. В своем мемориальном обращении 1935 года Александров назвал Эмми Нётер «величайшей женщиной-математиком всех времен». [42]
Помимо математической проницательности, Нётер пользовалась уважением за внимание к другим. Хотя иногда она вела себя грубо по отношению к тем, кто с ней не соглашался, тем не менее, она приобрела репутацию человека, постоянно помогающего и терпеливого руководства новыми учениками. Ее преданность математической точности заставила одного коллегу назвать ее «суровым критиком», но она сочетала это требование точности с заботливым отношением. [43] Позже коллега описал ее так:
Совершенно неэгоистичная и свободная от тщеславия, она никогда ни на что не претендовала для себя, а прежде всего пропагандировала работы своих учеников. [44]
Во время своего пребывания в Эрлангене Нётер консультировала двух докторантов: Ганса Фалькенберга и Фрица Зайдельмана, которые защитили свои диссертации в 1911 и 1916 годах соответственно. Однако, несмотря на роль Нётер, и Фалькенберг, и Зайдельманн официально курировались ее отцом Максом Нётер . [45]
В Геттингене Нётер руководила более чем дюжиной докторантов; ее первой была Грета Германн , защитившая диссертацию в феврале 1925 года. Позже она с трепетом отзывалась о своей «диссертации-матери». [46] Нётер также руководила Максом Дойрингом , который отличился еще будучи студентом и внес свой вклад в область арифметической геометрии ; Ганс Фиттинг , известный благодаря теореме Фиттинга и лемме Фиттинга ; и Цзэн Цзюнчжи (также переводится как «Чиунцзы К. Цен» на английском языке), доказавший теорему Цена . Она также тесно сотрудничала с Вольфгангом Круллем , который значительно продвинул коммутативную алгебру с его Hauptidealsatz и его теорией размерности для коммутативных колец. [47]
Поначалу ее скромный образ жизни объяснялся тем, что ей отказывали в оплате за работу; однако даже после того, как в 1923 году университет начал платить ей небольшую зарплату, она продолжала жить простой и скромной жизнью. Позже ей платили более щедро, но она откладывала половину зарплаты, чтобы завещать своему племяннику Готфриду Э. Нётеру . [48]
Биографы предполагают, что она в основном не заботилась о внешности и манерах, сосредоточившись на учебе. Ольга Таусски-Тодд , выдающийся алгебраист, которого Нётер преподавала во время учебы в Брин-Мор-колледже , описала обед, во время которого Нётер, полностью поглощенная обсуждением математики, «дико жестикулировала», пока ела, и «постоянно проливала еду и вытирала ее». от платья, совершенно невозмутимый». [49] Студенты, заботящиеся о внешнем виде, съежились, когда она достала носовой платок из блузки и проигнорировала растущую растрепанность своих волос во время лекции. Однажды во время двухчасового перерыва к ней подошли две студентки, чтобы выразить свою обеспокоенность, но они не смогли прервать энергичную математическую дискуссию, которую она вела с другими учениками. [50]
Согласно некрологу Эмми Нётер, написанному ван дер Варденом, она не следовала плану уроков на своих лекциях, что расстраивало некоторых студентов. Вместо этого она использовала свои лекции как время для спонтанных дискуссий со своими студентами, чтобы обдумать и прояснить важные проблемы математики. Некоторые из ее наиболее важных результатов были развиты в этих лекциях, а конспекты лекций ее студентов легли в основу нескольких важных учебников, таких как учебники ван дер Вардена и Дойринга. [51]
Несколько ее коллег посещали ее лекции, и она разрешила другим публиковать некоторые из своих идей, таких как скрещенное произведение ( verschränktes Produkt на немецком языке) ассоциативных алгебр. Было зарегистрировано, что Нётер провела как минимум пять семестровых курсов в Геттингене: [52]
Эти курсы часто предшествовали крупным публикациям по тем же темам.
Нётер говорила быстро – многие говорили, что это отражает скорость ее мыслей – и требовала от своих учеников большой концентрации. Студенты, которым не нравился ее стиль, часто чувствовали себя отчужденными. [53] [54] Некоторые ученики считали, что она слишком полагалась на спонтанные дискуссии. Однако ее самые преданные ученики наслаждались энтузиазмом, с которым она относилась к математике, тем более что ее лекции часто основывались на более ранней работе, которую они проделали вместе.
Она создала тесный круг коллег и студентов, которые думали в том же направлении и имели тенденцию исключать тех, кто этого не делал. «Посторонние», время от времени посещавшие лекции Нётер, обычно проводили в аудитории всего 30 минут, прежде чем уйти в разочаровании или растерянности. Обычный студент сказал об одном таком случае: «Враг побежден, он ушёл». [55]
Нётер продемонстрировала преданность своему предмету и своим ученикам, выходившую за рамки учебного дня. Однажды, когда здание было закрыто в связи с государственным праздником, она собрала класс на ступеньках, повела их через лес и прочитала лекцию в местной кофейне. [56] Позже, после того как нацистская Германия отстранила ее от преподавания, она пригласила студентов к себе домой, чтобы обсудить их планы на будущее и математические концепции. [57]
Зимой 1928–1929 Нётер приняла приглашение в Московский государственный университет , где продолжила работу с П. С. Александровым . Помимо продолжения своих исследований, она вела занятия по абстрактной алгебре и алгебраической геометрии . Она работала с топологами Львом Понтрягиным и Николаем Чеботаревым , которые позже высоко оценили ее вклад в развитие теории Галуа . [58] [59] [60]
Хотя политика не занимала центральное место в ее жизни, Нётер проявляла живой интерес к политическим вопросам и, по словам Александрова, оказала значительную поддержку русской революции . Она была особенно рада видеть советские достижения в области науки и математики, которые она считала показателем новых возможностей, ставших возможными благодаря большевистскому проекту. Такое отношение вызвало у нее проблемы в Германии, кульминацией которых стало ее выселение из пансионата после того, как студенческие лидеры пожаловались на то, что живут с «еврейкой марксистского толка». [61]
Нётер планировала вернуться в Москву, в чем получила поддержку Александрова. После того, как она покинула Германию в 1933 году, он пытался помочь ей получить кафедру в Московском государственном университете через Министерство образования СССР . Хотя эта попытка оказалась безуспешной, они часто переписывались в 1930-е годы, а в 1935 году она планировала вернуться в Советский Союз. [61] Тем временем ее брат Фриц принял должность в Научно-исследовательском институте математики и механики в Томске , в Сибирском федеральном округе России, после потери работы в Германии. [62] Впоследствии он был казнен во время резни в Медведевском лесу . [63]
Когда в январе 1933 года Адольф Гитлер стал рейхсканцлером Германии , активность нацистов по всей стране резко возросла. В Геттингенском университете Ассоциация немецких студентов возглавила наступление на «ненемецкий дух», приписываемый евреям, и ей помогал приват- доцент по имени Вернер Вебер , бывший студент Нётер. Антисемитские настроения создали климат, враждебный по отношению к еврейским профессорам. Сообщается, что один молодой протестующий потребовал: «Арийским студентам нужна арийская математика , а не еврейская математика». [64]
Одним из первых действий администрации Гитлера стал Закон о восстановлении профессиональной государственной службы , который отстранял евреев и политически подозреваемых государственных служащих (включая профессоров университетов) от их рабочих мест, если они «продемонстрировали свою лояльность Германии», участвуя в мировой войне. Я. _ В апреле 1933 года Нётер получила от министерства науки, искусства и народного образования Пруссии уведомление, в котором говорилось: «На основании параграфа 3 Кодекса государственной службы от 7 апреля 1933 года я лишаю вас права преподавать в Геттингенский университет». [65] [66] Несколько коллег Нётер, в том числе Макс Борн и Рихард Курант , также лишились своих должностей. [65] [66]
Нётер приняла это решение спокойно, оказав поддержку другим в это трудное время. Герман Вейль позже писал, что «Эмми Нётер — ее смелость, ее откровенность, ее беззаботность о собственной судьбе, ее примирительный дух — была среди всей окружающей нас ненависти и подлости, отчаяния и печали, морального утешения». [64] Обычно Нётер по-прежнему сосредоточивалась на математике, собирая студентов в своей квартире, чтобы обсудить теорию классового поля . Когда одна из ее учениц появилась в форме нацистской военизированной организации Sturmabteilung (SA), она не проявила никаких признаков волнения и, как сообщается, позже даже посмеялась над этим. [65] [66] Однако это было до кровавых событий « Хрустальной ночи» в 1938 году и их похвалы со стороны министра пропаганды Йозефа Геббельса .
Когда десятки новых безработных профессоров начали искать работу за пределами Германии, их коллеги в Соединенных Штатах стремились предоставить им помощь и возможности трудоустройства. Альберт Эйнштейн и Герман Вейль были назначены Институтом перспективных исследований в Принстоне , в то время как другие работали над поиском спонсора, необходимого для легальной иммиграции . С Нётер связались представители двух учебных заведений: Брин-Мор-колледжа в США и Сомервилл-колледжа Оксфордского университета в Англии. После серии переговоров с Фондом Рокфеллера для Нётер был одобрен грант Брин Мор, и она заняла там должность, начиная с конца 1933 года .
В Брин-Море Нётер познакомилась и подружилась с Анной Уилер , которая училась в Геттингене незадолго до прибытия туда Нётер. Другим источником поддержки в колледже была президент Брин-Мор Мэрион Эдвардс Парк , которая с энтузиазмом пригласила местных математиков «увидеть доктора Нётер в действии!» [69] [70] Нётер и небольшая группа студентов быстро проработали книгу Ван дер Вардена 1930 года «Современная алгебра I» и части « Теории алгебраических чисел » Эриха Хекке . [71]
В 1934 году Нётер начала читать лекции в Институте перспективных исследований в Принстоне по приглашению Авраама Флекснера и Освальда Веблена . [72] Она также работала с Авраамом Альбертом и Гарри Вандивером и руководила ими . [73] Однако в отношении Принстонского университета она отметила , что ее не приветствуют в «мужском университете, куда не допускаются женщины». [74]
Время, проведенное ею в Соединенных Штатах, было приятным: она была окружена поддерживающими коллегами и была поглощена своими любимыми предметами. [75] Летом 1934 года она ненадолго вернулась в Германию, чтобы увидеться с Эмилем Артином и своим братом Фрицем , прежде чем он уехал в Томск. Хотя многие из ее бывших коллег были вынуждены покинуть университеты, она смогла пользоваться библиотекой как «иностранный ученый». [76] [77] Без происшествий Нётер вернулась в Соединенные Штаты и начала учебу в Брин-Мор.
В апреле 1935 года врачи обнаружили у Нётер опухоль таза . Обеспокоенные осложнениями после операции, они сначала прописали два дня постельного режима. Во время операции обнаружили кисту яичника «размером с большую дыню ». [78] Две меньшие опухоли в ее матке оказались доброкачественными и не были удалены, чтобы избежать продления операции. В течение трех дней она, казалось, выздоравливала нормально, а на четвертый день быстро оправилась от кровообращения . 14 апреля Нётер потеряла сознание, ее температура поднялась до 109 °F (42,8 °C), и она умерла. «Нелегко сказать, что произошло с доктором Нётер», - написал один из врачей. «Вполне возможно, что произошла какая-то необычная и опасная инфекция, которая поразила основание мозга, где предположительно расположены тепловые центры». [78] Ей было 53 года. [5]
Через несколько дней после смерти Нётер ее друзья и соратники из Брин-Мора провели небольшую поминальную службу в доме президента колледжа Парка. Герман Вейль и Рихард Брауэр приехали из Принстона и поговорили с Уилером и Таусски о своем ушедшем коллеге. В последующие месяцы по всему миру стали появляться письменные дань уважения: Альберт Эйнштейн [79] присоединился к ван дер Вардену, Вейлю и Павлу Александрову , чтобы выразить свое почтение. Ее тело было кремировано, а прах захоронен под проходом вокруг монастырей библиотеки М. Кэри Томаса в Брин-Море. [80] [81]
Работы Нётер в области абстрактной алгебры и топологии оказали влияние на математику, а теорема Нётер имеет широко распространенные последствия для теоретической физики и динамических систем . Нётер проявила острую склонность к абстрактному мышлению, что позволило ей подойти к проблемам математики свежим и оригинальным способом. [21] Ее друг и коллега Герман Вейль описал ее научную деятельность в три эпохи:
(1) период относительной зависимости, 1907–1919 гг.
(2) исследования, сгруппированные вокруг общей теории идеалов 1920–1926 гг.
(3) изучение некоммутативных алгебр, их представлений линейными преобразованиями и их применение к изучению коммутативных числовых полей и их арифметики.
- Вейль 1935 г.
В первую эпоху (1907–1919) Нётер занималась преимущественно дифференциальными и алгебраическими инвариантами , начиная с диссертации под руководством Пола Гордана . Ее математический кругозор расширился, а работа стала более общей и абстрактной, когда она познакомилась с работами Дэвида Гильберта посредством тесного взаимодействия с преемником Гордана Эрнстом Сигизмундом Фишером . Вскоре после переезда в Геттинген в 1915 году она доказала две теоремы Нётер , что стало ее единственным, но фундаментальным вкладом в физику. [7]
Во вторую эпоху (1920–1926) Нётер посвятила себя разработке теории математических колец . [82] В третью эпоху (1927–1935) Нётер сосредоточилась на некоммутативной алгебре , линейных преобразованиях и коммутативных числовых полях. [83] Хотя результаты первой эпохи Нётер были впечатляющими и полезными, ее известность среди математиков больше опирается на новаторскую работу, которую она проделала во вторую и третью эпохи, как отметили Герман Вейль и Б.Л. ван дер Варден в своих некрологах о ней.
В эти эпохи она не просто применяла идеи и методы ранних математиков; скорее, она создавала новые системы математических определений, которые будут использоваться будущими математиками. В частности, она разработала совершенно новую теорию идеалов в кольцах , обобщив более ранние работы Рихарда Дедекинда . Она также известна разработкой условий восходящей цепи — простого условия конечности, которое в ее руках дало впечатляющие результаты. Такие условия и теория идеалов позволили Нётер обобщить многие старые результаты и рассмотреть старые проблемы с новой точки зрения, такие как теория исключения и алгебраические многообразия , которые изучал ее отец.
За столетие с 1832 года до смерти Нётер в 1935 году область математики, особенно алгебра , претерпела глубокую революцию, отголоски которой ощущаются до сих пор. Математики предыдущих столетий работали над практическими методами решения конкретных типов уравнений, например, кубических , четвертых и пятых уравнений , а также над связанной с ними проблемой построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки . Начиная с доказательства Карла Фридриха Гаусса в 1832 году, что простые числа , такие как пять, могут быть факторизованы в гауссовских целых числах , [84] введение Эваристом Галуа групп перестановок в 1832 году (хотя из-за его смерти его статьи были опубликованы только в 1846 году). Лиувилля), открытие кватернионов Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году и более современное определение групп Артуром Кэли в 1854 году, исследования обратились к определению свойств все более абстрактных систем, определяемых все более универсальными правилами. . Самый важный вклад Нётер в математику заключался в развитии новой области — абстрактной алгебры . [85]
Двумя основными объектами абстрактной алгебры являются группы и кольца .
Группа состоит из набора элементов и одной операции, которая объединяет первый и второй элемент и возвращает третий . Чтобы определить группу, операция должна удовлетворять определенным ограничениям: она должна быть закрытой (при применении к любой паре элементов связанного набора сгенерированный элемент также должен быть членом этого набора), она должна быть ассоциативной , должно быть быть единичным элементом (элементом, который при объединении с другим элементом с помощью операции дает исходный элемент, например, путем умножения числа на единицу), и для каждого элемента должен быть обратный элемент . [86] [87]
Кольцо также имеет набор элементов, но теперь имеет две операции . Первая операция должна сделать множество коммутативной группой, а вторая операция является ассоциативной и дистрибутивной по отношению к первой операции. Оно может быть или не быть коммутативным ; это означает, что результат применения операции к первому и второму элементу такой же, как и ко второму и первому — порядок элементов не имеет значения. [88] Если каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный (элемент x такой, что a x = x a = 1), кольцо называется телом . Поле определяется как коммутативное тело. Например, целые числа образуют коммутативное кольцо, элементами которого являются целые числа, а операциями объединения являются сложение и умножение. Любую пару целых чисел можно складывать или умножать , что всегда приводит к получению другого целого числа, а первая операция, сложение, является коммутативной , т. е. для любых элементов a и b в кольце a + b = b + a . Вторая операция, умножение, также является коммутативной, но это не обязательно верно для других колец, а это означает, что a в сочетании с b может отличаться от b в сочетании с a . Примеры некоммутативных колец включают матрицы и кватернионы . Целые числа не образуют тело, поскольку вторую операцию не всегда можно обратить; например, не существует целого числа a такого, что 3 a = 1. [89] [90]
Целые числа обладают дополнительными свойствами, которые не распространяются на все коммутативные кольца. Важным примером является фундаментальная теорема арифметики , которая гласит, что каждое положительное целое число можно однозначно разложить на простые числа . [91] Уникальные факторизации не всегда существуют в других кольцах, но Нётер нашла уникальную теорему факторизации, теперь называемую теоремой Ласкера-Нётер , для идеалов многих колец. Большая часть работы Нётер заключалась в определении того, какие свойства справедливы для всех колец, в разработке новых аналогов старых теорем о целых числах и в определении минимального набора предположений, необходимых для получения определенных свойств колец.
Группы часто изучаются через представления групп . В своей наиболее общей форме они состоят из выбора группы, множества и действия группы на множестве, то есть операции, которая берет элемент группы и элемент множества и возвращает элемент набор. Чаще всего множество представляет собой векторное пространство , а группа представляет симметрии векторного пространства. Например, есть группа, которая представляет жесткое вращение пространства. Это тип симметрии пространства, поскольку само пространство не меняется при вращении, хотя положения объектов в нем изменяются. Нётер использовала такого рода симметрии в своей работе по инвариантам в физике.
Мощный способ изучения колец – использование их модулей . Модуль состоит из выбора кольца, другого набора, обычно отличного от основного набора кольца и называемого основным набором модуля, операции над парами элементов основного набора модуля и операции, которая принимает элемент кольца и элемент модуля и возвращает элемент модуля. [92]
Базовый набор модуля и его работа должны образовывать группу. Модуль представляет собой теоретико-кольцевую версию представления группы: игнорирование второй операции кольца и операции над парами элементов модуля определяет представление группы. Реальная польза модулей заключается в том, что типы существующих модулей и их взаимодействие раскрывают структуру кольца способами, которые не очевидны из самого кольца. Важным частным случаем этого является алгебра . (Слово «алгебра» означает как предмет математики, так и объект, изучаемый в рамках предмета алгебры.) Алгебра состоит из выбора двух колец и операции, которая берет элемент из каждого кольца и возвращает элемент второго кольца. . Эта операция превращает второе кольцо в модуль над первым. Часто первое кольцо представляет собой поле.
Такие слова, как «элемент» и «операция объединения», очень общие и могут применяться ко многим реальным и абстрактным ситуациям. Любой набор вещей, который подчиняется всем правилам для одной (или двух) операций, по определению является группой (или кольцом) и подчиняется всем теоремам о группах (или кольцах). Целые числа, а также операции сложения и умножения — это лишь один из примеров. Например, элементами могут быть слова компьютерных данных , где первая операция объединения является исключающей, а вторая — логическим соединением . Теоремы абстрактной алгебры сильны, потому что они общие; они управляют многими системами. Можно было бы подумать, что мало что можно сделать об объектах, имеющих столь мало свойств, но именно в этом и заключался дар Нётер открывать максимум, который можно было заключить из данного набора свойств, или, наоборот, определять минимальный набор, существенные свойства. ответственный за конкретное наблюдение. В отличие от большинства математиков, она не делала абстракций путем обобщения известных примеров; скорее, она работала непосредственно с абстракциями. В некрологе Нётер ее ученик ван дер Варден вспоминал, что
Максиму, которой Эмми Нётер руководствовалась на протяжении всей своей работы, можно сформулировать следующим образом: « Любые отношения между числами, функциями и операциями становятся прозрачными, общеприменимыми и полностью продуктивными только после того, как они изолированы от своих частных объектов и сформулированы как общезначимые понятия » . [93]
Это begriffliche Mathematik (чисто концептуальная математика), характерная для Нётер. Впоследствии этот стиль математики был принят другими математиками, особенно в (тогда новой) области абстрактной алгебры. [94]
Большая часть работ Нётер в первую эпоху ее карьеры была связана с теорией инвариантов , главным образом алгебраической теорией инвариантов. Теория инвариантов занимается выражениями, которые остаются постоянными (инвариантными) при выполнении группы преобразований. В качестве повседневного примера: если повернуть жесткую мерку, координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 ) ее концов изменяются, но ее длина L определяется формулой L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 остается прежним. Теория инвариантов была активной областью исследований в конце девятнадцатого века, частично вызванной Эрлангенской программой Феликса Кляйна , согласно которой различные типы геометрии должны характеризоваться их инвариантами при преобразованиях, например, перекрестным отношением проективной геометрии . .
Примером инварианта является дискриминант B 2 − 4 A C двоичной квадратичной формы x · A x + y · B x + y · C y , где x и y — векторы , а « · » — скалярное произведение или « внутренняя продукт » для векторов. A, B и C — линейные операторы над векторами (обычно матрицами) .
Дискриминант называется «инвариантом», потому что он не изменяется линейными заменами x → a x + b y , y → c x + d y с определителем a d − b c = 1 . Эти замены образуют специальную линейную группу SL 2 . [с]
Можно запросить все полиномы из A, B и C, которые не изменяются под действием SL 2 ; они называются инвариантами бинарных квадратичных форм и оказываются полиномами дискриминанта.
В более общем смысле можно запросить инварианты однородных полиномов A 0 x r y 0 + ... + A r x 0 y r более высокой степени, которые будут определенными полиномами с коэффициентами A 0 , ..., A r и, в более общем плане, аналогичный вопрос можно задать и для однородных полиномов от более чем двух переменных.
Одной из основных целей теории инвариантов было решение « проблемы конечного базиса ». Сумма или произведение любых двух инвариантов инвариантна, и задача о конечном базисе задавалась вопросом, можно ли получить все инварианты, начав с конечного списка инвариантов, называемых генераторами , а затем сложив или умножив генераторы вместе. Например, дискриминант дает конечный базис (с одним элементом) для инвариантов бинарных квадратичных форм.
Советник Нётер, Пол Гордан, был известен как «король теории инвариантов», а его главным вкладом в математику стало решение в 1870 году проблемы конечного базиса для инвариантов однородных многочленов от двух переменных. [96] [97] Он доказал это, предложив конструктивный метод нахождения всех инвариантов и их генераторов, но не смог реализовать этот конструктивный подход для инвариантов от трех и более переменных. В 1890 году Дэвид Гильберт доказал аналогичное утверждение для инвариантов однородных многочленов от любого числа переменных. [98] [99] Более того, его метод работал не только для специальной линейной группы, но и для некоторых ее подгрупп, таких как специальная ортогональная группа . [100]
Теория Галуа касается преобразований числовых полей , которые переставляют корни уравнения. [101] Рассмотрим полиномиальное уравнение переменной x степени n , в котором коэффициенты взяты из некоторого основного поля , которое может быть, например, полем действительных чисел , рациональных чисел или целых чисел по модулю 7. Могут быть или может не быть выбором x , что приводит к тому, что этот полином равен нулю. Такие варианты выбора, если они существуют, называются корнями . Например, если многочлен равен x 2 + 1, а поле представляет собой действительные числа, то многочлен не имеет корней, поскольку любой выбор x делает многочлен больше или равным единице. Однако если поле расширено , то многочлен может обрести корни, а если оно достаточно расширено, то он всегда имеет число корней, равное его степени.
Продолжая предыдущий пример, если поле расширить до комплексных чисел, то многочлен получит два корня, + i и - i , где i — мнимая единица , то есть i 2 = −1 . В более общем смысле, поле расширения, в котором многочлен может быть разложен на его корни, известно как поле расщепления многочлена. [102]
Группа Галуа многочлена — это совокупность всех преобразований поля расщепления, сохраняющих основное поле и корни многочлена. [103] (Эти преобразования называются автоморфизмами .) Группа Галуа x 2 + 1 состоит из двух элементов: тождественного преобразования, которое переводит каждое комплексное число само в себя, и комплексного сопряжения , которое переводит + i в − i . Поскольку группа Галуа не меняет основное поле, она оставляет коэффициенты многочлена неизменными, поэтому она должна оставить неизменным множество всех корней. Однако каждый корень может перейти к другому корню, поэтому преобразование определяет перестановку n корней между собой. Значение группы Галуа вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая доказывает, что поля, лежащие между основным полем и полем расщепления, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы Галуа. [104]
В 1918 году Нётер опубликовала работу по обратной задаче Галуа . [105] Вместо определения группы Галуа преобразований данного поля и его расширения Нётер задавалась вопросом, всегда ли для данного поля и группы можно найти расширение поля, которое имеет данную группу в качестве группы Галуа. . Она свела это к « проблеме Нётер », которая задается вопросом, всегда ли фиксированное поле подгруппы G группы подстановок Sn , действующей на поле k ( x 1 ,..., x n ), является чистым трансцендентным расширением поля к . (Впервые она упомянула об этой проблеме в статье 1913 года [106] , где она приписала эту проблему своему коллеге Фишеру .) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. В 1969 году Р.Г. Свон нашел контрпример к проблеме Нётер, где n = 47 и G — циклическая группа порядка 47 [107] (хотя эту группу можно реализовать как группу Галуа над рациональными числами и другими способами). Обратная задача Галуа остается нерешенной. [108]
Нётер была привезена в Геттинген в 1915 году Дэвидом Гильбертом и Феликсом Кляйном, которые хотели, чтобы ее опыт в теории инвариантов помог им в понимании общей теории относительности , [109] геометрической теории гравитации , разработанной в основном Альбертом Эйнштейном . Гильберт заметил, что закон сохранения энергии, по-видимому, нарушается в общей теории относительности, поскольку гравитационная энергия сама по себе может тяготеть. Нётер дала разрешение этого парадокса и стала фундаментальным инструментом современной теоретической физики , представив первую теорему Нётер , которую она доказала в 1915 году, но не публиковала до 1918 года . [110] Она не только решила проблему общей теории относительности, но и определил сохраняющиеся величины для каждой системы физических законов, обладающей некоторой непрерывной симметрией. [111] Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:
Вчера я получил от мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Меня впечатляет, что такие вещи можно понимать в столь общем смысле. Старой гвардии Геттингена следовало бы поучиться у мисс Нётер! Кажется, она знает свое дело. [112]
Например, если физическая система ведет себя одинаково, независимо от того, как она ориентирована в пространстве, физические законы, управляющие ею, являются вращательно-симметричными; Исходя из этой симметрии, теорема Нётер показывает, что угловой момент системы должен сохраняться. [113] Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Скорее, за закон сохранения отвечает симметрия физических законов , управляющих системой. Другой пример: если физический эксперимент дает один и тот же результат в любом месте и в любое время, то его законы симметричны при непрерывных перемещениях в пространстве и времени; по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения импульса и энергии внутри этой системы соответственно. [114]
Теорема Нётер стала фундаментальным инструментом современной теоретической физики как благодаря пониманию законов сохранения, так и в качестве практического инструмента вычислений. [4] Ее теорема позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины на основе наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это облегчает описание физической системы на основе классов гипотетических физических законов. Для иллюстрации предположим, что открыто новое физическое явление. Теорема Нётер обеспечивает проверку теоретических моделей явления:
Если теория обладает непрерывной симметрией, то теорема Нётер гарантирует, что теория имеет сохраняющуюся величину, и чтобы теория была правильной, это сохранение должно наблюдаться в экспериментах.
В эту эпоху Нётер прославилась своим ловким использованием восходящих ( Teilerkettensatz ) или нисходящих ( Vielfachenkettensatz ) условий цепи. Последовательность непустых подмножеств A 1 , A 2 , A 3 и т. д. множества S обычно называют возрастающей , если каждое из них является подмножеством следующего
И наоборот, последовательность подмножеств S называется нисходящей, если каждое содержит следующее подмножество:
Цепь становится постоянной после конечного числа шагов, если существует n такое , что для всех m ≥ n . Коллекция подмножеств данного множества удовлетворяет условию возрастающей цепи, если любая возрастающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов. Он удовлетворяет условию нисходящей цепи, если любая нисходящая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов.
Условия восходящей и нисходящей цепочки являются общими, а это означает, что их можно применять ко многим типам математических объектов — и на первый взгляд они могут показаться не очень мощными. Однако Нётер показала, как использовать такие условия с максимальной выгодой.
Например: как использовать условия цепочки, чтобы показать, что каждый набор подобъектов имеет максимальный/минимальный элемент или что сложный объект может быть создан из меньшего количества элементов. Эти выводы часто являются решающими шагами в доказательстве.
Многие типы объектов в абстрактной алгебре могут удовлетворять условиям цепочки, и обычно, если они удовлетворяют условию восходящей цепочки, в ее честь их называют нётеровыми . По определению нётерово кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепи на своих левых и правых идеалах, тогда как нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепочка подгрупп конечна. Нётеров модуль — это модуль , в котором каждая строго возрастающая цепочка подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нётерово пространство — это топологическое пространство , в котором каждая строго возрастающая цепочка открытых подпространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр нётерова кольца нётеровым топологическим пространством.
Состояние цепочки часто «наследуется» подобъектами. Например, все подпространства нётеровского пространства сами являются нётеровыми; все подгруппы и факторгруппы нётеровой группы также нётеровы; и, mutatis mutandis , то же самое справедливо для подмодулей и фактормодулей нётерова модуля. Все фактор-кольца нётерова кольца нётеровы, но это не обязательно верно для его подколец. Условие цепочки также может быть унаследовано комбинациями или расширениями нётеровского объекта. Например, конечные прямые суммы нётеровых колец нётеровы, как и кольцо формальных степенных рядов над нётеровым кольцом.
Другое применение таких цепных условий — нётерова индукция , также известная как хорошо обоснованная индукция , которая является обобщением математической индукции . Он часто используется для сведения общих утверждений о коллекциях объектов к утверждениям о конкретных объектах в этой коллекции. Предположим, что S — частично упорядоченное множество . Один из способов доказать утверждение об объектах S — предположить существование контрпримера и вывести противоречие, тем самым доказав противоположность исходного утверждения. Основная предпосылка нётеровской индукции состоит в том, что каждое непустое подмножество S содержит минимальный элемент. В частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент — минимальный контрпример . Следовательно, чтобы доказать исходное утверждение, достаточно доказать нечто, казалось бы, гораздо более слабое: для любого контрпримера существует меньший контрпример.
Статья Нётер Idealtheorie in Ringbereichen ( Теория идеалов в кольцевых областях , 1921), [34] является основой общей теории коммутативных колец и дает одно из первых общих определений коммутативного кольца . [115] До ее статьи большинство результатов в коммутативной алгебре ограничивались специальными примерами коммутативных колец, такими как кольца полиномов над полями или кольца алгебраических целых чисел. Нётер доказала, что в кольце, удовлетворяющем условию возрастающей цепи идеалов , каждый идеал конечно порождён. В 1943 году французский математик Клод Шевалле для описания этого свойства ввёл термин « нётерово кольцо» . [115] Основным результатом статьи Нётер 1921 года является теорема Ласкера-Нётер , которая распространяет теорему Ласкера о первичном разложении идеалов колец полиномов на все нётеровы кольца. Теорему Ласкера-Нётер можно рассматривать как обобщение фундаментальной теоремы арифметики , которая утверждает, что любое положительное целое число можно выразить как произведение простых чисел и что это разложение уникально.
Работа Нётер Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in алгебраишен Zahl- und Funktionenkörpern ( Абстрактная структура теории идеалов в алгебраических числах и функциональных полях , 1927) [116] охарактеризовала кольца, в которых идеалы имеют уникальную факторизацию на простые идеалы, как области Дедекинда : целочисленные области, которые являются нетеровыми, 0- или 1- мерными и целозамкнутыми в своих полях частных. Эта статья также содержит то, что сейчас называют теоремами об изоморфизме , которые описывают некоторые фундаментальные естественные изоморфизмы , и некоторые другие основные результаты о нётеровых и артиновых модулях .
В 1923–1924 годах Нётер применила свою идеальную теорию к теории исключения в формулировке, которую она приписала своему ученику Курту Хентцельту. Она показала, что фундаментальные теоремы о факторизации многочленов можно перенести напрямую. [117] [118] [119] Традиционно теория исключения занимается исключением одной или нескольких переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результирующих .
Для иллюстрации систему уравнений часто можно записать в форме M v = 0 , где матрица (или линейное преобразование ) M (без переменной x ), умноженная на вектор v (который имеет только ненулевые степени x ), равна к нулевому вектору, 0 . Следовательно, определитель матрицы M должен быть равен нулю, что дает новое уравнение, в котором исключена переменная x .
Такие методы, как оригинальное неконструктивное решение Гильбертом проблемы конечного базиса, нельзя было использовать для получения количественной информации об инвариантах группового действия, и, более того, они не применимы ко всем групповым действиям. В своей статье 1915 года [120] Нётер нашла решение проблемы конечного базиса для конечной группы преобразований G , действующей в конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Ее решение показывает, что кольцо инвариантов порождается однородными инвариантами, степень которых меньше или равна порядку конечной группы; это называется границей Нётера . В ее статье были даны два доказательства границы Нётер, оба из которых также работают, когда характеристика поля взаимно проста с | Г |! ( факториал порядка | G | группы G ). Степени образующих не обязательно должны удовлетворять границе Нётер, когда характеристика поля делит число | G |, [121] , но Нётер не смогла определить, верна ли эта оценка, когда характеристика поля делит | Г |! но не | Г |. В течение многих лет определение истинности или ложности этой оценки для данного конкретного случая было открытой проблемой, получившей название «пробел Нётер». Наконец, независимо друг от друга она была решена Флейшманом в 2000 году и Фогарти в 2001 году, которые оба показали, что граница остается верной. [122] [123]
В своей статье 1926 года [124] Нётер распространила теорему Гильберта на представления конечной группы над любым полем; новый случай, не вытекающий из работы Гильберта, — это когда характеристика поля делит порядок группы. Результат Нётер позже был распространен Уильямом Хабушем на все редуктивные группы посредством доказательства гипотезы Мамфорда . [125] В этой статье Нётер также ввела лемму о нормализации Нётер , показывающую, что конечно порожденная область A над полем k имеет набор { x 1 , ..., x n } алгебраически независимых элементов такой, что A является целым над k. [ х 1 , ..., х п ].
Как отметили Павел Александров и Герман Вейль в своих некрологах, вклад Нётер в топологию иллюстрирует ее щедрость на идеи и то, как ее идеи могут изменить целые области математики. В топологии математики изучают свойства объектов, которые остаются неизменными даже при деформации, такие свойства, как их связность . Старая шутка гласит: « Тополог не может отличить пончик от кофейной кружки », поскольку они могут непрерывно деформироваться друг в друга.
Нётер приписывают фундаментальные идеи, которые привели к развитию алгебраической топологии на основе более ранней комбинаторной топологии , в частности, идеи групп гомологии . [126] Согласно рассказу Александрова, Нётер посещала лекции, читаемые Хайнцем Хопфом и им летом 1926 и 1927 годов, где «она постоянно делала наблюдения, которые часто были глубокими и тонкими» [127] , и он продолжает это:
Когда... она впервые познакомилась с систематическим построением комбинаторной топологии, она сразу заметила, что стоило бы изучать непосредственно группы алгебраических комплексов и циклов данного многогранника и подгруппу группы циклов, состоящую из циклов, гомологичных нуль; вместо обычного определения чисел Бетти она предложила сразу определить группу Бетти как дополнительную (факторную) группу группы всех циклов по подгруппе гомологичных нулю циклов. Сейчас это наблюдение кажется самоочевидным. Но в те годы (1925–1928) это была совершенно новая точка зрения. [128]
Предложение Нётер о алгебраическом изучении топологии было немедленно принято Хопфом, Александровым и другими [128] и стало частой темой дискуссий среди математиков Геттингена. [129] Нётер заметила, что ее идея группы Бетти упрощает понимание формулы Эйлера-Пуанкаре , а собственная работа Хопфа по этому вопросу [130] «несет на себе отпечаток этих замечаний Эмми Нётер». [131] Нётер упоминает свои собственные идеи топологии лишь вскользь в публикации 1926 года, [132] где она цитирует их как применение теории групп . [133]
Этот алгебраический подход к топологии был также независимо развит в Австрии . В курсе, прочитанном в Вене в 1926–1927 годах , Леопольд Виеторис определил группу гомологии , которая была разработана Вальтером Майером , в аксиоматическое определение в 1928 году. [134]
Большая работа по гиперкомплексным числам и представлениям групп была проведена в девятнадцатом и начале двадцатого веков, но оставалась разрозненной. Нётер объединила эти результаты и создала первую общую теорию представлений групп и алгебр. [135]
Короче говоря, Нётер объединила структурную теорию ассоциативных алгебр и теорию представлений групп в единую арифметическую теорию модулей и идеалов в кольцах , удовлетворяющих условиям восходящей цепи . Эта единственная работа Нётер имела фундаментальное значение для развития современной алгебры. [136]
Нётер также принадлежит ряд других достижений в области алгебры. Вместе с Эмилем Артином , Рихардом Брауэром и Гельмутом Хассе она основала теорию центральных простых алгебр . [137]
Статья Нётер, Гельмута Хассе и Рихарда Брауэра относится к алгебрам с делением [138] , которые представляют собой алгебраические системы, в которых деление возможно. Они доказали две важные теоремы: локально-глобальную теорему, утверждающую, что если конечномерная центральная алгебра с телом над числовым полем расщепляется локально всюду, то она расщепляется и глобально (что тривиально), и из этого вывели свою Hauptsatz («основную теорему»). ):
каждая конечномерная центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел F распадается над циклическим круговым расширением .
Эти теоремы позволяют классифицировать все конечномерные центральные алгебры с делением над заданным числовым полем. Последующая работа Нётер показала, как частный случай более общей теоремы, что все максимальные подполя тела D являются полями расщепления . [139] Эта статья также содержит теорему Скулема–Нётер , которая утверждает, что любые два вложения расширения поля k в конечномерную центральную простую алгебру над k сопряжены. Теорема Брауэра –Нётер [140] дает характеристику полей расщепления центральной алгебры с делением над полем.
В 1932 году Эмми Нётер и Эмиль Артин получили Мемориальную премию Аккермана-Тойбнера за вклад в математику. [45] Премия включала денежное вознаграждение в размере 500 ℛ︁ℳ︁ и рассматривалась как давно назревшее официальное признание ее значительной работы в этой области. Тем не менее, ее коллеги выразили разочарование по поводу того, что она не была избрана в Геттингенскую академию наук (Gösellschaft der Wissenschaften) и не была повышена до должности Ordentlicher Professor [141] [142] (полный профессор). [29]
Коллеги Нётер отпраздновали ее пятидесятилетие в 1932 году в типичном для математиков стиле. Гельмут Хассе посвятил ей статью в Mathematische Annalen , в которой он подтвердил ее подозрения, что некоторые аспекты некоммутативной алгебры проще, чем аспекты коммутативной алгебры , доказав некоммутативный закон взаимности . [143] Это ей очень понравилось. Он также прислал ей математическую загадку, которую назвал «m µν – загадка слогов». Она сразу ее разгадала, но загадка утеряна. [141] [142]
В сентябре того же года Нётер выступила с пленарным докладом ( großer Vortrag ) на тему «Гиперкомплексные системы в их отношении к коммутативной алгебре и к теории чисел» на Международном конгрессе математиков в Цюрихе . На конгрессе присутствовало 800 человек, в том числе коллеги Нётер Герман Вейль , Эдмунд Ландау и Вольфганг Крулль . Было представлено 420 официальных участников и 21 пленарное выступление. По-видимому, выдающаяся выступающая позиция Нётер была признанием важности ее вклада в математику. Конгресс 1932 года иногда называют высшей точкой ее карьеры. [142] [144]
Работы Нётер продолжают иметь значение для развития теоретической физики и математики, и ее неизменно называют одним из величайших математиков двадцатого века. В своем некрологе коллега-алгебраист Б.Л. ван дер Варден говорит, что ее математическая оригинальность была «абсолютно вне всякого сравнения», [145] а Герман Вейль сказал, что Нётер « своими работами изменила облик алгебры ». [8] При жизни и даже по сей день Нётер описывалась как величайшая женщина-математик в истории математиками [3] [146] , такими как Павел Александров , [147] Герман Вейль , [148] и Жан Дьедонне . [149]
В письме в The New York Times Альберт Эйнштейн писал: [150]
По мнению наиболее компетентных ныне живущих математиков, фройляйн Нётер была самым значительным творческим математическим гением , созданным до сих пор с момента появления высшего образования для женщин. В области алгебры, которой на протяжении веков занимались наиболее одаренные математики, она открыла методы, оказавшие огромное значение для развития современного молодого поколения математиков.
Среди докторантов Нётер были: [151]
Эмили Нётер, великий немецкий математик
(Том 22, номер 3)
СМИ из Commons
Цитаты из Wikiquote
Данные из ВикиданныхФотография Эмми Нётер.
С: Колвой Рони-Дугалом , профессором чистой математики Университета Сент-Эндрюс; Дэвид Берман, профессор теоретической физики Лондонского университета Королевы Марии; Элизабет Мэнсфилд , профессор математики Кентского университета.
